Modelo Matematico

INTRODUCCION A LOS METODOS NUMERICOS 1.0 Modelos físicos y matemáticos Problemas matemáticos y sus soluciones.

Definición: Un modelo matemático puede definirse como una representación simbólica, o simplificada de un fenómeno, en una o varias ecuaciones que expresan las características esenciales de un sistemas físico, o proceso en términos matemáticos.

vd = (vi, p, f) (1) vd = variable dependiente que refleja el comportamiento o estado del sistema. vi = variables independiente como tiempo o espacio a través de las cuales el comportamiento del sistemas será determinado. p = parámetros, son reflejos de las propiedades o la composición del sistema. f = funciones de fuerza, son influencias externas del sistema.

Ejemplo: De la segunda ley de Newton

f=ma; reordenando (2)

Características de este modelo matemático 1.- Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos.

2.- Representa una simplificación de la realidad. 3.- Conduce a resultados predecibles.

Otros modelos matemáticos de fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos. De nuevo si usamos la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final o terminal de un cuerpo, tenemos una expresión de aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo:

(3) Para un cuerpo que cae, la fuerza total es: (4) = la atracción hacia abajo debido a la fuerza de la gravedad. = fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. En donde: (5) (6)

c= coeficiente de la resistencia o arrastre Como la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba, tenemos:

(7)

(8)

Esta ecuación es un modelo matemático que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial o ecuaciones diferenciales. Si las ecuaciones son más complejas se requiere de técnicas avanzadas para obtener una solución analítica exacta o aproximada. Si el objeto esta en reposo, v=0 y t=0, y usando las teorías de cálculo, obtenemos:

(9)

v(t)=variable dependiente t= variable independiente c,m = parámetros g= función de la fuerza Que es la solución analítica o exacta.

Ejemplo 1 Una paracaidista, con una masa de 68.1 Kg salta de un globo aerostático fijo. Con la ayuda de la ecuación (9), calcule la velocidad antes de abrir el paracaídas, coeficiente de resistencia= 12.5 Kg/seg. Datos: m=68.1 c= 12.5 g=9.8 m/seg

Sustituyendo valores se tiene

Graficando:

t,s 0 2 4 6 8 10 12 α

v,m/s 0 16.42 27.76 35.63 41.05 44.47 47.48 53.39

Cuando los métodos numéricos- modelos matemáticos no pueden resolverse, se requiere de una solución numérica que se aproxime a la solución exacta.

Los métodos numéricos son aquellos en los que se formula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas.

Para la segunda ley de Newton, al aproximar a la razón del cambio de la velocidad con respecto al tiempo, tenemos:

(10)

v( )= es la velocidad en el tiempo inicial v( +1) = es la velocidad del tiempo más tarde: +1

Sustituyendo la ecuación (10) en la (8):

Reordenando (11)

A cualquier tiempo: nuevo valor = viejo valor + pendiente x tamaño del paso

Ejemplo 2

Resolver el ejemplo anterior mediante una solución numérica para calcular la velocidad. Emplear tamaño de paso de 2 segundos.

Datos m =61.1 Kg c = 12.5 Kg/s g = 98 m/s

Sustituyendo los valores en la ecuación 11 e iterando para diferentes tiempos se tiene

Sustituyendo:

Entonces

Los resultados numéricos para la solución exacta y la solución numérica se dan en la siguiente tabla En la tabla t, s es el tiempo en segundos, SA corresponde a la solución analítica y SN a la solución numérica

Tabla de resultados t,s 0 2 4 6 8 10 12 α

SN 0 19.6 32 39.85 44.82 48.01 49.05 53.39

SA 0 16.42 27.76 35.63 41.05 44.87 47.48 53.39

Come se ve la solución numérica tiende a la solución analítica.

Y los resultados de la primera son bastante aceptables.

Importancia de los métodos numéricos

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando solo operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

Cálculo de derivas Integrales Ecuaciones diferenciales Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas

Polinomios

Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería industrial, ingeniería química, ingeniería civil, ingeniería eléctrica, mecánica, etc.