Modelo Dinámico UPIITA Práctica

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS

Análisis y Síntesis de Mecanismos

Práctica No. 9 Modelo Dinámico: Mecanismo multi-lazo. Equipo No. 8 Integrantes: Meléndez González Abisay Valencia Vidal Abraham

Profesor: Flores Campos Juan Alejandro Grupo: 2MM1

Fecha de elaboración y entrega: 14 noviembre 2015

OBJETIVOS     

Implementar al análisis de posición simbólica para el mecanismo multi-lazo en Mathematica. Obtener los coeficientes de velocidad-aceleración tanto primarios como secundarios a través del método matricial, empleando ToMatlab. Emplear la Ecuación Fundamental de la Dinámica para obtener el modelo dinámico del multi-lazo. Implementar la ecuación diferencial para el modelo dinámico que describe al mecanismo en Simulink de Matlab. Simular el mecanismo en Working Model y validar con lo obtenido en Simulink a través de un script.

JUSTIFICACIÓN Una de las tareas más importantes en el análisis y síntesis de mecanismos es el modelado matemático de los sistemas, lo que nos conlleva al control de los mismos. Todos los sistemas aplicados son de naturaleza dinámica, por lo tanto las ecuaciones que los describen son Ecuaciones Diferenciales. La forma más rudimentaria de control surge a partir de la aplicación de sistemas que emplean masa-resorte-amortiguador, para lograr una respuesta en posición, es decir llevar al mecanismo a un valor de entrada y en tiempo deseado; para esto se varían las constantes del resorte y amortiguador a fin de lograrlo.

Sistema Resorte-Amortiguador: 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑏: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑥: 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑥0 : 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑐𝑙𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒0 : 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑥̇ : 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 Efectos del resorte en la respuesta dinámica: 1 𝑑𝑉𝑟𝑒𝑠 ∆𝑥 = 𝑥0 − 𝑥 − 𝑒0 ; 𝑉𝑟𝑒𝑠 = 𝑘(𝑥0 − 𝑥 − 𝑒0 )2 ; = −𝑘 𝐾𝑥(𝑥0 − 𝑥 − 𝑒0 ) 2 𝑑𝑞 Para el amortiguador: 𝐹𝑎 = −𝑏𝑥̇ ; 𝐾𝑥 =

𝑥̇ ; 𝛿𝑥 = 𝐾𝑥 𝛿𝑞 ⟹ 𝐹𝑎 = (−𝑏𝐾𝑥 2 𝑞̇ )𝛿𝑞 𝑞̇

INTRODUCCIÓN Partiremos de la ecuación de la Energía cinética y de la primera ley de la Termodinámica que enuncia: “El trabajo realizado sobre un sistema es igual al cambio en su energía cinética”: 1 𝑇 = 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̇ 2 2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑇: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑐𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝐼𝑔 (𝑞): 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 De la primera ley de la termodinámica tenemos: 𝑃=

𝑑𝑤 𝑑𝑇 = 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑡

La fuerza generalizada:

𝛿𝑤 = (∑ 𝐹𝑖𝑘𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝐾𝑦𝑖 + 𝑀𝑖𝐾𝑎𝑖 ) 𝛿𝑞

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜: 𝑃 = 𝑄𝑞̇ ; 𝑄 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑑𝑇 𝑑 1 2 1 𝑑𝐼𝑔 (𝑞) 2 = ( 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̇ 2 ) = 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̇ 𝑞̈ + 𝑞̇ 𝑞̇ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2 2 𝑑𝑞 Por lo tanto: 𝑄𝑞̇ = 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̇ 𝑞̈ +

1 𝑑𝐼𝑔 (𝑞) 2 𝑞̇ 𝑞̇ ⟹ 𝑄 = 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̈ + 𝑑𝐼𝑔 𝑞̇ 2 2 𝑑𝑞

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑑𝐼𝑔 =

1 𝑑𝐼𝑔 (𝑞) 2 𝑑𝑞

Segunda ley de Newton: ∑ 𝑀 = 𝐼𝑔(𝑞)𝑞𝑝𝑝 ; 𝑦 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑄 = 𝑄𝑛𝑐 + 𝑄𝑐 𝑁𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠: 𝑄 𝑛𝑐 = ∑ 𝐹𝑥𝑖𝐾𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑖𝐾𝑦𝑖 + 𝑀𝑖𝐾𝑎𝑖 𝑑𝑉

𝐶𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠: 𝑄 𝑐 = − 𝑑𝑞 = −∇𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

𝑑𝑉 𝑑𝑞

= ∑ 𝑚𝑖𝑔𝐾𝑦𝑖

1

** Para un resorte: 𝑉𝑟𝑒𝑠 = 2 𝑘∆𝑠 2 𝑑𝑉

Como 𝑄 = 𝑄 𝑛𝑐 − 𝑑𝑞

Así obtenemos la Ecuación Fundamental de la Dinámica: **Eksergian 𝑄𝑛𝑐 = 𝐼𝑔 (𝑞)𝑞̈ + 𝑑𝐼𝑔 𝑞̇ 2 +

𝑑𝑉 𝑑𝑞

𝑐𝑜𝑛 𝑑𝐼𝑔 =

1 𝑑𝐼𝑔 (𝑞) 2 𝑑𝑞

Ecuación de parámetros reducidos para Modelo Dinámico de Mecanismos 1GDL

METODOLOGÍA:

Se propone el mecanismo multi-lazo:

Para las dimensiones:

AC=r1=8; r2T=30; m2=10; m3=2; CB=r4=15; m4=5; BD=r5=40; m5=20; m6=2; Ls=2;

Las incógnitas: θ4, r2 y xD

̅̅̅̅ xD es la distancia horizontal 𝑨𝑫

Definición del mecanismo: Lazo I corresponde a ∆ ABC

f1=r2 Cos[q]-r4 Cos[t4] -r1; f2=r2 Sin[q]-r4 Sin[t4]; Lazo I I corresponde a ∆ CBD

f3=r4 Cos[t4]+r5 Cos[t5]-(xD-r1); f4=r4 Sin[t4]+r5 Sin[t5]-Ls;

1. Código en Mathematica para obtener el modelo dinámico: Como el inicio en todos nuestros programas, colocamos los comandos necesarios, ingresamos la definición del mecanismo y planteamos los vectores:

Resolvemos la posición de manera simbólica, se ha comentado el código para probar que el elemento 4 de la matriz solución es el correcto, se convierte a código de MATLAB:

Para encontrar los coeficientes de velocidad primarios y secundarios limpiamos variables e introducimos nuevamente la información anterior, tanto las definiciones de nuestros lazos como la formación de los vectores, ya que conviene realizar el análisis matricial con los pasos que ya conocemos:

Ingresamos la posición de los centros de masa de cada eslabón, es necesario ingresar los datos de todos los bloques a simular, dado que es un análisis dinámico e involucra la energía potencial de los mismos.

Obtenemos así coeficientes de velocidad primarios o generalizados y los secundarios que corresponden a los puntos de aplicación de fuerzas y los centros de masa de cada eslabón, para ello derivamos la posición de los mismos, usamos Print y ToMatlab, además de hacer las sustituciones necesarias:

Para los coeficientes de aceleración, aplicamos nuevamente la derivada, en este caso aparecen ya en términos de los coeficientes de velocidad:

Se ingresa la expresión para inercias de eslabones, en Ig6 no afecta Icg6 por restricción de la corredera, de tal forma:

Formamos la inercia generalizada y su derivada para posteriormente imprimirlas ya convertidas con ToMatlab:

A continuación se ingresan las expresiones de Energía potencial y de Fuerzas no conservativas:

Como resultado de correr la celda, obtenemos lo siguiente:

a) para la parte de posición simbólica:

b) para los coeficientes de velocidad:

c) para los coeficientes de aceleración:

d) para Inercia generalizada, su derivada, energía potencial y fuerzas no conservativas:

Se copiará como Plain text para pegar en la función a implementar en MATLAB, en ella de igual forma se ingresan las expresiones restantes)

2. Se implementa el diagrama en Simulink para la Ecuación Diferencial obtenida del modelo dinámico.

A continuación se muestra el código de la Interpreted MATLAB Fcn:

** Los momentos de inercia son copiados directamente de Working Model La salida, como podemos observar es la aceleración de la entrada, esto a partir del despeje en la Ecuación de Eksergian:

𝑞̈ =

1 𝑑𝑉 [𝑄𝑛𝑐 − 𝑑𝐼𝑔 𝑞̇ 2 − ] 𝐼𝑔 (𝑞) 𝑑𝑞

RESULTADOS: Se hace la validación, Working Model vs Simulink a) en Working Model:

b) en Simulink:

Como no es suficiente validar a simple vista, creamos un script para graficar ambas en una sola. Para esto, como se ha hecho anteriormente se exportará el archivo .data desde Working Model con un tiempo de simulación de 3s y 1 milésima de paso fijo, al igual que el Scope en Simulink, se guardará en el Workspace:

De lo que se obtiene:

 

La grafica color azul corresponde a Working Model La gráfica color rojo a Simulink

El error está en el orden de las milésimas, por lo tanto la validación es correcta.

CONCLUSIONES

Modelar un sistema implica idealizar muchos procesos que ocurren en la vida práctica, podemos discriminar factores para el análisis de los mecanismos. El modelo dinámico es un acercamiento al control de sistemas, en esta práctica se logró llegar a una posición estable variando los valores de las constantes del resorte-amortiguador. Como todo sistema dinámico, este se representa con el diagrama a bloques por medio de una Ecuación Diferencial, la validación debe tener un margen de error en el orden de las milésimas ya que los datos serán tomados del simulador; los posibles errores ocurren al ingresar expresiones erróneas de los coeficientes de velocidad.

BIBLIOGRAFÍA

    

Máquinas y mecanismos, 4ta Edición – David H. Myszka. Diseño de Maquinaria: Síntesis y análisis de máquinas y mecanismos, 4ta Edición – Robert L. Norton. Síntesis de mecanismos, Ed. AC – Justo Nieto. http://www.matcuer.unam.mx/~victor/Sistemas/modelado_sistemas_dinamic os.pdf “Sistema de Control masa-resorte-amortiguador”, Isaí Estrada Rodríguez – Carlos Alberto López Hernández. Tesis, ESIME-IPN.