Modelo de Drude

IntroduçãoaFísicadoEstadoSólido:PropriedadesElétricas,ÓticaseMagnéticasdeMateriais Prof.AndréAvelinoPasa DepartamentodeFísica–UFSC 2.ModelodeGásdeElétr 2.ModelodeGásdeElétronsClássic onsClássicooudeDrude ooudeDrude 2.1.EstruturaEletrônica 2.1.EstruturaEletrônicadosMetais dosMetais. .

AprimeiratentativaparaexplicarocomportamentoelétricodossólidosfoipropostaporP.Drude em1900.Drudesupôsqueossólidosmetálicosfossemformadosporíonspositivosemposições fixas fixase eelét elétron rons s estaria estariam mlivr livresparase esparase moverpor moverpor todo todoosólido. osólido. Como asinteraçõe asinterações s doselétrons doselétrons comosíonsnestemodeloseriampraticamentenulas,osistemapassouaserdenominadode“gás deelétronslivres”.NaFigura2.1éapresentadoosólidometálicoidealizadoporDrudecom“átomos ionizados”emposiçõesfixas(sítiosdaredecristalina)eelétronslivres.Acargadosíonsédadapor  Z néonúmerodecargaspositivasno ! ! ! − ! ,onde eéamagnitudedacargadoelétron, Z   Z eéonúmerodeelétronsnoátomodepoisdaionização. átomoe Z  =

!

!

Figura2.1–ModelodeDrudeformuladoem1900combasenoátomodeThompson(esferasde fluido fluido carr carrega egado do posit positiva ivamen mente te com com elétr elétrons ons imers imersos os em seu interi interior or). ). As esfera esferas s posit positiv ivas as em posiçõ posições es fixas fixas estar estaria iam m ioniz ionizada adas s com com carg carga a ! ! ! − ! e os elétr elétrons ons liber liberad ados os livre livres s para para circularpelocristal.Zn éo númer númerode ode carga cargasposi spositi tivas vas noátomoe noátomoe Z eéonúmerodeelétronsno átomodepoisdaionização. =

!

!

OmodelodeDrude,emboraex OmodelodeDrude,emboraextremament tremamentesimples,fo esimples,foicapazdeexp icapazdeexplicardiver licardiversaspropri saspropriedadesdos edadesdos sólidos,tantopropriedadeselétricasetérmicas,comotambémmagnéticaseóticas.Fracassouna obtençãodacapacidadecalo obtençãodacapacidadecaloríficaenadiferenci ríficaenadiferenciaçãodemateri açãodemateriaiscondutor aiscondutoresdenãocondutores.O esdenãocondutores.O modelodeDrudeselimitavaamateriaiscondutores.Comopassardosanoseodesenvolvimentoda teoriaquântica,emaisostrabalhosdeP.Dirac,W.E.Pauli,E.Fermi,eoutros,foipossíveltrataro modelodegásdeelétronscomoutraabordagemteórica.Oresponsávelporestanovaabordagem foiA.Sommerfeldqueem1927reformulouomodelo foiA.Sommerfeldqueem1927reformulouomodelodeDrudeutilizando deDrudeutilizandoconceitosepropri conceitosepropriedades edades introduzidos introduzidos pela mecânica quântica. quântica. Sommerfeld Sommerfeld também reinterpretou reinterpretou os resultados resultados anteriores anteriores (domodelode (domodelode Drude)utiliz Drude)utilizando ando conceit conceitosjá osjá bemdefinidossobre bemdefinidossobre amatéria,comoo amatéria,comoo principi principiode ode exclusãoecristalinidadedossólidos.Essenovomodeloapesardeserbemmaisrobustoqueseu antecessor,tambémnãofoicapazdeexplicarasdiferençasentremetais(condutores)eisolantesou semicondutores.Paradescreverosmateriaissemicondutoreseisolantesfoinecessárioconsiderar queoselétronsnocristalsofremainfluênciadeumpotencialperiódico,ouseja,introduziraidéia degásdeelétronsquaselivres. 2.1 2.1

É importante notar que os metais formam estruturas cristalinas com um número elevado de primeirosvizinhos(!!" ).Porexemplo,naestruturaCFCn pv =12,naCCC n pv =8,paraumadistância igualaoparâmetroderede a,commais6vizinhosparaumadistânciaiguala1,15 a.

2.2-ModelodoGásElétronsLivresClássicoouModelodeDrude

O modelo de Drude ou também chamado de gás de elétrons livres ou gás de elétrons clássico consiste em íons carregadospositivamente em posições fixas, cercados porelétrons quesãotão fracamenteligadosaestesíonsquepodemserconsideradoscomolivres.Esseselétronssemovem pelosólidosofrendocolisõescomosíonsfixosetambémcomosoutroselétronslivres.Entãoo sólidopodeserconsideradocomoumgásdepartículascarregadasconformeilustradonaFigura2.2.

Figura2.2-Colisõesdoselétronscomosíons Figura2.3–Velocidadedederiva!! devidoa positivos da rede, onde! é o livre caminho aplicação de um campo elétrico, resultando médiodoselétronsnogáse ! éavelocidade emumacorrenteelétrica. decadaelétron. !

Umaequaçãoquedescrevaomovimentodoselétronsnogáspodeserdeduzidaatravésdasegunda lei de Newton, que diz que a variação temporal domomento dosistemaé dada por uma força externa,ou ! !( ! ) !"

=

2.1

!!"

onde! éomomentomédiodogás,momentodocentrodemassajáqueonúmerodeelétronsé muitogrande, ! aforçaexternae ! otempo. Devemos, no entanto, lembrar que para os elétrons o momento total não é conservado, já que colidemcomosíonsdogás.AaproximaçãoadotadaporBoltzmannemseustrabalhosconsistiaem tomar a variação damédia do momento dos elétrons entrecada colisão, como sendoa taxa de momento transmitido para os íons, isto é, a equação 2.1 pode ser escrita com um termo de amortecimento, !"

! !( ! ) !"

+

! !

! (! )

=

!!" .

2.2

2.2

!

onde ! (! )é o termo de atrito que representa a variação média do momento dos elétrons nas colisõese !éotempomédioentrecolisõesexpressopor !

ℓ !

2.3

=

!!

ondeℓéolivrecaminhomédioe ! avelocidadedoselétrons. Quantoàscolisõesentreoselétrons,nãoénecessárioconsiderá-lasexplicitamente,poisomomento nestecasoéconservado.Adicionalmente,aforçaexternapodesertantodeorigemelétricaquanto magnética. Por outro lado, mesmo na presença de forças externas nulas, haverá elétrons com velocidades ve diferentes de zero, devido a energiatérmica dogás. No entanto, este efeito não levaráaumamudançanadistribuiçãoespacialdecargas.Naequação2.2mostradaacima,otermo ! ! (! )tambémpodeserpensadodeformamacroscópicacomosendoumtermodeatrito,análogo aoatritorealizadopeloaremcorposemquedalivre.Destemodo,oatritorealizadosobreocorpo em questão (elétron no sólido ou corpo em queda) faz com que a velocidade não aumente indefinidamente,massimatéumvalormáximoquechamadosdevelocidadedederiva. !

!

2.3-TransporteEletrônico

ParaentendercomoocorreotransportedecarganosólidometálicodeDrudeaplica-seumcampo elétricoexternouniformeeconstantenadireção ! ,comoilustradomicroscopicamentenaFigura2.3 ! !! ! com !! sendoocampoelétrico emacroscopicamentenaFigura2.4.Aforçaexternaserá ! aplicado. !"

=

Figura2.4–Aaplicaçãodeumcampoelétricoemumsólidometálicogeraumfluxodeelétrons descritopeladensidadedecorrente !,sendo!! avelocidadedederiva. Omovimentodoselétronsteráumadireçãopreferencialdadapeladireçãodocampoelétrico(veja asFiguras2.3e2.4).Oselétronscontinuarãoasofrercolisões,mascommomentomédiodiferente dezero.Odeslocamentomédiodiferentedezeronoeixoxteráumavelocidadequeédenominada develocidadedederivaoudearraste !! .Adensidadedecorrenteseráexpressapor  !

=

!"!!

,



2.4

ondenéadensidadedeelétronsnogás.Casoavelocidadedederiva !! sejaigualavelocidadedo elétrons! ,teremosentãoumgáspraticamentelivre decolisões,istoé,umgásem que! >> ! . !

2.3

Este caso idealénormalmente descritocomotransporte balístico. NaFigura 2.5 são ilustradosos transportesdifusivoebalístico.

Figura2.5.Ilustraçãodosmecanismosdetransporteeletrônicodifusivo(oelétronestásujeitoaum campo elétrico e se move sofrendo colisões com os íons do sólido) e balístico (o elétron praticamentenãosofrecolisõesnosólido). NapresençadecampoelétricoaEquação2.2podeserreescritanaforma ! !( ! ) !"

+

! (!)

=

!

! !! !

.

2.5

Assumindo-sequeomomento!possaserdescritocomooprodutodamassadoelétron ! pela velocidadedederiva !! ,teremos !

! !!

!!

!"

+

!! !! =

!

! !! !

,

2.6

queadmiteasolução !

!!

=

!! !

!!

!

+ !! !!

!

+  !! !

!!

!

! +  !! !

!!

2.7

!

onde as constante !! e !! são arbitrárias e dadas pelas condições de contorno. Considerando tempos muito maiores que o tempo médio entre colisões, ! ≫ ! , pois representam o estado estacionáriodosistema,encontra-seumavelocidadedederivanadireção ! dadapor !!

=

!! !! ! .

2.8

istoé,osvaloresde !! sãotomadoscomozero.Ovalorde ! éfacilmenteencontradosubstituindo!" se!! naEquação2.7,queresultaem ! ! ,logo !

!

!"

!!

=

!!

=

!

!! ! ,

2.9

eexpressaradensidadedecorrente(Eq.2.4)como,  !

!! =

!!!!

!

!

=

!!

!! ! .

2.10

SeconsiderarmosquedensidadedecorrentequeatravessaometalédadapelaleideOhm  ! acondutividadeelétricaparaelétronsserádadapor, 2.4

=

!! !

,

!!

!!

!

!

=

!!

.



2.11

A descrição dos da condutividade elétrica em função de parâmetros microscópicos, como carga, massa,densidadeetempoentrecolisõesfoiumavançofundamentalqueresultoudomodelode Drude. Para metais em geral a condutividade elétrica aumenta lentamente com a redução da temperatura.Oaumentoobservadoéexplicadonestemodelounicamentepeloaumentodotempo entreascolisões.Paratemperaturasbaixas,umportadordecargalevamaistempoparasofreruma colisãodoqueseestivesseemaltastemperaturas.Nacurvaabaixoéapresentadaacondutividade deumfilmefinodeAuemfunçãodatemperatura.

1,16x10

     1 1,14x10          )     m     c

5

5

     Ω

      (

    σ 1,12x10

1,10x10

5

5

120

160

200

240

280

320

T(K )

Figura2.6.Gráficodacondutividadedoouro(Au)emfunçãodatemperatura,mostrandoapequena variaçãodacondutividade,variaçãoessareferenteareduçãodotempodecolisãodoselétronspara temperaturasmaiselevadas(ResultadoobtidoporM.A.Tumelero,LFFS/UFSC). 2.31.Estimativasparav e,! el ,

Umaestimativaparaavelocidadecomqueoselétronssemovemnometalpodeserencontrada supondoquetodaaenergiacinéticadosistemaestánaformadeenergiatérmica,ouseja !! !!

! =

!

3!! !

onde

2

!!! ! !

,ou!

!

=

!!! ! !!

,

2.12

éa energia médiapor partículaem umgásideal(Teorema daEquipartiçãoda Energia).

! Paraummetalemtemperaturaambiente ! 300 ! ,teremos v 1 2×10 ! ! .Umaestimativa para o tempo médio entre colisões! para o metal Cu é de cerca de 2 7×10!!" ! , valor obtido através da Equação 2.11 assumindo-se valores tabelados de densidade eletrônica !!" 8 4× ! !! !! !! . !" 10 !" 1 5×10 Ω de resistividade elétrica em temperatura ambiente ! . ~

!

=

,

,

=

!

=

=

,

,

!!

Conhecendo-se as estimativas para ! e! pode-se encontrar! da ordem de3 2 !! pela Equação 2.3.Ovalorobtidoparaolivrecaminhomédioédaordemde9parâmetrosderede,considerando ! 0 361 !" .EsteresultadopoderiaserconsideradocomoumsucessodateoriadeDrude,pois estariacoerentecomomodelomicroscópicoproposto.Noentanto,comoserávistomaisadiante,o modelodeDrudesubestimaavelocidadedoselétrons. !

~

,

,

2.5

2.5-PropriedadesTérmicas

O modelo de Drude também possibilita calcular a contribuição dos elétrons para a descrição de propriedades térmicas como capacidade térmica, condutividade térmica e alguns efeitos termoelétricos.

2.5.1CapacidadeTérmica Para calcular a capacidade caloríficade um gás de elétrons livres clássico devemostomaralguns conceitosdatermodinâmicaclássica,comoadefiniçãodecapacidadetérmica ! dadapor !

!!

!" =

!"

,

2.23

que corresponde a quantidade de energia necessária para fazer com que o sistema aumente a temperaturaemumaunidadedetemperatura. !éaenergiadosistemacom! átomos,fornecida pelaequação !

!

=

!

2.24

! !! !

eacapacidadetérmicaparaogásdeelétronsseria !!

!" =

!"

! =

!

! !! .

2.25

Esteresultadoéindependentedatemperaturaenãodescreveobservaçõesexperimentaisdequea capacidade calorífica depende de forma não linear da temperatura e que tende a zero para temperaturaspróximasdozeroabsoluto.Aexpressãoqueseobtémexperimentalmenteé !

=

!"

+  !!

!

,

2.26

onde ! e !sãoconstantesdeproporcionalidadecaracterísticasdecadamaterial,otermolinearé devidoacontribuiçãodoselétronseotermonaterceirapotênciadevidoaosfônons(vibraçõesde rede).

2.5.2-CondutividadeTérmica

OutraimportantegrandezatermodinâmicaquepodemosdeduzirapartirdomodelodeDrudeéa condutividadetérmicadogásdeelétrons.RecorrendoaleideFourierquedescreveofluxodecalor  !! (energia porsegundo por unidade de área) na presença de um gradiente de temperatura ∇T, temos  !!

=

−! ∇T,

2.27

2.9

quadrado na Eq. 2.32) e não descrevendo a dependência com a temperatura da constante de Lorentz(parabaixastemperaturas).

2.5.4-EfeitoSeebeck

Quandoumadeterminadaregiãodosistemaésubmetidaaumgradientedetemperaturasurgeum fluxodecargas.EsteefeitoéconhecidocomoefeitoSeebeck.Ocampoelétricoqueseestabelece, promoveumfluxodecargasnosentidocontrário,quenoregimeestacionárioéigualemmodulo, masdesentidocontrário,aofluxoestabelecidopelogradiente.Ocampoelétricopodesercalculado através da Equação2.9, ! − !! , onde!! é a velocidade que os elétrons adquirem devido ao gradiente,expressapor !

=

!"

!!

=

∆!! !

!

=

! !! !" !" !"

∆!

=

! !! !" !" !"

!! !

.

2.33

Inserindo !! naequaçãodocampoelétrico,

!

! =

-

!"

! !! !"

!" !! !

!"

=

1D

→

3D

=

!! ! !!

! ! !" !

!"

∇T

! =

−

!!

!

!! !"

∇T

=

!!

−

!!"

∇T

=

S∇T,

2.34

onde S é a eficiência termoelétrica ou também chamado de poder termoelétrico. Aplicando a estratégiadeDrudedesubstituir ! por3!!! /2obtém-se −43 !" /!,queéumvalor2ordensde magnitudesuperioraosencontradosexperimentalmenteparametais(mesmoerroqueaparecena determinaçãode !,sóquenestecasonãoécompensadopeloerronavelocidade). O efeito Seebeck é empregado na medida de temperatura. Experimentalmente é utilizado um termopar que consiste de dois fios de materiais condutores dissimilares conectados em uma extremidade.Otermoparésubmetidoaumgradientedetemperatura,conformeilustradonaFigura 2.7, sendo medida a diferença de potencial que surge nas extremidades abertas. A voltagem Seebeckqueseestabeleceemummaterialsobgradientetérmico∆! !! − !! édadapelaintegral ! !" !"# , pois a Eq. 2.34 pode ser re-escrita na forma !" ! ! . Na Figura 2.7, a ! !" !" !

=

=

!

=

!

diferença de potencial medida é divida a soma das voltagens Seebeck em cada material e proporcionaladiferençadetemperaturaentreointerioreoexteriordoforno. No caso de termopares comerciais, o par cobre/constant (liga com 45 % Ni e 55 % Cu) é normalmente empregado para medida de temperaturas no intervalo entre -160°C e 400°C. Os valores tabelados para o poder termoelétrico destes materiais para 20 oC é !!" 1.9 !" /! e !!"#$%&#%&# −38 3 !" /!. =

=

,

2.11

Figura 2.8. Ilustração do procedimento experimental para medida de temperatura empregando termopar. Constantes:

Carga do elétron Constante de Boltzmann Massa do elétron

!

=

!! !

Permeabilidade magnética do vácuo

!!

1 6×10

=

=

=

,

!!" !

1 38×10 ,

9 1×10

!!" !"

4! ×10

!!

,

Referências

C.Kittel,IntroductiontoSolidStatePhysics,JohnWiley&Sons N.M.AshcroftandN.D.Mermin,SolidStatePhysics,Brooks/Cole J.Singleton,BandTheoryandElectronicpropertiesofSolids,OxfordUniversityPress

2.12

!!" ! ! / !"

!"