Modele de Stokes Au Second Ordre

MODELE DE STOKES AU SECOND ORDRE 1

Si l’amplitude est assez grande on observe que la forme spatiale  de la surface libre n’est pas sinusoïdale. La cambrure est telle que le modèle précédent, au premier ordre, ne représente pas ce phénomène ; d’où la nécessité d’une approximation moins grossière des conditions aux limites à la surface libre.

Les crêtes des vagues sont plus amples que les creux. Cette forme spatiale est invariante pour un observateur se déplaçant à la célérité de l’onde. La forme spatiale (à t fixé) peut être modélisée approximativement par une série de sinus : η ( x) = a1 sin(−k 1 x) + a 2 sin( −2k 1 x) + ....... + a n sin(−nk 1 x) Fondamental

Harmoniques

Tous les harmoniques ont la même célérité que le fondamental (invariance de la forme spatiale) : C1 =

ω1 k 1

=

ω2 2k 1

= ...... =

ωn nk 1

⇒ ω2 = 2ω1 ,..........., ωn = nω1

Les harmoniques d’ordre supérieur au fondamental ont des pulsations multiples de celle du fondamental. Pour alléger l’écriture notons ω1 = ω la pulsation du fondamental (ou premier harmonique) et k 1 = k le nombre d’onde. L’évolution spatio-temporelle de la surface libre se met sous la forme : η( x, t ) = a1 sin[(ωt − kx )] + a 2 sin[2(ωt − kx )] + ....... + a n sin[n (ωt − kx )] er

a1 est l’amplitude du fondamental ou 1  harmonique ème an est l’amplitude du n  harmonique. Pour le modèle au premier ordre il faut vérifier : • pour les conditions aux limites cinématiques : a