Modelado de un reactor CSTR

REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 15, N o 3, 97-112, 2008

Modelado de un reactor químico tipo CSTR y evaluación del control predictivo predictivo aplicando Matlab-Simulink Matlab-Simulink  Eliana Peña T., Aída R Pérez R., Ander J. Miranda, Miranda, José H. Sánchez L. Centro de Investigación y Tecnología en Automatización, Electrónica y Control (CITAEC), Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo. Venezuela  Email: [email protected], [email protected], [email protected], [email protected], anderjosemiranda@g [email protected], mail.com, [email protected] [email protected]

Resumen El propósito de este trabajo es el estudio de un reactor tipo tanque continuamente agitado (CSTR) a partir de su modelo matemático en variables de espacio de estado. Posteriormente, se utiliza el modelo no lineal para realizar unas pruebas de lazo abierto del sistema y por último se diseña su sistema de control predictivo por modelo (MPC), el cual se compara con una estrategia de control proporcional. Para ambos lazos de control se utilizó el modelo lineal representado a través de variables de estado. Palabras clave:  reactor químico, simulación en Matlab – Simulink, modelo lineal, modelo no lineal, variables de estado, control predictivo por modelo (MPC).

Modeling to a CSTR reactor and evaluation of a predictive control using Matlab-Simulink Matlab-Simulink Abstract The purpose of the present work is to study an exothermic continuous stirred-tank reactor, using its space state mathematical model. Later, an open-loop analysis is realized using a nonlinear model, and finally a Model Predictive Control (MPC) algorithm is designed and it’s compared with a proportional control algorithm. In both control loops the reactor space state linear model was used. Keywords: chemical reactor, Matlab – Simulink simulation, linear model, non linear model, state variable, model predictive control (MPC).

1. INTRODUCCIÓN Una reacción química es aquella operación unitaria que tiene por objeto distribuir de forma distinta los átomos de ciertas moléculas (reactantes) para formar otras nuevas (productos). El lugar físico donde se llevan a cabo las reacciones químicas se denomina reactor químico [1]. Los reactores químicos tienen como funciones  principales:

− Asegurar el tipo de contacto o modo de fluir de los reactantes en el interior del tanque, para conseguir una mezcla deseada con los materiales reactantes.

− Proporcionar el tiempo suficiente de contacto entre las sustancias y el catalizador, para conseguir la extensión deseada de la reacción.

− Permitir condiciones de presión, temperatura y composición de modo que la reacción tenga lugar en el grado y a la velocidad deseada, atendiendo a los aspectos termodinámicos y cinéticos de la reacción. Las características de no linealidad que presenta el reactor químico, así como su elevado retardo e interacción entre sus entradas y salidas hacen complejo el diseño de su sistema de control. El reactor químico tipo tanque con agitación continua (CSTR) es uno de los más usados en la industria química, debido a que  presenta ciertas ventajas que se derivan de la unifor-

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Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo midad de presión, composición y temperatura. Una de ellas es la posibilidad de ser operados en condiciones isotérmicas, aun cuando el calor de reacción sea alto. Esta característica es aprovechada cuando se desea que el reactor opere en intervalos pequeños de temperatura para reducir las reacciones secundarias que podrían degradar al producto o para evitar velocidades desfavorables.

Por tal razón, se parte del punto en que la mezcla ya ha alcanzado un nivel de temperatura para el cual la reacción genera calor (reacción exotérmica). Luego de que la reacción comienza a liberar calor, éste será retirado mediante la apertura de la válvula de agua fría de la chaqueta, con la finalidad de mantener la temperatura del reactor dentro del rango de operación que fije el  proceso.

Los reactores de tanque con agitación son reci pientes con un gran volumen, lo que proporciona un tiempo de residencia largo. Esto, unido a la naturaleza isotérmica del reactor, da como resultado que el reactor opere a una temperatura óptima y con un tiempo de reacción grande. Los reactores tipo CSTR se utilizan  preferentemente en sistemas de fase líquida a presiones bajas o medias. Pueden usarse cuando el calor de reacción es alto, pero sólo si el nivel de temperatura en la operación isotérmica es adecuado desde otros puntos de vista del proceso (como por ejemplo, que la temperatura no sea tan alta que ponga en riesgo la seguridad del reactor). También pueden emplearse para reacciones altamente exotérmicas y con altas velocidades de reacción, en cuyo caso se puede ajustar la velocidad de la alimentación y el volumen del reactor (etapa de diseño) a fin de eliminar el calor necesario  para que la masa reaccionante se mantenga dentro los valores de temperatura permitidos [1].

Los objetivos de control son: lograr una conversión adecuada del producto formado, y mantener al sistema operando alrededor de sus condiciones de estado estacionario. Estas condiciones de estado estacionario involucran distintas variables: concentraciones, nivel dentro del tanque, temperaturas, flujos. En este sentido, la conversión se ve reflejada en la concentración del producto, mientras que por otra parte es necesario asegurar, debido a la entrada continua de reactante al tanque, que no se produzca una acumulación tal que el nivel de la mezcla se desborde [1].

Debido a la importancia de estas unidades de  proceso y a lo costoso que implica su estudio a partir de plantas piloto, el presente artículo se enfoca en el diseño de un esquema de control para un reactor tipo tanque continuamente agitado y exotérmico, teniendo el modelo matemático y la simulación por computadora como puntos de apoyo para todo el desarrollo de dicho diseño.

2. DESCRIPCIÓN DEL PROCESO El modelo del reactor tipo tanque continuamente agitado estudiado se limita sólo a dos etapas: la primera etapa es la de formación de producto y la segunda la de retiro de calor, a través de una chaqueta. Por ser un proceso continuo, siempre existe entrada de reactante y salida de producto del sistema, por lo que el volumen en el tanque varía de acuerdo con el nivel de la mezcla. El modelo considera que el sistema ya está en operación, es decir que las fases de arranque y parada no son tomadas en cuenta para este estudio. 98

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Las variables a controlar, por tanto, son la tem peratura y el nivel dentro del tanque. Aun cuando el  primer objetivo de control debería ser la concentración del producto, la temperatura dentro del reactor proporciona una gran cantidad de información sobre la dinámica de la reacción y permite realizar mayores acciones correctivas que si se controlara directamente la concentración. Un control exhaustivo de la temperatura es fundamental para minimizar las pérdidas de reactante y producto. Además, en un sistema real, la medición de temperatura resulta mucho más fácil y menos costosa que la medición de concentración, la cual involucra el uso de analizadores. En cuanto al nivel, su importancia es bastante clara y no necesita mayores  justificaciones. Las perturbaciones del proceso que se van a considerar son: la concentración de entrada del reactante y el flujo de alimentación del reactante.

3. MODELACIÓN DEL REACTOR CSTR Para efectuar el control del reactor se utilizó dos modelos: el lineal representado por variables de estado y el modelo no lineal, el cual se obtuvo a partir de las ecuaciones diferenciales que describen su funcionamiento dinámico [2]. Debe tenerse presente que se trata de un proceso continuo y autoregulatorio, a excepción del nivel dentro del tanque, que constituye una variable de tipo integrante. Se realizaron las si-

Peña, Pérez, Miranda y Sánchez guientes consideraciones:

• La reacción es exotérmica, irreversible y de primer • • • •

• •

orden, del tipo A => B, donde A es el reactante, B el producto.  No se modela el tiempo muerto (retardo). Reactante y producto se encuentran en fase líquida. La densidad y capacidad calórica de la mezcla permanecen constantes, así como otras propiedades termodinámicas de reactante y producto. La transferencia de calor del tanque de reacción a la chaqueta es ideal, lo que indica que los efectos energéticos que ocurren entre la pared del tanque y de la chaqueta se suponen despreciables. El volumen de la mezcla varía proporcionalmente con el nivel de la misma. El volumen de la chaqueta es constante durante la fase de enfriamiento.

En la Figura 1 se muestra un dibujo ilustrativo del proceso, acompañado del sistema de enfriamiento tipo chaqueta.

les del sistema son tomados de un modelo de un reactor con agitación continua descrito en [2].

Balance de masa total: d (H

( t ) )

dt

= ⎛⎜ ⎝

⎞ Fo t − ⎛ ( ) ⎟ ⎜ A⎠ ⎝

1

⎞F t ⎟ ( ) A⎠

1

(1)

 

donde: H(t): nivel de la mezcla, pie. Fo(t): flujo volumétrico de alimentación, gpm. F(t): flujo volumétrico de producto, gpm. A: área de trasversal del tanque, pie2.

Balance de componente sobre A: d (V ( t ) C A ( t ) )  dt 

donde: V(t):  pie3. CAo(t): CA(t): K (T):

= Fo ( t ) * CAo ( t ) - F( t ) * CA ( t ) − V ( t ) * K(T ) * C A ( t )  

volumen de

 

(2)

la mezcla,

concentración inicial del reactante, lb mol/pie3. concentración final del reactante, lb mol/pie3. velocidad de reacción específica, min -1.

Balance de componente sobre B: d (V ( t ) C B ( t ) )  dt 

= - F ( t ) * CB ( t ) +

V ( t ) * K(T ) * C A ( t )

  (3)

donde: CB(t): concentración final del producto, lb mol/pie 3.

Ecuación para la velocidad de reacción específica: K ( T  )

=

Ko * e

− ( E / R T ( t ) )

(4)

donde: T(t): temperatura dentro del tanque, ºR. Ko: factor pre-exponencial de Arrhenius, min -1. E: energía de activación, Btu/lbmol. R: constante universal de los gases, R = 1.99 Btu/lb mol*ºR. Figura 1. Reactor tipo tanque continuamente agitado.

A continuación se muestran las ecuaciones que describen el funcionamiento del reactor tipo tanque con agitación continua. Adicionalmente los parámetros característicos constantes y las condiciones inicia-

Balance de Energía en el Reactor: d ( H (t ) T ( t ) ) 

1 1 = ⎛⎜ ⎞⎟ Fo ( t ) To ( t ) − ⎛⎜ ⎞⎟ F ( t ) T ( t ) −  dt ⎝ A⎠ ⎝ A⎠ (5) ⎛ μ  ATC  ⎞ ⎛ λ  ⎞ ⎜ A  ρ Cp ⎟ ( T ( t ) − T J ( t ) ) − ⎜ ρ  Cp ⎟ H (t ) K (T )CA (t )   ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo donde: To(t): temperatura de alimentación, ºR. TJ(t): temperatura de la chaqueta, ºR. ρ: densidad de la mezcla reaccionante, lb m/pie3. Cp: capacidad calórica promedio de la mezcla reac cionante, Btu/lbm*ºR. μ: coeficiente pelicular de transferencia de calor, Btu/h*pie2*ºR. ATC: área de transferencia de calor, pie2. calor exotérmico de reacción, Btu/lbmol. λ:

Balance de Energía en la chaqueta para la etapa de Enfriamiento: d ( T J  ( t ) ) dt

⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟ F J ( t ) (TJo ( t ) − T J  (t )) +  ⎝ V  J  ⎠ ⎛ μ  ATC  ⎞ ⎜  ρ  C V  ⎟ ( T ( t ) − T J  ( t ) )   ⎝  J J J  ⎠

(6)

Ecuación de la característica de flujo de las válvulas de control de salida de producto:  ρ  * g * H ( t ) 144 * gc * G

Antes de establecer el esquema de control que se aplicará al CSTR, es necesario tener en cuenta las siguientes consideraciones listadas a continuación y tomadas de [3, 4, 5]:

•

•

• •

(7)

donde: Vp(t): fracción de apertura de la válvula de salida de  producto, adimensional. Cv: coeficiente de dimensionamiento de la válvula, gpm/Psi0.5. g: aceleración de la gravedad, 32.2 pies/s2. gc: factor de conversión, 32.2 lb m-pies/lbf -s2. G: gravedad especifica del líquido que fluye a tra vés de la válvula, adimensional.

Ecuación de la característica de flujo de las válvulas de control de entrada de agua fría a la chaqueta: ΔPj Fj ( t ) = Cvj *Vpj ( t ) * (8) Gj

100

4. DESCRIPCIÓN DEL ESQUEMA DE CONTROL

• El proceso es autoregulatorio, a excepción del nivel

donde: FJ(t): flujo volumétrico de alimentación de la chaque ta, gpm. TJo(t): temperatura de alimentación de la chaqueta, ºR. ρJ: densidad del líquido dentro de la chaqueta, lbm/pie3. CJ: capacidad calórica del líquido dentro de la cha queta, Btu/lbm*ºR. VJ: volumen de la chaqueta, pie 3.

F (t ) = Cv * Vp ( t ) *  

donde: Vpj(t): fracción de apertura de la válvula de entrada de agua fría a la chaqueta, adimensional. Cvj: coeficiente de dimensionamiento de la válvu la, gpm/Psi0.5. caída de presión a través de la válvula, Psi. ΔPj: Gj: gravedad especifica del agua fría que fluye a través de la válvula, adimensional.

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• • •

• •

dentro del tanque, que constituye una variable de tipo integrante. El reactor es un sistema no lineal multivariable, con la particularidad de ser un sistema de fase no mínima, es decir, muestra la existencia de ceros en el semiplano derecho. Dada la complejidad del proceso, se trabajará con dos modelos: el modelo no lineal para la realización de las pruebas en lazo abierto y el modelo linealizado para el diseño del sistema de control. Existe una alta interacción entre las variables de entrada y salida del proceso. La reacción dentro del tanque es exotérmica, de  primer orden e irreversible, en la cual se forma un  producto a partir de un solo reactante, sin presencia de reacción secundaria. El proceso posee un sistema de enfriamiento con chaqueta que permite la remoción del calor generado por la reacción. El proceso modelado es continuo, por lo tanto los flujos de operación de entrada y salida son constantes. La etapa de carga inicial del tanque no se toma en cuenta para el estudio. Las ecuaciones del modelo que describen el comportamiento dinámico del sistema toman como condiciones iniciales los valores de estado estacionario del proceso. En el sistema de chaqueta sólo se modela la fase de enfriamiento, obviándose las etapas iniciales de calentamiento y llenado. El modelo no considera tiempo muerto ya que los datos proporcionados acerca de la reacción y el

Peña, Pérez, Miranda y Sánchez sistema físico no son suficientes como para esta blecer un valor adecuado que permita simularlo con el resto del proceso. •  No se incluye la modelación de las paredes del tanque por falta de parámetros adecuados que representaran en forma confiable su efecto sobre las variables del proceso. Los objetivos de control son: lograr una conversión adecuada del producto formado, y mantener al sistema operando alrededor de sus condiciones de estado estacionario. Las variables a controlar, por tanto, son la temperatura y el nivel dentro del tanque. Las salidas medidas son: la temperatura del reactor y el nivel de la mezcla dentro del tanque, ambas corresponden a mediciones primarias, dado que son las variables a ser controladas directamente. Sin em bargo, también resulta de interés conocer la dinámica de la concentración del producto y la temperatura de la chaqueta. En cuanto a las entradas, algunas de ellas se considerarán fijas y otras serán perturbaciones al sistema. De acuerdo a la siguiente clasificación se tiene:

Entradas fijas: − Temperatura de entrada del reactante. − Temperatura del agua fría a la entrada de la chaqueta. Perturbaciones: − La concentración de entrada del reactante. − El flujo de alimentación del reactante. Como variables manipuladas se consideran el flujo de salida del producto y el flujo de agua que entra a la chaqueta. Estos flujos son manejados variando la apertura de las respectivas válvulas asociadas, cuyas señales son establecidas por un sistema de control que determine el grado de enfriamiento requerido por el  proceso y la cantidad de flujo de salida de producto necesaria para mantener regulado el nivel dentro del tanque. A continuación, la Figura 2 muestra el esquema de instrumentación del reactor CSTR [6]. Se debe recordar que la idea principal de este artículo es realizar una comparación entre un control convencional y un algoritmo de control predictivo. Para tal efecto, en lo que respecta a ambos algoritmos de control, es necesario definir la operación de trans-

Figura 2. Diagrama de instrumentación ilustrativo para el reactor tipo tanque con agitación continua CSTR.

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Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo misores, convertidor I/P y elementos finales de control, ya que estos elementos serán considerados de manera similar para ambos casos. Lo que difiere en ambos casos es que en el control convencional la señal del transmisor va al controlador directamente y de ahí al convertidor y por último a la válvula. Mientras que en el control predictivo la señal del trasmisor la recibe el dispositivo de adquisición de datos y luego de procesar la data según el algoritmo MPC, la señal de control se toma de la salida del dispositivo de adquisición de datos y va al convertidor y de ahí a la válvula. Es decir, solamente se puede considerar que se sustituye el controlador por un dispositivo de adquisición de datos y una lógica de control predictiva. A continuación se realizará el análisis de los transmisores, el controlador, los convertidores y las válvulas que se utilizarán, tanto para el control convencional como para el predictivo [6].

4.1 Transmisor Tal como se observa en el diagrama de instrumentación de la Figura 2, existen dos variables a medir: la temperatura del reactor y la temperatura de la chaqueta. Para su medición se utilizarán dos transmisores electrónicos con salida estándar de 4 a 20 mA. El rango de los mismos se seleccionó de acuerdo a los máximos valores alcanzados por la temperatura en lazo cerrado. Al máximo valor de temperatura en el rango del transmisor se le asigna una señal de 20 mA y al valor mínimo del rango le corresponderá una señal de 4 mA.

ma ante dicho controlador, para lo cual se aplicará al sistema un control de tipo proporcional (P), otro de tipo proporcional – derivativo (PD) y por último uno  proporcional - integral - derivativo (PID). El controlador que mejor desempeño logre en el sistema será el seleccionado como estrategia de control convencional.

4.3 Convertidor I/P Se utilizarán dos convertidores de corriente a  presión (I/P) para convertir la señal eléctrica de los controladores a señales neumáticas para las entradas de las válvulas de salida de producto del reactor y de entrada de agua fría a la chaqueta, las cuales regulan, respectivamente, los flujos de salida de producto del reactor para el control de nivel del tanque y la alimentación de la chaqueta para el control de temperatura del reactor.

4.4 Válvulas 4.4.1 Tipo de acción La acción de las válvulas se seleccionó de acuerdo a las características del proceso para una falla segura: la válvula de salida del producto es de falla abierta ó aire para cerrar, ya que en caso de una falla en el suministro de aire, ésta permanece abierta, evitando con ello que la mezcla dentro del tanque se derrame lo cual conduce a una pérdida de materia prima y a una situación que atente contra la integridad del  personal a cargo del proceso y del sistema.

La ecuación que representará al transmisor consta sólo de una ganancia para convertir de temperatura (ºF) a corriente (mA) y su retardo se considera despreciable comparado con las constantes de tiempo del proceso.

La válvula de agua fría es también de falla abierta ó aire para cerrar, con el fin de mantenerla abierta en caso de falla y así poder retirar la máxima cantidad de calor exotérmico de reacción posible, y garantizar de igual manera la seguridad del personal y la estabilidad del sistema.

4.2 Controlador

4.4.2 Característica de flujo de las válvulas

Las señales de entrada y salida del controlador son eléctricas, en el rango estándar de 4 a 20 mA. El controlador es de acción inversa, esta acción se selecciona de acuerdo a la posición que deben tener las válvulas para una falla segura.

En el control del reactor tipo tanque están involucradas dos válvulas de control: una que regula el nivel dentro del tanque y otra para el flujo de entrada de la chaqueta. Para el control de nivel, la característica de la válvula más usada es la del tipo lineal; mientras que para el control de temperatura se debería utilizar una válvula de característica isoporcentual. Sin embargo, dado que la caída de presión a través de la

La estrategia de control convencional empleada se seleccionará dependiendo de la respuesta del siste102

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Peña, Pérez, Miranda y Sánchez válvula que regula el agua fría es constante, se puede utilizar en ese caso una válvula lineal [7]. De acuerdo con esto, se decidió utilizar válvulas lineales tanto para nivel como para temperatura.

4.4.3 Rango de operación y ecuaciones En la simulación se considerará que las válvulas  poseen un rango completo de apertura. La señal de salida para las dos válvulas es enviada por el controlador convencional o el dispositivo de adquisición de datos, según sea el caso y dependiendo de con qué estrategia de control se esté trabajando, de tal manera de que se realicen la regulación de las variables mani puladas (fracciones de apertura) que a su vez regulan los flujos de salida de producto y de agua en la chaqueta, respectivamente, para con ello lograr el control de nivel y temperatura en el reactor.

• Variables manipuladas: − Flujo de salida del producto (F(t)) − Flujo de agua fría a la chaqueta (Fj(t)) • Variables de salida: −  Nivel del tanque del reactor (H(t)) − Concentración del producto (Cb(t)) − Temperatura del reactor (T(t)) − Temperatura de la chaqueta (Tj(t))

4.5.1 Pruebas en lazo abierto Para las pruebas en lazo abierto del reactor tipo tanque con agitación continua, se implementó el modelo no lineal en MATLAB - Simulink por medio de  bloques de subsistemas. Se realizaron pruebas en lazo abierto con y sin ningún cambio en las variables de  perturbación o en las variables manipuladas.

Coeficiente de dimensionamiento para la válvula de salida de producto: Cv = 5.28 gpm/Psi 0.5

La Figura 3 indica la respuesta del sistema en lazo abierto sin cambios en sus variables de entrada o en las perturbaciones. Posteriormente en la Figura 4 se analiza el comportamiento ante un cambio de un 10% de incremento en una de las perturbaciones (concentración del reactante, C AO).

Coeficiente de dimensionamiento para la válvula de agua fría: Cvj = 9.86 gpm/ Psi0.5

Del análisis de las simulaciones mostradas en las Figuras 3 y 4, en lazo abierto, se concluye lo siguiente:

La justificación de la selección de estos valores no aparece detallada en este artículo, la misma sí está reflejada en el trabajo realizado por Pérez y Peña [9].

• Las gráficas anteriores indican con claridad la si-

4.4.4 Coeficientes de dimensionamiento

4.5 Esquema de Control En el análisis del modelo del reactor tipo tanque con agitación continua (CSTR) se concluye que las variables del proceso se van a clasificar de la siguiente manera:

• Perturbaciones: − Concentración de entrada del reactante (CAO(t)) − Flujo de entrada del reactante (Fo(t))

• Variables de entrada fijas: − Temperatura de entrada del reactante (To(t)) − Temperatura de entrada del agua fría a la chaqueta (Tjo(t))

tuación que tendría el proceso una vez que alcanzado el estado estacionario se le deje en lazo abierto. En la Figura 3 se observa que el nivel dentro del tanque permanece en sus condiciones de estado estacionario de 103.62 pies, mientras que las gráficas de las temperaturas siguen la tendencia de un sistema de segundo orden. En particular las temperaturas del reactor-chaqueta se regulan a un valor  por debajo del estado estacionario, debido a que la reacción se enfría porque el flujo que circula por la chaqueta no es controlado.

• La gráfica de la concentración del producto de la Figura 3 muestra que la concentración se estabiliza a un valor muy por debajo de su estado estacionario, como consecuencia de la acumulación de reactante dentro del tanque. Esto se debe a que la concentración del reactante se autorregula en un valor  por encima del estado estacionario.

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103

Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo 105

   )   e    i   p    (   e   u 104   q   n   a    t    l   e    d 103    l   e   v    i    N

102

0

   )    3   e    i   p 0.4    /    l   o   m 0.3    b    l    (   o    t   c 0.2   u    d   o   r    P 0.1    l   e    d  .   c 0   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

   )    F    º    ( 600   r   o    t   c 580   a   e    R    l   e    d 560   a   r   u    t 540   a   r   e   p   m520   e 0    T    )    F    º    (   a 600    t   e   u   q   a 580    h    C   a    l 560   e    d   a   r   u 540    t   a   r   e   p 520   m 0   e    T

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

Figura 3. Salidas del sistema en lazo abierto sin perturbaciones.

• En la Figura 4 se observa las salidas del sistema a lazo abierto y con un incremento en la concentración de entrada de un 10%, con lo que la temperatura del reactor presenta una respuesta inversa, ya que la temperatura crece hasta alcanzar un sobrepico considerable y luego decrece y se estabiliza a un valor alejado del valor de operación. La desviación notable de la temperatura de su valor de operación indica lo problemático de este tipo de respuesta  para el control de dicha variable y del reactor en general.

• Se observa un comportamiento parecido en la tem peratura de la chaqueta. La respuesta que indica la temperatura de la chaqueta es una consecuencia directa del comportamiento observado en la temperatura dentro del tanque: la cantidad de calor liberado por la reacción con el aumento excesivo de la temperatura y por consiguiente con el incremento en la velocidad de reacción, se hace mayor a la cantidad de calor que puede retirar la chaqueta, creando con ello la inestabilidad del sistema.

• La concentración del producto presenta un valor máximo que excede de 0.5 lb mol/pie3  y luego se 104

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ubica por encima de 0.5 lb mol/pie3 donde permanece. Este comportamiento es debido a la respuesta inversa, pues una vez alcanzado una conversión máxima por encima de 0.5 lb mol/pie3  la concentración decae porque el calor generado por la reacción es tal que tiende a ocasionar pérdidas en el producto.

4.5.2 Ley de Control En ambas estrategias de control (tanto la convencional como en el MPC) se va a considerar que, inicialmente, todas las variables del proceso se encuentran en sus valores de estado estacionario y que  posteriormente se van a producir las variaciones en las  perturbaciones. Las condiciones de estado estacionario del sistema están descritas en [2]:

4.5.2.1 Algoritmo de control convencional Se emplearon de forma separada los siguientes tipos de leyes de control clásico por realimentación, control proporcional (P), proporcional – derivativo (PD) y proporcional – integral – derivativo (PID). Las acciones de control convencional se describen en [8].

Peña, Pérez, Miranda y Sánchez 105

   )   e    i   p    (   e   u 104   q   n   a    t    l   e    d 103    l   e   v    i    N

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0

   )   e    i   p 0.8    /    l   o   m    b    l    ( 0.6   o    t   c   u    d   o   r 0.4    P    l   e    d  .   c 0.2   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   3

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   )    F    º    ( 800   r   o    t   c   a   e 700    R    l   e    d   a   r 600   u    t   a   r   e   p   m500   e 0    T    )    F    º    (   a 800    t   e   u   q   a    h 700    C   a    l   e    d 600   a   r   u    t   a   r   e   p 500   m 0   e    T

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

Figura 4. Salidas del sistema en lazo abierto y con 10% de incremento en Cao.

4.5.2.2 Algoritmo de control predictivo Como se especificó en secciones anteriores, la ley de control que se utilizará en el reactor tipo tanque continuamente agitado está basada en un algoritmo  predictivo por modelo. Dicho algoritmo consiste en  predecir la salida futura de un proceso para un cierto  período de tiempo denominado horizonte de predicción. Posteriormente se realiza una comparación con la salida deseada y se determinan los cambios necesarios en la salida del controlador (horizonte de control)  para regular la futura desviación de la señal de salida respecto al valor deseado [9]. Para la evaluación del control del reactor se utiliza el modelo linealizado ex presado en variables de espacio de estado, el cual está ajustado para las condiciones de operación de estado estacionario del proceso no lineal previamente establecidas en [10].

está basada en distintos comandos y funciones que  permiten diseñar y probar controladores basados en la teoría de Control Predictivo. De los comandos que contiene la Toolbox de  MPC   para el diseño de controladores, se seleccionó el comando scmpc, el cual simula los sistemas de lazo cerrado usando los modelos en un formato especial de la misma herramienta, llamado formato mod , la cual es una forma compacta de almacenar el modelo de un sistema lineal para su uso  posterior con las funciones de la Toolbox de  MPC . El comando scmpc resuelve un problema de optimización mediante programación cuadrática. El mismo simula el desempeño del tipo de sistema mostrado a continuación, con ó sin limitaciones sobre las variables mani puladas y/o salidas. Para el caso bajo estudio, no se consideran restricciones en las entradas ni en las salidas [11, 12]. La Figura 5 ilustra cómo el comando scmpc simula el desempeño genérico de un proceso.

Debido a que esta técnica hace un amplio uso del álgebra matricial, para el diseño del controlador se utilizará la Toolbox de  MPC   de MATLAB, la misma

El modelo del reactor tipo tanque no posee perturbaciones no medibles ni ruidos en la medición; por tal razón el diagrama anterior fue adaptado al proceso Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008

105

Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo  bajo estudio, a fin de poder realizar el control del mismo por medio del comando scmpc. Esta adaptación se muestra en la Figura 6.

4.5.3 Resultados de la simulación en lazo cerrado 4.5.3.1 Resultados con el control convencional Se calcularon los parámetros del controlador de

acuerdo con las fórmulas para ajustes óptimos según el método de las oscilaciones continuas de Ziegler y  Nichols para cadena cerrada. A continuación se aplicaron los modos proporcional (P), proporcional - derivativo (PD) y proporcional - integral – derivativo (PID), a fin de observar los resultados aportados con los parámetros de control dados en la Tabla I [3, 8]. La Tabla I a continuación indica los parámetros

Figura 5. Diagrama representativo de un sistema en lazo cerrado para el comando scmpc.

Figura 6. Diagrama representativo adaptado al sistema en lazo cerrado del CSTR para el comando scmpc. 106

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Peña, Pérez, Miranda y Sánchez de los controladores utilizados en los lazos de control de nivel y de temperatura del reactor CSTR. A continuación se realizaron simulaciones y se analizó cuál es la mejor respuesta del sistema para seleccionar cuál de las acciones de control convencional es la más conveniente.

tado estacionario algo considerable, pero aceptable en comparación con las respuestas obtenidas con los otros controladores.

• Para el caso proporcional, se observa que las simulaciones son rápidas y estables. El sistema presenta una respuesta subamortiguada y se estabiliza rápidamente.

Del análisis de las simulaciones presentadas en las Figuras 7, 8 y 9, para los controladores P, PD y PID, se desprende lo siguiente:

• El término derivativo en los controladores PD oca-

• La acción proporcional sola genera un error de es-

siona más oscilaciones en el sistema y retarda la estabilización del mismo. Adicionalmente se obser-

Tabla 1. Entonación de parámetros de los controladores.

MODO

Controlador de Nivel PARÁMETROS VALORES

P PD

PID

Kc

10

Kc

3,3

Td

2,67

Kc

4

Ti

10

Td

3

Controlador de Temperatura MODO PARÁMETROS VALORES P PD

PID

Kc

4

Kc

4

Td

2

Kc

8

Ti

3

Td

4

Unidades de Kc: mA/mA. Unidades de Ti y Td: minutos.

105

   )   e    i   p    (   e   u 104   q   n   a    t    l   e    d 103    l   e   v    i    N

102

0

   )    3   e    i   p 0.3    /    l   o   m    b    l    ( 0.28   o    t   c   u    d   o   r 0.26    P    l   e    d  .   c 0.24   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

x 10

4

   )    F    º    ( 603   r   o    t   c 602   a   e    R    l   e    d 601   a   r   u    t 600   a   r   e   p   m 599   e 0    T

   )    F    º    (   a 596    t   e   u   q   a    h 595.5    C   a    l   e    d 595   a   r   u    t   a   r   e   p 594.5 3   m 0   e    T 4

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

Figura 7. Salidas del sistema ante la acción de controladores proporcionales.

Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008

107

Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo va que el error de estado estacionario se incrementa en comparación con la acción proporcional anterior.

•

 pruebas: la primera consiste en ocasionar una pertur bación en la concentración de entrada del reactante (CAO(t)) de un 10%, la segunda prueba consiste en  perturbar el flujo de entrada del reactante (Fo(t)) originando un incremento de un 20% y la última prueba consistió en perturbar de manera simultánea tanto la concentración como el flujo del reactante de entrada. Cabe destacar que el periodo de muestreo usado para la simulación del algoritmo de control predictivo es de 50 segundos, el horizonte de predicción y el de control son 12 y 4, respectivamente. La duración de la simulación es de aproximadamente 30000 segundos, la idea de escoger este tiempo es para comparar ambas estrategias de control y observar para que tiempos el sistema se estabiliza.

En la Figura 9 se muestra que anexar un término integral a ambos controladores produce respuestas más oscilatorias y con mayores sobrepicos, por lo que es desfavorable notablemente para el sistema.

En conclusión, con base en el análisis de las simulaciones anteriores, la acción de control proporcional es la que proporciona mejor desempeño sobre el sistema, aun cuando no permite eliminar el error de estado estacionario. Por lo tanto, se selecciona a la acción de control proporcional como la estrategia de control convencional para ser comparada con la estrategia de control predictivo.

A continuación se muestra en la Figura 10 las salidas del sistema ante un incremento de un 10% en la concentración de entrada del reactante C AO. Posteriormente se realizó un incremento de 20% en el flujo de entrada del reactante Fo, el cual se muestra en la Figura 11. Por último se observa en la Figura 12 la respuesta del sistema ante ambas perturbaciones simultáneas.

4.5.3.2 Resultados con el algoritmo de control predictivo Las pruebas de lazo cerrado del reactor tipo tanque continuamente agitado se realizan bajo la premisa de que el sistema ya se encuentra en estado estacionario y se perturba, para lo cual, se realizan tres tipos de

104

   )   e    i   p    (   e   u 102   q   n   a    t    l   e    d 100    l   e   v    i    N

98 0

   )   e    i   p 0.3    /    l   o   m    b    l    ( 0.28   o    t   c   u    d   o   r 0.26    P    l   e    d  .   c 0.24   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

   3

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

   )    F    º    ( 606   r   o    t   c   a   e 604    R    l   e    d   a   r 602   u    t   a   r   e   p   m600   e 0    T    )    F    º    (

  a 600    t   e   u   q   a    h 598    C   a    l   e    d 596   a   r   u    t   a   r   e   p 594   m 0   e    T

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

3 x 10

Figura 8. Salidas del sistema ante la acción de controladores PD. 108

Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008

4

Peña, Pérez, Miranda y Sánchez En las gráficas anteriores se observa que existe excelente regulación del nivel y de la temperatura del tanque y de la chaqueta. Sin embargo, la concentra-

ción del producto es más susceptible a los cambios ocasionados en la temperatura del reactor, por lo que llevarla a una condición especifica estable implica a su    )    F    º    ( 1200   r   o    t   c 1000   a   e    R    l   e    d 800   a   r   u    t   a 600   r   e   p   m 400   e 3    T 0

105

   )   e    i   p    (   e   u 104   q   n   a    t    l   e    d 103    l   e   v    i    N

102

0

1 2 tiempo (s)

   )   e    i   p 0.8    /    l   o   m    b 0.6    l    (   o    t   c 0.4   u    d   o   r    P 0.2    l   e    d  .   c   n 0   o 0    C

4

x 10

   )    F    º    (   a 6000    t   e   u   q   a    h 4000    C   a    l   e    d 2000   a   r   u    t   a   r   e   p 0 3   m 0   e    T 4

   3

1 2 tiempo (s)

x 10

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

Figura 9. Salidas del sistema ante la acción de controladores PID.

103.625

   )   e    i   p    ( 103.62   e   u   q   n   a 103.615    t    l   e    d    l 103.61   e   v    i    N

103.605

0

   )   e    i   p 0.29    /    l   o   m 0.28    b    l    (   o    t   c 0.27   u    d   o   r    P 0.26    l   e    d  .   c 0.25   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   3

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   )    F    º 600    (   r   o    t   c   a   e 599.995    R    l   e    d   a   r 599.99   u    t   a   r   e   p   m599.985   e 0    T    )    F    º    (   a 595    t   e   u   q   a    h 594.5    C   a    l   e    d 594   a   r   u    t   a   r   e   p 593.5   m 0   e    T

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 4

x 10

3 4

x 10

Figura 10. Respuesta del sistema ante un incremento de 10% en la concentración del reactante CAO.

Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008

109

Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo vez la optimización de este control, por ejemplo mediante un sistema de control adaptativo con algoritmo de control predictivo, como también puede ser el dise-

ño de un controlador con lógica difusa, o un controlador con lógica de redes neuronales o cualquier otra  programación de inteligencia artificial.    )    F    º    ( 600.4   r   o    t   c 600.2   a   e    R    l   e    d 600   a   r   u    t 599.8   a   r   e   p   m 599.6   e 3    T 0

104.2

   )   e    i   p    ( 104   e   u   q   n   a 103.8    t    l   e    d    l 103.6   e   v    i    N

103.4

0

   )   e    i   p 0.28    /    l   o   m    b    l    ( 0.26   o    t   c   u    d   o   r 0.24    P    l   e    d  .   c 0.22   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

x 10

   3

1 2 tiempo (s)

x 10

4

   )    F    º    (   a 595    t   e   u   q   a 594.8    h    C   a    l 594.6   e    d   a   r 594.4   u    t   a   r   e   p 594.2 3   m 0   e    T 4

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

Figura 11. Respuesta del sistema ante un 20% de incremento en el flujo de reactante Fo.

104.2

   )   e    i   p    ( 104   e   u   q   n   a 103.8    t    l   e    d    l 103.6   e   v    i    N

103.4

0

   )   e    i   p 0.27    /    l   o   m    b    l    ( 0.26   o    t   c   u    d   o   r 0.25    P    l   e    d  .   c 0.24   n   o 0    C

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   3

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

   )    F    º    ( 600.5   r   o    t   c   a   e 600    R    l   e    d   a   r 599.5   u    t   a   r   e   p   m 599   e 0    T    )    F    º    (   a 595    t   e   u   q   a    h 594.5    C   a    l   e    d 594   a   r   u    t   a   r   e   p 593.5   m 0   e    T

1 2 tiempo (s)

1 2 tiempo (s)

3 x 10

4

3 x 10

4

Figura 12. Respuesta del sistema ante incrementos simultáneos en las perturbaciones: 10% en C AO y 20% en Fo. 110

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Peña, Pérez, Miranda y Sánchez

5. CONCLUSIONES Del análisis del reactor tipo tanque con agitación continua se puede deducir:

• Se observa que ante las dos perturbaciones el proceso es más sensible a los cambios en el flujo de reactante.

• Se determinó que los máximos valores permisibles  para perturbaciones separadas y simultaneas son de ±20% para el flujo de reactante y ±10% en la concentración del reactante. La razón de estos valores es evitar que el algoritmo de control haga que las fracciones de apertura de las válvulas utilizadas tomen valores negativos ó mayores que uno.

• Además se demostró que variaciones en el período de muestreo por encima de su valor por defecto originan respuestas sobreamortiguadas, mientras que valores por debajo del mismo causan respuestas subamortiguadas u oscilatorias con la modificación que aumentan el sobrepico de las salidas. Si el  período de muestreo dt se aumenta por encima de 100 segundos la respuesta se vuelve inestable. Tampoco es conveniente utilizar un período de muestreo muy pequeño, (se recomienda utilizar valores por encima de 20 segundos, ó en todo caso,  por encima de 10 segundos), ya que el comando scpmpc trabaja en función de iteraciones. Mientras menor sea el período de muestreo y mayor el tiem po de la simulación, la cantidad de iteraciones a realizar por el comando se incrementará, pudiendo incluso interrumpirse el programa.

con ciertas oscilaciones en las señales.

6. REFERENCIAS [1] STEPHANOPOULOS, George (1984). Chemical Process Control (An Introduction to Theory and Practice). New Jersey, U.S.A. Prentice Hall. [2] LUYBEN, William (1990). Process Modeling, Simulation and Control for Chemical Engineers. U.S.A. Mc Graw Hill. Second Edition. [3] CORRIPIO, Armando (1990). Tuning of Industrial Control Systems. North Carolina, U.S.A. Instrument Society of America. [4] Bacic. M, Cannon, M y Kouvaritakis, B (2005). “Extension of efficient predictive control to the nonlinear case”. International Journal of robust and nonlinear control. www.interscience.wiley.com [5] Man Gyun Na (2001). “Auto-Tuned PID Controller Using a Model Predictive Control Method for the steam Generator Water Level”. IEEE Transactions on nuclear science, vol 48, Nº 5. [6] CREUS, Antonio (1998). Instrumentación Industrial. México. Alfaomega Grupo Editor. Sexta Edición. [7] SMITH, Carlos, A. Corripio (1999). Control Automático de Procesos (Teoría y Práctica). México. Editorial Limusa.

• El tiempo de simulación está íntimamente relacionado con la predicción, por tal motivo si éste toma valores muy elevados, se corre el riesgo de sacar al  proceso de control. No es posible realizar una predicción demasiado extensa, porque hace muy lento el programa, el cual resuelve el algoritmo predictivo mediante iteraciones sucesivas.

• El parámetro P  u horizonte de predicción se relaciona con los valores que toman los sobrepicos de las salidas, se comprobó que al aumentar P los so brepicos se elevan y viceversa.

• El parámetro  M   u horizonte de control tiene que ver con la forma en cómo decae la señal luego de haber alcanzado el valor máximo. Está relacionado

[8] OGATA, Katsuhiko (1993) Ingeniería de Control Moderna. México. Editorial Prentice – Hall His panoamericana S. A. Segunda Edición. Traductor: Bartolomé Fabián – Frankel. [9] Rawlings, James B (2000). “Tutorial Overview of Model Predictive Control”. IEEE Control Systems Magazine. [10] Pérez, Aída y Peña, Eliana (2001). “Simulación  para el Control de Reactores Químicos Tipo Tanque Continuamente Agitado y por Lotes”, Traba jo Especial de Grado, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela. Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 15, No 3, Diciembre 2008

111

Modelado de un reactor CSTR y evaluación del control predictivo [11] DESHPANDE, Pradeep B. (1989) Multivariable Process Control. North Carolina, U.S.A. Instrument Society of America. [12] MARLIN, Thomas (1995) Process Control (For Designing Processes and Control Systems for Dynamic Performance). U.S.A. Mc Graw Hill.

112

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