MODELO DE ASIGNACIÓN

MODELO DE ASIGNACIÓN El problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas. Por  ejemplo, los asignados pueden ser empleados a quienes se tiene que dar trabajo. La asignación de personas a trabajos es una aplicación común del problema de asignación. Sin embargo, los asignados no tienen que ser personas. También pueden ser maquinas, vehículos o plantas. Los problemas en los que se asignan recursos a tareas o tareas a agrupaciones son otra clase habitual de problemas. El equilibrado de líneas es un problema muy conocido, pero los problemas de asignación de frecuencias o de generación de equipos multidisciplinares equilibrados no son menos habituales. Una descripción apropiada de lo que trata de lograr el modelo de asignación es: “La mejor persona para el trabajo”

El problema de asignación tiene que ver con la designación de tareas a empleados, de territorios a vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas, etc. En otras palabras, a la disposición de algunos recursos (maquinas o personas) para la realización de ciertos productos a costo mínimo. Una definición más formal pudiera ser:

Problema de Asignación: Caso particular del problema de Transporte donde los asignados son recursos destinados a la realización de tareas, los asignados pueden ser personas, máquinas, vehículos, plantas o períodos de tiempo. HISTORIA El problema de asignación tuvo su origen en la revolución industrial, ya que el surgimiento de las máquinas hizo que fuera necesario asignar una tarea a un trabajador. Thomas Jefferson en 1792 lo sugirió para asignar un representante a cada estado, pero formalmente aparece este problema en 1941, cuando F.L. Hitchcook publica una solución analítica del problema, pero no es hasta 1955 cuando Harold W. Kuhn plantea el Método húngaro, que fue posteriormente revisado por James Munkres en 1957; dicho método está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de otros dos matemáticos húngaros: Dénes Köning y Jenö Egervary. Hoy en día en pleno apogeo de la globalización este problema surge cada vez con mayor frecuencia el uso de este problema de la rama de la investigación de operaciones, podemos decir que es la aplicación del método científico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestión y organización de sistemas complejos, su objetivo es ayudar a la toma de decisiones.

DEFINICION DEL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN En su forma más general, el problema es como sigue: Hay un número de agentes y un número de tareas. Cualquier agente puede ser  asignado para desarrollar cualquier tarea, contrayendo algún coste que puede variar dependiendo del agente y la tarea asignados. Es necesario para desarrollar  todas las tareas asignar un solo agente a cada tarea para que el coste total del asignación sea minimizado. Este tipo de problemas son lineales, con una estructura de transporte, sólo que la oferta en cada origen es de valor uno y la demanda en cada destino es también de valor uno. Sería muy ineficiente resolver este tipo de problemas por medio del método simplex o por medio del de transporte. Debido a la estructura propia de los problemas de asignación, existen métodos de solución llamados algoritmos de asignación que son más eficientes que el simplex o que el método de transporte. Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. La restricción importante para cada agente es que será designado a una y solo una tarea.

CARACTERISTICAS El problema de asignación presenta las siguientes características: 

El Problema de Asignación debe estar equilibrado, es decir, que las ofertas y las demandas sean igual a 1. Un elemento importante para el problema de asignación es la matriz de costos, si el número de renglones o columnas no son iguales el problema está desbalanceado y se puede obtener una solución incorrecta para obtener una solución correcta la matriz debe ser  cuadrada.

Si el número de agentes y tareas son iguales y el coste total de la asignación para todas las tareas es igual a la suma de los costes de cada agente (o la suma de los costes de cada tarea, que es lo mismo en este caso), entonces el problema es llamado problema de asignamiento lineal. Normalmente, cuando hablamos de problema de asignación sin ninguna matización adicional, nos referimos al problema de asignamiento lineal. Oferta: Cantidad que representa la disponibilidad del artículo en la fuente/fábrica de donde proviene. 

Demanda: Cantidad de artículos que necesita recibir el destino para cumplir  sus necesidades. DIFERENCIAS CON EL MODELO DE TRASNPORTE Y ASIGNACIÓN Los problemas de asignación son un caso particular de los problemas de transporte y constituyen la clase más sencilla de los problemas lineales, en el cual los trabajadores representan las fuentes y los puestos representan los destinos. 

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En el problema de transporte existen m orígenes y n destinos, y el flujo se realiza desde un origen hacia cada uno de los diferentes destinos. Si en este caso permitimos el flujo en ambos sentidos (de origen a destino y destino a origen) se puede hablar de un problema de m + n orígenes y m + n destinos. A este tipo de problemas se les conoce con el nombre de problemas de transbordo (transhipment problems) o transporte con nodos intermedios. En el caso más general, cada punto origen o destino pude ser un punto de transbordo, es decir, cada origen puede evitar o transportar a otros orígenes o a distintos; y los destinos pueden transportar a su vez a otros destinos o volver a los orígenes. Un punto conserva su identidad, origen o destino, solamente cuando sea respectivamente, un punto que originalmente disponga de un suministro o un punto que tenga una demanda a satisfacer. En los problemas de asignación las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino; una gran diferencia con respecto a los problemas de transporte.

FORMAS DE REPRESENTACION DE UN PROBLEMA DE ASIGNACIÓN 1. 2. 3. 4.

Red. Modelo de programación lineal. Matriz de costos. Tabla de transporte.

ASIGNACIÓN INICIAL Implica asignar números a las celdas para satisfacer las restricciones de oferta y demanda. Para realizar esto se puede emplear alguno de estos métodos:

El método de la esquina noroccidental, el método de menor costo y el método de aproximación de Vogel.

ELEMENTOS DEL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

TABLA DE TRANSPORTE Tabla de transporte: Otra forma de plantear el problema de transporte (recordemos que el problema de asignación es un caso especial del de transporte) es mediante una tabla llamada tabla de transporte, la cual tiene forma de matriz donde los renglones representan las fuentes y las columnas los destinos o trabajos. En las casillas que se encuentran en la esquina se colocan los coeficientes de costo. Una vez realizado esto, utilizamos alguno de los métodos (vogel, esquina noroeste, costos mínimos) para obtener una solución inicial Donde no exista un coeficiente de costo se le anota una M. Matriz de costos: Es una matriz cuadrada de n*n, donde cada elemento representa el costo de asignar el enésimo trabajador al enésimo trabajo; renglones = trabajadores. Es la tabla en donde, se identifica, se evalúa y se cuantifica los beneficios económicos, costos y riesgos de los productos/servicios, después de definir la necesidad el alcance y el alineamiento estratégico de los productos/servicios, en donde se evalúa el beneficio total de la propiedad (características), una vez creada la matriz se demuestra el valor económico para la realización del producto o servicio correspondiente. 

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Matriz de Costos Reducida Es la matriz que se obtiene después de haber  restado el elemento más pequeño a cada renglón (reducción de renglones) y restarle a esa nueva matriz el elemento más pequeño a cada columna (reducción de columnas). Distribución óptima: Sean un conjunto de fragmentos F = {F 1 , F2,..., F n} y una red formada por el conjunto de sitios S = {S 1, S 2,..., Sm} en la cual un conjunto de aplicaciones Q = {q1, q2,..., qq} se ejecutan. El problema de la asignación implica encontrar la distribución óptima de F sobre S. (multi) Método simplex: Método de solución de los problemas de programación lineal donde se obtiene una solución factible y óptima (en donde se pueden obtener 

resultados como solución múltiple, solución no acotada, o que el problema no tenga solución).

Solución Óptima: El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso). RED Muchos problemas de redes son más que una representación abstracta de procesos o actividades, tales como el camino crítico en las actividades entre las redes de un proyecto.Para definir lo que es una red necesitaremos saber que es un nodo: Es uno de los elementos de una lista enlazada, de un árbol o de un grafo. Cada nodo será una estructura o registro que dispondrá de varios campos, y al menos uno de esos campos será un puntero referencia a otro nodo, de forma que, conocido un nodo, a partir de esa referencia, será posible en teoría tener acceso a otros nodos de la estructura. Una red consiste en una serie de nodos enlazados con arcos (o ramas). La notación para describir una red es (N,A), donde N es el conjunto de nodos y A es el conjunto de arcos.

CASOS ESPECIALES Oferta y demanda desiguales. Cuando la oferta y la demanda son desiguales, se asigna una actividad ficticia con un costo de cero para mantener la condición de método que deben ser igual número de ofertas y demandas Problemas de maximización. Considere un problema de asignación en el que la respuesta a cada asignación es una utilidad en vez de un costo. Considere la matriz de utilidades del problema como la característica nueva la cual consiste en que el número que aparece en cada celdilla representa un beneficio en lugar de un costo. Problemas con asignación inaceptable. Supóngase que se está resolviendo un problema de asignación y que se sabe que ciertas asignaciones son inaceptables. Para alcanzar esta meta, simplemente asigna un costo arbitrariamente grande

representado mediante la letra M. M es un número tan grande que si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás.

Problema de selección: Es un caso especial donde la función u objetivo es maximizar pero el problema se trata igual que una minimización al multiplicar por (1). MÉTODO DE SELECCIÓN Cuando el problema de asignación es de maximización se le llama problema de selección

BALANCEADO Se dice que un problema de asignación se encuentra balanceado, si los recursos totales son iguales a las demandas totales, en caso contrario se dice que no está balanceado el problema.  Además en el modelo, m = n (obtener una matriz cuadrada), en donde m número de renglones y n es número de columnas. Para lograr que el modelo este balanceado se pueden agregar trabajadores/tareas ficticias con costos de cero.

ALGORITMOS Y GENERALIZACIONES El algoritmo Húngaro es uno de los muchos algoritmos que han sido diseñados para resolver el problema del asignamiento lineal con un tiempo acotado por una expresión polinómica del número de agentes. El problema del asignamiento es un caso especial del problema del transportador, que es un caso especial del problema del flujo de coste mínimo. El problema de asignación también puede ser resuelto por medio del algoritmo simplex (creado en 1947 por el matemático George Dantzig).El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables, es un método iterativo que permite ir mejorando la solución en cada paso. Cada especialización tiene algoritmos más eficientes tomando ventaja de su estructura espacial. Si Xij=1 Si se asigna el trabajador i a la tarea j. Si X ij=0 No se asigna el trabajador i a la tarea j. C ij: Costo de asignar al trabajador i la tarea j.

Parámetro M: M es un número muy grande en los problemas de asignación se utiliza para representar que al trabajador i no se le puede asignar la tarea j. MODELO BINARIO

Problema Binario: Son los problemas en los cuales la variable X ij solo puede tomar  valores de 0 y 1; el problema de asignación es un problema binario. Es un modelo de programación lineal donde en la solución las variables sólo pueden tomar los valores de cero o uno.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ASIGNACIÓN Si a todos los elementos de una fila o de una columna de una matriz de rendimientos se le suma o se le resta una cantidad constante la asignación óptima no varía.

DEFINICIÓN MATEMÁTICA FORMAL La definición formal del problema del asignamiento (o problema lineal del asignamiento) es Dados dos conjuntos, A y T. de igual tamaño, juntos con una función peso C: A × T → R. Encuentra una biyección f: A → T como la función de coste: está minimizada.

Normalmente la función peso es vista como una matriz cuadrada de valores reales C, con lo que el coste de la función queda así:

El problema es "lineal" porque la función coste a optimizar así como todas las restricciones contienen solo términos lineales.

MÉTODO HÚNGARO Pasos para el método húngaro

Paso 1: Encontrar primero el elemento más pequeño en cada fila de la matriz de costos m*m; se debe construir una nueva matriz al restar de cada costo el costo mínimo de cada fila; encontrar para esta nueva matriz, el costo mínimo en cada columna. A continuación se debe construir una nueva matriz (denominada matriz de costos reducidos) al restar de cada costo el costo mínimo de su columna. Paso 2: Consiste en trazar el número mínimo de líneas (horizontales o verticales o ambas únicamente de esas maneras) que se requieren para cubrir todos los ceros

en la matriz de costos reducidos; si se necesitan m líneas para cubrir todos los ceros, se tiene una solución óptima entre los ceros cubiertos de la matriz. Si se requieren menos de m líneas para cubrir todos los ceros, se debe continuar con el paso 3. El número de líneas para cubrir los ceros es igual a la cantidad de asignaciones que hasta ese momento se pueden realizar (En algunos textos este paso se atribuye a Flood).

Paso 3: Encontrar el menor elemento diferente de cero (llamado k) en la matriz de costos reducidos, que no está cubierto por las líneas dibujadas en el paso 2; a continuación se debe restar k de cada elemento no cubierto de la matriz de costos reducidos y sumar k a cada elemento de la matriz de costos reducidos cubierto por  dos líneas (intersecciones). Por último se debe regresar al paso 2. (scrib2) Paso 4: En caso de no encontrar una solución factible con los pasos anteriores aplicar entonces este: 1) Trace el número mínimo de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubrirá TODAS las entradas cero. 2) Selecciones el elemento no cubierto más pequeño y réstelo de todos los elementos no cubiertos; después, súmelos a todos los elementos en la intersección de dos líneas. 3) Si no es posible encontrar una asignación factible entre las entradas cero resultantes, repita es paso. De lo contrario regrese al paso 3 para determinar la asignación óptima.

CASO ESPECIAL AL APLICAR EL MÉTODO HÚNGARO CUANDO SE TRATA DE MAXIMIZAR Cuando hay que pasar de maximizar a minimizar en lugar de operar con el mayor  de toda la matriz podemos ir tomando el mayor de cada fila o columna e ir  restándole todos los elementos de esa fila o columna con lo cual conseguiremos de camino obtener por lo menos un cero como mínimo en cada fila o columna. Si en alguna columna no hubiera ceros le quitamos el mayor a la columna..

MÉTODO DE FLOOD Este método es utilizado en aquellos casos donde no se ha podido hacer una asignación óptima después de haber realiza el método húngaro. El método consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Señalar todas las filas que no tienen una asignación. (Cuando se dice señalar puede ser una pequeña X a la izquierda de la fila o arriba de la columna) Paso 2: Señalar todas las columnas que tengan un cero en la columna señalada.

Paso 3: Señalar todas las filas que tienen una asignación en las columnas indicadas. Paso 4: Repetir estos pasos hasta que no pueda señalarse más columnas o filas. (No hay más filas que no tengan asignación) Dibujar una línea por cada fila NO señalada y por cada columna SI señalada. Paso 5: Encontrar el mínimo valor de los elementos no cubiertos y restarlo a todos los elementos no cubiertos, y sumar este valor a cada elemento que se encuentre en la intersección de una línea horizontal con una línea vertical. Paso 6: Realizar la asignación como en el método húngaro.