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Modelo dinámico 2R-P
Resolver el modelo cinemático de posición, velocidad y aceleración del manipulador de la Figura 1. Haciendo iguales sus parámetros y a cero se obtiene un manipulador con la arquitectura mostrada en la Figura 2. Cuyos parámetros de Denavit y Hartenverg se presentan en la tabla 1. Para este nuevo manipulador, aplicar la formulación de Newton-Euler y obtenga las ecuaciones que describen el comportamiento de sus fuerzas generalizadas , y . Las masas de los eslabones 1, 2 y 3 son , y , se localizan en los puntos , y respectivamente, los cuales están definidos con respecto a los marcos unidos a los mismos eslabones mediante los siguientes vectores de posición:
Figura 1. Robot 2R-P Los tensores de inercia de los eslabones 1, 2 y 3 con respecto a sus propios marcos son, respectivamente:
Una vez determinadas las ecuaciones de las fuerzas generalizadas del robot, aplíquelas en un programa de MATLAB para determinar las curvas de comportamiento de las magnitudes de dichas fuerzas que se requieren para que el punto del órgano terminal describa una ruta circular a partir del punto . Esta ruta yace en un plano paralelo al plano - . El centro del círculo tiene coordenadas , y , el radio del círculo es de 0.5m, la coordenada en con respecto al marco 0 de todos los puntos del círculo deseado es constante e igual a , mientras que las coordenadas y están determinadas por el ángulo
Las magnitudes de los parámetros inerciales del manipulador son:
Donde las unidades de los momentos de inercia y productos de inercia son . Determine la capacidad mínima de par que deberán tener los actuadores de las articulaciones 1y 2 para poder recorrer la ruta deseada sin exceder sus capacidades, cuando la ruta recorre a y .
1
0
2
90
3
90
0
0
0
Tabla 1. Parámetros geométricos del robot
0
0 0
Figura 2. Robot 2R-P y ruta deseada Con base en las matrices elementales, podemos sustituir los valores de la tabla de parámetros geométricos y obtener los valores de las matrices elementales del robot.
Después definimos la matriz de la herramienta y de emplazamiento conforme a un propuesta, dichas matrices no tienen suma relevancia ya que la tarea planificada para el robot está representada conforme al marco del eslabón 0 y la herramienta no tiene ningún desplazamiento.
Desarrollo
A continuación se procede a resolver el modelo directo de posición del robot. Multiplicando las matrices elementales del robot. Para obtener el modelo directo de posición realizamos
Lo que es equivalente a:
Por lo que definimos que el modelo directo de posición se compone por:
Cuando se tiene el modelo directo de posición se procede a resolver el modelo inverso de posición, por lo que definimos .
Igualamos la componente
Despejando obtenemos:
con
y sustituyendo en la igualación de
con
Como es de la forma:
Se resuelve de la forma:
Donde
Ahora sustituyendo r3 en la igualación de
con
obtenemos:
Como es de la forma:
Se resuelve de la forma:
Donde
En la igualación de
con
despejamos
y obtenemos:
Con esto se encuentra el modelo inverso de velocidad y a continuación se procede a obtener la matriz para el robot 2R-P. Para obtener la matriz Jacobiana básica el primero paso es usar las matrices que describan Para poder resolver la fórmula.
.
A continuación se describen los elementos que componen la matriz Jacobiana básica.
Una vez encontrados todos los elementos de la matriz Jacobiana básica es posible completarla.
Conviene comentar que se derivó a los componentes y se llego al mismo resultado, cuando se trate de un robot de 3 grados de libertad resulta más conveniente realizar la derivada de estos tres componentes que por el método numérico, sin embargo para robots de muchos grados de libertad la derivada se complica demasiado y para estos casos es conveniente realizar el procedimiento analítico.
Para conseguir el modelo directo de velocidad se deriva
y se obtiene
Sabemos que:
Introduciendo esas ecuaciones en MATLAB se obtienen las velocidades articulares. Que son a su vez el modelo inverso de velocidad.
Ahora lo que procede es obtener , en este trabajo se obtiene derivando a la matriz Jacobiana básica, en este caso porque la Jacobiana básica es igual a la Jacobiana analítica.
+
Cuando se tiene la derivada de la Jacobiana se pueden calcular el modelo inverso de aceleración, con la siguiente ecuación:
De esta forma se obtienen las aceleraciones de las variables articulares. Y ya una vez obtenido todo el modelo cinemático se realiza la iteración en el método Newton-Euler para encontrar el modelo en la tabla 2.
+
x
Tabla 2. Ecuaciones recursivas formulación Newton Euler
La obtención del modelo dinámico se realiza en MATLAB en un archivo .m “MD2RP” , las ecuaciones quedan del modo siguiente: tau3(i+1)=m3*(r3pp
+
e3*t2p^2
-
r3*t2p^2
+
e3*t1p^2*sin(t2)^2
-
r3*t1p^2*sin(t2)^2); tau2(i+1)=Iy3*t2pp + Iz2*t2pp - e3*m3*(r3*t2pp - e3*t2pp + 2*r3p*t2p + e3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) - r3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2)) + m3*r3*(r3*t2pp e3*t2pp + 2*r3p*t2p + e3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) r3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2)) + e2*m2*(- e2*cos(t2)*sin(t2)*t1p^2 + e2*t2pp) - Ix2*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) - Ix3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) + Iy2*t1p^2*cos(t2)*sin(t2) + Iz3*t1p^2*cos(t2)*sin(t2); tau1(i+1)=Iz1*t1pp + cos(t2)*(Iy2*(t1pp*cos(t2) - t1p*t2p*sin(t2)) + Iz3*(t1pp*cos(t2) - t1p*t2p*sin(t2)) + Ix2*t1p*t2p*sin(t2) + Ix3*t1p*t2p*sin(t2) - Iy3*t1p*t2p*sin(t2) - Iz2*t1p*t2p*sin(t2)) + sin(t2)*(Ix2*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + Ix3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + e2*m2*(e2*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + e2*t1p*t2p*cos(t2)) - e3*m3*(r3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) e3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + 2*r3p*t1p*sin(t2) e3*t1p*t2p*cos(t2) + r3*t1p*t2p*cos(t2)) + m3*r3*(r3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) - e3*(t1pp*sin(t2) + t1p*t2p*cos(t2)) + 2*r3p*t1p*sin(t2) - e3*t1p*t2p*cos(t2) + r3*t1p*t2p*cos(t2)) Iy2*t1p*t2p*cos(t2) + Iy3*t1p*t2p*cos(t2) + Iz2*t1p*t2p*cos(t2) Iz3*t1p*t2p*cos(t2));
Una vez encontradas las ecuaciones de las fuerzas generalizadas podemos ver el comportamiento del manipulador para los dos casos de y .
Para
La Figura 3. Muestra la trayectoria de la animación realizada en MATLAB.
Figura 3. Imagen de la animación de la trayectoria del robot
Figura 4. Posiciones articulares de los eslabones del robot T=5
La Figura 4. Muestra las posiciones articulares de los eslabones del robot, la Figura 5. Las velocidades articulares y la Figura 6. Las aceleraciones.
Figura 5. Velocidades articulares de los eslabones del robot T=5
Figura 6. Aceleraciones de los eslabones del robot T=5
Figura 7. Gráfica del comportamiento de las fuerzas generalizadas del manipulador T=5 La fuerza generalizada del eslabón 1 está en un rango en el que su valor máximo son 21Nm y su valor mínimo -10Nm. La fuerza generalizada del eslabón 2 está en un rango en el que su valor máximo son 18Nm y su valor mínimo -30Nm. La fuerza generalizada del eslabón 3 está en un rango en el que su valor máximo son 7N y su valor mínimo -7N. Por estos rangos está determinada la capacidad mínima de par que deben tener las articulaciones.
Para
La Figura 8. Muestra la trayectoria de la animación realizada en MATLAB.
Figura 8. Imagen de la animación de la trayectoria del robot T=2
Figura 9. Posiciones articulares de los eslabones del robot T=2
La Figura 9. Muestra las posiciones articulares de los eslabones del robot, la Figura 10. Las velocidades articulares y la Figura 11. Las aceleraciones.
Figura 10. Velocidades articulares de los eslabones del robot T=2
Figura 11. Aceleraciones de los eslabones del robot T=2
Figura 12. Gráfica del comportamiento de las fuerzas generalizadas del manipulador T=2 La fuerza generalizada del eslabón 1 está en un rango en el que su valor máximo son 130Nm y su valor mínimo -62Nm. La fuerza generalizada del eslabón 2 está en un rango en el que su valor máximo son 109Nm y su valor mínimo 126Nm. La fuerza generalizada del eslabón 3 está en un rango en el que su valor máximo son 44N y su valor mínimo -43N. Por estos rangos está determinada la capacidad mínima de par que deben tener las articulaciones. Como se muestra en la Tabla 3.
Eslabón Capacidad mínima T=5 Capacidad mínima T=2 1 21Nm 130Nm 2 18Nm 126Nm 7N 44N 3 Tabla 3. Capacidad mínima de par de las articulaciones
Conclusión Se ha alcanzado el objetivo principal de este trabajo que es obtención de las ecuaciones de fuerza generalizada del manipulador y para una tarea en específico determinar sus capacidades mínimas de par del manipulador 2RP, para hacer el desarrollo de este trabajo se tuvo que aplicar todas las habilidades adquiridas previamente en el curso, por lo que resulto muy interesante plasmar en este documento los resultados de este desarrollo. Con las ecuaciones de la formulación de Newton-Euler se pudo presentar el análisis de par para una ruta deseada en una tarea que está condicionada por su tiempo de ejecución. El proceso de construcción del modelo por Newton-Euler es fácil de implementar por software, tal cual como se hizo en este documento, además de que es relativamente sencillo checar la inspección de los vectores y matrices que se utilizan. Para robots es sencillos es posible construir de manera analítica su modelo dinámico pero hacerlo de manera rápida o manipuladores muy complejos se vuelve una tarea impráctica.
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