Mode Laci On

MODELACIÓN

PASOS PARA LA MODELACIÓN • Comprender el problema • Definir las variables • Definir la funcin ob!e"ivo • Definir las res"ricciones

Definición: Los modelos ma"em#"icos $ue se formularan en el curso presen"an la si%uien"e es"ruc"ura %eneral& op" f'()* (+* , , , -n. s,a, %)'()* (+* , , , -n. / 0 %+'()* (+* , , , -n. / 0 , , %m'()* (+* , , , -n. / 0

'I.

1)'()* (+* , , , -n. 2/  3/ 0 , , 14'()* (+* , , , -n. 2 /  3/ 0 donde f* %i* 1 ! es"#n definidas de Rn en R5 i / )* , , * m 6 ! / )* )* , , ,* 4 'n 2 m.

Modelación

E!)& Calcular las dimensiones de un rec"#n%ulo de per7me"ro +m"s $ue "iene #rea m#(ima, E!+& 8n a"le"a desea consumir un m7nimo de 9: unidades de vi"amina A al d7a* ; unidades de vi"amina C 6 9+ unidades de vi"amina D, 8n comple!o vi"am7nico de marca ) cues"a 90,000 pesos 6 proporciona + unidades de vi"amina A* + de vi"amina C 6 ; de vi"amina D, Elde marca + cues"a M, Se "ra"a de car%ar en una bolsa ob!e"os de S* de "al forma $ue se ma(imice el valor "o"al* pero sin $ue el peso de "odos los ob!e"os $ue se inclu6an en la bolsa e(ceda un peso dado P,

Modelacin ), 8n alambre de lon%i"ud L debe ser dividido en dos par"es& una de ellas se u"iliBar# para cons"ruir un cuadrado 6 con la o"ra una circunferencia, Cu#l debe ser la lon%i"ud de cada una una de par"es de "al forma $ue la suma del #rea del cuadrado 6 el c7rculo sea m7nima, +, De"ermine la dis"ancia m7nima m7nima en"re un pun"o pun"o de la curva f'(./( f'(./( + 6 %'(./ (@,

• f 'y .  f ' x.' y   x.

  Mse "iene $ue

Modelacin ), 8n alambre de lon%i"ud L debe ser dividido en dos par"es& una de ellas se u"iliBar# para cons"ruir un cuadrado 6 con la o"ra una circunferencia, Cu#l debe ser la lon%i"ud de cada una de par"es de "al forma $ue la suma del #rea del cuadrado 6 el c7rculo sea m7nima, +, De"ermine la dis"ancia m7nima en"re un pun"o de la curva f'(./( + 6 %'(./ (@,

• f 'y.  f ' x.' y  x.

  Mse "iene $ue

Ejemplo #1 • 8na plan"a procesadora de %asolina recibe cada semana una can"idad fi!a de ma"eria prima* la cual se procesa para dar dos "ipos de %asolina& corrien"e 6 e("ra* las cuales "ienen %aran"iBada su ven"a, La produccin de s"as involucran res"ricciones de almacenamien"o 6 "iempo* por e!emplo no se pueden producir los dos "ipos de %asolina a la veB 6 las ins"alaciones es"#n disponible ;0 1oras a la semana,

•  Adem#s e(is"e un l7mi"e de almacenamien"o* "odos los fac"ores se mues"ran en la si%uien"e "abla& Recurso M. Prima

Corriente  m! "ton

Extra 11m! "ton

Disponib m! "se

iempo Prod.

1$ %r"ton

& %r"ton

&$ %r"sem

'lmacenam.

( ton

) ton

*tilidad

1+$ u.m"ton

1+ u.m"ton

Formule es"e problema median"e un modelo de PL $ue permi"a calcular la produccin p"ima semanal $ue ma(imice las u"ilidades,

E!emplo G +, • Hermec L"da,* se desenvuelve en el ne%ocio de reparacin de m#$uinas lavadoras, La compa7a brinda servicio a clien"es en "oda la ciudad, Hiene cinco empleados $ue viven en diferen"es lu%ares, Con el fin de a1orrar "iempo de mane!o 6 cos"os de inicio de cada d7a* el personal de servicio se diri%e direc"amen"e de sus casas a los lu%ares donde se les re$uiere, La "abla presen"a las dis"ancias asociadas con los primeros cincos "raba!os al iniciar el d7a, A cada empleado se le pa%a por conducir acorde con la dis"ancia recorrida, Formule es"e problema median"e un modelo de PL,

Habla )

EMP ) + 9 < 

O ) +0 ): ; +0 <

R + )< ; : ++ ):

D 9 : ++ +< + ++

E < )0 +0 )< ; :

N  ++ )0 )+ : +<

Ejemplo # ! 8na f#brica de papel recibi "res pedidos de rollos de papel con anc1os 6 lon%i"udes indicados en la Habla , Los rollos se producen en la f#brica con + anc1os es"#ndar* )0 6 +0 pies* los cuales 1a6 $ue recor"ar a los "amaos especificados por los pedidos, No e(is"en l7mi"es sobre la lon%i"ud de los rollos es"#ndar* 6a $ue para propsi"os pr#c"icos los rollos de lon%i"ud limi"ada pueden unirse para proporcionar la lon%i"ud re$uerida, El ob!e"ivo es de"erminar el es$uema de produccin 'modelo de cor"e. $ue minimice la prdida por a!us"e 6 sa"isfa%a la demanda dada median"e un modelo de PL,

• Habla Pedido ) + 9

Anc1o 'pies.  J K

G de rollos )0,000 90,000 +0,000

E!emplo G < Fru"as de la Cos"a* empaca fru"as e("icas para re%alos de aniversario, Sus pa$ue"es son envuel"os en dos "iendas diferen"es* desde las cuales son enviados a cinco diferen"es vendedores, El cos"o de empacar los produc"os en la "iendas ) 6 + es de ,+ 6 ,J0* respec"ivamen"e, La prediccin del %eren"e sobre la demanda indica $ue los embar$ues deben ser como se indica en la Habla ), La capacidad de empa$ue de la "ienda ) es +0,000 pa$ue"es 6 de la "ienda + es de )+,000, Los cos"os de dis"ribucin desde las "iendas se dan en la "abla +,Formule es"e problema como un modelo de PL para de"erminar cuan"os pa$ue"es debe enviar Fru"as de la Cos"a desde cada "ienda a cada vendedor,

Habla )

endedor ) + 9 <  Demanda ,* (n./0* i/)*>* m* % !'()*>,* (n.3/0  2/0* !/)*>* 4? E!emplos& Represen"a %r#ficamen"e los con!un"os de nivel en las si%uien"es funciones& •f'()*(+. / e()Q(+ •f'()*(+. / ()+@ (+ E!emplos& Represen"a %r#ficamen"e las re%iones fac"ibles  en las si%uien"es funciones& •/ ='()*(+. ε R+ '() @ ).+ Q '(+  9.+ /* (Wm* (WmQ)* > (Wn. es una solucin p"ima %lobal 'local. del problema con res"ricciones

C6D7C76E 6ECE'R7' DE 1ER RDE6 DE 8'9R'69E DE P7M 8C'8

•

El m"odo de sus"i"ucin no siempre es aplicable

•

8n cri"erio m#s %eneral para 1allar solucin p"ima* en caso de e(is"ir* para funciones diferenciables & Condiciones necesarias de )er  orden de La%ran%e

Definición: Dado el pro%rama op" f'()* (+* , , , -n. s,a, %)'()* (+* , , , -n. / 0 %+'()* (+* , , , -n. / 0 , , , %m'()* (+* , , , -n. / 0 Con m 3 n donde f& R n

R %i& Rn

'I.

R

Para i / )* +* > * m se denomina funcin La%ran%iana asociada a ' I .* a la funcin de nQm variables L definida por& L';

x. / f'x. Q Z)%)'x. Q , , , Q Z m%m'x. con  / 'Z)* , , , * Zm.

eorema: Condición necesaria de * %m. en 5-* >3'5-=; "iene un menor de orden m dis"in"o de 0 \>3'5-= \ ]0* e(is"en m nmeros reales Z W)*>* ZWm "ales $ue son solucin del si%uien"e sis"ema de ecuaciones& m

m

∇ f  ( X *) + ∑ ∇ g i ( X  ) = 0 * λ i

*

'1.

i =1

Las soluciones fac"ibles de 'I. $ue verifican '). se denominan pun"os es"acionarios del pro%rama 'I., Los m nmeros reales ZW)*>* ZWm $ue se ob"ienen al resolver '). se conocen como mul"iplicadores de La%ran%e* asociadas a las m res"ricciones en el pun"o 5-,

•

Definición& Dado el pro%rama 'I. se dice $ue en la solucin fac"ible 5- se verifica la condicin de re%ularidad o res"riccin de cualificacin* si \>3'5-= \ ]0* es decir si los vec"ores ^%)'5-.* >* ^%m'5-. son linealmen"e independien"es, m

•

Proposición& En las 1ip"esis del "eorema de las condicin necesaria de primer orden de La%ran%e* se verifica $ue "odo pun"o cr7"ico 'ZW* -W. de la funcin La%ran%iana asociada a 'I.* es un pun"o es"acionario 5- de 'I. con mul"iplicadores de La%ran%e asociados W,

E!emplo& • Min  / 9 Q ()+ Q +(++ Q 0 i.  si  para todo  p ∈  M ( x*) con  p ≠ 0 , * se verifica $ue  x es un minimo local es"ric"o de 'I.,

 p ' H  x L(λ *, x*) p < 0 ii. si  para todo  p ∈  M ( x*) con  p ≠ 0 , se verifica $ue  x * es un ma(imo local es"ric"o de 'I.,

}

HEOREMA& Condiciones suficien"es de op"imalidad %lobal   Sea D un subcon!un"o abier"o de Rn* se considera el pro%rama op" f'()* (+* , , , - n. s,a, %)'()* (+* , , , - n. / 0 %+'()* (+* , , , - n. / 0 , , , %m'()* (+* , , , - n. / 0

'I.

con m 3 n donde f* %i* i / )* , , , * m son funciones C ) definidas en D ⊂ Rn , En"onces se verifica $ue si f es con?exa 'cncava. en el con!un"o de soluciones fac"ibles  6 las funciones 3   i/)*>*m son lineales* "odos los pun"os es"acionarios de 'I. son mnimos= 0

'9.

i ∈ I 

 g  j ( x *)