Modelado de Cinetica de Fermentaciones

DESARROLLO DE HERRAMIENTAS DE CÁLCULO PARA LA INGENIERÍA DE ALIMENTOS. PROYECTO XI. 11 (RIBIADIR)

SUBPROGRAMA XI

PROGRAMA IBEROAMERICANO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA PARA EL DESARROLLO

CYTED

 TRATAMIENTO Y CONSERVACION DE ALIMENTOS

COORDINADOR INTERNACIONAL INTERNACIONAL PEDRO FITO MAUPOEY

HERRAMIENTAS DE CALCULO EN INGENIERIA DE ALIMENTOS- I II-TALLER 

Ed. Antonio Mulet Pons Carlos Ordorica Vargas José Bon Corbin.

UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD POLITECNICA DE VALENCIA (ESPAÑA) UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD DE LAS AMERICAS (PUEBLA, MEXICO)

MODELACIÓN DE SISTEMAS DE FERMENTACIÓN

Ordorica-Vargas, Carlos(1) y Salgado-Manjarrez, Edgar(2). Departamento de Garduados e Investigación en Alimentos. Becario COFAA. ENCB, IPN. Apartado Postal 75-568. México, D.F., (07300), México. (2) Departamento de Bioingeniería. UPIBI, IPN. (1)

RESUMEN Se presenta un programa de simulación dividido en dos módulos, que se ha desarrollado para facilitar el análisis que conduce al diseño y escalamiento de las fermentaciones en biorreactores tipo tanque agitado. El primer módulo permite analizar el comportamiento cinético de alguna fermentación en cultivo lote, lote alimentado lineal o exponencial, semicontinuo o continuo. Este módulo resuelve los modelos de estos cultivos, basados en una generalización de los modelos cinéticos no estructurados que se mencionan comúnmente en la literatura, y permite modificar interactivamente los parámetros cinéticos así como algunas condiciones de operación para realizar el análisis de la fermentación. El segundo módulo está orientado al análisis de los biorreactores tipo tanque agitado y se basa en un modelo que se propone en este trabajo y que divide al biorrreactor en tantos compartimentos como impulsores tenga. El módulo permite modificar interactivamente el diseño básico del reactor así como algunas de sus condiciones de operación, para diseñar un biorreactor o para hacer un estudio de mejoramiento o un escalamiento de un biorreactor existente.

BASE TEÓRICA El simulador BIORREAC fué desarrollado con base en una extensa revisión bibliográfica de los temas de ingeniería de fermentaciones y diseño de biorreactores tipo tamque agitado. A continuación se muestran la información en que se basa cada uno de los módulos que lo constituyen. Modelación de fermentaciones. Por modelación de una fermentación debe entenderse su descripción cinética, no únicamente al nivel del microorganismo, también al nivel del biorreactor. Para llevar a cabo esto es necesario desarrollar una ecuación de balance del tipo, (1) Velocidad de Acumulación = Velocidad de Transporte + Velocidad Neta de Conversión  para cada entidad dentro del biorreactor. Como se observa, es necesario contar tanto con información sobre la entrada y salida (el transporte) de la entidad en estudio e información sobre su consumo o  producción dentro del sistema. Esta última información es la micro-cinética del sistema y se muestra a continuación, la descripción del biorrreactor o macro-cinética se muestra posteriormente. Generalización de los modelos no estrucutrados del crecimiento microbiano. El crecimiento microbiano puede ser modelado con diferentes grados de complejidad. El tipo de modelos más utilizados son los modelos no estrucutrados, en los cuales se considera que, para representar el estado fisiológico de una población de microorganismos basta tomar en cuenta su velocidad específica de crecimiento, la cual puede representarse como una función sencilla de la composición del medio. Las entidades a modelar en una fermentación son, la biomasa, el sustrato limitante, el producto, el oxígeno y el calor fundamentalmente. A continuación se muestran los modelos que son considerados en el módulo de simulación de fermentaciones.

Cinética de crecimiento

Se propone la utilización de un modelo generalizado que permite hacer un gran número de combinaciones de diferentes modelos de afinidad por el sustrato, inhibición por el producto y la muerte de los microorganismo. Este modelo es, (2)  µ  = µ  oS k -k d 

donde  µ  o indica el tipo de inhibición del producto sobre la velocidad específica de crecimiento; S  K  indica el tipo de afinidad del microorganismo por el sustrato limitante y k d  indica la velocidad específica de muerte. Cada uno de estos términos se define de acuerdo a alguna de las ecuaciones del cuadro 1. Nótese que en ninguna de estas ecuaciones se consideran efectos de temperatura, pH, o sustancias inhibidoras distintas al producto o al sustrato limitante y que al incluir la velocidad de muerte se modela únicamente a la fracción viable de biomasa. Además, no se consideran sustratos múltiples o la existencia de más de un sustrato limitante. Cinética de producción

Puesto que el modelo de Luedeking y Piret puede ajustar a la gran mayoría de las curvas de  producción, se le consideró como un modelo generalizado. Sin embargo, en su forma original presenta una limitación: en una fermentación en que la producción es no asociada o parcialmente asociada al crecimiento, cuando la concentración de sustrato es cero o negativa, predice la generación de producto siempre que exista biomasa. Para corregir este problema basta hacer que el término correspondiente (β  ) dependa directamente de la concentración de sustrato. También puede ocurrir que el producto tenga efectos inhibidores sobre la producción. En la producción asociada, si existe tal inhibición, se considera directamente porque la producción depende directamente de r  X ; en la producción no asociada este efecto puede considerarse al incluir un término de inhibición que actúe sobre β  . Con tales modificaciones el modelo queda, (3) r = α r + β  X S ′   P

X

0

k

 

aquí β  0 y S’ k  están dadas por alguna de las ecuaciones que se muestran en el cuadro 2. Nótese que se supone que el sistema enzimático que actúa en producción asociada es diferente a aquel que actúa en la  producción no asociada y que puede entonces tener o no un comportamiento semejante. Cinética de consumo de sustrato

En este caso únicamente se utiliza un modelo por rendimientos. Este modelo es, r S  = −

r  X  Y  XS 

− m X  X −

β 0 X S  K  ′

(4)

Y  PS 

Cinética de oxígeno, calor y dióxido de carbono

Para estimar estas velocidades pueden utilizarse ecuaciones desarrolladas a partir de balances estequiométricos, estas son, (5) r O

=

( −r S ) 4

    M  M  ν s− Y  XS   S  ν x− Y  PS   S  ν  p   M S    M  X  M  P   

M O2

    M  M  rQ = rS Q0  ν s − YXS    S  ν x− Y  PS   S  ν  p   M  X  M  P      3

(6)

r CO2

 ax ' rX − as' ( − rS ) + ap' rP      X  = ' a CO    

(7)

2

Para su uso es necesario contar con la fórmula condensada del sustrato y el producto. Si no se desea hacer uso de las ecuaciones anteriores y se dispone de los valores prácticos,  pueden utilizarse rendimientos semejantes al de biomasa/sustrato, por ejemplo, pueden utilizarse las ecuaciones, (8) r  r O

=−

r Q

=

r CO2

=

 X 

Y  XO r  X 

(9)

Y  Xq r  X 

(10)

Y  XCO 2

Aplicación de los modelos a diferentes tipos de cultivos. Para obtener la descripción cinética de un biorreactor, o macro-cinética, es necesario aplicar una ecuación de balance de masa de la forma que tiene la ecuación 1 a la fase de reacción, usualmente la líquida. Para aplicar el balance se hace la consideración de que el mezclado es perfecto, lo que significa que la concentración de cierta entidad es igual en cualquier punto al interior del biorreactor dentro de la fase en que ocurre la reacción. De acuerdo a esto, al escribirse la ecuación 1 para un componente i se obtiene, (11) d  dt 

( Ci V ) = F0 Ci 0 − F Ci + Ri

El término del lado izquierdo de esta ecuación puede desarrollarse como una suma de diferenciales, por  lo que la ecuación puede escribirse como: (12) d  dV  V 

dt 

Ci = − C i

dt 

+ F0 Ci 0 − F Ci + Ri

y considerando dV/dt  ≅  F 0 - F , cuando la diferencia de densidad del medio es pequeña y despejando a C i, se obtiene, (13) d   F  dt 

C i =

0

V 

( Ci 0 − Ci ) + r i

donde r i es la velocidad volumétrica neta de generación de i (= R /V  ). Esta ultima ecuación es una i ecuación generalizada de balance a partir de la cual pueden desarrollarse las ecuaciones particulares  para cada tipo de cultivo. En esta sección únicamente se trata a la biomasa, el producto y el sustrato limitante, que se supone no es el oxígeno. Para los fines de diseño no es importante la macro-cinética del oxígeno y del calor, sólo su micro-cinética: que tan rápido se consumen o generan. En todo este trabajo se supone que sólo existe un sustrato limitante y que los demás nutrientes siempre se encuentran en exceso. Cultivo lote.

En este caso no existe caudal de alimentación ni de salida, por lo que la velocidad de

acumulación depende únicamente de la de generación. Con esto las ecuaciones de balance para la  biomasa, el producto y el sustrato quedan, (14) dX 

= r  X 

dt  dP  dt  dS  dt 

(15)

= r  P 

(16)

= r S 

Cultivo lote alimentado.

En este tipo de cultivo se presentan comúnmente dos variantes, una en la que el caudal de alimentación es constante por lo que el volumen aumenta linealmente, y otra en la que el caudal de alimentación se incrementa exponencialmente, de manera que la concentración de sustrato en el reactor  se mantiene constante y el volumen aumenta también exponencialmente. En ambas variantes no existe caudal de descarga.   Alimentación constante.

Si en la alimentación se introduce al sustrato limitante y, en caso necesario, a los otros nutrientes  para que estos no limiten el crecimiento, las ecuaciones de acumulación son, (17) dX   F  dt  dP  dt 

=−

=−

dS   F 0 dt 

=

V 

0

V 

 X

 F 0 V 

+ r  X 

(18)

 P + r  P 

( S0 − S ) + r S 

(19)

En este caso el volumen es variable y esta dado por, V

= Vi +

(20)

F0 t  

donde V i es el volumen antes de iniciar la alimentación y t  es el tiempo medido desde que se inicia la alimentación. Este cultivo alcanza, cuando el tiempo es suficientemente largo, un estado cuasi-estacionario en el cual la velocidad de dilución se iguala con la velocidad especifica de crecimiento  µ  , sin que estas sean necesariamente constantes.   Alimentación exponencial.

Como se mencionó, en este caso se desea mantener constante la concentración de sustrato, esto es, que su velocidad de acumulación sea cero, (21) dS   F 0 = ( S0 − S ) + r S  = 0 dt 

V 

así, despejando a F 0,

5

 F 0 = −

rS  V 

(22)

S0 − S 

Puesto que r S  varia con el tiempo, F 0 también es función del tiempo. La variación de volumen es, (23) dV  ( ) ( ) = F0 t ; V 0 = Vi   dt 

La acumulación de biomasa y producto se describe con las mismas ecuaciones que en caso lineal, utilizando el volumen dado para el caso exponencial. Cultivo semicontinuo.

En este modo de operación, también llamado lote alimentado cíclico o repetido, un cultivo lote alimentado, lineal o exponencial, se hace cíclico mediante la descarga o cosecha a intervalos de tiempo regulares alternado con tiempos de carga o alimentación. Durante las etapas de alimenta-ción, las ecuaciones de la sección anterior son aplicables. Durante las etapas de cosecha, la variación de volumen es, suponiendo que se descarga a velocidad constante, (24) V =V − F t   i

donde V i es el volumen al inicio de la cosecha y t se mide a partir de tal inicio. De manera semejante al caso del lote alimentado, esta operación semicontinua alcanza un estado cuasi-estacionario después de algunos ciclos. Cultivo continuo.

En este caso, se alimenta y cosecha medio al mismo caudal, de manera que el volumen se mantenga constante. Cuando se alcanza el estado estacionario, la velocidad de acumulación de cualquier elemento es cero y la ecuación de balance generalizada puede escribirse como, (25) D( Ci − Ci 0 )

= ri  

donde  D (= F 0 /V ) es la velocidad de dilución, esto es, que tan rápido se remueve el elemento del sistema. El inverso de la dilución es el tiempo de residencia teórico de cada elemento en el sistema. Modelación de biorreactores tipo tanque agitado. El modelo que se propone a continuación puede utilizarse con fines de diseño, escalamiento o mejora de un biorreactor. No se acopla el comportamiento cinético explícito del microorganismo con el modelo del reactor; en lugar de esto, se toman únicamente las demandas máximas del organismo y se estructura al modelo de manera que sea posible estimar las dimensiones básicas del biorreactor junto con las condiciones de operación necesarias para que satisfaga tales demandas. Obviamente esto conduce a un sobre-dimensionamiento de las condiciones de operación cuando el comportamiento del microorganismo está por debajo de los máximos. A pesar de esto el modelo es útil para los fines mencionados. Modelo de transferencia de masa. El modelo propuesto en este trabajo es un modelo de compartimentos, semejante a otros encontrados en la literatura (1,2,19,21,22). El modelo se muestra en la figura 1 y se basa en las consideraciones siguientes: 1. Considera al sistema en un estado seudo-estacionario, 2. Por cada impulsor existe una celda de mezclado que intercambia líquido con las celdas superior e inferior adyacentes, en una cantidad que es característica para cada tipo y tamaño de impulsor a una velocidad dada,

3. El gas se suministra al impulsor que se localiza sobre el fondo del tanque mediante un anillo aspersor y se supone que asciende en flujo pistón, por considerarse que el flujo descendente está conformado por burbujas tan pequeñas que rápidamente pierden todo el oxígeno que pueden transferir. 4. El mezclado en cada celda es perfecto. A continuación se definen las variables que se consideran el modelo y, en algunos casos, se muetran las ecuaciones que se utilizan para calcularlas. Es función de la columna superior de líquido sobre la celda y de la presión en el espacio superior. La presión ejercida por una columna de líquido de altura h L es, (26) p = ρ  h g    Presión manométrica en cada celda.

 L

L

La columna de líquido sobre algún punto del reactor es función del diámetro del tanque y del volumen superior de líquido, esto es, (27) 4 h L

=

π  DT 2

V  L,sup

El volumen de líquido sobre cada celda es, a partir de su centro, i

V

,sup L

=V

V  Li

− ∑V  Lj+

,L tot

(28)

2

 j =1

al combinar estas ecuaciones se tiene,  pi

=

pc

+

4 g  π  DT 2

  ρ  LV  

i

L , tot

− ∑V  Lj+  j =1

V  Li  

(29)

 

2  

Suponiendo que el gas se introduce a condiciones estándar de  presión y temperaura, el caudal en cada celda es función únicamente de la presión y la temperatura, si se desprecian las variaciones debidas al oxígeno y dióxido de carbono transferidos. Así, (30)     T  + 273   Caudal volumétrico de gas.

q Gi

 p

op

= qG 0   std         pi    273  

Fracción volumétrica de gas retenido.

Para cada celda se estima con alguna de las correlaciones

que mencionan los siguientes investigadores. * Hassan y Robinson (9). * Loiseau, Midoux y Charpentier (13). * Hughmark (11). La diferencia entre las diferentes estimaciones que puedan proporcionar estas correlaciones son de poca importancia, puesto que típicamente esta fracción es aproximadamente la misma en diferentes sistemas. Volumen de cada celda. Se calcula como el volumen total de líquido más un valor estimado de la fracción volumétrica de gas retenido entre el número de impulsores. Volumen de líquido en cada celda. Es igual al volumen de la celda menos la fracción retenida de gas en esa celda. 7

Se considera que es una fracción de la capacidad de bombeo de cada impulsor, esta fracción debe tomar en cuenta si es de descarga axial, radial o mixta, y en los últimos dos casos si es ascendente o descendente. Para cada uno de estos casos, se calcula como una fracción de la capacidad de bombeo, (31) 3 Caudal volumétrico de líquido transferido entre celdas.

q

Li

= Φ iFl iND i

donde Φ i es la fracción trasferida, la cual tiene un valor de 0.25 a 0.3 para las turbinas de disco y 6  paletas planas. Esto fue sugerido por Bader (1,2) debido a la falta de conocimiento al respecto. Es de esperarse que esta fracción sea función de la relación  D /D y de la distancia entre impulsores, sin i T  embargo, hasta la fecha no se dispone de alguna función de este tipo para algún tipo de impulsor. En el modelo, se consideran un valor de esta fracción para el flujo ascendente y otra para el descendente, que pueden ser iguales o no dependiendo del impulsor. El grado de interacción entre las celdas se calcula con un promedio arítmetico del flujo descendente de la superior y ascendente de la inferior.  Potencia aerada aplicada a cada celda. Esta potencia depende de la potencia no aerada, la cual depende, entre otras cosas, del tipo de impulsor y sus dimensiones. Para el impulsor al cual se alimenta el aire, la potencia aerada también es función del caudal de aire y otras variables; para los otros impulsores, es función de la fracción volumétrica de gas retenida. Para el impulsor sobre al cual se alimenta el aire, esta variable puede calcularse con alguna de las correlaciones que mencionan los siguiente investigadores. * Michel y Miller (16). * Hassan y Robinson (9). * Loiseaux, Midoux y Charpentier (13). * Luong y Volesky (14). * Hugmark (11). * Gray, Treybal y Barnett (8). * Warmoeskerken. Debe mencionarse que tales correlaciones se desarrollaron únicamente para sistemas con impulsores de turbina de disco y paletas planas, por esto, al utilizar alguna de estas para estimar el desempeño de otro tipo de impulsores puede obtenerse una sobre o sub-estimación. Para los otros impulsores, se presume que la dependencia con la fracción volumétrica de gas (18), válida para los impulsores de turbina, se mantiene. Lamentablemente, no se dispone de información para poder sugerir alguna de las correlaciones en particular para otro tipo de impulsor, por lo que el usuario del simulador debe decidir cuál ecuación utilizar. Este hecho hace resaltar la necesidad que existe de desarrollar correlaciones para impulsores diferentes a la turbina, las cuales seguramente existen, pero aún no han sido publicadas. Coeficiente volumétrico de transferencia de masa. Para cada celda se estima con alguna de las correlaciones que mencionan los siguientes autores. * Richards (2,3). * Van´t Riet (23). * Yagi y Yoshida (24). * Zlokarnik (25). *Moresi y Patete (17). Al igual que en el caso de la potencia aerada, la mayoría de estas correlaciones han sido

desarrolladas para impulsores de turbina. Sin embargo, de ser cierto lo que afirman van’t Riet (23) y Zlokarnik (25) sobre la independencia entre el k  La y el tipo de impulsor, podria usarse cualquier  correlación sin considerar el tipo de impulsor para el cual fué desarrollada. Concentración de oxígeno en el gas. Se obtiene utilizando la ecuación de balance de masa para la fase gaseosa en cada celda, (32)  YG pi   wG −1 YG −1 − wG YG − ( k L a) i V L   − O L  = 0 i

i

i

i

i

i

  Hei

i

 

el sistema de ecuaciones resultante debe resolverse simuláneamente con los balances de masa de la fase líquida. Concentración de oxígeno en el líquido. Se obtiene utilizando la ecuación de balance para la fase líquida, (33) Y p     G i q La −1 O L −1 + q Ld +1 O L +1 − ( q La + + q Ld  ) O L + ( k L a ) i VL   − O L  − VCO MáVx  L = 0 i

i

i

i

i

i

i

i

i

  Hei

i

 

i

en esta ecuación los superíndices a y d  indican ascendente y descendente. Para la primera celda el caudal descendente es cero (no se considera la descarga de medio) y para la última el flujo ascendente es cero. El sistema de ecuaciones resultante debe resolverse simuláneamente con los balances de masa de la fase gaseosa.  Modelo de transferencia de calor.

Debido a la dificultad para describir el patrón de flujo de manera que pueda influenciar  explícitamente alguna de las correlaciones disponibles para la transferencia de calor, el modelo utilizado en este caso consiste únicamente de un reactor agitado idealmente en el lado de proceso con las características de flujo dominadas por el impulsor de menor tamaño y, en el lado de servicio, de un canal con flujo pistón, a excepción del caso de la chaqueta sencilla, en que se considera como convección libre entre el líquido y una pared grande. Instrumentado de este modo, se espera que los resultados del simulador sean conservadores y que en todo caso conduzcan a una subestimación de la capacidad, pero no a una sobreestimación. Los coeficientes de película se calculan con alguna de las correlaciones, *Para el lado de proceso. Chilton, Dre y Jebens (4) o Rao y Murthy (12). *Para el lado de servicio. Sieder y Tate (15) o Pethukov.

ESTRUCTURA DEL PROGRAMA Y MÉTODOS NUMÉRICOS. Módulo de simulación de fermentaciones. Estructura del módulo. La información que requiere el módulo se captura a través de seis pantallas. El título y la información que se maneja en cada pantalla es, 1. Elección del tipo de cultivo. Se elige el tipo de cultivo para la simulación. Las opciones son lote, lote alimentado lineal, lote alimentado exponencial y continuo. A continuación se pregunta, en caso de haber elegido cultivo 9

lote alimentado, si se desea incluir también la fermentación por lote y si se desea operar  cíclicamente, esto es, de manera semicontinua. 2. Condiciones iniciales. Se capturan las condiciones iniciales para los cultivos Lote y Lote alimentado. Para los cultivos alimentados, incluyendo al continuo, se introducen las condiciones de la alimentación y, en el caso del cultivo semicontinuo, se introducen las condiciones de carga y descarga. 3. Introducción de parámetros. En esta pantalla se seleccionan los elementos que conforman a los modelos cinéticos y los valores de los parámetros. Estos elementos son los que aparecen en las ecuaciones 2 a 4 y en los cuadros 1 y 2. 4. Estimación del consumo de oxígeno, generación calor y de dióxido de carbono. Se pregunta si se desean estimar estas cinéticas con las ecuaciones estequiométricas (ecuaciones 5 a 7) o por medio de rendimientos (ecuaciones 8 a 9). De acuerdo a la elección se capturan los valores correspondientes de los parámetros. 5. Intervalo de tiempo o dilución e incremento de cálculo. Si el cultivo es dependiente del tiempo se introduce el intervalo para el cálculo y el incremento de cálculo. En el caso del cultivo continuo se introduce el intervalo de dilución para el cálculo y el incremento de cálculo. 6. Tipo de muestra (gráfica o numérica). Se pregunta cómo desean verse los resultados, si gráfica o numéricamente. En caso de elegir   presentación numérica, las variables presentadas por defecto son t, X, S, P, RO2, y RQ. En el caso gráfico, se tiene opción de utilizar de 1 a 5 escalas y de elegir las variables en cada escala. Las variables que pueden elegirse son (se muestran como deben ser introducidas): X, S, P, RO2, RQ, F0, V, D, u (para µ ), Rp, Rx y RCO2. Al terminar una corrida aparece una pantalla titulada "Menú de modificaciones", que permite elegir alguna de las pantallas anteriores para modificar los valores introducidos o las elecciones hechas  para volver a simular hasta encontrar lo que el usuario este buscando. El flujo de información del programa se esquematiza en la figura 2. Métodos numéricos. Los modelos de los cultivos lote, lote alimentado y semicontinuo consisten de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Según sea el modelo cinético elegido, cada una de las ecuaciones de acumulación puede ser función de la biomasa, el producto y el sustrato, de acuerdo a esto, el sistema mínimo de ecuaciones que debe resolverse es, dV  (34) = f 0 ( X , S, P , F0 , V )  dt  dX  dt  dS  dt  dP 

= f 1( X , S, P , F0 ,V ) 

(35)

= f 2 ( X , S, P , F0 , V ) 

(36)

= f 3 ( X , S, P , F0 ,V ) 

(37) Las condiciones iniciales de cada ecuación dependen del tipo de cultivo. La solución del sistema se obtiene por integración numérica con el método Runge-Kutta de 4º orden. Este método, como cualquier  otro método de integración numérica, puede volverse inestable cuando el incremento de cálculo no es suficientemente pequeño, por lo que se recomienda empezar la simulación con un incremento bastante  pequeño (del orden de 0.1 µ  máx). dt 

En el caso del cultivo continuo el sistema mínimo que debe resolverse es el sistema de ecuaciones de balance de X, S y P, el cual es un sistema no lineal que se resuelve con el método de   Newton-Raphson. Por la naturaleza de éste método, para algunas combinaciones de parámetros y modelos la solución puede ser trivial, i.e., no hay biomasa y el sustrato no se consume, esto no puede evitarse. A partir de la solución del sistema mínimo para cada tipo de cultivo se calculan el resto de las variables. Módulo para la simulación de biorreactores tipo tanque agitado. Estructura del programa La información que requiere el programa se captura a través de seis pantallas. El título y la información que se maneja en cada pantalla es, 1. Parámetros de diseño. Aquí se introducen los valores de diseño del reactor: el volumen de de operación, el máximo consumo volumétrico de oxígeno, la máxima velocidad de generación de calor metabólico y la concentración crítica de oxígeno del microorganismo. 2. Condiciones de operación. Aquí se introduce el caudal de aire introducido, la fracción mol que contiene de oxígeno, la temperatura de operación, la presión atmosférica, la presión en la cúpula y la velocidad de agitación. 3. Configuración del reactor. Aquí se introduce el diámetro del tanque, el número de impulsores, y el tipo, dimensiones, número de potencia, número de flujo y fracciones de flujo ascendente y descendente de cada impulsor. 4. Propiedades del medio de proceso. Aquí se introduce la densidad del medio, su conductividad térmica, su capacidad calorífica y, su viscosidad si es newtoniano o, si no es newtoniano, el esfuerzo de cedimiento, el índice de consistencia y el índice de flujo. 5. Propiedades y condiciones del fluido de servicio Constan de la temperatura de entrada y salida del medio de enfriamiento, su densidad, su viscosidad, su capacidad calorífica y su conductividad térmica. 6. Correlaciones para el sistema de agitación/aeración. Aquí debe elegirse alguna de las 11 correlaciones para la potencia aerada, alguna de las 4 para la fracción volumétrica de gas retenido y una de las 9 para el coeficiente volumétrico de transferencia de masa. 7. Sistema de enfriamiento. Aquí se elige el dispositivo de enfriamiento y se introducen sus dimensiones. También se captura la rugosidad absoluta del canal, la conductividad térmica del metal que separa al fluido de proceso y servicio y se elige alguna de las 4 correlaciones disponibles para el cálculo del coeficiente de  película de proceso y alguna de las 2 disponibles para el coeficiente de película de servicio. Los resultados del modelo de transferencia de masa se presentan gráfica o numéricamente para cada celda y sus promedios aritméticos, junto con algunos otros valores de importancia en el diseño, como la relación entre el k  La, la concentración crítica de oxígeno y concentración de equilibrio -a la que se llamó mayor k  La requerido para diseño. Para el modelo de transferencia de calor, los resultados se presentan numéricamente en el caso de la chaqueta sencilla y gráficamente en los otros casos. Se muestran los coeficientes de película interno y externo, el coeficiente global calculado, el requerido, el caudal de agua y otros valores de importancia en el diseño. 11

Al terminar una corrida aparece una pantalla titulada "Menú de modificaciones", que permite elegir alguna de las pantallas anteriores para modificar los valores introducidos o las elecciones hechas  para volver a simular hasta encontrar lo que el usuario este buscando. El flujo de información del  programa se esquematiza en la figura 3. El modelo de transferencia de masa se resuelve en dos partes. La primera parte resuelve mediante sustitución sucesiva el sistema de ecuaciones no lineales necesario para estimar el estado del reactor: la fracción de gas, el volumen de líquido, la presión, la potencia, el k  La, el número de Reynolds, etc., en cada celda. El simulador permite utilizar cualquiera de las correlaciones que se mencionaron para calcular la potencia aplicada, la fracción volumétrica de gas y el coeficiente volumétrico de transferencia de masa. El sistema que debe resolverse para cada celda tiene la forma (no se muestran los parámetros que son constantes): (38) p = f ( V , V ,... V   ) i

0

Li +1,

Li

Ln ,

q Gi = f 1 ( pi )

(39)

ϕ i = f2 ( qGi , VLi  )

(40)

V = Li f  3 ( ϕ  )

(41)

i

PGi = f4 ( qGi , VLi )

( k L a ) i = f ( PGi ,VLi , qGi ) 5

(42) (43)

La información sobre el estado del sistema se utiliza en la segunda parte del algoritmo de solución, que resuelve el sistema lineal de ecuaciones correspondiente a los balances de masa en la fase gaseosa y líquida (ecuaciones 32 y 33) con el método de Gauss-Jordan. En la figura 4 se muestra el algoritmo de solución del modelo. Métodos numéricos. Este modelo de transferencia no requiere de algún método numérico en especial. Según sea el dispositivo utilizado, se resuelve por alguno de los siguientes algoritmos: i) Chaqueta sencilla. Se calculan los coeficientes de película, los requerimientos y el caudal de agua que proporciona una velocidad promedio de 0.03 m/s. ii) Chaqueta con boquillas, chaqueta de tubería parcial y serpentín. Se calculan los caudales de agua que proporcionan un régimen turbulento, desde 10 000 a 100 000 en el número de Reynolds y después se calculan los coeficientes de película los requerimientos. iii) Chaqueta con mamparas. Se calculan los caudales que proporcionan el mismo régimen turbulento que en el caso anterior pero sin considerar el flujo anular, después se hace una corrección con el cálculo del flujo anular y se modifican los caudales originalmente calculados y después se calculan los coeficientes de película y los requerimientos. El área disponible para la transferencia se calcula, en el caso de las chaquetas, con, (44) A = π  D H   disp

T

L

y en el caso del serpentin, Adisp

=

(

)

nπ  2 r22ext  − rint2  

(45)

La diferencia de temperaturas disponible se calcula como una media aritmética en el caso de la chaqueta sencilla y chaqueta con boquillas de agitación y como una media logarítmica en los otros casos. Esta última es,

 LMTD =

(46)

T s,0− − T s,1 Topn − T s,1

ln

Topn

− T s,0

El coeficiente global de trasnferencia de calor requerido se calcula con, U Re q

=

(

PG ,tot

+

)

rQ ,má xVL  

(47)

( LMTD) A disp

MANUAL DE USUARIO DEL PROGRAMA. Para entrar al programa compilado basta teclear, biorreac

desde el prompt del sistema operativo. A continuación aparece la presentación del programa y después una breve explicación sobre su uso. Cada que en una presentación (la inicial, la explicación o los resultados) el programa se detenga debe presionarse para continuar. A continuación aparece un menú que pregunta que módulo se desea ejecutar. Para seleccionar  debe teclearse el número correspondiente o la letra que aparece entre los símbolos de mayor y menor  que . Los demás menús de selección que aparecen en el programa funcionan de la misma manera. En los casos en que es posible introducir varias opciones, cada una de estas debe estar seguida de una coma (,) o de un espacio en blanco. Cuando el programa solicita un valor debe introducirse siempre un número real como 1, 13.56 o 3.3e-2. El introducir formatos inválidos de números o letras puede provocar un error de ejecución en el  programa. Fuera de este detalle el programa es fácil de manejar.

EJEMPLO DE APLICACIÓN. Para ilustrar el uso del simulador se muestra a continuación la simulación de una fermentación de ácido cítrico y su escalamiento desde un biorreactor de 0.4 m3 a uno de 20 m3. Módulo de simulación de fermentaciones. Se consideró una cepa de hongos filamentosos productora de ácido cítrico con los siguientes  parámetros cinéticos: • µ  máx = 0.03 h-1, Y  XS  = 0.08, m X  = 0.005 h-1 • Afinidad por sustrato tipo Monod, K S  = 3 kg/m3, tanto en crecimiento como en producción. • Inhibición por producto tipo potencia.  P  L = 220 kg/m3 y n = 0.2, sobre el crecimiento y la  producción • Producción parcialmente asociada al crecimiento, Y  PS  = 1.05, α  = 5, β  = 0.1 h-1 Con estos parámetros se simuló su comportamiento en los siguientes cultivos: • Lote, con S(0) = 200 kg/m3, X(0) = 0.1 kg/m3, V  L= 1 m3 • Continuo con So = 200 kg/m3, V  L = 1 m3. Los resultados de estas simulaciones se muestran en la figura 6. La estimación del consumo de oxígeno y la generación de calor se realizó utilizando el grado de reducción de las sustancias. Módulo de simulación de biorreactores. Para ilustrar el uso de este simulador en el diseño y escalamiento se consideró el escalamiento de la fermentación de ácido cítrico de la sección anterior, con los demandas máximas calculadas por el 13

simulador de fermentaciones, a partir de un biorreactor piloto con un volumen de operación de 0.4 m3, un diámetro de 0.6 m, equipado con dos impulsores de turbina y paletas planas con un diámetro de 0.3 m, operando a 5 s-1 con un caudal de aire estándar de 6.67x10-3 m3/s. Se consideró como concentración crítica de oxígeno 0.0007 kg/m3 y como características reológicas el índice de consistencia igual a 5 Pa·sn y el de flujo igual a 0.3. Como dispositivo de enfriamiento se consideró una chaqueta sencilla. Los resultados del simulador para este sistema se muestran en la figura 5. El volumen al que se escaló fue de 20 m3, lo que equivale a un escalamiento de 1:50. El diseño  básico del biorreactor diseñado con el simulador es un reactor con un diámetro de 2.1 m, tres impulsores de turbina y paleteas planas con un diámetro de 1.1 m. Las condiciones de operación adecuadas para la fermentación son una velocidad de agitación de 1.67 s-1 y un caudal de aire estándar  de 0.33 m3/s. Los resultados del diseño se presentan en la figura 6. En ambas simulaciones se utilizaron las mismas correlaciones, que son, • Metzner y Otto para la velocidad de corte representativa • Loiseau y otros para la potencia gaseada en fluidos no newtonianos • Yagi y Yoshida para el k  La en fluidos no newtonianos • Hassan y Robinson para la fracción volumétrica de gas • Rao y Murthy para el coeficiente de transferencia de calor del lado de proceso • La de convección libre si el dispositivo en el caso de chaqueta sencilla y Sieder y Tate en el caso de chaqueta de tubería parcial. El diseño que se presenta como resultado de este escalamiento fué calculado de manera interactiva, como se explicó anteriormente. Puede observarse que corresponde aproximadamente a un escalamiento manteniendo la aeración y la potencia aplicada constantes, aunque el criterio seguido fué el de mantener la concentración de oxígeno disuelto sobre la concentración crítica de oxígeno. Para el sistema de transferencia de calor, se encontró que el uso de la chaqueta sencilla podría tener limitaciones en el biorreactor de 20 m3, puesto que con este dispositivo el coeficiente global de transferencia de calor disponible es ligeremente superior al requerido (426 contra 410 W/m2·K), por lo que se sustituyó por una chaqueta de tubería parcial que proporciona mayores coeficientes. Estos resultados se muestran en la figura 7.

NOMENCLATURA SÍMBOLO a

a'   A f   Ao

SIGNIFICADO

DIMENSIONES

Area interfacial por unidad de volumen

L-1

 Número de átomos de carbono contenidos en la biomasa (ax), el sustrato (as) o el producto (ap) Contenido de carbono en la biomasa (ap’ ), el sustrato ( as’ ) o el  producto (ap’ ) Área de flujo L2 Area de flujo anular  L2

b

 Número de átomos de hidrógeno contenidos en la biomasa (bx), el sustrato (bs) o el producto (bp) Altura de la chaqueta L

c C 

 Número de átomos de oxígeno contenidos en la biomasa (cx), el sustrato (cs) o el producto (cp) Concentración (genérica) ML-3

Cp

Capacidad calorífica

d   D

 Número de átomos de nitrógeno contenidos en la biomasa (dx), el sustrato (ds) o el producto (dp) Velocidad de dilución T-1

 De

Diámetro equivalente

L

 Di

Diámetro del impulsor

L

 DT 

Diámetro del tanque

L

 f 

Factor de fricción de fanning

 F   F 0

Caudal volumétrico de descarga Caudal volumétrico de descarga

L3T-1 L3T-1

hc hi h j

Coeficiente de película de transferencia de calor del serpentin Coeficiente de película de transferencia de calor de proceso Coeficiente de película de transferencia de calor de la chaqueta

MT-3θ MT-3θ MT-3θ

h L

Altura de una columna de líquido

L

 H  L

Altura de líquido en el biorreactor

L

 He

Constante de Henry

L2T-2

L2T-2θ

15

-1

-1 -1 -1

k  k d  k  L k  La

Conductividad térmica Velocidad específica de muerte Coeficiente de transferencia de masa en la película líquida Coeficiente volumétrico de transferencia de masa

MLT-3θ T-1 LT-1 T-1

 K d   K  P  ,K’  P   K S  ,K’ S   K SL ,K’ SL

Constante de velocidad de muerte Constantes de inhibición por producto Constantes de afinidad por el sustrato Constantes de inhibición por sustrato

T-1 ML-3 ML-3 ML-3

m X 

Constante de mantenimiento celular

T-1

M 

Peso molecular 

 N 

Velocidad de giro

T-1 (p.ej. s-1)

O L O L* Ocrít 

Concentración de oxígeno en el líquido Concentración de oxígeno en el equilibrio Concentración crítica de oxígeno

ML-3 ML-3 ML-3

 P 

Potencia

ML2T-3

 P G  P  L

Potencia gaseada Concentración de inhibición por producto

ML2T-3 ML-3

 P T 

Potencia total: por agitación y aeración.

ML2T-3

qG q L

Caudal volumétrico de gas Caudal volumétrico de líquido

L3T-1 L3T-1

Q

Cantidad de calor liberado

ML2T-3

r S  r O r  P  r Q r  X   R

Velocidad de cambio de S por unidad de volumen Velocidad de cambio de O por unidad de volumen Velocidad de cambio de P por unidad de volumen Velocidad de cambio de Q por unidad de volumen Velocidad de cambio de X por unidad de volumen

ML-3T-1 ML-3T-1 ML-3T-1 ML-1T-4 ML-3T-1

Velocidad de cambio

MT-1

S  S k  S o

Concentración de sustrato Tipo de afinidad por el sustrato Concentración de sustrato en la corriente de alimentación

MT-3

t 

tiempo

T

T S  T Opn

Temperatura del fluido de servicio. De entrada (0), de salida (1) Temperatura de operación (del fluido de proceso)

θ θ

U  Req

Coeficiente global de transferencia de calor requerido

MT-3θ

MT-3

-1

-1

vS  v j

Velocidad superficial del gas Velocidad en el canal

LT-1 LT-1

V i

Volumen inicial

L3

w j wl  wn

Caudal másico en un canal Caudal másico en un ánulo Caudal másico en la boquilla n

MT-1 MT-1 MT-1

 X 

Concentración de biomasa

ML-3

Y  PS  Y  XS  Y  Xq

Masa de producto generado/Masa de sustrato consumido Masa de microorganimos generada/Masa de sustrato consumido kg de microorganismos /Joules de energía liberados como calor metabólico

α 

Rendimiento en la ecuación de Luedeking y Piret

β  β  o

Velocidad específica de producción no asociada al crecimiento Tipo de inhibición del producto sobre β

φ 

Fracción de flujo ascendente o descendente

 µ   µ  máx  µ  o ν 

Velocidad específica de crecimiento Velocidad específica de crecimiento máxima Tipo de inhibición del producto sobre µ 

∆ T 

Diferencia de temperatura

T-1 T-1

T-1 T-1

Grado de reducción

θ

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L2T-3

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