Modelamiento y Simulacion - 1.1

MODELAMIENTO Y SIMULACION DE PROCESOS Y OPERACIONES PARTE – 1.1 INGENIERIA METALURGICA – UNSA

ROBERTO HUAMANI BERNAL AREQUIPA-2020 Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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CAPITULO I CONCEPTOS Y ECUACIONES Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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SISTEMA Y MEDIO AMBIENTE Un sistema es una colección de partes que desarrollan funciones e interactúan juntas para cumplir algún propósito o fin lógico; en la práctica el sistema depende de los objetivos de un estudio particular. Dicho de otra forma un sistema es parte de la realidad, se consideran las fronteras, fuera de las cuales existe el Medio Ambiente; (Indicar ej. Planta, banco, etc.) Un sistema puede estar compuesto de uno o más subsistemas. ATRIBUTOS  ENTIDADES  SISTEMA Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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a) Un sistema está constituido por entidades, y estas por atributos; los atributos también son denominados como variables o parámetros. A continuación se muestran dos casos: • Los objetos o componentes que forman parte del sistema se denominan ENTIDADES. Por ejemplo de un vehículo carrocería, mecanismos de transmisión; estas entidades poseen propiedades denominadas ATRIBUTOS, por ejemplo: potencia del motor; vinculados entre sí, mediante relaciones o funciones; estas relaciones son: -Estáticas o estructurales: un auto posee cuatro ruedas. -Dinámicas o funcionales: un auto consume combustible si se enciende el motor. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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b) El conjunto de actividades que se realiza dentro de un sistema se denomina proceso, entonces un sistema puede ser o físico o simbólico, sólo uno de los dos. Los objetos o componentes que forman parte del sistema se denominan ENTIDADES, por ejemplo un reactor está compuesto por el tanque, la chaqueta de enfriamiento, el agitador, etc. Estas entidades poseen propiedades denominadas ATRIBUTOS, por ejemplo: velocidad del agitador, y se vinculan entre sí, a través de relaciones o funciones. Estas relaciones pueden ser: • - Estáticas o estructurales: El reactor tiene un determinado volumen. • - Dinámicas o funcionales: el reactor consume energía cuando opera. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Un estado estacionario puede presentarse de dos formas: • - Un estado estacionario es estable si el sistema retorna a él luego de una perturbación. Por ejemplo de estado estable, es un péndulo en su posición de reposo • - Un estado estacionario es inestable si el sistema se aleja de él luego de una perturbación. Este alejamiento puede dar lugar a una respuesta acumulativa (crece o decrece continuamente, o alcanza otro estado estacionario) o a una respuesta oscilatoria (crece y decrece continuamente). Por ejemplo péndulo invertido es un ejemplo de estado inestable; si el péndulo no tiene fricción, la respuesta a una perturbación será oscilatoria; en cambio, si existe fricción la respuesta será amortiguada. • Un sistema puede presentar dos tipos de conductas; cuando inicia su funcionamiento pasa por un estado dinámico y luego alcanza un estado estacionario o de régimen. • El estado de un sistema; es un conjunto de variables necesarias para describir un sistema en un instante de tiempo y relativo a los objetos de un estudio. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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CLASIFICACION DE LOS SISTEMAS En relación con su interacción con el medio ambiente un sistema puede ser: • a) Abierto: La frontera del sistema es permeable al medio ambiente. Ejemplo: un servidor web de un diario al que acceden los lectores desde distintas partes del mundo, un sistema de ingreso de órdenes de compras de una distribuidora, ingreso de pedidos de elaboración de productos, etc. • b) Cerrado: La frontera del sistema es parcialmente permeable al medio ambiente. Ejemplo: un firewall en un servidor que permite filtrar cierto contenido, un aeropuerto no permite que autos circulen por la pista. • c) Aislado: La frontera del sistema es impermeable al medio ambiente. Ejemplo: un satélite en órbita geoestacionaria que funciona con baterías. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Según comportamiento de variables de estado en el tiempo el sistema puede ser: a) Continuo: cuando las variables que determinan su estado pueden variar en cada instante o unidad de tiempo. Ósea las relaciones funcionales entre las variables del sistema sólo permiten que el estado evolucione en el tiempo en forma continua. Por ejemplo: • - Un sistema que controla el llenado de un tanque de lixiviación. • - Matemáticamente, el estado cambia en infinitos puntos de tiempo. • - El recipiente del calentador es un subsistema continuo porque tanto M como T evolucionan en forma continua durante la operación del sistema. • - Un avión en vuelo (posición, velocidad, etc.) b) Discreto: cuando los cambios son discontinuos, "de a saltos"; los cambios se producen en instantes determinados de tiempo, entre los cuales permanece sin variaciones. Las variables de estado cambian instantáneamente en puntos separados en el tiempo. Por ejemplo: • - Alumnos en un aula, que ingresan o se van de a uno. • - Número de clientes en el banco. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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• Entonces un sistema discreto consiste cuando las relaciones funcionales del sistema sólo permiten que el estado varíe en un conjunto finito (contable) de puntos temporales; estas causas instantáneas de cambios de estados se denominan EVENTOS; por ejemplo: • - El interruptor del calentador es un subsistema discreto porque la intensidad I sólo puede variar en los instantes que se abre o se cierra el interruptor. La apertura y el cierre del interruptor son eventos. • Un sistema continuo puede comportarse en forma discreta si las entradas son discretas; también los sistemas reales son combinaciones de continuos y discretos, la forma de tratarlos se adopta de acuerdo a la característica dominante. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Según se producen los cambios dentro del sistema pueden clasificar en: a) Determinístico: Los cambios producen sólo un resultado, la conducta del mismo está determinada. en este tipo de sistema, las variables de salidas e internas quedan perfectamente determinadas al especificar variables de entrada, parámetros y variables de estado, es decir, las relaciones funcionales entre las variables del sistema están perfectamente definidas; por ejemplo: • - El calentador eléctrico estudiado es un sistema determinístico; si se calienta el agua para el mate, la temperatura va a subir indefectiblemente. b) Estocástico: Los cambios producen resultados aleatorios más o menos probables. Si el sistema contiene un elemento aleatorio es un sistema determinístico. Este caso algún elemento del sistema tiene conducta aleatoria; entonces, para entradas conocidas no es posible asegurar los valores de salida; por ejemplo: • - Número y tipo de llamadas a un call center son valores con probabilidad de ocurrencia. • - Una máquina tragamonedas en la cual una misma acción (tirar la palanca) genera un resultado incierto (ganar o perder). 10 Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

Cuando un sistema determinístico es alimentado con entradas estocásticas, la respuesta del sistema es también estocástica. Por ejemplo: • - La temperatura ambiente es una variable estocástica que afecta la respuesta del calentador eléctrico. En el mundo real, los sistemas siempre tienen elementos estocásticos ya sea por su propia naturaleza o porque son fenómenos no comprendidos actualmente; Sin embargo, se puede considerar a un sistema real como un sistema determinístico si su incertidumbre es menor que un valor aceptado. por ejemplo: • - A un cavernícola le podía parecer que las eclipses eran fenómenos aleatorios, hoy ellas son predichas.

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Según la estabilidad que presente el sistema puede ser: a) Estable: Cuando estando quieto o en movimiento, pero en régimen o estado estacionario, y si se le aplica una perturbación momentánea, luego de cierto tiempo vuelve a su estado original. b) Inestable: Si estando quieto o en movimiento uniforme, al aplicarle una pequeña perturbación momentánea, no vuelve a su estado original. • Otras clasificaciones de sistemas pueden ser: • a) Naturales o Artificiales. • b) Dinámicos o Estáticos. • c) Adaptivos (responde a cambios ambientales) o No Adaptivos. • d) Repetible, Recurrente (se repite periódicamente) o Único. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Formas de estudio del sistema.

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Sistemas y Procesos Los valores asumidos por los atributos de las entidades en un momento dado determinan el estado del sistema. El estado puede ser estático o estacionario si se mantiene constante en el tiempo; o puede ser dinámico o transitorio si evoluciona con el tiempo. Un sistema puede presentar los dos tipos de conductas; cuando inicia su funcionamiento pasa por un estado dinámico y luego alcanza un estado o régimen estacionario. Todo sistema tiene entradas y salidas; las entradas pueden ser materia prima, composición, temperatura, etc. Un sistema está usualmente sujeto a perturbaciones y en afán de ordenar y compensar estas, se hace uso de acciones de control. Fig. Representación de un sistema y sus variables. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Un sistema a pequeña escala está definido solo por propiedades del proceso y está limitado a una simple unidad de proceso, fuerzas internas y configuración de la unidad. • Un sistema a gran escala es un conjunto de sistemas a pequeña escala y difiere cuantitativa y cualitativamente de un sistema a pequeña escala; las características de la salida de un sistema a gran escala son: • - Integridad, que es el conjunto de objetivos y propósitos. • - Gran tamaño y multiplicidad de funciones ejecutadas. • - Comportamiento complejo. • - Aspectos competitivos (procesos antagónicos pueden tener lugar en un sistema, tendiendo a reducir su efectividad). • La Unidad de proceso es cualquier secuencia química de producción puede dividirse en un número definido de etapas básicas; algunas de las más importantes son: absorción, destilación, lixiviación, flotación, molienda, etc. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Todos los procesos pueden dividirse en: a) Un proceso determinístico es aquel en el cual la observación es hecha sobre un conjunto continúo de valores definidos, y la salida de la variable más representativa del proceso, es determinada solo por las variables de entrada. • Los procesos determinísticos pueden describirse por métodos clásicos de análisis y métodos numéricos; ejemplo un reactor continúo de flujo agitado. b) Un proceso al azar o estocástico es aquel en el cual los cambios observados son de manera casual y frecuentemente discontinuo; la variable de salida no está directamente relacionada a la variable de entrada. Los procesos estocásticos son descritos en términos de la estadística y teoría de las probabilidades. Por ejemplo un proceso catalítico de contacto en el cual el rendimiento del producto disminuye conforme decrece la actividad del catalizador a través del tiempo. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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VARIABLES Y PARAMETROS Los parámetros (P) son atributos fijados durante el diseño del sistema ya sea por el diseñador o por la naturaleza; por ejemplo: cilindrada del motor, aceleración de la gravedad. • Las variables se clasifican a su vez en: • a) Variables de entrada o exógenas (U y D): Son fijadas por el medio ambiente del sistema; pueden ser manipulables si se fijan a voluntad, o no manipulables en caso contrario. Un ejemplo del primer caso es la temperatura de la alimentación a un reactor y del segundo caso es la temperatura de los alrededores. Una variable de entrada no manipulable se denomina perturbación. En estudios de control de procesos, las variables manipulables se representan con el vector U, y las perturbaciones con el vector D. La única manera de actuar sobre el sistema es mediante las variables manipulables. • b) Variables de salida (Y): Son variables de estado o combinación de ellas, son medidas o traspasan la frontera del sistema; por ejemplo, concentración de salida del reactor. Las variables de salida se representan con vector Y; es la única información que sale del sistema utilizada para supervisar el proceso. • c) Variables internas: No son variables de entrada, ni variables de salida, ni parámetros. • d) Variables de estado (X): Conforman el conjunto mínimo de variables internas del sistema necesarias para describir completamente su estado interno en un momento dado. Pueden ser determinadas desde parámetros y de variables de entrada; para determinar el valor de las variables de estado es necesario recurrir a la historia del sistema. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Ejemplo de estudio con calentador eléctrico Suponiendo que la potencia del mismo no es suficiente para llegar al punto de ebullición. La clasificación correspondiente es: • - Parámetros: voltaje V, resistencia Rc, dimensiones del recipiente, coeficiente global de transferencia de calor U, capacidad calorífica del agua Cp, espesor del cable, etc. • - Variables de entrada manipulables: posición del interruptor p, caudal de la corriente de entrada Fe y su temperatura Te, caudal de la corriente de salida Fs. • - Perturbaciones: temperatura ambiente Ta. • - Variables de salida: temperatura Tm indicada por el termómetro, potencia disipada Wd, temperatura de la corriente de salida Ts. • - Variables internas: intensidad I y potencia de calentamiento W. • - Variables de estado: masa de agua M, temperatura del líquido T. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Durante la operación del sistema se observa los siguientes estados: a) Estado inicial: El interruptor está abierto, el recipiente vacío, no entra ni sale líquido. El estado del sistema no varía durante esta etapa. Es un estado estacionario. b) Carga de agua: Se hace Fe > 0, el recipiente recibe agua y M aumenta continuamente durante esta etapa. Es un estado dinámico. c) Recipiente lleno: Cuando el nivel del agua es el deseado se interrumpe la alimentación. Nuevamente el sistema está en un estado estacionario. d) Calentamiento: Una vez alcanzado el nivel de agua deseado, se cierra el interruptor. La temperatura T del agua aumenta continuamente. Es un estado dinámico. e) Régimen: según aumenta la temperatura del sistema, la potencia disipada hacia el exterior Wd también aumenta. Esta potencia además depende de Ta, de dimensiones del recipiente y de U. Cuando la potencia disipada iguala a la potencia W de calentamiento, la temperatura del sistema adopta un valor constante. Así, el sistema alcanza nuevo estado estacionario. f) Apagado: Alcanzada la temperatura deseada y mantenida durante el tiempo requerido, se abre el interruptor. La temperatura descenderá debido a la potencia disipada. Es un estado dinámico. g) Descarga de agua: Finalmente, sistema se descarga haciendo Fs > 0. M disminuye continuamente hasta valer cero. La temperatura continúa descendiendo. Se trata de un estado dinámico que culmina cuando el sistema está completamente vacío y a temperatura ambiente.

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Jerarquía de sistemas (niveles)

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ECUACIONES Las ecuaciones pueden clasificarse algebraicas y diferenciales / integrales.

en

dos

grupos:

Generalmente una ecuación algebraica no contiene una variable expresada como una derivada. Por ejemplo: la ecuación x = ay + bz es algebraica, mientras que dx/dt = ay + bz es una ecuación diferencial y dx/dt es la derivada. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Linealidad El concepto de linealidad en ecuaciones es importante. Un ejemplo de ecuaciones lineales podría ser la definición de la presión en el fondo de un recipiente conteniendo líquido: • P = hr + P0 Donde: • P0 = presión sobre la superficie • P = presión a una profundidad h • r = densidad

Ejemplo de un sistema lineal.

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Las relaciones entre P y h son mostradas como una línea recta en la gráfica; en la cual, a cualquier nivel h un cambio dado en el nivel (∆ h) producirá un correspondiente cambio proporcional en la presión ∆P. Un ejemplo de una ecuación no lineal podría ser la relación entre el flujo y la caída de presión a través de una válvula. • Donde: • F = flujo • Cv = constante de válvula • (P1 - P2) = diferencia de presión a través de la válvula. • En esta expresión el cambio incremental en el flujo F no es proporcional a un cambio dado en la caída de presión (P1 - P2); sin embargo, cuando la relación entre flujo y caída de presión es no lineal, la relación entre el flujo y Cv es lineal. • Entonces, una función es lineal cuando todas las variables están elevadas a la primera potencia y que sean sumadas o restadas (no divididas ni multiplicadas); de otro modo la función será no lineal. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Ecuaciones implícitas y explícitas Las relaciones entre variables en una ecuación pueden ser ya sea implícitas o explícitas. Un ejemplo de una relación explícita fue mostrado en la ecuación para el flujo, F2 = Cv , la cual es, dando P1, P2, y Cv, se puede establecer directamente F2. Un ejemplo de una ecuación implícita se refiere a un tanque con un flujo de salida en la base y un rebose (vertedero) en un costado (Figura 1.9). Si el flujo total hacia el tanque es F, entonces cuando son alcanzadas las condiciones al estado estacionario; se puede demostrar que F = 3,336(H – Hw)1,5 + Cv(Hw)0,5. Si F, Cv y Hw (altura del vertedero) son conocidos, no se puede calcular H directamente a partir de la ecuación y se deben hacer una serie de manipulaciones antes de establecer H. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Ecuaciones simultáneas • Una bomba suministra un flujo constante F a dos puntos a través de dos válvulas, descargando a presiones P1 y P2 respectivamente. Las ecuaciones para el sistema son

• Donde Cv1 y Cv2 son los valores constantes y P es la presión de descarga de la bomba. Hay tres valores no conocidos para los valores dados de P1, P2, Cv1, Cv2 y F (los dos flujos F1 y F2, y la presión P). Ninguno de estos valores no conocidos se puede determinar mediante la solución de cualquiera de las ecuaciones anteriores por sí sola; estas incógnitas solo se pueden determinar por la solución de las tres ecuaciones simultáneamente. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Ecuaciones diferenciales • Para adquirir destreza en la formulación de ecuaciones diferenciales es necesario entender claramente el significado de la derivada. El símbolo dV/dt establece “la razón de cambio de V con respecto a t ”. Si V está relacionada a t, entonces dV/dt es la pendiente de la curva en cualquier punto t. Si, por ejemplo, un recipiente está siendo llenado a una velocidad F(t) (este símbolo indica que la velocidad de alimentación F no es necesariamente constante, pero varía o es una función del tiempo t), luego la ecuación será:

• que es, la velocidad de cambio de volumen V con respecto al tiempo es igual a la velocidad de alimentación. Esto también podría darse como una ecuación integral mediante la integración de ambos lados de la ecuación • la cual indica, “el volumen V a cualquier tiempo t es la acumulación del flujo F en el periodo de tiempo 0 → t además del volumen al tiempo 0 ”. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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CAPITULO II ANALISIS Y ORGANIZACIÓN Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelamiento Modelado es el proceso de construcción de un modelo. Un modelo es una representación de un objeto, sistema, o idea. Los modelos son útiles para: • - El pensamiento: Al construir un modelo necesariamente se debe ordenar y completar el conocimiento que del sistema real se posee. • - La comunicación: Un modelo elimina la ambigüedad del lenguaje para comunicarse con expertos. • - La predicción: Un modelo sirve para predecir la conducta del sistema real. El modelo de la teoría de la relatividad predice, sin hacer una simulación, que no es posible superar la velocidad de la luz. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelo de un sistema El mundo físico o mundo objetivo está formado por innumerables sistemas. Estos sistemas de objetos se presentan como fenómenos que deben ser estudiados, para así poder establecer las leyes que los gobiernan. Con el propósito de lograr este objetivo, llegar al conocimiento de un fenómeno, se recurre a la investigación. La investigación tiene tres etapas fundamentales: • - Determinación del problema • - Elaboración de un modelo adecuado • - Solución del problema

Figura. Abstracción y realización de un modelo a partir del mundo real. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Un MODELO es una representación simplificada de un sistema elaborada para comprender, predecir y controlar el comportamiento de dicho sistema. • • La representación de modelos puede adoptar distintas formas: • – Mentales: visión personal de un país o ideología • – Físicas: de una casa, un puente, un ordenador … • – Simbólicas: como son las formulas F = m·a • • Un ESTADO del sistema es el conjunto de variables necesarias para describir el mismo en un instante concreto • – Ejemplo: En el banco: • • El número de clientes • • El número de agentes desocupados Un ESTADO del sistema es el conjunto de variables necesarias para describir el mismo en un instante concreto. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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El modelo es una "imitación" del sistema original. Como para poder imitar algo o a alguien es necesario conocerlo bien, será necesario reunir la información precisa respecto del sistema original. En el modelo participan las variables y sus relaciones. • Modelizar es una metodología de trabajo para: • - Describir el comportamiento de los sistemas. • - Hacer hipótesis que expliquen el comportamiento observado. • - Predecir cómo responde el sistema cuando se producen cambios.

Fig. Modelo de representación simplificada de un sistema, es una abstracción del sistema Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Procedimientos de Obtención de Modelos Para ello se hace uso; • a) Análisis teórico, o método deductivo • Consiste en el estudio cualitativo de los fenómenos que caracterizan el comportamiento del sistema, mediante relaciones matemáticas concretas utilizando ecuaciones descriptivas del proceso. • b) Análisis experimental, o método inductivo • Consiste en construir un modelo matemático a partir de medidas realizadas sobre el sistema; describiendo en detalle cómo evoluciona a lo largo del tiempo, observando el comportamiento del modelo y llevar a cabo una serie de experiencias. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Clasificaciones generales de Modelos a) Según el punto de vista que se tome (naturaleza del sistema o uso del modelo) : • - Estático: Representa las relaciones del sistema cuando está quieto o en equilibrio. Ejemplo: Maquetas. Plano. El cambio de lugar de la pared del plano de la casa refleja un nuevo estado. El modelo no muestra las etapas intermedias ni cómo se desarrollan, sólo el principio y el final. • - Dinámico: Refleja los cambios en el sistema a través del tiempo y muestra la evolución desde el principio hasta el final. Ejemplo: crecimiento de un ser viviente, vaciamiento de un tanque de agua, traslado de un camión de mercadería, cocción de un alimento, etc. • - Determinístico: Un cambio en el modelo produce uno y sólo un resultado. Ejemplo: Un modelo que represente el cambio de temperatura del agua para el mate. Cuando se calienta el agua, sea de la canilla o de la heladera, siempre va a llegar a la temperatura de 80° a 100°. • - Estocástico: Un cambio en el modelo produce resultados aleatorios. Ejemplo: Un modelo para estudiar el comportamiento del tránsito en la zona céntrica de la ciudad en distintos horarios. • - Continuo: el comportamiento cambia continuamente en el tiempo, no es una cuestión de magnitud del cambio sino de analizar si el mismo se produce en un instante de tiempo o a lo largo de todo el tiempo de estudio. Ejemplo: la caída del agua de un tanque, el movimiento de un vehículo, etc. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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• - Discreto: los cambios en el tiempo son predominantemente discontinuos o instantáneos, es decir que las propiedades que describen su comportamiento cambian en momentos determinados de tiempo, y entre esos instantes no sucede variación alguna. Ejemplo: Representación de un sistema electrónico digital, la entrada de personas a un negocio. • - Físico o Icónico: Representaciones a escala del sistema a simular. Ejemplo: Maquetas, planta piloto, avión en túnel de viento, etc. • - Analógicos: Para representar el sistema real se utiliza una o varias propiedades que se comportan de manera semejante. Ejemplo: una representación gráfica de la producción en función del tiempo donde la distancia en centímetros representa el tiempo transcurrido. • - Matemáticos: Se representan propiedades (variables o constantes) del sistema mediante símbolos matemáticos (x, y) y las relaciones entre las propiedades mediante operaciones matemáticas. Muchas veces son sistemas de ecuaciones diferenciales. Se resuelven por métodos analíticos o numéricos (cálculos mediante métodos u algoritmos). • - Mental: se sigue cierta formulación intuitiva para controlar o para comprender un sistema. Ejemplo: no es necesario la ecuación matemática de la ley de la gravedad para mantener un vaso en equilibrio. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelamiento físico • En este caso el proceso de interés es reproducido en diferentes escalas y se analiza el efecto de las características físicas. El experimento es llevado a cabo directamente sobre el proceso real. • Los datos experimentales son reducidos a relaciones incluyendo grupos dimensiónales hechos sobre varias combinaciones de cantidades físicas y dimensiones lineales. Con esta presentación dimensional, las relaciones encontradas pueden ser generalizadas a clases de eventos teniendo los mismos grupos dimensiónales o similar criterio. Estos grupos dimensiónales son derivados sobre la base de ecuaciones diferenciales o análisis dimensional. • • El modelamiento físico consiste en buscar la misma o casi la misma similitud de criterio para el modelo y el proceso real. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelamiento matemático

Consiste en crear una representación matemática de algún fenómeno. Es un proceso en el cual se cambia la observación con el establecimiento simbólico. Durante la construcción de un modelo, el modelista decide qué factores serán relevantes para el fenómeno y cuales podrán dejar de enfatizarse. • En la construcción de un modelo matemático, un proceso real es reducido a sus bases esenciales, y el esquema resultante es un formulismo matemático de acuerdo a la complejidad del proceso. El objetivo final de un modelo matemático es predicción del comportamiento del proceso y recomendar los sistemas de control. Para el modelo matemático se debe seguir una secuencia de aproximaciones: • - Formular el problema que se desea realizar • - Diseñar y/o escoger el modelo apropiado • - Comparar o escribir el programa que realizara los cálculos en base al modelo elegido • - Investigar propiedades del modelo y/o su comportamiento como función de condiciones externas • - Validar el modelo comparando con el experimento. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Terminología de los modelos matemáticos Existen muchas formas para la clasificación de modelos matemáticos. Para nuestros fines agrupamos primeramente los modelos en parejas opuestas: • Determinista frente a probabilista • Lineal frente a no lineal • Estado estacionario frente a estado no estacionario • Parámetro globalizado frente a parámetro distribuido • La elección de un tipo particular de modelo matemático es determinada por las condiciones específicas bajo las que puede proceder un proceso dado. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelos deterministas frente a modelos probabilistas Los modelos deterministas o elementos de modelos son aquellos en los que cada variable y parámetro puede asignarse a un número fijo definido, o a una serie de números fijos, para una serie dada de condiciones. Si el sistema no contiene ningún elemento aleatorio, es un sistema determinístico. En este tipo de sistema, las variables de salidas e internas quedan determinadas al especificar las variables de entrada, los parámetros y las variables de estado. El calentador eléctrico estudiado es un sistema determinístico. • Los modelos estocásticos o elementos probabilistas, se introduce el principio de incertidumbre. Las variables o parámetros utilizados para describir las relaciones entrada-salida y la estructura de los elementos (y las restricciones) no son conocidos con precisión. En este caso, algún elemento del sistema tiene una conducta aleatoria. Entonces, para entradas y estado conocidas no es posible determinar con seguridad los valores de salida. En los modelos estadísticos es preciso volver atrás diciendo “el valor de x es (a  b) con un 95% de probabilidad. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelos lineales frente a modelos no lineales • Si la salida y, de un subsistema está completamente determinada por la entrada x, los parámetros del subsistema y las condiciones inicial y límite, pueden, en un sentido general, representar simbólicamente al subsistema por: • y = Hx • El operador H representa cualquier forma de conversión de x en y. Supóngase ahora que al subsistema se le aplican simultáneamente dos entradas separadas, de forma que: • y = H(x1 + x2) = H(x1) + H(x2) = y1 + y2 (1) • Por tanto, el operador H es, por definición, un operador lineal. • Un sistema se denomina lineal si su operador H es lineal, y el modelo de un sistema lineal, que está representado por ecuaciones y condiciones límite lineales, recibe el nombre de modelo lineal. En caso contrario, el modelo es no lineal. El principio de superposición representado por la Ec. (1), permite determinar la respuesta del sistema para una amplia variedad de entradas. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelos de estado estacionario frente a no estacionario • En estado estacionario consideramos en la mayoría de sistemas, las condiciones donde ningún cambio ocurre con el tiempo. Matemáticamente esto corresponde a tener todas las derivadas (el término acumulación en la Ec.1.12) iguales a cero, o considerando un tiempo para realizarse muy grande, es decir, tiende al infinito. Por lo tanto: Entrada = Salida • Entrada – Salida = Acumulación = (propiedad)/dt (1.12) • En cada balance, si las condiciones límite son independientes del tiempo, las variables dependientes del sistema pueden alcanzar gradualmente valores constantes con respecto al tiempo en un determinado punto. Para sistemas globalizados; si la entrada es constante con respecto al tiempo la salida puede alcanzar un valor constante. Otra forma de expresar exactamente la misma idea consiste en decir que cuando el tiempo tiende hacia infinito desaparecen los estados transitorios y el sistema es invariante con respecto al tiempo. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelo estático Un modelo estático (o al estado estacionario) ignora cambios en las variables del proceso con el tiempo. Antes de construir un modelo estático, es analizado el proceso para establecer su naturaleza física y química, para establecer las ecuaciones que lo describan. Ejemplos de modelos estáticos son: • a) Las ecuaciones para determinar diámetro óptimo (Di, opt) de tubería Para acero al carbono Di, opt = 282 m 0.52 r -0.37 Para acero inoxidable, la expresión es Di, opt = 236 m 0.50 r -0.35 donde Di, opt = diámetro interior óptimo, mm m = flujo de masa kg/s r = densidad del fluido, Kg./m3

(1.13) (1.14)

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• b) Las ecuaciones (modelo) que describen el equilibrio en un sistema de reacción serán:

• c) Las ecuaciones de diseño de un CSTR SON:

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Modelo dinámico Se hace para describir las características dinámicas del proceso, estableciendo relaciones entre sus principales variables, las cuales varían con el tiempo. Las características dinámicas pueden ser obtenidas de la teoría, por experimentos, o ambos. •

Un modelo dinámico se ilustra con el tanque mostrado, hacia el cual se bombea un líquido incompresible (densidad constante) con caudal variable Fo (pies3/s). El flujo de entrada puede variar con el tiempo según cambios en la operación de la corriente superior. El nivel de líquido en el tanque cilíndrico vertical es h(pies). El flujo de salida del tanque es F (pies3/s). Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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.

Ahora Fo, h, y F todos variaran con el tiempo y entonces serán funciones del tiempo. Consecuentemente usamos la notación Fo(t), h(t) , y F(t). El líquido sale por la base del tanque vía una tubería horizontal prolongada y lo descarga en el tope de otro tanque. Ambos tanques están abiertos a la atmósfera. Al estado estacionario el flujo de salida del tanque debe ser igual al flujo de entrada. Aquí denotaremos el estado estacionario de las variables por una barra sobre la variable. Luego al estado estacionario en el sistema del tanque Para un dado, la altura del líquido en el tanque al estado estacionario deberá ser también una constante . El valor de deberá ser aquella altura que proporcione bastante columna de presión hidráulica a la entrada de la tubería para vencer la perdida por fricción de líquido fluyendo a lo largo de la tubería. Para un alto valor de , será un alto valor de . Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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En el diseño del tanque al estado estacionario, naturalmente podemos dimensionar el diámetro de la línea de salida y la altura del tanque para que al flujo máximo esperado el tanque no rebalse. Y como practica de diseño se considera un 20 a 30 % de factor de seguridad en la altura del tanque. El estudio dinámico de este sistema es determinar que sucede cuando se cambia el valor de Fo. ¿Cómo será la respuesta de h(t) , y F(t) con el tiempo? Obviamente F eventualmente tenderá a alcanzar el nuevo valor de Fo y la altura tenderá a alcanzar un valor que equilibre el flujo de entrada y el valor necesario de h(t) para proporcionar la columna hidráulica suficiente para tener el valor de F(t) igual a Fo; el problema se resumirá en determinar si el nivel de líquido en el tanque sobrepasa la altura del tanque o no. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Clasificaciones de modelos matemáticos

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Clasificación de modelos matemáticos determinísticos Los modelos matemáticos determinísticos son los siguientes tipos: • a) Modelos de fenómenos de transporte. Estos modelos provienen de principios físico-químicos y constituyen la mayoría de modelos utilizados por los ingenieros. • b) Modelos de balance poblacional. Estos modelos usan un tipo especial de balance para el número de entidades contables, denominado balance de población, y son particularmente apropiados para describir sistemas particulados. • c) Modelos empíricos. Son modelos que utilizan ajuste empírico de datos. • El principio de estos modelos es el balance de masa, momentum y energía. Cada balance puede expresarse en palabras como sigue: • {Acumulación neta en el volumen del sistema} = {Transporte neto de entrada al sistema} • {Transporte neto de salida del sistema} + {Generación neta en el volumen del sistema} - {Consumo neto en el volumen del sistema}. 47 Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

Construcción de Modelos Matemáticos

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Modelos teóricos vs. experimentales • Si el modelo que se construye sólo se orienta a reproducir las salidas del sistema real sin intentar modelar su comportamiento interno; entonces, será un modelo experimental o de caja negra. En cambio, si el modelo también intenta reproducir las relaciones funcionales del sistema será un modelo con base teórica. • • Un modelo experimental requiere gran cantidad de datos para poder calibrarlo o ajustarlo correctamente, y su rango de validez está limitado a este conjunto de datos. En contraposición, un modelo teórico requiere una cantidad menor de datos y puede ser utilizado fuera del rango de los mismos ya que la validez del modelo está dado por la teoría utilizada y no por los datos. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Elaboración de modelos a) Análisis del problema: Conocer naturaleza del problema y finalidad del modelo. Tener presente el sistema, el modelo representará al todo o a una de sus partes. Primero objetivo, prototipo y luego modelado del modelo. MODELO CONCEPTUAL o CUALITATIVO. Por ejemplo, estructurar un sistema estableciendo su entorno e interacciones. b) Definición de atributos y variables: Hacer una lista de las variables a utilizar. Muchos investigadores eligen las variables casi sin pensar, lo que casi siempre es el resultado de experiencias circunstanciales, no siempre recomendables. Es conveniente que este paso lo realicen varios investigadores, en lo posible de distintas disciplinas, y que se complete la lista de variables en dos o tres etapas. c) Diseño del modelo: Formulación de relaciones, hipótesis, y propuesta del modelo. Se fijan condiciones para que el modelo funcione. Se obtiene un Modelo cuantitativo y ejecutable. d) Obtención de datos: Se diseña y elabora tablas de datos de medir variables en el mundo real. e) Validación del modelo: Se compara entre lo modelado y la realidad: si lo observado concuerda con lo propuesto. Si el modelo es determinístico, la validación se transforma en una verificación, y por lo tanto, su resultado deber ser exacto (sin errores). Una función lógica o una ecuación matemática tienen resultados exactos. En cambio, un modelo estocástico o probabilístico se valida con la realidad, y sus resultados son aproximaciones, su grado de error es aceptable sólo con criterio estadístico. f) Interpretación de los resultados. Pueda suceder que el modelo no represente al sistema real, y por lo tanto, deberá retornarse a cualquiera de los pasos anteriores. Caso contrario, se harán estudios necesarios sobre el modelo formulado. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Si el Modelo Conceptual es erróneo, entonces de nada sirve tener un Modelo Cuantitativo perfecto.

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Modelamiento matemático empírico Son modelos basados en la observación de un sistema particular y no en leyes fundamentales. Muchas veces no existe otra alternativa que su uso; pero deben tomarse muchas precauciones cuando se desea extrapolar o generalizar estas relaciones. • Por ejemplo modelos polinomiales usados para acoplar datos empíricos por el método de mínimos cuadrados.

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Modelos de sistemas Son modelos que satisfacen una relación general o total; pueden incluir análisis de costos, precios de ventas, planeamiento, combinados o integrados con los modelos fenomenológicos y empíricos. • Estas clasificaciones no son excluyentes; sino más bien, muchas veces combinables con modelos fenomenológicos pudiendo incluir elementos empíricos; y los modelos empíricos pueden incluir elementos fenomenológicos • NOTA: Los modelos Cinéticos para simulación de procesos son modelos fenomenológicos porque son modelos cinéticos de procesos y modelan directamente los procesos batch, además cuando se le incorpora a la ecuación general de conservación o se la incorpora la función de distribución de tiempo de residencia, modelan a los procesos continuos. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelamiento matemático fenomenológico Se basan en principios físico-químicos; tales como cinética, química, transferencia del calor, flujos de fluidos, transferencia de masa, equilibrio termodinámico, etc. Estos modelos tienen amplia valides y pueden ser extrapolados sin mayor error. • a) Modelos basados en fenómenos de transporte; por ejemplo ecuaciones fenomenológicas de cambio o variación de masa, energía o movimiento descritos por ecuaciones de conservación de masa, energía y movimiento. • b) Modelos de balance de población, tratan con parámetros distribuidos en la población. Por ejemplo, modelamiento de la molienda, considerando la población de partículas distribuidas en diferentes tamaños, por tanto con parámetros diferentes distribuidos. Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Formulación de modelos fenomenológicos La formulación de los modelos fenomenológicos incluye: • - Principios básicos • - Términos cinéticos • - Condición limite • - Asunciones • - Consistencia matemática del modelo • - Solución de las ecuaciones del modelo • - Verificación Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelos basados en fenómenos de transporte Lo podemos subdividir en: a) Modelos basados en fenómenos de transporte según el detalle físico interno • - Modelo molecular • - Modelo microscópico • - Modelo macroscópico b) Modelos basados en fenómenos de transporte según la estructura matemática • b-1) Terminología de modelos matemáticos: • --- Modelos deterministas frente a modelos probabilistas • --- Modelos lineales frente a modelos no lineales • --- Modelos de estado estacionario frente a modelos de estado no estacionario • --- Modelos de parámetros distribuidos frente a modelos de parámetro globalizado • b-2) Clasificación de modelos basados en la estructura matemática Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Modelos de balance poblacional Los podemos subdividir en: a) Distribución del tiempo de residencia • - Definiciones de las funciones de distribución de edad • - Distribución interna de edad de un fluido en un tanque cerrado; I(t) • - Distribución de edad de la corriente de salida o distribución de residencia del fluido en un tanque cerrado: E(t) b) Clasificación de modelos de balance poblacional según el detalle físico interno • - Modelo microscópico de balance de población • - Modelo macroscópico de balance poblacional Modelamiento y Simulacion de Procesos// Roberto Huamaní Bernal //Aqp2018

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Rol de los modelos matemáticos

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Técnicas numéricas y graficas utilizadas

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GRACIAS

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