Modelado de Sistemas Electromecanicos

Modelado de Sistemas Electromecánicos Caso de estudio: Motores de Corriente Continua (CD ó CC) Motores Eléctricos

Subsistema Eléctrico Masa Subsistema Mecánico

Elasticidad  Amortiguamiento

 Aplicar principios eléctricos y Leyes Leyes de Newton para su modelado!!! En algunos dispositivos, la masa es sometida a una fuerza generada por el subsistema eléctrico (Motores, Cornetas) En otros, el movimiento movimiento de la masa genera un voltaje o corriente en el subsistema eléctrico (Micrófonos)

Motores de Corriente Continua (CD ó CC) El motor de corriente continua es una máquina que convierte la energía eléctrica en mecánica, principalmente mediante el movimiento rotatorio. Su fácil control de posición, paro y velocidad la han convertido en una de las mejores opciones en aplicaciones de control y automatización de procesos en aplicaciones de potencia (trenes y tranvías) o de precisión (máquinas, micro motores, robótica, etc.)

Se compone principalmente de dos partes: Un estator, que da soporte mecánico al aparato y tiene un hueco en el centro generalmente de forma cilíndrica. El rotor es generalmente de forma cilíndrica al que llega la corriente mediante dos escobillas.

Motores CC. El Rotor Constituye la parte móvil del motor, proporciona el torque para mover a la carga. Está formado por : Eje: Formado por una barra de acero fresada. Imparte la

rotación al núcleo, devanado y al colector. Núcleo: Se localiza sobre el eje. Fabricado con capas

laminadas de acero, su función es proporcionar un trayecto magnético entre los polos para que el flujo magnético del devanado (bobinado) circule. Devanado: Consta de bobinas aisladas entre sí y entre el núcleo de la armadura. Estas

bobinas están alojadas en las ranuras, y están conectadas eléctricamente con el colector, el cual debido a su movimiento rotatorio, proporciona un camino de conducción conmutado. Colector: Denominado también conmutador. Se encuentra sobre uno de los extremos del

eje del rotor, de modo que gira con éste y está en contacto con las escobillas. La función del colector es recoger la tensión producida por el devanado inducido, transmitiéndola al circuito

Motores CC. El Estator Constituye la parte fija de la máquina. Su función es suministrar el flujo magnético que será usado por el bobinado del rotor para realizar su movimiento giratorio. Está formado por :  Armazón: tiene dos funciones

primordiales : servir como soporte y proporcionar una trayectoria de retorno al flujo magnético del rotor y del imán permanente, para completar el circuito magnético. Imán permanente: Compuesto de material ferromagnético. Se encuentra fijado a la carcaza del

estator. Su función es proporcionar un campo magnético uniforme al devanado del rotor o armadura, de modo que interactúe con el campo formado por el bobinado, y se origine el movimiento del rotor como resultado de la interacción de estos campos. Escobillas: La función de las escobillas es transmitir la tensión y corriente de la fuente de

alimentación hacia el colector y, por consiguiente, al bobinado del rotor. Las escobillas están fabricadas se carbón y se encuentran alojadas en los portaescobillas. La función del portaescobillas es mantener a las escobillas en su posición de contacto firme con los segmentos

Motores CC. Principio Básico de Funcionamiento Cuando un conductor por el que fluye una corriente continua es colocado bajo la influencia de un campo magnético, se induce sobre él (el conductor) una fuerza que es perpendicular tanto a las líneas de campo magnético como al sentido del flujo de la corriente.

Para controlar el sentido del flujo de la corriente en los conductores se usa un conmutador que realiza la inversión del sentido de la corriente. La fuerza con la que el motor gira (el par motor) es proporcional a la corriente que hay por

Modelado de Sistemas Electromecánicos  Acopladores magnéticos Frecuentemente, las fuerzas y los torques son generados electromagnéticamente, a través de un campo magnético. Principios básicos que aplican a un conductor Una fuerza ejercida sobre el conductor, por el campo

F  =  BLi (1)

El campo induce un voltaje en el conductor que se opone al voltaje que produce la corriente Modelo del conductor

V b

=

 BLv

Masa del conductor y cualquier otra masa acoplada

F es la fuerza perpendicular al conductor y al campo, B es la densidad del flujo del campo, L  es la longitud del conductor, Vb es el voltaje inducido en el conductor por su velocidad v es

(2)

Modelado de Sistemas Electromecánicos  Acopladores magnéticos Potencia generada por el circuito

P = vbi (3)

Potencia aplicada a la masa

P = Fv (4)

Suponiendo que no existe pérdida de energía debido a resistencia en el conductor ó fricción ó acciones de amortiguamiento sobre la masa, entonces igualando (3) y (4), y usando (1) y (2):

vb i = Fv =  BLvi

(5)

 Además, en virtud de la Ley de Newton:

mv& = F  =  BLi

(6)

Modelado de Sistemas Electromecánicos El Galvanómetro El galvanómetro ó medidor D’Arsonval, es usado para medir la corriente. La corriente a medirse se pasa a través de un enrollado que tiene adjuntado un apuntador (aguja). El enrollado se coloca dentro de un campo magnético y es envuelto alrededor de un núcleo de hierro.

Cuando el flujo de corriente pasa, se produce un torque magnético que hace que el rodillo rote. El campo magnético producido se opone al campo del imán permanente y causa la rotación del núcleo. El núcleo es retenido por resortes para que la aguja se deflecte o mueva proporcionalmente a la intensidad de la corriente. Cuando la corriente se interumpe, el campo opositor desaparece y la aguja retorna a cero.

Modelado de Sistemas Electromecánicos El Galvanómetro L/2 es el largo de uno solo de los lados del enrollado B es la densidad del campo R es e radio del enrollado K  T es la ctte del resorte torsional L El galvanómetro ó medidor D’Arsonval, puede ser usado para medir la corriente. La corriente a medirse se pasa a través de un enrollado que tiene adjuntado un apuntador (aguja). El enrollado se coloca dentro de un campo magnético y es envuelto alrededor de un corazón de hierro.

Modelado del movimiento rotacional

τ 

=

Fr  = ( LBi )r  =   BLri (1)

El Torque que actúa sobre ambos lados del enrollado es: La aplicación de la 2da. Ley de Newton para el movimiento rotacional del eje es:

&& = −cθ & − K  θ  + τ  ⇒  J θ && + cθ & + K  θ  =  BLir   J θ  T  T  donde J es la inercia del corazón del enrollado.

(2)

Modelado de Sistemas Electromecánicos El Galvanómetro El modelo del circuito del enrollado contempla: R la resistencia del alambre del enrollado L es la inductancia del enrollado  Vi es el voltaje de alimentación que proporciona la corriente a medir  Vb es el voltaje inducido sobre el conductor Modelado de sistema eléctrico Recordando el voltaje inducido por la rotación:

V b

=

 BLv

(3)

 x = r θ  ⇒ v = r θ &

 Y la relación entre la velocidad lineal v y la velocidad rotacional: Entonces, sustituyendo (4) en (3): V b

=

 Aplicando al Ley de voltaje del Kirchoff: Sustituyendo (5) en (6):

 L

di dt 

+

 BLr θ &

(5)

V i − Ri − L

 Ri +  BLr 

(4)

d θ  dt 

di dt  =

−

V b

=

V i (7)

0

(6) (2) y (7) representan un modelo del sistema!!!

Motores CC El principio de funcionamiento de un motor CC es similar al de medidor D’Arsonval. Modelado de un motor controlado por armadura En este tipo de motor, el voltaje de la armadura (que contiene el devanado del motor) es la entrada del sistema y la corriente de armadura y la velocidad del motor son las salidas. Modelo Eléctrico del campo

Modelo Eléctrico de la armadura

Modelo del sistema mecánico

Motores CC La inercia J comprende tanto la inercia de carga como la inercia de la armadura. El amortiguamiento C es debido a la presencia de los rodamientos sobre el cual gira el eje, o al amortiguamiento de la carga. El torque externo de carga TL representa un torque adicional actuando sobre la carga y se opone al torque del motor. Ejemplo: el torque producido por la gravedad en una rueda en movimiento.

Motores CC El motor produce un torque proporcional a la corriente de la armadura: τ 

=

Fr  = (nBLia )r  = nBLria

=

K T ia

(1)

Donde n es el número de enrollados (embobinados) que tiene el motor y K  T es la constante de torque del motor y viene dada por diseño del fabricante. El voltaje inducido por la armadura, también llamado fuerza electromotriz ó  contraelectromotriz, es proporcional a la velocidad lineal:

V b  Y sabiendo que:

 x = r θ  ⇒ v = r θ &

=

nBLv (2) entonces: V b

=

nBLr θ & = (nBLr )ω  = K bω  (3)

Donde K b es la constante electromotriz del motor ó constante del voltaje. Observemos que K  T y K b son iguales. di  Aplicando al Ley de voltaje del Kirchoff al circuito de la armadura:  La a +  Ra ia + K bω  = V a dt   Aplicando la 2da. Ley de Newton al movimiento rotacional: (4)

&& = −cθ & − τ   J θ   L

+ τ  ⇒

&& + cθ & − K  i  J θ  T  a

= −τ  L

(5)

(4) y (5) representan un modelo del sistema!!!

Motores CC Modelado de un motor controlado por campo La corriente de la armadura se mantiene constante. El voltaje aplicado al campo se ajusta para variar la intensidad del campo magnético.  A diferencia con los motores de imán permanente este tipo de motor requiere de dos fuentes de poder, una pare el circuito de la armadura, para mantener la corriente constante a pesar del  voltaje inducido por el movimiento rotacional, y otra para el circuito del campo. Modelo Eléctrico del campo

Modelo Eléctrico de la armadura

Modelo Mecánico de la masa

Motores CC  Aplicando al Ley de voltaje del Kirchoff al circuito de la armadura:

 L f 

di f 

+

dt 

 R f  i f 

=

V  f 

(1)

El torque proporcional a la corriente de la armadura es: τ  = Fr  = (nBLia )r  (2) En este caso, la densidad del campo es una función no lineal de la corriente del campo I f  , entonces:  Aplicando la 2da. Ley de Newton al movimiento rotacional:

τ 

=

(nLia r ) B(i f  ) = τ (i f  )

&& = −cθ & − τ   J θ   L

Una aproximación lineal de la función del torque es: τ (i ) = K  i  f  T   f 

+ τ 

(i f  ) (4)

(5)

Donde K  T es la constante de torque del motor y es la pendiente de la función torque en el punto de operación del motor. Sustituyendo (5) en (4):

& = −cω  − τ  L  J ω 

+

K T i f  (6)

(3)

(1) y (6) representan un modelo del sistema!!!