Modelagem de problemas de flex˜ ao de placa anisotr´ opica via M´etodo de Elementos Finitos H´ıbridos usando fun¸c˜ oes de Trefftz polinomial

July 4, 2019 | Author: Bruno Polloni | Category: Flexão (Física), Material Composto, Equações diferenciais, Geometria, Estresse (Mecânica)

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Modelagem de problemas de flexão ao de placa anisotrópica opica via Método eto do de Elemento Elementoss Finito Finitoss H´ıbrido ıbridoss usando usando fun¸ fun¸c˜ coes o˜es de Trefftz polinomial Bruno Polloni Orientador: Prof. Paulo de Tarso R Mendon¸ca, PhD. Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Departamento de Engenharia Mecânica anica CP 476 - Florianópolis, opolis, SC - 88035-001 31 de outubro de 2016.

Sum´ ario 1 Projet Projeto o de Diss Disser erta ta¸¸c˜ ao de Mestrado 1.1 1.1 Intr Introdu odu¸c˜ çaõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ob jetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 1.3 Revi Revis˜ s˜ ao ao Bibliográfica Preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 1.3.1 Modelo Modelo de placa placa de Mind Mindlin lin para para mater material ial anis anisotr´ otr´ opico . . . . . 1.3. 1.3.22 Método e todo de Elem Elemen ento toss Fin Finit itos os H´ıbri ıbrido doss (FEM (FEM-H -H)) . . . . . . . . . 1.3. 1.3.33 Base Base autoauto-equ equil ilib ibrad radaa de desloc deslocam amen entos tos para para plac placas as de Mindl Mindlin in 1.4 Atividades e Cronograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Testes e casos propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3 3 8 11 17 18 19

1

Projeto de Disserta¸c˜ ao de Mestrado 1.1

Introdu¸c˜ ao

Os elementos estruturais como placas e cascas de ”materiais compostos” s˜ ao usados extensivamente em muitos setores da ind´ ustria como em equipamentos, em dutos ou em vasos de pressão, na ind´ ustria aeroespacial muitas vezes sob forma de compostos laminados, em navios, pontes, apenas para citar alguns exemplos. Esta utiliza¸ caõ é justificada pelo fato de que nestas estruturas o carregamento é suportado em três dimens˜ oes, resultando em uma geometria muito compacta, mas ao mesmo tempo r´ıgida [1], inclusive mais r´ıgida que vigas de semelhante espessura e v˜ ao. Assim, caracter´ısticas como baixo peso, alta capacidade de carga e economia são combinadas. Muitos problemas de engenharia expressos na forma diferencial s˜ ao resolvidos unicamente via aproxima¸co˜es, devido sua complexidade. As técnicas mais utilizadas para resolver estes problemas s˜ ao as conhecidas técnicas de elementos finitos, aproxima¸ cão por diferen¸cas finitas. Ambas técnicas reduzem os infinitos graus de liberdade de um conjunto cont´ınuo do problema em um n´ umero finito [2]. Caracterizam-se, também, por discretizar o dom´ınio bem como o contorno da regi˜ ao a ser analisada. Em contrapartida, m´ etodos de elementos de contorno, discretizam apenas a parte exterior (contorno) da regi˜ ao avaliada e reduzem as dimens˜ oes envolvidas no problema, levando a economia considerável de trabalho numérico além de constituir uma maneira muito conveniente para tratar regi˜ oes não limitadas através de meios numéricos [3]. Sob a o´tica matem´ atica, os modelos de placas e cascas apresentam um desafio interessante por diversos fatores, seja pelo acoplamento das equa¸co˜es diferenciais que surgem com não-linearidades geométricas ou acomplamento de rela¸ cões constitutivas, seja pelo surgimento de problemas numéricos como o travamento por cisalhamento [4] ou pela exigência de alta regularidade das fun¸co˜es de aproxima¸cão [5]. Assim fica claro o grande interesse, tanto industrial quanto acadêmico em estudar, analisar e poder prever o comportamente destas estruturas.

1.2

Objetivo

O objetivo deste trabalho é implementar o modelo de placa de Mindlin usando o Método de Elementos Finitos H´ıbrido com fun¸co˜es de aproxima¸cão Trefftz polinomial, para modelagem de placa de material composto laminado simétrico sob carregamento em flex˜ ao para pequenas deforma¸cões e grandes deslocamentos transversais. Usar a implementa¸ cão para investigar os 2

3

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

resultados de deslocamento, os efeitos da continuidade dos campos de tens˜ ao, a convergência, a sensibilidade da solu¸cão a malhas distorcidas.

1.3

Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

1.3.1

Modelo de placa de Mindlin para material anisotr´ opico

Inicialmente, um ”material composto” basicamente é um material constitu´ıdo a partir da uni˜ ao de um ou mais materiais distintos, seja nas suas propriedades mecâ nicas seja em sua composi¸cão. Na engenharia, tradicionalmente, refere-se a material composto uma gama de materiais modernos que possuem alto desempenho e baixo peso [6]. Estes materias, por serem oriundo da jun¸caõ de um ou mais materias, são inseridos na classe de n˜ ao-homogêneos e n˜ ao isotrópicos (anisotr´ opicos). As propriedades termo-mecˆ anicas dos materiais anisotr´ opicos possuem dependência com a orienta¸ cão, assim sendo, possuem complexa modelagem. Na Figura 1.1 pode-se observar um laminado composto por v´ arias lâminas orientadas em dire¸cões distintas. Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/FIG.pdf

Figura 1.1: Laminado composto por várias lâminas orientadas em distintas dire¸co˜es. ”Um laminado arbitrário, constitu´ıdo por diversas lˆ aminas, cada uma com seu material, sua espessura, e orienta¸cão, tem comportamento tal que sua an´ alise pode ser feita considerando, simultaneamente, os efeitos de membrana e flex˜ ao”[6]. O modelo de placa que melhor atende este quesito é o modelo de Mindlin, que toma a rela¸ cão cinem´ atica de membrana e de flex˜ ao. As hipóteses da teoria de placa de Mindlin s˜ ao [7]: 1. Nos pontos pertencentes ao plano médio (z  = 0) uo = v o = 0. Em outras palavras, os pontos no plano médio movem-se apenas transversalmente.

4

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

2. Os pontos ao longo de um plano normal ao plano médio possuem o mesmo deslocamento vertical, ou seja, a espessura n˜ ao se altera; 3. A tensão normal σ z é desconsiderada (estado plano de tens˜ oes); 4. Uma linha reta tra¸cada no plano médio n˜ ao deformado, permanece reta mas n˜ ao necessariamente perpendicular ao plano médio ap´ os a deforma¸cão. O modelo de placa de Mindlin se diferecia em rela¸caõ ao modelo de Kirchhoff no item 4, onde o modelo de Kirchhoff imp˜ o e a hipótese de que uma linha reta tra¸cada no plano médio não deformado, permanece reta e normal ao plano (condi¸caõ de ortogonalidade).

Campo dos deslocamentos O campo de deslocamentos de um ponto arbitr´ ario de coordenadas (x,y,z) do laminado, na teoria de placa de Mindlin, pode ser expresso em termos dos deslocamentos generalizados coplanares uo = uo (x, y) e ν o = ν o (x, y), do deslocamento transversal de flexão w = w(x, y) e das rota¸cões do segmento normal θx = θ x (x, y) e θy = θ y (x, y). O dom´ınio do problema consiste em, V  pertencente ao espa¸co Cartesiano  3 , definido pela espessura constante H > 0 e superf´ıcie de referência Ω, limitada pelo contorno Γ (Figura 1.2), denotado da seguinte forma: V =



 



H H (x,y,z ) ∈ 3 | z ∈ − , , (x, y) ∈ Ω ⊂ 2 . 2 2

(1.1)

De (1.1), é importante obsevar que os eixos x e y, e a origem do eixo z , são posicionados sobre a superf´ıcie de referência, que se localiza na posi¸ cão intermedi´ aria da espessura. Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/1

2

.pdf

Figura 1.2: Elemento estrutural do tipo placa. O campo de deslocamento num ponto arbitr´ ario é descrito por: u(x,y,z ) = u o (x, y) + zθx (x, y), ν (x,y,z ) = ν o (x, y) + zθ y (x, y), w(x,y,z ) = w(x, y).

(1.2)

5

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

oteses (1.2), o tensor deforma¸cão infiniteEqua¸ c˜ oes constitutivas Como resultado das hip´ simal é dado por:





εxy εxz εyy εyz , ε = sim. εzz e suas componentes como sendo:

εxx

εxx =

∂u , ∂x

εyy =

∂ν , ∂y

εzz =

∂w , ∂z

εxy =

1 2

εxz =

1 2

εyz =

1 2

Ao substituir (1.2) em (1.4), obtêm-se:

      ∂u ∂y

+

∂ν ∂x

,

∂w ∂x

+

∂u ∂z

,

∂w ∂y

+

∂ν ∂z

.

εxx =

∂u ∂x

x + z ∂θ , ∂x

εyy =

∂ν ∂y

y + z ∂θ , ∂y

(1.3)

(1.4)

εzz = 0, γ xy =

   ∂u ∂y

+

∂ν ∂x

γ xz = γ yz =

+ z

∂w ∂x

∂w ∂y

∂θ x ∂x

+

∂θ y ∂y



(1.5) ,

+ θ x , + θ,

onde γ xy = 2εxy , γ xz = 2εxz e γ yz = 2εyz . O modelo de placa de Mindlin é considerado uma extens˜ ao do modelo de viga de Timonshenko, sendo assim, podemos notar em (1.5) que, na teoria de placa de Mindlin, γ xz e γ yz são constantes na se¸caõ transversal e independentes de z , diferentemente da teoria de placa de Kirchhoff-Love onde γ xz = γ yz = 0. Pode-se reescrever (1.5) de forma compacta, como sendo:

6

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

                    εxx εyy γ xy

=

∂u(x,y) ∂x ∂ν (x,y) ∂y ∂u(x,y) + ∂ν (x,y) ∂y ∂x

ε

∂θ x (x,y) ∂x ∂θ y (x,y) ∂y (x,y) ∂θ x (x,y) + ∂θ y∂y ∂x

+ z

εo

κ

γ yz γ xz

=

∂w(x,y) ∂y ∂w(x,y) ∂x

+ θ y + θ x

,

  ,

(1.6)

(1.7)

γ

ε = ε o + zκ,

onde

o ε ´ e

a deforma¸caõ de membrana

κ ´ e

a varia¸cão da curvatura.

Rela¸c˜ ao tens˜ ao-deforma¸ca õ A lei de Hooke generalizada para uma camada k, arbitrária, do laminado é definida como σ = Qε.

    σx σy τ xy

lk

Q11 Q12 Q13 = Q21 Q22 Q23 Q31 Q32 Q33

         k

εoxx εoyy γ oxy

κx + z κy κxy

,

(1.8)

onde Q é a matriz de rigidez reduzida que repesenta a camada ortotr´ opica com suas dire¸cões principais do material arbitrariamente orientadas em rela¸ cão ao eixo x [8]. As tens˜ oes cisalhantes de cada lâmina k é dada como τ c = C c γ c .

  τ yz τ xz

lk

C 44 C 45 = C 45 C 55

  k

γ yz γ xz

lk

.

(1.9)

As tensões resultantes obtidas de (1.8) e (1.9) s˜ ao dadas por:

                     N x N y N xy

M x M y M xy

N

zk

k=1 zk−1

N

zk

k=1 zk−1

Qy = Qx

N

k=1

H/2

H/2

−

σx σy τ xy

lk

σx σy τ xy

lk

τ yz τ xz

dz,

zdz,

(1.10)

lk

dz,

onde z k − 1 e z k são as cotas z   da superf´ıcie inferior e superior da lˆ amina k. As cotas de um laminado são ilustrados na Figura 1.3.

7

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/9

3

.pdf

Figura 1.3: Nota¸co˜es para a numera¸caõ e cotas das lˆ aminas de um laminado.

Aplicando Lei de Hooke reduzida, as defini¸co˜es (1.10) conduzem a uma rela¸cã o entre as for¸cas e momentos resultantes e a superf´ıcie de referência do laminado [8], dadas por:

     N A B = B D M

εo , κ

Q = Eγ,

(1.11) (1.12)

sendo: N

E = k c



C c hk .

k=1

onde hk é a espessura da lˆ amina k, A e D sã o as matrizes de rigidez de membrana e de flexão do laminado, B é a rigidez de acoplamento membrana-flex˜ ao e kc é fator de corre¸cão ao cisalhamento, introduzido artificialmente, para corrigir o fato de que a deforma¸ cão cisalhante transversal é considerada constante ao longo da espessura da placa, quando sabe-se que, mesmo em placas homogêneas-isotr´ opicas, existe uma varia¸cão parab´ olica desta deforma¸caõ [6].

Equa¸ c˜ oes de equil´ıbrio As deriva¸cões das equa¸cões de equil´ıbrio (ou equa¸co˜es de movimento) podem ser feitas de diversas formas. Mendon¸ ca [9] parte do equil´ıbrio de elementos diferenciais, no entanto Reddy [10] aplica diretamente as hip´ oteses do modelo no Princ´ıpio dos Trabalhos Virtuais (PTV). Assim, podemos então, determinar o equil´ıbrio local no dom´ınio devido a flex˜ ao como sendo [8]:

8

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

Rx =

∂N x ∂x

Ry =

∂N xy ∂x

+ +

∂N xy ∂y

= 0,

∂N y ∂y

= 0,

Rz =

∂Q x ∂x

+

∂Q y ∂y

Rmx =

∂M x ∂x

+

∂M xy ∂y

− Qx = 0,

Rmy =

∂M xy ∂x

∂M y ∂y

− Qy = 0,

+

+ q z = 0,

(1.13)

onde q z é a for¸ca normal distribuida por unidade de área da superf´ıcie de referência.

1.3.2

M´ etodo de Elementos Finitos H´ıbridos (FEM-H)

O método conhecido como método de Trefftz foi apresentado primeiramente em 1926 por Trefftz [11] em contrapartida ao método de Rayleigh-Ritz. J´ a o método de elementos finitos h´ıbridosTrefftz (FEM-HT) se originou em 1977 com dois trabalhos pioneiros de Jirousek [1],[12], é considerado um método computacionalmente eficiente para complexos problemas de contorno [13]. O método também apresentou-se eficiente para a modelagem de placas de Mindlin [14], [15]. FEM-HT é um método h´ıbrido que usa dois campos, a princ´ıpio independentes, sendo um campo de deslocamentos internos ao elemento, conhecido como intra-element field   [13], e um campo de deslocamento definido apenas nas interfaces entre os elementos, conhecido com frame field  [13], responsável por impor, de forma fraca, a posteriori, a continuidade de deslocamentos [3]. Ambos os campos de deslocamento pode sem observados na Figura 1.4. O campo interno deve ser escolhido de forma a satisfazer a priori, as equa¸cões locais de equil´ıbrio do problema [13]. A continuidade inter-elemento é imposta pelo uso de um princ´ıpio variacional modificado incorporando um campo de interface independente entre os elementos [16]. A formula¸ cão pode envolver base equilibrada regular ou singular, mas as matrizes s˜ ao obtidas por integra¸caõ em regiões regulares. Ao final da formula¸cão a matriz de rigidez é n˜ ao-simétrica e positiva definida. As matrizes do dom´ınio do elemento podem ser convertidas em integrais de contorno devido as ` caracter´ısticas da base auto-equilibrada, o que pode reduzir drasticamente o custo do processo de integra¸cão em diversos tipos e problemas. Devido a`s caracter´ısticas da formula¸cão h´ıbrida, torna-se poss´ıvel desenvolver diretamente elementos de placa livres de locking de cisalhamento, como a formula¸caõ obtida por Jirousek em 1995 [17], para placas homogêneo-isotr´ opicas. A seguir um sumário da formula¸cão variacional é mostrada para um problema t´ıpico de elasto-estática apresentado por Wang e Qin [18]. Vale lembrar, que esta formula¸ cão elastoestática é apresentada apenas para mostrar o procedimento de c´ alculo para FEM-HT e não se aplica ao caso proposto por estre trabalho. No caso o problema de equil´ıbrio corpo que ocupa um dom´ınio Ω e contorno Γ = Γt ∩ Γu , onde Γt e Γu são as regiões sob for¸ca e deslocamento prescrito, tais que Γt ∪ Γu =  . Incluindo as for¸cas de corpo, o funcional h´ıbrido para um elemento qualquer e é dado por:

9

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

Polloni/Desktop/DESKTOP/BRUNO/MESTRADO UFSC/PDM/PDM/graphics/10

4

.pdf

Figura 1.4: Intra-element e frame field   em um elemento particular na formual¸caõ h´ıbrida. (Fonte Wang, Qin [18])

Πe =



Ωe

1 σ : 2

ε

dΩ −



b · u dΩ −

Ωe



¯t · u ¯ dΓ +

Γte



t · (u ¯ − u) dΓ,

(1.14)

Γe

¯ são o campo independente de deslocamento intra-elemento e o campo de interface onde u e u entre-elementos, respectivamente. Ωe e Γe são dom´ınio e contorno do elemento. Γte é a parte do contorno do elemento comum ao contorno global Γt de condi¸co˜es de contorno de Neumann. O contorno do elemento é considerado dividido em Γe = Γue + Γte + ΓIe onde Γue e a parte de Dirichlet e ΓIe a parte de contorno interno com outro elemento. Assim, Γte = Γe ∩ Γ t e Γue = Γe ∩ Γ u . A u ´ ltima integral é o termo adicional em rela¸ cão ao funcional usado no FEM, e é adicionado para garantir continuidade de for¸ cas e deslocamentos nas interfaces interelementares. Isso pode ser visto usando o teorema de Green de convers˜ ao entre integral de dom´ınio e de contorno



Ωe

∂f dΩ = ∂x i



fni dΓ, i = 1, 2,...,d,

(1.15)

Γe

para qualquer fun¸caõ suave f , a primeira varia¸caõ de Πe pode ser simplificada para:

δ Πe = −



Ωe

σ ij,j δu i dΩ +



Γte

(ti − t¯i )δ ¯ ui dΓ +



Γe

δt i (¯ ui − ui ) dΓ +



ti δ u ¯i dΓ.

(1.16)

ΓIe

As condi¸cões de estacionaridade geram as equa¸cões locais de equil´ıbrio (com for¸cas de corpo nulas), as condi¸co˜es de contorno de for¸ca e a condi¸caõ de continuidade inter-elementares, com a condi¸cão que as condi¸cões de contorno de Dirichlet sejam satisfeitas a-priori. As for¸ cas de corpo podem ser incorporadas na dedu¸ cão. Aplicando o teorema de Green novamente, desta vez diretamente no funcional Πe obtém-se:

10

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

1 Πe = 2



ti ui dΓ −

Γ



 

σ ij,j ui dΩ −

Ωe

t¯i u ¯i dΓ +

Γte



ti (¯ ui − ui ) dΓ.

(1.17)

Γe

Uma vez que σ ij,j = 0 devido ao uso da base auto-equilibrada, e subdividindo as regiõ es de contorno, obtém-se: 1 Πe = − 2



ti ui dΓ −

Γe



t¯i u ¯i dΓ +

Γte



ti u ¯i dΓ.

(1.18)

Γe

A discretiza¸cão é feita tomando uma base de fun¸ cões φn (x) que satisfazem as as equa¸cões diferenciais de equilibrio de Navier, de forma que o campo de deslocamentos dentro do elemento possa ser aproximado por:

u(x) = N e (x)Ce ,

∀x ∈ Ωe ,

(1.19)

onde u e (x) é o vetor de componentes de deslocamentos, N e (x) é uma matriz adequada formada pelas fun¸cões de aproxima¸caõ e Ce um vetor de coeficientes inc´ ognitos. Dessa forma, ue (x) satisfaz a-priori   as equa¸cões de Navier, quaisquer que sejam os valores das componentes em Ce . Em paralelo, um campo de deslocamento independente é aproximado ao longo da interface entre-elementos:

¯ (x)D , u ¯ (x) = N ∀x ∈ Γe , (1.20) e e ¯ e (x) é formada pelas fun¸co˜es de forma usuais de onde De é um vetor de deslocamentos nodais e N elementos finitos (Lagrangeanas por exemplo). Nota-se que essas fun¸ cões são definidas apenas no contorno do elemento, ent˜ ao sua dimens˜ ao é uma ordem menor que a dimens˜ ao d do dom´ınio do corpo, isto é, em problemas planos tem-se fun¸cões parametricamente uni-dimensionais. Usando nota¸cão de Voigt, as aproxima¸cões (1.19) e (1.20) geram aproxima¸co˜ es para as deforma¸cões, tens˜ oes e for¸cas de contorno: ε(x)= B e (x)Ce , σ (x)= T e (x)Ce ,

e

∀x ∈ Ωe .

t(x) = Q e (x)Ce ,

(1.21)

Ao substituir (1.19)-(1.21) em (1.18) tem-se o funcional discretizado: 1 T T Πe = − CT e He Ce − De ge + Ce Ge De , 2

(1.22)

onde

He ≡



Γe

QT e Ne

dΓ,

Ge ≡



Γe

¯ QT e Ne

dΓ,

ge ≡

As condi¸cões de estacionaridade de Πe geram as condi¸cões



Γe

¯ T ¯ N e t dΓ.

(1.23)

11

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

∂H e = −He Ce + Ge De = 0 , ∂ CT e ∂H e = Ge Ce − ge = 0 . ∂ DT e

(1.24)

Essas rela¸co˜es est˜ ao em n´ıvel de elemento. Considerando He não singular, essas equa¸cões podem ser separadas da seguinte forma:

De = K e 1 ge −

e

1 Ce = H e 1 Ge De onde Ke = G T e He Ge . −

−

(1.25)

Ke é uma matriz de rigidez do elemento, n˜ ao-simétrica. O processo de solu¸caõ do problema global consiste em: 1. Gerar para cada elemento, o vetor for¸ ca ge e rigidez Ke ; 2. Sobrepor as contribui¸ co˜es elementares no sistema global da forma usual do FEM, gerando as equa¸co˜es de equilibrio KD = g . (1.26) 3. Após obtida a solu¸caõ D do sistema, identificar a contribui¸caõ de cada elemento De e g e e resolver (1.25)2 para Ce ; 4. Com Ce , (1.21) produz os valores de deslocamento, deforma¸co˜es e tens˜ oes no elemento.

1.3.3

Base auto-equilibrada de deslocamentos para placas de Mindlin

Nesta se¸cã o ser´ a apresentado o desenvolvimento de uma fam´ılia de polinˆ omios, conhecidos T(Trefftz)-functions , de base que satisfazem exatamente as equa¸ cões diferenciais locais de equil´ıbrio do problema de flexão em placa de Mindlin. A base equilibrada é desenvolvida a partir de uma aproxima¸ cão polinomial para o campo de deslocamentos, de modo que, cada fun¸caõ obtida satisfaz além do equil´ıbrio local, as equa¸cões lineares de cinem´ atica, equa¸cões constitutivas e equa¸co˜es de acoplamento. Como apresentado na se¸caõ 1.3.2 essas fun¸co˜es foram desenvolvidas em contrapartida ao m´ etodo de Ritz. Em contraste com métodos de contorno convencionais a qual solu¸ cões singulares (Green’s type ) são usadas como fun¸cões de teste, solu¸co˜es não singulares, T-complete fun¸cões (solu¸co˜es homogêneas regulares das equa¸cões diferenciais), são utilizadas como fun¸cões teste na formula¸caõ de elemento de Trefftz para interpolar o campo intra-elementos [16]. O ponto inicial de desenvolvimento das equa¸co˜es auto-equlibradas de deslocamentos é identificar uma aproxima¸caõ polinomial para o campo de deslocamentos, mediante polinômios 2D completos de grau na , nb e nc respectivamente, dados por:

12

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

   n1

ψ x (x) =

a p P  pa = a T pa ,

p=0 n2

ψ y (x) =

T

bq P qb = b pb ,

(1.27)

q=0 n3

ω(x) =

cr P rc = c T pc ,

r=0

onde ω, ψ x e ψ y são deslocamentos de flex˜ ao generalizados associados ao modelo de placa de Mindlin, a p , bq , e cr são coeficientes dos deslocamentos associados ao monˆ omios P pa , Pbq e Pcr . O sub-´ındice T representa a transposta de uma matriz. Uma vez que o desenvolvimento a seguir, depende da ordem de um monˆ omio arbitrário, a e p a são detalhados para um polinômio cúbico, como segue:

a = {a0 , a1, a 2 , a3 , a4, a5 , a6, a7 , a8 , a9 }T , a

p ( x) =



2

2

3

2

2

1,x,y, x ,xy,y , x , x y,xy , y



3 T

.

ario na superf´ıcie de referência da placa, norx = (x, y) é as coordenadas de um ponto arbitr´ malizado por: x y ey≡ , h h onde h é um valor caracter´ıstico, que pode ser o raio do elemento e é normalmente utilizado para aprimorar o comportamente na formula¸caõ GFEM. Os coeficientes n1 + 1, n2 + 1, n3 + 1 em (1.27) são separados em dois grupos, coeficientes associados movimento de corpo r´ıgido, a 0 , b 0 e c 0 e os remanecenstes associados com a resposta a deforma¸cão. Assim, a equa¸cão (1.27) é decomposta como: x ≡

ψ x (x) = a 0 +

   n1

p=1 n2

ψ y (x) = b 0 +

a p P  pa = P lT bl + pbT b,

p=1 n3

ω(x) = c0 +

a p P  pa = P lT al + paT a,

(1.28)

a p P  pa = P lT cl + pcT c,

p=1

onde

pa =





x,y, x2,xy,y 2 , x3 , x2 y,xy 2 , y 3 ,...

T

, pb e pc similarmente,

a = {a1, a 2 , a3 , a4, a5, a6 , a7 , a8 , a9 , ...}T , sendo b e c análogos. As dimensões de a, b e c são n1 , n2 , n3 respectivamente, assim como para pa, pb e pc . n1 ,

13

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

n2 , n3 são as quantidades de coeficientes associados com as deforma¸co˜es. Primeiramente, considerando um laminado simétrico, as rela¸ co˜es cinem´ aticas para a mudan¸ca da curvatura s˜ ao dadas por: κx =

∂ψ x , ∂x

κy =

∂ψ y , ∂y

∂ψ x ∂x

+

γ xz = ψ x +

∂ω ∂x

κxy =

∂ψ y , ∂y

(1.29)

as deforma¸cões devido ao cisalhamento como: ∂ω ∂y

γ yz = ψ y +

e

(1.30)

a rela¸cão linear elástica do laminado de forma compacta resulta em M = Dk, ou seja;

     

     

M x D11 D12 D16 M y = D12 D22 D26 M xy D16 D26 D66

as for¸cas transversais cisalhantes como sendo: Qy D44 D45 = D45 D55 Qx

κx κy κxy

,

γ yz , γ xz

(1.31)

(1.32)

e, por fim, as equa¸cões de equil´ıbrio (1.13) se reduzem as u´ltimas três, como sendo: Rz =

∂Q x ∂x

+

∂Q y ∂y

Rmx =

∂M x ∂x

+

∂M xy ∂y

− Qx = 0,

Rmy =

∂M xy ∂x

∂M y ∂y

− Qy = 0.

+

+ q z = 0, (1.33)

Quando os deslocamentos em (1.28) s˜ ao utilizados em (1.29)-(1.33) obtêm-se três polinˆ omios, caso a carga q z em (1.331 ) também seja um pilinômio de grau d, sendo: nqz

q z (x) =



ds P sq = d T pq .

(1.34)

s=0

Os coeficientes de cada monˆ omio é zero em (1.33), o que gera um conjunto de n equa¸cões em termo dos coeficientes de deslocamento. Rmx , Rmy e Rz geram n , n2 e nz equa¸co˜es, respectivamete. As equa¸cões obtidas por R z for¸cam n qz a ser limitado, ou seja, nqz < nz . Este resultado, organizado em forma matricial é dado por: 11

1

MC = −f ,

(1.35)

onde C e f são os deslocamentos e coeficientes do carregamento, organizados na forma:

C =

   a b c

n12 ×1

e

f =

 

0n 0n dnqz

1

1×

1

2×

0(nz

1

×

nqz )×1

−

 

, n11 ×1

(1.36)

14

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

onde n11 = n 1 + n2 + n3

e

n12 = n 1 + n2 + n3 > n11 ,

(1.37)

e M é uma matriz n11 × n12 . Notas-se que a matriz C é definida apenas pelos coeficientes de deforma¸cão, a , b e c, não contendo nenhum coeficiente de movimento de corpo r´ıgido, a0 , b0 e c0 . O sistema (1.35) apresenta as seguintes particularidades: 1. Na forma¸cão de M nota-se que o equil´ıbrio requer uma rela¸cão entre as rota¸co˜es ψ x e ψ y (na e nb ) e os deslocamentos ω, nc . De fato, é necess´ ario que: na < nc e nb < nc.

(1.38)

No presente desenvolvimento as seguintes rela¸cões são arbitr´ arias: na = n b = n c − 1;

(1.39)

2. Devido a rela¸caõ (1.39), M é retangular com n 11 < n12; 3. Rank (M) = n 13 < n11 ; 4. O vetor for¸ca no sistema linear (1.35), f , está contido no espa¸co coluna de M se o grau do carregamento transversal nqz é limitado por nqz < na . Esta afirma¸cão é identificada testando se Rank ([M f ]) = Rank (M) = n 13 para alguns conjuntos de coeficientes em f . A nota¸cão [M f ] significa que a matriz é formada adicionando o vetor f em M , formando uma matriz n11 x(n12 + 1). O sistema algébrico (1.35), no entanto, é um sistema indeterminado que possui mais vari´ aveis que equa¸co˜es. Entre as inc´ ognitas, escolhe-se um conjunto de coeficientes dependentes g de dimensão n12 × 1 (de mesma dimensã o de M) e gerando assim, a matriz A de dimensão n11 × n13 , coletando as colunas correspondentes a g em M. As colunas remanecentes em M formam a matriz F de dimens˜ ao n11 × n4 (n4 = n12 − n13 ). O vetor coeficiente C também é particionado:

 

   

A F

C =

g = −f , h

M = A F ,

g = h



(1.40)



Coef icientes dependentes Coef icientes independentes

.

Assim, o sistema (1.35) toma a forma particionada como sendo:

Ag = −Fh − f ,

n11 equa¸cões.

(1.41)

O conjunto h (ou g ) é escolhido de maneira tal que as corespondentes colunas em A tornam a matriz com posto completo, ou seja, Rank (A) = Rank (M) = n 13 .

15

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

O próximo passo de desenvolvimento, consiste em resolver numericamente o problema (1.41) para os coeficientes dependentes g em termo de h. O procedimento numérico para obten¸ cão dos resultados é: 1. Pré-multiplicar (1.41) por AT , formando o problema A g = −Fh − f , computando assim, ◦

◦

A = A T A, F = AT F e f = A T f ; ◦

(1.42)

◦

Agora o problema é definido pela matriz A de dimens¸cão n 13 × n13 , simétrica, quadrada e com posto completo ◦

2. Fatorizar A = LDL T , onde L e D sã o a matriz triangular inferior (lower triangular matrix ) e a matriz diagonal (diagonal matrix ) obtida através da fatoriza¸caõ de Gauss. ◦

3. Resolver o sitema (1.43) para n4 + 1

An ◦

n13 [A

13 ×

f ]n

(n4 +1) .

= [F f ]n ◦

(n4 +1)

13 ×

13 ×

(1.43)

4. Os coeficientes dependentes s˜ ao obtidos pela combina¸cão linear com os coeficientes independentes como:

g = −Ah−f .

(1.44)

Esta solu¸cão é naturalmente particionada na forma:

    a

g |n gb |n gc |n

1

8×

1

9×

1

10 ×

assim, observa-se que:

n13 ×1



a

A |n = − Ab |n c A |n

n4

8×

n4

9×

n4

10 ×

         ha |n hb |n hc | n

a

1

−

1

6×

1

7×

f |n b f |n c f |n

1

8×

5×

n4 ×1

1

9×

1

10 ×

,

(1.45)

n13 ×1

n8 + n9 + n10 = n 13 , n5 + n6 + n7 = n 4 , n5 + n8 = n 1 ,

(1.46)

n6 + n9 = n 2 , n7 + n10 = n 3 , onde ha, hb e hc são os coeficientes independentes coletados de h, que são partes de a,b e c, respectivamente. ga, gb e gc são os coeficientes dependentes coletados de g, que são partes de a,b e c, respectivamente.

16

1.3. Revis˜ ao Bibliogr´ afica Preliminar

Em seguida, os coeficientes de deforma¸ caõ particionados nos deslocamentos generalizados (1.28), são separandos em monˆ omios de acordo com a separa¸cão de coeficientes dependentes e independentes em (1.45), sendo:

         aT

pah , pag

ψ y (x) = hbT gbT

pbh , pbg

ψ x (x) = h

aT

cT

ω(x) = h

g

g

(1.47)

pch . pcg

cT

Ao se substituir os coeficientes dependentes de (1.45) em (1.47), obtêm-se para ψ x e ω, por exemplo:

 

aT ..

aT ag pah − f p , pag

aT

ψ x(x) = h . −h A T

    ch

p pcg

ω(x) = hcT ... −hT AcT

(1.48) cT

− f pcg .

Uma vez que os coeficientes ha, hb e hc estão contidos em h, pode-se obter uma nota¸cão mais adequada definindo Ta , Tb e Tc como matrizes de transforma¸cão, têm-se que:



pah a a ag = T p , p



pbh b b bg = T p p



pch c c cg = T p , p

e

(1.49)

Ta , Tb e Tc possuem dimensão n1 × n1 , n2 × n2 e n3 × n3 , respectivamente. As matrizes de transforma¸cão simplesmente alteram a ordem dos monˆ omios pa, pb e pc . Após algumas opera¸co˜es, obtêm-se a seguinte formula¸caõ para os deslocamentos:

           

ψ x (x) = h

T

aT

a

[A T ]p da (x)

     

a

aT

− f pag ,

bT

ψ y (x) = h T [AbT Tb ]pb − f pbg , db (x)

(1.50)

cT

ω(x) = h T [AcT Tc ]pc − f pcg dc (x)



onde A é o termo do lado direito dos parênteses em (1.48), para a, b e c, respectivamente. Assim, pode-se rescrever (1.50) em forma compacta, como sendo:

u(x) =N(x)h − ub (x),

(1.51)

17

1.4. Atividades e Cronograma

onde:

  

ψ x(x) ψ y (x) ω(x)

             =

aT

d (x)

f pag

dbT (x) h−

f pbg

dcT (x)

f pcg

aT

bT

cT

N

  

.

(1.52)

Assim, a partir de (1.51), a mudan¸ca de curvatura κ associada ao vetor de coeficientes h e h é representada como κ = B f h − κq , que representa: l

 

   

κx κy = κxy

1 2

daT dbT bT daT ,y + d,x

 

    

h−

1 2

aT ag

  

f p bT f pbg aT bT bg f pag ,x + f p,y

,

(1.53)

onde (.),x = ∂ (.)/∂x. De forma similar, a deforma¸caõ devido ao cisalhamento é dada por γ = B s h − γ q , sendo:



bT

cT

aT γ yz dbT + dcT f pbg + f pcg ,y + d,x ,y = aT aT ag cT cg cT bT h− d + d,x + d,y γ xz f p + f p,x

.

(1.54)

Pode-se ent˜ ao, introduzir as expressões (1.53) e (1.54) na formula¸caõ dos Princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais (PTV) que dá in´ıcio ao método de elementos finitos h´ıbrido aplicado a placa de Mindlin e assim, desenvolver a formula¸cão para o MEF-HT.

1.4

Atividades e Cronograma

Em qualquer projeto, seja na ind´ ustria ou academia, o planejamento é fundamental. Define-se então as etapas, tarefas e prazos a serem seguidos. De forma geral, as atividades podem ser listadas da forma: 1. Estudo do método de elementos finitos h´ıbrido-Trefftz; 2. Estudo da teoria cl´ assica de placas; 3. Estudo sobre fun¸cões polinomiais de Trefftz auto-equilibradas; 4. Implementa¸ cão computacional; 5. Análise de testes e casos propostos; 6. Documenta¸cão da atividade; 7. Corre¸co˜es de texto e formata¸cão da disserta¸caõ; 8. Apresenta¸caõ final.

18

1.4. Atividades e Cronograma

A rela¸cão temporal entre as atividades é apresentada na Tabela 1.1.

Ativ 1 2 3 4 5 6 7 8

1.4.1

2016 Nov Dez X X X X X X

X

Tabela 1.1: Cronograma de atividades 2017 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Ago

Set

Out

X X

X

X

Nov

X

Testes e casos propostos

Ao final da implementa¸caõ matem´ atica do FEM-HT, os seguintes testes são propostos para análise: 1. Compara¸caõ do erro e norma de energia FEM Convencional x FEM-HT; 2. Compara¸caõ do erro e norma relacionados aos graus de liberdade do problema (Ngl.); 3. Avaliar os erros pontuais em tens˜ ao; 4. Avaliar diferentes resultados quanto a ordem dos polinˆ omios de aproxima¸caõ (nc 5 ,7 ,9 e 11); 5. Avaliar o erro na continuidade de deslocamentos e for¸ cas entre elementos; 6. Avaliar diferentes graus das fun¸cões de forma de interface N(x) (fun¸cões lagrangeanas lineares e/ou quadr´ aticas).

Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Jirousek, J. Basis for development of large finite element locally satisfying all field equations. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng ., 14, pp.65-92, 1978. [2] C. A. Brebbia, S. Walker. Boundary element techniques in engineering. 1a ed. London: Bytterworth & Co. Ltd, 1980. [3] Brebbia, C. A., Telles, J. C. F., Wrobel, L. Basic Principles and Applications. 1 ed. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1984. ◦

[4] Garcia, Oscar, Fancello, Eduardo A., Barcellos, Clovis S De., Duarte, C Armando. hp -Clouds in Mindlin’s thick plate model. Int. J. Numer. Meth. Eng., 47(8), pp.1381-1400, 2000. [5] de Barcellos, C. S., de Tarso R. Mendon¸ca, P., and Duarte, C. A. A Ck continuous generalized finite element formulation applied to laminated Kirchhoff plate model. Comput. Mech. 44(3), pp. 377-393, 2009. [6] Mendon¸ca, P. D T R, Fancello, E. A., Fundamentos de Mecânica dos S´ olidos Computacional. 2015. [7] Onate, E.. Structural Analysis with the Finite Element Method. Linear Statics.Volume 2. Beams, Plates and Shells. Artes Gráficas Torres S.A., Barcelona, 2013. [8] Mendon¸ca, P. D T R, De Barcellos, Clovis S.,Torres, D. A F..Analysis of anisotropic Mindlin plate model by continuous and non-continuous GFEM. Finite Elements in Analysis and Design   47(7), pp. 689-717, 2011. [9] Mendon¸ca, P. T. R. Materiais compostos e estruturas-sandu´ıche: projeto e análise. Ed. Manole, SP, 2005. [10] Reddy, J. N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis. Oxford University Press, USA, 2004. [11] Trefftz E.. Ein Gegenstuck zum ritzschen Verfahren. Proc, 2nd Int. Cong. Appl. Mec., Zurich, pp. 131-37, 1926. [12] Jirousek, J., Leon, N. A powerful finite element for plane bending. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 12, pp. 77-96, 1977.

19

20 [13] Qin, Q-H. The Trefftz Finite and Boundary Element Method. Southampton: Wit Press, 2000. [14] Choo, Y.S.,Choi, N., Lee, B.C. A new hybrid-Trefftz triangular and quadrilateral plate elements. Applied Mathematical Modeling , 34, pp.14–23, 2010. [15] Jirousek, J.. Hybid Trefftz plate bending elements with p-method capabilities. Int. J. Numer. Meth. Eng., 24, pp. 1367–1393, 1987. [16] Qin, Q. H.. Hybrid Trefftz finite-element approach for plate bending on an elastic foundation. Applied Mathematical Modelling. 18(6), pp. 334-339, 1994. [17] Jirousek, J., Wroblewski, A., Szybinski, B. A new 12 DOF quadrilateral element for analysis of thick and thin plates. Int. J. Numer. Meth. Eng ., 38, pp. 619-2638, 1995. [18] Wang, H., Qing, Q.-H. Fundamental-solution-based finite element model for plane orthotropic elastic Bodies. Europan J. of Mechanic A/olis, 29 pp. 801-809, 2010.

Modelagem de problemas de flex˜ ao de placa anisotr´ opica via M´etodo de Elementos Finitos H´ıbridos usando fun¸c˜ oes de Trefftz polinomial

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