Model Verhults

 

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Manusia tidak lepas dari berbagai macam permasalahan dalam kehidupan di dunia. Permasalahan –  Permasalahan  –  permasalahan  permasalahan tersebut menyangkut berbagai aspek, dimana dalam penyelesaiannya diperlukan sebuah pemahaman melalui suatu metode dan ilmu bantu tertentu. Salah satu ilmu bantu yang dapat digunakan adalah matematika. Matematika merupakan alat untuk menyederhanakan penyajian dan  pemahaman masalah. Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang jelas, sistematis dan keterkaitan antar konsep yang kuat. Oleh karena itu, banyak  permasalahan di luar bidang matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah menggunakan matematika. Salah satu cabang dari ilmu matematika adalah  pemodelan matematika. Model matematika adalah himpunan dari rumus dan atau  persamaan berdasarkan fenomena nyata dan dibuat dengan harapan bisa merepresentasikan dengan baik fenomena nyata tersebut menurut ilmu yang melatarbelakanginya.

Melalui

model

matematika,

matematika

berusaha

merepresentasikan berbagai fenomena yang terjadi di alam ini. Dalam  perkembangannya, model matematika telah digunakan dalam ilmu fisika, biologi, kesehatan dan bahkan ilmu-ilmu sosial. Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi. Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam. Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan  populasi. Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor  perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan

1

 

 

datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan konsumsi untuk perencanaan kegiatan. Salah satu model matematika untuk pertumbuhan populasi adalah model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults). Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan penduduk akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut,  jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium equilibrium), ), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. Laju  pertumbuhan, yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi diasumsikan positif, karena mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk  berkembang biak. Indonesia adalah Negara besar dengan jumlah penduduk yang banyak. Agar tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan  perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya bisa dimulai dengan memprediksi pertumbuhan populasi penduduk Indonesia. Berdasarkan uraian diatas, maka penulis mengambil judul ”Penerapan Model Verhults pada Populasi Penduduk Indonesia” Indonesia ”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang diuraikan diatas, permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah :   Bagaimana memprediksi jumlah populasi menggunakan model logistik 

 pertumbuhan populasi? populasi?

  Bagaimana menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik



 berdasarkan model logistik pertumbuhan populasi ?

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah :

  Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model logistik



 pertumbuhan populasi populasi Verhulst. 2

 

 

1.4 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah diatas maka tujuan dari penelitian penelit ian ini adalah :

  Mengetahui hasil prediksi populasi berdasarkan perhitungan model logistik



 pertumbuhan populasi populasi (Verhulst). 

  Menentukan daya tampung dan laju pertumbuhan intrinsik dari suatu populasi menggunakan model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults).

1.5 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan pendekatan teoritis, dimana penulis menganalisa jurnal, mengeksplor apa yang ada didalam jurnal dan kemudian menarik kesimpulan dari penelitian ini.

1.6 Sistematika Penulisan

Adapun sistematika yang dipakai dalam penyusunan studi literatur ini, adalah sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN

Bab ini meliputi Latar Belakang Masalah, Rumusan masalah, Batasan Masalah, Tujuan Penelitian, Metode Penelitian, Sistematika Penulisan dan Kerangka Berfikir dari studi literatur. BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini akan menguraikan dasar teori yang akan digunakan dalam  penyusunan studi literatur, yang meliputi Persamaan Diferensial dan Model Pertumbuhan Populasi (model eksponensial pertumbuhan populasi (model Malthus) dan model logistik pertumbuhan populasi (Verhulst)). BAB III

Bab ini merupakan bab pembahasan yang merupakan aplikasi teori yaitu model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) menggunakan studi kasus  pertumbuhan populasi populasi Indonesia.  BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

Dalam bab ini, berisi kesimpulan dan saran yang merupakan hasil yang telah didapatkan.

3

 

 

DAFTAR PUSTAKA

1.7 Kerangka Berfikir

Ledakan pertumbuhan populasi manusia dan penggunaan sumberdaya secara besar-besaran merupakan penyebab utama kerusakan lingkungan. Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu pertumbuhan  populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Model ini memprediksi  bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat populasi tersebut tumbuh. Namun, pertumbuhan eksponensial tidak dapat dipertahankan tanpa batas dalam populasi apapun. Model logistik, merupakan model yang lebih realistis membatasi pertumbuhan dengan menyertakan daya tampung, ukuran populasi yang dapat didukung oleh sumberdaya yang tersedia.

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Persamaa Persamaan n Diferensial

Banyak hukum-hukum alam yang mendasari perubahan-perubahan di alam ini dinyatakan dalam bentuk persamaan yang memuat laju perubahan dari suatu kuantitas, yang tak lain adalah berupa persamaan diferensial. Persaman diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau  beberapa turunan dari suatu fungsi, dengan satu atau lebih peubah yang tak diketahui. Jika fungsi yang tidak diketahui itu hanya bergantung pada satu peubah saja, maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika fungsinya bergantung pada dua atau lebih peubah, maka  persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial parsial. Orde dari persamaan diferensial didefinisikan sebagai

orde turunan

tertinggi yang terkandung pada persamaan tersebut. Persamaan diferensial orde

4

 

 

     

 pertama hanya mengandung dapat dituliskan sebagai

. bentuk umum dari persamaan diferensial pertama

′ 

, ,

′ 

 = 0, atau biasa di tulis

     ′ 

=

( , ). Arti

fisis diferensial adalah, laju perubahan sebuah peubah terhadap peubah lain.

Banyak kegunaan praktis persamaan diferensial biasa dapat diturunkan kedalam bentuk

′

    ′    ′           = ( ) 

...(2.1)

dengan manipulasi aljabar murni. Maka dapat diintegralkan kedua sisi terhadap diperoleh

+  

 =



,

…(2.2) 

Dikiri dapat dapat diubah kepada  sebagai variabel dari pengintegralan. Dengan kalkulus,

 =

, maka

 =

Jika

  dan

+  

…(2.3) 

  adalah fungsi kontinu, integral di (2.3) ada, dan dengan

mengevaluasinya diperoleh solusi umum dari (2.1). Metode penyelesaian  persamaan direfensial biasa ini disebut metode variabel terpisah  , dan (2.1)



disebut persamaan terpisah , karena di (2.3) variabel sekarang terpisah :  hanya



muncul dikanan dan  hanya dikiri. [6]

2.2 Model Pertumbuhan Populasi

Kedua kekuatan utama yang mempengaruhi pertumbuhan populasi, yaitu angka kelahiran dan angka kematian, dapat diukur dan digunakan untuk memprediksi bagaimana ukuran populasi akan berubah menurut waktu. [8]

 2.2.1  2.2 .1   M  Mo odel E ksp kspo one nens nsii al Model eksponensial merupakan model pertumbuhan yang sangat sederhana. Model eksponensial pertumbuhan populasi menjelaskan suatu populasi ideal dalam lingkungan yang tidak terbatas. Pada model ini individu berkembang tidak dibatasi oleh lingkungan seperti kompetisi dan keterbatasan akan suplai makanan. Laju perubahan populasi dapat dihitung jika banyaknya kelahiran, kematian dan migrasi diketahui. Prediksi bahwa jumlah populasi akan tumbuh secara eksponensial pertama kali dicetuskan oleh Malthus (1798) [1]. Populasi yang tumbuh secara

5

 

 

eksponensial pertama kali diamati terjadi di alam bebas. Dinamika populasi dapat di aproksimasi dengan model ini hanya untuk periode waktu yang pendek saja. Mengasumsikan bahwa laju pertumbuhan populasi terhadap waktu  berbanding lurus dengan jumlah populasi populasi yang ada. [2]

( )  menyatakan jumlah populasi pada saat

Misalkan

               

 bahwa jumlah populasi saat  = 0 =

0   adalah

0  ,

dapat dituliskan :

 =

  dan diketahui



maka model matematikanya

…(2.4) 

 ; dimana  konstan

Berikut ini adalah solusi jumlah populasi

  pada saat

 berdasarkan (2.4) :

 =

ln  =

( )=

( )=

 

Karena

( ) 

  atau

 

+  

   +

 

.

 

           −   ( )=

 

 

1

 =

0

0  =

(

 =

(0)

1

)

=

1  ,

maka :

 

...(2.5)

dimana

 : daya tumbuh suatu populasi (intrinsic ( intrinsic growth rate) rate) / perbedaan antara angka

–

kelahiran dan kematian per kapita (  = angka kelahiran tahunan perkapita  angka

kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita.

Persamaan (2.5)  dikenal sebagai Model Eksponensial pertumbuhan populasi / Model pertumbuhan populasi Malthus.

Dari (2.5) dapat diperoleh :

 −   −   (

ln

0)

(

=

0)

0

 

=

 

 −    0

 =

(

)

 

…(2.6) 

Jika solusi (2.5)  ditampilkan dalam bentuk grafik, maka didapatkan dua grafik berikut :

6

 

 

  

 

    =



0

 

0 





0 

 

Gambar.2.1

Grafik Pertumbuhan Eksponensial Grafik untuk  > 0 

         

 =

0

 

0 



0 

Gambar.2.2



 

Grafik Pertumbuhan Eksponensial



Grafik untuk  < 0 



→∞ 

Dari Gambar.2.1 jelas bahwa untuk  > 0 diperoleh lim

 =

∞

. Jika

hasil ini dikaitkan dengan jumlah suatu populasi, maka akan menimbulkan pertanyaan : dapatkah suatu populasi berkembang berkembang sampai pada jumlah tak-hingga?

7

 

 

Gambar.2.2, untuk



→∞ 

 < 0  akan didapatkan lim

 = 0 , yang mana jika

dikaitkan dengan jumlah populasi nampaknya hasil ini cukup logis. Suatu populasi akan mendekati mendek ati kepunahan (akan habis) jika j ika laju pertumbuhannya negatif. Model ini memprediksi bahwa semakin besar suatu populasi akan semakin cepat  populasi tersebut tersebut tumbuh.

 2.2.2  2.2 .2   M  Mo odel L ogi st stii k Model ini merupakan penyempurnaan dari model eksponensial dan pertama kali diperkenalkan oleh Pierre Verhulst pada tahun 1838. [1] Model pertumbuhan eksponensial mengasumsikan sumberdaya yang tidak terbatas, model ini merupakan kasus yang tidak pernah ditemukan di dunia nyata ini. Karena setiap populasi tumbuh dan tumbuh sehingga jumlahnya semakin  besar, peningkatan kepadatan populasi bisa mempengaruhi kemampuan individu untuk

mengambil

sumberdaya

yang

mencukupi

untuk

pemeliharaan,

 pertumbuhan, dan reproduksi. Populasi hidup dari jumlah sumberdaya yang terbatas, dan ketika populasi menjadi semakin padat, masing-masing individu mendapat bagian sumberdaya yang semakin kecil. Akhirnya, terdapat suatu batas dari jumlah individu yang dapat menempati suatu habitat. Para ahli ekologi mendefinisikan daya tampung (carrying capacity) sebagai ukuran populasi maksimum yang dapat ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada  pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode waktu yang relatif lama. [8] Daya tampung yang disimbolkan dengan



  adalah ciri lingkungan,

dengan demikian daya tampung bervariasi terhadap waktu dan ruang dengan keberlimpahan sumberdaya yang terbatas. Kepadatan dan keterbatasan sumberdaya dapat mempunyai dampak yang  besar pada laju pertumbuhan populasi. Jika individu tidak mendapatkan sumberdaya yang mencukupi untuk bereproduksi, angka kelahiran per kapita akan menurun. Jika mereka tidak memperoleh cukup energi untuk mempertahankan diri mereka sendiri, angka kematian per kapita akan meningkat. Suatu penurunan dalam angka kelahiran tahunan per kapita atau suatu peningkatan dalam angka kematian tahunan per kapita akan mengakibatkan laju pertumbuhan populasi yang lebih kecil.

8

 

 

Model ini memasukkan batas untuk populasinya sehingga jumlah populasi dengan model ini tidak akan tumbuh secara tak terhingga. Laju pertumbuhan  penduduk akan terbatas akan ketersediaan makanan, tempat tinggal, dan sumber hidup lainnya. Dengan asumsi tersebut, jumlah populasi dengan model ini akan selalu terbatas pada suatu nilai tertentu. Pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium ( equilibrium), ), pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama. [5] Verhulst

menunjukkan

bahwa

pertumbuhan

populasi

tidak

hanya

 bergantung pada ukuran populasi tetapi juga pada sejauh mana ukuran ini dari  batas atasnya seperti daya tampung. Dia memodifikasi model Malthus (eksponensial) untuk membuat ukuran populasi sesuai baik untuk populasi sebelumnya dengan syarat  populasi.

−

  , dimana

    dan

  disebut koefisien vital dari

Suatu model logistik diawali dengan model pertumbuhan eksponensial dan menciptakan suatu ekspresi yang mengurangi nilai   ketika   meningkat. Jika

   − 

ukuran populasi maksimum yang dapat dipertahankan adalah   , maka

 

akan memberikan petunjuk berapa banyak individu tambahan yang dapat

 − −   memberikan petunjuk ditampung oleh lingkungan tersebut, dan      =  



populasi.    berapa fraksi  yang masih tersedia untuk pertumbuhan populasi.

Persamaan yang telah dimodifikasi menggunakan syarat baru adalah :

 −  −   −   −  −     −         −     − −   2

 =

2

  =

 =

 =

2

  …(2.7) 

 

Model ini merupakan persamaan diferensial nonlinear yang mempunyai solusi : 2

1

1

 

1

 =

 

 =

+

1

 

 = +  

+

(

(

)) = +  

  

Diketahui bahwa jumlah populasi saat  = 0 =  1

 

0

ln(

0  ,

maka:

0 )) 

   − −  =  (ln

0  adalah

…(2.8)   …(2.8)

9

 

   − −    − −  −  − −     − −   − −−−  −   − −     − −  −   −    − −            −     − 

Dengan mensubstitusi nilai , persamaan (2.8) menjadi : 1

(ln

1

1

)) = + (ln

ln(

(ln (ln

ln(

))

0

0

0)

(

0(

)

 =

(ln

=

0

0

ln(

ln(

0 ))

0 ))

  = =  

 

 

Dengan melakukan pengeksponensialan pada kedua ruas, diperoleh : (

0)

0(

)

 =

 

(

 =

0

0

 =

0

 =

(

0  +

0

=

1+

(

0

0

) 

) 

  (bagi dengan

0+

0

) 

0

 

0  1

1+

0 ) 

+

0

 =

=

(

 =

0

0

0 ) 

0

  −  0

1

 1

 

   ( )=   −   −



+

…(2.9) 

 

Persamaan (2.9)  dikenal sebagai Model Logistik pertumbuhan populasi / Model pertumbuhan populasi Verhulst .

Jika persamaan (2.9)  dilimitkan sebagai    =  =  



 →∞ 

 , didapatkan (untuk  > 0) : ..(2.10) 

 →∞





Verhulst menjelaskan bagaimana parameter  dan  dapat diperkirakan dari

   

( ) dalam tiga yang berlainan tetapi dengan jarak tahun yang sama. [1]

 populasi Jika

0  adalah

 

populasi pada saat  = 0  ,

maka dari persamaan (2.9) dapat diperoleh : 

Ambil  = 1, sehingga 1

 =

 

 adalah

   −  −   1

1+



 

1   pada



saat  = 1 dan



2   pada



saat  = 2 ,

1 

 

(1)

0

10

 

 =  −  −    = − −   =     − −  −       =    − −− −    −−−−−− −       − − −    − −−−  − −  −        − −  − − 1+

1

0

0

1+

0

0+

0

0

0

(





1

0+



0

0

0

1

=



0

0

=  +

1

0

0+

 =

1

)

0

0

1  =

1

0+

 

Ambil  = 2, sehingga

0 

+

 =

 

 adalah

..(2.11) 

2  dengan

 =

cara yang sama diperoleh :

 

..(2.12) 



Bagi (2.12) oleh (2.11) untuk mengeliminasi mengeliminasi  , diperoleh :

 − −     −−    − −   −−   1+ −  =  −−−   − −  =  −  −    2

1

1

=

=

 1

2

2  1

0

0

1

2

1



2 1

0

1

2

0

2 0 2 0 1 0 1

=

   −− −−   −− −− −   −   − 0

0

=

=

1( 0

0

2

2

2

1

1

2

2

 

)

)

1

)

)

1

2( 0 1

2

2

2( 0

1( 0

0

 

0

 

2

 

11

 

− −    −     −   − −    −  −− −   −  −−  0

 =

1

1

2

2

0

2

1

2

 

 − −−−   −−−  −−   −  −− −−  −−−−−−−− −   0

0

2

1

1

2

 =

2

2

0

2

1

2

0

2

1

2

 +

0

 =

2

(

1

2

 =

0

2

0

1

1

2

0

2

1

0

0

1

2

1

2

1

2

(

0

1

2

2 +

0

1

0

0

2

2

 =

2

(

)

(

)

2

) 

 

 

 

  −−   −−   −    −   −   −− − −−− −− −  − − − −   − −− −   −   −−  −− −− −−     −  −      −  −     −    − −−   →∞    −−  0

2

 

 +

 +

2

2

2

0

1

0

)=

1

1

1

 =

2

2

1

0

 =

0

−  − 

0

2

 

 

..(2.13)

Substitusi (2.13) ke (2.11), maka :

1

0( 2

1)

2( 1

0)

 =

0( 2 2( 1

 1

2( 1

0)

0( 2

1)

2( 1

0)

2( 1

0)

 =

0) 1( 2 1 2( 1 0) 0( 2 0) 2( 1 2( 1 0) 2( 1

=

1

=

=

0)

2( 1 1

1( 1

2

0

2

1

1( 0

0

2

1

1)

2( 1

2

0

0)

1)

 

 

0)

1( 2

0)

0

2

2 0 2+ 1 2)

1)

0( 2

1)

 

2

2+ 0

1)

 

 

+

(

 =

1( 2

2( 1

1

2+ 1

1

2

0)

2( 1

 =

1)

2( 1

0)

 

0

1

2( 1

1) 0)

)

 

..(2.14) 

Dengan mensubstitusi (2.14) ke (2.10) , diperoleh :  

 =

Ketika

ukuran

 =   =

suatu

populasi

(

berada

+

dibawah

)

 

..(2.15) 

daya

tampungnya,

 pertumbuhan populasi akan berjalan cepat menurut model logistik, akan tetapi ketika





  mendekati  , pertumbuhan populasi akan menjadi lambat.

12

 

 

Untuk



→∞    

 > 0  berlaku lim

 =   , sehingga disimpulkan bahwa grafik

dari (2.9) mempunyai asimtot mendatar dapat dilihat pada Gambar.2.3 

  



 =   . Grafik solusi untuk kasus

( ) 

     

     −  − 

 

2

( )=



1+

0 



0

 

 

1

 

Gambar.2.3 

Grafik pertumbuhan logistik yang Naik

′

Dapat dilihat bahwa kurva logistik adalah

    

infleksi ketika

 =

 

2

Sedangkan untuk  <

( ) 

 2

 . (dihasilkan dari

 0  ,

2

 =

-shaped dan mempunyai titik

 −′

=0). [3] 

 > 0 grafik solusinya adalah :

0 

    −  − ( )=

1+

 

 

1

0

 



Kasus  <

 0  ,

 > 0 



 

Gambar.2.4  

Grafik pertumbuhan Logistik yang Menurun

13

 

 

 

Untuk  < 0 didapatkan solusi yang tidak stabil, yaitu tidak mengarah pada titik kesetimbangan tertentu. Himpunan grafik solusinya adalah sebagai berikut :

( ) 

    −  − ( )=



1+

 





Kasus  < 0 

0

 

 

1

 

Gambar.2.5  



Solusi Model Pertumbuhan Logistik dengan  < 0 

Dari (2.9) dapat diperoleh nilai

   − −−    

   −  −   −  −   −   −  ( )=

1+

0

∗

 dengan cara sebagai berikut :

  1

1

 =

 

0

1

1

 =

 

1

0

∗

 =

 −   −  

−

 

Persamaan (2.16) adalah nilai

∗

  yang menunjukkan waktu ketika

setengah dari batas populasi maksimum. [1]



..(2.16)   mencapai

14

 

 

Model pertumbuhan logistik memberikan pengertian akan jumlah populasi maksimum atau minimum sebagai titik titi k jenuh pertumbuhannya.

BAB III PENERAPAN MODEL VERHULTS PADA POPULASI PENDUDUK INDONESIA

Salah satu persoalan paling penting di dunia adalah proyeksi populasi. Ukuran dan pertumbuhan populasi dalam suatu negara secara langsung mempengaruhi keadaan ekonomi, politik, budaya, pendidikan dan lingkungan dari negara tersebut dan menentukan eksplorasi dan kebutuhan sumber daya alam. Tidak ada yang ingin menunggu sampai sumber daya ini habis karena ledakan  populasi. Dengan dibentuknya sebuah model matematika, proyeksi populasi tiap tahun dapat dilakukan berdasar data sensus penduduk yang sudah ada, sehingga tidak perlu melaksanakan sensus penduduk tiap tahun. Pemerintah dan sektor  perusahaan selalu membutuhkan gambaran akurat tentang ukuran yang akan datang dari bermacam entitas seperti populasi, sumber daya, kebutuhan dan konsumsi untuk perencanaan kegiatan. Indonesia merupakan Negara kepulauan yang berdasarkan posisi garis lintang dan garis bujur berada diantara 60  LU  –   110  LS dan 950  BT  –   1410 BT. Secara geografis Indonesia terletak diantara dua samudera dan dua benua, yaitu Samudera Pasifik dan Samudera Hindia, serta Benua Asia dan Benua Australia. Topografi wilayah Indonesia sangat bervariasi, hal tersebut berpengaruh pada kehidupan masyarakatnya. Masyarakat Indonesia merupakan masyarakat yang majemuk, dimana Indonesia memiliki berbagai macam bahasa, agama, mata  pencaharian, suku bangsa dan lain-lain. Indonesia juga merupakan Negara besar dengan jumlah penduduk yang  banyak. Agar tidak terjadi ledakan populasi yang dapat menimbulkan bencana, maka diperlukan perencanaan untuk pengendalian jumlah populasi, salah satunya  bisa dimulai dengan memprediksi pertumbuhan populasi populasi pendudukIndonesia.

15

 

 

Studi literatur ini memusatkan pada aplikasi model logistik pertumbuhan  populasi (model Verhults) untuk memprediksi pertumbuhan populasi Indonesia menggunakan data dari tahun 1987 sampai 2010. Data jumlah penduduk Indonesia dari tahun 1987 sampai dengan 2010  berdasarkan katalog BPS (Badan Pusat Pusat Statistik) : 3101015. [4]  Jumlah penduduk penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010 1987-2010 Tabel.3.1 Jumlah Sumber : Badan Pusat Statistik

T ahun

P opulasi

T ahun

P opulasi

1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

170653 173472 176336 179379 182940 186043 189136 192217 195283 198320 201353 204393

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

207437 205132 207995 210898 213841 216826 219852 222747 225642 228523 231370 237556

Gambar.3.1

Grafik jumlah populasi penduduk sebenarnya dari tahun 1987 sampai 2010  2010 

16

 

 

Berdasarkan pada populasi dari tahun 1987 sampai 2010 pada Tabel.3.1 ,

 

misal  = 0,1,2  mewakili masing-masing tahun 198 1987, 7, 1988 1988  dan 1989  . Maka 0,

1,

2  berturut-turut

adalah 170 170653, 653, 173472 173472 dan 176336.

   →∞   −−− −     0,

Substitusi

1  dan  2  kedalam

1( 0

 

=

1

 =  =

 = lim

=

persamaan (2.15) diperoleh :

 173472( 170653

1

173472

2 0 2+ 1 2)

2

0

2 170653

 

2

176336 +(173472)( 176336)

(173472)2 ( 170653  176336 )

  1.446928564 1.446928564 ×10 12 267376

 

 

= 5411587.293 5411587.293  ini merupakan prediksi daya tampung (carring (carring capacity) capacity) atau ukuran populasi  penduduk maksimum yang yang dapat ditampung Indonesia. 0,

Dari persamaan (2.13), dengan mensubstitusi

−    −   =

= =

0( 2

1)

2( 1

0)

−−

176336(173472 170653)

 488750192 497091184

 

 

= 0.983222039 0.9832220398 8 

 −  =

:

 

 

 170653(176336 173472)

1  dan  2  diperoleh



ln 0.9832220398  

= 0.016920304 0.016920304 

= 1.692030459% 1.692030459%

ini mengimplikasikan bahwa laju pertumbuhan populasi penduduk Indonesia diperkirakan 1.692030459% pertahun. Untuk memperoleh prediksi populasi, substitusi nilai  persamaan (2.9) sebagai berikut :

  

 = 1+

0,



 dan  kedalam

   −  −    0

 

=

  1

5411587.293

.293   1+ 5411587 170653



 

 − 

1 (0.983222 (0.9832220398 0398 )

−

 



17

 

Tabel.3.2 Jumlah  Jumlah penduduk penduduk Indonesia (ribu), 1987-2010 1987-2010

 Populasi sebenarnya dan populasi populasi prediksi berdasarkan model Verhults.

Tahun 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Populasi  Seb  Se benar nar ny nya a 170653 173472 176336 179379 182940 186043 189136 192217 195283 198320 201353 204393

Prediksi Populasi 170653 173472 176335 179245 182200 185203 188254 191352 194500 197698 200946 204246

Tahun 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010

Populasi  Seb  Se benarnya narnya 207437 205132 207995 210898 213841 216826 219852 222747 225642 228523 231370 237556

Prediksi Populasi 207598 211002 214460 217972 221539 225162 228842 232579 236375 240229 244144 248119

Gambar.3.2

Grafik jumlah populasi prediksi berdasarkan model Verhults  Verhults  

Kurva logistik mempunyai titik infleksi ketika

 

 = 2705793.647 2705793.647 



 =



2

 . [3]

2

 

18

 

Dari persamaan (2.16) diperoleh nilai

 −   −   

∗

 sebagai berikut :  

1

∗

 =

− 0

=

 −

1

 

5411587 .293 2705793.647 1 5411587 .293 1 170653

−  

0.016920304

−−

3.424622827

=

0.016920304

 

= 202.3972399 202.3972399 

≈

 202 

Jadi, populasi penduduk Indonesia diprediksikan menjadi 2705793.647   pada tahun 2202.

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, maka dapat disimpulkan  bahwa sebagai berikut : Model logistik pertumbuhan populasi (model Verhults) adalah :



( )=

   

dimana :

1+

 − − 0 

(9)

  1



( ) : jumlah populasi pada saat  



  : daya tampung / carrying capacity  capacity  (ukuran populasi maksimum yang dapat

ditampung oleh suatu lingkungan tertentu tanpa ada pertambahan atau penurunan ukuran populasi selama periode waktu yang relatif lama).



 : daya tumbuh suatu populasi (intrinsic ( intrinsic growth rate) rate) / perbedaan antara angka



–

kelahiran dan kematian per kapita (  = angka kelahiran tahunan perkapita  angka

19

 

 

kematian tahunan per kapita) / laju pertumbuhan populasi per kapita dan diasumsikan positif. Dengan

model

logistik

pertumbuhan

populasi

(model

Verhults)

diprediksikan daya tampung untuk populasi Indonesia adalah 5411587.293   . Berdasarkan

model

ini,

laju

pertumbuhan

populasi

Indonesia

adalah

1.692030459% pertahun, dan populasi akan mencapai 2705793.647  pada tahun

2202. 4.2 Saran

Dalam kajian studi literatur ini, penulis hanya membahas model logistik  pertumbuhan populasi (model Verhults) untuk prediksi pertumbuhan populasi di Indonesia. Dari kajian studi literatur yang telah dilakukan, pembaca dapat memperhatikan kelebihan dan kekurangan dari model logistik pertumbuhan  populasi (model Verhults), sehingga diharapkan bagi yang akan menyusun studi literatur mengenai pemodelan matematika khususnya model matematika untuk  pertumbuhan populasi, modifikasi dari pertumbuhan logistik pertumbuhan  populasi atau model pertumbuhan populasi lainnya lainn ya dapat dijadikan sebagai bahan  penulisan selanjutnya.

20