Modelo diseño anidado

DISEÑO FACTORIAL Niveles de B Niveles de A 1 2 3 y11 y12 y13 1 2 y21 y22 y23 y31 y32 y33 3 4 y41 y42 y43

4

5

y14 y24 y34 y44

y15 y25 y35 y45

Todos los niveles de cada factor están combinados con todos los niveles de los restantes factores

MODELO JERÁRQUICO (0 ANIDADO) Ciertos niveles de B están ligados a ciertos niveles de A. Niveles de B Niveles de A 1 2 3 4 5 1 y11 y12 2 y23 3 y34 4 y45 La presencia de un nivel de B depende de la de un cierto nivel de A; en este caso diremos que el factor B está anidado en el factor A, y con B j(i) indicaremos que el j ¡ésimo nivel de B corresponde al i-ésimo de A.

Modelo equilibrado: Un factor anidado con el mismo número de observaciones por celda

Modelo no-equilibrado: Un factor anidado con distinto número de observaciones por celda

1

DISEÑO JERÁRQUICO CON UN FACTOR ANIDADO Y EL MISMO NÚMERO DE OBSERVACIONES POR CELDA 1) Distinto no de niveles del factor anidado por cada nivel del factor principal MODELO ESTADÍSTIC0 yijk = µ + τ i + β  j (i) + u(ij)k

: la media global τ i : el efecto del nivel i¡ésimo del factor A; (i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a) β  j (i) : el efecto producido por el nivel j¡ésimo del factor B dentro del nivel i¡ésimo del factor A, ( j = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , bi) (k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r) : r es el número de réplicas µ

n:

número de observaciones:

u(ij)k

n=r

X

i

bi

: el error experimental. Variables aleatorias independientes

N (0,σ)

NO HAY INTERACCIÓN: CADA NIVEL DE B NO APARECE CON CADA NIVEL DE A.

MODELO DE EFECTOS FIJOS A

y B son fi jos:

X

a i=1

τ i = 0;

X

ri

 j=1

2

β  j(i) = 0 (para i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a).

ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA SCT  = SCA + SCB(A) + SCR

H0 ´ τ i=0 ; 8i F. V. Fac. A

SCR =

a

X ÃX X ! X X X

1 SCA = r

i=1

2 2 yi:: y::: ¡ bi n a

2

yij: ¡

i;j

2 yijk ¡

i;j;k

TOT.

H0 ´ β  j(i) =0 ; 8i,j

Tabla ANOVA para el modelo de efectos fi jos S. C. G. L. C. M.

1 B en A SCB(A) = r

Error

;

1 r

i=1

a¡1

CM A

R¡a

CMB(A)

R(r ¡ 1)

CM R

n¡1

CMT 

2 yi:: bi

2 yij:

i;j;k

2 y::: yijk ¡ n

R : el número total de niveles del factor B R = n el número total de observaciones. n = r £ SC A ¡ 1 = CMA Fexp(A)= aSCR CMR R(r ¡ 1)

Bajo H 0 Fexp(A)

Ã

Bajo H 0 Fexp(A(B))

X

i

X

i

bi

bi

SCB(A) ¡ a = CMB(A) Fexp(A(B))= R SCR CMR R(r ¡ 1)

;

F a¡1;R(r¡1) Ã

CMB(A) CM R

i;j

2

SCT  =

F exp CMA CM R

F R¡a;R(r¡1) 3

MODELO DE EFECTOS ALEATORIOS Los niveles de A son una muestra aleatoria de una población N (0; σA) Los niveles de B son una muestra aleatoria de una población N (0; σB ) Contrastes: H 0 ´ σ2A = 0 y H 0 ´ σ2B = 0, respectivamente

MODELO DE EFECTOS MIXTOS A es el factor de efectos fi jos . H 0 ´ τ i = 0 B el factor de efectos aleatorios. H 0 ´ σ 2B = 0

Tabla ANOVA. Modelo de efectos aleatorios y mixtos S. C. G. L. C. M.

F. V. Fac. A

1 B en A SCB(A) = r

Error

SCR =

a

X ÃX X ! X X X

1 SCA = r

i=1

2 2 yi:: y::: ¡ bi n a

2 ¡ yij:

i;j

2 ¡ yijk

i;j;k

TOT.

1 r

i;j;k

F a¡1;R¡a

CM A

R¡a

CMB(A)

R(r ¡ 1)

CM R

n¡1

CMT 

CMB(A) CM R

i;j

2 y::: ijk ¡ n

SCA CM A Fexp(A)= a ¡ 1 = SCB(A) CMB(A) R¡a Ã

2 yij:

y2

SCT  =

Bajo H 0 Fexp(A)

i=1

2 yi:: bi

a¡1

F exp CMA CMB(A)

SCB(A) ¡ a = CMB(A) Fexp(A(B))= R SC R CM R R(r ¡ 1)

;

Bajo H 0 Fexp(A(B)) 4

Ã

F R¡a;R(r¡1)

Ejemplo. Diseños con un factor anidado (no-balanceado) Una entidad bancaria tiene siete sucursales en tres ciudades, distinguiéndose éstas por su distinto carácter económico. En la central del banco están interesados en saber si la diferente captación de clientes, medida por el volumen de las cuentas corrientes, entre unas sucursales y otras, así mismo entre ciudades, se debe al hecho de ser las ciudades diferentes económicamente, a la labor de los directores de las sucursales, o a ambas cosas a la vez. Para contrastar estas posibles fuentes de variabilidad, se decide utilizar un diseño factorial jerárquico (los niveles del factor sucursales no pueden combinarse con todos y cada uno de los niveles del factor ciudades) y se toma una muestra de tres cuentas corrientes en cada sucursal, en miles de ptas. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Sucursales Suc. 1 Suc. 2 Suc. 1 Suc. 2 Suc. 3 Suc. 1 Suc. 2 1150 1120 1060 1043 1020 800 835 1157 1119 1050 1048 1010 860 810 1148 1125 1056 1052 1030 827 870 yij. 3455 3364 3166 3143 3060 2487 2515 yi.. 6819 9369 5002 Modelo jerárquico con un factor anidado: las sucursales están jerarquizadas según las ciudades.

X X

SCT  =

y2

ijk

i;j;k

1 SC A = r

3

i=1

2 y::: (21190)2 2 2 ¡ = (1150) + ¢ ¢ ¢ + (870) ¡ = 298766,96 n 21

· X X

¸

2 2 yi:: y::: 1 (6819)2 (9369)2 (5002) 2 (21190)2 ¡ = + + ¡ = bi n 3 2 3 2 21

= 291204,12

1 SCB(A) = r

·

i;j

2 ¡ 1 yij: r

a

i=1

£

¤

2 yi:: 1 = (3455)2 + (3364)2 + ¢ ¢ ¢ + (2515)2 ¡ bi 3

¸

1 (6819)2 (9369) 2 (5002)2 ¡ + + = 3583,5 3 2 3 2 SCR = SCT  ¡ SC A ¡ SCB(A) = 3979,33 5

F. V. S. C. G. L. C. M. Factor A SCA = 291204,12 2 CMA = 145602,06 Fact B en A SC B(A) = 3583,50 7 ¡ 3 = 4 CMB(A) = 895,8750 Error SCR = 3979,33 2 £ 7 = 14 CMR = 284,2381 TOTAL SCT  = 298766,96 20 Modelo de efectos fi jos: Ciudades (factor A) y Sucursales (factor B ). son de efectos fi jos. H 0A ´ τ i = 0 y H 0B(A) ´ β  j(i) = 0 F.V. g.l. C.M. F exp Factor A 2 CMA = 145602,06 CMA/CMR = 512,254 Fact B en A 4 CMB(A) = 895,8750 CMB(A)/CMR = 3,152 Error 14 CM R = 284,2381 Si α = 0.05, como F exp(A) = 512,254 > F 0,05;2,14 = 3,74, la captación de clientes es significativamente distinta en los tres tipos de ciudades, debido al hecho de su distinto carácter económico y F exp(A(B)) = 3,152 > F 0,05;4,14 = 3,11 la labor de los directores de sucursal también es signi ficativamente distinta. Modelo de efectos aleatorios: Ciudades (A) y Sucursales (B) son de efectos aleatorios H 0A ´ σ 2A = 0 y H 0B(A) ´ σ2B = 0 F.V. g.l. C.M. F exp Factor A 2 CMA = 145602,06 CMA/CMB(A) = 162,525 Fact B en A 4 CMB(A) = 895,8750 CMB(A)/CMR = 3,152 Error 14 CM R = 284,2381 Si α = 0.05, como F exp(A) = 162,525 > F 0,05;2,4 = 6,94, los distintos niveles del factor A (Ciudades) son significativamente distintos y F exp(B(A)) = 3,152 > F 0,05;4,14 = 3,11 también son significativamente distintos los efectos del factor B (sucursales). Modelo de efectos mixtos: Ciudades (A): Efectos fi jos y Sucursales (B): Efectos aleatorios. Los contrastes H 0A ´ τ i = 0 8i y H 0B ´ σ2B = 0 se resuelven como en el modelo de efectos aleatorios llegándose a las mismas conclusiones. 6

2) Igual no de niveles del factor anidado en todos los niveles del factor principal MODELO ESTADÍSTIC0 yijk = µ + τ i + β  j(i) + u(ij)k

8< :

i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a  j = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , b k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r

Diseño anidado balanceado : El mismo no de niveles de B dentro de cada o

nivel de A y el mismo n de réplicas.

EJEMPLO Consideremos una compañía que compra su materia prima a tres diferentes proveedores. La compañía desea determinar si la pureza de la materia prima de cada uno de los proveedores es la misma. Hay cuatro lotes de materia disponible de cada proveedor y se hacen tres determinaciones de la pureza de cada lote. Modelo Jerárquico con un factor anidado (balanceado) Proveed. 1 2 3 Lotes 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 Observ.

4

y111 y121 y131 y141 y211 y221 y231 y241 y311 y321 y331 y341 y112 y122 y132 y142 y212 y222 y232 y242 y312 y322 y332 y342 y113 y123 y133 y143 y213 y223 y233 y243 y313 y323 y333 y343

Es un modelo jerárquico con un factor anidado, donde los lotes están jerarquizados según los proveedores. Los lotes de un proveedor son únicos para ese proveedor en particular, es decir, el lote 1 del proveedor 1 no tiene relación con el lote 1 de cualquier otro proveedor (igual para los restantes lotes). Si los factores fuesen cruzados el lote 1 siempre sería el mismo para cualquier proveedor y lo mismo ocurriría con los demás lotes) 7

Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado) Un compañía compra su materia prima por lotes a tres proveedores. La pureza de la materia prima varía considerablemente, se desea determinar si la variabilidad en la pureza puede atribuirse a diferencias entre los proveedores. Para ello, selecciona al azar cuatro lotes de materia prima y se hacen tres determinaciones de la pureza sobre cada lote. Proveedores Lotes Observaciones

1

2

1

2

3 4 1 2 3 4 1 2

1 ¡2 ¡2 ¡1 ¡3 0 0 ¡4 1

1 4 0

1 ¡2 ¡3

0 4 2

¡1 0 ¡2

0 3 2

2 4 0

3

3 4 1 3

¡2 0 ¡1 2 2

2 1

Modelo de efectos mixtos: el factor proveedor es fi jo y el factor lote es aleatorio. El efecto lote-dentro-proveedor también se trata como de efecto aleatorio porque contiene un factor aleatorio. F.V. Factor A Fact. B en A Error TOTAL

S. C.

G. L.

15,056 2 69,917 4 £ 3 ¡ 3 = 9 63,3333 12(3 ¡ 1) = 24 148,306 35

C.M 7,528 7,769 2,639

F exp 7,528/7,769 = 0,969 7,769/2,639 = 2,944

Si α = 0,05 se observa que el efecto proveedor (F 0,05;2,9 = 4,26) no es significativo y el efecto lotes-dentro-proveedor ( F 0,05;9,24 = 2,30) si es significativo.

8

Ejemplo: Diseños con un factor anidado (balanceado) Con el propósito de estudiar el rendimiento de cinco máquinas diferentes, se realiza un experimento en el que cada máquina es operada por cuatro diferentes operarios y se seleccionan y prueban cuatro piezas de cada operador y se mide el tiempo que tardan en realizarlas. Debido a que las máquinas están en diferente localidad no es posible usar los mismos operarios en cada máquina; además los operarios se eligen al azar. Operario A 1 6,2,0,8 2 13,3,9,8 3 1,10,0,6 4 7,4,7,9

Máquinas B C 10,9,7,12 0,0,5,5 2,1,1,10 10,11,6,7 4,1,7,9 8,5,0,7 0,3,4,1 7,2,5,4

D 11,0,6,4 5,10,8,3 1,8,9,4 0,8,6,5

E 1,4,7,9 6,7,0,3 3,0,2,2 3,7,4,0

Modelo de efectos mixtos: El factor “Máquina” es de efectos fi jos y el factor “Operario” es de efectos aleatorios. F.V. Factor A Fact. B en A Error TOTAL

S. C.

G. L.

45,075 282,875 642,000 969,950

4 20 ¡ 5 = 15 20(4 ¡ 1) = 60 79

C.M

F exp 11,269 11,269/18,858 = 0,598 18,858 18,858/10,700 = 1,762 10,700

Si α = 0,05 ni el efecto máquina ( F 0,05;4,15 = 3,06) ni el efecto operario-dentromáquina (F 0,05;15,60 = 1,84) son significativos.

9

DISEÑO JERÁRQUICO FACTORIAL DISEÑO JERÁRQUICO Y FACTORES CRUZADOS MODELO ESTADÍSTICO yijkl = µ + τ i + β  j + γ k( j ) + (τβ )ij + (τγ )ik( j ) + u(ijk )l

: la media global τ i : el efecto del nivel i¡ésimo del factor A; (i = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , a) β  j : el efecto producido por el nivel j¡ésimoel factor B ;( j = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , b) γ k( j ) : el efecto producido por el nivel k¡ésimoel factor C  dentro del nivel  j¡ésimo del factor B; (k = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , c) (τ β )ij : el efecto producido por la interacción A £ B µ

(τ γ )ik( j) : el efecto producido por la interacción del factor A £ C  dentro del factor B (l = 1, 2, ¢ ¢ ¢ , r) donde r denota el número de réplicas

: el error experimental. Se suponen variables aleatorias independientes N (0, σ) C  está anidado en B ) no existen las interacciones B £ C  ni A £ B £ C. A está cruzado con B y C  ) Puede existir interacción entre A£B y A £ C  u(ijk )l

ECUACIÓN BÁSICA DEL ANÁLISIS DE LA VARIANZA

SCT  = SC A + SCB + SC (A £ B) + SC (C (B)) + SC (A £ C (B)) + SC R 10

SCT  =

X X

i:j:k:l b

SCB =

 j =1

2 y:::: 2 yijkl ¡ abcn

2 2 y:j:: y:::: ¡ acn abcn

SC (A £ B) =

X i;j

SC (A £ C (B)) =

a

X

2 2 yi::: y:::: SCA = ¡ bcn abcn i:=1

SC (C (B)) =

b 2 2 y:jk: y:j:: ¡ . an acn  j =1

X X  j;k

2 2 yij:: y:::: ¡ ¡ SCA ¡ SCB cn abcn b 2 2 yij:: y:j:: + ; cn  j=1 acn

X X X X i;j;k

2 yijk: ¡ n

 j;k

2 y:jk: ¡ an

i;j

SCR = SCT  ¡ SCA ¡ SCB ¡ SC (A £ B) ¡ SC (C (B)) ¡ SC (A £ C (B))

F.V.

Tabla ANOVA. Diseño jerárquico factorial S. C. G. L. C.M

F exp CMA A (F) SCA a¡1 CMA CM (AC (B)) CMB B . (F) SCB b¡1 CMB CM C (B) CM C (B) C en B SC C (B) b(c ¡ 1) CMC (B) CMR CM (AB) A£B SC (AB) (a ¡ 1)(b ¡ 1) CM (AB) CM (AC (B)) CM (AC (B)) A £ C  en B SC (AC (B)) b(a ¡ 1)(c ¡ 1) CM (AC (B)) CMR Error SCR abc(r ¡ 1) CMR TOTAL SCT abcr ¡ 1 CM T 

11

Ejemplo: Diseños con un factor anidado y dos factores cruzados En un experimento se trata de mejorar la rapidez de ensamblaje en una línea de producción, para ello se estudia la intersección manual de componentes electrónicos en circuitos impresos. Se diseñan tres aparatos para ensamblar y dos distribuciones del lugar de trabajo. Se requiere que los operadores realicen el ensamblaje y se decide seleccionar a cuatro para cada combinación aparatodistribución. Sin embargo, no se pueden probar a los mismos cuatro operadores en cada distribución de lugar de trabajo debido a que los lugares de trabajo están en diferentes localidades dentro de la planta. Por lo tanto, los cuatro operadores de la distribución 1 son diferentes a los de la distribución 2. Se obtienen aleatoriamente dos réplicas de cada combinación de tratamientos de este diseño. Los tiempos de ensamblaje se muestran en la siguiente tabla Distribución 1 1 2 3 4

Operario Aparato 1

22 24 30 27 25 21 149

Aparato 2 Aparato 3 yij.. y.j..

SCT  =

X X X

i:j:k:l

SCA =

SCB =

23 28 24 29 29 30 28 32 24 27 22 25 150 171 619

Distribución 2 1 2 3 4

25 23 27 25 26 23 149

26 28 29 28 27 25 163

27 28 25 25 30 24 27 23 26 24 24 27 159 151 633

2 y:::: (1252)2 yijkl ¡ = 32956 ¡ = 299,67 abcr 48 2

2 yi:::

i

bcr 2 y:j::

 j

acr

2 y:::: (1252)2 ¡ = 32739,13 ¡ = 82,80 abcr 48

2 y:::: (1252)2 ¡ = 32660,42 ¡ = 4,08 abcr 48

12

24 23 28 30 28 27 160

yi... 404 447 401 1252 = y....

X

2 yij::

2 y:::: (1252)2 SC (A £ B) = ¡ ¡ SCA ¡ SCB = 32762,25 ¡ ¡ cr abcr 48 = 82,80 ¡ 4,08 = 19,04. i;j

X X X X X X 2 y:jk:

SC (C (B)) =

 j;k

ar

2 y:j::

¡

 j

acr

2 yijk:

SC (A £ C (B)) =

i;j;k

= 32732,33 ¡ 32660,42 = 71,91 2 y:jk:

¡

 j;k

2 yij::

¡

i;j

+

2 y:j::

 j

= r ar cr acr = 32900 ¡ 32732,33 ¡ 32762,25 + 32660,42 = 65,84

SCR = SCT ¡SC A¡SCB¡SC (A£B)¡SC (C (B))¡SC (A£C (B)) = 56

F.V. S. C. G. L. C.M F exp 82,80 2 41,40 41,40/5,49 = 7,54 Factor A (F) Factor B. (F) 4,08 1 4,09 4,09/11,99 = 0,34 Fact. C en B 71,91 6 11,99 11,99/2,33 = 5,15 Inter. A £ B 19,04 2 9,52 9,52/5,49 = 1,73 Inter. A £ C  en B 65,84 12 5,49 5,49/2,33 = 2,36 Error 56 24 2,33 TOTAL 299,67 47 CMT  Al nivel de significación del 5 %, son significativos los efectos de los aparatos (factor A), de los operadores dentro de las distribuciones (factor C  en B) y de la interacción entre aparatos y operadores dentro de las distribuciones (factor A £ C  en B).

13