Modelamiento Matemático del Movimiento de Proyectiles

UNIVERSIDAD CENTRAL MODELAMIENTO Y SIMULACIÓN Juan Guillermo López Guzmán Cindy Tatiana Tatiana Moya Mo ya Hernandez Ivan Leonardo Sepúlveda Angel

3.10 modelado matemático del moimie!to de "#o$ectile%&

'RO(LEMA De!ri"ir el !omportamiento de la traye!toria de un proye!til #ue e lanzado !on un determinado ángulo de eleva!ión Ɵ$ !on una velo!idad ini!ial %o %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo in tener en !uenta en el mimo la reiten!ia del aire$ la !urvatura y la rota!ión de la tierra&

INTRODUCCIÓN 'un proye!til e !ual#uier !uerpo #ue re!i"e una velo!idad ini!ial y luego igue una traye!toria determinada totalmente por lo e(e!to de la a!elera!ión gravita!ional y la reiten!ia del aire& )na pelota "ateada$ un "alón lanzado *(igura +,$ un pa#uete oltado de un avión y una "ala diparada de un ri(le on proye!tile& -l !amino #ue igue el proye!til e u traye!toria& .ara .ara anal analiz izar ar ete ete tipo tipo de movi movimi mien ento to tan tan !omú !omún$ n$ e part parte e de un mode modelo lo matemá matemáti! ti!o o ideal idealiza izado do #ue repre repree enta nta el proy proye!t e!tilil !omo !omo una una part/ part/!ul !ula a !on !on a!elera!ión *de"ida a la gravedad, !ontante en magnitud y dire!!ión& Se 0a!e !ao omio de lo e(e!to del aire$ de la !urvatura y de la rota!ión de la tierra& Como todo lo modelo matemáti!o ete tiene limita!ione& La !urvatura de la tierra e !oniderada en el vuelo de miile de largo al!an!e$ la reiten!ia del aire e !ru! !ru!ia iall para para un para para!a !aid idi ita ta&& 1o o"t o"tan ante te$$ e pued puede e apre aprend nder er mu!0 mu!0o o analizando ete en!illo modelo matemáti!o&2

DE)INICIÓN DE LA SITUACIÓN DEL 'RO(LEMA -l pro"lema !onite en poder (ormular un modelo matemáti!o #ue de!ri"a la rela!ión entre la varia"le 'poi!ión de un proye!til2 #ue e lanzado !on un

determinado ángulo de eleva!ión Ɵ$ !on una velo!idad ini!ial %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo y 'el tiempo2& -l proye!til e lanzado !on la iguiente !ondi!ione ini!iale3 ángulo de eleva!ión Ɵ$ velo!idad ini!ial %o y dede !ierta altura yo !on repe!to al uelo& La !oordenada ini!iale de la poi!ión on *4$4,& De"ido a la (uerza de la gravedad$ el proye!til tiende a llegar 0ata !ierta altura y luego de!iende& -te modelo no tiene en !uenta la (ri!!ión del aire la !urvatura y la rota!ión de la tierra& .ara reolver ete pro"lema e de"e o"tener una e5preión matemáti!a #ue permita !ono!er la !oordenada *5$ y, en el plano 5y de la traye!toria del proye!til en !ual#uier intante del tiempo&

TEORIAS *UE +O(IERNAN EL 'RO(LEMA Deplazamiento3 Cam"io en la poi!ión de una part/!ula$ e denota !omo3 ∆ x = x f  − x i

 %elo!idad promedio3 Se de(ine !omo la razón de u deplazamiento y el intervalo de tiempo *Ser6ay$+778, y e e5prea de la iguiente (orma3 v=

∆ x  x f  − xi = ∆ t  t f  −t i

 A!elera!ión3 De(inimo la a!elera!ión !omo el !am"io en la velo!idad repe!to al tiempo durante el !ual o!urre el !am"io *Sepúlveda$ 94+9,3 α =

∆ v v f − v i = ∆ t  t f −t i

Movimiento de .roye!tile3 De!ri"e el movimiento de una part/!ula en un plano *movimiento "idimenional, "a:o lo iguiente upueto +, la a!elera!ión de !a/da li"re e !ontante *gravedad, 9, la traye!toria del proye!til de!ri"e una pará"ola

)ORMULACIÓN DEL MODELO MATEM,TICO

'.rimero$ e o"erva #ue el movimiento de un proye!til etá limitado a un plano verti!al determinado por la dire!!ión de la velo!idad ini!ial& La razón e #ue la a!elera!ión de"ida a la gravedad e e5!luivamente verti!al; la gravedad no puede mover un proye!til lateralmente& .or tanto$ ete movimiento e "idimenional& Se llamara al plano de movimiento plano 5y$ !on el e:e 5 0orizontal y el < verti!al 0a!ia arri"a& .ara analizar el movimiento de lo proye!tile e tratan la !oordenada 5 e y por  eparado& La !omponente 5 de la a!elera!ión e !ero$ y la !omponente e igual a  =g& e de"e re!ordar #ue$ por de(ini!ión$ g iempre e poitiva pero$ por la dire!!ione de !oordenada e!ogida$ ay e negativa& A/$ e puede analizar el movimiento de un proye!til !omo una !om"ina!ión de movimiento 0orizontal !on velo!idad !ontante y movimiento verti!al !on a!elera!ión !ontante& Se pueden e5prear toda la rela!ione ve!toriale de poi!ión$ velo!idad y a!elera!ión !on e!ua!ione independiente para la !omponente 0orizontale y verti!ale& -l movimiento real e la uperpoi!ión de lo do movimiento&2

-nton!e$ la !omponente de la a!elera!ión

a  on a5>4 y ay > ?g& de a!uerdo ⃗

!on la !inemáti!a e tiene #ue3

{

2

d  x  = 0 2 dt  (1 ) 2 d  y =−g 2 dt 

La e5preión matemáti!a *+, repreenta la rela!ión entre la !oordenada en el plano del proye!til y el tiempo

SOLUCIÓN MATEM,TICA DEL MODELO Lo modelo matemáti!o en *+, !orreponden a e!ua!ione di(erente de egundo orden de varia"le epara"le& La olu!ión viene dada de la iguiente manera3 •

 A"!ia

∫

2

d  x dt = 2 dt 

∫ 0 dt (2 )

dx  = K  (3 ) dt 

-l valor de @ e determina !on la !ondi!ión ini!ial

 x

' 

( 0 )= v

0 x

dx =v0 ( 4) dt   x

Se integra nuevamente3  x ( t )= v 0 t + C ( 5)  x

-l valor de c  e determina !on la !ondi!ión ini!ial

 x ( 0 )= x 0

 x ( t )= v 0 t + x 0 (6 )  x

Se de:a #ue 5 #uede en trmino de la velo!idad ini!ial$ de la poi!ión ini!ial y del ángulo de lanzamiento&  x ( t )= v 0 cos (Θ ) t + x0 ( 7 )

Brdenada

•

∫

2

d  y dt =− gdt ( 8 ) 2 dt 

∫

dy  =−¿+ K ( 9 ) dt 

-l valor de k  e determina !on la !ondi!ión ini!ial dy =−¿+ v 0 ( 10) dt   y

Se integra nuevamente3

 y '  ( 0 )= v 0

 y

1

2

 y (t )= v o t − g t  + C ( 11)  y

2

-l valor de ! e determina !on la !ondi!ión ini!ial 1

 y ( 0 )= y 0

2

 y (t )= y 0+ v 0 t − g t  ( 12 )  y

2

Se de:a #ue y #uede en trmino de la velo!idad ini!ial$ de la poi!ión ini!ial y del ángulo de lanzamiento& 1

 y (t )= y 0+ v 0 sin (Θ ) t − g t  ( 13 ) 2

2

-nton!e la !oordenada del punto *5$ y, #ue de!ri"en la traye!toria del proye!til vienen dada por3

(

1

)

v 0 cos ( Θ ) t + x 0 , y 0+ v 0 sin ( Θ ) t − g t  ( 14 ) 2

2

.ara determinar la altura má5ima$ primero derivamo la e5preión #ue no da la !oordenada del e:e y3 1

2

 y (t )= y 0+ v 0 sin (Θ ) t − g t  2

 y

' ( t )

=v

0

sin

( Θ )−¿

Hallamo la ra/!e3 v 0 sin ( Θ )−¿=0

t =

eemplazamo en má5ima3

v 0 sin (Θ ) g  y (t )

para en!ontrar la e5preión #ue de(ine la altura

 y m= y 0 + v 0 sin ( Θ )

[

 v 0 sin ( Θ ) g

]− [ 1 2

g

 v 0 sin ( Θ ) g

]

2

[ v sin ( Θ ) ] − [ v = y + 2

 y m

0

0

g

sin 0

(Θ) ]

2

2g

[ v sin ( Θ ) ] ( 15 ) = y + 2

 y m

0

0

2g

.ara determinar el tiempo total de vuelo tomamo do traye!to$ el primero dede el lanzamiento 0ata la altura má5ima y luego !al!ularemo el tiempo dede la altura má5ima 0ata la !a/da3 1

2

 y (t )= y 0+ v 0 sin (θ ) t − g t  2

Sa"emo #ue +, La altura (inal y , Al al!anzar la altura má5ima

0

1

2

= y m + 0− g t 

t =

2

√

 y (t )= 0  9, La altura ini!ial erá la altura má5ima v 0 =0

3

2  y m

g

-l tiempo total erá la uma del tiempo en lo do tramo elegido3 t v =

v 0 sin (θ ) + g

√

 2  y m

g

( 16 )

.or lo tanto$ en (un!ión al tiempo total de vuelo la ditan!ia má5ima al!anzada por  t =t v el proye!til en el e:e de la a"!ia lo en!ontraremo !on *E, donde 3  x m= v 0 cos (θ ) t v + x 0 ( 17 )

RE'RESENTACIÓN COM'UTACIONAL DE LA SOLUCIÓN  A !ontinua!ión la repreenta!ión !omputa!ional de la olu!ión o"tenida en MatLa"3

Figura +& epreenta!ión !omputa!ional de la olu!ión

Fuente& -la"ora!ión MatLa"

INTER'RETACIÓN DE LOS RESULTADOS .ara la interpreta!ión de reultado utilizaremo el iguiente pro"lema3 'Dede la azotea de un edi(i!io e lanza una piedra 0a!ia arri"a a un ángulo de 4 !on la 0orizontal !on una velo!idad ini!ial de 94 m& Si la altura del edi(i!io e  m a, KCuánto tiempo permane!e la piedra en vuelo ", KDónde golpea la piedra el uelo De a!uerdo !on el pro"lema tenemo la iguiente !ondi!ione ini!iale3

'o%ici-! I!icial de la A%ci%a3 4 m 'o%ici-! I!icial de la O#de!ada 3  m Velocidad I!icial3 94 m ,!/lo de La!amie!to3 4 )tilizando el modelo matemáti!o de!rito en e!!ione anteriore tenemo3

Alt#a Má2ima3 84$+4 m Tiem"o de Velo3 $99  Alca!ce Má2imo3 E$48 m Con eta in(orma!ión podemo reponder la pregunta planteada por el e:er!i!io$ la repueta erán el tiempo de vuelo y el al!an!e má5imo para la pregunta a y " repe!tivamente

.ara !omplementar la in(orma!ión$ en!ontraremo la !oordenada del proye!til en 94 punto ditinto en el tiempo3 Ta"la +& Coordenada del proye!til en el tiempo

t (s)

x

Y

0,00

0,00

45,00

0,47

8,12

48,61

0,94

16,24

50,07

1,41

24,35

49,37

1,87

32,47

46,53

2,34

40,59

41,53

2,81

48,71

34,37

3,28

56,82

25,07

3,75

64,94

13,61

4,22

73,06

0,00

 

Fuente& -la"ora!ión propia

.or medio de la ta"la anterior podemo o"ervar #ue el modelo matemáti!o !umple !on el !omportamiento eperado& La traye!toria del proye!til de!ri"e una pará"ola; !omo pudimo o"ervar en la representación computacional del modelo ademá en ninguno de lo punto la !oordenada o"repaan la altura y el al!an!e má5imo 0allado !on el modelo

LIMITACIONES DEL MODELO -l modelo matemáti!o de!rito podrá er utilizado para pro"lema de movimiento de proye!tile imple e de!ir$ e tienen la iguiente retri!!ione3

 1o podrá utilizare en modelo de movimiento a larga ditan!ia$ de lo !ontrario de"er/a !oniderare !omo una varia"le la !urvatura de la tierra  -l peo y el material del proye!til no de"en !orreponder a la de un o":eto volátil$ en !ao !ontrario de"er/a !oniderare la velo!idad del viento !omo una varia"le  Si la naturaleza del pro"lema no pide !oniderar la !urvatura de la tierra y la reiten!ia del viento; el modelo de!rito no erá de utilidad  Cuando la !ondi!ione ini!iale o la olu!ión del pro"lema re#uiera in(orma!ión rela!ionada !on lo poi"le re"ote del proye!til

RE)ERENCIAS Ser6ay$ &A&$ +778$ Physics for scientists & engineers with modern physics $ Saunder College .u"li0ing Sepúlveda$ -&M&$ 94+9$ A!elera!ión = F/i!a en L/nea& e!uperado de 0ttp3ite&google&!omitetimeolar!inemati!aa!elera!ion .0yi!al S!ien!e Study Comittee$ +78$ Física$ -ditorial y Tipogra(ia edout Matemáti!a F/i!a Nu/mi!a$ 94+$ -:er!i!io !on Solu!ión de Movimiento .ara"óli!o& e!uperado de 0ttp3666&matemati!a(ii!a#uimi!a&!om(ii!a? #uimi!a?"a!0illerato?(ii!a?y?#uimi!a?+o?"a!0illerato879?e:er!i!io?olu!ion? !ompoi!ion?movimiento?para"oli!o?(ii!a?"a!0illerato?!inemati!a&0tml