Modelación de Losas Para El Diseño Sísmico de Edificios

Modelación de Losas para el Diseño Sísmico de Edificios Ricardo E. Barbosa C., Ph.D. – Presidente EngSolutions, Inc. y Profesor, Florida Atlantic University José Joaquín Álvarez E., Coordinador de Ingeniería Curaduría Urbana No. 3, Presidente Comisión de Estructuras, SCI

Introducción El uso inapropiado de elementos finitos tipo Shell (Cascarón) para modelar losas de concreto reforzado en el diseño sísmico de edificios se ha extendido recientemente debido en parte a las características de los procedimientos que algunos programas como ETABS usan para distribuir las cargas de gravedad de piso, hacia las vigas y muros de apoyo. En dicho programa, el método usado para distribuir las cargas de piso depende del tipo de elemento usado para modelar las losas. El método implementado para el caso en que las losas se modelan con elementos tipo Shell presenta ventajas en casos generales de geometría compleja y cuando se tienen paneles de losa que no están apoyados en sus cuatro lados. La idealización de las losas con elementos tipo Shell en el análisis sísmico sin embargo, implica la consideración que las losas contribuyen a resistir las fuerzas inerciales por flexión fuera de su plano, creando un efecto de pórtico con los muros. La restricción al giro creada por la resistencia a momento de la losa, reduce drásticamente las derivas calculadas y el refuerzo requerido en los elementos verticales del sistema de resistencia sísmica. Sin embargo, para poder contar con esas reducciones, sería necesario asegurar que las losas puedan efectivamente resistir esos momentos y cortantes producidos por el sismo, acorde a las provisiones para diseño sismo resistente, lo cual en la práctica no es posible. En este artículo se hace una descripción breve de los tipos de elementos disponibles para modelar muros y losas, se describen los procedimientos para distribuir cargas de piso de la losa hacia vigas y muros de apoyo, y mediante un ejemplo de aplicación se muestra el error introducido en el análisis y diseño sísmico al modelar las losas con elementos tipo Shell. Elementos Finitos Planos Los tipos de elementos finitos disponibles para representar elementos estructurales planos como muros y losas, son elementos Membrana (Membrane), elementos Placa (Plate) y elementos Cascarón (Shell). Elementos tipo Membrana (Membrane)

Figura 1. Desplazamientos y fuerzas internas de elemento tipo Membrana Abril 23, 2017 - 1

El elemento membrana es un elemento tipo diafragma que solo tiene rigidez en su plano, restringiendo los desplazamientos en el plano U1 y U2 y la rotación alrededor del eje normal R3. El elemento no ofrece restricción al desplazamiento normal U3 ni a las rotaciones R1 ni R2. Las fuerzas internas que resiste el elemento son las fuerzas en el plano F11 y F22 y el cortante en el plano V12, como se muestra en la Fig. 1. Elemento finito tipo Placa (Plate) El elemento tipo placa es un elemento que tiene rigidez a flexión y corte fuera del plano y es comúnmente usado para el análisis de losas bajo la acción de cargas normales al plano. Como se muestra en la Figura 2, el elemento restringe el movimiento en la dirección normal al plano U3 y rotaciones alrededor de ejes en el plano, R1 y R2. Las fuerzas internas que resiste el elemento son los cortantes transversales V13 y V23, momentos de flexión fuera del plano M11 y M22 y el momento de torsión M12.

Figura 2. Desplazamientos y fuerzas internas de elemento tipo Placa Elemento Finito tipo Cascarón (Shell) El elemento tipo Cascarón o Shell consiste en la superposición de un elemento tipo membrana y un elemento tipo placa. El elemento posee rigidez en el plano y fuera del plano, ofreciendo restricción en los seis grados de libertad. El elemento resiste fuerzas en el plano F11 y F22, cortante en el plano V12, cortante transversal V12 y V23, momentos de flexión fuera del plano M11 y M22 y momento de torsión fuera del plano M12, según se muestra en la Figura 3.

Figura 3. Elemento finito tipo Shell: superposición elemento Membrana + elemento Placa Abril 23, 2017 - 2

Formulaciones de Elementos Finitos Existen varias formulaciones con diferente nivel de precisión para estos tipos de elementos finitos. La mayoría de los programas comerciales usan formulaciones basadas en desplazamiento, en los que la matriz de rigidez del elemento se establece partiendo de un campo de deformaciones dentro del elemento. Formulaciones más recientes están basadas en esfuerzos, en los que la matriz de rigidez del elemento se establece partiendo de un campo de esfuerzos dentro del elemento. Para elementos con igual número de nudos, formulaciones basadas en esfuerzos ofrecen mayor precisión que formulaciones basadas en deformaciones. La mayor precisión se logra debido a que las deformaciones unitarias, que en condiciones elásticas están linealmente asociadas a los esfuerzos, son derivadas de primer orden del campo de desplazamientos. Un elemento que modela un campo de esfuerzos lineal o cuadrático reproduce un campo de desplazamientos de un orden superior, es decir cuadrático o cúbico. Un solo elemento basado en esfuerzos puede ofrecer la misma precisión de una malla de 5 x 5 elementos basados en desplazamientos. El elemento finito implementado en EngSolutions RCB usado para modelar muros de corte y losas deformables es el elemento basado en esfuerzos desarrollado por National Aeronautics and Space Administration, NASA (Aminpour, 1990, 1992). La parte membrana del elemento incluye grados de libertad rotacionales (R3). La parte de placa usa la teoria de placas de Reissner-Mindlein con consideracion de corte transversal (placa gruesa). Modelo de Muros Estructurales En la mayoría de los programas estructurales incluyendo ETABS y RCB los muros estructurales se modelan por defecto como elementos tipo Shell. Sin embargo, en ambos casos se permite al ingeniero la opción de modelar los muros como elementos membrana, para no considerar así con su rigidez fuera del plano. Modelando los muros con elementos tipo Shell, el ingeniero puede opcionalmente limitar la contribución estructural de algunos muros fuera de su plano, para evitar que su diseño resulte controlado por flexocompresión fuera del plano. En el caso de ETABS, esto se hace asignando un espesor para la componente placa menor que el espesor para la componente membrana y/o asignando un factor de reducción de rigidez. En el caso del RCB, asignando un factor de reducción de rigidez “Outplane r” para la componente placa. La asignación de un factor de reducción de rigidez igual a cero, es equivalente a modelar el muro como elemento membrana. La reducción de rigidez de muros fuera del plano es particularmente aplicable a muros de poco espesor, sobre todo en los niveles superiores donde las cargas axiales son bajas, para evitar un diseño controlado por flexión fuera del plano que resulte en cuantías excesivas de refuerzo vertical. Dicha reducción de rigidez naturalmente resulta en un aumento en las derivas calculadas Es importante tener presente que a pesar de que la rigidez de los muros en su plano es en general significativamente mayor que la rigidez fuera del plano, para un diseño correcto de estructuras sometidas a cargas laterales, cuando los muros se modelan con elementos tipo Shell, su diseño debe ser biaxial. Un diseño uniaxial de estos elementos no es válido pues se estaría contando con la contribución de estos elementos a resistir cargas laterales por flexión transversal pero sin proveer el refuerzo requerido para resistir los momentos y cortantes transversales al elemento que resultan de esas cargas. El diseño a flexión simplificado de muros de corte realizado en ETABS (CSI, 2016), no es válido para muros modelados como Shell, debido a que es un diseño uniaxial. En RCB los muros estructurales siempre se diseñan biaxialmente (EngSolutions, 2014, 2016, 2017).

Abril 23, 2017 - 3

Modelos de Losas Debido a que en el diseño de losas de concreto reforzado no resulta práctico cumplir con los requisitos de diseño sismo resistente para elementos sometidos a flexión por sismo (como estribos de confinamiento, provisiones de cortante, dimensiones mínimas y demás requisitos del Cap. 21 ACI-318/08/11, Cap. C21 NSR-10 (Cap. 18 ACI-318-14), en el diseño sísmico de edificaciones, las losas de piso universalmente se modelan considerando solamente su acción como diafragmas. Los diafragmas son elementos estructurales que distribuyen las fuerzas inerciales del piso a los elementos verticales del sistema de resistencia sísmica (muros y/o pórticos) a través de esfuerzos axiales y de corte en el plano. Dependiendo de su rigidez, los diafragmas se idealizan como rígidos o elásticos. Los diafragmas deformables se modelan representando la losa con elementos finitos tipo membrana y los diafragmas rígidos se modelan amarrando cada punto de la losa a un nudo maestro, asumiendo que esta se desplaza y gira en el plano horizontal como un cuerpo infinitamente rígido. En el programa EngSolutions RCB, las losas por defecto se modelan como diafragmas rígidos. Para casos en que la deformación del diafragma sea considerable y pueda afectar la distribución de fuerzas sísmicas, el programa ofrece la opción de diafragma elástico. En este caso las losas se modelan como elementos Shell y se aplica un factor de reducción de rigidez fuera del plano, que por defecto es igual a 0.01, haciendo el modelo equivalente a una membrana. Aunque el ingeniero puede editar el factor de reducción de rigidez fuera del plano, sin embargo, el programa no acepta un valor mayor de 0.1. En los análisis presentados en este artículo se permitió el uso de factores iguales a 1.0, correspondientes al caso de elementos Shell con la totalidad de su rigidez fuera del plano. En el programa ETABS las losas se pueden modelar como elementos tipo membrana o como elementos tipo Shell. El programa también ofrece la opción de considerar diafragma rígido lo cual inhibe la deformación como membrana. La documentación del programa y documentos independientes recomiendan el uso del elemento Shell completo, en parte por su mejor comportamiento en la distribución de cargas de gravedad. Sin embargo, como se discute adelante, esta opción conlleva implicaciones importantes en el análisis sísmico, que pueden resultar en un diseño sísmico inseguro de la estructura. Cargas de Gravedad En el programa ETABS el método usado para distribuir las cargas de piso hacia las vigas y muros de apoyo depende del tipo de elemento finito usado para modelar las losas. Cuando las losas se modelan usando elementos tipo membrana, el programa utiliza un método de áreas tributarias de triángulos y trapecios para distribuir las cargas de piso a las vigas y muros de apoyo. Esta distribución de cargas es atractiva pues es similar a la obtenida en análisis plásticos simplificados como el de líneas de fluencia o en análisis nolineales sofisticados con elementos placa tipo multi-capas. Sin embargo, la implementación en el programa es muy limitada y solo opera bien en casos de geometrías regulares con paneles cuadrados o rectangulares soportados en sus cuatro lados. Cuando las losas se idealizan con elementos tipo Shell, las cargas de piso se aplican directamente a los elementos que representan la losa. La distribución de estas cargas es parte del análisis mismo del modelo. El programa presenta unas cargas equivalentes en los elementos de apoyo a partir de las fuerzas internas obtenidas en el análisis. Este procedimiento es general y si los paneles se discretizan adecuadamente, se obtiene una solución general, representativa de la distribución de cargas en condiciones elásticas.

Abril 23, 2017 - 4

En el programa RCB las cargas de piso se distribuyen por áreas tributarias, independiente del tipo de elemento que se utilice para modelar las losas. La distribución de cargas de piso es un paso previo al análisis, que se realiza independientemente para cada nivel, considerando las propiedades asignadas a cada panel: tipo de losa (maciza o aligerada), dirección de armado, que puede ser en una o dos direcciones, carga muerta súper-impuesta y carga viva. El procedimiento es general y funciona bien en casos de geometrías arbitrariamente irregulares con paneles apoyados en cualquier número de lados. El programa reporta la carga muerta total (DL = peso propio de losa más carga muerta súper-impuesta) y carga viva (LL) para cada nivel y para el edificio completo. El programa muestra además para cada viga y muro su correspondiente área de losa tributaria. Ejemplo de Aplicación Con el fin de ilustrar el efecto del tipo de elemento usado para modelar las losas en el análisis sísmico de edificios, se considera un ejemplo de un edificio de 15 pisos con muros de concreto y losas macizas de concreto (sistema industrializado). La estructuración se presenta en la Fig. 4. El espesor de los muros es 25 cm y el de las losas 12 cm. La altura de entrepisos es 2.70 m. La resistencia del concreto de losas y muros es f’c = 280 Kg/cm2.

Figura 4. Planta típica ejemplo de aplicación La estructura ejemplo está localizada en una zona de amenaza sísmica alta. Los parámetros sísmicos según NSR-10 son Aa = 0.25, Av = 0.25, I = 1, S = D, R =5, CDE= DES. Según ASCE7-05/10 los parámetros sísmicos son Ss = 0.94, S1 = 0.45, I = 1, S= D, R = 5, SDC = D. La carga muerta super-impuesta (DLi), adicional al peso de la losa, es 180 Kg/m2. La distribución de cargas de piso de las losas hacia los muros por áreas tributarias, tal como la realiza el programa RCB, se muestra en la Figura 5. Se utilizó la misma distribución para todos los análisis, independientemente de cómo se modelaron las losas en cada caso. La estructura se consideró empotrada en una losa de cimentación rígida. En todos los análisis los muros se modelaron como elementos tipo Shell. Para no introducir variables adicionales, en todos los análisis se utilizó la misma distribución de fuerzas sísmicas, correspondiente a las fuerzas determinadas por el método de fuerza horizontal equivalente. Por simplicidad la torsión accidental no fue considerada. Aunque los periodos fundamentales son diferentes en Abril 23, 2017 - 5

las dos direcciones, el cortante basal resultó controlado por el periodo máximo permitido (C u Ta = 0.95 seg) por lo cual el cortante basal es igual en las dos direcciones.

Figura 5. Distribución de cargas de piso Resultados del Análisis Sísmico Modelo 1. Losas modeladas como diafragmas rígidos Las derivas calculadas al modelar las losas de piso como diafragmas rígidos se presentan en la Figura 6. La deriva máxima en la dirección X es 5.59% y en la dirección Y es 1.16%. La deriva en la dirección X es excesiva dado que la mayor parte de los muros están orientados en la dirección Y. Solamente unos pocos muros cortos están orientados en la dirección X, los cuales no proveen suficiente rigidez a la estructura en esa dirección.

Figura 6 – Derivas – Losas modeladas como diafragmas rígidos Abril 23, 2017 - 6

Modelo 2. Losas modeladas con elementos Membrana (Diafragmas elásticos) Las derivas calculadas al modelar las losas con elementos tipo Membrana se presentan en la Figura 7. La deriva máxima en la dirección X es 5.43% y en la dirección Y es 1.20%.

Figura 7 – Derivas – Losas modeladas con elementos Membranas (diafragmas elásticos) Modelo 3. Losas modeladas con elementos Shell Las derivas calculadas al modelar las losas con elementos tipo Shell se presentan en la Figura 8. Las derivas son drásticamente menores. La deriva máxima en la dirección X es 0.79% y en la dirección Y es 0.6%.

Figura 8 – Derivas – Losas modeladas con Elementos Shell completos Abril 23, 2017 - 7

Las derivas calculadas al modelar las losas como Membranas son muy similares a las calculadas para la consideración de diafragmas rígidos. En ambos casos las losas se están modelando como diafragmas. En el primer caso como diafragmas rígidos y en el segundo caso como diafragmas elásticos. Aparte de los cambios en la distribución de fuerzas inerciales, normalmente la condición de diafragma rígido es más conservadora pues se amplifican los efectos torsionales. En este caso por la simetría del modelo y por haberse ignorado la torsión accidental, no se aprecia dicho efecto. En ambos casos los resultados reflejan la marcada diferencia en rigidez lateral en las dos direcciones. Por el contrario, las derivas calculadas al modelar las losas con elementos tipo Shell son drásticamente menores de las correspondientes a los casos en que las losas se modelan como diafragmas. En la dirección X, la deriva máxima se reduce de 5.4% a 0.79%. En la dirección Y, la deriva máxima se reduce de 1.2% a 0.6%. Por otra parte, a pesar de la marcada diferencia en estructuración en las dos direcciones, con la mayoría de los muros orientados en la dirección Y, las derivas máximas calculadas para las dos direcciones resultan similares. Resultados de Diseño

Figura 9 – Resultado del diseño de muros: (a) Losas como Membranas (b) Losas modeladas como Shell Los resultados del diseño de los muros de acuerdo a ACI-318-11 (NSR-10), al modelar las losas con elementos Membrana y con elementos Shell se presentan en la Figura 9. Cuando las losas se modelan como Membranas varios muros de los primeros 8 pisos resultan con sección insuficiente, pues requieren una cuantía de refuerzo vertical mayor de 4%. Los mismos resultados se obtienen si las losas se modelan como diafragmas rígidos. Adicionalmente numerosos muros requieren elementos especiales de borde. El peso total del refuerzo requerido excede 149 ton. Por el contrario, si las losas se modelan como elementos Abril 23, 2017 - 8

Shell, la mayor parte de los muros solo requieren cuantía mínima de refuerzo, ninguno resulta con sección insuficiente, algunos muros requieren concentración de refuerzo en los extremos, y unos pocos requieren elementos especiales de borde. El peso total de refuerzo requerido para los muros se reduce a 70 ton.

Figura 10. Diseño muro K(2-3): (a) Losas como Membranas (b) Losas modeladas como Shell Abril 23, 2017 - 9

En la Figura 10 se presenta en detalle el resultado del diseño del primer piso del muro K (2-3), uno de los pocos muros orientados en la dirección X, para el caso en que las losas se modelan con elementos Membrana y para el caso en que se modelan con elementos Shell. Cuando las losas se modelan con elementos membrana (o cuando se modelan como diafragmas rígidos) el muro requiere confinamiento especial en toda su longitud, pues la longitud del elemento de borde calculada a partir de la máxima profundidad del eje neutro, según el método de deformaciones del ACI-318, excede un medio de su longitud. Adicionalmente, la sección del elemento resulta insuficiente por flexo-tensión, lo cual implica la necesidad de un rediseño arquitectónico y estructural, ampliando espesor de muros y/o calidad del concreto y/o cambios en la estructuración adicionando muros en la dirección X. Cuando las losas se modelan con elementos tipo Shell, se requieren elementos de borde de 35 cm de longitud. En este caso la sección del elemento es suficiente. Comparación de Resultados y Validez de los Modelos Como el ejemplo de aplicación ilustra, se presenta una diferencia enorme en los resultados del análisis y diseño sísmico de elementos, cuando las losas se modelan como diafragmas que solo tienen rigidez en su plano y cuando se modelan con elementos tipo Shell, considerando la rigidez fuera del plano. Al modelar las losas con elementos tipo Shell, la deriva máxima se reduce de 5.4% a 0.79% y el refuerzo requerido en los muros se reduce de más de 149 ton a 70 ton. Esta gran diferencia en los resultados del análisis y diseño sísmico que se presenta, cuando las losas se modelan como membrana y como Shell, es otra de las razones por la cual varios ingenieros han usado esta última opción en un gran número de edificios, algunos ya construidos y otros en construcción, justificando su elección con argumentos equivocados como los siguientes:     

“Al asignar las losas como sección Shell se tiene en cuenta la contribución de la losa y por eso se obtienen diseños más optimizados que no son innecesariamente conservadores” “Las losas deben ser asignadas como Shell para tener en cuenta su rigidez dentro y fuera del plano como normalmente es el funcionamiento real de las losas” “Las losas en su funcionamiento principal e independiente del tipo de estructura siempre se detallan para atender solicitaciones principalmente de flexión, condición que nunca podrá ser compatible con la idealización como membrana” “Las losas a fin de cuentas deben garantizar la colocación de refuerzos internos para satisfacer flexión positiva y negativa, con lo cual se define un funcionamiento de Shell“ “La norma NSR-10 indica en A.3.4.3 que las rigideces que se empleen en el análisis estructural para el diseño sísmico deben ser definidas por el ingeniero diseñador de acuerdo con su criterio”

Un examen de como en el análisis con elementos tipo Shell, las losas contribuyen a resistir las fuerzas inerciales del sismo por flexión fuera de su plano, de la magnitud de las fuerzas internas desarrolladas en estos elementos bajo la acción del sismo, junto con la consideración de la práctica general de diseñar las losas para cargas de gravedad solamente, muestra que ninguno de los argumentos arriba tiene validez. Lejos de resultar en un diseño más óptimo, al asignar las losas como Shell se introduce varios efectos nocivos para el diseño sísmico. Primero, se involucra la contribución de las losas al sistema que provee rigidez y resistencia lateral, reduciendo drásticamente las derivas y tomando esfuerzos apreciables para los cuales no son diseñadas. Segundo, se reducen las fuerzas sobre elementos caracterizados como sismoresistentes, resultando así un diseño inseguro de estos elementos al quedar sub-reforzados. Tercero, se subvaloran las fuerzas sísmicas en la cimentación lo cual puede comprometer su estabilidad. Abril 23, 2017 - 10

Aunque las losas funcionan resistiendo flexión y la modelación con elementos Shell mejora la representación de su comportamiento para cargas de gravedad, esa modelación altera la representación del sistema sismo resistente al involucrar elementos que no son diseñados para ese fin. Por otra parte, aunque la norma NSR-10 permite al ingeniero definir las rigideces a emplear en el análisis sísmico según su criterio, eso no significa que se permita considerar como parte del sistema de resistencia sísmica elementos que se diseñan para cargas verticales solamente. De hecho el articulo A.3.6.1.1 de dicha norma indica que solamente los elementos que pertenezcan al sistema estructural de resistencia sísmica pueden contribuir a la resistencia sísmica de la edificación y deben diseñarse de acuerdo con los requisitos propios de su material para el grado de disipación de energía requerido. Momentos en los Muros Para el caso de carga Sismo X, considerando únicamente la acción de las losas como diafragmas (membranas), solamente los 8 muros cortos orientados en la dirección X proveen resistencia y rigidez lateral significante. La rigidez proporcionada por los muros aislados orientados en la dirección Y, es mínima, pues estos actúan como voladizos independientes trabajando en su dirección débil. En la Figura 11a se presenta el diagrama de momentos de uno de los muros cortos orientados en la dirección X [muro I(6-7)] y en la Figura 12a el diagrama de momentos fuera-del-plano de uno de los muros aislados en la dirección Y [muro exterior 1(G-J)]. Cuando las losas se modelan como elementos Shell, estas contribuyen a resistir las fuerzas inerciales por flexión fuera de su plano, creando un efecto de pórtico con los muros. Los diagramas de momentos para este caso, para los dos muros se presentan en las Figura 11b y Figura 12b respectivamente. La acción de pórtico creada por las losas reduce significativamente los momentos en todos los muros. Por otra parte, la restricción al giro creada por la resistencia a momento de las losas modeladas como Shell, reduce la deriva máxima de 5.4% a 0.79%.

Figura 11– Momentos en el plano en el muro longitudinal I (6-7) para el caso de carga Sismo X

Figura 12 – Momentos fuera-del-plano en el muro transversal exterior 1 (G-J)

Esfuerzos en los Muros Por otra parte, las fuerzas sísmicas resistidas por los muros cortos orientados en la dirección X, resultan en esfuerzos verticales de flexión altos, que se transmiten a los muros conectados a estos, orientados en la dirección Y, que actúan como aletas, una a compresión y la otra a tensión. En la Figura 13 se presenta el Abril 23, 2017 - 11

esfuerzo vertical (Sv) en el plano central de cada uno de los muros que conforman uno de estos grupos de muros, expresado como una fracción de la resistencia a la compresión del concreto (f’c). Para el caso en el que las losas se modelan como Membranas, dado que estos grupos de muros conectados deben resistir prácticamente la totalidad de los momentos de flexión debidos al sismo, los esfuerzos son altos. El máximo esfuerzo de compresión es 0.86 f’c y el máximo esfuerzo de tensión es 0.4 f’c. Cuando las losas son modeladas como elementos Shell, la acción de pórtico creada por las losas, que integran y acoplan a los demás muros, la magnitud de los esfuerzos se reduce significativamente. El máximo esfuerzo de compresión se reduce a 0.26 f’c y el máximo esfuerzo de tensión se reduce a 0.15 f’c.

Figura 13 – Relación esfuerzo vertical / f’c en el plano central de los muros: (a) Losas modeladas con elementos Membrana (b) Losas modeladas con elementos tipo Shell Elementos Especiales de Borde y Cuantía de Refuerzo de Muros Las diferencias en la magnitud de los esfuerzos de flexión en los muros dependiendo de cómo se modelen las losas, tiene naturalmente un efecto en la cuantía del refuerzo vertical y en el tamaño de los elementos de borde especiales de confinamiento. En la Figura 14 se presenta la cuantía de refuerzo vertical y el tamaño de los elementos de borde de los muros del primer piso, para el caso en que las losas se modelan con elementos Membrana y para el caso en que se modelan con elementos Shell. Cuando las losas se modelan como elementos Membrana (o como diafragmas rígidos) las cuantías de refuerzo vertical son mayores y el tamaño de los elementos especiales de borde es significante mayor, incluyendo el caso de Abril 23, 2017 - 12

varios muros que requieren confinamiento en toda su longitud. Los muros orientados en la dirección X, resultan con sección insuficiente. Estos muros acoplan a los muros transversales conectados a estos, los cuales también requieren elementos de borde de tamaño considerable y altas cuantías de refuerzo. La cuantía de algunos de los muros orientados en la dirección Y, resulta mínima, lo que evidencia su poca participación en resistir fuerzas sísmicas. Cuando las losas se modelan como elementos Shell, las cuantías de refuerzo y el tamaño de los elementos de borde se reducen significativamente. Aun en este primer nivel varios de los muros no requieren elementos especiales de borde, incluyendo 4 de los muros orientados en la dirección X, que solo requieren concentración de refuerzo en los extremos.

Figura 14 – Cuantía de refuerzo vertical y elementos de borde muros primer piso: (a) Losas modeladas con elementos Membrana (b) Losas modeladas con elementos tipo Shell El efecto del tipo de elemento usado para modelar las losas para el caso de cargas Sismo Y, es diferente. Para este caso, considerando únicamente la acción de las losas como diafragmas, los muros orientados en la dirección Y, resisten las fuerzas inerciales trabajando como voladizos independientes, trabajando en su Abril 23, 2017 - 13

dirección fuerte. Al modelar las losas como elementos Shell, estas integran a esos muros orientados en la dirección Y, crean efecto de pórtico y de acoplamiento de muros, y aumentan la rigidez del sistema actuando como ‘aletas’ de dichos muros. Estos efectos son más modestos en esta dirección, pero suficientes para reducir la deriva máxima de 1.2% a 0.6%. Momentos en losas modeladas como Shell Normalmente las losas se diseñan para resistir los momentos de flexión debidos a las cargas de gravedad, sin considerar los momentos de flexión debidos a sismo. Sin embargo, si se modelan las losas como elementos tipo Shell, para poder contar con la enorme reducción en las derivas y en el refuerzo requerido en los elementos del sistema de resistencia sísmica, que resulta de considerar la contribución de las losas a resistir las fuerzas sísmicas por flexión fuera de su plano, es necesario asegurar que las losas puedan efectivamente resistir los momentos de flexión y cortantes producidos por el sismo. El solo hecho de que las losas funcionen a flexión y se detallen para resistir momentos positivos y negativos, no es suficiente para garantizar que estas van a resistir los efectos sísmicos.

Figura 15 – Momentos Mxx en la losa modelada con elementos Shell En la Figura 15a, se presenta para el modelo en el que las losas se idealizan con elementos tipo Shell, los momentos en las franjas longitudinales de la losa debidos a sismo en la dirección X (EQX) y en la Figura 15b los momentos debidos a las cargas de gravedad (peso propio más carga muerta súper-impuesta) para ese Abril 23, 2017 - 14

mismo modelo. Los resultados corresponden al Nivel 5, sin embargo, son similares para todos los niveles de la edificación. La escala de los diagramas de momentos es igual en ambos casos. Se observa que los momentos debidos al sismo son significativamente mayores que los momentos debidos a gravedad. Resulta evidente que dada la magnitud relativa de los momentos, modelar las losas como elementos tipo Shell y diseñarlas solamente para cargas de gravedad, ignorando los momentos debidos al sismo resulta en un diseño deficiente. Por otra parte, es importante anotar que no se trata solamente de la magnitud de los momentos de flexión. Efectivamente, para poder contar con la reducción en las derivas y el refuerzo, que resulta de considerar que las losas contribuyen a resistir las fuerzas de sismo por flexión fuera de su plano, se debe asegurar que las losas puedan realmente resistir esos momentos cíclicos de la Figura 15a según las provisiones especiales para diseño sismo resistente de elementos sometidos a flexión, Cap. 21 ACI-318/08/11., Cap. C21. NSR-10 (Cap. 18 ACI-318-14). El propósito de las provisiones especiales para diseño sismo resistente es garantizar que los elementos pueden resistir los efectos sísmicos sin sufrir deterioro significativo durante la duración del sismo. Estas provisiones incluyen entre otras: dimensiones mínimas, relaciones b/h, provisiones para traslapos por empalmes, requisitos de confinamiento con estribos cerrados, requisitos de resistencia a cortante. Cumplir en losas de 12 cm estas provisiones especiales de sismo simplemente no es viable. Modelo 4. Losas modeladas como elementos Shell parciales Los resultados de análisis y diseño arriba para losas modeladas como elementos tipo Shell, corresponden al caso de Shell completo, es decir sin aplicar factores de reducción de rigidez para el efecto placa (“Outplane r” = 1.0). En la Figura 16 se presentan los resultados de derivas para varios valores del factor de reducción de rigidez menores de la unidad.

Figura 16. Derivas losas modeladas como elementos Shell con rigidez-fuera-del plano reducida Se nota por una parte que conforme aumenta el factor de reducción de rigidez de 0 a 1.0, es decir entre mayor sea la contribución por flexión fuera del plano, menor es la diferencia de rigidez en las dos direcciones. Por otra parte, se nota que aun considerando solamente un 10% de la rigidez de la losa fuera del plano, la deriva calculada en la dirección X, se reduce casi a la mitad (5.4% a 3.18%). Aun para un factor de reducción de rigidez tan bajo, los momentos de flexión en la losa debidos al sismo son comparables con los momentos producidos por las cargas de gravedad, desde 0 (membrana) hasta 1.0 (Shell completo). Abril 23, 2017 - 15

Conclusiones Debido a lo poco práctico o imposible de cumplir con las provisiones especiales de diseño sismo resistente de elementos sometidos a flexión, en el diseño de losas, para el diseño sísmico de edificaciones, las losas de piso se deben modelar considerando solamente su acción como diafragmas, que distribuyen las fuerzas inerciales del piso a los elementos verticales del sistema de resistencia sísmica (muros y columnas), a través de esfuerzos en su plano. Modelar las losas de piso usando elementos tipo Shell, introduce un doble efecto nocivo para el diseño sísmico de la estructura. Primero, se involucra la contribución de las losas al sistema que provee rigidez y resistencia lateral, reduciendo drásticamente las derivas y tomando esfuerzos apreciables para los cuales no son diseñadas. Segundo, se reducen las fuerzas sobre elementos caracterizados como sismo-resistentes, resultando así un diseño inseguro de estos elementos al quedar sub-reforzados. Aunque las losas funcionan resistiendo flexión y la modelación con elementos Shell mejora la representación de su comportamiento para cargas de gravedad, esa modelación altera la representación del sistema sismo resistente al involucrar elementos que no pueden ser diseñados para ese fin. En el caso del programa RCB, las losas por defecto se modelan como diafragmas rígidos. Para casos en que la deformación del diafragma sea considerable y pueda afectar la distribución de fuerzas sísmicas, el programa ofrece la opción de diafragma elástico. En este caso las losas se modelan como elementos Shell y se aplica un factor de reducción de rigidez fuera del plano (a la componente placa), que por defecto es igual a 0.01. El ingeniero puede seleccionar un valor diferente, sin embargo, el programa no acepta un valor mayor de 0.1. En el programa ETABS las losas se pueden modelar como elementos tipo membrana o como elementos tipo Shell. En caso de usar elementos tipo Shell, se recomienda asignar un espesor de elemento reducido para la componente placa. Aunque esta reducción en el espesor puede distorsionar ligeramente la distribución de cargas gravitacionales, reduce apropiadamente la contribución de rigidez de la losa fuera del plano, en el análisis sísmico. Se recomienda usar un espesor menor de 0.2 veces el espesor real de la losa. Debe anotarse que el espesor reducido se debe aplicar solo a la componente placa y no a la componente membrana. Si se reduce el espesor de la componente membrana del elemento, se limita el efecto de diafragma de la losa. La consideración del efecto de diafragma de los entrepisos en la edificación no es opcional. Es uno de los requisitos mínimos de las normas sísmicas (NSR-10, A.4.4.1 b). Otra opción que pueden usar usuarios del programa ETABS es aplicar factores de reducción de rigidez para las componentes placa del elemento. Un error frecuente en el uso de dicho programa es asignar factores de reducción de rigidez solo a una de las componentes de flexión. Se debe aplicar factores de reducción de rigidez a todas las componentes de fuerza interna del elemento placa, incluyendo momentos de flexión M11 y M22, momento de torsión M12, y cortantes transversales V13 y V23. Se recomienda usar factores de reducción de rigidez menores de 0.01. En síntesis, Programas estructurales como ETABS y EngSolutions RCB son solo herramientas de cálculo que ofrecen diversas opciones para idealizar la estructura. La manera como el ingeniero estructural logra un diseño seguro, que cumple los objetivos previstos en las normas, es mediante una adecuada modelación y un diseño basado en hipótesis realistas. El uso de elementos finitos tipo Shell para modelar losas de concreto en el diseño sísmico de edificios, es un ejemplo del mal uso de un programa. Abril 23, 2017 - 16

Agradecimientos Los autores agradecen a los Ingenieros Luis E. Huertas, Adriana C. Hoyos y Carlos A. Castro por sus observaciones, comentarios, sugerencias y aportes en la preparación de este artículo.

Referencias: 

Aminpour M.A. (1990), NASA Contractor Report 4282, “Direct Formulation of a 4-Node Hybrid Shell Element with Rotational Degrees of Freedom”. https://ntrs.nasa.gov/search.jsp?R=19900012095



Aminpour M.A.(1992), “An Assumed Stress-hybrid 4-node Shell Element with Drilling Degrees of Freedom”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 33,19-38.



CSI (2016), ETABS Analysis Reference Manual: http://docs.csiamerica.com/manuals/etabs/Analysis%20Reference.pdf



CSI (2016), ETABS Shear Wall Design Manual: http://docs.csiamerica.com/manuals/etabs/Shear%20Wall%20Design/SWD-ACI-318-11.pdf



NSR-10 (2010). Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente. Asociación Colombiana de Ingenieria Sismica, AIS.



EngSolutions (2014), RCB v8.5 Nuevas Características: https://app.box.com/s/v1aycqkapwxfcsuf18ld8lkfyfopyk4g



EngSolutions (2016), RCB v8.6 Nuevas Características: https://app.box.com/s/kkz81valvr84nypq0hgjo1sjbu9uaatn



EngSolutions (2017), RCB v8.7 Nuevas Características: https://app.box.com/s/wu2igl9sbyna8evgfdlsc3ribr519z9h

Abril 23, 2017 - 17