Modelo Homeomórfico Lineal Real 2017

 

 

Modelo Homeomórfico Lineal Y Simulación De Movimientos Oculares Sacádicos Jose Emiliano Motta Bittencurt Resumen: Se analiza y propone un modelo del movimiento sacádico ocular. Se desarrolla un modelo lineal real del sistema visual en el que se evita todo tipo de linealización e idealización. Se emplean las características de los músculos músculos basados en ev evidencia idencia fisiológica obtenida en pruebas experimentales. experimentales. Por último se comparan los resultados obtenidos con otros modelos. 1.  Introducción El sistema visual es el sensor más importante del cuerpo humano. Tiene como misión conducir los estímulos visuales del campo periférico de la visión (retina periférica) al campo visual central (fóvea) y mantener la fijación foveal del objeto en movimiento. La fóvea se localiza en el centro de la retina y tiene aproximadamente 1mm de diámetro. Es la zona que permite la mayor resolución y claridad visual del ojo. Un movimiento rápido del ojo es usualmente llamado sacada e involucra movimientos del ojo de una imagen a otra. Este tipo de movimiento es muy común y se lo observa más fácilmente durante la lectura, cuando se alcanza el final de una línea los ojos se mueven rápidamente al comienzo de la siguiente línea. El sistema sacádico es parte del sistema oculomotor que controla todos los movimientos oculares debido a estímulos. Los ojos se mueven en la órbita del sistema oculomotor y esto permite al individuo la localización, visión y seguimiento de objetos en el espacio visual. Cada ojo puede moverse en la órbita en tres direcciones: vertical, horizontal y torsionalmente. Estos movimientos se deben a 3 pares de músculos agonistas-antagonistas. La estrategia global del sistema es mantener la porción central de la retina, llamada fóvea, en el objetivo ob jetivo de interés.

Figura 1

Figura 2

El sistema oculomotor responde a estímulos visuales, auditivos y vestibulares **  los cuales resultan en algunos de los 5 tipos de movimientos oculares. 1- Movimientos Rápidos del Ojo: (sacádicos) utilizados para localizar objetivos. 2- Movimientos de Búsqueda Suave: (persecución lenta) utilizados para seguir objetivos. 3Movimientos Vestíbulo-Oculares: Vestíbulo-Oculares: utilizados para mantener los ojos en el objetivo cuando se mueve la cabeza. 4Movimientos de Vergencia: utilizados para seguir objetivos lejanos y cercanos. 5- Movimientos Optocinéticos: son movimientos reflejos que ocurren cuando se está moviendo en un entorno lleno de objetos o para mantener los ojos en el objetivo durante rotaciones continuas de d e la cabeza. Excepto por los movimientos de vergencia, los otros cuatro movimientos son conjugados. El movimiento de vergencia usa movimientos no conjugados para mantener los ojos en el objetivo. Si éste se acerca, los ojos convergen, de otra manera divergen. El propósito de la fóvea es permitir ver claramente mientras que el de la retina es permitir detectar un nuevo objeto de interés. Una vez detectado, una sacada redirige los ojos tan rápido como sea posible. Durante la sacada, el sistema opera en modo lazo abierto, luego de la misma el sistema opera en lazo cerrado ce rrado para asegurarse que los ojos alcancen el destino correcto. La sacada opera sin realimentación porque la información de la retina y de los músculos propioceptores no es transmitida suficientemente rápido durante el movimiento del ojo para su uso en la alteración de la señal de control. planta oculomotora consiste en tres pares de músculos el globo simplicidad el modelo descriptoLainvolucra solo movimientos horizontales de los músculos yrecto lateralocular. y rectoPor medio Modelos y Simulación de Sistemas Fisiológicos UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 2017

 

 

1.1 Características de la sacada  Los movimientos sacádicos están entre los movimientos mo vimientos musculares más rápidos que el hhumano umano es capaz de producir. En la figura 3 se muestra una sacada de 10 grados. El experimento consiste en un sujeto sentado frente a una  pantalla de LEDs. Se mantiene la mirada en el LED iluminado moviendo sus ojos tan rápido como sea posible  para evitar con errores. Los movimientos sacádicosy una son conjugados una duración típica de 30-100ms latencia de 100-300ms. En la figura se puede observar un  periodo de latencia latencia promedio de 150ms (la gráfica comienza en 100ms) y luego da una sacada de 50ms. 

Figura 3: 3: Datos recogidos con una frecuencia de muestreo de 1000 muestras por segundo. segundo .

Se cree que el periodo de 150mseg es el tiempo que tarda el SNC en determinar si hacer la sacada y en calcular la distancia que debe moverse el ojo, transformando el error retinal en actividad muscular muscular transitoria. Para apreciar las diferencias en las dinámicas de las sacadas, se describirá la siguiente secuencia de diagramas. En la figura 4 se puede observar que la curva comienza como una función lineal y luego se estabiliza a un valor constante para grandes sacadas. Se ha ajustado esta relación a una exponencial. Figura 4

Ecuación (1): α  y β fueron

 =∝∗1−  

evaluados para minimizar el error cuadrático entre el modelo y los datos. V: Velocidad máxima x: tamaño de la sacada α: estado de reposo de la curva SM-PV = 825 β: tiempo constante de la curva c urva SM-PV = 9.3 Figura 5

En la figura 5 se muestran datos que representan una relación lineal entre la duración de la sacada y su magnitud. Si se supone una entrada escalón, entonces los datos podrían sugerir que el sistema es no lineal. Un sistema lineal con una entrada escalón siempre tiene una duración constante. Ya que la entrada no está caracterizada por un escalón, el sistema sacádico no puede ser tomado como no lineal solamente basados en la relación duración-magnitud. 

1.2. El controlador sacádico La tensión transmitida al músculo durante la sacada es e s un pulso más un escalón, o simplemente un pulsoescalón como se puede apreciar en la figura 6. En esta se puede observar la tensión muscular durante una sacada. Es importante distinguir entre la tensión o fuerza generada por  un  un músculo, llamada tensión muscular y la fuerza f uerza generada en el músculo, por el llamado generador de tensión de activo. Este crea internos una fuerzadel en mismo el músculo que es estado transformada por último elementos en una tensión muscular. Esta es externa y medible mientras que la Modelos yde Simulación tensión de estado activo es interna e imposible medir.de Sistemas Fisiológicos UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 2017

Figura 6

 

 

El músculo que está siendo contraído, agonista, es estimulado por un pulso, seguido de un escalón para mantener el globo ocular en su destino. Su opuesto, que está siendo estirado, no está estimulado durante la sacada, o es estimulado por un pulso negativo hacia cero, seguido de un escalón para mantener el globo ocular en su destino. Las figuras siguientes cuantifican estas relaciones para la entrada neuronal agonista Nag, y la entrada neuronal antagonista Nant. Resumiendo, el pulso de entrada siempre es necesario para llevar l levar al ojo hacia el objetivo tan rápido como sea posible y el escalón para mantener el ojo en el mismo. Figura 8

Figura 7

Por simplicidad τac y τde (tiempos de activación y

desactivación) son tomados como idénticos para ambas

actividades, agonista y antagonista.

2. DESARROLLO DE UN MODELO DE MÚSCULO OCULOMOTOR Un modelo exacto del músculo es esencial en el desarrollo de un modelo del movimiento mo vimiento sacádico ocular, el cual es controlado por los músculos mú sculos lateral y medio recto. Existen muchos modelos matemáticos, los cuales en general dependen únicamente de la inercia del d el globo ocular, la fricción en el movimiento del mismo, la elasticidad debida al nervio óptico y otros elementos. Aquí, el desarrollo histórico del modelo ocular es encarado de una manera diferente. Esta investigación involucra un amplio rango de temas, pero se enfoca en un macro-modelo  basado en la evidencia fisiológica obtenida en pruebas experimentales. Los elementos del modelo, tal como son presentados, consisten en un generador de tensión de estado activo como entrada, elementos elásticos y elementos elemento s viscosos. Cada uno de estos introducidos de manera separada para luego, en el modelo muscular final, integrar cada uno de ellos.

2.1. Elasticidad pasiva Para investigar las propiedades de la elasticidad pasiva del musculo, se procede a estirar un musculo no excitado y a volcar los datos de tensión obtenida en una cu curva, rva, figura 9. La tensión requerida para eestirar stirar un músculo no es una función lineal de la distancia, se la modela como un resorte no lineal. Observar que la longitud inicial es distinta de cero, es así ya que los músculos en estado de reposo se encuentran estirados en una longitud de 3mm aproximadamente. La longitud del mismo en el estado mencionado es de 37mm. Para ser útil en un modelo lineal del músculo, la figura 9 debe ser linealizada en la vecindad de un punto de Figura 9 operación. Este punto debe ser alguno centrado en una región en la cual el resorte opera. En la figura vista una línea tangente a la curva en la primera posición provee una aproximación lineal correspondiente al comportamiento del resorte en esa región. Las siguientes relaciones son válidas para una esfera que representa un globo ocular de 11mm de radio:

−3

 

1=9.806∗ 10 −  1°=0.192=1.92∗10 Modelos y Simulación de Sistemas Fisiológicos UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 2017

 

 

La pendiente a la línea kpe es aproximadamente:

−3  1° =10.2    9.806∗10    =0.2 ° =0.2 ° ∗ 1 ∗ 1.92∗10 −  Ésta pendiente representa la elasticidad del elemento elástico pasivo. La elección de la región de operación es de vital importancia teniendo en cuenta la pendiente a la curva. En este caso, se eligió dicho punto en la región histórica de operación del musculo estudiado.

2.2. Generador de tensión de estado activo En general un músculo produce una fuerza que es proporcional a la cantidad de estimulación. El E l elemento responsable de esa cantidad de estimulación es el “generador de tensión de estado activo: T”. En la figura 10  se  puede observar observar un modelo que incluye al generador junto junto con el elemento elástico pasivo pasivo descrito anteriormente. Figura 10

La relación entre el generador de tensión de estado activo, la tensión de estado activo y la elasticidad está dada por:

 =      Los experimentos para medir el valor de T eran realizados durante cirugías de estrabismo, cuando los músculos eran separados y re-unidos para corregirlos en los casos en que estos estaban cruzados. Se asumía que a cada ojo se enviaba la misma señal neural (ley de Hering) El músculo recto lateral desprendido era estirado y los datos eran volcados en una curva. De los resultados obtenidos en estos experimentos se concluyó que la tensión de estado activo produce un efecto no lineal en la fuerza o bien el modelo era equivocado. De manera empírica también se halló que era necesario introducir un nuevo elemento elástico de valor 0.8 g/° = 40.86 N/m al modelo, figura 11, quedando este descrito por la ecuación:

 =       

Figura 11

2.3.1. Elemento elástico en serie  Nuevos experimentos mostraron la necesidad de la adición de un elemento elástico en serie al resto del conjunto previamente presentado. El protocolo para este nuevo experimento (figura 12), llamado de relajación rápida, se describe a continuación: a-  Una pesa es colgada de un musculo  b-  El musculo es totalmente estimulado en el tiempo t1. c-  La pesa es retirada del musculo en el tiempo t2. En el tiempo t2  el musculo cambia su longitud casi instantáneamente. El único elemento que puede cambiar instantáneamente es un resorte. Así para los cálculos de este comportamiento, un resorte, llamado elemento elástico serie  K se, es conectado en serie con el elemento el emento de tensión de estado activo. El nuevo modelo muscular se muestra en la figura 13.

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Figura 12

Figura 13

Basados en estos experimentos K se tiene un valor estimado de 125 N/m (2.5 gm/°). Dado que el valor de K se es diferente de K , otro elemento elástico fue necesario para calcular su comportamiento real.

2.3.2. Elemento elástico de longitud-tensión longitud -tensión Dada la desigualdad entre Kse y K , un nuevo “elemento elástico de logitud-tensión”, Klt, es puesto en  paralelo con F, figura figura 14(a). Para facilitar el análisis Kpe, (elasticidad pasiva) pasiva) es removida, figura 14(b)

(a) 

Figura 14

(b)

El análisis inicia con la suma de las fuerzas que actúan en los nodos 1 y 2:

   =         =        →  =     Substituyendo x2 de (b) en (a):

 =         =  ∗   ⋯  …  ∗      =  ∗         ∗   =            =  ∗     ∗              y pendiente  . Esta última es una ecuación para una línea recta con intercepción en y en  +  +  

 

La pendiente de la curva longitud-tensión hallada empíricamente como se dijo antes tiene un valor K = 0.8 g/° = 40.86 N/m. Así:

 =  =40.86=>=>  =  =60.7/  Modelos y Simulación de Sistemas Fisiológicos UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDESTE 2017

 

 

2.4. Relación fuerza-velocidad Se demostró que los músculos tienen propiedades tanto elásticas como viscosas. Fueron ensayados bajo condiciones isotónicas (fuerza constante), figura 15 para investigar su viscosidad. El músculo y la carga eran unidos a una palanca de alta relación. La palanca p alanca reduce la fuerza de gravedad de la carga en el músculo por sobre la relación de la palanca, y la fuerza inercial de la carga ca rga por sobre la relación cuadrática de la palanca. De acuerdo con las condiciones experimentales, el músculo es estirado hasta su longitud óptima al inicio del experimento. Luego se agrega una carga M, estimulando el músculo y grabando su posición. Las dos curvas de la figura 17 representan el curso del tiempo del experimento para una pequeña y una gran carga. 

Figura 15

Figura 16

Figura 17

La duración de ambas respuestas son aproximadamente iguales independientemente de la carga. Cuanto más pesada es la carga, menor será el acortamiento total. La velocidad máxima es calculada numéricamente a  partir de los datos de posición. Para estimar la viscosidad del músculo, este experimento es repetido con muchas cargas en la misma estimulación. La figura 17 muestra la relación típica de la relación Carga-Velocidad Máxima (P/Po), donde P = Mg y Po es la tensión isométrica para la l a máxima estimulación del músculo (el mayor peso que el músculo es capaz de mover). Esta curva curva se llama FUERZA-VELOCIDAD, FUERZA-VELOCIDAD, es una cur curva va no lineal, tiene una forma hiperbólica. Si un estímulo menor al máximo es aplicado al músculo, entonces se obtiene la familia de curvas de la figura 18, en la cual cada una genera un estado de tensión activa diferente. Se puede advertir que esta familia es similar a la curva de la figura 17 (de máxima tensión). En particular, la pendiente de la curva para  pequeños valores de tensión tensión de estado activo es bastante diferente de la de un valor grande en la región operativa del músculo ocular (800°/s). Figura 18

Figura 19

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Para incluir los efectos de la viscosidad del experimento isotónico en el modelo muscular, un elemento viscoso es colocado en paralelo con el generador de tensión de estado activo y el elemento de longitud-tensión elástico, figura 19.

3. Modelo lineal del movimiento sacádico ocular Bahill, presentó en 1980 un modelo lineal de cuarto orden de la planta oculomotora horizontal que  proporciona una excelente coincidencia entre las predicciones del modelo y los datos del movimiento horizontal de los ojos. Este modelo elimina elimina las diferencias las predicciones de velocidad y aceleración observ observadas adas en modelos  previos.

Figura 20: componentes mecánicos de la planta oculomotora. o culomotora. Los músculos se muestran extendidos desde el equilibrio, una  posición de reposo (primaria), de acuerdo a la evidencia fisiológica. La longitud promedio del musculo recto en la posición  primaria es de aproximadamente 40mm, y la posición de equilibrio es 37mm aproximadamente. θ es el ángulo en que el

globo ocular este desviado de la posición primaria y la variable x es la longitud del arco recorrido. Cuando el ojo está en su posición de primaria, tanto θ como x valen 0. Las variables x1, x2, x3 y x4 son los desplazamientos desde equilibrio de los elementos rígidos en cada músculo. Los valores de Xp1, Xp2, Xp3 y Xp4 son los valores de las variables x respectivamente. La extensión extensión total tot al del musculo desde el equilibrio a la posición primaria es la suma desde Xp1 hasta Xp4, la cual es de aproximadamente 3mm. Se asume que los músculos lateral y medio rectos son idénticos, de manera que Xp1 es igual a Xp4 y Xp2 es igual a Xp3. El radio del globo ocular es r.] 

Figura 20

En la figura 20 se observa o bserva al musculo agonista modelado como una combinación en paralelo del generador de tensión de estado activo F ag, el elemento de viscosidad Bag, y el elemento elástico K lltt conectados en serie al elemento elástico serie K ssee. El músculo antagonista es similarmente modelado como una combinación en paralelo del generador de tensión de estado activo Fant, el elemento de viscosidad B ant, y el elemento elástico K lltt conectados en serie al elemento elástico serie K ssee. El globo ocular es modelado como una esfera con momento de inercia J p, conectado a un elemento de viscosidad B p y el elemento elástico K  p. La elasticidad pasiva en cada músculo está incluida en el resorte K  p. Este modelo es lineal, pero sus elementos están basados en aproximaciones (aproximación lineal de fuerzavelocidad y las curvas de elasticidad). Se evita la linealización de componentes con un nuevo modelo.

4. MODELO REAL, LINEAL Y HOMEOMÓRFICO DEL MOVIMIENTO SACADICO OCULAR  

Figura 21

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La figura 21 ilustra los componentes del modelo actualizado de la planta sacádica oculomotora, los músculos lateral y medio recto y el globo ocular. El músculo agonista (contracciones) es modelado como una combinación en paralelo de la viscosidad B 2 y la elasticidad serie K sese, conectados a la combinación en paralelo del generador de tensión de estado activo F ag, el elemento de viscosidad B1 y el elemento elástico tensión-longitud K lltt. Por simplicidad la viscosidad agonista es configurada como igual a la viscosidad antagonista. El músculo antagonista es similarmente modelado con el cambio adecuado en el generador de tensión de estado activo F ant. Cada uno de estos elementos son ideales y lineales. El globo ocular es modelado nuevamente como una esfera con momento de inercia J p, conectado a un par de elementos viscoelásticos puestos en serie. Estos elementos provienen de la siguiente observación experimental: “Cuando el ojo humano,  con el musculo recto horizontal desprendido es movido y repentinamente liberado, este retorna rápidamente el 61% de su camino a tiempo constante (0.02 seg), y el resto del camino en un tiempo de 1seg”. Como se puede observar, hay al menos dos elementos vi scoelásticos. Aquí se propone que esos dos elementos reemplacen el elemento simple de la planta oculomotora anterior. Entonces conectadas a llaa esfera esta en paralelo B p1 y K  p1, estos en serie con el paralelo de B p2 y K  p2. La elasticidad total orbital es 12.8x10-7 g/°. Los elementos orbitales viscoelásticos son evaluados como: K  p1= 1.28x10-6 g/°; K  p2= 1.98x10-6 g/°; B p1= 2.56x10-8gs/°; B p2= 1.98x10-6gs/°. θ5 es la variable asociada con el cambio en el equilibrio de esos dos Ambos θ y θ5 son removidos del análisis por simplicidad utilizando entonces:

pares de elementos viscoelásticos.

57.29 57.29 =     =      Sumando las fuerzas actuando en las uniones 2 y 3 y los torques actuantes en el globo ocular y la unión 5, un grupo de 4 ecuaciones se forman para describir la planta oculomotora.

 =    ̇        ̇̇  ̇  ̇   ̇3    3 =    3  ̇3  ̇  ̇ 3̇   ̇      3      =̈  3̇ ̇           3̇ ̇  = ̇    Donde:

  = 57.296 ; 3 = 57.296 ;  = 57.296 ;  = 57.296 ;  = 57.296      por medio de Laplace   Analizando en un punto p untode operación dado obtenemos:  (   )  3  ( ̇     ̈  )  ̈        ̇  )  3(     = ̂  ⃛3      ̈   ̇    ̂ =     44      Donde: B12 = B1+B2 ,

B34 = B3+B4 ,

K 12 12 = K 1+K 2 ,

C4 = JB12B34  C3 = B3B4B12 + 2B1B2B34 + JB34K stst + JB12K 12 12  C2 = 2B1B34K sese + JK sseeK 12 12 + B3B34K st st + B3B12K 12 12 + K 1B12B34  -

B3K   - 2K B B

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st st

1 3 12 +

2B2K llttB34 + 2B1K 1122B2 

 

 

–  K  C1= 2K ltltB34K sese + 2B1K 12  K ststK 1B3  12K ssee + B3K st stK 2 + K 1B34K st st + K 1B12K 1122  – 

-K ststK 1B3 -

KB

12 +

2B2K llttK 1122 

C0= 2K ltlt K seseK 12 12 + K 1K st stK 2  Convirtiendo de x a θ, tenemos:

[(  )    ( ̇    ̇  )   (    ̈       ̈  )]

 

=   ⃛      ̈   ̇    57.296 , 3 = 3 ,  =  ,  =  ,  =    =      3 175     ≥ 0°   = {0.0.44  0.0.000175 0125 125     ≤ 0°

Donde:

Las tensiones de estado activas agonistas y antagonistas provienen de las figuras 8 y 9, las cuales no incluyen periodos de latencia y están dadas por las siguientes formas de onda filtradas por medio de filtros pasa  bajos.

 ̇  =         ̇ =       neuronal (formas deonda pulso-escalón) entonces:  son las entradas de control  =  ( (  1 1)   1   =  ( (  1 1)   1 

Donde Nag y Nant

Basados en el análisis experimental, los parámetros estudiados para la planta oculomotora son: K sese = 125 K ltlt = 60.7 Nm-1, B1 = 2.0 Nsm-1, B2 = 0.5 Nsm-1, J = 2.2x10-3 Ns2m-1, B3 = 0.538 Nsm-1, B4 = 41.54 Nsm-1, K 1 = 26.9 Nm-1, K 2 = 41.54 Nm-1 y r = 0.0118 m.

 Nm-1,

Las simulaciones de los movimientos sacádicos con este modelo tienen características que están muy de acuerdo con los datos, incluyendo posición, velocidad y aceleración. Además, la relación entre la magnitud del  pulso agonista y la duración duración del pulso está estrechamente estrechamente acoplada.

5. Simulaciones. Resultados. Planta completa:

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Bloque de entrada:

Entrada Agonista:

Entrada Antagonista:

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Posición

Velocidad

Aceleración

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Workspace de Matlab

6. Conclusiones Se ha propuesto un modelo ocular para estudiar los movimientos sacádicos basado únicamente en la fisiología muscular, la fuerza generada en los músculos, la viscosidad y la elasticidad de los mismos. modelo funcionó arrojando ser curvas a loSe calculado y diseñado. Contrastadas con los datosElobtenidos de maneracorrectamente, experimental resultaron muyacorde similares. puede verificar que es posible realizar modelos evitando linealizaciones. Las restricciones de este modelo son que está diseñado para una duración de sacada de 50 mseg aproximadamente y que la velocidad de pico se encuentra por encima del valor real pero conservando el mismo comportamiento.

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