Modelo de Tesis Unsa

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA ESCUELA DE POSTGRADO UNIDAD DE POSTGRADO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS

MODELO DE PROGRAMACIÓN BINARIA PARA OPTIMIZAR LA PROGRAMACIÓN DE AUTOBUSES EN UNA RUTA DE TRANSPORTE URBANO DE PASAJEROS DE AREQUIPA Tesis presentada por el Bachiller:

Efraín Rafael Murillo Quispe Para optar el Grado de Maestro en

INGENIERÍA INDUSTRIAL Con mención en

GESTIÓN DE PRODUCCIÓN

Arequipa – Perú 2006

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Dedicatoria

A MI ESPOSA E HIJOS:

Por su paciencia, amor, cariño y confianza que me estimularon en la ejecución de la tesis. A ellos mi respeto y admiración.

A MIS PADRES:

Mi reconocimiento por el apoyo constante que supieron brindarme, el mismo que contribuyó a mi formación integral y al logro de mis aspiraciones.

A MIS HERMANOS

2

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PRESENTACIÓN

SEÑOR DIRECTOR DE LA ESCUELA DE POSTGRADO DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA SEÑOR DIRECTOR DE LA UNIDAD DE POSTGRADO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA DE PRODUCCIÓN Y SERVICIOS SEÑORES MIEMBROS DEL JURADO:

De acuerdo con las disposiciones del Reglamento de Grados y Títulos de la Escuela de Postgrado de la Universidad Nacional de San Agustín de Arequipa pongo a vuestra disposición el trabajo de Tesis que lleva por título “MODELO DE PROGRAMACIÓN BINARIA PARA OPTIMIZAR LA PROGRAMACIÓN DE AUTOBUSES EN UNA RUTA DE TRANSPORTE URBANO DE PASAJEROS DE AREQUIPA”, que previo dictamen favorable me permitirá optar el Grado Académico de Maestro.

Arequipa, 2006 Enero.

BACH. EFRAIN RAFAEL MURILLO QUISPE

3

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ASESOR DE LA TESIS: MSc. ING. JULIO RAMOS QUISPE

MIEMBROS DEL JURADO DICTAMINADOR: PRESIDENTE: MSc. ING. JOSE HERNANDEZ VALLEJOS INTEGRANTE: MSc. LIC. ROQUE RIOS BARRENO SECRETARIO: MSc. ING. JULIO RAMOS QUISPE

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RESUMEN

8

ABSTRACT

8

CAPITULO 1 1. INTRODUCCIÓN

9

1.1

Consideraciones Generales

9

1.2

Problema a investigar

10

1.3

Justificación

11

1.4

Objetivos de la Investigación

13

1.4.1 Objetivo General

13

1.4.2

Objetivos específicos

13

Hipótesis de la Investigación

15

1.5.1

Hipótesis General

14

1.5.2

Hipótesis Específicas

14

1.5

1.6

Limitaciones del Trabajo

15

1.7

Diseño de la investigación

15

1.7.1

Tipo de Investigación

15

1.7.2

Población y Muestra

16

1.7.3

Variables de Estudio

16

1.7.4

Técnicas y Procedimientos

17

1.8

Estructura del Trabajo

17

CAPITULO II 2.

MARCO TEORICO

18

2.1

Presentación del Problema

18

2.2

Problemas de Optimización

19

2.2.1

20

2.2.2

Tipos de Modelos de Optimización Efecto de la disponibilidad de datos en la presentación por medio de modelos.

2.3

El problema del Ruteo

21 23 5

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2.4

2.5

Experiencias Computacionales

25

2.4.1 Consideraciones Generales

25

2.4.1.1

Sistema VSPX

25

2.4.1.2

Sistema HASTUS

25

2.4.1.3

Sistema WinBus 95

26

Consideraciones Finales

27

CAPITULO III 3.

MODELO PROPUESTO 3.1

Modelo de programación de vehículos en una ruta específica

28

3.1.1

Introducción

28

3.1.2

Descripción del Modelo

29

3.1.2.1

30

3.1.3 3.2

3.3

28

Determinación de los factores

Formulación Matemática

33

Construcción del Modelo

34

a) Modelo Algebraico

40

b) Modelo Analítico

41

Consideraciones finales

43

CAPITULO IV 4.

APLICACIÓN DEL MODELO

44

4.1

Introducción

44

4.2

Dimensionamiento del Sistema

48

4.3

Modelo Algebraico

50

4.4

Modelo Analítico

52

4.5

Entrada de Datos

53

4.5.1

Ingresar el problema

54

4.5.2

Resolver el Problema

56

4.5.3

Guardar los resultados

56

4.6

Reportes

58 6

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4.7 Consideraciones finales

68

CAPITULO V 5.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

69

5.1

CONCLUSIONES

69

5.1.1 Conclusiones sobre los objetivos

69

5.1.2 Conclusiones sobre la hipótesis

70

5.2 RECOMENDACIONES 5.2.1 Recomendaciones para nuevas investigaciones

71 71

BIBLIOGRAFÍA

73

ANEXOS

77

7

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RESUMEN

En este trabajo es presentado un Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses en una ruta del transporte urbano de pasajeros de Arequipa. Este modelo es implementado computacionalmente de forma que se busque la optimización del problema del transporte urbano de pasajeros en lo que respecta a la congestión vehicular. El Modelo considera las diferentes líneas urbanas, los centros de oferta y demanda del servicio de transporte de pasajeros, así como la flota de vehículos asignada a una ruta específica. La solución propuesta para el problema está basada en algoritmos de Programación Entera, Programación Binaria y Programación Heurística.

ABSTRACT In this work a Model of Binary Programming is presented/displayed To optimize the Programming of Buses in a route of the urban transport of passengers of Arequipa. This model is implemented computacionalmente so that the optimization of the problem of the urban transport of passengers with regard to the congestión looks for to vehicular. The Model considers the different lines urban, the centers of supply and demand of the transport service of passengers, as well as the fleet of vehicles assigned to a specific route. The propose solution for the problem is based on algorithms of integer Programming, Binary Programming and Heuristic Programming.

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Capítulo I

1. INTRODUCCIÓN 1.1 CONSIDERACIONES GENERALES Un hecho empírico, sobre el que existe consenso en la literatura, es que la congestión urbana es un problema propio de las ciudades que sobrepasan cierto tamaño, sean estas ciudades de países desarrollados o en vías de desarrollo. Donde las cosas son menos claras es en la manera de abordar el problema 16 .

La programación de una flota de vehículos, en una ruta de transporte urbano de pasajeros, constituye un problema gerencial de elevada complejidad. En condiciones reales la flota es heterogénea y las líneas son diferentes entre sí, además de una demanda del servicio variable durante el día.

16

Enrique Cabrera, Santiago y la Congestión Vehicular, 2004, p 1 9

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En un nivel operacional, este problema consiste en realizar la programación de las unidades asignadas a una ruta específica durante el día y para un tiempo previamente determinado, tomándose en consideración la capacidad de cada vehículo, la demanda del servicio y el intervalo de tiempo de espera en el paradero.

Tal situación es resuelta en la práctica, asociándose la heurística, lográndose con ello interactuar con modelo construido para mejorar las soluciones iniciales.

La solución óptima emitida por el modelo, exige el uso de programación entera y programación binaria 17 que exige un tiempo considerable de procesamiento computacional, debido al número elevado de variables.

La importancia del presente proyecto es desarrollar a través de sus diferentes etapas: análisis, diseño, programación e implementación, un modelo matemático para el apoyo a la toma de decisiones en el análisis de la programación de autobuses que pueda ser empleado por las empresas del sector en nuestro medio con el objeto de racionalizar el uso de las unidades vehiculares disponibles para el servicio de transporte de pasajeros y a la vez optimizar el servicio hacia los usuarios.

Dicho Modelo debido a su sencillez y eficacia pretende satisfacer las necesidades antes mencionadas a un costo asequible.

1.2 PROBLEMA A INVESTIGAR Hoy en día las empresas del Transporte Urbano de Pasajeros en ciudades de tamaño medio de países del tercer mundo, atraviesan problemas de calidad y productividad,

17

www.jmingenieria.com/io/ejasignacion.htm 10

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debido, principalmente a dos causas: La congestión vehicular 18 y su parque automotor inadecuado.

En lo que a la congestión vehicular se refiere, ésta probablemente se debe dentro de los factores más importantes, a una infraestructura vial insuficiente, a una programación empírica de flujos vehiculares, originando un servicio deficiente hacia los usuarios.

Y es que probablemente la mayoría de los gerentes y tomadores de decisión del sector, tienden a tomar decisiones en base a su experiencia, intuición, criterio y buen juicio, no haciendo uso complementario de herramientas cuantitativas que puedan sugerir cursos alternativos de acción que podrían conducir a optimizar los recursos disponibles.

Por lo tanto ante la enorme necesidad de resolver los problemas del transporte urbano de pasajeros en ciudades como Arequipa surge la necesidad de desarrollar un MODELO MATEMATICO que permita apoyar la toma de decisiones en la programación diaria, semanal y mensual de autobuses en el transporte urbano de pasajeros de Arequipa, en forma continua y buscando siempre su optimización.

1.3 JUSTIFICACIÓN La presente investigación se justifica ya que uno de los mayores problemas que probablemente afrontan los tomadores de decisiones es el casi imposible acceso a ciertas técnicas cuantitativas muy especiales, en parte por la no extensión de su conocimiento y en mayor grado por estar dispersas en publicaciones y bibliotecas diversas.

Por lo tanto el diseño de un modelo matemático para el análisis de la programación de autobuses en las empresas de transporte urbano de pasajeros de Arequipa, simple pero

18

www.es.wikipedia.org/wiki/Congestión_vehicular 11

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eficaz adquiere cada vez mayor importancia en la aplicación de soluciones informáticas para la toma de decisiones.

Un ejemplo destacable es que la mediana empresa esta abriendo campo para el empleo de técnicas cuantitativas de investigación de operaciones tal como la programación matemática 19 para el apoyo a la toma de decisiones.

El software para la toma de decisiones en el análisis de la programación de autobuses es de suma utilidad para el tomador de decisiones, pues esto le permitirá evitar tener que familiarizarse con el complejo mundo de la programación matemática.

De otro lado la creciente importancia de los fenómenos medioambientales, producidos por la actividad humana, exige la incorporación y cuantificación de este tipo de estudios en las metodologías de planificación urbana. Debido al alto grado de responsabilidad del sector transporte en el nivel de emisiones de contaminantes atmosféricos existentes en ciudades como Arequipa, se ha hecho imperativo contar con herramientas o modelos que evalúen el nivel de emisiones asociadas a la actividad vehicular.

El sistema del transporte constituye una infraestructura básica para la economía y un generador de oportunidades para toda la sociedad. Además de eso, representa un sector económico fuerte ya que emplea a un sector considerable de la población en sus actividades industriales y terciarias intrínsecas.

Una gran cantidad de compañías del transporte de pasajeros en la década del 90 presentó un cierto tipo de problema en cuánto a sus resultados líquidos. Esta situación justifica el uso de procedimientos con el objetivo de racionalizar las operaciones del sector. Algunos ejemplos se pueden encontrar en la literatura que pueda consolidar esta importancia. Comentarios de Desrochers y de Soumis (1989): Una reducción de el 1% en los costes operacionales del MUCTC (Montreal Urban Community Transit 19

www.uv.es/~ivorra/Docencia/Programacion.pdf 12

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Company), de acuerdo con las citaciones encontradas, para los valores de 1986, originó una economía anual del orden de USS 2.0 millones con el uso de las técnicas de optimización. Segundo Ball et all (1983) y Desrochers y Soumis (1989), con el uso de las técnicas de optimización, en problemas prácticos de la asignación de flotas, normalmente se consigue una reducción en los costes del orden de 0.5% a 2.5%, siempre y cuando la compañía tenga una buena organización y eficacia.

En el caso del usuario, las ventajas de un sistema informatizado para elaborar el plan operacional de la compañía puede venir en la forma de calidad del servicio que se ofrecerá. Con un sistema de este tipo, la compañía tendrá un mayor control de su plan de operación y con esto puede cumplir mejor los horarios, minimizando, de esta forma, la posibilidad de que el usuario tenga que esperar demasiado a un vehículo.

1.4 OBJETIVOS DE INVESTIGACION 1.4.1 OBJETIVO GENERAL El objetivo general de esta tesis es desarrollar un MODELO MATEMATICO que permita analizar el problema de la Programación de autobuses en líneas urbanas, determinando el número de unidades vehiculares que deberán ser asignadas en los diferentes intervalos de tiempo del día, de forma que se optimice el problema de la congestión vehicular del transporte urbano de pasajeros en ciudades de tamaño medio.

En un plano operacional el objetivo de este trabajo es desarrollar un Modelo Matemático que optimice el problema de la programación de vehículos en una ruta de transporte urbano de pasajeros en Arequipa, trabajando con flotas heterogéneas, determinándose además el número de vehículos que deberán ser asignados a cada intervalo de hora, de forma que se minimice la capacidad ociosa de la flota de vehículos y los costos totales de transporte sean reducidos. 13

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1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Este modelo es implementado bajo la forma de un sistema computacional cuyos objetivos específicos son los siguientes:

1)

Desarrollar un Modelo Matemático de Programación Binaria para optimizar la programación de

autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros en Arequipa, con la finalidad de minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta;

2)

Desarrollar un Modelo Matemático de Programación Binaria para optimizar la programación de

autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros en Arequipa, con la finalidad de minimizar los flujos vehiculares en las calles o avenidas de alta congestión en la zona urbana de la ciudad;

3)

Desarrollar un Modelo Matemático de Programación Binaria para optimizar la programación de

los horarios durante el día y las frecuencias de viajes de las unidades vehiculares;

4)

Ofrecer un instrumento de trabajo que ayude a los responsables de la toma de decisiones en lo

que respecta a la programación de autobuses en líneas o rutas urbanas del transporte de pasajeros de Arequipa;

5)

Proponer recomendaciones que contribuyan al mejoramiento de la problemática del transporte

urbano de pasajeros de Arequipa, de tal manera que se reduzcan al mínimo los empirismos aplicativos, asegurar los incumplimientos de la programación y corregir las deficiencias y distorsiones;

1.5 HIPOTESIS DE LA INVESTIGACION 1.5.1

HIPOTESIS GENERAL

El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitirá mediante su aplicación optimizar el problema de la congestión vehicular en ciudades de tamaño medio.

14

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1.5.2

HIPOTESIS ESPECÍFICAS

El presente trabajo tiene como hipótesis específicas las siguientes:

a)

El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitirá mediante su aplicación minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta

b) El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitirá mediante su aplicación minimizar el flujo vehicular en las calles o avenidas de alta congestión en la zona urbana de la ciudad.

c)

También el Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitirá mediante su aplicación optimizar la programación de los horarios durante el día y las frecuencias de viajes de las unidades vehiculares.

1.6 LIMITACIONES DEL TRABAJO El transporte urbano de pasajeros en el Perú utiliza diversos modales: autobuses para el transporte público de pasajeros, autobuses para el transporte privado de empresas, automóviles de uso particular, taximóviles y mototaxis.

Este trabajo se limita a estudiar el problema del transporte urbano de pasajeros en autobuses para el transporte público en la ciudad de Arequipa.

Otra limitación es el hecho de que el modelo no garantiza una solución óptima del problema, mas esto es de fácil comprensión, pues la complejidad del problema lleva al investigador a utilizar más de una heurística para acelerar la solución y, de ésta forma, obtener una solución que no es la óptima pero por lo menos viable y de calidad en un tiempo computacional admisible.

15

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1.7 DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN 1.7.1 TIPO DE INVESTIGACIÓN Corresponde al tipo analítico por cuanto busca establecer relaciones causa-efecto entre la aplicación del modelo propuesto de programación de autobuses y las incidencias en la congestión vehicular en el transporte urbano de pasajeros en Arequipa.

1.7.2 POBLACIÓN Y MUESTRA La población estará conformada por la totalidad de las empresas de transporte de Arequipa.

Se estratificará la población por: - Líneas o Rutas de transporte - Tamaño de la empresa - Tipo y Capacidad de sus vehículos. - Geografía de las rutas.

El tamaño de la muestra de los diferentes estratos se determinará de acuerdo al tamaño de la población, luego la muestra se tomará en forma aleatoria.

1.7.3 VARIABLES DE ESTUDIO VARIABLE INDEPENDIENTE

Aplicación del MODELO DE PROGRAMACION BINARIA para optimizar la programación de autobuses en el transporte urbano de pasajeros de Arequipa.

VARIABLES DEPENDIENTES * Incidencias en la congestión vehicular. 16

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* Incidencias en la capacidad ociosa de la flota. * Incidencias en la calidad del servicio de transporte urbano de pasajeros.

Se medirá estadísticamente las siguientes variables; antes y después de la aplicación del modelo de programación de autobuses. a) Flujo vehicular por hora. b) Capacidad ociosa de la flota. c) Opinión del usuario en cuanto a la programación de los vehículos.

1.7.4 TÉCNICAS Y PROCEDIMIENTOS Se llevará a cabo el análisis documental y se aplicará la encuesta y entrevista a gerentes y responsables en la toma de decisiones del sector transporte.

1.8 ESTRUCTURA del TRABAJO Este trabajo se subdivide en cinco capítulos. En el primero, se presenta la introducción y algunas consideraciones del problema, la importancia, los objetivos del trabajo, las limitaciones y su estructura. En el segundo capítulo, se presenta la revisión de la literatura, con la cual se piensa caracterizar el problema en estudio, también se presentan, algunos sistemas de cómputo existentes que se ocupan del problema. En el tercer capítulo, se presenta el modelo matemático propuesto en este trabajo para la resolución de los problemas de la programación de los vehículos y también una introducción al modelo de simulación que permitirá el análisis del plan creado por el modelo citado previamente. En el capítulo cuarto, se presenta la aplicación del sistema de cómputo desarrollado, que utiliza el modelo matemático considerado en el tercer capítulo. Este sistema, permite que el usuario ejecute el planeamiento operacional o haga un análisis de esto, a través de un modelo de la simulación. Finalmente, en el quinto capítulo, se presentan las conclusiones del trabajo, y algunas recomendaciones para los progresos futuros.

17

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Capítulo II

2. MARCO TEORICO

2.1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA

El problema del transporte público en el Perú es un factor de preocupación constante de los reguladores públicos. En la práctica, más del 75% del transporte de pasajeros en el Perú utiliza el autobús 20 . No es difícil observar que un buen planeamiento en el uso de la flota de autobuses es necesario de modo que los costes implicados con la administración del sistema del transporte público sean lo menor posible. A lo largo del tiempo, algunos autores vienen invirtiendo gran parte de su tiempo en el estudio del problema del transporte público, a través del autobús, con el objetivo de

20

Informe estadístico 1997 de la Municipalidad provincial de Arequipa. 18

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facilitar la toma de las decisiones de los administradores. Éste es también el objetivo del trabajo desarrollado aquí. El presente trabajo muestra un sistema de software desarrollado para la resolución del problema discutido en la sección 1.1. En dicho Software Se utilizan, en sus rutinas de cálculo, algoritmos heurísticos y de la programación Entera y Binaria. Los vehículos del transporte colectivo de pasajeros operan en función a un sistema definitivo de líneas preestablecidas en un intervalo de tiempo dado. A lo largo de los últimos años, muchos modelos han sido desarrollados para determinar la cantidad de vehículos que deben atender en cada uno de estos intervalos (véase a Golden y a Assad (1988); Christofides (1975); Turnquist (1986); Mayerle (1996)).

El problema más grande de los modelos presentados hasta ahora es que generalmente solo trabajan con flotas homogéneas, que limita su aplicación en la mayoría de las situaciones reales. Siendo las flotas homogéneas, teóricamente no habría diferencia para decidir cuál de los vehículos tendrían que ser considerado para atender una línea en particular.

2.2. PROBLEMAS de OTIMIZACIÓN El tipo de problema que será tratado en esta investigación, es de optimización combinatorio 21 cuyo sistema de soluciones es de tipo discreto. Los problemas de optimización combinatorio se pueden representar genéricamente de la forma siguiente: Máx Z(x)

(2.2.a)

s.a. x ∈ S

(2.2.b)

Donde: - S ⊂ X es el conjunto de todas las soluciones viables;

21

http://www.lsi.upc.es/~webia/doctia/lista/12582511232001.html 19

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- x ∈ X es una solución del problema de optimización combinatorio; - z(x) es la función a ser optimizada. Si la solución x* satisface (2.2.b) y z(x*)∈z(x) para todo el x∈S, entonces la solución x* es llamada solución óptima de (2.2.a). Esta solución óptima, en muchos casos, no es única. Para los problemas de optimización combinatorio, algunas clasificaciones que vienen siendo utilizadas por el mundo académico fueron propuestas por Ibaraki(1988), MüllerMerbach (1981), y (Apud Mayerle (1996)). En las últimas décadas, la comunidad científica ha asistido al nacimiento de la disciplina conocida como Ciencias de la Computación que siendo inicialmente una rama de la Matemática aplicada, encontró su propio espacio de investigación y se definió posteriormente como una nueva área de la ciencia. Esta disciplina experimentó un vertiginoso ascenso desde su nacimiento, contándose en la actualidad como una de las áreas con mayor actividad y desarrollo. Una de las ramas de mayor importancia y crecimiento dentro de las Ciencias de la Computación es el conjunto de actividades conocidas como Ínvestigación Operativa que, por su impacto y resultados concretos en la industria y en otros ámbitos, se ha transformado en uno de los pilares de esta nueva ciencia. Dentro de la Investigación Operativa, la Optimización Combinatoria es una de las actividades más importantes 22 . La Optimización Combinatoria es un área dentro de la Investigación Operativa, que se encarga de buscar la mejor solución en problemas discretos (es decir, en los que participa una cantidad finita de elementos). La planificación de actividades industriales, la organización del recorrido de vehículos, la organización de actividades y la búsqueda de esquemas de producción, entre otras, son posibles gracias a la participación de la Optimización Combinatoria.

2.2.1 TIPOS DE MODELOS DE OPTIMIZACION 22

http://www.papyro.com/Optimizacion.htm 20

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Primeramente acentuaremos el hecho de que primero se va a la fase de “construcción del modelo”, seguida de la solución de dicho modelo para asegurar la obtención de una solución deseada. Los métodos de solución suelen idearse para aprovechar las estructuras especiales de los modelos resultantes. Como tales, la amplia variedad de modelos asociados con sistemas reales existentes da origen a un número correspondiente de técnicas de solución. De aquí que se utilicen los nombres conocidos de programación lineal, entera, dinámica y no lineal que se representan mediante algoritmos para resolver clases especiales de modelos IO. En la mayoría de las aplicaciones de investigación de operaciones, se supone que la función objetivo y las restricciones del modelo pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de solución. En este caso, decimos que tratamos con un modelo matemático. Por desgracia, pese a los adelantos impresionantes en la representación por modelos matemáticos, un número apreciable de situaciones reales siguen estando fuera del alcance de las técnicas matemáticas de que se dispone en el presente. Por un motivo, el sistema real puede tener demasiadas relaciones, variables, para hacer posible una representación matemática “adecuada”. En otro sentido, aún cuando se pueda formular un modelo matemático, éste puede ser demasiado complejo para resolverse a través de métodos de solución disponibles. Un enfoque diferente a la representación por medio de modelos de sistemas (complejos) consiste en utilizar la simulación. Los modelos de simulación 23 difieren de los modelos matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementos que después se enlazan entre sí vía relaciones lógicas bien definidas (en la forma SI/ENTONCES). Por lo tanto, partiendo del módulo de entrada, las operaciones de cálculo pasarán de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida. 21

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Los modelos de simulación en comparación con los modelos matemáticos, ofrecen una mayor flexibilidad en la representación de sistemas complejos. La razón principal es que la simulación enfoca al sistema desde un nivel básico elemental. Por otra parte, la modelación matemática tiende a considerar el sistema desde un nivel menos detallado. La flexibilidad de la simulación tiene algunas desventajas. El desarrollo de un modelo de simulación es muy costos en tiempo y recursos. Además, la ejecución de un modelo de simulación, incluso en la computadora más rápida, tendrá un costo considerable. Por otra parte, un modelo matemático bien diseñado es muy adecuado desde el punto de vista de su implementación computacional.

2.2.2 EFECTO DE LA DISPONIBILIDAD DE DATOS EN LA REPRESENTACIÓN POR MEDIO DE MODELOS. Los modelos de cualquier clase, sin importar su refinamiento y exactitud, pueden probar ser poco prácticos si no están respaldados por datos confiables. Aunque el modelo está bien definido, la calidad de la solución depende evidentemente de la eficacia con que podamos estimar los costos de cada decisión. Si se distorsionan las estimaciones, la solución que se obtenga, pese a ser óptima en un sentido matemático, realmente será de calidad inferior desde la perspectiva del sistema real. En algunos casos, quizá no se conozcan con certeza los datos. Más bien, se determinan a través de distribuciones de probabilidad. Lo que es más importante, sería necesario modificar la estructura del modelo para dar cabida a la naturaleza probabilística de la

23

http://www.monografias.com/trabajos20/simulacion-sistemas/simulacion-sistemas.shtml 22

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demanda. Esto da origen a los así llamados modelos probabilísticos 24 o estocásticos en contraste con los modelos determinísticos La recopilación de datos puede realmente ser la parte más difícil para determinar un modelo. Desafortunadamente no pueden sugerirse reglas para este procedimiento. Mientras acumula experiencia en el modelado de una organización, el analista de investigación de operaciones deberá desarrollar medios para recolectar y documentar datos, en una forma útil, para proyectos tanto actuales como futuros.

2.4 EL PROBLEMA DE RUTEO En el problema estándar del ruteo (VRP), un número de vehículos es designado para atender a un servicio o a una cantidad geográficamente dispersa de servicios. En él cada vehículo tiene una capacidad y cada servicio tiene una demanda. Este tipo de problema viene recibiendo bastante atención por los investigadores como es mostrado en Golden y Assad (1988). El VRP incluye dos situaciones especiales, conocidas por problema del vendedor viajero 25 y el problema del cartero chino, que son clásicos en la literatura y tienen formas de solución bien conocidas, como las presentadas en Christofides (1975). El problema del vendedor viajero tiene merecido una gran atención de parte de los investigadores para asistir a la solución de problemas diversos de secuenciamiento de actividades. Este problema consiste en la determinación de la ruta mas corta para una persona que vaya de una ciudad y deba visitar otras diversas.

24 25

http://home.ubalt.edu/ntsbarsh/opre640S/SpanishP.htm. www.etse.urv.es/mat2003/pss/oyc15.ps 23

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Para resolver este problema, muchos autores utilizan métodos exactos o heurísticos, como el visto en Weber (cf. Graciolli (1994)), en Papadimitriou y Steiglitz (1978) y en Mayerle (1994). Para Papadimitriou y Steiglitz (1978), los métodos heurísticos en la resolución del problema

del

vendedor

viajero

son

justificados

completamente

provocando

investigaciones en el desarrollo de heurístico haciendo posible la solución de problemas más grandes. El problema para asignar un sistema de rutas para funcionar sin cambios en un período del tiempo fijo se conoce como problema de la ruta fija (FRP). Según Savelsbergh y Goetschalckx (1992), era Christofides (1971) que buscaron el FRP por primera vez. El criterio de optimización es el de minimización de la distancia total cubierta en la ruta. El problema de la programación de vehículos de una flota es la tarea que viene mereciendo la atención especial en eso si se relaciona con la administración de una compañía de transportes. Según Turnquist (1986), la programación de vehículos es un problema de los operadores de la flota que deben ser decididos en un espacio de la hora preestablecida. Un modelo general tendrá que incorporar los procedimientos siguientes de los interrelacionados: 1) Para proyectar un sistema de las rutas en las cuales los vehículos irán a funcionar; 2) Para poner toda la capacidad de la flota disponible entre algunas rutas; 3) Para colocar los vehículos en los viajes programados; 4) Para determinar la carga que atraviesa la red, dada las flotas y las programaciones; y 5) Para colocar tripulaciones a los vehículos. 24

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Pueden ser utilizados, para resolver el problema de distribución, modelos clásicos, por ejemplo, los modelos de la programación linear entera; los problemas del transporte y de asignación; modelos que utilizan gráficos, como por ejemplo: el problema del cartero chino, el problema del vendedor viajero, y los algoritmos de Disjkstra y de Floyd. También modelos más específicos puede ser utilizado como, por ejemplo, los modelos al azar y los modelos que utilizan el método de la gradiente eficaz.

2.5. EXPERIENCIAS COMPUTACIONALES 2.5.1. CONSIDERACIONES GENERALES Como fueron mencionados ya anteriormente, el problema de la distribución y asignación de vehículos puede ser tratado como un problema de programación linear entera y con esto, teóricamente, es posible encontrar la solución óptima del mismo, pero esta solución óptima va ha ser cada vez más difícil, en cuanto mayor sea el número de variables del problema. Por esta razón, hasta la década del 70, eran desarrollados sistemas de cómputo heurísticos que imitaban los procedimientos manuales, como por ejemplo el mencionado por Elías (1964). A partir de los años 70, surgieron los estudios en la producción de sistemas basados en los métodos mixtos, donde se combinan los métodos heurísticos y la programación matemática. A continuación serán presentados algunos de estos sistemas implementados computacionalmente, como por ejemplo el de VSPX, HASTUS, HOT, ALOC, TCA, BUSMAN, OferBus y WinBUS 95 26 . Estos sistemas se dirigen siempre a una aplicación determinada. 2.5.1.1 El SISTEMA VSPX

Este sistema se puede considerar como uno de los primeros en el sector transportes, siendo desarrollado por la IBM en 1972. A. Kibon adoptó, en el Brasil, este ruterizador 26

Antonio Sérgio Coelho. Um modelo heurístico para distribução e alocação de ônibus em linhas urbanas com opção de análise dos resultados a través de simulação. Santa Catarina-Brasil 1998, capítulo 4 25

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para ayudar en la distribución de sorbetes, donde cada carro hacía en promedio 40 entregas diarias. A pesar del escepticismo de la época, las ventajas habían sido enormes, por lo tanto la compañía lo estaría cambiando recientemente por un sistema actualizado, en virtud de una política de descentralización. 2.5.1.2 SISTEMA HASTUS

El SISTEMA HASTUS 27 se propone para resolver el problema de la distribución de conductores de vehículos, usándose un procedimiento estándar. La descomposición se hace dividiendo los bloques en las piezas, que serán combinados de forma a producir el FWSs (horarios completos de trabajo). La solución se mejora con el uso de heurísticas o por el propio usuario que puede intervenir recíprocamente en el proceso. 2.5.1.3 SISTEMA WinBUS 95

El sistema de WinBUS (Mayerle 1996) divide el problema del planeamiento operacional del transporte público en tres etapas: d) Asignación de vehículos; e) Generación de escalas; f) Distribución de las escalas entre los conductores. Además de estas etapas, WinBUS posee algunos recursos adicionales que permiten el mantenimiento de la base de datos, la generación de informes y la consulta a los planes generados. Mayerle (1996) trata el modelo de asignación de la flota como un grafo G(V,A), donde V = {v1, v2... vN} es un conjunto de los vértices que representa los viajes que tendrán que ser puestos y A={a1, a2...an} es el conjunto de arcos que indica las posibilidades de viajes (Mayerle 1996).

27

www.giro.ca/Spanish/HASTUS/widely_used_system.htm 26

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Los costes de la asignación de una secuencia de viajes de un vehículo de la flota son determinados tomándose en consideración los costes de: a) Depreciación de la flota; b) Interés sobre el capital inmovilizado en la flota c) Costos de combustibles, de aceites lubricante, de filtros y de grasas; d) Costos de los neumáticos; e) Coste del mantenimiento preventivo y correctivo; f) Costo de mano de obra operacional. Los vehículos son escogidos para atender un conjunto de viajes, tomándose en consideración los parámetros mencionados arriba. Estas informaciones se consigue con la ayuda de un modelo difuso (Mayerle 1996).

2.6. CONSIDERACIONES FINALES El problema del planeamiento operacional del transporte urbano ha merecido una atención constante por parte de los administradores del sector, por tratarse de un problema de solución difícil. A pesar de este esfuerzo en desarrollarse modelos y sistemas de uso general, lo que viene dando mejores resultados hasta el momento son los modelos de aplicaciones más específicas, como aquellos desarrollados para ciudades o para las mismas empresas. En general, analizando los modelos desarrollados en la literatura, se puede observar que están preocupados por la minimización de la flota, cuando, en verdad, para los administradores del sector del transporte urbano, esta práctica no está muy bien aceptada. El problema de estos administradores es encontrar una solución para la distribución y la asignación de la flota existente.

27

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Capítulo III

3. MODELO PROPUESTO 3.1. MODELO DE PROGRAMACION DE VEHÍCULOS EN UNA RUTA ESPECÍFICA 3.1.1. INTRODUCCIÓN En el modelo propuesto se presenta la formulación matemática de programación binaria para programar las unidades distribuidas a una ruta específica del transporte urbano de pasajeros, de tal manera que se asignen las unidades en sus horarios respectivos durante el transcurso del día. Este modelo de programación de los vehículos genera una solución viable que puede ser la óptima o por lo menos una buena solución. Como fue discutido ya anteriormente, la obtención de la solución óptima por métodos no heurísticos, osea, aquella donde es garantizada siempre una solución óptima, es 28

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

prácticamente imposible debido al númeroelevado de variables asociadas al problema; En consecuencia es que se emplean algoritmos heurísticos 28 . La asignación de los vehículos en los horarios de las líneas se hace usando un modelo heurístico, que se basa en la idea de un algoritmo de la búsqueda en árbol. Los cortes de este árbol serán hechos de forma acelerada más que en otros modelos de optimización como, por ejemplo, en el algoritmo de la programación lineal entera (ramificación y acotamiento), previniendo con esto un aumento muy grande del número de nodos, que haría impracticable la solución del problema. Con la aceleración de los cortes, el modelo puede llegar a una situación donde no es la solución óptima. Sin embargo, para reducir al mínimo este problema, el modelo utiliza la heurística que generalmente demuestra eficacia, teniendo de esta forma muy rápida una contestación de cómputo para la solución del problema. El tratamiento matemático a seguir va a considerar el hecho de que la distribución de las unidades vehiculares ya fue hecha previamente a través de un megamodelo matemático.

3.1.2 DESRIPCION DEL MODELO El modelo tendrá que representar las interrelaciones que existen entre cada uno de los factores que comprende el sistema, para el modelo nos centraremos con cuatro factores importantes del sistema de transporte en estudio que están definidas por el tiempo de viaje en la ruta seleccionada, demanda del servicio de transporte en las diferentes horas del día, la Oferta del servicio (flota de unidades asignadas a dicha ruta), y el número total de viajes realizados por cada una de las unidades en un tiempo determinado. El modelo que se va a formular, tendrá como objetivo central la minimización de la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a dicha ruta. Para lograr dicho objetivo debemos evaluar el conjunto de recursos ó disponibilidades con que cuenta el sistema y ello deriva en un conjunto de restricciones al que se sujetará el objetivo. 28

ROBERT J. THIERAUF, Toma de Decisiones por medio de la Investigación de Operaciones. Limusa. México 1993, p. 502. 29

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

El conjunto de restricciones que generara el modelo estarán conformadas por las siguientes restricciones: •

Demanda del Servicio, conformado por la cantidad de usuarios que solicitan el servicio a una determinada hora del día.

•

Capacidad de realización de viajes, conformado por el total de viajes realizados por cada una de las unidades durante el periodo de la programación, para lo cual se deberá determinar el número de viajes por día.

•

Oferta del servicio, conformada por la cantidad de unidades asignadas a la ruta y la capacidad individual de cada unidad.

•

Tiempo de espera del usuario, conformado por el tiempo que el usuario estaría dispuesto ha esperar en el paradero como máximo antes de abordar otro autobús.

3.1.2.1 Determinación de los factores: a) Demanda del servicio La demanda del servicio de transporte urbano de pasa os en una ruta es el número de pasajeros por intervalo de tiempo que esperan en toda la ruta. El cálculo de esta demanda es de importancia básica, por lo tanto es con ella que el sistema va a garantizar que la cantidad de vehículos asignados a un intervalo de tiempo satisfaga la demanda del servicio y al mismo tiempo minimizar que el exceso de capacidad ociosa. En la práctica, la demanda del servicio en los horarios no se distribuyen uniformemente durante el día, existen los períodos donde está más intenso que otros y donde la frecuencia de horario está menos intenso que en el promedio.

30

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

b) CAPACIDAD DE REALIZACIÓN DE VIAJES La capacidad de la realización de viajes es el número máximo de viajes que un vehículo puede hacer en una línea durante la programación (TV). El resultado obtenido en base a la relación siguiente deberá ser redondeada.

Total Vueltas =

Demanda total del servicio Oferta del servicio por vuelta

Donde: VD

Demanda Total del Servicio = DP * ∑ Dj 1

Donde: DP es en número de días de la programación; VD es el número de vueltas que realiza un vehículo por día y Dj es la demanda de la hora j. El número de vueltas por día (VD) se determina en función a la hora de inicio de la programación (hi) y la hora de finalización de la misma (hj). 31

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Tiempo de programación por día = hi – hj El tiempo de duración del viaje (tv) depende de la distancia recorrida en la ruta. Dicho tiempo se contabiliza desde que la unidad sale del paradero hasta que llega al mismo punto de partida. Por lo tanto: VD =

TIEMPO DE PROGRAMACIÓN POR DÍA TIEMPO DE DURACIÓN DEL VIAJE

VD =

hi - hj + 1 tv

De otro lado se tiene que: N

Oferta del servicio por día = ∑ CPi 1

Donde: CPi es la capacidad del vehículo i y N es el número de vehículos asignados a la ruta. c) Oferta del Servicio: Está determinada por el total de asientos disponibles para el servicio de transporte urbano. El total de asientos depende de la cantidad de vehículos de transporte urbano de pasajeros (sin considerar a taxis), destinados al servicio de una ruta específica (N), así como también de la capacidad de asientos de cada vehículo (CP). d) Tiempo de Espera del Usuario Este tiempo depende del tiempo de duración del viaje (tv) y del número de vehículos asignados a la ruta (N).

Tiempo de Espera =

tv N 32

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Si se tiene que satisfacer un tiempo de espera máximo, entonces se deberá programar un número mínimo de vehículos por vuelta durante la programación (AV): AV mínimo =

tv Tiempo de espera máximo

3.1.3 FORMULACION MATEMÁTICA Consiste en definir, los índices, parámetros y en especial las variables de decisión que define el modelo de programación binaria. En esta parte se responde a dos cuestiones importantes: la primera ¿Qué deseamos optimizar en el modelo? , Según las premisas dadas lo que deseamos es minimizar la capacidad ociosa del sistema y contamos con información conocida del modelo constituidas por los índices y los parámetros; la segunda cuestión es ¿Qué deseamos determinar en el modelo?, y la respuesta es la programación de las unidades en cada una de las horas del día en función a la demanda del servicio y estos lo conforman las variables de decisión 29 . Todos estos elementos son presentados a continuación:

a) Índices i: Identifica al vehículo o autobús i=1,2,3,...,N Donde N representa el número de autobuses asignados a una ruta específica. j: Identifica el día de un periodo de programación (un periodo de programación puede ser una semana, una quincena, un mes, etc.) j=1,2,3,...,DP Donde DP representa el número de días de la programación. k: Identifica la hora del día j

∀k=hi, hi+1,hi+2,...,hj 29

KAMLESH MATHUR, DANIEL SOLOW. Investigación de Operaciones, El Arte de la Toma de Decisiones. Prentice Hall, México 1996, p. 64. 33

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Donde hi representa la hora de inicio y hj la hora de finalización de la programación. Además hi+1 = hi + tv (donde tv es el tiempo de duración de una vuelta en horas). Suponiendo que el servicio de transporte empieza a las 6 horas y termina a las 21 horas y tv = 1, entonces se tiene: k=6, 7, 8, … , 21 b) Parámetros CPi: Capacidad de pasajeros del autobús i. VD: Número de vueltas por día. DP: Total de días de la programación. Djk: Demanda del servicio en la hora j del día k. TVi: Total de vueltas del vehículo i durante la programación. AVjk: Mínimo número de autobuses por vuelta en la hora j del día k. N: Numero de vehículos asignados a una ruta especifica.

c) Variables de decisión Xijk

: Variable de decisión binaria.

Xijk = 1, Si el vehículo i es asignado en la hora j del día k; = 0, Si el vehículo i no es asignado en la hora j del día k ei = Variable de decisión entera que representa la holgura del número de vueltas que realiza el vehículo i en relación al promedio.

3.2 CONSTRUCCIÓN DEL MODELO En el paso anterior definimos, los índices, los parámetros y las variables de decisión. El siguiente paso será generar el modelo matemático con la información relevante, 34

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

sabemos que debemos minimizar la capacidad ociosa, y ésta, dada su sensibilidad está obligadamente ligada a las disponibilidades de recursos con que el sistema cuenta. La aplicación del modelo de programación binaria presupone en su estructura tres componentes fundamentales, que a continuación pasamos a detallar:

1. LA FUNCION OBJETIVO El objetivo que deseamos alcanzar, es la minimización de la capacidad ociosa de la flota de transporte asignada a una ruta específica, por lo que la función objetivo quedará determinada por:

Min(z) =

i

j

k

1

1

1

∑∑∑ CPi * Xijk

j

DP * ∑ Dj 1

Donde: Z representa la capacidad ociosa del sistema de transporte

2. RESTRICCIONES ESTRUCTURALES Existen tres tipos de restricciones estructurales que son las siguientes:

a. Satisfacción de la demanda del servicio Dado que la demanda del servicio tiene un comportamiento variable durante las diferentes horas del día, se debe establecer restricciones que aseguren ofertar una capacidad de al menos la demanda del servicio por cada hora del servicio, todo ello se conjuga en las siguientes restricciones: i

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

b. Restricciones de equilibrio en el número de viajes

Por lo general en nuestro medio cada vehículo de la flota de vehículos pertenece a un dueño diferente, por lo tanto el modelo debe buscar un equilibrio en el total 35

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

de horas de trabajo, para de esta manera buscar que todos tengan la misma oportunidad de ganancias. Esto se refleja en las siguientes restricciones: j

k

∑∑ Xi

jk

1

− ei = TVi ; ∀i

1

Cabe señalar que debido a que las restricciones del tipo igual son muy exigentes para dar con una solución óptima, es que se agrega una variable de holgura que permita balancear el modelo y obtener una solución óptima.

c. Restricciones de intervalo de llegadas de autobuses a un paradero.

Los usuarios tienen un máximo de tiempo de espera, vencido ese tiempo buscan otra línea, por lo tanto el modelo deberá conseguir que el tiempo entre llegadas de los vehículos al un paradero no exceda ese nivel de paciencia. Esto se consigue mediante las siguientes restricciones: i

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

3. RESTRICCIONES LOGICAS Estas establecen que las variables de decisión del modelo deben ser valores no negativos 30 para que los resultados del modelo sean consistentes y tengan sentido lógico. Con lo que se establece la condición de no negatividad de los modelos de programación lineal:

Xijk ≥ 0; Pero para un modelo de Programación Binaria las restricciones lógicas son:

Xijk Є {0,1}; ei Є {0,1}

30

CHARLES A. GALLAGER, HUGH J. WATSON, Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en la Administración, p. 160. 36

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Por lo tanto el Modelo de Programación Binaria para optimizar la programación de autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros en su expresión algebraica es: i

j

k

1

1

1

∑∑∑ CPi * Xijk

Min(z) =

-

j

DP * ∑ Dj 1

ST: i

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

j

k

∑∑ Xi 1

− ei = TVi ; ∀i

jk

1

i

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

Xijk Є {0,1}; ei >=0 y Entero; ∀i = 1, 2, 3, ..., N ∀j = hi, hi+1, ..., hj ∀K = 1, 2, 3, ..., DP Cálculo del Total de Vueltas ajustado: Para ajustar el total de vueltas, se ejecuta el modelo anterior y se obtiene la sumatoria de los valores de las variables de decisión ei, entonces se tiene: N

∑ ei TVi(ajustado)

=

TVi

1

+

N

−1

Este resultado deberá también ser redondeado. 37

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Por lo tanto en nuevo modelo a ejecutarse, del cual se determinará la solución óptima del problema es: i

j

k

CP * Xi Min(z) = ∑∑∑ i

1

1

jk

1

j

DP * ∑ Dj 1

ST: i

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

j

k

∑∑ Xi

jk

1

− ei = TVi ( ajustado ) ; ∀i

1

i

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

Xijk Є {0,1}; ei Є {0,1}; ∀i = 1, 2, 3, ..., N ∀j = hi, hi+1, ..., hj ∀K = 1, 2, 3, ..., DP Cabe resaltar que la variable ei en el modelo nuevo se hace binaria, dando la opción a que alguna de los vehículos realice a lo más una vuelta adicional en relación al nuevo promedio. Para un problema cuya magnitud es: 9 Número de vehículos asignados a la ruta N = 5 9 Hora de inicio de la programación hi =6 38

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

9 Hora de finalización de la programación hj =9 9 Tiempo de duración del viaje tv =1 hora (60 minutos) 9 Demanda Dj= horas 6, 7, 8 y 9: 40, 85, 30 y 70 respectivamente. 9 Total número de días de la programación DP = 3 9 Máximo tiempo de espera = 20 minutos 9 Capacidad de cada vehículo CP = (3 vehículos con capacidad de 15 asientos

cada uno y 2 vehículos con capacidad de 20 asientos cada uno. Por lo tanto: El número de vueltas por día es: VD =

hi - hj + 1 9 − 6 + 1 = = 4 vueltas 1 tv VD

Demanda Total del Servicio = DP * ∑ Dj 1

= 3*(40+85+30+70) = 675 N

Oferta del servicio por día = ∑ CPi 1

= 15+15+15+20+20 = 85

Entonces el total de vueltas de cada vehículo durante la programación sería:

Total Vueltas =

Demanda total del servicio 675 = = 7.94 ≅ 8 vueltas Oferta del servicio por vuelta 85 N

∑ ei TVi(ajustado)

=

TVi

1

+

N

−1=

8 +

5 − 1 = 8 vueltas 5

El número mínimo de vehículos por vuelta sería: 39

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

AV mínimo =

tv 60 = = 3 vehículos Tiempo de espera máximo 20

En consecuencia, el modelo matemático correspondiente sería el siguiente:

MODELO ALGEBRAICO

Min(z) =

5

9

3

1

6

1

9

∑∑∑ CP * Xi i

jk

DP * ∑ Dj 6

ST: 5

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

9

3

∑∑ Xi

jk

6

− ei = TVi ( ajustado ) ; ∀i

1

5

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

Xijk Є {0,1}; di Є {0,1}; ∀i = 1, 2, 3, 4, 5 ∀j = 6, 7, 8, 9 ∀K = 1, 2, 3

40

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

MODELO ANALÍTICO Min

15X161+15X171+15X181+15X191+15X162+15X172+15X182+15X192+15X163+15 X173+15X183+15X193+ 15X261+15X271+15X281+15X291+15X262+15X272+15X282+15X292+15X263+15 X273+15X283+15X293+ 15X361+15X371+15X381+15X391+15X362+15X372+15X382+15X392+15X363+15 X373+15X383+15X393+ 20X461+20X471+20X481+20X491+20X462+20X472+20X482+20X492+20X463+20 X473+20X483+20X493+ 20X561+20X571+20X581+20X591+20X562+20X572+20X582+20X592+20X563+20 X573+20X583+20X593 St Restricciones de satisfacción de demanda mínima:

15X161+15X261+15X361+204d61+20X561≥40 15X171+15X271+15X371+204d71+20X571≥85 15X181+15X281+15X381+204d81+20X581≥30 15X191+15X291+15X391+204d91+20X591≥70 15X162+15X262+15X362+204d62+20X562≥40 15X172+15X272+15X372+204d72+20X572≥85 15X182+15X282+15X382+204d82+20X582≥30 41

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

15X192+15X292+15X392+204d92+20X592≥70 15X163+15X263+15X363+204d63+20X563≥40 15X173+15X273+15X373+204d73+20X573≥85 15X183+15X283+15X383+204d83+20X583≥30 15X193+15X293+15X393+204d93+20X593≥70 Restricciones de equilibrio en las horas de trabajo:

X161+X171+X181+X191+X162+X172+X182+X192+X163+X173+X183+X193-e1=8 X261+X271+X281+X291+X262+X272+X282+X292+X263+X273+X283+X293-e2=8 X361+X371+X381+X391+X362+X372+X382+X392+X363+X373+X383+X393-e3=8 X461+X471+X481+X491+X462+X472+X482+X492+X463+X473+X483+X493-e4=8 X561+X571+X581+X591+X562+X572+X582+X592+X563+X573+X583+X593-e5=8 Restricciones de número mínimo de vehículos por vuelta:

X161+X261+X361+X461+X561≥3 X171+X271+X371+X471+X571≥3 X181+X281+X381+X481+X581≥3 X191+X291+X391+X491+X591≥3 X162+X262+X362+X462+X562≥3 X172+X272+X372+X472+X572≥3 X182+X282+X382+X482+X582≥3 42

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X192+X292+X392+X492+X592≥3 X163+X263+X363+X463+X563≥3 X173+X273+X373+X473+X573≥3 X183+X283+X383+X483+X583≥3 X193+X293+X393+X493+X593≥3 Xijk Є {0,1}; di Є {0,1}; ∀i = 1, 2, 3, 4, 5 ∀j = 6, 7, 8, 9 ∀K = 1, 2, 3

El modelo matemático de programación binaria para una magnitud de 20 vehículos por ruta, 16 horas de trabajo por día y para 5 días de programación, se muestra en el

ANEXO Nro 1

3.3. CONSIDERACIONES FINALES En este capítulo, se presenta un modelo que permite hacer la Programación de un sistema de planeamiento operacional del transporte, que consiste en asignar la flota de vehículos asignados a una ruta en particular en los diferentes horarios disponibles. Para facilitar a la solución del problema de la programación de autobuses de una flota en un sistema de planeamiento, él debe ser tratado de forma modular, en cuanto al tiempo de programación, permitiendo analizar cada módulo por separado. Como puede ser observado en el item anterior, cuando el problema es tratado de forma global, el número de variables tiende a crecer muy rápido, luego inviabiliza una solución en un tiempo computacional aceptable.

43

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Capítulo IV 4. APLICACIÓN DEL MODELO

4.1 INTRODUCCION En este capítulo se presenta la implementación computacional del modelo propuesto en el capítulo anterior.

Una de las grandes ventajas del modelo propuesto es la rapidez en la solución del problema, por ejemplo dada la magnitud del modelo (1215 variables y 175 restricciones), lleva un tiempo mínimo 2 o 3 segundos en un computador Pentium 2. Esta eficiencia es obtenida debido a los algoritmos utilizados por el software de ramificación y acotamiento para programación binaria 31 . La solución obtenida no necesariamente es la óptima, ésta tiene que interactuar heurísticamente con el tomador de decisión a efectos de encontrar una solución adecuada a la realidad del sistema. Para este tipo de problema, una solución no óptima, no necesariamente significa una pérdida de la calidad de dicha solución.

44

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

El centro de demanda seleccionado para hacer la aplicación del modelo es la Urbanización Dolores del distrito de José Luís Bustamante y Rivero, ubicada al noreste de la ciudad de Arequipa. Se realizó el levantamiento de la información con relación a las rutas que pasan por esta urbanización, la cantidad de vehículos asignados a cada una de ellas, así como la demanda del servicio para cada ruta específica. Las características de las rutas consideradas son las siguientes: Ruta “Policlínico”

Recorrido: Tasahuayo, Amauta, Urb. Dolores, J.P.V.y Guzmán, Cemnterio general, Hospital general, Ormeño, Puente Bolognesi, Policlínico, Cayma, La Católica, Ormeño, Hospital General, Cementerio General, J.P.V.y Guzmán, Urb. Dolores, Amauta y Tasahuayo. Número de unidades asignadas: 27. Tiempo para recorrer la ruta de ida y vuelta: 115 minutos. Frecuencia de vehículos por paradero: cada 4.25 minutos. Ruta “Correcaminos”

Recorrido: La Alborada, Tasahuayo, Amauta, Urb. Dolores, J.P.V.y Guzmán, Monterrey, Esep Pedro P. Díaz, Unsa, Coliseo, Goyeneche, La Salle, Canal 6, GUEMM, Esep Pedro P. Díaz, Monterrey, J.P.V.y Guzmán, Urb. Dolores, Amauta, Tasahuayo y La Alborada. Número de unidades asignadas: 13. Tiempo para recorrer la ruta de ida y vuelta: 50 minutos.

31

CHARLES A. GALLAGER, HUGH J. WATSON, Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones en la Administración, p. 262. 45

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Frecuencia de vehículos por paradero: cada 3.84 minutos. Ruta “Dolores”

Recorrido: Tasahuayo, Amauta, Urb. Dolores, J.P.V.y Guzmán, Municipalidad JLB y Rivero, Sedapar, Coliseo, Unsa, La Salle, Seguro Social, Siglo XX, Unsa, Coliseo, Sedapar, Municipalidad JLB y Rivero, J.P.V. y Guzmán, Urb. Dolores, Amauta y Tasahuayo. Número de unidades asignadas: 15. Tiempo para recorrer la ruta de ida y vuelta: 60 minutos 32 . Frecuencia de vehículos por paradero: cada 4 minutos. La ruta seleccionada es la Ruta Dolores, dado que se encontró receptividad en los administradores para colaborar con el desarrollo y la aplicación del modelo propuesto a efectos de optimizar su programación. El cuadro siguiente muestra una descripción gráfica de los recorridos de cada una de las rutas:

32

Registros diarios de la Empresa de Transporte Urbano de Pasajeros DOLORES. 46

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

47

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

4.2 DIMENSIONAMIENTO DEL SISTEMA Los datos relevantes para la aplicación elegida son los siguientes: 9

Número de vehículos asignados a la ruta N = 15

9

La capacidad de los vehículos asignados a esta ruta es la siguiente: 7 vehículos con capacidad de 15 pasajeros, 5 vehículos con capacidad de 20 pasajeros y 3 vehículos con capacidad de 25 pasajeros.

9

Hora de inicio de la programación hi =6

9

Hora de finalización de la programación hj =21

9

Tiempo de duración del viaje tv =1 hora (60 minutos)

9

El total de días de programación elegido es de 5 días asumiendo que el comportamiento durante los 5 primeros días (lunes a viernes) se repite durante las cuatro semanas del mes. De otro lado el número de variables para este periodo de programación es el adecuado para la capacidad del software a utilizar.

9

Máximo tiempo de espera = 5.5 minutos, de acuerdo a encuestas realizadas a los usuarios involucrados en la ruta.

9

Demanda del servicio Dj durante las 16 horas se resume en el siguiente cuadro:

48

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Determinación de la Demanda del Servicio HORA DEL DÍA

Ruta Dolores Universitarios Escolares Turno Mañana Escolares Turno Tarde Empleados Turno Mañana Empleados Turno tarde

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

26

20

25

5

19

12

4

22

16

5

22

25

33

7

60

30

35 149 54

9

33 136 37

22

42

21

47

65

38

14

42

54

23

34

0

14

32

29

80

12

3

16

23

24

16

11

3

35

45

4

6

6

8

4

7

11

4

Amas de casa

4

11

28

24

15

38

11

Comerciantes Otros durante el día

34

24

17

22

23

15

5

4

14

17

21

27

21

32

25

28

13

34

27

45

33

45

25

12

18

26

24

55

32

55

55

47

TOTAL 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170

Fuente: Elaboración Propia

Cálculo del número de vueltas por día: VD =

hi - hj + 1 21 − 6 + 1 = = 16 vueltas 1 tv

Cálculo de la demanda total del servicio: VD

Demanda Total del Servicio = DP * ∑ Dj 1

= 5*(160+270+180+105+90+110+120+280+ 160+140+100+115+125+190+270+170) = 12925 asientos 49

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Cálculo de la oferta del servicio por día: N

Oferta del servicio por día = ∑ CPi 1

= 15+15+15+15+15+15+15+20+20+20+20+ 20+25+25+25 = 280 asientos Cálculo del total de vueltas durante la programación:

Total Vueltas =

Demanda total del servicio 12925 = = 46.16 ≅ 46 vueltas Oferta del servicio por vuelta 280

Cálculo del número mínimo de vehículos por vuelta:

AV mínimo =

tv 60 = = 10.9 ≅ 11 vehículos Tiempo de espera máximo 5.5

En consecuencia, el modelo matemático correspondiente sería el siguiente:

4.3 MODELO ALGEBRAICO

Min(z) =

15

21

5

1

6

1

∑∑∑ CP * Xi i

jk

-

21

DP * ∑ Dj 6

ST: 15

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

50

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

21

5

∑∑ Xi

− ei = TVi ; ∀i

jk

6

1

15

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

Xijk Є {0,1}; ei >=0 y Entero; ∀i = 1, 2, 3,..., 15 ∀j = 6, 7, 8,..., 21 ∀K = 1, 2, 3,..., 5

Cálculo del Total de Vueltas ajustado: Para ajustar el total de vueltas, se ejecuta el modelo anterior y se obtiene la sumatoria de los valores de las variables de decisión ei, entonces se tiene:

N

∑ ei TVi(ajustado)

=

TVi

1

+

N

− 1 = 46

+

240 −1 15

= 61 vueltas

Por lo tanto en nuevo modelo a ejecutarse, del cual se determinará la solución óptima del problema es:

51

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

15

21

5

1

6

1

Min(z) = ∑∑∑ CPi * Xijk -

21

DP * ∑ Dj 6

ST: 15

∑ CP *X i

ijk

≥ Djk ;

∀j , ∀k

1

21

5

∑∑ Xi

jk

6

− ei = TVi ( ajustado ) ; ∀i

1

15

∑ Xi

jk

≥ AVjk ; ∀j , ∀k

1

Xijk Є {0,1}; ei Є {0,1}; ∀i = 1, 2, 3,..., 15 ∀j = 6, 7, 8,..., 21 ∀K = 1, 2, 3,..., 5

4.4 MODELO ANALÍTICO El modelo analítico para la aplicación propuesta se presenta en el Anexo 1. A continuación se presenta el sistema computacional Lindo 6.0, que posibilita al tomador de decisión hallar un resultado para el modelo matemático de programación binaria propuesto y poder realizar la optimización en la programación de autobuses en una ruta del transporte urbano de pasajeros. 52

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

4.5 ENTRADA DE DATOS Uno de los problemas que presenta el programa LINDO 6.0 es lo engorroso que resulta ingresar un modelo extenso a través de los comandos de edición que el programa tiene incorporado, debido a que se basan en antiguos esquemas de interfase con el usuario. Sin embargo, esta misma interfase es muy apta para trabajar con un editor de texto externo. En esta aplicación se trabaja con el editor de Visual Basic, lo que permite mantener el editor y el programa LINDO 6.0 funcionando a la vez. El esquema de trabajo es el siguiente: 1. Se abre el editor FILE/NEW (u otro para texto sin formato) y se ingresa el modelo del problema junto con algunos comandos que indican el tipo de optimización que se debe realizar y se graba en el mismo directorio donde se ejecutará el programa LINDO 6.0. 2. Se hace funcionar el programa LINDO 6.0. La primera tarea es leer el problema del archivo con el comando FILE/OPEN. Una vez cargado el problema se utiliza el comando SOLVE/SOLVE para resolverlo. Aquí el programa le pregunta si desea obtener el reporte de análisis de sensibilidad a lo que generalmente se responde afirmativamente (Y) en caso de un modelo de programación lineal, pero en un modelo de programación binaria no existe esta pregunta. Si el programa no hace esta pregunta es porque tiene problemas de edición en su archivo de entrada, o el problema es no factible. 3. Una vez que se aseguró que los resultados obtenidos son razonables hay que indicar al programa que debe mandar los resultados a un archivo, con el comando FILE/SAVE; log ouput. Este comando cambia el lugar en que se muestran los datos, es decir, cambia la pantalla del programa por el archivo indicado. De lo anterior se explica el porque hay que volver a resolver el problema, pero esta vez no se verán los resultados (salvo unas líneas resumidas), ya que la información se está escribiendo en el archivo. Este archivo queda grabado (por defecto) en el mismo lugar donde se está ejecutando el programa 53

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

LINDO 6.0, y es conveniente darle un nombre con extensión LXT (como por ejemplo SALIDA.LXT). Ahora hay que salir del programa con el comando FILE/EXIT 4. Lo último es ir a la carpeta donde esta el programa LINDO y buscar el archivo de SALIDA.LXT (o como Ud. lo haya llamado) y verificar que están los resultados. Ahora solo resta la interpretación de los resultados.

4.5.1 INGRESAR EL PROBLEMA

Abra el editor de texto FILE/NEW y escriba el modelo matemático tal como se muestra en capitulo precedente. Note que al final se debe ingresar las condiciones de variables binarias. Su archivo debe lucir como en la figura siguiente:

54

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Figura 4.1. Archivo de entrada de datos.

No olvide de dejar los espacios adecuados y de bajar a una nueva línea con la tecla Enter. El no seguir estas indicaciones puede originar problemas a la hora de resolver el modelo. Guarde el archivo en la carpeta donde esta el programa LINDO 6.0 con 55

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

cualquier no 32 mbre y asegúrese que quede con la extensión LXT (en este ejemplo el archivo es ENTRADA.LXT)

4.5.2 RESOLVER EL PROBLEMA

Ahora debe iniciar el programa LINDO 6.0 haciendo doble clic sobre su icono. Ingrese el comando FILE/NEW para cargar el archivo del problema y selecciónelo con las flechas y luego presione Enter. Una vez que se cargó el archivo escriba el comando SOLVE/SOLVE. El programa desplegará los resultados. Ahora hay que realizar los mismos pasos pero antes hay que indicar al programa que envíe los datos a un archivo.

4.5.3 GUARDAR LOS RESULTADOS

Como ya pudimos ver la solución del problema en pantalla interesa grabar estos datos. Para esto hay que escribir el comando FILE/SAVE y entregar un nombre de archivo para los datos de salida. En este ejemplo el archivo de salida es SALIDA.LXT. La extensión permite que se pueda abrir el archivo con el NOTEPAD 33 . Para problemas de gran magnitud, se recomienda utilizar el Log Ouput de File, en donde se le da el nombre del archivo que almacenará la información, la cual se podrá verla abriendo el archivo con la opción Load de File. Una vez que abra el archivo (recuerde que se graba en el mismo lugar que funciona LINDO 6.0 a menos que Ud. indique lo contrario) y verá el reporte respuesta emitida por el programa (Figura 4.2).

33

Manual del Usuario del software Lindo 6.0/ WWW.Lindo.com 56

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Figura 4.2. Archivo de salida de datos. 57

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Figura 4.2. Archivo de salida de datos (continuación)

No olvide que para salir de LINDO se utiliza el comando FILE/EXIT.

4.6 REPORTES El objetivo de un reporte es proveer al usuario información confiable, El reporte emitido durante el procesamiento provee los resultados para el usuario a fin de que pueda tomar las decisiones correctas en la operación del sistema. Este modelo ofrece al usuario, en la práctica, un reporte que contiene una propuesta de programación de los vehículos para una línea de transporte urbano de pasajeros, dicha 58

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

propuesta deberá interactuar con el usuario a efecto de buscar una opción aceptable que permita optimizar los resultados en la empresa. La salida completa del software Lindo 6.0 se muestra en el Anexo Nro 2. En las figuras siguientes se muestran los resultados procesados para los diferentes días de la programación. Cabe señalar que estos resultados han sido abstraídos de la salida del Lindo 6.0 mostradas en el Anexo Nro 2.

59

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SISTEMA PROPUESTO PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 1

Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 14 15 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 11 15 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 15 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 12 15 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 11 15 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 15 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 11 20 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 9 20 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 14 20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 13 20 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 11 20 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 10 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 14 25 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 14 25 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 12 3415 Oferta 215 280 210 215 200 110 210 280 190 215 195 205 205 195 280 210 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 90 0 30 75 95 90 80 5 10 40 Capacidad Ociosa 55 10 30 110 110 0 830

Figura 4.3 Programación para el día 1.

Se observa que el número de vehículos por hora de trabajo es al menos 11. 60

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

SISTEMA PROPUESTO PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 2

Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 15 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 13 15 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 10 15 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 14 15 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 13 15 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 11 15 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 11 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 15 20 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 14 20 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 13 20 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 25 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 11 25 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 11 25 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 13 3505 Oferta 195 280 210 205 210 215 205 280 205 200 210 205 205 195 280 205 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 0 45 60 110 90 80 5 10 35 Capacidad Ociosa 35 10 30 100 120 105 85 920

Figura 4.4 Programación propuesta para el día 2.

Se observa que el número de vueltas es variable, esto se debe a que sólo se considera un día.

61

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

SISTEMA PROPUESTO PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 3

Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 9 15 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 12 15 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 13 15 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 10 15 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 12 15 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 11 15 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 13 20 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 14 20 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 12 20 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 12 20 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 20 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 14 25 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 14 25 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 12 25 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 13 3475 Oferta 195 280 210 220 210 200 220 200 215 210 215 200 220 195 280 205 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 55 70 115 85 95 5 10 35 Capacidad Ociosa 35 10 30 115 120 90 100 0 890

Figura 4.5 Programación propuesta para el día 3.

62

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

SISTEMA PROPUESTO PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 4

Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 14 15 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 13 15 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 15 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 14 15 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 13 15 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 13 15 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 13 20 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 11 20 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 13 20 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 10 20 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 12 20 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 13 25 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 11 25 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 14 25 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 11 200 280 200 215 215 205 200 280 200 200 200 205 185 195 280 215 3475 Oferta 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 0 40 60 100 90 60 5 10 45 Capacidad Ociosa 40 10 20 110 125 95 80 890

Figura 4.6 Programación propuesta para el día 4.

63

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

SISTEMA PROPUESTO PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 5 Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 11 15 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 13 15 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 12 15 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 12 15 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 13 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 15 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 14 20 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 13 20 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 11 20 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 13 20 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 20 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 12 25 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 12 25 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 11 25 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 13 205 280 185 215 215 200 200 280 210 195 215 215 185 195 280 215 3490 Oferta 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 5 110 125 90 80 0 50 55 115 100 60 5 10 45 Capacidad Ociosa 45 10 905

Figura 4.7 Programación propuesta para el día 5.

64

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

SISTEMA ACTUAL PROGRAMACION Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Día 1

Número Capacidad 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 de vueltas 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 280 4480 Oferta 2585 Demanda 160 270 180 105 90 110 120 280 160 140 100 115 125 190 270 170 Capacidad Ociosa 120 10 100 175 190 170 160 0 120 140 180 165 155 90 10 110 1895

Figura 4.8 Programación actual para el día 1, que se repite en los días 2, 3, 4 y 5.

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RESUMEN Sistema Actual Vehículo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Capacidad 15 15 15 15 15 15 15 20 20 20 20 20 25 25 25 Oferta Demanda Capacidad Ociosa

Dia 1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 4480 2585 1895

Número de Vueltas Dia 2 Dia 3 Dia 4 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 4480 4480 4480 2585 2585 2585 1895 1895 1895

Dia 5 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 4480 2585 1895

Total 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 80 22400 12925 9475

Fuente: Elaboración Propia.

En el sistema actual se observa que el número de vueltas que cada vehículo realiza durante los 5 días de programación es de 80. Además se observa que la capacidad ociosa es de 9475 asientos ociosos durante los 5 días de programación.

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Sistema Propuesto Número de Vueltas Dia Dia Dia 1 2 3 Vehículo Capacidad Dia 4 Dia 5 Total 1 15 14 14 9 14 11 62 2 15 11 13 12 13 13 62 3 15 14 10 13 13 12 62 4 15 12 14 10 14 12 62 5 15 11 13 12 13 13 62 6 15 12 11 11 13 15 62 7 15 11 11 13 13 14 62 8 20 9 15 14 11 13 62 9 20 14 12 12 13 11 62 10 20 13 14 12 10 13 62 11 20 11 13 13 12 13 62 12 20 10 13 14 13 12 62 13 25 14 11 14 11 12 62 14 25 14 11 12 14 11 62 15 25 12 13 13 11 13 62 Oferta 3415 3505 3475 3475 3490 17360 Demanda 2585 2585 2585 2585 2585 12925 890 905 Capacidad Ociosa 830 920 890 4435

Fuente: Elaboración Propia.

Con el sistema propuesto se observa que el número de vueltas por vehículo durante los 5 días de programación es de 62, osea, que hay una reducción de 80-62=18 vueltas, lo que implica una reducción en la congestión vehicular y por consiguiente una reducción de los índices de contaminación ambiental.

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La capacidad ociosa se reduce de 9475 a 4435 asientos, osea el 53%, ocasionando un ahorro al empresario en cuanto a gastos de mantenimiento, lubricantes y combustibles. Además esto implica una mejora en el uso de recursos humanos.

4.7 CONSIDERACIONES FINALES Como puede observarse, la implementación del modelo presentado en el ítem anterior permite al usuario la obtención de la información necesaria para proponer un buen gerenciamiento de un sistema de programación de autobuses. Así mismo el modelo puede ser utilizado para facilitar la toma de decisiones, al momento de hacer un redimensionamiento de la flota de vehículos de la ruta o un redimensionamiento de los recursos humanos. Por último el modelo permite al usuario hacer un análisis del comportamiento o desempeño de la distribución de los vehículos con el fin de sugerir un plan de mantenimiento preventivo de las unidades.

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Capítulo V 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1 CONCLUSIONES 5.1.1 COCLUSIONES SOBRE LOS OBJETIVOS

1. Ha sido posible desarrollar un MODELO MATEMATICO DE PROGRAMACIÓN

BINARIA que permita realizar la Programación de autobuses en líneas urbanas, determinando el número de unidades vehiculares que deberán ser asignadas en los diferentes intervalos de tiempo del día, de forma que se optimice el problema de la congestión vehicular del transporte urbano de pasajeros en ciudades de tamaño medio, así como también que permita minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta.

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2. El desarrollo del Modelo Matemático de Programación Binaria para optimizar la

programación de autobuses en una ruta de transporte urbano de pasajeros en Arequipa, ha permitido minimizar los flujos vehiculares en las calles o avenidas de alta congestión en la zona urbana de la ciudad; ha permitido optimizar la programación de los horarios durante el día y las frecuencias de viajes de las unidades vehiculares; Ofrece un instrumento de trabajo que ayude a los responsables de la toma de decisiones en lo que respecta a la programación de autobuses en líneas o rutas urbanas del transporte de pasajeros de Arequipa; Además permite proponer recomendaciones que contribuyan al mejoramiento de la problemática del transporte urbano de pasajeros de Arequipa, de tal manera que se reduzcan los empirismos aplicativos, asegurar los incumplimientos de la programación y corregir las deficiencias y distorsiones; 3. El significado aumento en la demanda por infraestructura vial en Arequipa se explica

principalmente por el incremento de la población, el crecimiento económico y la expansión geográfica de la ciudad. Estos tres elementos han afectado el mercado de los viajes, acrecentando significativamente su número, y también el mercado del transporte, donde se ha intensificado la participación de los autobuses como medio para movilizarse. Los impactos provocados sobre estos dos mercados se han traducido en un crecimiento por la demanda de infraestructura vial que ha superado con creces la expansión de la oferta de vías. Este desbalance ha significado una mayor congestión vehicular en particular en aquellas localidades y horas del día en que el incremento en la demanda por vías ha sido superior al aumento en la oferta.

5.1.2 COCLUSIONES SOBRE LAS HIPOTESIS

4. El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de

autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitió mediante su aplicación 70

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

optimizar el problema de la congestión vehicular en la ciudad de arequipa, así como también permitió minimizar la capacidad ociosa de la flota de vehículos asignados a una ruta.

5. El Modelo Matemático de Programación Binaria propuesto para la programación de

autobuses en una ruta de transporte de pasajeros permitió mediante su aplicación optimizar el uso de las unidades vehiculares disponibles, así como minimizar el flujo vehicular en las calles o avenidas de alta congestión en la zona urbana de la ciudad. 6. El Modelo propuesto, constituye una herramienta de apoyo a la toma de decisiones

gerenciales que permite analizar alternativas de optimización que busca mitigar el problema del transporte urbano de pasajeros de ciudades de tamaño medio, permitiendo a las empresas del sector ahorros en cuanto a los costos de operación y mantenimiento, así como en cuanto a los gastos de lubricantes y combustibles.

5.2 RECOMENDACIONES 5.2.1 RECOMENDACIONES PARA NUEVAS INVESTIGACIONES

1. Dada las limitaciones del presente trabajo, es que el modelo no garantiza una solución

óptima del problema, mas esto es de fácil comprensión, pues la complejidad del problema lleva al investigador a utilizar más de una heurística para acelerar la solución y, de ésta forma, obtener una solución que no es la óptima pero por lo menos viable y de calidad en un tiempo computacional admisible, por lo que se recomienda implementar un modelo de programación heurística a efectos de corregir las deficiencias mencionadas. 2. Parte de la congestión vehicular puede evitarse o reducirse en la medida que exista

una adecuada información en tiempo real sobre lo que está sucediendo en las vías y una gestión de tráfico acorde a las condiciones de circulación. La gran virtud de estas políticas es que permiten soluciones ágiles a los problemas de circulación sin afectar el 71

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entorno ni demandar mayor espacio público, por lo que se recomienda implementar un Sistema de Información y de Gestión de Tráfico. 3. El problema de la congestión vehicular en Arequipa, se dice que no tiene solución,

sólo se busca mitigarlo, en consecuencia se recomienda realizar estudios sobre el diseño de modelos que permitan: 1. Hacer una redistribución de las rutas existentes, que permita descongestionar localidades donde se concentran varias intersecciones de tales rutas y 2. Asignar las unidades vehiculares disponibles en el parque automotor a cada ruta de acuerdo al volumen de demanda del servicio. 4. De otro lado en cuanto al parque automotor se recomienda realizar estudios que

permitan sugerir políticas de reemplazo para las unidades vehiculares del sector, permitiendo de esta manera tener unidades que circulen por la ciudad que minimicen la contaminación ambiental. 5. Finalmente, como todo trabajo científico, este también permite algunos estudios que

usted agrega. Este sistema se debe considerar como punto de partida para la continuación de su desarrollo, por lo tanto aspectos diversos todavía pueden ser agregados.

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ANEXO 1 Datos iniciales: Capacidad de los vehículos: 15,15,15,15,15,15,15,20,20,20,20,20,25,25,25 Demanda ordenada por hora: 160,270,180,105,90,110,120,280,160,140,100,115,125,190,270,170

Código Lindo: MIN 15X01061+15X01071 +15X01081 +15X01091 +15X01101 +15X01111 +15X01121 +15X01131+ 15X01141+15X01151 +15X01161 +15X01171 +15X01181 +15X01191 +15X01201 +15X01211+ 15X01062+15X01072 +15X01082 +15X01092 +15X01102 +15X01112 +15X01122 +15X01132+ 15X01142+15X01152 +15X01162 +15X01172 +15X01182 +15X01192 +15X01202 +15X01212+ 15X01063+15X01073 +15X01083 +15X01093 +15X01103 +15X01113 +15X01123 +15X01133+ 15X01143+15X01153 +15X01163 +15X01173 +15X01183 +15X01193 +15X01203 +15X01213+ 15X01064+15X01074 +15X01084 +15X01094 +15X01104 +15X01114 +15X01124 +15X01134+ 15X01144+15X01154 +15X01164 +15X01174 +15X01184 +15X01194 +15X01204 +15X01214+ 15X01065+15X01075 +15X01085 +15X01095 +15X01105 +15X01115 +15X01125 +15X01135+ 15X01145+15X01155 +15X01165 +15X01175 +15X01185 +15X01195 +15X01205 +15X01215+ 15X02061+15X02071 +15X02081 +15X02091 +15X02101 +15X02111 +15X02121 +15X02131+ 15X02141+15X02151 +15X02161 +15X02171 +15X02181 +15X02191 +15X02201 +15X02211+ 15X02062+15X02072 +15X02082 +15X02092 +15X02102 +15X02112 +15X02122 +15X02132+ 15X02142+15X02152 +15X02162 +15X02172 +15X02182 +15X02192 +15X02202 +15X02212+ 15X02063+15X02073 +15X02083 +15X02093 +15X02103 +15X02113 +15X02123 +15X02133+ 15X02143+15X02153 +15X02163 +15X02173 +15X02183 +15X02193 +15X02203 +15X02213+ 15X02064+15X02074 +15X02084 +15X02094 +15X02104 +15X02114 +15X02124 +15X02134+ 15X02144+15X02154 +15X02164 +15X02174 +15X02184 +15X02194 +15X02204 +15X02214+ 15X02065+15X02075 +15X02085 +15X02095 +15X02105 +15X02115 +15X02125 +15X02135+ 15X02145+15X02155 +15X02165 +15X02175 +15X02185 +15X02195 +15X02205 +15X02215+ 15X03061+15X03071 +15X03081 +15X03091 +15X03101 +15X03111 +15X03121 +15X03131+ 15X03141+15X03151 +15X03161 +15X03171 +15X03181 +15X03191 +15X03201 +15X03211+ 15X03062+15X03072 +15X03082 +15X03092 +15X03102 +15X03112 +15X03122 +15X03132+ 77

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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SUBJECT TO 01) 15X01061 +15X02061 +15X03061 +15X04061 +15X05061 +15X06061 +15X07061 +20X08061+ 20X09061 +20X10061 +20X11061 +20X12061 +25X13061 +25X14061 +25X15061 >=160 02) 15X01071 +15X02071 +15X03071 +15X04071 +15X05071 +15X06071 +15X07071 +20X08071+ 20X09071 +20X10071 +20X11071 +20X12071 +25X13071 +25X14071 +25X15071 >=270 03) 15X01081 +15X02081 +15X03081 +15X04081 +15X05081 +15X06081 +15X07081 +20X08081+ 20X09081 +20X10081 +20X11081 +20X12081 +25X13081 +25X14081 +25X15081 >=180 04) 15X01091 +15X02091 +15X03091 +15X04091 +15X05091 +15X06091 +15X07091 +20X08091+ 20X09091 +20X10091 +20X11091 +20X12091 +25X13091 +25X14091 +25X15091 >=105 05) 15X01101 +15X02101 +15X03101 +15X04101 +15X05101 +15X06101 +15X07101 +20X08101+ 20X09101 +20X10101 +20X11101 +20X12101 +25X13101 +25X14101 +25X15101 >=90 06) 15X01111 +15X02111 +15X03111 +15X04111 +15X05111 +15X06111 +15X07111 +20X08111+ 20X09111 +20X10111 +20X11111 +20X12111 +25X13111 +25X14111 +25X15111 >=110 07) 15X01121 +15X02121 +15X03121 +15X04121 +15X05121 +15X06121 +15X07121 +20X08121+ 20X09121 +20X10121 +20X11121 +20X12121 +25X13121 +25X14121 +25X15121 >=120 08) 15X01131 +15X02131 +15X03131 +15X04131 +15X05131 +15X06131 +15X07131 +20X08131+ 20X09131 +20X10131 +20X11131 +20X12131 +25X13131 +25X14131 +25X15131 >=280 09) 15X01141 +15X02141 +15X03141 +15X04141 +15X05141 +15X06141 +15X07141 +20X08141+ 20X09141 +20X10141 +20X11141 +20X12141 +25X13141 +25X14141 +25X15141 >=160 10) 15X01151 +15X02151 +15X03151 +15X04151 +15X05151 +15X06151 +15X07151 +20X08151+ 20X09151 +20X10151 +20X11151 +20X12151 +25X13151 +25X14151 +25X15151 >=140 11) 15X01161 +15X02161 +15X03161 +15X04161 +15X05161 +15X06161 +15X07161 +20X08161+ 20X09161 +20X10161 +20X11161 +20X12161 +25X13161 +25X14161 +25X15161 >=100 12) 15X01171 +15X02171 +15X03171 +15X04171 +15X05171 +15X06171 +15X07171 +20X08171+ 80

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

39) 15X01123 +15X02123 +15X03123 +15X04123 +15X05123 +15X06123 +15X07123 +20X08123+ 20X09123 +20X10123 +20X11123 +20X12123 +25X13123 +25X14123 +25X15123 >=120 40) 15X01133 +15X02133 +15X03133 +15X04133 +15X05132 +15X06132 +15X07133 +20X08133+ 20X09133 +20X10133 +20X11133 +20X12133 +25X13132 +25X14132 +25X15133 >=280 41) 15X01143 +15X02143 +15X03143 +15X04143 +15X05143 +15X06142 +15X07143 +20X08143+ 20X09143 +20X10143 +20X11143 +20X12143 +25X13143 +25X14142 +25X15143 >=160 42) 15X01153 +15X02153 +15X03153 +15X04153 +15X05153 +15X06152 +15X07153 +20X08153+ 20X09153 +20X10153 +20X11153 +20X12153 +25X13153 +25X14152 +25X15153 >=140 43) 15X01163 +15X02163 +15X03163 +15X04163 +15X05163 +15X06163 +15X07163 +20X08163+ 20X09163 +20X10163 +20X11163 +20X12163 +25X13163 +25X14163 +25X15163 >=100 44) 15X01173 +15X02173 +15X03173 +15X04173 +15X05173 +15X06173 +15X07173 +20X08173+ 20X09173 +20X10173 +20X11173 +20X12173 +25X13173 +25X14173 +25X15173 >=115 45) 15X01183 +15X02183 +15X03183 +15X04183 +15X05183 +15X06183 +15X07183 +20X08183+ 20X09183 +20X10183 +20X11183 +20X12183 +25X13183 +25X14183 +25X15183 >=125 46) 15X01193 +15X02193 +15X03193 +15X04193 +15X05193 +15X06193 +15X07193 +20X08193+ 20X09193 +20X10193 +20X11193 +20X12193 +25X13193 +25X14193 +25X15193 >=190 47) 15X01203 +15X02203 +15X03203 +15X04203 +15X05203 +15X06203 +15X07203 +20X08203+ 20X09203 +20X10203 +20X11203 +20X12203 +25X13203 +25X14203 +25X15203 >=270 48) 15X01213 +15X02213+15X03213 +15X04213 +15X05213 +15X06213 +15X07213 +20X08213+ 20X09213 +20X10213 +20X11213 +20X12213 +25X13213 +25X14213 +25X15213 >=170 49) 15X01064 +15X02064 +15X03064 +15X04064 +15X05064 +15X06064 +15X07064 +20X08064+ 20X09064 +20X10064 +20X11064 +20X12064 +25X13064 +25X14064 +25X15064 >=160 50) 15X01074 +15X02074 +15X03074 +15X04074 +15X05074 +15X06074 +15X07074 +20X08074+ 20X09074 +20X10074 +20X11074 +20X12074 +25X13074 +25X14074 +25X15074 >=270 51) 15X01084 +15X02084 +15X03084 +15X04084 +15X05084 +15X06084 +15X07084 +20X08084+ 20X09084 +20X10084 +20X11084 +20X12084 +25X13084 +25X14084 +25X15084 >=180 52) 15X01094 +15X02094 +15X03094 +15X04094 +15X05094 +15X06094 +15X07094 +20X08094+ 20X09094 +20X10094 +20X11094 +20X12094 +25X13094 +25X14094 +25X15094 >=105 53) 15X01104 +15X02104 +15X03104 +15X04104 +15X05104 +15X06104 +15X07104 +20X08104+ 20X09104 +20X10104 +20X11104 +20X12104 +25X13104 +25X14104 +25X15104 >=90 54) 15X01114 +15X02114 +15X03114 +15X04114 +15X05114 +15X06114 +15X07114 +20X08114+ 20X09114 +20X10114 +20X11114 +20X12114 +25X13114 +25X14114 +25X15114 >=110 55) 15X01124 +15X02124 +15X03124 +15X04124 +15X05124 +15X06124 +15X07124 +20X08124+ 20X09124 +20X10124 +20X11124 +20X12124 +25X13124 +25X14124 +25X15124 >=120 56) 15X01134 +15X02134 +15X03134 +15X04134 +15X05134 +15X06134 +15X07134 +20X08134+ 20X09134 +20X10134 +20X11134 +20X12134 +25X13134 +25X14134 +25X15134 >=280 57) 15X01144 +15X02144 +15X03144 +15X04144 +15X05144 +15X06144 +15X07144 +20X08144+ 20X09144 +20X10144 +20X11144 +20X12144 +25X13144 +25X14144 +25X15144 >=160 58) 15X01154 +15X02154 +15X03154 +15X04154 +15X05154 +15X06154 +15X07154 +20X08154+ 20X09154 +20X10154 +20X11154 +20X12154 +25X13154 +25X14154 +25X15154 >=140 59) 15X01164 +15X02164 +15X03164 +15X04164 +15X05164 +15X06164 +15X07164 +20X08164+ 20X09164 +20X10164 +20X11164 +20X12164 +25X13164 +25X14164 +25X15164 >=100 60) 15X01174 +15X02174 +15X03174 +15X04174 +15X05174 +15X06174 +15X07174 +20X08174+ 20X09174 +20X10174 +20X11174 +20X12174 +25X13174 +25X14174 +25X15174 >=115 61) 15X01184 +15X02184 +15X03184 +15X04184 +15X05184 +15X06184 +15X07184 +20X08184+ 20X09184 +20X10184 +20X11184 +20X12184 +25X13184 +25X14184 +25X15184 >=125 62) 15X01194 +15X02194 +15X03194 +15X04194 +15X05194 +15X06194 +15X07194 +20X08194+ 20X09194 +20X10194 +20X11194 +20X12194 +25X13194 +25X14194 +25X15194 >=190 63) 15X01204 +15X02204 +15X03204 +15X04204 +15X05204 +15X06204 +15X07204 +20X08204+ 20X09204 +20X10204 +20X11204 +20X12204 +25X13204 +25X14204 +25X15204 >=270 64) 15X01214 +15X02214+15X03214 +15X04214 +15X05214 +15X06214 +15X07214 +20X08214+ 20X09214 +20X10214 +20X11214 +20X12214 +25X13214 +25X14214 +25X15214 >=170 65) 15X01065 +15X02065 +15X03065 +15X04065 +15X05065 +15X06065 +15X07065 +20X08065+ 82

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X10082 +X11082 +X12082 +X13082 +X14082 +X15082 >=11 115) X01092 +X02092 +X03092 +X04092 +X05092 +X06092 +X07092 +X08092 +X09092+ X10092 +X11092 +X12092 +X13092 +X14092 +X15092 >=11 116) X01102 +X02102 +X03102 +X04102 +X05102 +X06102 +X07102 +X08102 +X09102+ X10102 +X11102 +X12102 +X13102 +X14102 +X15102 >=11 117) X01112 +X02112 +X03112 +X04112 +X05112 +X06112 +X07112 +X08112 +X09112+ X10112 +X11112 +X12112 +X13112 +X14112 +X15112 >=11 118) X01122 +X02122 +X03122 +X04122 +X05122 +X06122 +X07122 +X08122 +X09122+ X10122 +X11122 +X12122 +X13122 +X14122 +X15122 >=11 119) X01132 +X02132 +X03132 +X04132 +X05132 +X06132 +X07132 +X08132 +X09132+ X10132 +X11132 +X12132 +X13132 +X14132 +X15132 >=11 120) X01142 +X02142 +X03142 +X04142 +X05142 +X06142 +X07142 +X08142 +X09142+ X10142 +X11142 +X12142 +X13142 +X14142 +X15142 >=11 121) X01152 +X02152 +X03152 +X04152 +X05152 +X06152 +X07152 +X08152 +X09152+ X10152 +X11152 +X12152 +X13152 +X14152 +X15152 >=11 122) X01162 +X02162 +X03162 +X04162 +X05162 +X06162 +X07162 +X08162 +X09162+ X10162 +X11162 +X12162 +X13162 +X14162 +X15162 >=11 123) X01172 +X02172 +X03172 +X04172 +X05172 +X06172 +X07172 +X08172 +X09172+ X10172 +X11172 +X12172 +X13172 +X14172 +X15172 >=11 124) X01182 +X02182 +X03182 +X04182 +X05182 +X06182 +X07182 +X08182 +X09182+ X10182 +X11182 +X12182 +X13182 +X14182 +X15182 >=11 125) X01192 +X02192 +X03192 +X04192 +X05192 +X06192 +X07192 +X08192 +X09192+ X10192 +X11192 +X12192 +X13192 +X14192 +X15192 >=11 126) X01202 +X02202 +X03202 +X04202 +X05202 +X06202 +X07202 +X08202 +X09202+ X10202 +X11202 +X12202 +X13202 +X14202 +X15202 >=11 127) X01212 +X02212 +X03212 +X04212 +X05212 +X06212 +X07212 +X08212 +X09212+ X10212 +X11212 +X12212 +X13212 +X14212 +X15212 >=11 128) X01063 +X02063 +X03063 +X04063 +X05063 +X06063 +X07063 +X08063 +X09063+ X10063 +X11063 +X12063 +X13063 +X14063 +X15063 >=11 129) X01073 +X02073 +X03073 +X04073 +X05073 +X06073 +X07073 +X08073 +X09073+ X10073 +X11073 +X12073 +X13073 +X14073 +X15073 >=11 130) X01083 +X02083 +X03083 +X04083 +X05083 +X06083 +X07083 +X08083 +X09083+ X10083 +X11083 +X12083 +X13083 +X14083 +X15083 >=11 131) X01093 +X02093 +X03093 +X04093 +X05093 +X06093 +X07093 +X08093 +X09093+ X10093 +X11093 +X12093 +X13093 +X14093 +X15093 >=11 132) X01103 +X02103 +X03103 +X04103 +X05103 +X06103 +X07103 +X08103 +X09103+ X10103 +X11103 +X12103 +X13103 +X14103 +X15103 >=11 133) X01113 +X02113 +X03113 +X04113 +X05113 +X06113 +X07113 +X08113 +X09113+ X10113 +X11113 +X12113 +X13113 +X14113 +X15113 >=11 134) X01123 +X02123 +X03123 +X04123 +X05123 +X06123 +X07123 +X08123 +X09123+ X10123 +X11123 +X12123 +X13123 +X14123 +X15123 >=11 135) X01133 +X02133 +X03133 +X04133 +X05133 +X06133 +X07133 +X08133 +X09133+ X10133 +X11133 +X12133 +X13133 +X14133 +X15133 >=11 136) X01143 +X02143 +X03143 +X04143 +X05143 +X06143 +X07143 +X08143 +X09143+ X10143 +X11143 +X12143 +X13143 +X14143 +X15143 >=11 137) X01153 +X02153 +X03153 +X04153 +X05153 +X06153 +X07153 +X08153 +X09153+ X10153 +X11153 +X12153 +X13153 +X14153 +X15153 >=11 138) X01163 +X02163 +X03163 +X04163 +X05163 +X06163 +X07163 +X08163 +X09163+ X10163 +X11163 +X12163 +X13163 +X14163 +X15163 >=11 139) X01173 +X02173 +X03173 +X04173 +X05173 +X06173 +X07173 +X08173 +X09173+ X10173 +X11173 +X12173 +X13173 +X14173 +X15173 >=11 140) X01183 +X02183 +X03183 +X04183 +X05183 +X06183 +X07183 +X08183 +X09183+ X10183 +X11183 +X12183 +X13183 +X14183 +X15183 >=11 141) X01193 +X02193 +X03193 +X04193 +X05193 +X06193 +X07193 +X08193 +X09193+ 87

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X10193 +X11193 +X12193 +X13193 +X14193 +X15193 >=11 142) X01203 +X02203 +X03203 +X04203 +X05203 +X06203 +X07203 +X08203 +X09203+ X10203 +X11203 +X12203 +X13203 +X14203 +X15203 >=11 143) X01213 +X02213 +X03213 +X04213 +X05213 +X06213 +X07213 +X08213 +X09213+ X10213 +X11213 +X12213 +X13213 +X14213 +X15213 >=11 144) X01064 +X02064 +X03064 +X04064 +X05064 +X06064 +X07064 +X08064 +X09064+ X10064 +X11064 +X12064 +X13064 +X14064 +X15064 >=11 145) X01074 +X02074 +X03074 +X04074 +X05074 +X06074 +X07074 +X08074 +X09074+ X10074 +X11074 +X12074 +X13074 +X14074 +X15074 >=11 146) X01084 +X02084 +X03084 +X04084 +X05084 +X06084 +X07084 +X08084 +X09084+ X10084 +X11084 +X12084 +X13084 +X14084 +X15084 >=11 147) X01094 +X02094 +X03094 +X04094 +X05094 +X06094 +X07094 +X08094 +X09094+ X10094 +X11094 +X12094 +X13094 +X14094 +X15094 >=11 148) X01104 +X02104 +X03104 +X04104 +X05104 +X06104 +X07104 +X08104 +X09104+ X10104 +X11104 +X12104 +X13104 +X14104 +X15104 >=11 149) X01114 +X02114 +X03114 +X04114 +X05114 +X06114 +X07114 +X08114 +X09114+ X10114 +X11114 +X12114 +X13114 +X14114 +X15114 >=11 150) X01124 +X02124 +X03124 +X04124 +X05124 +X06124 +X07124 +X08124 +X09124+ X10124 +X11124 +X12124 +X13124 +X14124 +X15124 >=11 151) X01134 +X02134 +X03134 +X04134 +X05134 +X06134 +X07134 +X08134 +X09134+ X10134 +X11134 +X12134 +X13134 +X14134 +X15134 >=11 152) X01144 +X02144 +X03144 +X04144 +X05144 +X06144 +X07144 +X08144 +X09144+ X10144 +X11144 +X12144 +X13144 +X14144 +X15144 >=11 153) X01154 +X02154 +X03154 +X04154 +X05154 +X06154 +X07154 +X08154 +X09154+ X10154 +X11154 +X12154 +X13154 +X14154 +X15154 >=11 154) X01164 +X02164 +X03164 +X04164 +X05164 +X06164 +X07164 +X08164 +X09164+ X10164 +X11164 +X12164 +X13164 +X14164 +X15164 >=11 155) X01174 +X02174 +X03174 +X04174 +X05174 +X06174 +X07174 +X08174 +X09174+ X10174 +X11174 +X12174 +X13174 +X14174 +X15174 >=11 156) X01184 +X02184 +X03184 +X04184 +X05184 +X06184 +X07184 +X08184 +X09184+ X10184 +X11184 +X12184 +X13184 +X14184 +X15184 >=11 157) X01194 +X02194 +X03194 +X04194 +X05194 +X06194 +X07194 +X08194 +X09194+ X10194 +X11194 +X12194 +X13194 +X14194 +X15194 >=11 158) X01204 +X02204 +X03204 +X04204 +X05204 +X06204 +X07204 +X08204 +X09204+ X10204 +X11204 +X12204 +X13204 +X14204 +X15204 >=11 159) X01214 +X02214 +X03214 +X04214 +X05214 +X06214 +X07214 +X08214 +X09214+ X10214 +X11214 +X12214 +X13214 +X14214 +X15214 >=11 160) X01065 +X02065 +X03065 +X04065 +X05065 +X06065 +X07065 +X08065 +X09065+ X10065 +X11065 +X12065 +X13065 +X14065 +X15065 >=11 161) X01075 +X02075 +X03075 +X04075 +X05075 +X06075 +X07075 +X08075 +X09075+ X10075 +X11075 +X12075 +X13075 +X14075 +X15075 >=11 162) X01085 +X02085 +X03085 +X04085 +X05085 +X06085 +X07085 +X08085 +X09085+ X10085 +X11085 +X12085 +X13085 +X14085 +X15085 >=11 163) X01095 +X02095 +X03095 +X04095 +X05095 +X06095 +X07095 +X08095 +X09095+ X10095 +X11095 +X12095 +X13095 +X14095 +X15095 >=11 164) X01105 +X02105 +X03105 +X04105 +X05105 +X06105 +X07105 +X08105 +X09105+ X10105 +X11105 +X12105 +X13105 +X14105 +X15105 >=11 165) X01115 +X02115 +X03115 +X04115 +X05115 +X06115 +X07115 +X08115 +X09115+ X10115 +X11115 +X12115 +X13115 +X14115 +X15115 >=11 166) X01125 +X02125 +X03125 +X04125 +X05125 +X06125 +X07125 +X08125 +X09125+ X10125 +X11125 +X12125 +X13125 +X14125 +X15125 >=11 167) X01135 +X02135 +X03135 +X04135 +X05135 +X06135 +X07135 +X08135 +X09135+ X10135 +X11135 +X12135 +X13135 +X14135 +X15135 >=11 88

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

168) X01145 +X02145 +X03145 +X04145 +X05145 +X06145 +X07145 +X08145 +X09145+ X10145 +X11145 +X12145 +X13145 +X14145 +X15145 >=11 169) X01155 +X02155 +X03155 +X04155 +X05155 +X06155 +X07155 +X08155 +X09155+ X10155 +X11155 +X12155 +X13155 +X14155 +X15155 >=11 170) X01165 +X02165 +X03165 +X04165 +X05165 +X06165 +X07165 +X08165 +X09165+ X10165 +X11165 +X12165 +X13165 +X14165 +X15165 >=11 171) X01175 +X02175 +X03175 +X04175 +X05175 +X06175 +X07175 +X08175 +X09175+ X10175 +X11175 +X12175 +X13175 +X14175 +X15175 >=11 172) X01185 +X02185 +X03185 +X04185 +X05185 +X06185 +X07185 +X08185 +X09185+ X10185 +X11185 +X12185 +X13185 +X14185 +X15185 >=11 173) X01195 +X02195 +X03195 +X04195 +X05195 +X06195 +X07195 +X08195 +X09195+ X10195 +X11195 +X12195 +X13195 +X14195 +X15195 >=11 174) X01205 +X02205 +X03205 +X04205 +X05205 +X06205 +X07205 +X08205 +X09205+ X10205 +X11205 +X12205 +X13205 +X14205 +X15205 >=11 175) X01215 +X02215 +X03215 +X04215 +X05215 +X06215 +X07215 +X08215 +X09215+ X10215 +X11215 +X12215 +X13215 +X14215 +X15215 >=11

END Int 1215

89

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

ANEXO 2 SALIDA LINDO

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1)

17360.00

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X01061 X01071 X01081 X01091 X01101 X01111 X01121 X01131 X01141 X01151 X01161 X01171 X01181 X01191 X01201 X01211 X01062 X01072 X01082 X01092 X01102 X01112 X01122 X01132 X01142 X01152 X01162 X01172 X01182 X01192 X01202 X01212 X01063 X01073 X01083 X01093 X01103 X01113 X01123 X01133 X01143 X01153 X01163 X01173 X01183 X01193 X01203 X01213 X01064 X01074 X01084 X01094 X01104

1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X01114 X01124 X01134 X01144 X01154 X01164 X01174 X01184 X01194 X01204 X01214 X01065 X01075 X01085 X01095 X01105 X01115 X01125 X01135 X01145 X01155 X01165 X01175 X01185 X01195 X01205 X01215 X02061 X02071 X02081 X02091 X02101 X02111 X02121 X02131 X02141 X02151 X02161 X02171 X02181 X02191 X02201 X02211 X02062 X02072 X02082 X02092 X02102 X02112 X02122 X02132 X02142 X02152 X02162 X02172

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X02182 X02192 X02202 X02212 X02063 X02073 X02083 X02093 X02103 X02113 X02123 X02133 X02143 X02153 X02163 X02173 X02183 X02193 X02203 X02213 X02064 X02074 X02084 X02094 X02104 X02114 X02124 X02134 X02144 X02154 X02164 X02174 X02184 X02194 X02204 X02214 X02065 X02075 X02085 X02095 X02105 X02115 X02125 X02135 X02145 X02155 X02165 X02175 X02185 X02195 X02205 X02215 X03061 X03071 X03081

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X03091 X03101 X03111 X03121 X03131 X03141 X03151 X03161 X03171 X03181 X03191 X03201 X03211 X03062 X03072 X03082 X03092 X03102 X03112 X03122 X03132 X03142 X03152 X03162 X03172 X03182 X03192 X03202 X03212 X03063 X03073 X03083 X03093 X03103 X03113 X03123 X03133 X03143 X03153 X03163 X03173 X03183 X03193 X03203 X03213 X03064 X03074 X03084 X03094 X03104 X03114 X03124 X03134 X03144 X03154

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X08173 X08183 X08193 X08203 X08213 X08064 X08074 X08084 X08094 X08104 X08114 X08124 X08134 X08144 X08154 X08164 X08174 X08184 X08194 X08204 X08214 X08065 X08075 X08085 X08095 X08105 X08115 X08125 X08135 X08145 X08155 X08165 X08175 X08185 X08195 X08205 X08215 X09061 X09071 X09081 X09091 X09101 X09111 X09121 X09131 X09141 X09151 X09161 X09171 X09181 X09191 X09201 X09211 X09062 X09072

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X09155 X09165 X09175 X09185 X09195 X09205 X09215 X10061 X10071 X10081 X10091 X10101 X10111 X10121 X10131 X10141 X10151 X10161 X10171 X10181 X10191 X10201 X10211 X10062 X10072 X10082 X10092 X10102 X10112 X10122 X10132 X10142 X10152 X10162 X10172 X10182 X10192 X10202 X10212 X10063 X10073 X10083 X10093 X10103 X10113 X10123 X10133 X10143 X10153 X10163 X10173 X10183 X10193 X10203 X10213

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X12114 X12124 X12134 X12144 X12154 X12164 X12174 X12184 X12194 X12204 X12214 X12065 X12075 X12085 X12095 X12105 X12115 X12125 X12135 X12145 X12155 X12165 X12175 X12185 X12195 X12205 X12215 X13061 X13071 X13081 X13091 X13101 X13111 X13121 X13131 X13141 X13151 X13161 X13171 X13181 X13191 X13201 X13211 X13062 X13072 X13082 X13092 X13102 X13112 X13122 X13132 X13142 X13152 X13162 X13172

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X13182 X13192 X13202 X13212 X13063 X13073 X13083 X13093 X13103 X13113 X13123 X13133 X13143 X13153 X13163 X13173 X13183 X13193 X13203 X13213 X13064 X13074 X13084 X13094 X13104 X13114 X13124 X13134 X13144 X13154 X13164 X13174 X13184 X13194 X13204 X13214 X13065 X13075 X13085 X13095 X13105 X13115 X13125 X13135 X13145 X13155 X13165 X13175 X13185 X13195 X13205 X13215 X14061 X14071 X14081

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Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X14091 X14101 X14111 X14121 X14131 X14141 X14151 X14161 X14171 X14181 X14191 X14201 X14211 X14062 X14072 X14082 X14092 X14102 X14112 X14122 X14132 X14142 X14152 X14162 X14172 X14182 X14192 X14202 X14212 X14063 X14073 X14083 X14093 X14103 X14113 X14123 X14133 X14143 X14153 X14163 X14173 X14183 X14193 X14203 X14213 X14064 X14074 X14084 X14094 X14104 X14114 X14124 X14134 X14144 X14154

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X14164 X14174 X14184 X14194 X14204 X14214 X14065 X14075 X14085 X14095 X14105 X14115 X14125 X14135 X14145 X14155 X14165 X14175 X14185 X14195 X14205 X14215 X15061 X15071 X15081 X15091 X15101 X15111 X15121 X15131 X15141 X15151 X15161 X15171 X15181 X15191 X15201 X15211 X15062 X15072 X15082 X15092 X15102 X15112 X15122 X15132 X15142 X15152 X15162 X15172 X15182 X15192 X15202 X15212 X15063

1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000

25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 100

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

X15073 X15083 X15093 X15103 X15113 X15123 X15133 X15143 X15153 X15163 X15173 X15183 X15193 X15203 X15213 X15064 X15074 X15084 X15094 X15104 X15114 X15124 X15134 X15144 X15154 X15164 X15174 X15184 X15194 X15204 X15214 X15065 X15075 X15085 X15095 X15105 X15115 X15125 X15135 X15145 X15155 X15165 X15175 X15185 X15195 X15205 X15215 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 25.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15

1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

ROW

SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

01) 02) 03) 04) 05) 06) 07) 08) 09) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45)

55.000000 10.000000 30.000000 110.000000 110.000000 0.000000 90.000000 0.000000 30.000000 75.000000 95.000000 90.000000 80.000000 5.000000 10.000000 40.000000 35.000000 10.000000 30.000000 100.000000 120.000000 105.000000 85.000000 0.000000 45.000000 60.000000 110.000000 90.000000 80.000000 5.000000 10.000000 35.000000 35.000000 10.000000 30.000000 115.000000 120.000000 90.000000 100.000000 0.000000 55.000000 30.000000 115.000000 85.000000 95.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 101

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

46) 47) 48) 49) 50) 51) 52) 53) 54) 55) 56) 57) 58) 59) 60) 61) 62) 63) 64) 65) 66) 67) 68) 69) 70) 71) 72) 73) 74) 75) 76) 77) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94) 95) 96) 97) 98) 99) 100)

5.000000 10.000000 35.000000 40.000000 10.000000 20.000000 110.000000 125.000000 95.000000 80.000000 0.000000 40.000000 60.000000 100.000000 90.000000 60.000000 5.000000 10.000000 45.000000 45.000000 10.000000 5.000000 110.000000 125.000000 90.000000 80.000000 0.000000 50.000000 55.000000 115.000000 100.000000 60.000000 5.000000 10.000000 45.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

102) 102) 103) 104) 105) 106) 107) 108) 109) 110) 111) 112) 113) 114) 115) 116) 117) 118) 119) 120) 121) 122) 123) 124) 125) 126) 127) 128) 129) 130) 131) 132) 133) 134) 135) 136) 137) 138) 139) 140) 141) 142) 143) 144) 145) 146) 147) 148) 149) 150) 151) 152) 153) 154) 155)

94.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 102

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

156) 157) 158) 159) 160) 161) 162) 163) 164) 165) 166) 167) 168) 169) 170) 171) 172) 173) 174) 175)

0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 4.000000 0.000000

0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000

NO. ITERATIONS= 18769

103

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

ANEXO 3 CODIFICACION DE LINEAS CONSIDERADAS EN EL ESTUDIO Y FRECUENCIA UTILIZADA PARA EL LEVANTAMIENTO DE LOS DATOS

Codificación

L1 : Policlínico (Seguro Social): . L2 : Correcaminos (Monterrey): L3 : Dolores: L4 : “B” (San Agustín):

Frecuencia L1 : Cada 4 minutos L2 : Cada 7 minutos L3 : Cada 4 minutos L4 : Cada 8 minutos

104

"América"

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

Paradero: Edificio Baños América (final de la avenida dolores)

HORA DE CONTROL DEL NÚMERO DE PASAJEROS QUE SUBEN DE 9.00 a 11.00 Hrs. HORA 9:00 9:02 9:03 9:05 9:06 9:07 9:10 9:11 9:12 9:13 9:14 9:15 9:17 9:18 9:21 9:23 9:24 9:25 9:26 9:27 9:29 9:32 9:33 9:34

LINEA 1 0

LINEA 2

LINEA 3

LINEA 4 0

0 0 0

0 0 1

0 1

1 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 1

0

0 0

0 0 0

0

0 0 0

0

0 0

105

Modelo de Programación Binaria para Optimizar la Programación de Autobuses…

9:37 9:38 9:40 9:42 9:45 9:46 9:48 9:50 9:52 9:53 9:55 9:56 9:59 10:00 10:02 10:03 10:04 10:05 10:07 10:09 10:10 10:13 10:14 10:15 10:17 10:18 10:20 10:22 10:24 10:27 10:28 10:30 10:32 10:35 10:38 10:39 10:41 10:43 10:45 10:46 10:48 10:50 10:52 10:53 10:55 10:57 10:58 11:00

0

0 0 1

1

0 0

0

0 0 0

0

0 0

0

0 0 0

0 1 1

1 0 1 0

0 0 0

0

1 3

0

0 0 0

0 0

0 1 0

0 0 0

0 1 2 0

0

0 2 0 0

0

0 0 1

0

0

0 2

0

0 0 1 0

0

2 0 0 0

106