Modelo Black & Scholes

 

U T D T . R i e s g o , I n c er er ti d u m b re re & F i n a n z a s

1

Mode odelo lo de Bl Blac ackk-Sc Scho holes les

El modelo Black & Scholes (BS) permite hacer el pricing de una opción, bajo el sup supues uesto to de que el und underl erlyin yingg sig sigue ue una Geo Geomet metric ric Bro Browni wnian an Mo Motio tion. n. Mostramos anteriormente que el valor de una opción depende de determinadas variables (stock, del tiempo) y de ciertos parámetros (volatilidad tasa de interes y volatilidad volatilidad). ). De hecho dicho precio se puede escribir como una función que depende de  S y t  teniendo en cuenta que también es una función de los parámetros de interés c(S ,X,T 

t, σ S , r ) =  c (S, t).

 −

Para hacer el pricing (utilizando el principio de no arbitraje) se utiliza la propiedad de que el cambio en el valor de la opción está local y  perfectamente tamen te correlacionado correlacionado con  con el cambio en el valor del underlying asset. Esto es quizás el punto mas importante en el pricing de una opción pues uno puede construir un portafolio que consita de una cantidad de opciones y una cantidad de el stock de stock  de modo de eliminar totalmente la incertidumbre de ese portafolio.  Ese portafolio sin riesgo debe de pagar la tasa libre de riesgo. Por lo tanto, sabiendo ésto se forma un portafolio que tenga una posición long en la opción y una posición short en una cantidad  delta:   ∆  en el underlying (stock). Denotando a   Π  como el valor del portafolio Π

=  c (S, t)

− ∆S.

Si el underlying asset sigue una Brownian motion dS    =  µ S dt + σS dz, S 

el cambio en el valor del portafolio

1

 

(1)

 

dΠ =  dc (S, t)

∆dS,

−

va a tambien seguir una Brownian Motion. Utilizando el Lemma de Ito sabemos que si el underlying sigue una Brownian Motion Geometica el derivado tambien lo sigue y por lo tanto el cambio en el valor del call puede escribirse como

dc(S, t) =   ct dt + cS dS  +  +

 1 cSS (dS )2 2

 1 =   ct dt + cS S (µS dt + σ S dz ) + cSS S 2 σ2S dt 2  1 = (ct +  cS Sµ S  + cSS S 2 σ2S )dt + cS S σS dz, 2 lo que implica que el cambio en el portafolio sigue la siguiente Brownian Motion  1 2

2 2 dΠ   =   ct dt + cS S (µS dt + σ S dz ) + σ S  S  cSS dt

 1 2 2 = (ct  +  cS Sµ S  + σS  S  cSS  2

− ∆Sµ

− ∆S (µ dt + σ dz )   (2) )dt + (c S σ − ∆S σ )dz.

S 

S 

S 

S 

S 

S 

Para obtener el precio del call elegimos   ∆  tal que elimina el riesgo del portafolio, i.e., ∆

=  c S .

Una vez eliminado el riesgo, el valor del portafolio en el tiempo debe ser igual, por el por  el principio de no arbitraje,   a colocar la misma cantidad de dinero en un instrumento con tasa libre de riesgo.1 1

Note la importancia de la correlación perfecta entre el contrato y el underlying asset. Esta correlacion es la que permite eliminar totalmente el riesgo del portafolio. La reducción del riesgo del portafolio se conoce como Hedging, en este caso particular lo que se hizo fue Delta Hedging.

2

 

dΠ

Π

ct dt + 1  +  1 σ2 S 2 cSS dt  =  r (c(S, t)

 z   }|

{   z }|−   { 

2

cS S.)dt.

 

(3)

Si el ret retorn ornoo del port portafo afolio lio fue fuese se ma mayo yor, r, en ento tonce ncess todo todoss los ind indivi ividuo duoss pedirían préstamos al al banco, y re-inv re-invertirían ertirían en este portafolio portafolio.. Estos mo movimienvimientos de capitales explotan la oportunidad de arbitraje, haciendo que finalmente los precios precios se ajusten elimin eliminando ando la oportun oportunidad idad de arbitr arbitraje. aje. Si el retor retorno no del portafolio fuese menor el razonamiento es análogo. Re escribiendo la ecuación (3) obtenemos la ecuación diferencial parcial que una vez resuelta obtiene el valor del derivado a tiempo   t,

ct +

 1

σ 2 S 2 cSS  +  rS cS 

rc  = 0.

 

(4)

2 Notar que en esta ecuación no ecuación no aparece la tendencia del Stock (i.e., Stock  (i.e.,  µ) sino que aparece la tasa libre de riesg riesgoo (r ). La explicación es sencilla, una vez que se hizo delta hedging, dado que se pudo eliminar el riesgo perfectamente de la opción con el underlying, no hay necesidad de tomar riesgo inherente.así  la tendencia desaparece con el término   dS . Cuando nosotros hablamos de hacer el pricing usando la solución de Black and Scholes nos referimos a dos cosas

−

(i)   La ecuación diferencial parcial. (ii)  La formula de Black and Scholes. La ecuación diferencial parcial la podemos usar con cualquier condición terminal term inal para encontra encontrarr “nu “numeric mericamen amente” te” el precio de cualq cualquier uier deriv derivado ado mientras que la fórmula es la solución dada unas condiciónes terminales particulares. La formula Black-Scholes es la solución a la ecuación diferencial (4), dadas las condiciones terminales de un call europeo. Para deribarla asumimos: 1. El underlying sigue una geom geometric etric Brow Brownian nian Motio Motion. n. 2. La tasa lib libre re de riesgo es conocida conocida..

3

 

3. No existen divi dividendos dendos en el underlyin underlying. g. 4. El delta Hedgin Hedgingg es dinám dinámico ico y con contin tinuo. uo. 5. No existe existen n costos de transacc transacción. ión. 6. No existe existen n oportunid oportunidades ades de arbitraje. La derivación de la ecuación (4) fue hecha en términos de un call, sin embargo solo utilizamos el hecho de que sea un call en las condiciónes terminales por lo tanto dicho procedimiento es válido para cualquier tipo de opción. Para encontrar el precio de un Call o un Put hay que establecer distintas tin tas Condició Condiciónes nes Termin erminales. ales. Las condicio condiciones nes term terminale inaless no son más que los distintos pay-off  de   de cada contrato. Para el caso de un Call M ax(S 

− X, 0).

Y de un Put M ax(X 

− S, 0).

El resultado resultado del val valor or de un call una vez resuelt resueltaa la ecuación diferen diferencial cial parcial es −r (T −t)

C (S, T 

 − t) = S N (d1) − X e  −

N (d2 ),

donde   {ln

¡¢ S  X 

 + (r +   12 σ 2)(T 

 − t)} ,  − √   − t) √ σ( T  − d2   =   d1 − σ ( T  −  − t), d1   =

y el resultado para un put es −r(T −t)

P (S, T 

 − t) = −SN (−d1) + X e  − 4

N ( d2 ).

−

 

(5)

 

Relación entr Relación entre e el reto retornorno-vo volatilid latilidad ad de un Call y el Und Underlyi erlying. ng. Se pueden econtrar como producto de la derivación del precio de la opción ciertas relaciones que serán de gran importancia al realizar diferentes estrategias o portafolios que contegan el underlying y la opción

Proposition 1   (i)  El exceso de retorno de una opción es igual a la elasticidad de la opción multiplicada por el exceso de retorno del stock, (µc

− r) =   σσ

c

S 

(µS 

− r) = Ω(µ − r). S 

(ii)   La volatilidad del call es igual a la elasticidad del call multiplicada por  la volatilidad del stock, σ c  =   cS S  σ S   = Ωσ S . c(S, t)

(donde   Ω =

  cS S    σc )  = c(S, t) σ S 

Para demostrar Dicha proposición hacemos pasos semejantes a los de la derivcación del la ecuación diferencial que caracteriza al precio del call. dc(S, t)   =  µ cdt + σcdz. c

Para encontrar   µc   y   σ c,  evaluamos el cambio proporcional del precio del Call µc

 z

}|

σc

{   z }| { 

(ct +  cS Sµ S  +   12 cSS S 2 σ2S ) cS S σ S  dz    dt + c(S, t) c(S, t) =   µc dt + σc dz.

dc(S, t)   = c(S, t)

Note que la proposición ( proposición  ( ii)  se prueba simplemente aplicando el lema de Ito. Definimos el cambio instantaneo en el retorno del portafolio como 5

 

dΠ Π

  =

  c

  ∆S 

  (µS dt + σS dz ).

(µcdt + σ cdz )

Π

Π

−

=   α(µcdt + σcdz ) + (1 = (αµc + (1

− α)µ

− α)(µ

S dt

 + σS dz ).  ( donde donde   α  =

)dt + (ασ c + (1

S 

− α)σ

 c Π

)

)dz.

S 

Para eliminar la incertidubre de cicho portafolio debemos elegir α  =

  σ S  . σ S  σ c

−

Una vez eliminado el riesgo el portafolio de arbitraje debe de pagar la tasa libre de riesgo por el por  el principio de no arbitraje dΠ Π

 z

}|

  σ S  ( µ  + (1 σ S  σ c c

−

{ 

  σ S  )µ )dt =  rdt, σ S  σ c S 

− −

que puede ser re escrito como µc r   µS  r = , σc σ S 

−

−

que implica que el exceso de retorno del call estandarizado es igual al exceso de retorno del stock estandarizado (que anteriormente lo habiamos denominado como el precio del riesgo,   λ). Alternativamente se puede escribir de la siguiente manera (µc

− r) =   σσ

c

S 

(µS 

− r ),

que relaciona el exceso de retorno de un call con el exceso de retorno del stock.

6

 

1. 1.1 1

Neut Neutra ralid lidad ad al Ries Riesgo go

Habiamos visto anteriormente que el pricing de las opciónes puede realizarse como si los agentes fuesen neutrales al riesgo. riesgo. En término de nuestro modelo en tiempo continuo esto se observa en que la ecuación diferencial (4) que no depende de ninguna medida afectada por las preferencias de riesgo de los individuos. individuos. Si la ecuaci ecuación ón (4) tendr tendría ía el reto retorno rno esperado del underl underlying ying µ   entonces ya no sería independiente de las preferencias de riesgo de los individuos, porque a mayor nivel de aversión al riesgo más alto sería   µ  para un Stock dado. dado. Como Como la ecua ecuació ción n (4) depend dependee de la tasa libre de rie riesgo sgo,, se dice que los agentes no exigen prima por el riesgo, los agentes se comportan como si fuesen neutrales al riesgo. En un mun mundo do neutral al riesgo cualqui cualquier er valor presente de un cash-flow se descuenta por la tasa libre de riesgo, además el retorno esperado de cualquier derivado es la tasa libre de riesgo, ya que los agentes no necesitan un premiun por tomar riesgo. principio podriamos Vimos anteriornmen anteriornmente te que cuando 0, µ S   =  r intertar resolver el problema de hacerλ  = el pricing de ylaenopción calculando el valor descontado de   S  bajo   bajo esta ley de movimiento alternativa. Para clarificar el argumento podemos proponer dos economias, una en donde los underlying siguen dS  =  =  µSdt + σSdz,

que es la eco econom nomia ia Act Actual ual;; y otr otraa eco econom nomia ia que sea neu neutra trall al riesg riesgo, o, entonces ent onces los underl underlying ying siguen dS   =  rSdt + σ Sdz.

Notemos las diferencias en las drifts, que se puede interpretar como que en el caso neutral la prima de riesgo es nula,  i.e.,  i.e.,   λ  = 0. Si nos encontramos en el mundo neutral, podemos descontar los pay-o ff  por la tasa libre de riesgo, Por lo tanto se cumple que el precio del Call es el pay-off  esperado   esperado descontado por la tasa libre de riesgo

©

 − X, 0)ª ,

−rT  max(S TT   C (·) =  E II  II  e

donde   E III I  es el valor esperado bajo la densidad de la economia neutral. Por ende rescribimos la anterior expresión como 7

 

C (·) =  e −rT 

(S TT   S  S ∈(X,∞)

X )f III I (S TT  )dS TT  .

 −

Z 

Se puede demostrar que si resolvemos la integral obtendriamos la ecuación de Blac Black k & Scho Scholes. les. Int Intuitiv uitivamen amente te logr logramos amos establec establecer er una relación (precisamente un mapping) entre la función de densidad de una economia neutral (f II  II (S T T  )) y la función de densidad de la economia actual, esto nos permite hacer el pricing en la primera economia y luego extrapolarlo a la segunda economia econo mia sin prob problemas lemas.. La demost demostració ración n matemat matematica ica lo unico que hace es verificar la existencia y unicidad de este mapping, esta demostración no se presentara, pero a continuación derivaremos intuitivamente la existencia del mapping utilizando precios (probabilidades) de Arrow-Debreu. Definamos al valor de cualquier activo como S (X ) =

1 P s X s , 1 +  r ∀s∈S 

X

donde   S   = { =  {s1 , s2 ,...,sn }  es un conjunto   finito que define a los diferentes estados de la naturaleza y  P s  es el precio que paga este activo en el estado   s en el periodo siguiente. Por lo tanto  S (X )  define el valor futuro de un activo para todos los estados estados de la natura naturaleza leza posibles posibles.. Ahor Ahoraa bien, si definimos a Y  (  (X s), s  como la Opción sobre el activo   X , entonces el valor de la opción es

∀

P s

S (Y   )) =

X

∀s∈S 

Y  (  (X s ).

1 +  r

Pero si recordamos el problema del consumidor en una economia en la que un individuo puede asegurarse en consumo futuro usando activos   financieros a la Arrow Debreu, la condición de primer orden establecia que   β U  U  (C s ) P s  =   Πs , 1 +  r U  (C o ) 0

0

donde   Πs  es la probabilidad que ocurra el estado   s.  Observemos que la anterior ecuación nos dice que  P s  es igual a una probabilidad obtenida como si  8

 

los agentes fuesen neutrales al riesgo (probabilidades que en tiempo continuo de  fi nimos nimos como   f II  Porr lo tan tanto to podem podemos os resc rescri ribi birr la ec ecua uació ción n del del II (S T T  )). Po valor de la opción como

S (Y   )) =

X

∀s∈S 

= =

P s Y  (  (X s ), 1 + r

  1 1 + r

X

P s Y  (  (X s ),

∀s∈S 

  E PP  (Y  (  (s))   . 1 +  r

Entonces logramos establecer que el valor de la opción es la esperanza sobre los estados de la naturaleza, descontado por la tasa libre de riesgo. Notemos que si bien esta derivación se realizo para tiempo discreto, tambien es valida para tiempo continuo.2 2

A contin continuac uación ión se pre presen sentar tará á un result resultado ado que es centra centrall para para el desarr desarroll olloo de la derivación del modelo

Proposition 2   Si S está distribuida Lo Log-Normal g-Normal y la desviación es   σ , entonces se cumple: E [M ax ax((S 

=  E (S )N (d1 ) − XN  XN ((d2 ) − X, 0)] = E 

donde:

d1   =

  (ln[ (ln[E  E (S )/X ] + σ2 /2)

,

σ

d2   =

  (ln[ (ln[E  E (S )/X ] σ

−

σ

2

/2)

.

Demostración.   Definiendo a g a  g((S )  como la densidad de S  de  S ,, ∞

E [M ax ax((S 

− X, 0)] =

La esperanza de ln( de  ln(S  ln[E (S )] )] S )  es  m =  m  = ln[E 

−

σ

9

Z 

(S 

X

2

− X )g(S )dS.

variable  Q  talque /2.  De finiendo una variable Q

 

Q  =

  ln(S  ln(S )

m

σ

.,

−

la función densidad de Q de  Q,,  h(  h(Q) es igual a la Normal estándar. Redefiniendo la esperanza de M de  M ax 0), se obtiene ax((S  X, 0),

−

∞

E [M ax ax((S 

− X, 0)]

Z 

=

Qs+ +m (eQs

− X )h(Q)dQ,

(ln(X (ln(X )−m)/σ ∞

∞

Z 

=

Qs+m eQs+ h(Q)dQ

Z 

−

(ln(X (ln(X )−m)/σ

X h(Q)dQ.

(ln( (ln(X X )−m)/s

Ahora bien, operando en el primer sumando se obtiene:

eQ

σ

+m

h(Q) =   eQ

σ

 1 √  2

+m

{Q}2 /2

e

−

Π

,

  1 {2Q +2 +2m m Q }/2 e , 2Π   1 {[ (Q ) +2 +2m m+ = e 2Π   1 = e (Q ) /2 em+( 2Π =

σ

√ 

−

√ 

=   em+(

σ

2

/2)

2

−σ

−σ

−

√ 

2

−

σ

2

h(Q

σ

−

σ

2

]/2}

2

/2)

,

,

).

Por lo tanto ∞

E [M ax ax((S 

− X, 0)]

=   em+

σ

2

Z 

/2

h(Q

−

σ

)dQ

(ln(X (ln(X )−m)/σ ∞

−{X 

Z 

h(Q)dQ dQ}},

(ln( (ln(X X )−m)/σ

donde Q donde  Q σ  es una nueva variable aleatoria con densidad Normal estándar. La primer integral es igual a

−

10

 

N [

1

(ln(X  (ln( X )

− m)

σ

σ

−

Sustituyendo  m  (m  ( m = ln[E  ln[E (S )] )]

−

ln [( N [(

σ

2

]   o

 ln(X   ln( X )

N [σ

−

+

σ

−

 m

].

σ

2), en la expresión previamente obtenida, /2),

³ ´− E (S ) X

 1 2 ) 2σ

σ

] =  N   N [[d1 ].

La segunda integral es igual a

N [

−

(ln(X  (ln( X ) σ

− m) ] ⇒ N [

³ ´ E (S ) X

(ln

 +   12 σ2 )

]

σ

⇒ N [d1 − s] ⇒ N [d2].

Finalmente, E [M ax ax((S 

ln[E (S ))]] =   eln[E N (d1 ) X N (d2 ), =   E (S )N (d1 ) X N (d2 ).

− X, 0)]

−

−

Una vez que se conoce este resultado podemos encontrar el precio de un call a tiempo t haciendo el pricing como si se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo, eso es descontando el payoof por la tasa libre de riesgo, ax((S TT   X, 0)] C (·) =   E t [e r(T  t) M ax r(T  t) {E t (S T  = e XN ((d2 )}. XN  T )N (d1 ) −

−

−

  −−

−

−

Como del Como   es unbajo proceso con distrib distribución ución LogNormal. al. neutrales Y ademásalcomo   S T stock = perado el supuesto de que losLog-Norm agentes son riesgoelesretorno   E (S TT  )es(r+   )(T  )(T  t) Se ,  se obtiene σ

2

2

−

 −  − t) =  SN   S N (d1 ) − X e

C (S, T 

r(T −t)

−

N (d2 ).

 

(6)

La ecuación (6) es el modelo Black-Scholes para un Call , con   d1   y   d2   ahora definidos como

d1   =

  {ln

¡¢  S  X

)(T   + (r (r  +   12 σ 2 )( T  σ( T  t)

√    −− √   − t). d2   =   d1 − ( T  − σ

11

  −− t)} ,

 

Ahora que se comentó la posibilid Ahora posibilidad ad hacer el pricin pricingg de las opciónes como si se estuviera en un mundo de individuos neutrales al riesgo la derivación del modelo Black-Scholes, (i.e., la solución a la ecuación (4) ), es mucho más fácil. Para presentar el modelo BS se tomará como condición terminal el pay-o ff  de un call, por ende la ecuación (4) deja de ser para una opción en general, y pasa a ser de un Call.

2

Pricings3

A continuación se presentan a modo de ejemplo tres casos distintos de pricing.

Caso (1).   en El que Stock o underl underlying ying asse assettypaga divid dividendo endos en lla el periodo ent entre re el momento se escribio la opción el mimento en sque expira, (aquí  se estaría levantando el supuesto número 3 del modelo BS). Intuitivamente lo que ocurre es mu muy y simple: el entreg entregar ar dividen dividendos dos quiere decir que el acti activo vo se va desprendiendo de “pedazos” de su valor a lo largo de un intervalo de tiempo anterior anterior al expir expiratio ation n date date.. Com Como o los dividendo dividendoss se pagan antes del expiration date no los percibe el poseedor del call, por lo tanto hay que ajustar el valor del Call cuando el underlying paga dividendos a lo largo de la duración del call Si suponemos que los dividendos se pagan en forma continua como un porcentage del valor del call, es decir, que en un tiempo  dt el Stock paga una cantidad por  D  =  δ S  S  donde donde  δ  es menor a uno, la ecuación (2) de la sección 6.2, se transforma en

dΠ =  c t dt + cS dS  +  +

 1 2 2 σ S  cSS dt 2

− ∆(dS  +  + δ Sdt Sdt ).

La fórmula para un Put es P ( P (S, T 

 −  − t) = −SN  SN ((−d1 ) + X e

r(T −t)

−

3 Aparte

N  N (( d2 ).

−

de los ejemplos aquí presentados existen muchos más casos de pricing de otras opciones como por ejemplo opciones en futuros, commodities, currency, etc. Pero el criterio para determina determinarr el prec precio io del contrat contratoo es igua iguall para todos. Esto, entre entre otras cosas, es lo que hace comprender la logica de la derivacion del modelo de BS tan importante.

12

 

Si eli elimi minam namos os el rie riesgo sgo y lo igu iguala alamo moss al ret retorn orno o de dic dicho ho port portafo afolio lio (c ∆S )  a la tasa libre de riesgo obtenemos la siguiente ecuación (que es semejante a la ecuación (6))

−

1 2

ct  + ( σ 2 S 2 )cSS  + ( r

− δ )Sc − rc  = 0. S 

Caso (2).   La opción trata sobre un intercam intercambio bio de activo activoss en un momen momento to determina deter minado do en futur futuro. o. Po Porr ejemp ejemplo lo la posibil posibilidad idad de int intercam ercambiar biar acciones de IBM por acciones de Toshiba en el futuro. El individuo que compra la opción va solo a estar intreresado si a tiempo  T  las acciones de Toshiba son mas valiosas. Denotando la opción como  F (S 1 , S 2 ; t)  donde   S i  denota el underlying  i  y asumiendo que dS i =  µ i dt + σ idz i   para i  = 1, 2., S i y E (dz 1 dz 2 ) =  ρdt.  ρ dt.

se forma el siguiente portafolio P   =  F (·)

− ∆1S 1 − ∆2S 2.

Al igual que antes interesa ver el cambio del portafolio, entonces dP   =  dF (·)

− ∆1(µ1S 1dt + σ1S 1dz 1) − ∆2(µ2S 2dt + σ2S 2dz 2),

Aplicando el Lema de Ito para encontrar   dF (·)  1 2

2 2 dF (·) =  F S  S  (µ1 S 1 dt + σ 1 S 1 dz 1 ) + F S  S  (µ2 S 2 dt + σ 2 S 2 dz 2 ) + F S  S  S  S 1 σ 1 dt + 1

2

1

1

 1 2 2 + F S  S  S  S 2 σ 2 dt + F S  S  S  S 1 S 2 σ 1 σ 2 ρdt +  F t dt, 2 2

2

1

2

Para eliminar el riesgo del portafolio elegimos   ∆1   y   ∆2  tal que

13

 

∆2 )σ 2 S 2 dz 2  =

∆1 )σ 1 S 1 dz 1  + ( F S  S2 

(F S  S 

1

−

−

o sea

0,

F S  S 1   =

  ∆1 ,

F S  S 2   =

  ∆2 .

Sustituyendo los valores en el portafolio de arbitrage obtenemos

dP   =

 1 2  1 2 2 2 S 1 F S  S  S  σ 1 dt + S 2 F S  S  S  σ 2 dt + F S  S  S  S 1 S 2 σ 1 σ 2 ρdt +  F t dt. 2 2 1

1

2

2

1

2

dado quedebe ya se riesgo, arbitraje, el tasa cambio valor del yportafolio sereliminó igual a el una sumapor invertida con la libreendeelriesgo, obteniendo. 1 2

1 2

2 2 F t + ( σ 21 S 12 )F S  S  S   + ( σ 2 S 2 )F S  S  S   + ( σ 1 σ 2 ρS 1 S 2 )F S  S  S  1

1

2

2

1

2

− rP   = 0 ,

donde   P   =  F (·) F S  F S  S  S 1 S  S 2 . Ahora bien, para encontrar la solución a la ecuación de finiremos

−

1

−

2

  ≡≡   S S 12 ,

X 

ademas suponemos que la opción   F (·)  es homogenea, es decir que F (S 1 , S 2 , t) =  S 2 f (X, t).

Una vez hecho esto definimos unas equivalencias para las derivadas parciales de la solución inicial

14

 

F S  S    =   f X  X (X, t), 1

  1 f XX  F S  S  S    = XX (X, t), S 2 F S  X f X S    =   f (X, t) X  (X, t),   X 2 f XX  F S  XX (X ), S  S    = S 2 X  f XX  F S  XX (X, t), S  S    = S 2 F t (·) =   S 2 f t (X, t). 1

1

−

2

2

2

2

1

 −

Reemplazando estas expresiones en 1

2

1

2

2

2

( σ1 σ2 ρS 1 S 2)F S 1S 2 rP   = 0,  + F S  donde   P   =  F (·) F S  S 2 S 2 . S 1 S 1 Reemplazando por las expresiones obtenidas con anterioridad obtenemos

F t

( 2 σ1 S 1 )F S 1S 1 +

( 2 σ2 S 2 )F S 2S 2 +

−

−

1 2

S 2f t (X, t) + ( σ 21S 12 )

 1 S 2

−

1 2

2 2 f XX  XX (X, t) + ( σ 2 S 2 )

X 2 f XX  XX (X ) S 2

− (σ1σ2ρS 1S 2) S X f 

XX  XX 

2

donde P   =  S 2f (X, t).

− f  (X, t)S 1 − (f (X, t) − X f  (X, t))S 2. Si se divide la expresion superior por   S 2  y se reemplaza   X   ≡ X  X 

X X  

ecuación se reduce a

1 2 (σ1 2σ1 σ2 ρ + σ22 )X 2 f XX  XX (X, t) +  f t (X, t) = 0. 2 Con la condición terminal

−

f (X, T ) = max(X 

15

− 1, 0).

  S 1 , S 2

  esta

(X, t)

− rP   = 0,

 

Caso (3).   Aquí se realiza un contra contrato to sobre un fa factor ctor macroecónomi macroecónomico co que es exógeno, por ejemplo: la inflación (X t ) . Se asume que la variable estado X t  sigue un proceso de Brownian Motion Geométrica. dX    =  µdt  + σdz. X 

La característica principal de este método de hacer el pricing es que no podemos armar una cartera comprando o vendiendo in flación por lo tanto se realiza el pricing utilizando 2 opciones distintas sobre el underlying. Para encontrar el precio del call construimos un portafolio con   c1 (X, t)  y c2(X, t)  donde dci

=  µ c dt + σc dz ,

para i  = 1, 2

i

i

ci

y dP  dc1 + (1   =  α c1 P 

− α) dcc 2 . 2

Por lo tanto, el cambio del portafolio es igual a: µc

µc

1

 z

}|

2

 

{ 

dP   1 1   = [ α (c1t  +  Xc  X c1X µ + X 2 c1XX σ 2 ) + (1 P  2 c1

−

 z

}|

donde   Φ =  ασ c  + (1 α)σ c . Para eliminar el riesgo   Φ  debe ser cero.por lo que obtenemos: 1

−

2

α  =

  σc . (σ c σc ) 2

2

−

1

Como ya se eliminó el riesgo entonces, por Principio por  Principio de Arbitraje: Arbitraje:

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{ 

 1  X c2X µ + X 2 c2XX σ 2 )]dt + Φdz, α) (c2t +  Xc 2 c2 1

 

dP 

  =  rdt  r dt

P 

− α)µ ]dt⇒ =  rdt  r dt ⇒   σ  + (1 − .)µ )dt  =  rdt. (σ − σ )

[αµc  + (1 1

(

  σc µ (σ c σc ) c

c2

2

2

1

−

c2

1

c2

c2

c1

 λ . ⇒ (µ σ− r) =   (µ σ− r) = λ. c2

c1

2

1

Aquí Lambda es el precio del riesgo de cada contrato.Todos los   λ‘s   son iguales entre sí. Por el Lema de Ito sabemos que

σ i  =   1 σ X X C X  X . C 

Ademas sabemos que

µi  =

 1

 1 2 2 (C t +  XC   X C X X  µ + C XX  XX σ X X  ), C  2

sustituyendo obtenemos 1  1 2 2 ( C  (C t +  XC   X C X  X µ + 2 X  C XX  XX σ ) 1

σ X C X  X  C  C t  + (µ

− λσ

 1 C  σ2 X 2 )X C X X   + XX  XX  2

X 

− r)

=   λ,

− Cr   =

0.

Si observamos la ecuación del pricing la diferencia con la ecuación diferencial de BS es que en vez de   rX C X λσX )X C X  X     obtenemos   (µ X    pues no podemos hacer hedge con un activo para eliminar el precio del riesgo. Aqui λ  debe ser obtenido independientemente.

−

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