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AUTOMATIZACION INDUSTRIAL MODELACION DE SISTEMAS DE CONTROL

FUNDAMENTOS Uno de los aspectos más importantes de la ingeniería es poder representar un fenómeno físico en forma matemática, ya que así es posible llevar a cabo un análisis cuantitativo del

sistema y determinar sus características, su comportamiento y sus limitaciones; además, en dado caso, también será posible buscar alternativas para mejorar el funcionamiento del sistema. Para dar este paso primero es necesario identificar la variable o las variables que ocasionan el cambio en el sistema y después establecer una hipótesis empírica o basada en alguna ley física que permita representar al sistema en forma matemática.

FUNDAMENTOS Como punto de partida, se considera la ecuación empírica propuesta por Newton con referencia a la ley de variación de temperatura de un objeto (ya sea calentamiento o enfriamiento).

Dicha ley establece que la variación de temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del medio que lo rodea (esto es, la temperatura ambiente Ta se considera como constante): 𝑑𝑇 = 𝑘( 𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡 , donde k es una constante de proporcionalidad, la cual, por un lado, permite igualar las magnitudes de ambos miembros de la ecuación, pero también hace que coincidan dimensionalmente los respectivos miembros de la ecuación; además, el número k contiene las características propias de cada sistema.

FUNDAMENTOS • En la modelación de los sistemas de control se toma en cuenta: • La funciones variables, representadas por expresiones matemáticas en ecuaciones diferenciales de diverso orden y combinadas con ecuaciones integrales, no representan el modo más practico de modelación. • Se utilizan los recursos matemáticos de Transformadas de Laplace para salir de la variable tiempo y pasar a ecuaciones algebraicas en el dominio de los números complejos. • La función de transferencia representa en expresiones algebraicas el cambio de los procesos

en las etapas que lo componen.

FUNDAMENTOS • FUNCION DE TRANSFERENCIA • • •

Representa el comportamiento dinámico del proceso. Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada. La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.

L c(t ) Función de transferencia  L r (t )

c(t )  salida r (t )  entrada

con condicione s iniciales cero

FUNDAMENTOS R(s) + punto de suma

C (s)

E (s) -

G (s) punto de bifurcación

B(s) H (s)

El cociente de la señal de realimentación B(s) entre la señal de error E(s) se denomina FUNCION DE TRANSFERENCIA EN LAZO ABIERTO. Es decir:

Función de transferencia en lazo abierto

B( s)  G(s) H ( s) E (s)

FUNDAMENTOS R(s) + punto de suma

C (s)

E (s) -

G (s) punto de bifurcación

B(s) H (s)

El cociente entre la salida C(s) y la señal de error E(s) se denomina FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LA TRAYECTORIA DIRECTA, por lo que: Función de transferencia trayectoria directa

C (s)  G( s) E (s)

FUNDAMENTOS R(s) + punto de suma

C (s)

E (s) -

G (s) punto de bifurcación

B(s) H (s)

Para el sistema, la salida C(s) y la entrada R(s) se relacionan del modo siguiente, para dar la FUNCION DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO

Función de transferencia lazo cerrado

C ( s) G( s)  R( s) 1  G ( s) H ( s)

MODELADO DE SISTEMAS • Ejemplo: Un líquido dentro de un recipiente está a una temperatura inicial de 300 °F, luego, en el tiempo t = 0 el recipiente es llevado a una habitación donde la temperatura ambiente es de 70 °F y tres minutos después, la temperatura del líquido es de 200 °F. A partir de esto obtener: a) Una ecuación diferencial que indique el comportamiento del sistema. b) La representación gráfica de la variación de la temperatura del líquido con respecto al tiempo.

MODELADO DE SISTEMAS • SISTEMA ELECTRICO RLC La ecuación de equilibrio del sistema eléctrico queda definida por la ley de Kirchhoff , la cual establece que la suma algebraica de voltajes es igual a cero; pensemos en esto con respecto al

circuito RLC de la figura, al cual se le aplica un voltaje Vi(t ), y se considera como la salida la corriente i(t ). Para el análisis se debe estudiar su función de transferencia.

MODELADO DE SISTEMAS • SISTEMA MECÁNICO DE

TRASLACION. Caso 1 Sistema masa resorte (libre oscilatorio)

Sea un sistema masa-resorte como el mostrado en la figura, del cual se obtendrá su modelo matemático, El resorte, que tiene una longitud l y una constante k, está inicialmente en reposo

MODELADO DE SISTEMAS

MODELADO DE SISTEMAS • Ejemplo: Para cierto sistema masa-resorte definido por: 𝑑2 𝑥 + 36𝑥 = 0 𝑑𝑡 2 Obtenga el desplazamiento x(t) de la masa para las siguientes condiciones iniciales: a) x(0) = 5 cm y v(0)= 0 b) x(0) = 0 y v(0) = - 3 cm/sg c) x(0) = 4 cm y v(0) = - 20 cm/sg

MODELADO DE SISTEMAS • Como conclusión del ejemplo, y si se grafican los tres escenarios, estos mostraran un comportamiento libre oscilatorio, lo cual no ocurre en la realidad, ya que el movimiento

de la masa tiende a decrecer y a hacerse cero cuando el tiempo tiende al infinito, esto es, la ecuación y el análisis inicial es incompleto se debe considerar un componente adicional, es decir un factor de amortiguamiento.

MODELADO DE SISTEMAS • SISTEMA MECÁNICO DE TRASLACION. Caso 2 Sistema masa-resorteamortiguador (sistema amortiguado). Para obtener un modelo matemático más próximo a la realidad, se introduce una fuerza de amortiguamiento fb, la cual es proporcional a la velocidad instantánea.

MODELADO DE SISTEMAS •

SISTEMAS HIBRIDOS

•

Los sistemas híbridos son una aproximación al modelado de sistemas reales, como ejemplo son sistemas integrados de componentes eléctricos y mecánicos.

•

Ejemplo: Solenoide

Un solenoide está formado por un circuito eléctrico, un

acoplamiento

electromecánico

(transductor)

y

un

sistema mecánico de traslación, según se muestra en la figura. Para obtener el modelo matemático del solenoide, se considerarán tres etapas: un circuito R-L,

la transducción (conversión de energía eléctrica a mecánica) y la parte mecánica de traslación.

MODELADO DE SISTEMAS •

1. Parte eléctrica: Consta de una bobina de inductancia L y una resistencia R: 𝐿

•

𝑑𝑖 + 𝑅 𝑖 = 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡

, cuya representación en el dominio S, es: 𝐼 𝑠 =𝑉 𝑠

•

1 𝐿𝑠 + 𝑅

2. Acoplamiento electromecánico: Un solenoide polarizado produce una fuerza electromotriz proporcional a la corriente en la bobina; la siguiente ecuación indica la conversión de energía eléctrica a energía mecánica:

𝑓𝑠 = 𝐾𝑠 𝑖

MODELADO DE SISTEMAS •

, donde el número Ks (Nw/amp) es la constante del solenoide. Si se transforma la ecuación: 𝐹𝑠 𝑠 = 𝐾𝑠 𝐼(𝑠)

•

3. Parte mecánica de traslación: Consta de una masa m, la cual tiene rozamiento b con el evolvente de la bobina, y un resorte (con constante k), el cual establece la posición original de la masa una vez que cesa la excitación v(t): 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 +𝑏 + 𝑘𝑥 = 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

, a la que le corresponde la siguiente expresión en el dominio s:

𝑋 𝑠 =𝐹 𝑠

1 𝑚𝑠 2 + 𝑏𝑠 + 𝑘

MODELADO DE SISTEMAS • La representación en bloques de las ecuaciones anteriores se muestra a continuación:

MODELADO DE SISTEMAS • SISTEMAS HIBRIDOS • Ejemplo: Engranes Los engranes y las bandas que están sobre una polea son dispositivos mecánicos que transmiten energía desde una parte del sistema a otra, en una forma tal que se alteran la fuerza, el par, la velocidad y el desplazamiento angular. La figura ilustra dos engranes acoplados; la inercia y la fricción de los engranes se despreciarán momentáneamente en el caso ideal considerado. Sistema mecánico de rotación acoplado con engranes.

MODELADO DE SISTEMAS Las relaciones entre los torques 1 y 2, los desplazamientos angulares 1 y 2 y los números de dientes N1 y N2 de los engranes son: 𝜏2 𝑁2 𝜃1 = = 𝜏1 𝑁1 𝜃2 Entonces, las ecuaciones del primario y secundario son, respectivamente:

𝐽1

𝑑2 𝜃1 𝑑𝜃1 + 𝛽1 + 𝜏1 = 𝜏 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝐽2

𝑑2 2 𝑑𝜃2 + 𝛽2 + 𝜏2 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Reemplazando y escribiendo el torque 2 en función de torque 1 y desplazamiento angular 2 en función del desplazamiento angular , ambos con relación al numero de dientes:

𝑁1 𝐽1 + 𝑁2

2

𝑑2 𝜃1 𝑁1 𝐽2 + 𝛽1 + 2 𝑑𝑡 𝑁2

2

𝛽2

𝑑𝜃1 =𝜏 𝑑𝑡

MODELADO DE SISTEMAS Los términos de la ecuación que tienen el coeficiente (N1/N2) son elementos que

pasaron del secundario hacia el primario, en

la

figura

equivalente.

se

aprecia

el

circuito

MODELADO DE SISTEMAS SISTEMAS DIVERSOS Ejemplo: Sistema de mezcla Al mezclar dos soluciones de distintas concentraciones, se da origen a la mezcla

descrita por una ecuación diferencial de primer orden que define la concentración q(t ) resultante, según muestra la figura.

MODELADO DE SISTEMAS Sea q(t ) la concentración de cierta sustancia en cualquier momento, por lo que la velocidad de cambio de concentración q(t ) corresponde a:

donde la razón de entrada R1 es el producto de la concentración y la velocidad de entrada

de la solución, mientras que la razón de salida R2 es el producto de la concentración y la velocidad con la que sale la solución mezclada.

MODELADO DE SISTEMAS Ejercicio: Sea un tanque lleno con ocho litros de agua salada en el cual están disueltos dos kg de sal. Una solución de salmuera (agua salada) con tres kg de sal por litro entra al tanque a una velocidad de 4 l/min, mientras la mezcla bien agitada sale a la misma velocidad con la que entra. Obtenga una expresión para la variación de concentración con respecto al tiempo.

MODELADO DE SISTEMAS SISTEMAS DIVERSOS : Ejemplos de sistemas. Suspensión de un automóvil, simplificado.

Entrada

Salida

1

(Bache)

(Desplazamiento del coche)

ms  bs  k 2

-3

10

3

x 10

8

2 6

4

1

2

0 0

-2

-1

-4

-2 -6

-8

-10

-3

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3 4

x 10

MODELADO DE SISTEMAS SISTEMAS DIVERSOS : Ejemplos de sistemas. Nivel de un tanque. Qi(s)

H(s)

R ARs  1

(Aumento del flujo de entrada repentinamente)

(Altura del nivel en el tanque 25

20

20

15

15 10

10 5 5

0 0

-5

-10

-5

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

-10

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

MODELADO DE SISTEMAS DIAGRAMA DE SEÑALES Y DIAGRAMA DE BLOQUES Un sistema de control está compuesto por varios subsistemas, representados en el dominio s por un conjunto interconectado de funciones de transferencia individuales G(s). Al sistema equivalente se le dará el nombre de función de transferencia resultante o bien, por su importancia, el de función de transferencia de lazo cerrado T(s). Para determinar la relación entre entrada(s), sistema(s) y salida(s), es conveniente representar todo el conjunto en forma de diagrama, lo cual puede ser a manera de diagramas de flujo de señales (DFS) o de diagrama de bloques

(DB). En principio, tanto el DB como el DFS proporcionan exactamente la misma información sobre un determinado sistema; la ventaja del DB radica en que provee de manera gráfica la relación entre variables, subsistemas y salidas; mientras que el DFS permite, por un lado, dibujar más fácilmente un conjunto de ecuaciones transformadas al dominio s, además de hacer posible determinar la función de transferencia resultante de lazo cerrado T(s) “en un solo paso” mediante la aplicación del método de Mason.

MODELADO DE SISTEMAS DIAGRAMA DE SEÑALES Y DIAGRAMA DE BLOQUES Los elementos que conforman todo diagrama de bloques son las variables de entrada y salida que interactúan con el punto de suma, los bloques y los puntos de reparto. Con respecto al DFS, sólo existen las ramas, que corresponden

propiamente a los bloques, y los nodos que actúan como variables de entrada y de salida, como puntos de suma y como puntos de reparto. Las figuras muestran las equivalencias entre ambos diagramas. Se muestra la equivalencia entre bloque y ramas, así como la definición de variables de entrada R(s) y salida Y(s) por medio de nodos.

MODELADO DE SISTEMAS DIAGRAMA DE SEÑALES Y DIAGRAMA DE BLOQUES La figura indica la correspondencia entre punto de suma y punto de reparto del DB, con respecto a los nodos del DFS. En esta representación es necesario añadir a cada

rama su correspondiente función de transferencia individual G(s); además, se observa que los nodos efectúan diversas funciones como nodos de entrada y salida, como nodo a manera de sumador algebraico y

como nodo como punto de reparto.

MODELADO DE SISTEMAS SISTEMAS SISO Y MIMO Una de varias alternativas para clasificar los sistemas de control es con respecto a su número de entradas y salidas. Cuando un sistema tiene una sola entrada y una sola salida se denomina sistema SISO (single input single output); cuando posee varias entradas y varias salidas se llama sistema MIMO (multi input multi output). Para sistemas SISO, la función de transferencia G(s) corresponde a la relación salida entrada escrita directamente como:

Sin embargo, para sistemas MIMO se requiere introducir subíndices para identificar tanto al número de salida i como al número de entrada j con respecto a la posición de la función de transferencia individual Gi j(s), asociada a una salida y a una entrada específicas:

donde el subíndice i corresponde a la salida bajo consideración y el subíndice j designa la entrada respectiva.

MODELADO DE SISTEMAS Ejercicio: Para el siguiente conjunto de ecuaciones en el dominio s, obtenga su correspondiente DFS y DB.

Donde R1(s) y R2(s) son entradas iniciales. X1(s) y X2(s) son salidas y/o entradas intermedias. Y(s) es la salida final.