ModeloBola_Viga(1)

Modelo Bola‐Viga. Control 1.

21/02/2010

Modelo de la Bola y Viga

M.C. Braulio José Cruz Jiménez

Modelo de la Bola y Viga Para poder obtener el modelo matemático de la bola y viga, asumiremos que la fricción entre la bola y la viga es despreciable. El modelo del sistema se presenta en la figura.

Modelo Bola Y Viga

M.C. Braulio José Cruz Jiménez. Ingeniería  en Mecatrónica.

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Modelo Bola‐Viga. Control 1.

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Modelo de la Bola y Viga Las constantes y variables definidas en el problema son los siguientes: • • • • • • • • •

M: masa de la bola = 28 gr. R: radio de la bola = 19 mm. d: distancia del centro del engrane mayor al brazo =  4 cm L: longitud de la viga = 40 cm θ : ángulo del servo engranaje mayor α : ángulo de la viga con respecto al eje x g: aceleración de la gravedad = 9.8 m/s2 J: momento de inercia de la bola = (2/5)MR2 x: posición de la bola en la viga 

Modelo de la Bola y Viga Las dos fuerzas que influyen en el movimiento de traslación de la bola, se observa en la figura; las cuales son: Ftx : fuerza debido al movimiento de traslación de la bola. Frx : fuerza debido a la rotación de la bola.

DIAGRAMA DE FUERZAS PARA LA BOLA

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Modelo de la Bola y Viga Sabiendo que la aceleración a lo largo del eje x es:  d 2x dt 2

Entonces la fuerza debido al movimiento de traslación es la mostrada en la ecuación. 

Ftx  m x

Donde 



x

d 2x dt 2

Modelo de la Bola y Viga El torque debido a la rotación de la bola es: Tr  Frx R

También se puede expresar el torque en función de la velocidad angular. Tr  J b

Sabemos que la aceleración angular y velocidad son: b 

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 (vb / R) t

vb 

x t

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Modelo de la Bola y Viga Entonces relacionando las ecuaciones anteriores obtenemos:  2 ( x / R) Tr  Frx R  J t 2 Despejando Frx, nos queda: Frx  J

2 (x / R2 ) J  x  R2 t 2

Modelo de la Bola y Viga Sustituyendo el momento de inercia de la bola, descrita en la ecuación anterior, anterior se obtiene la ecuación. J

2 mR 2 5

 2mx    5  2  Frx    mx t 5

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Modelo de la Bola y Viga Aplicando la segunda ley de Newton para las fuerzas que actúan a lo largo del eje x, x obtenemos: Frx  Ftx  mgSen

Sustituyendo Frx y Ftx en la ecuación, obtenemos:  2  m x  m x  mgSen 5 

x

5 gSen 7

Modelo de la Bola y Viga Se puede notar que la ecuación, es no lineal, por lo que aplicaremos un criterio para tratar de que la ecuación sea lineal. El criterio para linealizar, es tratar de realizar una aproximación, dado que para ángulos pequeños el senα = α, entonces se obtiene la ecuación: 

x

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5 g 7

5

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Modelo de la Bola y Viga Aplicando la transformada de Laplace, tenemos: X ( s ) (5 / 7) g   ( s) s2

Sustituyendo el valor de la gravedad (g=9.8 m/seg2), obtenemos la función de transferencia del modelo bola y viga. Esta función relaciona el ángulo de la viga, con la posición de la bola a lo largo de la viga.

X ( s ) (5 / 7) g 7   2 2  ( s) s s Como se observa en la ecuación, este modelo es un doble integrador, de naturaleza inestable.

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