Modelo de Ramsey

 

Tema 3. Crecimiento Neoclásico. El Modelo de Ramsey En el modelo Neoclásico de crecimiento y el modelo AK hemos supuesto que las familias ahorran una proporción constante de la renta, sin cuestionarnos la racionalidad de su comportamiento. En este capítulo estudiaremos como las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro. Otro supuesto del modelo neoclásico que parecía  poco realista, realista, es que que en el modelo modelo neoclásico neoclásico las familias familias eran a la vez consumid consumidoras oras y  productoras,  produ ctoras, como si si se tratase tratase de Robinso Robinson n Crusoe. Crusoe. En la vida real, las empresas y los consumidores son instituciones separadas que interact inte ractúan úan en un lugar lugar llamado llamado mercado. mercado. Las familias familias distrib distribuye uyen n su renta renta entre entre consumo consu mo y ahorro. Las empresas contratan trabajo a cambio de un salario y venden venden el  producto a cambio de un precio. Empresas  producto Empresas y familias se encuentran encuentran en el mercado mercado y los precios del trabajo y el capital son tales que los tres mercados se vacía. (Modelo de equilibrio general de Ramsey (1928)). En este este ca capí pítu tulo lo va vamo moss a an anal aliz izar ar la lass de deci cisi sion ones es qu quee to toma man n lo loss ag agen ente tess económicos, consumidores y empresas. Por un lado, analizaremos como las familias toman sus decisiones de consumo y ahorro. Paralelamente analizaremos las decisiones de inversión y contratación de mano de obra que hacen las empresas. El objetivo es estudiar cual es el resultado que obtiene una economía en la que dejamos que sean los consumidores los que toman sus decisiones de consumo y las empresas sus decisiones de inversión. En el contexto de esta economía estaremos  preocupados  preocu pados por analizar analizar cuales cuales son los los determinante determinantess del crecimiento crecimiento económico. económico. 3. Modelo de mercado

En este modelo analizamos las decisiones de consumo de las familias y las decisiones de las empresas. 3.1 Las familias neoclásicas Supuestos sobre el comportamiento de las familias:

(1) Suponemos Suponemos que los agentes agentes de la economía economía deciden cuánto consumir consumir y cuánto ahorrar en cada período de tal forma que maximicen la utilidad descontada futura. La utilidad descontada futura viene dada por la expresión (1):

∞

u (0) = ∫ exp( − ρ t ) Lt  0

c1t  −θ  − 1 1 − θ 

 

La función de utilidad viene dada por la siguiente función:

u (c ) =

1−θ  ct 

−1 1 − θ  donde:  ρ  es una constante que representa la tasa de descuento, ct  es el consumo per cápita en el instante t ,  Lt  es el tamaño de la población y θ  es una constante que representa el deseo de los consumidores de alisar o suavizar su consumo en el tiempo. (2) Segundo, Segundo, el horizonte temporal temporal relevante para el problema de optimiz optimización ación que hemos diseñado es infinito. Se está suponiendo que a la hora de tomar sus decisiones de consumo y ahorro los agentes tienen en cuenta la utilidad que esperan tener en el futuro. El hecho de que el horizonte sea infinito es equivalente a suponer que las familias se preocupan por las generaciones futuras. (3) Suponemos que la población crece a una tasa constante – n-. n=  Normalizamos  Norma lizamos  L0 exp(nt  nt ) y igual a n exp(

 L  L

⇒

= 1   y tenemos:   L  L

 Lt 

=  L0 exp( nt )

 Lt 

= exp( exp(nt  nt ) . En este caso,  L es

= n.

(4) La tasa de descuento  ρ  representa el hecho de que los individuos, aunque son altruistas respecto a sus descendientes prefieren el consumo propio mas que el de sus hijos. El tipo de descuento representa el egoismo paterno dentro del altruismo intergeneracional. En otras palabras, los consumidores a la hora de tomar sus decisiones de consumo y ahorro, tienen en cuenta la utilidad o satisfacción que van a obtener hoy con sus decisiones, pero también tienen en cuenta la satisfacción que las decisiones tomadas hoy les hará tener en el futuro. Ahora bien, los consumidores no valoran igual la satisfacción hoy que la que vayan a tener dentro de 3 períodos. Para el consumidor la misma satisfacción hoy no representa lo mismo que esa misma satisfacción dentro de t años. La form forma a de co consi nside derar rar qu que e los los ind indivi ividu duos os va valo lora ran n má más s el presente que el futuro es las utilidades futuras multiplicadas por un factor de descuento. ct 

= ct +1 ⇒ 2

u (ct  ) = u (ct +1 )

 

Valor de la utilidad de consumir ct  en t : u (ct  ) Valor asignado hoy a consumir ct +1 en t+1: u (ct +1 ) exp( − ρ ) Si  ρ  = 0 , el valor de la utilidad hoy es igual al valor de la utilidad mañana. El consumidor misma forma la utilidad hoy que la de mañana. Contra mayor sea el factor de descuento, más valoramos el presente respecto al futuro. (5) Se supone que la función de utilidad u (ct  ) es una función cóncava. Que la función de utilidad sea cóncava refleja el deseo de la gente de tener trayectorias de consumo mas o menos lisas o suaves en el tiempo. Que la func funció ión n de ut util ilid idad ad se sea a lisa lisa,, sig signifi nific ca qu que e los los consumidores prefieren consumir un poco cada día que consumir un poco mucho y otro nada. La relación entre concavidad de la función de utilidad y el deseo de alisar el consumo (es decir querer consumir más o menos lo mismo cada día) se puede ver en el siguiente gráfico.

Utilidad

U(C2)

 

U((C2+C1)/2)

 

U( C1)

C1

( C1+C2)/2

C2

Consumo

Que la función de utilidad sea cóncava quiere decir que:

3

 

u (ct  ) + u (c 2 ) < u (

(c1 + c 2 ) 2

)

1 {u (ct  ) + u (c 2 ) } < u ( (c1 + c 2 ) ) 2 2 cT 

= c1 + c 2

La utilidad derivada de consumir cT  , es mayor cuando el consumo total se ha repartido que cuando no se reparte. Se la siguiente función de utilidad: u (c ) =

ct 1−θ  − 1 1 − θ 

En esta función, θ  es una constante que representa el grado de concavidad de la función de utilidad. Contra mayor sea θ  , mayor será concavidad de la función de utilidad mayor serán los deseos de loslaagentes de suavizar el consumo en el ,tiempo. Si θ  = 0 , no querrían suavizar su consumo en el tiempo y en este caso: {u (ct  ) + u (c 2 ) } = 2 u (

(c1 + c 2 ) 2

)

Una ve Una vez z de desc scrit ritas as la las s pr pref efer eren encia cias s de los los co cons nsum umid idor ores es,, pasamos a hablar de la restricción presupuestaria. Las familias poseen activos,  Bt  . Dicho Dichos s activo activos s pued pueden en ser positivos positivos (las familias prestan a las empresas o otras familias) o negativos, en cuyo caso son las familias las que están pidiendo prestado. Estos activos generan un tipo de interés r t  . El producto  Bt r t  es parte de los ingresos familiares, es lo que llamamos rentas del capital. Además, las familias son propietarias del trabajo que alquilan a un precio wt  . La renta total de una familia es la suma de los ingresos del trabajo e ingresos del capital: wLt  + rBt −1 . Con la renta de que disponen los consumidores pueden ahorrar o consumir, de tal forma que: S t  + C t  = wLt  + rBt −1 Los activos de las familias en t+1 t+1,, que denotamos por   Bt +1 serán igual a la

suma de los activos que tenían en t , que denotamos por  Bt  , más el ahorro realizado en t , que denotamos por S t  4

 

 Bt +1 =  Bt  + S t  La diferencia de activos de un período a otro, por ejemplo de t  t aa t+1 t+1,, (denotamos dicha



diferencia por  B por  B , vendrá dada por el ahorro en el período t :  B = S t  eliminando el subíndice temporal, podemos escribir la restricción presupuestaria de las familias como sigue:  B = wL + rB − C 

Dado que en la función de utilidad el consumo está expresado en términos per cápita, expresamos la restricción presupuestaria de las familias en términos per cápita:  B  L

definimos

b=

 B  L

=

wL  L

 B

C 

 L

 L

+ r  −

 B

⇒

 L

= w + rb − c

(1)

como activos per cápita, y lo derivamos respecto al

tiempo: b =

 B L −  B( L )  L  L

=

 B  L

− bn

(2)

donde n es la tasa de crecimiento de la población. Sustituimos (2) en (1) y despejamos b :  B = b + bn  L b = w + rb − c − bn

b = w − c + b( r  − n) : rest restricc ricción ión pre presup supue uestar staria ia exp expresa resada da en

términos per cápita. Así, el problema neoclásico de crecimiento puede expresarse de la siguiente forma: 1−θ 

 Max

∞ e − ( ρ − n)t  (c)

∫ 0

 s.a : b =

−1

1 − θ  w − c + b( r  − n)

dt 

El problema planteado tiene solución si y solo si: 1−θ 

lim ite

e

− ( ρ −n )t  (c )

−1

1 − θ 

t  → ∞

5

=0

 

Si esta condición se cumple, entonces el problema anterior tiene un máxim má ximo. o. Si no se cu cump mple, le, no po podrí dríam amos os so solu luci cion onar ar el pro probl blem ema a anterior ya que la función a maximizar crecería de forma infinita. En la ecuación (1), el término

(c)1−θ 

− 1 es constante ya que a largo plazo

1 − θ 

el co consu nsumo mo se será rá co const nstan ante te,, por por lo tant tanto o pa para ra qu que e se cu cump mpla la la cond co ndic ició ión n (1 (1)) de debe be cu cump mplir lirse se qu que: e: ρ  > n , es decir, la tasa de descuento tiene que ser mayor que la tasa de crecimiento de la población.

PROBLEMA DEL CONSUMIDOR:

 Max

∞ −( ρ −n )t  (c)

∫ 0 e

 s.a : b =

1−θ 

−1

1 − θ  w − c + b( r  − n)

dt 

b ( 0) > 0

 ρ  > n

Obte Ob tene nemo mos s la so solu luci ción ón de dell pr prob oble lem ma ut util iliz izan ando do el méto étodo de dell hamiltoniano: Pasos a seguir: 1) Const Construimo ruimos s el ham hamiltonian iltoniano. o. 1−θ 

(c )  H  = ∫ 0∞ e −( ρ −n)t 

−1

1 − θ 

dt  + v ( w − c + b( r  − n))

v: mu multip ltiplica licador dor din dinám ámico ico de Lag Lagran range. ge. Se int interp erpreta reta com como o el valor que el consumidor da a una unidad adicional de activos financieros. 2) de deriv rivam amos os el ha hami milto ltoni nian ano o re resp spec ecto to a la va varia riabl ble e de control, que en este problema es el consumo: 6

 

∂ H  ∂c

=0

(1 − θ )e −( ρ − n)t c −θ 

⇒

=v

(3)

1 − θ  v

= e −( ρ −n)t c −θ 

3) deriv derivam amos os el ha hami milto ltoni nian ano o re resp spec ecto to a la va varia riabl ble e de estado est ado,, que en este prob problem lema a es b. Po Poste sterior riorme mente nte igualamos la derivada del hamiltoniano respecto a la variable de estado y la igualamos a la derivada de –v multiplicada por (-1).

∂ H  = −v ⇒ ∂b

v (r  − n) = −v

(4)

Derivamos (3) respecto a t: 

v = (−( ρ  − n)e − ( ρ − n )t c −θ  − θ  cˆ −θ  c e − ( ρ − n)t  c

(5)

Dividimos (5) por (3): v v

c

= −( ρ  − n) − θ  

c

(6)

Igualamos la expresión (6) a la expresión (4): c

− ( ρ  − n) − θ  ˆ = −(r  − n) cˆ

(7)

despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado: γ  c

= θ 1 [ r  −  ρ ] : evolución del consumo per cápita. 3.1

Decisiones de la empresa

Definimos los beneficios de la empresa en términos per cápita:

π  =

Π  L

=  f  (k ) − w − (r  + δ )

Decisión de inversión de la empresa: 7

 K   L

 

 Max : π  =  f  (k ) − w − ( r  + δ ) k  c. p.o :

∂π 

 f  ' (k ) = r  + δ 

=0 ⇒

(8)

∂k  Decisión de contratación de la empresa:

Π =  Lf  (k ) − wL − (r  + δ ) K  ∂ f   ∂k  ∂Π −w=0 = 0 ⇒  f  (k ) +  L c. p.o : ∂k  ∂ L ∂ L

 Max

1  f  ( k ) +  Lf  ' ( k ) k   L

=w ⇒

[ f  (k ) −  f  ' (k )k ] = w

(9)

Al igua iguall qu que e vi vim mos en el mo mode delo lo de So Solo loww-Sw Swan an,, en un una a economía cerrada la inversión es igual al ahorro, por eso en esta econ ec onom omía íalas seempresas tie tiene ne qu que eque cu cump mplir lir qu que e la cant idad ad de alca capit pital al qu que e compran denotamos porca es igual ahorro de k ntid las familias que es igual a b . Así, teniendo en cuenta que ahorro es igual a inversión la ecuación que describe el comportamiento del capital per cápita es la siguiente: k  = w − c + k ( r  − n)

(10)

rest stri ricc cció ión n que se obt btie iene ne de re ree empla laz zar b por k  en la re presupuestaria de las familias. Sustituyendo la ecuación (9) en la (10) nos queda lo siguiente: k  =  f  (k ) −  f  ' ( k ) k  − c + k ( r  − n)

Sustituyendo la ecuación (8) en la ecuación (11): k  = (  f  ( k ) − (r  + δ ) k ) − c + k ( r  − n)

(12)

k  =  f  (k ) − c − k (δ  + n) : ley de evolución del capital per cápita

γ  c

(13) γ  c

=

=

[ (  f  ' ( k ) − δ  −  ρ ) ] θ  1

[ (  f  ' (k ) − (δ  +  ρ ) ] : evolución del consumo por unidad θ  1

de trabajo efectivo

8

 

Las ec Las ecua uaci cion ones es (12) (12) y (13) (13) reco recoge gen n resp respec ecti tiva vam men ente te la evolución del capital per cápita y del consumo per cápita.

ESTADO ESTACIONARIO ESTACIONARIO::

El estado estacionario es una situación en que las variables per cápita crecen a un unaa ta tasa sa co cons nsta tant nte. e. Si no noss fi fija jamo moss en la ec ecua uaci ción ón (1 (13) 3),, qu quee de desc scri ribe be el comportamiento del consumo, para que el consumo crezca una tasa constante el capital tiene que ser siempre el mismo:

γ  c = cte si y solo si, k t  = k t +1 , lo que implica que γ  k 

=0

Mirando la ecuación (12), para que el stock de capital no cambie se tiene que cumplir que el consumo per cápita no varíe.

γ  k 

= cte

si y solo si, ct 

En estado estacionario: γ  k  Si γ  c

=0

=0

y γ  c

= ct +1 , lo que implica que γ  c = 0 =0

α  Ak −(1−α ) = (δ  +  ρ )

⇒ 1

k *

  α A  1−α    =    + δ   ρ     

Stock de capital de estado estacionario

El PIB per cápita de estado estacionario, se obtiene sustituyendo el capital de estado estacionario en la función de producicón:

 y *

α  α A  1−α 

    =  A    δ  +  ρ   

Sabiendo que el consumo per cápita es la renta menos el ahorro, lo calculamos como:

c*

α  α A  1−α 

    = (1 − s) A   +  δ   ρ   

Consumo per cápita de estado estacionario

9

 

3.2Modelo de Ramsey con Progreso tecnológico  xt  1−θ  ( ) n t   ρ  (cˆe ) ∫ 0∞ e − −

 Max

1 − θ 

− 1 dt 

La renta de los consumidores es la suma de los ingresos del trabajo e ingresos del capital: wLt  + rBt −1 . Con la renta de que disponen los consumidores

pueden ahorrar o consumir, de tal forma que: S t  + C t  = wLt  + rBt −1 El ahorro de las familias es igual a:  Bt +1 =  Bt  + S t   B = S t  Podemos escribir la restricción presupuestaria de las familias:  B

= wL + rB − C 

Expresamo Expresa mos s la rest restricc ricción ión pre presup supues uestari taria a de las fam familia ilias s en unidades de trabajo efectivo:  B  AL

=

w  A

definimos bˆ =

+ r 

 B

 AL

 B  AL

−

C   AL

 B

⇒

 AL

=

w  A

+ r bˆ − cˆ

(1)

como activos por unidad de trabajo efectivo,

y lo derivamos respecto al tiempo:

bˆ =

 L +  A L )  B AL −  B( A  AL  AL

=

 B  AL

Sustituimos (2) en (1) y despejamos bˆ :

10

− bˆ( x + n)

(2)

 

 B  AL

= bˆ + bˆ( x + n)

w bˆ = + r bˆ − cˆ − bˆ( x + n)  A w bˆ = − cˆ + bˆ( r  −  x − n) : restricc restricción ión presu presupuest puestaria aria expresa expresada da en  A

unidades de trabajo efectivo:

3.3. 1 Problema del consumidor  xt  1−θ  −1 − ( ρ − n )t  (cˆe ) ∞  Max ∫ 0 e dt  1 − θ  w  s.a : bˆ = − cˆ + bˆ(r  −  x − n)  A

Definimos el hamiltoniano:  xt  1−θ  −1 w ( ρ − n )t  (cˆe ) − ∞  H  = ∫ 0 e dt  + v( − cˆ + bˆ(r  −  x − n)) 1 − θ   A

c.p.o.

∂ H  =0 ⇒ ∂cˆ

(1 − θ )e [ −( ρ − n)+ x (1−θ ) ] t cˆ −θ 

∂ H  = −v ⇒ ∂bˆ

1 − θ  v ( r  − n −  x ) = −v

=v

(3)

(4)

derivamos (3) respecto a t: ( −( ρ  − n) +  x (1 − θ ))e ( − ( ρ −n)+ x (1−θ ))t cˆ −θ  − θ  cˆ −θ 

cˆ ( − ( ρ −n)+ x (1−θ ))t  e cˆ

Dividimos (5) por (3):

v v

c

= (−( ρ  − n) +  x(1 − θ )) − θ  ˆ cˆ

Igualamos la expresión (6) a la expresión (4): 11

(6)

= v

(5)

 

( −( ρ  − n) +  x (1 − θ )) − θ 

cˆ cˆ

= −(r  − n − x)

(7)

despejamos de (7) la tasa de crecimiento del consumo privado: γ  cˆ

1

= [ (−( ρ  − n) +  x(1 − θ )) + (r  − n − x)] : evolución del consumo por

θ  unidad de trabajo efectivo.

3.3.2 Problema de la Empresa Defini Defi nim mos los los be bene nefi fici cios os de la em empr pres esa a en té térm rmin inos os de unidades de trabajo efectivo:

Π

=  f  (k ˆ) − w − (r  + δ )

 K   AL

 AL

Decisión de inversión de la empresa: ˆ  Max : π  ˆ =  f  (k ˆ ) − w − ( r  + δ ) k  c. p.o :

∂π  ˆ

ˆ ∂k 

=0

⇒

 f  ' (k ˆ) = r  + δ 

(8)

Decisión de contratación de la empresa:

Π =  ALf  (k ˆ) − wL − (r  + δ ) K  ∂ f   ∂k ˆ ∂Π = 0 ⇒  Af  (k ˆ) +  AL ˆ − w = 0 c. p.o : ∂k  ∂ L ∂ L

 Max

 Af  ( k ˆ) +  ALf  ' ( k ˆ) k ˆ 1  L

=w ⇒

 A  f  ( k ˆ) −  f  ' (k ˆ )k ˆ

[

]=w

(9)

Impone Impo nemo mos s las co cond ndici icion ones es de va vaci ciado ado de me merca rcado do:: bˆ = k ˆ . La restricción presupuestaria del consumidor queda como: k ˆ =

w  A

− cˆ + k ˆ(r  −  x − n)

k ˆ = (  f  ( k ˆ) −  f  ' (k ˆ )k ˆ ) − cˆ + k ˆ( r  −  x − n) k ˆ = (  f  ( k ˆ) − (r  + δ ) k ˆ) − cˆ + k ˆ (r  −  x − n)

12

 

k ˆ =  f  ( k ˆ) − cˆ − k ˆ(δ  +  x + n) : ley de evolución del capital por unidad de

trabajo efectivo. γ  cˆ

γ  cˆ

=

=

[ (− ρ  + n +  x − θ  x +  f  ' ( k ˆ) − δ  − n − x )] θ  1

(  f  ' (k ˆ ) − (δ  +  ρ  − xθ ) ] : [ θ  1

evol ev oluc ució ión n de dell co cons nsum umo o po porr un unid idad ad de

trabajo efectivo

13