Modelos de Programacion Lineal

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

Antecedentes: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

I.1. Introducción 􀁺 Durante la Segunda Guerra Mundial, el mando británico consultó a científicos y técnicos sobre distintas cuestiones militares: – Despliegue de radares. – Dirección de operaciones antisubmarinas, de minas, bombardeos y traslado de tropas.

􀁺 El resultado se llamó Investigación de Operaciones Militares, y más tarde Investigación Operativa (IO) 􀁺 El MIT contribuyó a su puesta en marcha – El profesor Morse (MIT) fue pionero en los EE.UU. – Fundó el Centro OR del MIT y colaboró en la fundación de ORSA. 3

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I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

¿Qué son las ciencias de la gestión (investigación operativa)? 􀁺 Hoy en día: las ciencias de la gestión y la investigación operativa suponen “el empleo de modelos matemáticos para proporcionar pautas que permitan a los gestores tomar decisiones efectivas partiendo de la información de la que disponen, o para hallar el modo de ampliar ésta, en caso de que sea insuficiente para llegar a la decisión adecuada.” 􀁺 Comparar con: ciencias de la decisión, análisis de sistemas, investigación operativa, dinámica de sistemas, análisis operacional, sistemas de ingeniería, ingeniería de sistemas y otros conceptos.

4

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Investigación de Operaciones

I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

La investigación operativa en la historia 􀁺 1947 – Proyecto Scoop (Scientific Computation of Optimum Programs), en el que George Dantzig y otros científicos desarrollan el método simplex de programación lineal. 􀁺 Década de 1950 – Años muy interesantes: progresos matemáticos, teoría de colas, programación matemática. Comparar con: Inteligencia artificial (I.A.) en los 60. 􀁺 Década de 1960 – Crece el interés: más progreso, grandes proyectos. Comparar con: Inteligencia artificial en los 80.

5

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I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

􀁺 Década de 1970 – Época de desilusión y estancamiento. NPcompleto. Expectativas más realistas. 􀁺 Década de 1980 – Gran expansión del uso de computadores personales. Acceso cada vez más fácil a datos. Se extiende la disposición de los directivos al empleo de modelos. 􀁺 Década de 1990 – Uso creciente de sistemas de I.O. Nuevos avances de la tecnología de I.O; p.ej: ampliaciones de optimización y simulación a hojas de cálculo, lenguajes de modelación, optimización a gran escala. Mayor interconexión entre la I.A. y la I.O 6

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I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

La investigación operativa en el año 2000 􀁺 CIENTOS de oportunidades para el campo de la I.O. 􀁺 Datos, datos y más datos – Datos de e-business (click stream, compras, otros datos de transacciones, correo electrónico, etc.) – El proyecto del genoma humano y su desarrollo 􀁺 Mayor automatización en la toma de decisiones 􀁺 Necesidad de mayor coordinación para la utilización de recursos (gestión de la cadena de suministro)

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Introducción a la Investigación de Operaciones

Definición

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I.

Aplicación del método científico por un grupo multidisciplinario personas a la resolución de un problema. Objetivo El principal objetivo de esta área de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones, mediante métodos científicos, que optimizan el funcionamiento del proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilización de recursos escasos.

8

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Naturaleza La naturaleza de los problemas abordados pueden ser: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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I.

 Métodos

determinísticos: Programación lineal, programación entera, transporte, teoría de la localización o redes, programación multicriterio, teoría de inventarios, etc. (Modelos de Prog. Matemática)

 Métodos probabilísticos: Cadenas de markov, teoría de juegos,

líneas de espera, teoría de inventarios, etc.  Métodos

híbridos: probabilísticos.

Conjugan

métodos

determinísticos

y

 Métodos heurísticos: soluciones basadas en la experiencia. 9

Introducción a la Investigación de Operaciones

Gran cantidad de problemas reales cada más complejos y especializados requieren de: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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I.

 Uso

de metodologías para matemática de estos problemas.

la

formulación

 Métodos y herramientas de resolución, como los

que provee la Investigación de Operaciones.

10

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I.1.1 Formulación del Problema 1. Definir el Problema – – Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

I.

2.

Observar el Sistema – –

3.

7.

Estimar el Grado de Acercamiento del Modelo a la Realidad

Seleccionar la Alternativa Adecuada –

6.

Representación Idealizada del Problema

Verificar el Modelo y usar el Modelo para Predicciones –

5.

Reunir Datos Estimar Valores de Parametros

Formular el Modelo Matemático para el Problema –

4.

Definir el Problema Especificación de Objetivos

Escoger el modelo que mejor se adapta a los objetivos

Presentar los Resultados y Conclusiones del Estudio a la Organización Implantar y Evaluar las Recomendaciones

11

Introducción a la Investigación de Operaciones

Formular el Problema Observar el Sistema Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

I.

Formular el Modelo Matemático Verificar el Modelo y usar para predicciones Seleccionar la Alternativa Presentar Resultados y Conclusiones Implantar y Evaluar Recomendaciones 12

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I.2 Elementos de un modelo de optimización. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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I.

Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboración de dos productos finales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6 “piezas grandes”, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la máxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada.

13

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I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del número de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar: • 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60

• 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55 • 3 mesas, utilidad de U$60 • 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65 • 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70

• etc.

14

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Componentes de un modelo matemático: i) Las variables de decisión, que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo, x: número de sillas elaboradas. y: número de mesas elaboradas. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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I.

¿Qué puedes decidir? Ej: cuanto producir; cuanto invertir, y en qué, son variables de decisión

ii) La función objetivo del problema, que permita tener el mejor criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por: z = f(x,y) = 15x + 20y

¿Qué quiere decir “mejor”? Ej: maximizar beneficio, minimizar coste, … son objetivos

15

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I.

Introducción a la Investigación de Operaciones

iii) Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricación de sillas y mesas: Piezas pequeñas: 2x + 2y  8 Piezas grandes : x + 2y  6 También se impone restricciones de no – negatividad: x,y  0

¿Qué restricciones limitan las decisiones? Ej: no exceder presupuesto, no usar más piezas que las disponibles, etc.… son restricciones

iv) Resolución del Modelo y Análisis de la Solución

16

Introducción a la Investigación de Operaciones

En resumen: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

I.

Max sa:

15x + 20y 2x + 2y  8 x + 2y  6 x,y  0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programación Lineal. Si además restringimos los valores de x e y a números enteros, tendríamos un modelo de Programación Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberíamos emplear una función objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendríamos un modelo de Programación No Lineal.

17

Introducción a la Investigación de Operaciones

BIBLIOGRÁFIA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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I.

1. Introducción a la Investigación de Operaciones, F.S. Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edición, 1997. 2. Investigación de Operaciones, una introducción, H.A. Taha, Prentice Hall, México, Sexta Edición, 1998. 3. Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillier and G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999. 4. Model Operations Research: A practical Introduction. M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000. 5. Practical Management Science: Spreadsheet Modeling and Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M., International Thomson Publishing Company, 1997.

18

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Temario: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

II.1. Introducción II.2. Definiciones II.3. Suposiciones de la PL II.4. Ejemplos de modelamiento. II.5. Resolución gráfica de problemas. II.6. Análisis de Sensibilidad. II.7. El Método Simplex. II.8. Dualidad en Programación Lineal. II.9. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal 20

II.1 INTRODUCCIÓN  La programación lineal es un caso especial de la programación Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

matemática, en donde todas las funciones que participan en el modelo son lineales.  Utilización:      

Planificación Gestión de recursos humanos y materiales Transporte Planificación financiera Organización de la producción. Una extensa gama de problemas que aparecen en las áreas de tipo industrial, económico, administrativo, militar, etc.

21

II.2 DEFINICIONES  Función Lineal.- una función f(x1, x2, x3,…. xn) es una función Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

lineal de x1, x2, x3,…. xn, si y solo si para algún conjunto de constantes c1, c2, c3,…. cn, existe una función f(x1, x2, x3,…. xn) = c1 x1+ c2 x2, c3 x3,…. cn xn  Desigualdad Lineal.- una desigualdad f(x1, x2, x3,…. xn)≥ b ó

f(x1, x2, x3,…. xn)≤ b es lineal, si y solo si la función f(x1, x2, x3,…. xn) es lineal y b es cualquier número real.  Un problema de Programación Lineal.- es un problema de

optimización, para el cual:  Se busca maximizar o minimizar una función lineal de variables de

decisión.  Los valores de las variables de decisión satisfacen un conjunto de restricciones. Cada restricción es una ecuación o una desigualdad lineal.

22

La Región Factible y la Solución Óptima:

• Región Factible.- Es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones del problema de PL. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

• Solución Óptima.- Para un problema de maximización en PL la solución óptima es el punto o conjunto de puntos de la región factible con mayor valor de la función objetivo. Para un problema de minimización en PL la solución óptima es el punto o conjunto de puntos de la región factible con menor valor de la función objetivo.

23

 Suposiciones de Proporcionalidad y Aditividad.-

 El hecho de que la función objetivo de un problema de PL tiene Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

que ser una función lineal de las variables de decisión, tiene dos implicaciones:  La contribución de cada variable de decisión a la función objetivo es

proporcional al valor de la variable de decisión.  La contribución a la función objetivo por parte de cualquier variable de decisión es independiente de los valores de las otras variables de decisión.

 El hecho de que cada restricción de un problema de PL tiene

que ser una desigualdad o igualdad lineal de las variables de decisión, tiene también dos implicaciones:  La contribución de cada variable al lado izquierdo de cada

restricción es proporcional al valor de la variable de decisión.  La contribución de cada variable al lado izquierdo de cada restricción independiente de los valores de las otras variables de decisión. 24

• Suposición de Divisibilidad.-

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

– La suposición de divisibilidad requiere que cada variable de decisión pueda tomar valores fraccionarios. – En muchas situaciones donde no se presenta la divisibilidad, redondear cada variable de la solución óptima del problema de PL a un valor entero, puede proporcionar una solución razonable más no necesariamente óptima.

• Suposición de Certidumbre.– La suposición de certidumbre significa que tiene que conocerse con certidumbre cada parámetro (coeficiente de la función objetivo, coeficientes de las variables de las restricciones, lado izquierdo de las restricciones).

25

II.4 Ejemplos de modelamiento. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

i) Problema de Transporte. El problema consiste en decidir cuántas unidades trasladar desde ciertos puntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de distribución, ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos de transporte, dada la oferta y demanda en dichos puntos. Se suponen conocidos los costos unitarios de transporte, los requerimientos de demanda y la oferta disponible. 26

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Por ejemplo, suponga que una empresa posee dos plantas que elaboran un determinado producto en cantidades de 250 y 400 unidades diarias, respectivamente. Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros de distribución con demandas diarias de 200, 200 y 250 unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en $/unidad) son:

C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3 Planta 1

21

25

15

Planta 2

28

13

19

27

Diagrama:

C.D.1

X11 Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Planta 1 X12 X21

X22

C.D.2

Planta 2 X13 X23

C.D.3

Orígenes

Destinos

28

Variables de decisión: xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2), hasta el centro de distribución j (j=1,2,3) Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Función Objetivo: Minimizar el costo total de transporte dado por la función: 21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23 Restricciones del problema: 1) No Negatividad:

xij  0

2) Demanda: CD1 : x11 +x21 CD2 : x12 +x22 CD3 : x13 + x23

= 200 = 200 = 250 29

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

3) Oferta : P1 : x11 + x12 + x13  250 P2 : x21 + x22 + x23  400 Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.L.

30

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

ii) Problema de la dieta: este consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales. Supongamos que se tiene la siguiente información:

Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (galon) (1 porción) (unidad) Nutricionales Niacina

3,2

4,9

0,8

13

Tianina

1,12

1,3

0,19

15

Vitamina C

32

0

93

45

Costo

2

0,2

0,25

31

Variables de decisión: x1 : galones de leche utilizados en la dieta. x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta. Función Objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por: 2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3 Restricciones del problema: Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados: 3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3  13 1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3  15

32 x1+

+

9 x3  45

x1  0 ; x2  0 ; x3  0 32

iii) Problema de dimensionamiento de lotes: Este consiste en hallar una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información: Periodos Demandas Costo Prod. Costo de Inventario (unidades) (US$/unidad) (US$/unidad) 1

130

6

2

2

80

4

1

3

125

8

2.5

4

195

9

3

Supuestos adicionales: 1) Existe un inventario inicial de 15 unidades. 2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo). 33

Variables de decisión:

xt : número de unidades elaboradas en el periodo t. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

It : número de unidades de inventario al final del periodo t. Función objetivo:

Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de mantenimiento de inventario. 6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4 Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que incluso podríamos no incluirla, pero de todos modos la consideramos.

34

Restricciones del problema: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de producción. xt 150  t  Período 2) Restricciones de no negatividad xt  0

 t  Período

3) Restricciones de demanda x1 + I0 – I1 = 130

Periodo 1

x2 + I1 – I2 = 80

Periodo 2

x3 + I2 – I3 = 125

Periodo 3

x4 + I3 – I4 = 195

Periodo 4

I0=15

35

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

iv) Problema de planificación financiera: Supongamos que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito: • Primer crédito corriente (PCC) :12% • Segundo crédito corriente (SCC) :16% • Crédito para el hogar :16% • Crédito personal :10% La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución: El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado. El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado. ¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más eficiente, respetando la política del banco? 36

Variables de decisión: x1 :Monto asignado al PCC.

x2 : Monto asignado SCC.

x3 : Monto asignado al crédito para el hogar. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

x4 : Monto asignado al crédito personal. Función Objetivo: Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignación, dados por: 0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4 Restricciones del problema: x1  0.55 ( x1 + x2 )

x1  0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 ) x2  0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 ) (0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 )  0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 ) Adicionalmente:

x1 + x2 +x3 + x4  250 37

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

v) Problema de mezcla de productos: en este problema una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características importantes de cada gasolina son su número de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están dados por: NP

RVP

Barriles diarios

gas 1

107

5

3814

gas 2

93

8

2666

gas 3

87

4

4016

gas 4

108

21

1300

38

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $24,83 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto con sus precios de venta son:

NP

RV

Precio por barril (US$)

avgas A Al menos 100 A lo más 7

26,45

Avgas B

25,91

Al menos 91

A lo más 6

El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas. Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos.

39

Variables de decisión: xj : cant. de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

xA : cant. de barriles de avgas A.

xB : cant. de barriles de avgas B.

xjA: cant. de gas j usado en avgas A. xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.

Función objetivo: Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814 x2 + x2A + x2B = 2666 x3 + x3A + x3B = 4016 x4 + x4A + x4B = 1300

x1A + x2A + x3A + x4A = xA x1B + x2B + x3B + x4B = xB

40

NP, avgas A:

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

NP, avgas B:

107 x1A  93 x 2 A  87 x 3 A  108 x 4 A  100 xA 107 x1B  93 x 2B  87 x 3B  108 x 4B  91 xB

RVP, avgas A:

5x1A  8x 2 A  4 x 3 A  21x 4 A 7 xA RVP, avgas B:

5 x1B  8 x 2 B  4 x 3 B  21x4 B 6 xB 41

vi) Problema de expansión de la capacidad de un Sistema de Potencia Eléctrica:

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

En este problema se desea planificar la expansión de la capacidad de un sistema eléctrico para los siguientes T años. La demanda (estimada) para el año t corresponde a dt MW para t = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistema corresponde a ct MW para el año t = 1, 2, ..., T.

Existen 2 alternativas para la expansión de la capacidad del sistema: 1) Usar plantas térmicas a petróleo; 2) Usar plantas térmicas a gas. Se requiere una inversión pt por MW instalado de una planta a petróleo que esté operativa al comienzo del año t, y el correspondiente costo para una planta a gas es gt. Por razones políticas y de seguridad, se ha decidido que no más del 30% de la capacidad instalada, corresponda a plantas a gas (nuevas).

Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y una planta a gas una vida de 15 años. Se desea proponer un plan de expansión al mínimo costo posible. 42

Variables de decisión: xt : cantidad de MW expandidos en planta a petróleo al inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al inicio del año t, con t = 1, 2, ..., T. zt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a petróleo al inicio del año t. wt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas a gas al inicio del año t.

43

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

 pt x t  gt yt 

Min

t 1

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T

t

c t  z t  w t  dt t

z t   xk

t  20

k 1

zt 

t

x

k  t 19

k

t  20

w t   yk

t  15

k 1

wt 

t

y

k  t 14

k

t  15

wt  0,30 ct  zt  w t

t  1... T

x t , yt , z t , w t  0

44

vii) Problema de Establecimiento del Horario de Trabajo:

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Una oficina de correos necesita de un número diferente de empleados de tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleados de tiempo completo requeridos para cada día se da en la taba siguiente: DIA

No. EMP. NECESARIO Lunes 17 Jueves 19 Domingo 11

DIA

No. EMP. NECESARIO Martes 13 Viernes 14

DIA

No. EMP. NECESARIO Miércoles 15 Sábado 16

Las reglas sindicales señalan que cada empleado debe trabajar por 5 días consecutivos y después descansar 2 días. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Formule un PL para minimizar los empleados de tiempo completo

45

Variables de Decisión: xi : número de empleados que empieza a trabajar el día i Función Objetivo: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Restricciones:

Min z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

x1

+ x4 + x5 + x6 + x7

≥ 17

+ x5 + x6 + x7

≥ 13

+ x6 + x7

≥ 15

x1 + x2 x1 + x2 + x3

x1 + x2 + x3 + x4

+ x7

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 x2 + x3 + x4 + x5 + x6

x3 + x4 + x5 + x6 + x7

≥ 19 ≥ 14 ≥ 16

≥ 11

xi ≥ 0 (i=1,2,3,…7)

46

PROBLEMAS PROPUESTOS:

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1.- Supóngase que la oficina de correos puede obligar a trabajar un día extra a la semana. Por ejemplo un empleado que ha trabajado de lunes a viernes, tendría que trabajar el sábado. Se paga al empleado 50 dólares diarios por los 5 primeros días y 62 dólares por el día extra (en caso de haber trabajado). Formule un PL cuya solución permita a la oficina de correos minimizar el costo para cumplir con sus necesidades laborales semanales.

2.-Supóngase que la oficina de correos tiene una planta de 25 empleados a tiempo completo y no se le permite ni contratar ni despedir empleados. Formular un PL para programar el horario de los empleados a fin de maximizar el número de fines de semana libres recibidos por los empleados.

47

PROBLEMAS PROPUESTOS:

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Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

3.- Los empleados del Departamento de Policía trabajan dos turnos de 6 horas diarias, escogidos entre los siguientes 4 turnos posibles: 1) de 0h a 6 h, 2) de 6h a 12h, 3) de 12 a 18h, 4) de 18 a 24h. Se necesita el siguiente número de policías por cada turno: 1) 15, 2) 5, 3) 12 y 4) 6. A los policías que tienen turno consecutivos se les paga 12 dólares la hora y a los policías que no tienen turnos consecutivos se le para 18 dólares la hora. Formule un PL para minimizar los costos y cubrir la demanda diaria de fuerza laboral del Departamento de Policía

48

II.5. Resolución gráfica de problemas. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Consideremos el siguiente problema a resolver gráficamente: Max sa:

z = 3x1 + 5x2 x1 2x2 3x1 + 2x2 x1 , x2  0

4  12  18

49

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

6 4 2

4

6

x1 50

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

6 4 2

4

6

x1 51

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

x*

Solución Optima

6 4 2

4

6 52

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

x*

Solución Optima

6 4 2

4

6 53

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

x*

Solución Optima

6 4 2

4

6 54

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Región de puntos factibles

x2

Función Objetivo

9

x* 6

Solución Optima

x*

4 2

4

6 55

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

En primer lugar, se debe obtener la región de puntos factibles en el plano, obtenida por medio de la intersección de todos los semi-espacios que determinan cada una de las inecuaciones presentes en las restricciones del problema. A continuación, con el desplazamiento de las curvas de nivel de la función objetivo en la dirección de crecimiento de la función (que corresponde a la dirección del vector gradiente de la función, z(x1,x2) = (3,5)T, se obtiene la solución óptima del problema en la intersección de las rectas: 2x2 = 12 y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es:

x1 * = 2

x2 * = 6

z* = 3 x1* + 5 x2* = 36

56

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal Los ejercicios anteriores plantean un PROBLEMA DE DECISIÓN

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

Algunas reflexiones

Hemos tomado una situación real y hemos construido sus equivalentes matemáticos: MODELO MATEMÁTICO Durante la formulación de los modelos matemáticos, hemos considerado el método cuantitativo que nos permitirá resolver el modelo numéricamente ALGORITMO El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera ordenada producen una solución numérica

NUEVA DEFINICION Ciencia para la representación de problemas reales mediante modelos matemáticos que junto con métodos cuantitativos nos permiten obtener una solución numérica a los mismos. 57

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Notar que se pueden dar otras situaciones en la búsqueda de una solución óptima para esta clase de problemas: 1) La solución óptima exista pero haya más de una. En el ejemplo, considerese la nueva función objetivo: z = 6x1+4x2. 2) El problema no tenga solución, dada una región de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo, reemplace cada desigualdad  por una . 3) El problema no tenga solución, porque no existen puntos factibles. En el ejemplo, suponga que agregamos la restricción: x1  5.

58

II.3. Análisis de sensibilidad. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Consideremos otro ejemplo: max z= 15x + 20 y s.a. 2x+2y≤8 x+2y ≤6 x,y≥0

59

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4 3

2

4

6 60

A partir de la resolución gráfica del problema se tiene: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Solución óptima : x1*= 2 ; x2*= 2 Valor óptimo :

z = z(2,2) = 70

El análisis de sensibilidad permite responder, entre otras, las siguientes preguntas: 1) ¿Cuál es el intervalo de variación de algún coeficiente de la función objetivo, de modo que la actual solución siga siendo la óptima?

61

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3 2

4

6 62

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 63

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 64

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 65

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 66

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 67

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 68

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 69

Sea Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

z = c1x1+c2x2

La solución óptima de la nueva función, seguirá siendo: x1*= 2 ; x2*= 2 sí:

 c1 1  1  c2 2

70

También podemos estudiar el intervalo de un sólo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Para C1:

 c1 1  1  20 2



10  c1  20

Para C2:

 15 1  1  c2 2



15  c2  30

71

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

2) ¿Cuál es el intervalo de variación de los coeficientes del lado derecho (términos libres) de las restricciones, de modo que la actual solución siga siendo la óptima? Estudiaremos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones, de modo preservar la geometría del problema, esto es, que se conserven las mismas restricciones activas de la solución óptima inicial.

72

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4 3 2

2

4

6

8 73

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4 3 2

2

4

6

8 74

Primera restricción. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x=0 y y=4, de donde se obtiene: z(0,4) = 15 · 0 + 20 · 4 = 80 y b1* = 0 + 2 · 4 = 8 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x=4 ; y=0, de donde se obtiene:

z(4,0) = 15 · 4 + 20 · 0 = 60 y b1 = 4 + 2 · 0 = 4 De aquí, se calcula el precio sombra P1, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: P1 

z(0,4)  z(4,0) 80  60  5 b1*  b1 84

75

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 76

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max sa :

15 x  20 y 2x  2 y  8

x  2y  6 x, y  0

4

3

4

6 77

Segunda restricción. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x=6 y y=0, de donde se obtiene: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

z(0,4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x=0 ; y= 3, de donde se obtiene: z(4,0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b1= 2 x 0 + 2 x 3 = 6 De aquí, se calcula el precio sombra P2, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: z(6,0)  z(0,3) 90  60 P2   5 * b2  b2 12  6

78

Ejemplo 2

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Una fábrica produce 2 tipos de juguetes de madera: soldados y trenes se vende un soldado en 27 dólares y se usan 10 dólares de materia prima y 14 dólares en mano de obra. Se vende un tren en 21 dólares y se usan 9 de materia prima y 10 dólares en mano de obra. La producción de soldados y trenes necesita de 2 tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere de 1 hora de carpintería y 2 de acabado. Un tren requiere de 1 hora de carpintería y una de acabado. La empresa dispone de 80 horas de carpintería y 100 de acabado y puede conseguir toda la materia prima necesaria. La demanda de trenes no tiene límite pero no se pueden vender mas de 40 soldados a la semana. Formule un PL para maximizar la ganancia semanal.

79

x número de trenes y número de soldados Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

max z = 3x + 2y s.a. 2x+y ≤100 x +y ≤80 x ≤40 x,y≥0

ganancia restricción de acabado restricción de carpintería restricción de demanda de soldados

80

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

max z= 3x + 2y s.a. 2x+y ≤100 x+y ≤80 x ≤40 x, y ≥ 0

81

solución

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

x=20 y=60

82

A partir de la resolución gráfica del problema se tiene: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Solución óptima : x*= 20 ; y*= 60 Valor óptimo :

z = z(20,60) = 180

El análisis de sensibilidad permite responder, entre otras, las siguientes preguntas: 1) ¿Cuál es el intervalo de variación de algún coeficiente de la función objetivo, de modo que la actual solución siga siendo la óptima?

83

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

84

Sea Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

z = c1x1+c2x2

La solución óptima de la nueva función, seguirá siendo: x*= 20 ; y*= 60 sí:  c1 2   1 c2

85

También podemos estudiar el intervalo de un sólo coeficiente, dejando el resto de los parámetros fijos: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Para C1:

 c1 2   1  2

2  c1  4

3 2   1  c2

3  c2  3 2

Para C2:

86

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

2) ¿Cuál es el intervalo de variación de los coeficientes del lado derecho (términos libres) de las restricciones, de modo que la actual solución siga siendo la óptima? Estudiaremos por separado las variaciones de cada uno de los coeficientes del lado derecho de las restricciones, de modo preservar la geometría del problema, esto es, que se conserven las mismas restricciones activas de la solución óptima inicial.

87

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

max z= 3x + 2y s.a. 2x+y ≤100 x+y ≤80 x ≤40 x, y ≥ 0

88

Primera restricción. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x=60 y y =0, de donde se obtiene: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

z(60,0) = 3 · 60 + 2 · 0 = 180 y b1* = 2 · 60 + 1 · 0 = 120 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x= 4 ; x2 = 0, de donde se obtiene: z(40,0) = 3 · 40 + 2 · 0 = 120 y b1 = 2 · 40 + 1 · 0 = 80 Obsérvese que, aunque para 80≤b1≤120 la base actual es óptima los valores de las variables de decisión y de la función objetivo cambian. Por ejemplo si 80≤b1≤100 la solución óptima cambiará del punto B a algún otro punto en el segmento AB. Similarmente si 100≤b1≤120 la solución óptima cambiará del punto B a algún otro punto en el segmento AD.

89

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Para ilustrar la idea, sea b1 el número de horas de acabado disponibles. Si cambiamos b1 a 100+Δ sabemos que la base será óptima para -20≤Δ ≤20 la solución para el PL será todavía e punto en el que las restricciones de acabado y carpintería son obligatorias. Por lo tanto si cambiamos b1 = 100+Δ se puede encontrar los nuevos valores de las variables al resolver 2x + y = 100 + Δ

y

x + y =80

Esto produce que x=20+Δ, y y=60-Δ lo que significa que si aumentamos el número de horas de acabado da como resultado un aumento de número de soldados producidos y una disminución de trenes producidos.

90

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal De aquí, se calcula el precio sombra P1, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho:

z(60,0)  z(40,0) 180  120 P1    1.5 * b 1  b1 120  80

91

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

max z= 3x + 2y s.a. 2x+y ≤100 x+y ≤80 x ≤40 x, y ≥ 0

92

Segunda restricción. La mayor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en x=0 y y=100, de donde se obtiene: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

z(0,100) = 3·0 + 2·100 = 200 y b2*= 1·0 + 1·100 = 100 La menor variación del coeficiente del lado derecho se alcanza en: x=0 ; y=60, de donde se obtiene: z(0,60) = 3·0 + 2·60 = 120 y b2= 1·0 + 1·60 = 60 Obsérvese que, aunque para 60≤b2≤80 la base actual es óptima los valores de las variables de decisión y de la función objetivo cambian. Por ejemplo si 60≤b2≤80 la solución óptima cambiará del punto B a algún otro punto en el segmento BF. Similarmente si 80≤b1≤100 la solución óptima cambiará del punto B a algún otro punto en el segmento AC.

93

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Ahora, sea b2 el número de horas de carpintería disponibles. Si cambiamos b2 a 80+Δ sabemos que la base será óptima para -20≤Δ ≤20 la solución para el PL será todavía e punto en el que las restricciones de acabado y carpintería son obligatorias. Por lo tanto si cambiamos b2 = 80+Δ se puede encontrar los nuevos valores de las variables al resolver 2x + y = 100

y

x + y =80 + Δ

Esto produce que x=20-Δ, y y=60+2Δ lo que significa que si aumentamos el número de horas de carpintería da como resultado una disminución del número de soldados producidos y un disminución de trenes producidos.

94

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

De aquí, se calcula el precio sombra P2, que indica la razón o tasa de cambio de la función objetivo con respecto al cambio en una unidad del lado derecho: z(0,100)  z(0,60) 200  120 P2   2 * b2  b2 100  60

95

Supongamos que cambiamos b3 = 40+Δ se puede encontrar los nuevos valores de las variables al resolver Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

2x + y = 100

y

x + y =80

Esto produce que la solución original x=20, y y=60. Entonces se puede demostrar que la base actual es óptima para un Δ ≥ -20, lo que significa que si se cambia el lado derecho de esta restricción en el intervalo en la cual la base es óptima, la solución del PL no cambia.

96

II.4. El Método Simplex. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Un PL puede tener restricciones en forma de igualdad o de desigualdad. También pueden tener variables que tienen que ser no negativas o no tener restricción de signo. Para usar el Algoritmo Simplex hay que transformar el PL en un problema equivalente, en el cual:  Todas las restricciones son ecuaciones  Todas las variables son no negativas

Un PL que se encuentra en esta forma está en su forma ESTANDAR. 97

Ejemplo 1 de transformación en su forma Estandar Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Una Empresa produce dos tipos de cinturones: El modelo de lujo y el modelo regular. Cada tipo requiere un metro de cuero. El cinturón regular requiere de una hora de trabajo especializado y el de lujo necesita de dos horas. Se dispone semanalmente de 60 horas de mano de obra especializada y 40 metros de cuero. Si cada cinturón regular y cada cinturón de lujo contribuyen a las ganancias con 3 y 4 dólares cada uno; cual es el plan de producción para generar la máxima utilidad?

98

Si definimos: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

X1 = Número de cinturones de lujo producidos X2 = Número de cinturones regulares producidos El modelo sería: Max Z= 4X1+3X2 s.a. X1+ X2 ≤ 40 (Restricción del cuero) 2X1+ X2 ≤ 60 (Restricción de mano de obra) X1, X2 ≥ 0 (Restricción de no negatividad)

99

El modelo en la forma estandar: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Max Z= 4X1+3X2 s.a. X1 + X2 + S1 = 40 2X1+ X2 + S2 = 60 X1, X2, S1 , S2 ≥ 0

(Restricción del cuero) (Restricción de mano de obra) (Restricción de no negatividad)

100

Ejemplo 2 de transformación en su forma Estandar

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

Min Z= 50X1+20X2 +30X3 +80X4 s.a. 400X1+ 200X2 + 150X2 + 500X2 ≥ 500 3X1 + 2X2 ≥6 2X1 + 2X2 + 4X3 + 4X4 ≥ 10 2X1 + 4X2 + X3 + 5X4 ≥ 8 X1, X2 , X3 , X4 ≥ 0 En la Forma Estadar: Min Z= 50X1+20X2 +30X3 +80X4 s.a. 400X1+ 200X2 + 150X2 + 500X2 –E1 = 500 3X1 + 2X2 –E2 =6 2X1 + 2X2 + 4X3 + 4X4 –E3 = 10 2X1 + 4X2 + X3 + 5X4 –E4 = 8 X1, X2 , X3 , X4 ,E1 ,E2 ,E3 ,E4 ≥ 0 101

Ejemplo 3 de transformación en su forma Estandar Max Z= 20X1+15X2 s.a. X1 Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

≤ 100 X2 ≤ 100 50X1 + 35X2 ≤ 4000 20X1 + 15X2 ≥ 2000 X1, X2 ≥ 0

En la Forma Estadar: Max Z= 20X1+15X2 s.a. X1 +S1 = 100 X2 +S2 = 100 50X1 + 35X2 +S3 = 4000 20X1 + 15X2 –E4 = 2000 X1, X2 ,S1 ,S2 ,S3 ,E4 ≥ 0 102

II.4. El Método Simplex.

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

En lo que sigue consideremos el siguiente programación lineal en su forma estándar: Min c1x1 + c2x2 + ... + cnxn sa a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm xi  0, i = 1, 2, ..., n Matricialmente escrito como: Min cTx s.a. Ax = b x0

y

problema

mn

103

de

En resumen, es posible reformular de manera equivalente el problema usando las siguientes justificaciones: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

1) Siempre es posible llevar un problema de maximización a uno de minimización. Si f(x) es la función objetivo a maximizar y x* es la solución óptima: f(x*)  f(x) ,  x factible - f(x*)  - f(x) ,

 x factible

\ x* es también mínimo de - f(x)

104

2) Cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con un coeficiente nulo en la función objetivo. Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

3) De igual modo, cada restricción del tipo  puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una variable de exceso no negativa. 4) Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas.

105

Considérese un sistema Ax = b de m ecuaciones lineales con n variables (supóngase n≥m)

Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

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II. Modelos de Programación Matemática Programación Lineal

DEFINICION: Se obtiene una solución básica de Ax = b, haciendo n-m variables (variables no básicas VNB) iguales a cero y resolviendo el sistema resultante de m variables que quedan (variables básicas VB).

Naturalmente, las selecciones diferentes de variables no básicas VNB llevaran a soluciones básicas diferentes. La búsqueda de la solución óptima se restringe a encontrar un vértice óptimo y cada vértice del conjunto de las restricciones del problema, llamado región de puntos factibles, corresponde a una solución básica factible del sistema Ax = b. Esta solución básica factible, corresponde a su vez a aquellas soluciones que resultan de resolver el sistema para exactamente m variables, fijando las restantes n-m en cero, llamadas respectivamente variables básicas y no-básicas, que además deben satisfacer condiciones de no-negatividad

106

 II. Modelos de Programación Matemática

EJEMPLO 1 DE SOLUCION BASICA FACTIBLE: Ing. Rodrigo Sempértegui Álvarez

Investigación de Operaciones

Programación Lineal

max Z= 4x1 + 3 x2 s.a. x1 + x2 ≤ 40 2x1 + x2 ≤ 60 x1, x2 ≥ 0

max s.a.

Z= 4x1 + 3 x2 x1 + x2 +s1 2x1 + x2 +s2 x1, x2, s1, s2 ≥ 0

= 40 = 60

Variables

Variables

Solución Básica

Punto

Básicas

No Básicas

Factible

x1,x2

s1,s2

s1=s2= 0

x1= 20

x2= 20

E

x1,s1

x2,s2

x2=s2= 0

x1= 30

s1= 10

C

x1,s2

x2,s1

x2=s1= 0

x1= 40

s2= -20

No es sbf porque s2