Modelo de Crecimiento de Solow

Modelo de crecimiento de Solow 1956)), conocido como el modelo Modelo de crecimiento de Robert Solow (1956

exógeno de crecimiento o modelo de crecimiento neoclásico, es un modelo macroeconómico creado para explicar el crecimiento económico y las variables que inciden en este en el largo plazo. Contenido

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1 Explicación intuitiva 2 Formulación matemática o

2.1 Ecuaciones relevantes del modelo de Solow

o

2.2 Equilibrio del estado estacionario 

2.2.1 Aumentos en la tasa de ahorro



2.2.2 Condiciones del producto en estado estacionario



2.2.3 La regla de oro

3 Evidencia empírica 4 Véase también 5 Referencias o

5.1 Notas

o

5.2 Bibliografía

[editar ]Explicación

intuitiva

El modelo de Solow pretende explicar como crece la producción nacional de bienes y servicios mediante un modelo cuantitativo. cuantitativo . En el modelo intervienen básicamente la producción nacional ( Y ), ), la tasa de ahorro (s ) y la dotación de capital fijo (K ). ). El modelo presupone que el e lProducto interior bruto (PIB) nacional es igual al renta nacional (es decir, se supone una "economía cerrada" y que por  tanto no existenimportaciones existen importaciones ni exportaciones exportaciones)). La producción por otra parte dependerá de la cantidad de mano de obra empleada (L) y la cantidad de capital fijo (K )(es )(es decir maquinaria, instalaciones y otros recursos usados en la producción) y la tecnología disponible (si la tecnología mejorara con la misma cantidad de trabajo y capital podría producirse más, aunque en el modelo se asume usualmente que el nivel de tecnología permanece constante). El modelo presupone que la manera de aumentar el PIB es mejorando la dotación de capital ( K ). ). Es decir, de lo producido en un año una parte es ahorrada e invertida en acumular más bienes de capital o capital fijo (instalaciones, maquinaria), por lo que al año siguiente se podrá producir una cantidad

ligeramente mayor de bienes, ya que habrá más maquinaria disponible para la producción. En este modelo el crecimiento económico se produce básicamente por  la acumulación constante de capital , si cada año aumenta la maquinaria y las instalaciones disponibles (capital fijo) para producir se obtendrán producciones progresivamente mayores, cuyo efecto acumulado a largo plazo tendrá un notable aumento de la producción y, por tanto, un crecimiento económico notorio. Entre las predicciones cualitativas del modelo está que el crecimiento basado puramente en la acumulación de capital, sin alterar la cantidad de mano de obra ni alterar la tasa de ahorro es progresivamente más pequeño, llegándose a un estado estacionario en que no se produce más crecimiento y las in versiones compensan exactamente la depreciación asociada al desgaste del capital fijo. [editar ]Formulación

matemática

El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país (economía cerrada), en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas: (1a) Definiendo las variables, tenemos que: = Capital total = fuerza laboral o trabajo total usado en la producción. = es una constante matemática que depende del nivel de tecnología. = Producción total [medida por ejemplo en unidades monetarias]. = Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes. Se sabe, por otro lado, que necesariamente

, se

puede probar que α coincide con la participación total del capital en la producción (de acuerdo con el análisis de la productividad total de los factores ). Si alfa es α ~ 1, la producción se basará fundamentalmente en el capital disponible y será casi independiente de la mano de obra. Existen razones para suponer que para muchas

situaciones reales la función de producción de CobbDouglas es una función creíble de producción que tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. Más adelante se verá que si se supone que la función de producción es de este tipo, exite la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro. Técnicamente la hipótesis de que la función de producción es la función de Cobb-Douglas no es fundamental para el modelo, porque bastaría que fuera una función monótona creciente en el capital y la cantidad de trabajo. Para formular el modelo a partir de la función de CobbDouglas se definen por conveniencia: 

el producto per cápita efectivo y como la cantidad de producción por unidad de mano de obra y



el stock de capital per cápita efectivo k como la cantidad de capital por unidad de mano de obra

Es decir, definimos las variables:

(2) Como hemos supuesto que la función de producción es de tipo Cobb-Douglas se tiene la siguiente relación entre y y k :

(1b)  Asumiendo el producto per cápita efectivo y en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito. La función anterior satsiface las condiciones de Inada, a saber:

Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de

, es decir, el

producto marginal del capital es 0 cuando k es alto.

 Además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes m atemáticamente, posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este. [editar ]Ecuaciones

relevantes del modelo de Solow

Existe una ecuación relevante del modelo de Solow, y es la ecuación de acumulación de capital.

(4) Donde = Tasa de ahorro = Producto de la economía en el período t  = tasa de depreciación del capital existente. = Capital total en el período t  El término

representa la inversión efectiva en capital que puede

realizar la economía, que es el producto multiplicado por la tasa de ahorro (ya que el modelo presupone que todo el ahorro se invierte). El segundo término de la ecuación

representa la inversión de

reposición (o gastos de amortización) que representa cuanto capital ya no sirve o es inútil para la acumulación de capital. Para analizar más la inversión de reposición, es necesario determinar esta misma ecuación en términos per cápitas y efectivos. Para calcular el incremento de stock de capital per cápita, derivando, usando la regla de la cadena y substiyendo el l a ecuación resultante el resultado (4) se tiene: (5) Donde:

Esta última ecuación tiene el mismo aspecto que (4), pero en términos per cápita, con una inversión de reposición igual a

, que muestra

la cantidad de inversión necesaria para mantener el capital constante.  Aumentos de depreciación, tendrían efectos de disminución de la acumulación de capital, y por lo tanto, un menor [estado estacionario] del capital. Aumentos en la tasa de crecimiento de la población, causarían un aumento menor o disminución de la acumulación de capital per cápita efectivo. Es necesario que la inversión efectiva pueda sostener los movimientos o la depreciación misma, así como el crecimiento de la población y la nueva tecnología que necesitan inversión física para producirla. Si tenemos altas tasas de crecimiento de la población, es dif ícil que el capital per cápita efectivo crezca, ya que habrá mayor maquinaria que repartir entre los nuevos individuos potencialmente productivos que entran al mercado. Así también, aumentos de la tasa de tecnología necesitan producir nueva maquinaria, por lo que es necesario que haya inversión efectiva para sostener aumentos de la tecnología. [editar ]Equilibrio

del estado estacionario

Diagrama del modelo de crecimiento de S olow

El equilibrio estacionario es la condición del m odelo en que finaliza el aumento del capital reflejado en la ecuación de acumulación de capital per cápita, que termina con un capital fijo sin variaciones adicionales.

Como se supone que la función solución única

el sistema anterior tendrá una

y los niveles de renta per cápita efectiva, capital

per cápita efectivo, tasa de ahorro, tasa de cambio tecnológico y tasa de depreciación del mismo determinan el llamado estado de equilibrio o estado estacionario del modelo de Solow. El equilibrio en el modelo de Solow es la senda de la convergencia de los países: una economía, mediante la propiedad de rendimientos marginales decrecientes, tiende a decrecer su producción marginal; o dicho en otros términos, la producción total cada vez crece m enos. Por  lo que

tiende también a crecer menos, lo que eventualmente hace

que se iguale a

. Esta condición mantiene el stock de capital

per cápita efectivo constante, sin variaciones. Sin embargo, en estado estacionario, es posible afirmar que el producto per cápita crece a la tasa de crecimiento de la tecnología, y el producto total crece a la tasa de crecimiento de la población y de la tecnología. El aporte de estas variables exógenas logran explicar el crecimiento en el largo plazo, es decir, cuando la economía alcanza su capital estacionario. Este es el gráfico principal del modelo de Solow, y muestra que en el equilibrio de largo plazo, que y es igual a

. La razón de la convergencia es

, la función del producto per cápita tiene

rendimientos decrecientes, así también, la f unción de inversión efectiva

. De esta forma, los rendimientos decrecientes del capital

per cápita hacen que haya una convergencia entre la inversión de reposición y la inversión efectiva. En el gráfico, k "EST" representa el estado de capital estacionario y, por lo tanto, el estado de producto estacionario. [editar ]Aumentos

en la tasa de ahorro

Un aumento en la tasa de ahorro haría que

aumente, por lo que

aumenta el capital de estado estacionario. El efecto de la tasa de ahorro tiene un efecto de crecimiento más rápido en el corto plazo, pero en el largo plazo el efecto es nulo. Básicamente, la tasa de ahorro tiene efectos en el nivel de producto, no así los efectos de la tasa del aumento de la tecnología, que son efectos de crecimientos en el largo plazo. [editar ]Condiciones

del producto en estado estacionario

Teniendo la igualdad

, podemos reemplazar el

capital, obteniendo así el capital de estado estacionario.

.  Además, utilizando

, obtenemos: Plantilla:Ecuacióm En estado

estacionario, es posible determinar las siguientes conclusiones: 

 Aumentos del nivel de tecnología producirían un mayor producto per 

cápita estacionario. Así también, mayor fuerza de trabajo incidiría positivamente en el producto estacionario. Inversamente, aumentos de la tasa de crecimiento de la población, y altas depreciaciones, tendrían como resultado bajos productos per cápita ef ectivos estacionarios. 

En estado estacionario, dado que

, la tasa de crecimiento

del producto total es igual a n + g y la tasa de crecimiento del producto per cápita es igual a g. El producto per cápita en estado estacionario crecería solo a la tasa de crecimiento de la tecnología. [editar ]La

regla de oro

La regla de oro consiste en un capital óptimo que maximiza el consumo. Si asumimos que la utilidad depende del consumo, el capital de estado estacionario no es sinónimo de maximización, ya que con un capital óptimo se puede hacer el consumo máximo. Al respecto, es visible que:

Esta última ecuación representa el consumo en estado estacionario, es decir, el en el largo plazo. Necesariamente, para encontrar un capital que maximice el consumo , debemos derivar esta ecuación con respecto al capital. c =  f (k ) − k (n + g + δ)

Derivando el consumo respecto al capital, se tiene:

Igualando a cero, se tiene:

Esto nos dice, que el producto marginal del capital, o la última unidad de capital generada debe ser igual a la tasa de crecimiento de la población, la tasa de depreciación y de tecnología para que el consumo sea máximo. Desde el punto de vista algebraico, se tiene que el capital de la regla de oro es el siguiente:

Nótese la similitud con el capital estacionario. Se puede inferir, que la tasa de ahorro que maximiza el consumo es la siguiente:

Por lo tanto, necesariamente la condición para que el capital estacionario sea igual al capital de la regla de oro y se maximice el consumo es que la tasa de ahorro debe ser igual a la fracción del producto producida por el capital, es decir [editar ]Evidencia

.

empírica

Mankiw, Romer y Weil (1992) basándose en el modelo de Solow examinaron las diferencias internacionales de renta per cápita suponiendo que éstas son una función de la tasa de ahorro, la t asa de crecimiento de la población y los niveles iniciales de productividad del trabajo. Bajo esos supuestos el 60% de las diferencias de renta en 1985 en una muestra de noventa y ocho países parecían ser  explicables. Sin embargo, cuando calcularon la contribución implícita del capital en la renta nacional a partir del modelo, resultaron ser casi el doble que las estimaciones directas. Esto suponía una dificultad al modelo de Solow como modelo explicativo.1 Para resolver esta discrepancia construyeron un m odelo modificado, que contemplara la acumulación de capital humano. Con ese nuevo modelo podían explicar alrededor del 80% de la variación observada, y

una contribución del capital físico cercana al 30% en acuerdo con la cantidad estimada directa. Así que concluyeron que si bien el m odelo de Solow no explicaba suficientemente bien los datos una modificación del mismo sí parecía dar cuenta de los datos. Sin embargo, Grossman y Helpman (1994) observan que la productividad total de los factores (PTF) tiene un papel importante. Dado que los incrementos de PTF estimulan la inversión pudiera ser que desde un punto de vista causal no sea la acumulación de capital la causa original del crecimiento sino otros factores que hacen aumentar la PTF . [editar]

2

Modelo Harrod-Domar  El modelo de crecimiento de Harrod-Domar, fue elaborado a finales de los años cuarenta por dos economistas keynesianos (keynesianismo) , Sir Roy Harrod de Gran Bretaña y Evsey D. Domar de Estados Unidos, ambos desarrollaron de forma independiente un análisis del crecimiento económico que es conocido como el modelo Harrod-Domar. En el modelo económico se analizan los factores o razones que influyen en la velocidad del crecimiento, a saber, la tasa de crecimiento del trabajo, la productividad del trabajo, la tasa de crecimiento del capital o tasa de ahorro e inversión y la productividad del capital. En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa natural de crecimiento al ritmo de crecimiento de la oferta de trabajo. Por oferta de trabajo se entiende aquí no sólo el aumento del número de trabajadores, o de horas que están dispuestos a trabajar, sino también al aumento de su capacidad productiva y de su productividad. En otras palabras, es la tasa de crecimiento de la población activa más la tasa de crecimiento de la productividad del trabajo. Para que haya un crecimiento económico equilibrado y con pleno empleo es necesario que el producto y el capital productivo crezcan exactamente en esa misma proporción, la tasa natural. Si el crecimiento del capital es menor del crecimiento del trabajo, habrá desempleo. Si el crecimiento es superior se producirán distorsiones en la tasa de ahorro e inversión que desequilibrarán el crecimiento. El crecimiento del producto requiere crecimiento del capital existente y esto requiere ahorro, es decir, destinar un porcentaje de la renta a la inversión en capital. En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa garantizada de crecimiento o tasa de crecimiento requerido a "aquel ritmo general de avance que, si se consigue, dejará a los empresarios en una actitud que les predispondrá a continuar un avance si milar". En otras palabras, es la tasa de crecimiento que hace que la tasa de ahorro e inversión permanezcan constantes.  Al analizar Harrod y Domar esas variables y las relaciones entre ellas encontraron dos graves problemas:

Las razones del crecimiento de la población activa no tienen nada que ver con las razones que determinan el ahorro, la inversión y las variaciones en la productividad del trabajo y del capital. Por tanto, no hay ninguna razón por la que podamos suponer que sus tas as de crecimiento coincidan. Cuando la tasa de crecimiento del producto difiere de la tasa natural, el distanciamiento tiende a agravarse. Por tanto sus previsiones de crecimiento resultaron muy pesimistas. El crecimiento económico tiene tendencia a ser inestable e inevitablemente se producirán cambios cíclicos en las tasas de crecimiento, de ahorro, inversión y empleo. La solución del modelo de Harrod es del tipo función exponencial, condición suficiente para que se produzca una economía de rendimientos constantes. Una solución exponencial determina que la economía crece igual que una cantidad monetaria depositada en un banco a un tipo de interés nominal g. En el modelo de Harrod g, es la tasa garantizada. Contenido

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1 Tasa garantizada 2 Solución exponencial 3 Relación entre capital y trabajo 4 Tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo 5 Acumulación y cambio tecnológico 6 Tasa natural de crecimiento 7 Modelo de Harrod con retardo en el ahorro 8 Influencia del modelo de Harrod 9 Inconsistencias y críticas del modelo 10 Bibliografía

[editar ]Tasa

garantizada

El desarrollo matemático de logaritmos está obsoleto y si aplicamos una tecnología con un coeficiente v variable obtendremos el modelo revisado de Harrod. Esta versión combina el modelo simple de Harrod y la versión multiplicador acelerador .

La primera condición de equilibrio es denominada por Harrod de "plena capacidad" o "máxima capacidad instalada". K=vY es una relación tecnológica de coeficientes constantes relacionada con el modelo de Kalecki. La segunda es la condición de equilibrio en el mercado de bienes del modelo keynesiano. La tercera condición es de "pleno empleo". K es el capital. Y es el producto final similar al PIB. 1/v es laproductividad media del capital. dK es la inversión que se produce entre dos ejercicios económicos dK=K(1)-K(0). Una inversión mayor que cero significa que hemos invertido por encima de la depreciación de la maquinaria, equipos o instalaciones. L es la demanda de trabajo. uY es la cantidad de horas de trabajo ofertadas por las empresas. En economía, los empresarios demandan trabajo y los empleados ofertan tra bajo. En equilibrio, la oferta es igual a la demanda. 1/u es la productividad media del trabajo. La productividad media se define como la cantidad de producto por unidad de trabajo o capital. s es la propensión marginal al ahorro. c es la propensión marginal al consumo. Altas tasas de ahorro significarán bajas tasas de consumo ya que s+c=1. Diferenciando la primera expresión

Sustituyendo la segunda expresión, dividimos por vY 

Simplificamos términos

Despejamos la expresión que valora el crecimiento

Si igualamos la expresión dv/v a cero obtenemos g , tasa garantizada

El crecimiento depende de la propensión marginal al ahorro, la relación inicial de capital por unidad de producto final y la variación de la relación tecnológica v . El modelo revisado contempla la decisión de cambio tecnológico por variación de precios del capital u otra causa. El modelo original y el revisado parecen idénticos pero las diferencias podrían ser  considerables si el país cambia de tecnología. Si hacemosdv/v igual a cero obtendremos el viejo modelo. Para exponer qué explica e l modelo utilizaré una tabla donde todos crecen a un seis por ciento y el nivel de salarios y beneficios es también el mismo. País

K

Y

s

v

n

País A 333 100 0,2 3,3 6% País B 500 100 0,3 5 País C

6%

666 100 0,4 6,6 6%

La tabla explica una acumulación de capital con tasas de ahorro creciente. A mayor capital, la cantidad de ahorro para crecer es mayor. Si consideramos tres países con la misma cantidad de capital y diferentes tasas de ahorro obtendremos una gran diferencia en la distribución de salarios y beneficios traducido en niveles también diferentes de producto final. Una tasa de ahorro elevada produce un menor nivel de renta comparada. Si en períodos siguientes el capital no aumenta sustancialmente, el ahorro se podrá describir como improductivo . País

K

Y

s

v

n

País A 300 90,9

0,2 3,3 6%

País B

300 60

0,3 5

País C

300 45,45 0,4 6,6 6%

6%

La tabla vislumbra una teoría del ciclo económico y explica la razón por la que algunos países con el mismo capital tienen salarios y beneficios por  debajo de otros.

[editar ]Solución

exponencial

La tabla siguiente representa la evolución de las variables de un país con una tasa de ahorro constante. Año

K

L

Año 1 300 100

Y

90,9

s

v

n

PMK

0,2 3,3 6% 0,3

Año 2 337 112,36 102,13 0,2 3,3 6% 0,3 Año 3 357 119

108,26 0,2 3,3 6% 0,3

PMK es el producto medio del capital que se mantiene constante. Las soluciones exponenciales del modelo de Harrod son las siguientes.

El modelo de Harrod utiliza el número e para expresar las soluciones. Podemos evaluar la veracidad de la tabla comprobando los va lores con las soluciones exponenciales. [editar ]Relación

entre capital y trabajo

La relación tecnológica dentro del modelo de Harrod Domar es la siguiente

Sustituyendo esta expresión en la primera

Si definimos una nueva variable z

El resultado final será

La demanda de trabajo aumenta con u , trabajo demandado por unidad de producto. Si aumenta v , capital por unidad de producto, la demanda de trabajo desciende al suponer una inversión ahorradora de trabajo. [editar ]Tasa

de crecimiento de la fuerza de trabajo

Realizando una diferencial de L=uY obtendremos

Dividiendo los términos entre uY

Simplificando

Haciendo du/u igual a cero obtendremos n , tasa de crecimiento de la oferta laboral o fuerza de trabajo. Si la relación trabajo por unidad de renta o trabajo por unidad de output permanece constante llegamos al resultado del viejo modelo donde la tasa garantizada es igual a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo.

Observamos que la tasa garantizada es igual al crecimiento de la oferta de trabajo o fuerza laboral

[editar  Acumulación ]

y cambio tecnológico

La expresión dv/v , se calcula matemáticamente de la siguiente manera

Si aplicamos el modelo revisado, la tabla inicial quedaría así País

K

Y

K'

Y'

dv/v

País A 300 100 300 100 0%

dY/Y

6%

País B

333 100 500 100 0,50% 5,50%

País C

500 100 666 100 0,33% 5,67%

La acumulación de capital produce un menor crecimiento evaluado en un 0,50% en el segundo país y un 0,33% en el tercer país. [editar ]Tasa

natural de crecimiento

El progreso técnico según Harrod estaba producido por una mayor  eficiencia de la fuerza de trabajo. La cantidad de horas trabajadas disminuirá. Si consideramos una función de producción ésta quedará desplazada.

La función de progreso tecnológico es p que varía en función del tiempo t .

El desarrollo matemático diferencial es el siguiente

Simplificando términos

Harrod definió la variable m como la tasa de variación temporal de la eficiencia laboral . La tasa de crecimiento de un país con progreso tecnológico según Harrod se define igualando du/u a cero

 A esta expresión la llamó tasa natural de crecimiento . Si m es igual a cero retornamos a la tasa garantizada de crecimiento.

Tembién definió el progreso técnico ahorrador de trabajo con t asa de beneficio constante como aquel que disminuye la relación producto capital (Y/K) y el progreso técnico ahorrador de capital como aquel que aumenta la relación producto capital (Y/K). Cuando analizamos el progreso técnico se tiende a poner el ejemplo de la azada. Una azada mejor diseñada podrá realizar un trabajo más productivo pero este progreso no puede desvincularse de la persona que la utiliza porque tarde o temprano creará la habilidad necesaria para aumentar su productividad. La habilidad o eficiencia humana aumenta con la eficiencia de la máquina y la eficiencia de la máquina aumenta con una mayor  eficiencia humana. El progreso tecnológico es "neutral" cuando la relación de factores de producción K/L es constante y este progreso es "según Harrod" cuando la relación Y/K permanece también constante. [editar ]Modelo

de Harrod con retardo en el ahorro

Las decisiones económicas no son inmediatas. Una disminuc ión de renta produce efectos en ejercicios posteriores. El modelo contempla que la inversión hoy depende del ahorro de ayer. También determina como primera condición que la inversión hoy es función de la variación de la renta en el pasado.

La solución a este modelo dinámico con retardos es idéntica al modelo multiplicador acelerador ya expuesto. La economía sigue creciendo a la tasa garantizada g=s/v. Si tenemos en cuenta que

Dividiendo la primera expresión a) entre la segunda b) obtenemos

Las soluciones también exponenciales son las siguientes

Podemos apreciar que la inversión, producto y empleo crec en a la misma tasa pero no durante el mismo período. Este hecho produce desajustes o ciclos económicos. [editar ]Influencia

del modelo de Harrod

El modelo de Kaldor utiliza las mismas condiciones de equilibrio e introduce la tasa de beneficio. Un modelo neoclásico de crecimiento introduce una función de producción lo cual permite, bajo ciertos supuestos, utilizar la productividad marginal del trabajo y el capital. La expresión dK=vY fue también utilizada por Samuelson y Hicks para analizar el ciclo económico. El modelo elemental Samuelson-Hicks está basado en el modelo de Harrod Domar. [editar ]Inconsistencias

y críticas del modelo

Fundamentalmente se encuentran dos inconsistencias relacionadas con la lógica del modelo o relación entre los axiomas. El modelo es inconsistente con la teoría de la productividad marginal y también con funciones de distribución de la renta sean o no homogéneas. Estas inconsistencias dieron lugar a los modelos neoclásicos de crecimiento. Cuando no hay inversión la tasa de ahorro es negativa e igual a la tasa garantizada. La inversión es imprescindible para ahorrar y sin i nversión el país desahorra. Una crítica es la ausencia del mercado de dinero. La condición de equilibrio I=sY es keynesiana sin embargo las otras dos

condiciones describen la productividad media del trabajo y el capital. El modelo Harrod Domar tiene versiones estáticas y dinámicas donde la variable tiempo adquiere importancia. Sin embargo, cuando se escribieron, no tuvieron en cuenta la variación de la variable v porque a corto y medio plazo la relación entre capital y producto permanece constante. Pero sí fueron conscientes de que cambiaba porque normalmente se utiliza las primeras consonantes a ,b ... para definir  relaciones constantes y las últimas u ,v ,x ... para determinar variables. 7