Mod Sim Curs

Modelare şi simulare

5

MIRCEA DULĂU

STELIAN OLTEAN

MODELARE şi SIMULARE Curs

2008

Modelare şi simulare

6

UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MUREŞ FACULTATEA DE INGINERIE

dr. ing. MIRCEA DULĂU dr. ing. STELIAN OLTEAN

MODELARE şi SIMULARE Curs

2008

Modelare şi simulare

Referenţi ştiinţifici: Prof. dr. ing. Mihail ABRUDEAN Prof. dr. ing. Alexandru MORAR

Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această lucrare este posibilă numai cu acordul scris al autorilor.

Tehnoredactare computerizată: autorii Grafica: autorii Corectura: autorii Multiplicare: Petru Pop Legătorie: Lenuţa Pop Bun de tipar: 12.06.2008 CZU 621-52; 004.94 Tiparul executat la Universitatea “Petru Maior” din Târgu Mureş

7

Modelare şi simulare

8

I. PROBLEMATICA MODELĂRII ŞI SIMULĂRII. ASPECTE GENERALE I.1. Definiţii. Terminologie În domeniul ştiinţelor tehnice, experimentul şi observaţia constituie aspecte esenţiale pentru un sistem ce se elaborează iterativ. Modelarea şi simularea prezintă principalele metode şi tehnici prin care obiecte din lumea reală, procese, fenomene etc., sunt reprezentate matematic şi apoi analizate indirect, utilizând tehnica de calcul. Modelul este reprezentarea matematică a dependenţei dintre mai multe mărimi. Dacă dependenţa corespunde unui proces fizic realizabil, modelul se numeşte sistem, aceasta însemnând că între mărimile ce apar există o relaţie de cauzalitate care le separă în două clase (mărimi de intrare - cauză, mărimi de ieşire - efect). Implementarea unui model pe un dispozitiv de calcul (analogic, numeric), pentru a-i studia proprietăţile esenţiale (răspuns la diverse intrări, performanţe, etc.), reprezintă modelarea (analogică, numerică). Construirea modelului matematic se poate aborda astfel: -

modelare analitică, consecinţă a legilor fizico-chimice care descriu desfăşurarea fenomenelor;

-

modelare experimentală, bazată pe prelucrarea datelor obţinute prin măsurători experimentale. Construcţia unui model matematic, optim în raport cu un criteriu impus,

pentru obiectele automatizate, pe baza datelor experimentale obţinute prin test sau funcţionare normală, reprezintă identificarea. Observaţii: -

modelul matematic reprezintă o aproximare simplificată a realităţii; modelul matematic nu poate (şi în general nici nu trebuie) să reprezinte exact sistemul real în toată complexitatea sa;

-

complexitatea unui model matematic este dictată, în general, de acurateţea (precizia) dorită în descrierea comportării sistemului, în

Modelare şi simulare

9

sensul că un model simplu neglijează sau idealizează anumite aspecte ale comportării; -

modelul matematic are un caracter generalizator pentru o clasă de sisteme echivalente, indiferent de natura fizică a fenomenului caracterizat; în general, parametrii determinaţi au semnificaţii fizice directe;

-

modelul trebuie să aibă o formă utilizabilă.

În acest context, o definiţie a modelului poate fi formulată astfel: „Modelul reprezintă o interpretare explicită a înţelegerii unei situaţii sau cel puţin o idee despre această situaţie. El poate fi exprimat matematic, prin simboluri sau cuvinte, esenţială fiind descrierea entităţilor şi a relaţiilor dintre acestea. Modelul poate fi descriptiv sau ilustrativ, dar mai presus de toate trebuie să fie util” [10,12,13,21]. Simularea este procedeul de reprezentare a unui proces real printr-un model idealizat, fizic realizabil sau numai conceptual, prin intermediul căruia se urmăreşte obţinerea de informaţii privind comportarea. Simularea este utilă, în special în cazurile în care analiza directă este imposibilă, respectiv: sistemul nu poate fi pus la dispoziţia analistului, pentru experimentări

directe;

există

pericolul

producerii

unor

pagube

prin

experimentare directă; sistemul are evoluţie lentă în timp; nu pot fi generate direct condiţiile de experimentare, etc. Observaţii: -

prin simulare nu se pot obţine soluţii foarte exacte pentru că, principial, modelele sunt imperfecte;

-

există erori în precizarea datelor, a parametrilor, a condiţiilor de simulare, care nu pot fi compensate;

-

în cazul proceselor foarte complexe, modelul de simulare poate deveni mai complex decât procesul însuşi.

Comportarea unui sistem în diferite condiţii poate fi descrisă cu ajutorul unui model verbal (de ex., formularea unor principii de funcţionare). Un alt tip de model îl constituie modelul fizic (macheta), care îşi propune să reducă la o

Modelare şi simulare

10

anumită scară caracteristicile unui sistem dat (de ex., macheta unei clădiri). Modelele respective

fenomenologice prin

anumite

(conceptuale) legi.

permit

Modelele

descrierea

funcţionale

sistemelor

(formale)

permit

reprezentarea sistemelor prin relaţii şi scheme funcţionale. În cadrul preocupărilor tehnico-inginereşti, modelul matematic (analitic) se concentrează pe descrierea comportării diverselor entităţi fizice. Înlocuind entitatea fizică concretă, „modelul” permite formularea de constatări privind detaliile de funcţionare sau soluţiile de proiectare. Prin conţinutul lor informaţional, calitativ şi cantitativ, modelele de natură matematică se dovedesc a fi descrieri foarte performante pentru studiile din domeniul ingineriei. În condiţiile când pentru parametrii constructivi nu sunt disponibile valori numerice concrete, modelul obţinut realizează doar o descriere calitativă a comportării sistemului. Modelul matematic al unui sistem poate fi exploatat prin intermediul unor prelucrări analitice care conduc la formulări sau expresii noi (de ex., rezolvarea unor ecuaţii algebrice sau a unor ecuaţii diferenţiale). Dar prelucrările analitice nu sunt întotdeauna posibile şi, în atare situaţii, se apelează la metode specifice calculului numeric. Aceste metode sunt, în general, uşor de utilizat apelând la un limbaj sau mediu de programare. Astfel, investigarea unor proprietăţi ale sistemului studiat, presupune rezolvarea numerică a unor probleme, procedeele de investigare constituind aşa-numita analiză asistată de calculator. În aceste condiţii, prin intermediul simulării numerice, se pot desfăşura experienţe sau experimente de simulare care nu necesită nici un fel de manipulare fizică a sistemului concret studiat. Astfel, experimentele de simulare înlătură limitările experienţelor practice, cu acţiune nemijlocită asupra sistemului fizic. În modelare şi simulare, noţiunea de semnal este echivalentă termenilor mărime sau variabilă, care sunt utilizaţi în descrierea funcţionării unui sistem (indiferent de natura fizică concretă a acestuia). Din punct de

Modelare şi simulare

11

vedere matematic, orice semnal trebuie privit ca o funcţie f(t) : R→R, în care argumentul (variabila independentă) t are semnificaţie temporală, permiţând, astfel, exprimarea modului în care o anumită cantitate (cu înţeles fizic) se modifică în timp. Utilizând termenul de semnal, se face referire la evoluţia în timp a oricărei mărimi fizice, (de ex.: temperatura dintr-o incintă, viteza unui mobil, volumul de fluid dintr-un rezervor, tensiunea la bornele unui rezistor electric, etc.). În funcţie de complexitatea sistemului studiat, nu toate semnalele sunt accesibile măsurătorilor sau înregistrărilor, dar imposibilitatea accesului practic la aceste semnale nu înseamnă inexistenţa lor. În studierea dinamicii unui sistem, există două categorii de semnale care sunt nemijlocit accesibile măsurării sau înregistrării, datorită rolului pe care îl deţin în comportarea sistemului: - semnale de intrare (semnale cauză sau intrări), care provin din universul exterior sistemului şi acţionează asupra acestuia; - semnale de ieşire (semnale efect sau ieşiri), care sunt furnizate de sistem către universul exterior acestuia. Modelarea bazată pe principiile fizicii realizează legături între intrări şi ieşiri prin intermediul unor relaţii analitice care includ şi semnalele interne din structura sistemului. Aceste relaţii analitice care exprimă legăturile dintre semnale sunt, de fapt, relaţii din diverse domenii ale fizicii aplicate adecvat în contextul problemei de modelare. I.2. Etapele modelării Procesul de modelare a unui sistem include următoarele etape: a. modelarea fizică; b. modelarea matematică; c. investigarea modelului matematic; d. validarea modelului.

Modelare şi simulare

12

La nivelul modelării fizice se concepe un model al sistemului de analizat, a cărui comportare se apropie suficient de mult de comportarea sistemului real. Un asemenea model „ideal” este considerat model fizic al sistemului, care se completează cu condiţiile la limită pentru reprezentarea interacţiunii dintre sistem şi mediu [13,21,22]. Construirea modelului fizic necesită o serie de aproximări, respectiv: - se neglijează efectele minore; aceasta simplifică calculele matematice prin reducerea numărului variabilelor şi a numărului şi complexităţii ecuaţiilor de mişcare; - se presupune că mediul înconjurător sistemului nu este afectat de sistem; - se înlocuiesc caracteristicile „distribuite” cu caracteristici „concentrate” similare; elementele cu parametri distribuiţi se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale care sunt dificil de integrat, în timp ce elementele cu parametri concentraţi se reprezintă prin ecuaţii diferenţiale ordinare relativ simplu de integrat; - se presupune că relaţiile cauză-efect dintre variabilele fizice sunt liniare; sistemele neliniare pot fi aproximate prin sisteme liniare pentru variaţii mici în jurul punctelor lor de lucru, rezultând o soluţie în formă închisă (relaţie liniară între cauză şi efect); - se presupune că parametrii fizici nu se modifică în timp, ecuaţiile de mişcare fiind mai uşor de rezolvat; - se neglijează incertitudinea privind valorile parametrilor, măsurătorile şi factorii perturbatori ce afectează intrările şi ieşirile sistemului; în analiza dinamicii se neglijează deseori zgomotele, iar procesul de analiză se desfăşoară ca şi cum toate mărimile au valori precis cunoscute. Modelarea matematică presupune dezvoltarea unui model potrivit pentru reprezentarea modelului fizic, aceasta conducând la obţinerea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare. Această etapă presupune: -

alegerea variabilelor de intrare, ieşire şi stare (tensiuni şi curenţi în domeniul electric, poziţii şi viteze în domeniul mecanic, debite şi

Modelare şi simulare

13

niveluri în domeniul hidraulic, temperaturi, presiuni, densităţi în domeniul termic); -

specificarea ecuaţiilor de echilibru pentru forţe, momente, mase, energie sau scrierea unor relaţii de compatibilitate ale sistemului (curent - tensiune în domeniul electric, forţă - mişcare în domeniul mecanic, forţă - câmp electromagnetic în domeniul electromecanic, temperatură – presiune - energie în domeniul termodinamic);

-

combinarea algebrică a relaţiilor într-un set compact de ecuaţii de mişcare.

Modelele matematice astfel deduse se numesc modele teoretice. Investigarea

modelului

matematic

presupune

studiul

comportării

dinamice a modelului matematic prin rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare, cunoscându-se condiţiile iniţiale, condiţiile la limită, valorile unor parametri sau domeniul de variaţie a parametrilor, pentru care modelul este valid. Se decide asupra metodei potrivite de rezolvare, prin: -

metode analitice;

-

metode de aproximare analitică;

-

metode de aproximare numerică.

Validarea modelului reprezintă un proces de dezvoltare a încrederii în precizia

modelului

pentru

un

anumit

domeniu.

Validarea

presupune

compararea soluţiilor modelului matematic cu procesul real. De regulă, testele şi evaluările se fac până la atingerea unei anumite încrederi în validitatea modelului pentru domeniul aplicaţiei. I.3. Tipuri de modele Modelele matematice pot fi grupate în clase, pe baza unor caracteristici care se referă la descrierea realizată de model pentru comportarea corectă a sistemului [3,12,13,15,16,20,22].

Modelare şi simulare

14

a. Modele deterministe – modele stohastice Un model este determinist dacă pentru fiecare semnal de intrare u(t) există o singură valoare a semnalului de ieşire y(t), ceea ce înseamnă că parametrii modelului sunt cunoscuţi cu exactitate. Un model este stohastic în cazul în care conţine variabile aleatorii, care posedă doar valori posibile şi probabilităţi asociate. Într-un model stohastic pot fi mai multe valori posibile ale ieşirilor, fiecare având o anumită probabilitate de apariţie, pentru acelaşi semnal de intrare. În general, un model determinist se bazează pe ipoteza totalei certitudini în cunoaşterea mărimilor, în timp ce un model stohastic permite existenţa incertitudinilor în cunoaşterea mărimilor. Incertitudinile nu se referă la încrederea în corectitudinea sau validitatea modelului, ci la maniera în care pot fi cunoscute anumite mărimi. b. Modele statice – modele dinamice Un model este static dacă valorile semnalelor de ieşire la un moment dat depind doar de valorile semnalelor de intrare la acel moment (model fără memorie). Într-un model dinamic, valorile semnalelor de ieşire depind şi de valorile semnalelor de intrare din momente anterioare (model cu memorie). În general, un model static furnizează o relaţie (relaţii) între valorile instantanee al mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. Un model dinamic furnizează o relaţie (relaţii) între valori instantanee şi valori anterioare ale mărimilor utilizate pentru descrierea matematică. Modelele statice sunt exprimate, în general, prin ecuaţii algebrice, de forma: y  g  x, u  ,

(1.1)

iar modelele dinamice sunt exprimate prin ecuaţii diferenţiale, integrale sau integro-diferenţiale, de forma:   xt   f xt , ut , t  , cu f, g – funcţii continue şi t  R   y t   g xt , ut , t 

respectiv, în timp discret:

(1.2)

Modelare şi simulare

 xk  1  f  xk , u k , k  , cu k  Z   y k   g  xk , u k , k 

15

(1.3)

c. Modele liniare – modele neliniare Un model liniar furnizează o relaţie (relaţii) de tip liniar între mărimile utilizate pentru descrierea matematică. Un model neliniar furnizează o relaţie (relaţii) de tip neliniar între mărimile utilizate pentru descrierea matematică. Pentru un model liniar se poate aplica principiul superpoziţiei: răspunsul la mai multe semnale aplicate la intrare poate fi obţinut prin însumarea răspunsurilor pentru fiecare semnal aplicat separat. Un sistem este liniar dacă răspunsul la semnalul de forma: ut   c1u1 t   c2 u 2 t 

(1.4)

are forma: yt   c1 y1 t   c2 y 2 t 

(1.5)

în care: c1 , c2 sunt constante. Un model care nu satisface principiul superpoziţiei este neliniar. d. Modele invariante în timp – modele variante în timp Un model este cu parametri invariabili dacă relaţia dintre intrări şi ieşiri nu depinde de timp. Într-un astfel de model, valoarea şi forma semnalului de ieşire nu depind de momentul la care se aplică semnalul de intrare. În general, un model invariant în timp furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toţi coeficienţii au valori constante în timp. Un model variant în timp (cu parametri variabili) furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care unul sau mai mulţi coeficienţi îşi modifică valoarea dependent de timp. În funcţie de dependenţa de timp a funcţiilor f şi g din modelul (1.2), pentru modelul invariant este valabilă forma:  f  f  x, u    g  g  x, u 

iar pentru modelul variant este valabilă forma:

(1.6)

Modelare şi simulare

16

 f  f t , x, u    g  g t , x, u 

(1.7)

Un caz particular al modelului (1.2) este dat de forma liniarizată, care descrie un model variant în timp:   xt   At xt   Bt ut   y t   Ct xt   Dt ut 

(1.8)

în care: x(t) este vectorul mărimilor de stare (în R n ); u(t) – vectorul mărimilor de intrare (în R m ); y(t) – vectorul mărimilor de ieşire (în R p ); A(t) – matricea coeficienţilor (n x n); B(t) – matricea de comandă (n x m); C(t) – matricea de ieşire (p x n); D(t) – matricea de transfer (p x m). Dacă matricele sunt invariante în timp, modelul devine (liniar) invariant în timp, adică:   xt   Axt   Bu t   y t   Cxt   Dut 

(1.9)

Modelele cu parametri invariabili se caracterizează prin translatarea în timp a semnalului de intrare, astfel: semnalul de intrare u(t) conduce la semnalul de ieşire y(t); răspunsul la semnalul de intrare u t    conduce la semnalul de ieşire yt    , pentru orice t şi  . e. Modele cu parametrii concentraţi – modele cu parametrii distribuiţi Un sistem fizic este o colecţie de elemente interconectate. Când se aplică o excitaţie la intrare, stimulul va ajunge la toate elementele simultan sau va influenţa cu întârzieri elementele din sistem. Dacă excitaţia de la intrare se propagă instantaneu în sistem, acesta se consideră cu parametrii concentraţi. Un asemenea sistem poate fi descris printr-un număr finit de variabile scalare, adică în fiecare punct al sistemului se materializează proprietăţile regiunilor imediat înconjurătoare.

Modelare şi simulare

17

În sistemele cu parametrii distribuiţi, excitaţia aplicată la intrare afectează elementele sistemului după un timp diferit de zero, care depinde de viteza de propagare a stimulului în sistem. În general, un model cu parametrii concentraţi furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care toate funcţiile utilizate depind de o singură variabilă independentă, care are semnificaţie temporală. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Un model cu parametrii distribuiţi furnizează o relaţie (relaţii) între mărimile utilizate pentru descrierea matematică, în care cel puţin o parte din funcţiile utilizate depind (pe lângă variabila independentă cu semnificaţie temporală) de una sau mai multe variabile independente, de regulă cu semnificaţie spaţială. Uzual, astfel de modele sunt formulate cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale cu derivate parţiale sau a sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale. f. Modele continue – modele cu eşantionare În general, se consideră că timpul este o cantitate continuă şi poate lua orice valoare din mulţimea numerelor reale. Modelele continue consideră timpul ca o variabilă independentă continuă. Acestea sunt descrise de ecuaţii diferenţiale. Modelele cu eşantionare sunt descrise de ecuaţii cu diferenţe finite şi semnalele asociate se modifică doar la momente discrete de timp. În specificarea tipului unui model matematic se pot folosi unul sau mai mulţi termeni din perechile prezentate, respectiv se poate vorbi despre modele statice liniare şi modele statice neliniare, modele dinamice liniare şi modele dinamice neliniare, modele dinamice liniare invariante în timp şi modele dinamice liniare variante în timp, etc. ***

Modelare şi simulare

18

În ştiinţele tehnico-inginereşti, activitatea de modelare se bazează pe modele cauzale, care descriu comportarea sistemului printr-o legătură între cele două categorii de semnale prezentate: -

semnalele de intrare, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp poate fi precizată analitic, întrucât sunt furnizate din exterior către sistem;

-

semnalele de ieşire, privite drept funcţii a căror dependenţă de timp nu este cunoscută analitic, deoarece sunt produse de sistem, ca rezultat al stimulilor prezentaţi la intrare. Un astfel de model permite determinarea dependenţei de timp a

semnalelor de ieşire fie prin calcul analitic, fie prin procedee numerice (făcându-se apel la simularea într-un mediu software adecvat). Conectarea mai multor modele cauzale asigură posibilitatea conceperii unor structuri modulare complexe, cărora li se pot asocia reprezentări grafice (scheme sau diagrame bloc). În construcţia modelelor cauzale, compuse din blocuri cauzale, pot interveni erori în atribuirea rolurilor de intrare, respectiv ieşire pentru anumite semnale ce servesc conectărilor de blocuri. Asemenea erori provin, uzual, din faptul că legile fizicii sunt, în general, descrieri sau modele acauzale, care leagă relaţional două sau mai multe mărimi (semnale), fără nici o precizare privind cauzalitatea. O descriere acauzală se poate transforma într-un model cauzal, prin asignarea semnificaţiilor de cauză şi efect pentru semnalele implicate în respectiva descriere, trebuind să se ţină cont de bilanţul energetic care asigură funcţionarea obiectului real. În asemenea situaţii, universul exterior furnizează sistemului, în fiecare moment, o anumită putere (energie/unitatea de timp), care poate fi exprimată în toate domeniile fizicii, ca produs a două semnale pereche, astfel: în electricitate – tensiune şi curent, în mecanica mişcării liniare – forţă şi viteză, în mecanica mişcării de rotaţie – moment al cuplului şi viteză unghiulară, în fluidică – presiune şi debit, în căldură – temperatură şi flux al entropiei.

Modelare şi simulare

19

II. MODELE CAUZALE Având drept bază transferul de energie, construcţia de modele poate fi abordată riguros, în manieră cauzală [13,15,16,20,21,22]. Metoda porneşte de la descrierea transferului de putere dintre o sursă ideală şi un sistem, iar apoi propagă cauzalitatea impusă de tipul sursei, din aproape în aproape, pentru fiecare element component, ţinând seama de principiul conservării energiei şi de specificul comportării elementelor constitutive. Această specificitate comportamentală are tot fundament energetic, respectiv modul în care se utilizează puterea (disipare, acumulare sau transformare). Ştiinţele inginereşti operează cu câteva tipuri de descrieri matematice ale tranziţiei intrare-ieşire, acceptate drept standarde pentru activităţile de analiză şi proiectare, respectiv: proporţional, integrativ, derivativ, modele liniare de tip ecuaţie diferenţială, modele intrare-stare-ieşire, etc. II.1. Modele de tip proporţional Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru sistemele cu comportare proporţională poate fi descrisă printr-un model matematic de tip ecuaţie algebrică liniară de ordinul I, de forma: yt   cut , c  0 ,

(2.1)

unde: u(t) este mărimea cauză (intrare); y(t) - mărimea efect (ieşire). La orice moment de timp t valoarea instantanee a mărimii efect y(t) poate fi determinată din valoarea instantanee a mărimii cauză u(t) prin multiplicare cu factorul (coeficientul) de proporţionalitate c  0 . Factorul de proporţionalitate trebuie privit drept o constantă ce caracterizează funcţionarea sistemului fizic modelat prin intermediul ecuaţiei (2.1). Unitatea de măsură prin care se exprimă valoarea lui c este corelată cu unităţile de măsură ale semnalelor u(t) şi y(t).

Modelare şi simulare

20

Ecuaţia (2.1) poate fi privită sub forma implicită: y t   cut   0, c  0 ,

(2.2)

unde: u(t), y(t) sunt mărimi fizice ale căror valori instantanee sunt proporţionale prin intermediul factorului c. Una dintre aceste două mărimi este furnizată din exterior către sistem şi reprezintă mărimea cauză, iar cealaltă este furnizată de sistem către exterior şi reprezintă mărimea efect. În exprimarea implicită (2.2) nu se precizează mărimea cauză, astfel că această ecuaţie constituie o formă acauzală a modelului de tip proporţional. Prin convenţie, modul de reprezentare folosit pentru ecuaţia (2.1.) este o formă cauzală a modelului de tip proporţional şi semnifică faptul că semnalul din membrul drept, u(t), este intrare, iar semnalul din membrul stâng, y(t), este ieşire. Tot prin convenţie, notaţia u(t) desemnează, uzual, un semnal cauză, iar notaţia y(t) desemnează, uzual, un semnal efect. În cazul multor sisteme fizice forma acauzală dată de ecuaţia (2.2) poate fi utilizată atât cu cauzalitate u  y, cât şi cu cauzalitate y  u. Asemenea situaţii sunt specifice sistemelor care disipă energie, semnalele u(t) şi y(t) fiind caracterizate prin faptul că produsul de forma u t   y t  are semnificaţie de putere. II.2. Modele de tip integrator Un număr mare de sisteme fizice, de naturi diferite sunt descrise prin legi care evidenţiază legătura dintre o mărime fizică derivată şi o altă mărime fizică nederivată. Interpretarea tranziţiei cauzale intrare-ieşire pentru o astfel de lege se poate face apelând la modele de tip integrator (sau derivator). Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip integrator este descrisă de o ecuaţie diferenţială de forma: 

a yt   u t ; y0   y0 , a  0 ,

(2.3)

unde: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea (variabila, semnalul) cauză (intrare);

Modelare şi simulare

21

y(t) - mărimea efect (ieşire). Denumirea "integrator" se datorează faptului că y(t) poate fi exprimat drept: t

yt   1 a  u d  y 0

(2.4)

0

Forma integrală (2.4) evidenţiază funcţionarea de tip acumulativ în raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că integrarea utilizează toate valorile semnalului u de pe întreg intervalul [0, t]. Aceasta poate fi utilizată şi în cazul mai general când u(t) este continuă pe porţiuni (cu discontinuităţi de speţa întâi). Dacă u(t) este definită cu o discontinuitate de speţa întâi în t1 prin: u t , 0  t  t1 ut    1 , t1  t  u2 t ,

(2.5)

cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue, conform relaţiei (2.4), se poate scrie: t   1 a  u1  d  y0 , 0  t  t1  0 y t    t1 t  1 a  0 u1  d  t u 2  d   y0 , t1  t  1  

(2.6)

Acest exemplu poate fi formulat şi pentru ecuaţia (2.3), definind modelul astfel: 

- pentru 0  t  t1 , modelul este: a y t   u1 t ; y 0  y0 ; 

- pentru t1  t , modelul este a y t   u2 t ; y t1   lim y t  t t 1

t t1

Condiţia finală de pe intervalul [0, t1), exprimată prin y t1   lim y t  t t 1

t t1

devine condiţie iniţială pentru intervalul [t1, ). Răspunsul y(t) al modelului de tip integrator la semnalul de intrare u(t) exprimat prin relaţia (2.4) evidenţiază două componente şi anume: - un termen depinzând numai de mărimea de intrare u(t) şi nedepinzând de condiţia iniţială y(0), de forma: y f t  

1 t u  d , a 0

(2.7)

Modelare şi simulare

22

care poartă denumirea de răspuns forţat (componenta de regim forţat) la semnalul de intrare u(t); - un termen depinzând numai de condiţia iniţială y(0) (fiind chiar identică cu aceasta) şi nedepinzând de mărimea de intrare u(t), de forma: yl t   y 0 ,

(2.8)

care poartă denumirea de răspuns liber (componenta de regim liber). Expresia (2.4) defineşte răspunsul complet al modelului de tip integrator, care reprezintă o suprapunere a răspunsului forţat şi răspunsului liber: y t   y f t   y l t  .

(2.9)

Observaţii: - când se aplică un semnal de intrare neidentic nul ( u t   0 ), pe anumite intervale de timp, iar condiţia iniţială este nulă (y(0) = 0), se obţine un răspuns forţat; - când se aplică un semnal de intrare identic nul, pe întreg intervalul de observaţie (u(t)= 0), iar condiţia iniţială este nenulă ( y 0   0 ), se obţine un răspuns liber; - experimental, dacă atât semnalul de intrare cât şi condiţia iniţială sunt nenule, nu se poate identifica separat componenta de regim forţat şi componenta de regim liber (se pot efectua, separat, experimente de regim forţat, de regim liber şi de regim complet); - în cazul integratorului, în regim liber (în absenţa semnalului de intrare), semnalul de ieşire y(t) nu tinde să se anuleze, ci păstrează constantă valoarea sa iniţială y(0). II.3. Modele de tip derivator Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru modele de tip derivator este descrisă de o ecuaţie liniară de forma: 

yt   c u t , b  0 ,

(2.10)

unde: u(t) este o funcţie netedă (cu derivata de ordinul I continuă), reprezentând variabila cauză;

Modelare şi simulare

23

y(t) - variabila efect. Forma derivativă (2.10) pune în evidenţă funcţionarea de tip anticipativ în raport cu mărimea de intrare u(t), în sensul că definiţia derivatei ca limită a raportului incremental



u t0   lim u t   u t0  / t  t0  t  t0

presupune cunoaşterea

valorilor lui u(t) şi la momente de timp caracterizate prin t > t0. Astfel, calculul 

lui ut0  face apel la valori ale semnalului u(t) care nu pot fi cunoscute la momentul curent t0, decât dacă se acceptă ipoteza anticipării acestor valori. Observaţii asupra modelelor de tip integrator şi derivator: - un număr mare de legi din diverse domenii ale fizicii se exprimă în forma implicită: 

k vt   g t   0, k  0,

(2.11)

unde: v(t), g(t) sunt mărimi dependente, ca evoluţie în timp, una de cealaltă; una din cele două mărimi trebuie privită drept cauză, iar cealaltă drept efect. - în unele situaţii, modul de funcţionare al procesului fizic modelat, impune mărimea cauză, respectiv mărimea efect; există situaţii când rămâne la latitudinea modelatorului asignarea cauzalităţii, adică desemnarea variabilei cu rol de cauză şi a celei cu rol de efect, respectiv: - g(t) cauză şi v(t) efect, caz în care modelul este de tip integrator, cu exprimarea de forma (2.3) sau (2.4) - cauzalitate de tip integral; aceasta evidenţiază o funcţionare de tip acumulativ, care este în concordanţă cu sensul fizic intuitiv; - v(t) cauză şi g(t) efect, caz în care modelul este de tip derivator, cu exprimarea de forma (2.10) - cauzalitate de tip derivativ; aceasta evidenţiază un caracter anticipativ; - ori de câte ori este posibil se preferă exprimarea în cauzalitate integrală, pentru că impune mai puţine restricţii de factură matematică asupra mărimii de intrare (funcţie continuă pe porţiuni), spre deosebire de exprimarea de tip derivativ, care necesită ca mărimea de intrare să fie o funcţie netedă; de asemenea, la simulare, calcularea mărimii de ieşire (prin metode

Modelare şi simulare

24

aproximative, specifice analizei numerice) se realizează cu precizie mult mai bună. Exemplul 2.1. Se consideră o rezistenţă electrică R [W], parcursă de un curent i(t) [A], între ale cărei extremităţi există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V], conform fig.2.1 [3,7,13]. i(t) [A] R []

u(t) [V] Fig.2.1. Rezistenţă electrică - model proporţional

Modelul de tip proporţional în forma acauzală este dat de legea lui Ohm ut   Ri t   0 , din care se poate obţine forma cauzală rezistivă (rolul constantei

este jucat de o rezistenţă) u t   R  i t  şi forma cauzală conductivă (rolul constantei este jucat de o conductanţă) i t   1 R   u t  . Aceste exprimări cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a energiei electrice utilizate de rezistor. Forma cauzală rezistivă presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de curent care impune i(t) prin rezistor, iar u(t) rezultă la bornele rezistorului. Forma cauzală conductivă presupune că rezistorul primeşte energia de la o sursă ideală de tensiune care impune u(t) la bornele rezistorului, rezultând i(t) care parcurge rezistorul. Exemplul 2.2. Se consideră un amortizor cu frecare vâscoasă, conform fig.2.2. Asupra acestuia se exercită forţa F(t) [N], iar extremitatea sa liberă se deplasează cu viteza v(t) [m/s]. Mişcarea extremităţii libere poate fi descrisă cu un model de tip proporţional în forma acauzală F t     vt   0 , unde  coeficientul de amortizare vâscoasă [12,13].

[Ns/m] este

Modelare şi simulare

25

v (t) [m/s] A

F (t) [N]

 [Ns/m] Fig.2.2. Amortizor mecanic - model proporţional

Din exprimarea acauzală se poate obţine forma cauzală rezistivă (constanta de proporţionalitate este coeficientul de amortizare vâscoasă) F t     vt  şi forma cauzală conductivă (constanta de proporţionalitate este

inversul coeficientului de amortizare vâscoasă) v t   1    F t  . Aceste forme cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a energiei mecanice utilizate pentru deplasarea extremităţii libere a amortizorului. Forma cauzală rezistivă presupune că energia este furnizată de o sursă ideală de viteză care impune v(t) drept cauză, iar F(t) rezultă drept efect. Forma cauzală conductivă presupune că energia este furnizată de o sursă ideală de forţă care impune F(t) drept cauză, iar v(t) rezultă drept efect. Exemplul 2.3. Se consideră un condensator electric având capacitatea Ce [F], parcurs de curentul i(t) [A], între ale cărui terminale există diferenţa de potenţial (tensiunea) u(t) [V], conform fig.2.3 [3,13,21].

i(t) [A]

Ce [F]

u(t) [V] Fig.2.3. Condensator electric – model integrativ / derivativ



Modelul în exprimarea acauzală (2.11) este de forma Ce ut   i t   0 , din 

care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), C e ut   i t  , cu i(t) intrare,

Modelare şi simulare

26



u(t) ieşire şi modelul de tip derivator (2.10), i t   C e ut  , în care u(t) este intrare, iar i(t) ieşire. Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de la o sursă ideală de curent, care impune i(t) prin condensator, iar u(t) rezultă între terminalele condensatorului, de forma ut  

1 t i  d  u 0  , care defineşte C e 0

răspunsul complet ut   u f t   ul t  . Acesta se obţine prin suprapunerea răspunsului forţat u f t  

1 t i  d , (obţinut experimental cu acelaşi curent i(t) C e 0

şi condensatorul neîncărcat iniţial u0  0 ), cu răspunsul liber ul t   u0 , (obţinut experimental cu condensatorul încărcat cu aceeaşi tensiune iniţială u0  0 şi curentul nul i t   0 , pe întreg intervalul de observaţie).

Modelul de tip derivator presupune că energia este primită de la o sursă ideală de tensiune care impune u(t), între terminalele condensatorului 

rezultând i(t), de forma i t   C e ut  . Pe orice interval de timp se efectuează observarea, tensiunea pe condensator va fi identică cu cea a sursei, u(t). Exemplul 2.4. Se consideră un punct material de masă m [kg], care se deplasează liniar, fără frecare, conform fig.2.4. Deplasarea se caracterizează prin viteza v(t) şi forţa F(t) [3,12,13].

m [kg]

v(t) [m/s] F(t) [N]

Fig.2.4. Punct material în mişcare – model integrativ / derivativ 

Modelul în exprimare acauzală (2.11) este de forma m v t   F t   0 ,

Modelare şi simulare

27



din care se poate obţine modelul de tip integrator (2.3), m v t   F t  , în care F(t) este intrare, iar v(t) ieşire, respectiv modelul de tip derivator (2.10), 

F t   m v t  , în care v(t) este intrare, iar F(t) ieşire.

Exprimările cauzale trebuie privite în corelare cu maniera de furnizare a energiei mecanice utilizate în deplasare. Modelul de tip integrator presupune că energia este primită de la o sursă ideală de forţă, care impune forţa F(t), iar v(t) rezultă ca viteză de deplasare. Modelul de tip derivator presupune că energia este primită de la o sursă ideală de viteză, care impune viteza v(t), rezultând forţa F(t). II.4. Modele liniare de tip ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu coeficienţi constanţi Astfel de modele permit analiza detaliată a dinamicii unui sistem fizic, atât sub raport calitativ (specificitatea comportării nedepinzând de valori numerice concrete), cât si din punct de vedere cantitativ (descrierea evoluţiei prin informaţii numerice cât mai precise, făcând apel şi la studii de simulare). Tranziţia cauzală intrare-ieşire pentru un model de acest tip este definită printr-o ecuaţie diferenţială de forma [3,13,15,20,21,22]: 

a1 y t   a0 y t   u t , a1  0, a0  0, y t0   y0

(2.12)

în care: u(t) este o funcţie continuă, reprezentând mărimea cauză (intrare); y(t) - mărimea efect (ieşire). În cazuri practice, semnalul de intrare u(t) poate prezenta salturi de amplitudine

finită,

acestea

fiind,

din

punct

de

vedere

matematic,

discontinuităţi de speţa întâi. Asemenea salturi nu sunt resimţite în semnalul de ieşire y(t), datorită inerţiei manifestate de sistemul fizic, semnalul de ieşire păstrând valoarea din momentul premergător saltului. Conform acestei constatări experimentale, dacă u(t) este definită cu o discontinuitate

de

speţa

întâi

în

t1,

printr-o

relaţie

de

forma

Modelare şi simulare

28

u t , t0  t  t1 , cu u1(t) şi u2(t) funcţii continue pe intervalele considerate, u t    1 t1  t u2 t ,

atunci y(t) este continuă la stânga în t1, adică y t1   lim y t . t t 1

t t1

Cu discontinuitate de speţa întâi pentru u(t), pentru t  [t0 , ) , modelul (2.12) are formele: 

a1 y t   a0 y t   u1 t , y t0   y0 , pentru t0  t  t1 ; 

a1 y t   a0 y t   u2 t , y t1   lim y t  , pentru t1  t . t t

(2.12a) (2.12b)

1

t  t1

În baza ipotezei de continuitate a semnalului y(t) în t1, condiţia finală de pe intervalul [0, t1), exprimată prin y t1   lim y t  , devine condiţie iniţială pentru t t 1

t  t1

intervalul [t1, ). Pentru un semnal de intrare u(t) precizat şi o condiţie iniţială y(t0) = y0, semnalul de ieşire este dat de soluţia problemei Cauchy, asociate ecuaţiei diferenţiale (2.12): yt   e

 a0 t t0  a1

t

y t 0    e t0

 a0 t   a1

1 u  d , t  [t 0,  ) a1

(2.13)

Din punct de vedere energetic, un model de forma (2.12) descrie, în general, comportarea unui sistem fizic alcătuit dintr-un element care acumulează energie (cu o comportare de tip integrator) şi un element care disipă energie (cu o comportare de tip proporţional). Elementul integrator nu îşi poate modifica energia acumulată prin salt şi astfel se asigură condiţia de continuitate, presupusă pentru y(t). Soluţia (2.13) a ecuaţiei diferenţiale (2.12), evidenţiază comportarea de regim liber yl t  a sistemului, determinată numai de condiţia iniţială y(t0) = y0, considerând semnalul de intrare nul, respectiv comportarea de regim forţat y f t  , determinată numai de semnalul de intrare u(t), considerând condiţia

iniţială nulă, adică:

Modelare şi simulare

yl t   e



a0  t  t0  a1

t

y f t    e



y t0 , t  [t0 , ) ,

a0 t   a1

t0

29

1 u  d , t  [t 0, ) . a1

(2.14) (2.15)

Componenta y l(t) din (2.14) este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12), în forma omogenă ( u t   0 ), cu condiţia iniţială y 0, ceea ce conduce la modelul de regim liber: 

a1 y l t   a0 y l t   0, a1  0, a0  0, y t0   y0

(2.16)

Componenta yf (t) din din (2.15), este soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.12), în forma neomogenă, cu condiţia iniţială nulă (y(t0) = 0), ceea ce conduce la modelul de regim forţat: 

a1 y f t   a 0 y f t   u t , a1  0, a 0  0, y t 0   0

(2.17)

Astfel, modelul iniţial (2.12) constituie un model complet al comportării sistemului fizic, iar y(t) din (2.13) reprezintă răspunsul complet, care cuprinde informaţiile referitoare la evoluţia liberă şi la evoluţia forţată. Din punct de vedere practic, prezintă interes studiul dinamicii de regim forţat pentru semnale de intrare de tip treaptă şi sinusoidal. II.4.1. Dinamica de regim forţat Răspunsul forţat la semnal treaptă Se consideră semnalul de intrare: ut   u  const, t  [0, )

(2.18)

care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce la semnalul de ieşire: a0

y f t  

 t 1 1 u  e a1 u, t  [0, ) a0 a0

Cu notaţia y s 

(2.19)

u , se obţine comportarea asimptotică lim y f t   y s   0 , t  a0

conform căreia ieşirea evoluează spre valoarea ys, care poartă denumirea de valoarea de regim staţionar a răspunsului forţat şi care depinde de structura sistemului prin intermediul a0, şi de amplitudinea semnalului de intrare u.

Modelare şi simulare

30

Eroarea relativă  s t  , a „distanţei” curente y f t   y s faţă de „distanţa” iniţială y f 0  y s  y s , depinde de structura sistemului (caracterizată prin a1>0, a0 > 0) şi de timpul curent t, conform expresiei [13]:  s t  

y f t   y s



y f 0  y s

y f t   y s ys



e

a0 t a1

.

(2.20)

Pentru un sistem dat prin a1 > 0, a0 > 0, se evaluează procentual valoarea s(t), având în vedere că aceasta este strict descrescătoare în raport cu t. De exemplu, pentru t cu valorile: t s  3a1 / a 0 şi

t s  4 a1 a 0

se

obţine

 s t s   e 3  5 100  5% , respectiv  s t s   e 4  2 100  2% . Impunând, deci, un

prag de precizie de 5% (respectiv 2%) din ecartul iniţial, sistemul ajunge în regim staţionar după un timp finit t s  3( a1 / a0 ) , respectiv t s  4(a1 / a0 ) . În intervalul de timp [0, ts) sistemul se află în regim tranzitoriu, semnalul de ieşire yf (t) fiind suficient de îndepărtat de valoarea ys, către care tinde. Se constată că dinamica sistemului este caracterizată de raportul T  a1 a0 [sec.], denumită constantă de timp a sistemului, cu ajutorul căruia

modelul (2.12) devine: 

T y t   y t   Kut , T  0, K  0, y 0  y 0 ,

(2.21)

unde: K  1 a 0 este factorul de amplificare, ce poate lua orice valoare pozitivă (inclusiv subunitară). Cu aceste notaţii, răspunsul forţat yf (t), din (2.19) are forma:





y f t   K 1  e t T  u

(2.22)

Răspunsul forţat la semnal sinusoidal Se consideră semnalul de intrare: ut   A sin   t , A  0,   0, t  [0, )

(2.23)

care, din (2.15), cu t0 = 0, conduce semnalul de ieşire, dependent de structura sistemului (a1 > 0, a0 > 0 sau echivalent T > 0, K > 0) şi de pulsaţia  a semnalului de intrare:

Modelare şi simulare

31

y f t   AM   sin t      AR e

1

în care: M   

2 0

2 1

a a 

2



a0 t a1

(2.24)

K



2

T 2 1

;

a      arctg  1    arctg T  ;  a0  R   

Cu

a1 KT  2 2 . 2 2 a  a1  T  1 2 0

notaţia

asimptotică:

(2.24a)

y p t   AM  sin t     ,

lim y f t   y p t   AR   lim e t 

t 



a0 a1

 0,

se

obţine

conform

comportarea

căreia

ieşirea

evoluează către un regim permanent numit răspuns în regim permanent sinusoidal yp(t), care: -

este un semnal sinusoidal de aceeaşi pulsaţie  ca şi semnalul de intrare;

-

are amplitudinea dependentă de , prin intermediul coeficientului M();

-

este defazat în urma semnalului de intrare cu un unghi dependent de , precizat de    . Structura sistemului, prin intermediul constantei de timp T, din (2.21),

furnizează informaţii privind durata regimului tranzitoriu necesar a fi traversat, înaintea instalării regimului permanent. Eroarea relativă a „distanţei” curente y f t   y p t  , faţă de „distanţa” iniţială y f 0   y p 0   AR  este dată de evoluţia în timp a raportului [13]: y f t   y p t 



AR e  p t    AR  y f 0   y p 0 

a0 a1



e

a0 t a1

e



t T

(2.25)

Eroarea p(t) este o funcţie strict descrescătoare în raport cu t, astfel că se pot face estimări pentru durata regimului tranzitoriu, similar răspunsului la semnal treaptă.

Modelare şi simulare

32

Astfel, pentru t având valorile: t p  3

a1 a  3T şi t p  4 1  4T , se obţin a0 a0

valorile p(tp) = e–3  5%, respectiv p(tp) = e–4  2%. Observaţii: - după traversarea regimului tranzitoriu, în răspunsul de regim forţat se regăsesc caracteristice esenţiale ale semnalului de intrare, şi anume: -

semnal constant ys, în cazul intrării treaptă (2.18);

-

semnal sinusoidal yp(t), în cazul intrării sinusoidale (2.23);

- durata regimului tranzitoriu este dependentă de structura sistemului şi constituie o măsură a inerţiei pe care o manifestă sistemul la părăsirea condiţiei iniţiale nule y(0) = 0. - atât yf (t), din (2.19) (pentru intrare treaptă), cât şi y f (t), din (2.24) (pentru intrare sinusoidală) pot fi scrise sub forma: y f t   y p t   y t t 

(2.26)

în care: y p(t) este componenta permanentă a răspunsului forţat yf (t), având expresia concretă y p(t) = ys = constant; yt(t) - componenta tranzitorie a răspunsului forţat, cu proprietatea lim y t t   0 , care asigură comportarea asimptotică a regimului t 

forţat, indiferent de tipul semnalului de intrare (treaptă sau sinusoidal). II.4.2. Dinamica de regim liber Dinamica de regim liber corespunde modelului (2.16), care se obţine din modelul complet (2.12), pentru cazul particular al mărimii de intrare identic nule, u(t)  0. Evoluţia mărimii de ieşire y(t) este dată de relaţia (2.14), cu t0 = 0, conducând la forma: yl t   e



a0 t a1

y 0  e



t T

y 0

(2.27)

Relaţia (2.27) pune în evidenţă comportarea asimptotică, lim yl t   0 , t 

pentru orice y(0).

Modelare şi simulare

33

Pentru sistemul considerat, y = 0 reprezintă un punct de echilibru asimptotic stabil, în sensul că evoluţia liberă a sistemului, din orice condiţie iniţială, se apropie asimptotic de punctul de echilibru (comportare valabilă numai

pentru

restricţia

a1 > 0,

a0 > 0,

impusă

coeficienţilor

ecuaţiei

diferenţiale (2.12)). Eroarea relativă a „distanţei” curente y l t  , faţă de „distanţa” iniţială y 0   yl 0  , se defineşte în forma:

 l t  

y l t  y l 0



e

a0 t a1

e



t T

(2.28)

Astfel, pentru t de valoare, tl  3 a1 a0  3T , se obţine el (tl)  5%, iar pentru t de valoare, tl  4 a1 a0  4T , se obţine el (tl) 2%. Observaţie: -

din punct de vedere al observaţiei fizice, răspunsul liber "se stinge" după un timp finit tl. II.4.3. Răspunsul complet la semnale de intrare treaptă şi sinusoidal Indiferent de tipul semnalului de intrare, în baza relaţiilor (2.14), (2.15) şi

(2.26), răspunsul complet are expresia [13,15,16,19]: y t   yl t   yt t   y p t  ,

(2.29)

în care, lim  y l t   y t t   0 , asigură comportarea de tip asimptotic a răspunsului t 

complet lim y t   y p t   0 . t 

Anularea sumei yl (t) + y t (t) are loc exponenţial, cu eroarea relativă: y t   y p t 

a

t  0t  y l t   yt t  a1 T  t    e e yl 0   yt 0  y 0   y p 0 

(2.30)

Observaţii: - din punct de vedere practic, regimul permanent se instalează după un interval finit de timp, dependent de structura sistemului, prin intermediul constantei de timp T, din (2.21), astfel:

Modelare şi simulare

34

- după 3T, dacă se consideră o eroare de 5% din „distanţa” iniţială yl 0  yt 0  ;

- după 4T, dacă se consideră o eroare de 2% din „distanţa” iniţială yl 0  yt 0  ;

- pentru semnal treaptă yl t   yt t   yl t   e a t a y s ; 0

1

- pentru semnal sinusoidal yl t   yt t   yl t   e a t a AR  . 0

1

Răspunsul complet în tratare operaţională se bazează pe transformata Laplace. Astfel, considerând momentul iniţial t0 = 0 şi aplicând transformarea Laplace

ecuaţiei

(2.12),

cu

notaţiile

Y s   Laplaceyt   Ly t ,

U s   Laplaceut   Lu t  , se obţine forma algebrică: a1 sY s   y 0   a 0Y s   U s  .

(2.31)

Expresia algebrică pentru Y(s) în funcţie de y(0) şi U(s) este: a1 1 y 0  U s  a1s  a0 a1 s  a 0

Y s  

(2.32)

sau, echivalent, în baza notaţiilor din (2.21): Y s  

T K y 0   U s  Ts  1 Ts  1

(2.33)

Prima componentă din relaţiile (2.32), (2.33) reprezintă răspunsul liber (2.14) cu t0 = 0, adică: Yl s  

  a0 t  a1 y 0   L e a1 y 0 a1 s  a 0  

(2.34)



(2.35)

sau Yl s  



T t y0   L e T y 0  Ts  1

A doua componentă din relaţiile (2.32), (2.33), reprezintă răspunsul forţat (2.15) cu t0 = 0, adică: Y f s  

sau

 t a0 t   a1 1  a1 U s   L   e u  d  0 a1s  a0 a1  

(2.36)

Modelare şi simulare

Y f s  

35

t  t   K T U s   L  e Ku  d  . 0 Ts  1  

(2.37)

Observaţii: - abordarea operaţională este echivalentă cu tratarea în domeniul timp şi se utilizează frecvent pentru că: -

pune în evidenţă dependenţa răspunsului complet de condiţia iniţială y(0), de semnalul de intrare U(s) şi de structura sistemului, descrisă prin funcţiile raţionale,

-

a1 T 1 K  , respectiv  ; a1 s  a 0 Ts  1 a1 s  a0 Ts  1

în cazul unei mărimi de intrare a cărei dependenţă de timp este descrisă analitic printr-o funcţie u(t) mai complicată, calculul lui y(t) este uşor de realizat folosind tabelele de transformate Laplace, conform algoritmului: Laplace

Laplace 1

u t   U s  Y s   y t  .

Exemplul 2.5. Se consideră un sistem mecanic alcătuit dintr-un resort cu constanta de elasticitate ke, conectat în paralel cu un amortizor cu frecare vâscoasă, având coeficientul  , conform fig.2.5 [5,12,13]. ke A

F (t)

 O x(t)

x

Fig.2.5. Sistemul mecanic – model de tip ecuaţie diferenţială

În punctul A se aplică o forţă F(t), care se modifică în timp după o lege precizată. Sub acţiunea lui F(t), punctul A îşi modifică poziţia x(t), măsurată în raport cu punctul fix O (care corespunde situaţiei când arcul nu este tensionat F t   0 şi resortul este nedeformat). Sensul pozitiv al axei Ox este dat de alungirea resortului, corespunzând săgeţii asociate lui F(t).

Modelare şi simulare

36

Construirea unui model cauzal având intrarea forţa F(t) şi ieşirea deplasarea x(t), se bazează pe egalitatea de forţe: Fr t   Fa t   F t , t  [t0 ,  ) ,

în care: Fr t   k e x t  este forţa elastică corespunzătoare deformării resortului; 

Fa t   v t    x t  - forţa elastică corespunzătoare amortizorului.

Ecuaţia diferenţială: 

 x t   k e x t   F t , x t0   x0 ,

este de forma (2.12), condiţia iniţială x 0 având semnificaţia poziţiei punctului A în momentul t0. Conform expresiei analitice (2.13), soluţia ecuaţiei diferenţiale, respectiv deplasarea punctului A în raport cu timpul, are forma: xt   e



ke t t0  

1 xt 0   

t

e



ke t   

F  d , t  [t 0 , ) ,

t0

care evidenţiază rolul parametrilor fizici ai sistemului mecanic (constantele de material ke şi  ), deplasarea iniţiala a punctului A, (x(t0)) şi forţa ce acţionează asupra punctului A, (F(t)). Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul este deformat şi xt0   0 (ca urmare a unui experiment premergător momentului t0) şi că, începând cu momentul t0, asupra punctului A nu se mai aplică nici o forţă (adică F t   0 pentru t  [t0 , ) ), comportarea de regim liber a sistemului mecanic, poate fi modelată printr-o ecuaţie diferenţială omogenă de forma (2.16): 

 x l t   k e xl t   0, xl t0   x0  0

cu soluţia de forma (2.14): xl t   e



ke t t0  

x 0 , t  [t 0 ,  ) ,

care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A din x0 către 0. Presupunând că la momentul iniţial t0 resortul nu este deformat ( xt0   0 ) şi că începând cu momentul t0 asupra punctului A se aplică o forţă F(t) care nu este identic nulă pe intervalul t  [t0 , ) , comportarea de regim

Modelare şi simulare

37

forţat a sistemului mecanic, poate fi modelată printr-o ecuaţie diferenţială neomogenă de forma (2.17): 

 x f t   k e x f t   F t , x f t   0

cu soluţia de forma (2.15): x f t  

1 t ke t   /  e F  d , t  [t0 , ) ,  t0

care descrie dependenţa de timp a deplasării punctului A, pornind din 0, sub influenţa forţei F(t). Răspunsul forţat la semnal treaptă Se presupune că, pentru deplasarea iniţială nulă x(0) = 0, asupra punctului A se aplică o forţă constantă F t   F  10 N . Considerând valorile parametrilor: ke = 1 N/mm şi  = 10 Ns/mm, constanta de timp T, respectiv factorul de amplificare K, din (2.21) au valorile: T 

 1  10s şi K   1mm / N . ke ke

Evoluţia deplasării punctului A, în funcţie de timp, este dată de expresia (2.22), x f t   10  1  e t 10 mm , cu reprezentarea din fig.2.6.

Fig.2.6. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat

Pentru o eroare de 5%, durata regimului tranzitoriu este ts5% = 3T = 30 sec., iar pentru o eroare de 2%, durata regimului tranzitoriu este ts2% = 4T = 40 sec. Valoarea de regim staţionar a deplasării punctului A este y s  KF  10 mm .

Modelare şi simulare

38

Determinarea expresiei analitice a deplasării xf (t), permite exprimarea vitezei punctului A în funcţie de timp, vt   e

t

10

mm / s (fig.2.7).

Expresia analitică a forţei elastice corespunzătoare deformării resortului, Fr t   v t   10e t 10 N ,

corespunzătoare

respectiv

expresia analitică a forţei de frecare

amortizorului,

t Fa t   k e x t   101  e 10  N ,  

conduc

la

reprezentările din fig.2.8., pe acelaşi interval de timp.

Fig.2.7. Evoluţia în timp a vitezei pentru regimul forţat

Fig.2.8. Evoluţia în timp a forţei elastice (linie continuă) şi a forţei de frecare (linie întreruptă) pentru regimul forţat

Observaţii: -

iniţial, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a învinge frecarea din amortizor, resortul fiind nedeformat şi forţa elastică fiind nulă;

-

în regim staţionar, întreaga forţă de 10N este utilizată pentru a menţine constantă alungirea resortului, punctul A fiind în repaus şi forţa de frecare fiind nulă;

-

pe întreaga durată a regimului tranzitoriu forţa elastică este crescătoare în timp (resortul se alungeşte de la 0 la 10 mm), iar forţa de frecare scade (viteza scade de la 1 mm/s la 0). Considerând aceleaşi valori numerice, ke = 1 N/mm şi F t   F  10 N , iar

pentru coeficientul de amortizare o nouă valoare,  1  5 Ns/mm, (jumătate din

Modelare şi simulare

39

valoarea anterioară), constanta de timp a sistemului se înjumătăţeşte, adică: T1 

1 5   5s. ke 1

Drept consecinţă, durata regimului tranzitoriu (evaluată pentru o eroare de 5% sau 2%) se reduce la jumătate din durata determinată în situaţia anterioară (fig.2.9).

Fig.2.9. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat

Valoarea de regim staţionar pentru deplasarea punctului A rămâne nemodificată. Considerând valorile numerice k e = 1 N/mm şi  = 10 Ns/m, respectiv forţa constantă ce acţionează din exterior, F 1  10 N (egală şi de sens contrar celei din situaţia anterioară), resortul se va comprima, deplasarea punctului A în regim staţionar fiind de 10mm (egală dar în sens contrar celei din situaţia anterioară, fig.2.10). Dacă pentru forţa ce acţionează din exterior se consideră valoarea F2 = 20N (de doua ori mai mare), în regim staţionar, deplasarea punctului A va fi de 20mm (de trei ori mai mare). În ambele cazuri, durata regimului tranzitoriu rămâne aceeaşi, deoarece constanta de timp a rămas aceeaşi.

Modelare şi simulare

40

b)

a)

Fig.2.10. Evoluţia în timp a deplasării pentru două regimuri forţate diferite: (a) F 1  10 N ; (b) F 2  20 N

Răspunsul forţat la semnal sinusoidal Se consideră sistemul mecanic cu aceleaşi valori numerice pentru parametri, adică k e = 1 N/mm şi  = 10 Ns/mm. Pentru deplasarea iniţială nulă x(0) = 0, asupra punctului A se aplică o forţă care variază în timp într-o formă sinusoidală, F t   10 sin

a)

 t [N] (fig.2.11a). 10

b)

Fig.2.11. Comportarea în regim forţat sinusoidal: a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)

Modelare şi simulare

41

Evoluţia deplasării punctului A în funcţie de timp este dată de expresia (2.24), x f t   componenta x p t  

  10    t 10 sin  t  arctg   2 e , (fig.2.11b, linia continuă), iar   1  2  1  10 10

de

regim

permanent

sinusoidal

are

forma:

  sin  t  arctg  , către care evoluează răspunsul forţat.    1  10 10 2

Instalarea regimului permanent, cu o eroare de 5%, se realizează în t p 5%  3T  3

   30 sec ., iar cu 2%, în t p 2%  4T  4  40 sec . ke ke

Considerând aceeaşi valoare numerică ke = 1 N/mm şi aceeaşi expresie F t   10 sin

 t , iar pentru coeficientul de frecare vâscoasă a amortizorului 10

jumătate din valoarea sa anterioară, adică  1  5 NS / mm , durata regimului tranzitoriu scade la jumătate, (fig.2.12, linia continuă-mărimea de ieşire xf (t), linia întreruptă-componenta de regim permanent sinusoidal xp(t) către care tinde ieşirea după expirarea regimului tranzitoriu).

Fig.2.12. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul forţat sinusoidal

Constanta de timp afectează regimul permanent sinusoidal astfel: - raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din (2.24), 1



10  1 mm/N; 2

Modelare şi simulare

42

- defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent şi semnalul de intrare F(t) este, conform (2.24), arctg  2  1 rad  570 . Considerând aceleaşi valori numerice ke = 1 N/mm şi  = 10 Ns/mm, iar pentru forţa ce acţionează din exterior F1 t   10 sin

 t N, înjumătăţirea valorii 20

pulsaţiei, faţă de situaţia anterioară, are următoarele efecte asupra elementelor caracteristice regimului permanent sinusoidal (fig.2.13): -

raportul dintre amplitudinea semnalului de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent şi amplitudinea semnalului de intrare F(t) este, din (2.24), 1   102  1  mm/N; 

-



defazajul dintre semnalul de ieşire xf (t), după instalarea regimului permanent

şi

semnalul

de

intrare

F(t)

este,

din

(2.24),

arctg  2  1 rad  570 .

a)

b)

Fig.2.13. Comportarea în regim forţat sinusoidal: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă) şi componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă)

Regimul tranzitoriu (evaluat pentru o eroare de 5% sau 2%) are aceeaşi durată ca în situaţia anterioară.

Modelare şi simulare

43

Dinamica de regim liber Pentru aceleaşi valori numerice ale parametrilor, ke = 1 N/mm şi  = 10 Ns/mm, dacă punctul A posedă o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, revenirea lui la valoarea 0, în absenţa oricărei forţe externe, este descrisă, conform (2.27), de relaţia xl t   3e t T mm. Pentru o eroare relativă de 5%, regimul liber poate fi considerat încheiat, conform (2.28), după t l 5%  3T  30 sec ., iar pentru o eroare relativă de 2%, regimul liber poate fi considerat încheiat după t l 2%  4T  40 sec . Dacă se consideră o valoare dublă pentru constanta elastică a resortului (k e = 2 N/mm), constanta de timp T se va înjumătăţi, iar durata regimului liber, evaluată pentru o eroare relativă de 5% sau 2%, se va reduce la jumătate (fig.2.14).

Fig. 2.14. Evoluţia în timp a deplasării pentru regimul liber al sistemului, cu două valori diferite pentru constanta de elasticitate

Răspunsul complet Se consideră valorile parametrilor ke = 1 N/mm,  = 10 Ns/mm şi poziţia iniţială a punctului A este x(0) = 3 mm, respectiv semnalul de intrare F(t):

Modelare şi simulare

44

 10 N ; t  [0, 40) s,   4 N ; t  [40, 80) s,    7 N ; t  [80,100) s, F t     12 N ; t  [100,140) s,  15 N ; t  [140,160) s,   0; t  [160, 200] s,

În fig.2.15a se prezintă evoluţia în timp a forţei F(t), pentru intervalul de timp [0, 200] sec., iar în fig.2.15b se prezintă modul în care se modifică poziţia punctului A (răspunsul complet al sistemului).

b)

a)

Fig.2.15. Răspunsul complet al sistemului: (a) evoluţia în timp a forţei aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultată ca ieşire (linie continuă)

Pentru o deplasare iniţială x(0) = 3 mm, considerând că asupra punctului A se aplică o forţă ce variază în timp într-o formă sinusoidală

 10 t N, cu k

F t   10 sin 

e

= 1 N/mm şi  = 10 Ns/mm, se obţine expresia:



10 xt   xt   F t , x0   2 .



   s

Transformarea L 10 sin  10 t   10sX s   10 x0  X s  

respectiv, X s   3

2

2

  10

 , 2 s   10 2

10 1    2 . 10 s  1 10s  1 s   10 2

 conduce la:

Modelare şi simulare

45

Prin utilizarea transformării Laplace inverse, se obţine: xt   3e t 10 

10 t 10 10     e  sin t cosarctg   cos t sin arctg   2 2 10 10  1   1 

în care primul termen este componenta de regim liber, al doilea termen este componenta de regim tranzitoriu şi al treilea termen este componenta de regim permanent (fig.2.16).

b)

a)

Fig.2.16. Răspunsul complet: (a) evoluţia în timp a forţei sinusoidale aplicate la intrare; (b) evoluţia în timp a deplasării rezultate ca ieşire (linie continuă) şi componenta de regim permanent sinusoidal (linie întreruptă).

Pentru deplasarea iniţială x f 0   0 , aplicând transformarea Laplace 

ecuaţiei diferenţiale 10 x f t   x f t   F t , x f 0   0, rezultă funcţia de transfer asociată sistemului mecanic, de forma: H s  

L x f t  LF t 



1 . 10 s  1

II.5. Modele liniare de tip intrare-stare-ieşire O descriere matematică de acest gen operează cu trei tipuri de variabile: de intrare, de stare şi de ieşire, reprezentarea oferind un cadru teoretic general pentru construirea modelelor prin aplicarea legilor fizice care descriu funcţionarea proceselor [3,5,13,15,16,18,20,21,22]. Modelele astfel obţinute permit analiza detaliată a dinamicii proceselor, ca rezultat (efect) atât al condiţiilor iniţiale, cât şi al semnalelor de intrare. Sub

Modelare şi simulare

46

acţiunea unor clase de semnale, procesele fizice evidenţiază instalarea regimurilor permanente, când variabilele de stare şi de ieşire reproduc trăsăturile fundamentale ale variabilei de intrare. Starea x t 0  a unui sistem dinamic, la momentul t 0 al observaţiei, reprezintă „memoria” sistemului, adică rezultatul stocat al evoluţiei sale în intervalul t   , t 0  . Observaţie: - se admite că starea iniţială xt0  şi mărimea de comandă u(t), t  t 0 , determină mărimea de ieşire y(t) şi toate stările x(t),  t  t0 . II.5.1. Tranziţia cauzală intrare-stare-ieşire Modele intrare-stare-ieşire de ordinul doi Definirea unui astfel de model se bazează pe un sistem de două ecuaţii diferenţiale liniare, de ordinul I, de forma: 

x1 t   a11 x1 t   a12 x2 t   b1u t  

x 2 t   a 21 x1 t   a 22 x2 t   b2u t 

(2.38)

x1 0   x10 , x2 0   x20

sau în forma echivalentă:  x t   a a12   x1 t   b1    1    11     u t ,  x 2 t  a 21 a22   x2 t  b2   

 x1 0  x10   x 0   x  ,  2   20 

(2.39)

unde: u(t) reprezintă semnalul de intrare; x1(t), x 2(t) - semnalele de stare ale sistemului, cu valorile x1(0) = x10 şi x2(0) = x20, condiţii iniţiale impuse. Variabila de ieşire se defineşte ca o combinaţie liniară a variabilelor de stare şi intrare: y t   c1 x1 t   c2 x2 t   dut ,

(2.40)

sau în forma echivalentă: y t   c1

 x t  c2   1   du t  .  x2 t 

(2.41)

Modelare şi simulare

47

Observaţii: - în general, un model de forma (2.38), (2.40) descrie comportarea unui sistem fizic alcătuit din : - două elemente care acumulează energie, cărora li se asociază variabilele de stare x1(t), x2(t), alese astfel încât să asigure funcţionarea în cauzalitate integrală; - unul sau mai multe elemente care disipă energie. - variabilele de stare x1(t) şi x2(t) au semnificaţia de mărimi efect în raport cu mărimea cauză u(t); - din punct de vedere al observării fizice directe (măsurare, înregistrare) pot exista situaţii în care nu prezintă interes, ca efect, variabilele de stare x1(t) sau x2(t), ci mărimi exprimabile din variabilele de stare, cu ajutorul unor relaţii statice (sau instantanee); - în particular, dacă c1 = 1, c2 = 0, d = 0 sau c1 = 0, c2 = 1, d = 0, variabila de ieşire coincide cu una din variabilele de stare. Modele intrare–stare–ieşire de ordinul n În cazul sistemelor fizice care conţin n elemente acumulatoare de energie, conectate în cauzalitate integrală, modelul (2.38), (2.40) sau (2.39), (2.41) se generalizează sub forma vectorial – matriceală (1.8), care evidenţiază ecuaţia de stare şi ecuaţia de ieşire: 

xt   Axt   but ; x0  x 0 ;

(2.42)

y t   c T xt   dut  .

(2.43)

în care: u(t), y(t):R+R reprezintă semnalele de intrare şi ieşire. x t  : R   R n - vectorul variabilelor de stare (vector de stare) şi

colectează cele n variabile de stare;  x10  x 0    ...   R n - vector coloană (vector al condiţiilor iniţiale);    xn 0 

Modelare şi simulare

48

 a11 ... a1n  A   ... ... ...  - matrice pătrată, de ordin n;   a n1 ... a nn   b1  b   ...   R n1 - vector coloană de dimensiune n;   bn  c T  c1 ... cn   R 1n - vector linie de dimensiune n;

d  R - constantă;

Pentru variabila de intrare u(t) se impune condiţia (firească pentru practică) de a fi continuă pe porţiuni, cu discontinuităţi de speţa întâi. II.5.2. Răspunsul liber, răspunsul forţat şi răspunsul complet Exprimarea analitică a mărimii de stare x(t) se obţine ca soluţie a ecuaţiei omogene cumulată cu soluţia ecuaţiei neomogene. Astfel, cu starea iniţială xt0  şi intrarea ut   0 , pentru ecuaţia omogenă este valabilă expresia: 

xt   At xt 

(2.44)

cu soluţia: xt    t , t 0 xt 0 

(2.45)

în care:  t , t 0   e At t  reprezintă matricea fundamentală. 0

Considerând ecuaţia neomogenă în forma (2.42), cu x(t) de forma (2.45), se presupune că soluţia generală se poate pune în forma: xt    t , t0 Gt 

(2.46)

cu G(t), o funcţie care se determină, după algoritmul Lagrange, astfel: -







din derivarea relaţiei (2.46) se obţine: xt    t , t 0 G t    t , t 0 G t  , în care 

xt  are forma (2.42);

Modelare şi simulare

-

49



şi  1 t , t 0    t 0 , t  , ale matricei

se consideră proprietăţile:   A



fundamentale, cu care, după înlocuire, se obţine: bt u t    t , t 0 Gt  , 

respectiv: G t    1 t , t 0 bt   ut    t 0 , t bt   ut  [5]; -

se

t

G t   G t 0     t 0 , b u d ,

calculează:

t0

în

care

t

xt 0    t 0 , t0 G t0   I  Gt0   G t 0  şi Gt   xt 0     t 0 , b u  d ; t0

-

după înlocuire în (2.46) şi considerarea proprietăţii  t , t 0  t 0 ,    t ,  , a matricei fundamentale, se obţine: t

t

t0

t0

xt    t , t 0 xt0    t , t 0   t 0 , b u  d   t , t 0 xt 0     t , b u  d ;

Pentru

sistemele

invariante

se

consideră:

t0  0 ,

respectiv

 t , t0    t ,0   t  , rezultând: xt   e At x0  .

(2.47)

Expresia analitică a mărimii de stare x(t) se realizează pornind de la soluţia sistemului de ecuaţii diferenţiale (2.42), considerând algoritmul Lagrange şi relaţia (2.47), rezultând: t

xt   e At x0   e A t  bu  d 0

(2.48)

Pentru determinarea analitică a vectorului de stare xt  , conform (2.48), matricea fundamentală e At se poate calcula cu formula Lagrange-Sylvester, cu transformata Laplace inversă sau prin dezvoltare în serie de puteri [3,5,13,21]. În baza relaţiei (2.48), vectorul de stare x(t) evidenţiază componenta liberă a stării, respectiv componenta forţată a stării: x t   x l t   x f t  ,

(2.49)

x l t   e At x 0 

(2.50)

t

x f t    e A t  bu  d . 0

(2.51)

Observaţii: -

relaţia (2.42) constituie un model complet al comportării sistemului;

-

x(t) din (2.48) reprezintă răspunsul complet pe stare.

Modelare şi simulare

50

Ecuaţia ieşirii (2.43) permite o descompunere care evidenţiază componenta liberă a ieşirii y(t) şi componenta forţată a ieşirii y(t), în forma: y t   yl t   y f t  ,

(2.52)

yl t   cT x l t   c T e At x0 

(2.53) t

y f t   cT x f t   dut   cT  e

A  t  

0

bu  d  dut  .

(2.54)

Dinamica de regim liber Relaţia (2.50), împreună cu condiţia: Re i  0, i  1,..., n (cele n valori proprii ale matricei A să aibă partea reală negativă) evidenţiază o comportare de tip asimptotic, pentru x0  R n : lim x l t   lim e At x 0   0 t 

t 

(2.55)

respectiv, din (2.43): lim yl t   lim c T e At x 0   0 t 

t 

(2.56)

La nivel calitativ, valorile proprii ale matricei A pot da unele indicaţii cu privire la natura răspunsului liber pe stare şi ieşire, respectiv: -

dacă toate valorile proprii sunt reale (negative) răspunsul liber pe stare şi ieşire va fi aperiodic;

-

dacă există valorile proprii complex conjugate, atunci unele componente (nu neapărat toate) ale vectorului de stare xl(t) şi eventual (nu neapărat) ieşirea yl(t), vor prezenta o comportare oscilant amortizată; frecvenţa acestor oscilaţii este dictată de părţile imaginare, Im k ale valorilor proprii k complex conjugate. Presupunând că matricea A posedă r  n valori proprii distincte, notate

 j , j  i,..., r

de multiplicitate n j , j  i,..., r , cu n1  ...  nr  n , exponenţiala

matriceală e At poate fi scrisă sub forma: r

e At   M j t e

 jt

,

j 1

unde Mj(t) sunt matrice de polinoame în variabila t, de forma:

(2.57)

Modelare şi simulare

51

n 2

M j t   M1j  ...  M nj j 1

n 1

t j t j ,  M nj j (n j  2)! (n j  1)!

M nj j  0, j  1,..., r

(2.58)

Observaţii: -

originea spaţiului Rn, x = 0, reprezintă un punct de echilibru asimptotic stabil pentru sistemul considerat, în sensul că evoluţia liberă a sistemului din orice stare iniţială x(0) se apropie asimptotic de punctul de echilibru;

-

în termeni calitativi (din 2.57), “apropierea” lui xl(t) de x = 0 (“stingerea” regimului liber) are loc cu atât mai repede, cu cât valorile proprii ale matricei A sunt situate mai la stânga în semiplanul complex negativ;

-

din punct de vedere practic, există un moment finit de timp, tl, după care componentele vectorului de stare în regim liber xl(t) sunt neglijabile ca amplitudine; ca urmare, pentru valori ale timpului mai mari ca tl, se consideră: tl  0 : t , t  tl y l t    l yl 0  , adică ieşirea în regim liber yl(t) se anulează, în raport cu precizia observaţiei (  l t  se exprimă, uzual, în procente). În general, prezenţa oscilaţiilor amortizate se datorează existenţei, în

sistemul fizic, a cel puţin două elemente care acumulează energia în forme complementare (cinetică – potenţială, electrică – magnetică). O asemenea structură fizică permite transferul de energie între elementele respective, în condiţiile când elementele rezistive din sistem manifestă o disipare redusă. În condiţiile în care elementele rezistive manifestă o disipare puternică, evoluţia liberă se realizează aperiodic, indiferent de modul de acumulare a energiei de către elementele sistemului. Dinamica de regim forţat pentru semnale de intrare standard Dinamica de regim forţat corespunde modelului (2.51), obţinut din (2.42), pentru cazul particular al condiţiilor iniţiale nule. Din punct de vedere practic, prezintă interes studierea comportării datorate unor semnale de intrare “standard” şi anume: -

semnale polinomiale de forma:

Modelare şi simulare

52

u t  

t m 1  t , m  1 , m  1!

(2.59)

care includ: - semnalul treaptă, pentru m = 1; - semnalul rampă, pentru m = 2; -

semnale sinusoidale de forma:

1, t  0 u t   sin   t t ,  t    0, t  0

(2.60)

Pentru răspunsul forţat al stării, în exprimare vectorială, se pune în evidenţă comportarea de tip asimptotic: lim x f t   x p t   0,

(2.61)

t 

în care:









x f t   x f 1 t  ... x fn t  ; x p t   x p1 t  ... x pn t  . T

T

(2.62)

cu notaţia: xpi(t) reprezentând componenta permanentă a răspunsului forţat al stării i, i = 1, …, n. Pentru răspunsul forţat al ieşirii sistemului, y f (t), variabila de ieşire are forma: y f t   y p t   y t t  ,

(2.63)

unde: y p(t) reprezintă componenta permanentă; y t(t) - componenta tranzitorie. Componenta tranzitorie are proprietatea: lim yt t   0, t 

(2.64)

respectiv: lim y f t   y p t   0, t 

(2.65)

Observaţii: -

în cazul unui semnal de intrare treaptă, u(t), (m = 1 în relaţia (2.59)), componentele permanente ale stării xpi(t), i = 1,…,n şi componenta permanentă a ieşirii yp(t) sunt funcţii constante; din acest motiv se utilizează şi denumirea de valori staţionare (valori de regim staţionar);

Modelare şi simulare

-

53

regimul staţionar trebuie privit drept un caz particular de regim permanent, corespunzând situaţiei (frecvent întâlnite în practică) când semnalul de intrare este constant în timp. Pentru tratarea operaţională a transferului intrare-stare-ieşire se aplică

transformarea Laplace ecuaţiei intrare–stare (2.42), particularizată pentru cazul răspunsului forţat, şi se obţine: 1

X f s   sI  A  bU s   Qs U s 

(2.66)

unde: X f s   L x f t , U s   L u t ,  Q1 s  1 Qs    ...   sI  A  b - funcţie vectorială ale cărei componente Qi(s),   Qn s 

i = 1,…, n sunt funcţii raţionale strict proprii (gradul numărătorului este strict mai mic decât gradul numitorului), având drept numitor polinomul caracteristic al matricei A, adică:  s   det sI  A  .

(2.67)

Prin aplicarea transformării Laplace ecuaţiei ieşirii (2.43) şi pe baza relaţiei (2.66), se obţine: Y f s   cT X f s   dU s   cT sI  A  bU s   dU s   H s  U s  1

(2.68)

unde: Y f s   Ly f t . Funcţia H(s) definită prin: 1

H s   cT sI  A  b  d

(2.69)

se numeşte funcţie de transfer, şi descrie, prin metoda operaţională, transferul în regim forţat de la imaginea semnalului de intrare U(s), la imaginea semnalului de ieşire Yf (s). Exemplul 2.6. Se consideră un circuit electric RLC serie, alcătuit dintr-un rezistor (cu rezistenţă Re), o bobină (cu inductanţa L) şi un condensator (cu capacitatea Ce), conectate în serie, conform fig.2.17. Tensiunea e(t) furnizată de sursă constituie mărimea de intrare şi se modifică în timp, după o lege precizată.

Modelare şi simulare

54

Re uR(t)

e(t)

L

iL(t)

uL(t) Ce

uC(t)

Fig.2.17. Circuitul electric RLC serie

Elementele circuitului sunt conectate în serie, astfel că: iR t   i L t   iC t  . Conform

legii

lui

Kirchoff,

relaţia

pentru

tensiuni

are

forma:

et   u R t   u L t   uC t  , din care se scrie tensiunea pe bobină (considerând şi

legea lui Ohm): u L t   et   u R t   uC t   et   Re iL t   uC t  [13,21,22]. Ca variabile de stare se consideră (după legile Henry şi Faraday): - curentul prin bobină iL(t):

diL 1  u L t , iL 0   iLo ; dt L

- tensiunea pe condensator uc(t):

du c 1  iC t  , uC 0  u C0 . dt C e

După înlocuire, sistemul de două ecuaţii diferenţiale liniare, neomogene are forma: R 1  diL 1  et   e iL t   uC t   dt L L L  du 1 C   iL t   dt Ce

Ecuaţia vectorial-matriceală de stare (2.42), particularizată pentru circuitul RLC serie, are forma:   Re      iL t     L u t   1  C   Ce

 1 1  L   iL t      et  ,   L 0  uC t   0  

 i L 0   i Lo  u 0  u   C   Co 

Observaţie: - dacă, de ex., inductanţa bobinei nu este constantă, ci variază în timp, după o expresie de forma L  a  t , cu a > 0 (constantă), legea care descrie funcţionarea bobinei ca acumulator de energie, este de forma

d L  u L t  , dt

unde  L t   Li t   a  t iL t  reprezintă fluxul magnetic; astfel, explicitând

Modelare şi simulare

55

uL(t) în funcţie de variabilele de stare uC(t), iL(t), şi mărimea de intrare e(t), se obţine: iL t   a  t 

diL  et   Re iL t   uc t  , dt

sau

R 1 diL 1 1  u c t   e iL t   et  , dt at at at

adică o reprezentare intrare-stare-ieşire variantă în timp. Rolul mărimii de ieşire poate fi îndeplinit de oricare din semnalele (variabilele) ce apar în descrierea funcţionării circuitului, mai puţin e(t) (care se presupune a fi cunoscută). Astfel, ecuaţia ieşirii, având forma generală (2.41), se poate particulariza conform următoarelor cazuri: a) dacă se consideră drept mărime de ieşire curentul prin bobină (echivalent curentului furnizat de sursa circuitului serie), atunci ecuaţia (2.43)  i t  

devine: y t   i L t   1 0   L  , rezultând deci: C  1 0, d  0 (semnalul de u C t  ieşire coincide cu prima variabilă de stare); b) dacă se consideră drept mărimi de ieşire atât curentul iL t  cât şi  iL t   1 0  iL t   0       et  ; uC t  0 1 uC t  0

tensiunea uC t  , se obţine: y t   

c) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe condensator,  i t  

atunci ecuaţia (2.43) devine: y t   uC t   0 1  L  , situaţie în care semnalul u t  

C



de ieşire coincide cu a doua variabilă de stare; d) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe rezistenţă,  i t  

atunci ecuaţia (2.43) devine: y t   u R t   Re 0  L  , în care u R t   Re i L t  ; u C t  e) dacă se consideră drept mărime de ieşire tensiunea pe bobină, atunci ecuaţia (2.43) devine: y t   u L t    Re

 i t    1  L   et  , relaţie care respectă uC t 

exprimarea: u L t   et   u R t   uC t  ; f) dacă se consideră drept mărimi de ieşire tensiunea pe rezistenţă u R t  şi tensiunea pe bobină u L t  , rezultă:

Modelare şi simulare

56

u t   R y t    R    e u L t   Re

0   iL t   0  et  .  1 uC t  1

Matricea fundamentală e At se poate calcula cu una din formulele [3,5,13,22]: - Lagrange-Sylvester: e At 

1 1 e 1t adj( sI  A)  e 2 t adj( sI  A ) 1  2    2 1 s  1 s  2





- Laplace inversă: e At  L1 sI  A 1 ; - dezvoltarea în serie: e At  I 

At A 2t 2 Akt k   ...   ... . 1! 2! k!

Astfel, considerând valorile:

Re = 1250Ω,

L = 0,025H,

Ce = 10-7F,

matricea A, din (2.42), are forma:   Re  A L 1   Ce

 1 4 L    5  10   7 0   10 

 40 4 4  , cu valorile proprii: 1  10 , 2  4 10 . 0 

Considerând valorile: Re = 800Ω, L = 0.02H, Ce = 10-7F, matricea A este:   Re  A L 1   C e

 1 4 L    4 10   7 0   10 

 50 4 4  , valorile proprii: 1   2  j  10 , 1   2  j  10 . 0 

Răspunsul liber Dacă valorile sunt: Re = 2000 Ω, L = 0.025H, Ce = 10-7H, atunci matricea A are forma:   Re  A L 1   C e

 1 4 L    8 10   7 0   10 

 40  , cu valorile proprii: 1  74641, 2  5359 . 0 

Pentru acest caz se consideră că mărimea pe ieşire este tensiunea pe bobină, conform cazului (e), mărimea de intrare este nulă, e(t) = 0 (sursa este înlocuită printr-un scurtcircuit), iar condiţiile iniţiale sunt: uC(0) = 2V, iL 0   1 mA . Conform graficelor din fig.2.18, în care sunt reprezentate atât semnalele de stare, cât şi semnalul de ieşire, răspunsul liber este aperiodic.

Modelare şi simulare

57

b)

a)

Fig.2.18. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Observaţii: -

regimul liber "se stinge" într-un interval de timp mai mic de 10 3 sec.;

-

în acest caz 2  1 , adică 1 este dominantă în raport cu 2 , motiv pentru care se poate considera că numai 2

impune durata de

"stingere" a regimului liber. Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică Re = 200Ω,

matricea

A

are

valorile

proprii

complex

conjugate:

1,2  4000  j19596 , iar răspunsul liber este oscilant amortizat, conform

reprezentărilor grafice din fig.2.19. Se observă că perioada oscilaţiilor este de aproximativ 3 10 4 sec., în deplină concordanţă cu valoarea 2/(Im 1,2), iar regimul liber „se stinge” într-un interval de timp de aproximativ 10-3 sec., care este de 3-4 ori mai mare decât inversul părţii reale a valorilor proprii, 1/|(Re1,2)|.

Modelare şi simulare

58

a)

b)

Fig.2.19. Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Răspunsul forţat Se consideră valorile parametrilor: Re=2000Ω, L=0.025H, Ce=10-7F. Amplitudinea treptei de intrare este 1, adică sursa de tensiune furnizează e(t) = 1V, t  [0, ) , iar condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină. Conform graficelor din fig.2.20, răspunsul forţat este aperiodic, reprezentările evidenţiind atât variabilele de stare cât şi semnalul de ieşire. Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică Re = 200 Ω, matricea A are valorile proprii complex conjugate, iar răspunsul forţat este oscilant amortizat, conform reprezentărilor grafice din fig.2.21. Se consideră aceleaşi valori ale parametrilor: Re = 2000Ω, L = 0.025H, Ce = 10-7F. Sursa de tensiune furnizează semnalul ut   sin 4000  t  , iar condiţiile iniţiale sunt nule pe condensator şi bobină. Comportarea sistemului, respectiv evoluţia semnalului de intrare, a semnalului de ieşire şi a variabilelor de stare este prezentată în fig.2.22. Dacă pentru rezistenţă se consideră o valoare de 10 ori mai mică, adică Re = 200 Ω, se obţine comportarea prezentată în fig.2.23.

Modelare şi simulare

59

b) a) Fig.2.20. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

b) a) Fig.2.21. Dinamica de regim forţat a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 2V: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia variabilei de ieşire

Modelare şi simulare

60

a)

b)

Fig.2.22. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia variabilelor de stare; (b) evoluţia semnalului de intrare şi a semnalului de ieşire

a)

b)

Fig.2.23. Comportarea circuitului RLC serie la un semnal de intrare sinusoidal de amplitudine 1V şi frecvenţă 2000Hz: (a) evoluţia semnalului de intrare şi a semnalului de ieşire; (b) evoluţia variabilelor de stare

Modelare şi simulare

61

Observaţii: -

regimul tranzitoriu durează mai puţin de 10-3s, observaţie valabilă şi în cazul răspunsului la semnal de intrare treaptă, pentru aceleaşi valori ale parametrilor Re, L, Ce;

-

în raport cu tensiunea furnizată de sursă, tensiunea pe condensator este defazată în urmă; curentul pe bobină este defazat înainte; tensiunea pe bobină este defazată înainte. Pentru tratarea operaţională a transferului intrare – stare - ieşire se

calculează funcţia de transfer cu relaţia (2.69), considerând că mărimea de ieşire este tensiunea pe bobină, şi se obţine: 1

   Re  1    1  L s 0   L       1   R H s    Re  1       L e  0 s   1 0    0    Ce     R L s  1 LC e  s2  2 e 1  2 . s   Re L s  1 LCe  s  Re L s  1 LC e 

R  s  e L  1     1  C e 

1

1  1 L    1 L s   0  

Între transformatele Laplace ale semnalului de intrare E s   L et  şi, respectiv, a semnalului de ieşire U L s   L u L t  există legătura, exprimată în scriere operaţională: U L s   H s E s  

s2 E s  s 2  Re L s  1 LC e 

II.6. Extinderi ale modelelor liniare intrare-stare-ieşire. Sisteme multivariabile În multe situaţii practice, sistemele fizice pot avea mai multe mărimi cauză şi/sau mai multe mărimi efect [13,15,21,22]. Modelele de stare permit descrierea funcţionării unor asemenea sisteme, prin generalizarea ecuaţiilor vectorial-matriceale (2.42), (2.43), astfel încât u(t) şi/sau y(t) să fie funcţii vectoriale cu m, respectiv p componente: ut  : R   R m , y t  : R   R p .

(2.70)

Astfel ecuaţia stării (2.42) şi ecuaţia ieşirii (2.43), se vor generaliza sub forma:

Modelare şi simulare

62

x t   Ax t   But ; x 0  x 0

(2.71)

y t   Cxt   Dut  ,

(2.72)

în care: A  R nn , B  R nm , C  R pn , D  R pm sunt matricele coeficienţilor. Similar, răspunsul complet pe stare (2.48), se generalizează în forma: t

xt   e At x0   e A t  Bu   ,

(2.73)

0

în care se evidenţiază componenta de regim liber şi componenta de regim forţat; valoarea x(t) dată de (2.73), înlocuită în ecuaţia ieşirii (2.72) conduce la răspunsul complet pe ieşire. Dinamica de regim liber şi de regim forţat pentru sistemele multivariabile, păstrează elementele de analiză valabile pentru sistemele cu o singură mărime de intrare şi o singură mărime de ieşire. În tratare operaţională, aplicând transformata Laplace (pentru condiţii iniţiale nule – specifice regimului forţat) ecuaţiei stării (2.71), se obţine: 1

X f s   sI  A  BUs 

(2.74)

respectiv:



1



Y f s   CsI  A  B  D  Us   H s Us  ,

(2.75)

Matricea cu p linii şi m coloane: 1

H s   CsI  A  B  D ,

(2.76)

se numeşte matrice de transfer asociată reprezentării multivariabile. Fiecare componentă Hij(s) se interpretează ca o funcţie de transfer care descrie legătura dintre variabila de ieşire yi(t), i = 1, …, p, şi variabila de intrare uj(t), j = 1, …, m, în maniera operaţională Lyi t   H ij s Lu j t , atunci

când

toate

celelalte

variabile

de

intrare

sunt

nule,

adică:

u1 t   ...  u j 1 t   u j 1 t   ...  u m t   0, t  [0,  ) .

II.7. Modele de tip diagramă bloc În aplicaţiile tehnico-inginereşti, diagramele bloc sunt, adesea, preferate modelelor care furnizează o descriere analitică a funcţionării sistemelor (ex. ecuaţii diferenţiale, reprezentări operaţionale, etc.) [3,5,13].

Modelare şi simulare

63

Acest tip de modele descrie tranziţia cauzală intrare-ieşire printr-o combinaţie de elemente grafice cu formulări analitice, oferind un suport intuitiv pentru înţelegerea modului de procesare a semnalelor şi a interacţiunilor între subsistemele componente ale unui sistem fizic. Modelele diagramă bloc sunt echivalente cu modelele pur analitice, existând procedee standard de conversie a unui tip de model în celălalt. II.7.1. Diagrame bloc descrise în domeniul timp Un bloc descris în domeniul timp se reprezintă grafic conform fig.2.24. Blocul exprimă tranziţia cauzală de la semnalele de intrare u1(t),..., um(t), la semnalul de ieşire y(t): y t   S u1 t ,..., u m t  ,

(2.77)

în care: S este operatorul care, aplicat funcţiilor dependente de timp u1(t), ..., um(t), defineşte funcţia dependentă de timp y(t); dacă S este un operator liniar, conturul blocului se trasează printr-o singură linie; dacă S este un operator neliniar, conturul blocului se trasează printr-o linie dublă. u1(t) um(t)

S

y(t)

u1(t) um(t)

S

y(t)

(a) (b) Fig.2.24. Reprezentarea grafică a unui bloc descris în domeniul timp: (a) operatorul S este liniar; (b) operatorul S este neliniar

Blocurile cele mai frecvent utilizate în activitatea de modelare, sunt următoarele: proporţional, integrator, derivator, sumator, înmulţitor, împărţitor. Operatorii S, care corespund acestor blocuri, implementează relaţii cauzale simple, care nu pot fi descrise mai detaliat prin utilizarea altor operatori (mai simpli). Construirea unor diagrame bloc care folosesc numai aceste blocuri, asigură maximum de detaliere în modelarea procesării semnalelor şi a interacţiunii subsistemelor componente ale unui sistem dat. Blocul proporţional, liniar (fig.2.25), are un singur semnal de intrare şi exprimă relaţia cauzală (2.1) în forma:

Modelare şi simulare

64

u(t)

C

y(t)

Fig.2.25. Reprezentarea grafică a blocului de tip proporţional

yt   Cu t , C  0

(2.78)

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalului de intrare cu o constantă nenulă. Blocul integrator, liniar (fig.2.26), are o singură intrare şi exprimă relaţia cauzală (2.4) în forma: y t  

1 C

 u d  y 0,

(2.79)

C0

Fig.2.26. Reprezentarea grafică a blocului de tip integrator

Operatorul S din (2.77) are semnificaţia de soluţie a ecuaţiei diferenţiale (2.3) ce defineşte modelul de tip integrator (calculează o primitivă a lui u(t)). Observaţii: -

condiţia iniţială y(0) nu trebuie privită drept mărime de intrare, deoarece ea este o constantă asociată momentului convenţional de timp t = 0, şi nu are semnificaţia de semnal (cu evoluţie în timp) procesat de blocul integrator;

-

în unele situaţii, constanta y(0) poate lipsi din exprimarea grafică, situaţie în care există două modalităţi de interpretare, şi anume: dacă se studiază răspunsului forţat, atunci se consideră y(0) = 0; dacă se studiază răspunsul complet, se presupune y(0)0.

Blocul derivator, liniar (fig.2.27), are o intrare şi exprimă relaţia cauzală (2.10) în forma:

Fig.2.27. Reprezentarea grafică a blocului de tip derivator

Modelare şi simulare

y t   C

65

du t  ,C 0 dt

(2.80)

Operatorul S din (2.77) calculează derivata lui u(t) (are semnificaţia de model derivator). Blocul sumator, liniar (fig.2.28), are cel puţin două intrări şi exprimă relaţia cauzală: y t   u1 t   ...  um t  ,

(2.81)

în care: u i(t), i = 1, ..., m sunt semnale precedate de semnele plus (+) sau minus (-).

u1(t)  um(t) 

u1(t)



y(t) um(t)

u1(t)





y(t)



um(t)



y(t)



Fig.2.28. Reprezentări grafice echivalente pentru blocul de tip sumator

Operatorul S din (2.77) se defineşte prin suma algebrică a semnalelor de intrare, în conformitate cu semnul ataşat fiecăruia dintre ele. Blocul înmulţitor, neliniar (fig.2.29), are cel puţin două intrări şi exprimă relaţia cauzală: yt   u1 t  ... u m t  ,

(2.82)

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca produs al semnalelor de intrare. Blocul împărţitor, neliniar (fig.2.30), are două intrări şi exprimă relaţia cauzală: yt   u1 t  u2 t  , u 2 t   0

u1(t) um(t)

X

y(t)

(2.83) u1(t) um(t)



y(t)

Fig.2.29. Reprezentările grafice echivalente pentru blocul de tip înmulţitor

u1(t) u2(t)

/

y(t)

Fig.2.30. Reprezentarea grafică a blocul de tip împărţitor

Modelare şi simulare

66

Operatorul S din (2.77) se defineşte ca raportul dintre semnalele de intrare u1 t  şi u2 t  . II.7.2. Diagrame bloc descrise în domeniul complex În cazul blocurilor liniare prezentate în paragraful (II.7.1), tranziţia cauzală realizată de orice bloc poate fi formulată şi în domeniul complex, ca o legătură între transformata Laplace a semnalului de ieşire şi transformata Laplace a semnalului de intrare [13,21]. Această modalitate de reprezentare se datorează proprietăţii de liniaritate a transformării Laplace, permiţând descrierea de tip operaţional a blocurilor (Tabelul 2.1.). Examinând structura blocurilor de tip proporţional, integrator şi derivator în scrierea operaţională, se constată că blocurile conţin tocmai funcţiile de transfer asociate comportărilor respective (în cazul integratorului se presupune condiţia iniţială nulă, y(0) = 0.) Tabelul 2.1. Descrierea în limbaj operaţional, cu ajutorul transformatei Laplace, a tranziţiei cauzale intrare-stare-ieşire, pentru blocurile liniare Tipul blocului Proporţional

Expresia analitică în domeniul

Reprezentarea grafică în domeniul

complex

complex

U(s)

Y ( s )  CU ( s), C  0

Y(s)

C

y(0) Integrator

1 1 Y ( s)  U ( s)  y( 0) Cs s

U(s)

Derivator

Y ( s )  Cs U ( s)

U(s) U1(s) 

Sumator

Y ( s )  U1 ( s )  ... U m ( s )

Um(s) 



1 Y(s) Cs

Cs Y(s)

Y(s)

U1(s) Um(s)



Y(s)



Exemplul 2.7. Se consideră un sistem mecanic cu modelul matematic descris de o ecuaţie diferenţială de ordinul I, cu coeficienţi constanţi, pentru care se

Modelare şi simulare

67

evidenţiază toate relaţiile cauzale care permit construirea diagramei bloc folosind numai blocurile liniare elementare (fig.2.31) [5,13]. Conform Exemplului 2.5, modelul matematic are expresia: 

 x t   k e x t   F t , x t0   x0 .

şi poate fi retranscris sub forma: 

xt  

1  k e xt   F t , x t0   x0 , 

Cu xt  

wt   k e x t   F t  ,

notaţia:

x(t)

se

poate

exprima

ca:

1 t w d  xt 0  ,  t0

care este de forma (2.79), caracterizând un bloc integrator cu ieşirea x(t) şi intrarea w(t). x(t0) F(t) +

ke A

F (t)

w(t )   x (t ) 1 t   t0 forţa forţa de – exterioară frecare

kex(t)

 O x(t)

x

forţa elastică

a)

x(t) deplasare

ke

b)

Fig.2.31. Sistem mecanic: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc

Semnalul w(t) poate fi privit ca ieşire a unui bloc sumator de tip (2.81), cu intrările +F(t) şi -k ex(t). Semnalul x(t) este disponibil, ca ieşire a blocului integrator, şi se utilizează ca intrare pentru un bloc proporţional de forma (2.78), cu factorul de proporţionalitate k e. În fig.2.31b, forţa elastică joacă rolul unei reacţii inverse, negative pentru sistem. Cu cât forţa exterioară prezintă variaţii mai mari, cu atât şi forţa elastică se modifică mai mult, apropierea valorică a celor două forţe 

conducând întotdeauna la reducerea vitezei xt  .

Modelare şi simulare

68

În fig.2.32 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul diagramă bloc din fig.2.31b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă, respectiv intrare sinusoidală.

a)

b) Fig.2.32. Sistemul mecanic din fig.2.31: a) schema Simulink şi răspunsurile la intrare treaptă; b) deplasarea şi viteza la intrare sinusoidală

Modelare şi simulare

69

Pentru simularea schemei s-au folosit valorile din Exemplul 2.5. Pentru detalii referitoare la modul de realizare a schemelor în Simulink, se recomandă consultarea [5,24]. Observaţie: -

procedeul de construire a diagramei bloc se poate extinde pentru reprezentări

intrare-stare-ieşire

de

ordinul

n;

generalizarea

presupune utilizarea a câte unui bloc de tip integrator pentru fiecare variabilă de stare, aceasta constituind ieşirea blocului integrator; conectarea blocurilor integratoare între ele se realizează prin blocuri de tip sumator şi/sau blocuri de tip proporţional.

Exemplul 2.8. Se consideră sistemul electric (circuit RLC serie, fig.2.33a) cu modelul Re 1  diL 1  dt  L et   L iL t   L uC t  matematic dezvoltat în Exemplul 2.6:  du . 1  C  iL t   dt Ce

Ecuaţia de stare:  duC 1  uc t   iL t , uc 0  uc 0 , dt Ce

arată că u c t  este ieşirea unui bloc integrator de forma: u c t  

1 Ce

t

 i  d  u 0 , 0

L

c

cu semnalul de intrare iL(t) (prima variabilă de stare). Ecuaţia de stare: diL  R 1 1  i L t   et   e iL t   u C t , i L 0   i L 0 , dt L L L

arată că iL t  este ieşirea unui alt bloc integrator de forma: iL t  

1 t e   ReiL    uC  d  iL 0, L 0

care va avea ca semnal de intrare, ieşirea unui bloc sumator al valorilor: e , ReiL  , uC t  , cu semnele corespunzătoare.

Modelare şi simulare

70

Intrarea Re iL   a sumatorului se obţine din semnalul iL t  , printr-un bloc proporţional Re. Ca mărime de ieşire se poate considera oricare din semnalele existente în schema bloc, respectiv: tensiunea pe condensator uc t  , curentul prin bobină iL t  , tensiunea pe rezistor u R t  , tensiunea pe bobină u L t  (fig.2.33b) [13]. uc(0) i L (t )  C e u c (t )

Re e(t)

uR(t)

1 t Ce  0

uc(t)

iL(t)

L

uL(t) Ce

uC(t)

Re

u L (t )  L

uR(t) – –

e(t)

+

a)

di L dt

iL(0) 1 t L 0

iL(t)

b)

Fig.2.33. Circuit RLC serie: a) reprezentare schematizată; b) model diagramă bloc

În descriere operaţională, modelul diagramă bloc (fig.2.34), cu mărimea de ieşire tensiunea pe bobină, consideră că funcţiile de transfer ale blocurilor au semnificaţia fizică de impedanţe complexe (Re, 1/(Ces)) şi de admitanţe complexe (1/(Ls)). uc(0) 1 Cs

Ur(s) Re E(s)

–

– +

Uc(s)

iL(0) UL(s)

1 Ls UL(s)

IL(s)

Fig.2.34. Circuit RLC serie - modelul diagramă bloc în descriere operaţională

În fig.2.35 se prezintă schema Simulink, realizată pentru modelul diagramă bloc din fig.2.33b, cu semnalele funcţionale pentru o intrare treaptă, respectiv intrare sinusoidală (cu valorile din Exemplul 2.6) [5,24].

Modelare şi simulare

Fig.2.35. Schema Simulink pentru sistemul electric (fig. 2.33) şi evoluţia stărilor la intrare treaptă şi sinusoidală

71

Modelare şi simulare

72

Exemplul 2.9. Se consideră sistemul hidraulic din fig.2.36, format dintr-o conductă, prevăzută cu un robinet prin care se alimentează rezervorul cu un debit Q(t). Rezervorul, cilindric, cu aria bazei S, poate fi golit pe la bază printr-un alt robinet, cu debitul Q0(t). Înălţimea fluidului în vas este H(t). Pentru modelarea funcţionării sistemului se consideră: mărimea de intrare, debitul de umplere Q(t) şi mărimea de ieşire, înălţimea fluidului în vas H(t). Sistemul conţine un singur element care poate acumula energie (rezervorul), astfel că este suficientă o singură variabilă de stare (aleasă să coincidă cu mărimea de ieşire), H(t).

Q(t) Robinet de umplere H(t)

Q 0(t) Robinet de golire

Fig.2.36. Sistem hidraulic

În cazul general, curgerea prin robinetul de golire trebuie considerată turbulentă, respectiv: - relaţia între valorile instantanee ale presiunii la baza rezervorului P(t) şi debitul Q0(t), neliniară, de forma: Pt   kQ02 t , unde k este un parametru de valoare necunoscută; - relaţia de legătură dintre valorile instantanee P(t) şi H(t), considerând densitatea  , este Pt     g  H t  ; - rezultă: Q0 t  

 g  H t  . k

P  k

Bilanţul volumetric pentru lichidul din rezervor, pe intervalul de timp [0, t] conduce la egalitatea: t

V t   SH t   SH 0   Q   Q0  d , 0

care, prin derivare, furnizează ecuaţia diferenţială:

Modelare şi simulare

73



S H t   Q t   Q0 t  .

După înlocuirea valorii pentru Q0 t  se obţine modelul matematic care descrie funcţionarea sistemului hidraulic, exprimat sub forma unei ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul I, cu coeficienţi constanţi: g H t   Q t  , k



S H t  

care evidenţiază starea de forma: 

H t   

g 1 H t   Q t , H t0   H 0 , k S

1 S

Pentru reprezentarea printr-o diagramă bloc, se utilizează notaţia: wt    g k H t   Q t  ,

în care, corespunzător formei (2.79), H(t) se consideră ieşirea integratorului, iar w(t), intrarea în integrator: H t  

1 S

t

 w d  H t  . 0

0

Mărimea w(t) este ieşirea unui bloc sumator de tipul (2.81) cu intrările +Q(t) şi  g k H t  . Semnalul H(t) de la ieşirea integratorului se utilizează ca H t  se aplică la

intrare într-un bloc neliniar care extrage radicalul, iar semnalul

intrarea unui bloc proporţional de forma (2.78) cu factorul de proporţionalitate g k (fig.2.37a) [13]. H(t0)

H(t0) Q(t) + debit de umplere

W (t )  SH (t )

–

1 t S  t0

SH (t )

Q(t)

H(t)

+

–

înălţimea Q0(t) fluidului

P (t ) 1

Q0(t) debit de golire

H(t)

1 t S t 0

P(t)

k

H (t )

g k

Relaţia neliniară specifică curgerii turbulente a)

b)

Fig.2.37. Sistem hidraulic: a) modelul diagramă bloc; b) modelul diagramă bloc în funcţie de variabila P(t)

g

Modelare şi simulare

74

Prin înlocuirea blocului proporţional

g k şi blocului neliniar de extragere

a radicalului, se poate pune în evidenţă presiunea la baza rezervorului P(t)



precum şi relaţia neliniară Q0 t   1 k



Pt  , care descrie curgerea turbulentă

(fig.2.37b). Schemele de simulare pentru sistemul hidraulic, realizate în mediul Simulink, sunt prezentate în fig.2.38 [5,24].

Fig.2.38. Schemele Simulink pentru sistemul hidraulic din fig.2.37

Observaţii: -

blocurile utilizate în construirea diagramelor bloc prezentate şi operatorii asociaţi corespund unor operaţii elementare;

-

se pot concepe blocuri pentru care operatorii asociaţi să descrie succesiuni de operaţii (expresii);

-

diagramele bloc conţin informaţiile necesare pentru abordarea problematicii inverse, adică scrierea sub formă analitică a unei reprezentări intrare-stare-ieşire.

Modelare şi simulare

75

III. SISTEME FIZICE CU ANALOGII COMPORTAMENTALE III.1. Studiul comparativ al variabilelor specifice diverselor domenii ale fizicii Între diversele domenii ale fizicii există analogii la nivelul elementelor fundamentale cu ajutorul cărora se construiesc sistemele precum şi la nivelul modalităţilor de conectare a acestor elemente. Astfel, sisteme aparţinând unor domenii energetice diferite, sunt analoge din punct de vedere structural şi comportamental [12,13,21,22]. Fenomenele fizice din fiecare domeniu pot fi descrise prin mărimi (variabile) fundamentale (generice), care se referă la: putere (efort e, flux f ) şi/sau energie (impuls generalizat p, deplasare generalizată q). Puterea este furnizată sistemelor fizice de aşa-numitele surse de putere, reprezentate de motoare, pompe, surse de căldură etc., alese astfel încât sistemul să-şi poată îndeplini rolul pentru care a fost conceput. În Tabelul 3.1 se prezintă corespondenţa dintre variabila generică putere şi variabila concretă specifică domeniului fizico-tehnic. Tabelul 3.1. Mărimi (variabile) utilizate în modelare

Efort (e)

Flux (f )

Domeniul Notaţie

tensiune

u

forţă

U.M.

U.M.

Variabilă

Notaţie

[V]

curent

i

[A]

F

[N]

viteză liniară

v

[m/s]

cuplu

M

[Nm]

viteză unghiulară



[rad/s]

Fluidic

presiune (diferenţă de presiune)

P

[N/m2]

debit volumetric

Q

[m3/s]

Termic

temperatură (variaţie de temperatură)

[K]

flux termic



Q

[J/s] [W]

Electric Mecanic cu mişcare de translaţie Mecanic cu mişcare de rotaţie

Variabilă

( P ) T ( T )

[S.I.]

[S.I.]

Modelare şi simulare

76

În Tabelul 3.2 se prezintă un sumar al ecuaţiilor sistemelor frecvent utilizate în activitatea de modelare. Tabelul 3.2 Sumar al ecuaţiilor sistemelor

Tip sistem

Natura fizică Electric

Parametrul fizic

Simbol

Ecuaţia

Rezistenţa electrică

Re

1 u Re F   v M   w 1 Q P Rf

Coeficientul de Mecanic frecare Disipativ

Acumulativ inductiv

Acumulativ capacitiv



Fluidic

Rezistenţa fluidică

Rf

Termic

Rezistenţa termică

Rt

Electric

Inductanţa electrică

L

Mecanic Coeficientul de elasticitate

ke

Fluidic

Inductanţa fluidică

Lf

Electric

Capacitatea electrică Masa inertă

C m

Mecanic Momentul de inerţie

J

Fluidic

Capacitatea fluidică

Cf

Termic

Capacitatea termică

Ct

i

1 T Rt di uL dt 1 dF v ke dt 1 dM  ke dt dQ P  Lf dt du iC dt dv F m dt d M J dt dP Q  Cf dt  dT Q  Ct dt 

Q

Din punct de vedere energetic se disting: - sisteme disipative (cu elemente de tip R), în care disiparea energiei este modelată de un element denumit rezistor sau element disipativ, pentru că modelează disiparea energiei în mod similar cu rezistenţa electrică; - sisteme cu acumulare inductivă (cu elemente de tip L sau I), care modelează elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar cu

Modelare şi simulare

77

acumularea energiei într-un câmp magnetic al unei bobine (acumulare de tip inductiv) sau acumularea energiei cinetice de către mase (acumulare de tip inerţial); - sisteme cu acumulare capacitivă (cu elemente de tip C), care modelează elementele fizice acumulatoare de energie, printr-un fenomen similar acumulării de energie în câmpul electric al unui condensator (acumulare de tip capacitiv). Pentru sistemele tehnice prezentate, respectiv: electric, mecanic, fluidic, termic, relaţiile fundamentale permit abordări simplificate ale studiului fenomenelor fizice, bazate pe similitudinile existente între tipurile de mărimi şi legăturile dintre ele. III.2. Sisteme RC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I Se consideră cinci tipuri de sisteme (fig.3.1), fiecare fiind alcătuit din: - subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort), respectiv [13]: - o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric; - un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; - o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul hidraulic; - o sursă de temperatură care furnizează temperatura ΔT, pentru sistemul termic. - subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv: - o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric; - un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă , pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;

Modelare şi simulare

78

- un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic; - un perete având rezistenţa termică Rt, pentru sistemul termic. x Re

a

b

e

(Ce) g

F

q

 

a

g

b)

a)

p0 (t)

M 

(kt)

a

(Cf)

(Rf)

b

g

V

(A)

p  p0 P

a c)

d)

T  T0 T

Q

g

(Ct) b

a

T0 (m)

(Rt)

e) Fig.3.1. Sisteme RC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic; e) sistem termic.

- subsistem acumulator de energie (un element C de tip condensator), respectiv: - un condensator electric de capacitate Ce, pentru sistemul electric; - un arc liniar având constanta elastică ke, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - un arc de torsiune având constanta de torsiune k t, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie;

Modelare şi simulare

79

- un rezervor de arie constantă A având capacitatea fluidică Cf, pentru sistemul hidraulic; - o masă de substanţă m dintr-o incintă încălzită, având capacitatea termică Ct, pentru sistemul termic. Cele cinci sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv: - intensitatea i a curentului, pentru circuitul electric; - viteza v a punctului a, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie; - viteza unghiulară  din punctul a, pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie; - debitul Q, pentru sistemul hidraulic; 

- fluxul de căldură Q , pentru sistemul termic. Mărimile de intrare u (sursele), sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M, presiunea ΔP, respectiv temperatura ΔT. Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q care trece prin circuit şi se acumulează în condensator, pentru sistemul electric; deplasarea liniară x, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; deplasarea unghiulară θ, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; volumul de lichid V, transportat prin conducte şi acumulat în rezervor, pentru sistemul hidraulic; cantitatea de căldură Q, care străbate peretele şi se acumulează în masa de substanţă din incintă, pentru sistemul termic. Cele cinci tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie diferenţială generică de forma: 

k R y

1 y u, kC

(3.1)

în care: k R, kC – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei energetice procesate de sistem. Pentru sistemul electric (fig.3.1a), se scrie relaţia de echilibru de tensiuni, de forma: e  u R  uC

în care: e este tensiunea furnizată de sursă;

(3.2)

Modelare şi simulare

80



u R  Re i  R q – căderea de tensiune pe rezistenţă; uC 

1 q - căderea de tensiune pe condensator. Ce

Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma: 

Re q 

1 qe, Ce

(3.3)

cu parametrii: k R  Re şi kC  Ce . Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.1b) se scrie ecuaţia de echilibru dinamic, de forma: F  Fe  Fa  0 ,

(3.4)

în care: Fe  k e x este forţa elastică dezvoltată de arc; 

Fa  v   x - forţa din amortizor.

Dacă, pentru x = 0, forţa elastică este nulă, se poate scrie ecuaţia diferenţială care modelează sistemul mecanic: 

 x  ke x  F ,

(3.5)

pentru care coeficienţii au forma: k R   şi kC 

1 . ke

Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.1c), ecuaţia de echilibru dinamic este: M  Me  Ma  0 ,

(3.6)

în care: M e  kt este momentul elastic al arcului de torsiune; 

M a   t   t  - momentul de amortizare.

Dacă, pentru θ = 0, momentul elastic este nul, se poate scrie ecuaţia diferenţială care modelează sistemul mecanic: 

 t   k t  M ,

în care coeficienţii au semnificaţia: k R   t şi kC 

(3.7) 1 . kt

Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.1d), se scrie relaţia de echilibru de presiuni, de forma:

Modelare şi simulare

81

P  Pr  Pv .

(3.8)

în care: ΔP este diferenţa de presiune creată de pompă; 

Pr  R f Q  R f V - pierderea de presiune din robinet;

Pv 

1 V - presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de Cf

lichid. Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul hidraulic devine: 1 V  P , Cf



Rf V 

(3.9)

cu coeficienţii de forma: k R  R f şi kC  C f . Pentru sistemul termic (fig.3.1e), se scrie relaţia de echilibru de forma: T  TR  Tm .

(3.10)

în care: ΔT este diferenţa de temperatură aplicată de sursa de temperatură; 

TR  Rt Q - pierderea de temperatură datorată rezistenţei termice a

peretelui; Tm 

1 Q - diferenţa de temperatură corespunzătoare încălzirii masei Ct

de substanţă. Ecuaţia diferenţială corespunzătoare sistemului termic devine: 

Rt Q 

1 Q  T Ct

(3.11)

în care coeficienţii au forma: k R  Rt şi kC  Ct . Prin aplicarea transformatei Laplace, ecuaţiei diferenţiale generice (3.1), care modelează cele cinci sisteme fizice, se obţine forma k R sY s  

1 Y s   U s  , kC

(3.12)

şi se determină funcţia de transfer generică: H s  

kC Y s  1 K    1 U s  k s  k R k C s  1 Ts  1 R kC

(3.13)

Modelare şi simulare

82

în care: K  kC este factorul de amplificare; T  k R kC - constanta de timp.

Pentru cele cinci sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este: - sistemul electric: K  Ce [ F ], T  Re Ce [s ] ; 1 2  s kg , T  [ s] ; ke ke



- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: K  - sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: K 



 1 2 s  rad kg  m 2 , T  t [ s] ; kt kt





- sistemul hidraulic: K  C f m 4  s 2 kg , T  R f C f [ s ] ; - sistemul termic: K  C t kg  m 2 K  s 2 , T  Rt C t [ s ] . III.3. Sisteme RL modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul I Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.2), fiecare fiind alcătuit din [13]: - subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort), respectiv: - o sursă de tensiune de mărime e, pentru sistemul electric; - un motor liniar care furnizează o forţă F, pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - un motor rotativ care furnizează un cuplu M, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; - o pompă care furnizează o diferenţă de presiune ΔP, pentru sistemul hidraulic; - subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), respectiv: - o rezistenţă electrică de valoare Re, pentru sistemul electric; - un amortizor vâscos liniar având un coeficient de frecare vâscoasă , pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - un amortizor vâscos rotativ având coeficientul de frecare vâscoasă t, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; - un robinet având rezistenţa fluidică Rf, pentru sistemul hidraulic.

Modelare şi simulare

83

- subsistem acumulator de energie (un element L de tip inductor), respectiv: - o bobină de inductanţă L, pentru sistemul electric; - o masă de mărime m, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie; - un volant de moment de inerţie principal central J, pentru sistemul cu mişcare de rotaţie; - fluidul dintr-o conductă lungă caracterizată prin curgere laminară, de inductanţă fluidică Lf. i

(L)

a

b

F

(Re)

e

v

()

(m)

g b)

a)

(l)

M

g b

( t)

(J )

p0

(A) Q p  p0P (Lf)

c)

(Rf) d)

Fig.3.2. Sisteme RL: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic.

Cele patru sisteme au aceeaşi variabilă de tip flux (f), respectiv: - intensitatea i a curentului pentru circuitul electric; - viteza v pentru sistemul mecanic în mişcare de translaţie; - viteza unghiulară  pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; - debitul Q pentru sistemul hidraulic; Mărimile de intrare u, sunt: tensiunea e, forţa F, cuplul M, presiunea ΔP. Mărimile de ieşire y, sunt: intensitatea i a curentului din circuit, pentru sistemul electric; viteza v a masei, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie; viteza unghiulară  a volantului, pentru sistemul mecanic în mişcare de rotaţie; debitul Q al fluidului, pentru sistemul hidraulic.

Modelare şi simulare

84

Aceste patru tipuri de sisteme pot fi modelate printr-o ecuaţie diferenţială generică de forma: 

kI y kR y  u ,

(3.14)

în care: kR, k I – parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei energetice procesate de sistem. Observaţie: - nu s-a considerat şi un sistem termic deoarece la astfel de sisteme nu este definit un element inerţial. Pentru sistemul electric (fig.3.2a), se scrie relaţia de echilibru de tensiuni, de forma: (3.15)

e  uR  uL

în care: e este tensiunea furnizată de sursă; u R  Re i - căderea de tensiune pe rezistenţă;

uL  L

di - căderea de tensiune pe bobină. dt

Ecuaţia diferenţială care modelează comportarea circuitului are forma: L

di  Re i  e , dt

(3.16)

iar semnificaţia coeficienţilor este: k I  L şi k R  Re . Pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie (fig.3.2b), se scrie ecuaţia de echilibru dinamic, de forma: F  Fa  Fi  0 ,

(3.17)

în care: Fa    v este forţa datorată amortizorului; Fi  ma  m

dv - forţa de inerţie. dt

Ecuaţia de echilibru dinamic devine: m

dv  v  F , dt

(3.18)

cu următoarele semnificaţii ale coeficienţilor: k I  m şi k R   . Pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie (fig.3.2c), relaţia de echilibru dinamic este:

Modelare şi simulare

85

M  Mi  Ma  0 ,

în care: M i  J

(3.19)

d este momentul forţelor de inerţie; dt

M a   t  - momentul datorat amortizorului rotativ.

Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine: J

d   t  M , dt

(3.20)

iar semnificaţia coeficienţilor este: k I  J şi k R   t . Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.2e), se scrie ecuaţia de echilibru de forma: (3.21)

P  Pr  PC

în care: ΔP este presiunea pompei; Pr  R f Q - căderea de presiune pe robinet;

PC  L f

dQ - căderea de presiune pe conducta de lungime l şi secţiune dt

de arie A. Ecuaţia diferenţială care modelează sistemul devine: Lf

dQ  R f Q  P , dt

(3.22)

în care coeficienţii au semnificaţiile: k I  L f şi k R  R f . Prin aplicarea transformatei Laplace, din ecuaţia diferenţială generică (3.14), se obţine forma: k I sY s   k RY s   U s  ,

(3.23)

şi se poate determina funcţia de transfer generică:

H s  

1 kR

Y s  K   U s  k I Ts  1 s 1 kR

în care: K  T

1 este factorul de amplificare; kR

kI - constanta de timp. kR

(3.24)

Modelare şi simulare

86

Pentru cele patru sisteme, semnificaţia parametrilor K şi T este următoarea: 1 2 3 2 1 L A s m kg   1 , T  s  ; Re Re Re



- sistemul electric: K 



 

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: K  - sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie: K  - sistemul hidraulic: K 

1 s kg , T  m s ;  

1 J s  rad kg  m 2 , T  s  ; t t





Lf 1 s  m 4 kg , T  s . Rf Rf





III.4. Sisteme RLC modelate prin ecuaţii diferenţiale de ordinul II Se consideră un grup de patru sisteme fizice (fig.3.3), fiecare fiind alcătuit din [5,12,13,21]: a (Re )

(L)

b i

e

x

c

(ke)

(m) F

(Ce)

()

g a)

b)

p0 M

l a

(kt)

(J)

(t)

b

(p0 + ΔP ) (Rf )

c)

c

g

(Cf ) V (Lf )

d)

Fig.3.3. Sisteme RLC: a) sistem electric; b) sistem mecanic cu mişcare de translaţie; c) sistem mecanic cu mişcare de rotaţie; d) sistem hidraulic.

- subsistem generator de putere (un element de tip sursă ideală de efort), similar celor prezentate în paragrafele III.2, III.3; - subsistem disipativ de energie (un element R de tip rezistiv), similar celor prezentate în paragrafele III.2, III.3;

Modelare şi simulare

87

- subsistem acumulator de energie de tip capacitiv (un element C de tip condensator), similar celui prezentat în paragraful III.2; - subsistem acumulator de energie de tip inductiv (un element L de tip inerţial), similar celui prezentat în paragraful III.3. Mărimile de intrare u, ale fiecărui sistem din grup sunt similare celor prezentate în paragrafele III.1, III.2. Mărimile de ieşire y, sunt: cantitatea de electricitate q, pentru sistemul electric; deplasarea x, pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie; unghiul de rotaţie  ¸ pentru sistemul mecanic cu mişcare de rotaţie; volumul de fluid V, pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară. Cele patru tipuri de sisteme sunt analoge atât din punct de vedere structural cât şi din punct de vedere al comportamentului dinamic, putând fi modelate de un set de ecuaţii intrare – stare - ieşire cu forma generică:   0 1  x1     x   k k  2  C I

1  x 0 kR    1    1   x   kI   2  kI

 u   ,

(3.25)

x  y  1 0   1   x2 

unde: x1, x2 reprezintă variabilele de stare; k I, kR, kC - parametri cu semnificaţii corespunzătoare categoriei energetice procesate de sistem. Pentru sistemul electric (fig.3.3a), se scrie ecuaţia de echilibru de forma: e  u R  u L  uC ,

în care: e reprezintă tensiunea sursei; u R  Re i - căderea de tensiune pe rezistenţă;

uL  L

uC 

 di  L i - căderea de tensiune pe bobină; dt

1 q - căderea de tensiune pe condensator. Ce

(3.26)

Modelare şi simulare

88

Considerând ecuaţiile diferenţiale: 

qi 

i

R 1 1 q e i e Ce L L L

(3.27)

rezultă modelul matematic exprimat sub forma matriceală:   0 q    1  i   C L    e

1  q 0 R    1  e   i      e L     L 

(3.28)

q  q  1 0    i 

în care q este variabila de ieşire (cantitatea de electricitate). În setul de ecuaţii intrare – stare - ieşire, care modelează sistemul electric, s-au considerat variabilele de stare x1  q , x2  i , şi rezultă următoarea semnificaţie a coeficienţilor: k C  Ce , k I  L, k R  Re . În cazul sistemului mecanic cu elemente în mişcare de translaţie (fig.3.3b), ecuaţia de echilibru dinamic, pentru corpul de masă m este: F  Fe  Fa  Fi  0 ,

(3.29)

în care: Fe  k e x este forţa elastică din arc ; Fa    v - forţa din amortizor; 

Fi  m v - este forţa de inerţie.

Considerând ecuaţiile diferenţiale: 

xv 

v

ke  1 x v F m m m

(3.30)

se obţine forma matriceală:   0  x    k e  v    m

1   x  0    1 F    v    m m

 x x  1 0    v 

(3.31)

Modelare şi simulare

89

în care variabilele de stare sunt: x1  x şi x2  v , iar variabila de ieşire este deplasarea x a masei. Coeficienţii din ecuaţia generică (3.25), particularizaţi pentru sistemul mecanic cu mişcare de translaţie, au semnificaţia: k C 

1 , k I  m, k R   . ke

Pentru sistemul mecanic cu elemente în mişcare de rotaţie (fig.3.3c) se scrie ecuaţia de echilibru dinamic pentru volantul sistemului: M  Me  Ma  Mi  0 ,

(3.32)

în care: M e  kt este momentul elastic; M a   t  - momentul din amortizor; 

M i  J  - momentul de inerţie.

Considerând ecuaţiile diferenţiale: 

  



(3.33)

kt  1   t  M J J J

se obţine forma matriceală:   0     k t    J

1     0     1M  t      J J 

(3.34)

    1 0     

în care variabila de ieşire este unghiul de rotaţie . Variabilele de stare sunt x1   şi x2   , iar semnificaţia coeficienţilor din ecuaţia (3.25) este: k C 

1 , kI  J , kR   t . kt

Pentru sistemul hidraulic caracterizat prin curgere laminară (fig.3.3d), ecuaţia de echilibru de presiuni are forma: P  Pr  Pc  Pv

în care: P este presiunea creată de pompă; Pr  R f Q - căderea de presiune pe robinet;

(3.35)

Modelare şi simulare

90



Pc  L f Q - căderea de presiune pe conductă;

Pv 

1 V - presiunea de la baza rezervorului, datorată volumului V de Cf

lichid din rezervor. Considerând ecuaţiile diferenţiale: 

V Q 

Q

(3.36)

Rf 1 1 V Q P C f Lf Lf Lf

se obţine reprezentarea matriceală:   0 V    1 Q   C f L f 

1   0 R f   V    1     L f  Q   L f

   P  

(3.37)

V  V  1 0    Q 

în care: variabila de ieşire este volumul V din rezervor, variabilele de stare sunt

x1  V , x2  Q , iar coeficienţii din ecuaţia (3.25) au semnificaţia:

kC  C f , k I  L f , k R  R f .

Pe baza sistemului generic de ecuaţii intrare-stare-ieşire (3.25), fiecare sistem poate fi modelat printr-o funcţie de transfer de ordinul doi, astfel: 

x1  x2 

x2  

1 k 1 x1  R x2  u kC kI kI kI

(3.38)

Cu notaţia x1  y , din relaţiile (3.38) se obţine: 

y

kR  1 1 y y u. kI kC k I kI

(3.39)

Prin aplicarea transformatei Laplace, din relaţia (3.39) se obţine forma: s 2Y s  

kR 1 1 sY s   Y s   U s  kI kC k I kI

respectiv funcţia de transfer: H s  

kC K  2 2 , kC k I s  kC k R s  1 T s  2Ts  1 2

Modelare şi simulare

91

în care: K  kC este factorul de amplificare; T  kC k I - constanta de timp;



k 1 k R C - factor de amortizare. 2 kI

Factorul de amplificare K şi cei doi parametri T ,  au semnificaţii specifice fiecărui tip de sistem, astfel: - sistemul electric: K  Ce F , T  C e L s ,  

Ce 1 Re [adimensional]; 2 L

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: K  





m s , ke

1  [adimensional]; 2 mke

- sistemul mecanic cu mişcare de translaţie: K  

1 2 s kg , T  ke

1 2 s kg  m 2 , T  kt





J s , kt

1 t [adimensional]; 2 Jkt

- sistemul hidraulic: K  C f m 4 s 2 kg  , T  C f L f s  , 

1 Rf 2

Cf Lf

[adimensional].

Din exemplele prezentate se evidenţiază faptul că, plasându-se în domenii energetice diferite şi operând cu sisteme fizice prezentând analogii din punct de vedere al structurii, se constată şi analogii la nivel comportamental. Analogia la nivel de structură constă în alegerea unor elemente din domenii fizice diferite care procesează energia într-o manieră similară, iar conectarea lor este realizată în acelaşi mod. Aşadar, fundamentul energetic face ca modelarea comportamentală să poată fi tratată unificat, pentru toate domeniile de interes.

Modelare şi simulare

92

Fiecare sistem trebuie privit ca fiind conectat la o sursă de putere, considerându-se surse ideale de forţă, surse ideale de cuplu, surse ideale de presiune, surse ideale de temperatură, etc. În concordanţă cu exploatarea normală a unei surse reale de putere, se consideră că aceasta furnizează sistemului puterea necesară funcţionării, impunând sistemului unul din cele două semnale pereche (intrare pentru sistem), celălalt semnal pereche rezultând din consumul concret de putere al sistemului (ieşire pentru sistem). Această abordare permite obţinerea unor descrieri matematice eficiente, în sensul urmăririi tranziţiei cauzale intrare-ieşire (pentru funcţia de transfer şi diagrama bloc), respectiv intrare - stare - ieşire (pentru modelul de stare).

Modelare şi simulare

93

IV. SIMULAREA NUMERICĂ IV.1. Aspecte generale În cazurile simple, pe baza modelului matematic, dinamica unui sistem poate fi studiată cu ajutorul soluţiilor analitice. În cazul unor modele mai complicate este necesară utilizarea unei maşini de calcul, iar modelul matematic trebuie să aibă o formă de reprezentare adecvată programului de simulare utilizat, numită „model de simulare” [1,2,4,6,9,10,11,14,17,18,19]. Implementarea aplicaţiilor de calcul numeric şi, în particular, a aplicaţiilor destinate simulării dinamicii unor sisteme fizice, este dependentă de modul de reprezentare a numerelor şi de modul de efectuare a calculelor, în condiţiile în care orice echipament de calcul pune la dispoziţie doar un număr finit de cifre. Datorită acestui fapt se face apel, ca formă de reprezentare numerică, la aritmetica în virgulă flotantă (mobilă), se concep şi se utilizează algoritmi adecvaţi prelucrărilor tipice aritmeticii în virgulă flotantă. Considerând F, mulţimea numerelor care pot fi reprezentate în virgulă mobilă pe un anumit calculator, este valabilă forma [2]:





F  x  R | x   f be ,

(4.1)

unde: f este mantisa, de valoare pozitivă; b – baza sistemului de numeraţie; e – exponent, număr întreg. Expresia (4.1) conduce la constatarea că mulţimea numerelor care pot fi reprezentate în virgulă mobilă, pe orice maşină, conţine un număr finit de elemente. Operaţiile aritmetice definite pe mulţimea discontinuă F se numesc operaţii în virgulă flotantă, iar rezultatele unor astfel de operaţii reprezintă aproximaţii pentru rezultatele operaţiilor definite în manieră standard, pe mulţimea numerelor reale. În rezolvarea numerică a problemelor, precizia rezultatelor este afectată de trei tipuri de erori, şi anume:

Modelare şi simulare

94

- erori de rotunjire, datorate modului de reprezentare a datelor şi/sau modului de efectuare a calculelor cu precizie finită, conducând la operarea cu valori numerice aproximative; - erori inerente, cauzate de utilizarea unor informaţii cu caracter aproximativ: - cunoaşterea imprecisă a coeficienţilor unui model matematic; - realizarea unor măsurători cu precizie scăzută; - calcule anterioare aproximative, etc. - erori de trunchiere (discretizare), datorate unor metode sau algoritmi care înlocuiesc soluţiile analitice exacte cu soluţii aproximative, respectiv: - discretizarea unor probleme continue; - terminarea forţată, într-un număr finit de paşi, a proceselor iterative; - trunchierea unor serii infinite. În alegerea unui algoritm care să permită rezolvarea numerică a unei probleme, se ţine seama de următoarele proprietăţi ale algoritmilor: - eficienţa, determinată de timpul de calcul necesar pentru rezolvarea problemei; - precizia, care se referă la erorile introduse prin trunchierea unor serii infinite sau prin terminarea unor procese iterative; - stabilitatea numerică, care se referă la sensibilitatea rezultatelor în raport cu perturbaţiile datelor de intrare; - siguranţa în funcţionare, care presupune avertizarea utilizatorului ori de câte ori erorile introduse sunt mari; - generalitatea, cu referire la aplicabilitatea la o clasă de probleme; - memoria necesară. Etapele analizei prin simulare se referă la: - stabilirea cadrului simulării (definirea sistemului analizat, a obiectivelor, a criteriilor de evaluare, etc. ); - modelarea analitică; - realizarea modelului de simulare; - realizarea experimentului de simulare; - analiza şi interpretarea datelor.

Modelare şi simulare

95

Practic, pentru experimentul de simulare, fie se elaborează un program pentru obţinerea modelului de simulare, fie se apelează la programe specializate (Matlab, Simulink, Mathcad, Simnon, Labview, Mathematica, etc.). Acestea, prin interfeţe grafice-utilizator, permit selectarea componentelor de simulare, realizarea structurii, definirea parametrilor şi execuţia simulării. Rezultatele simulării se prezintă sub forma unor tabele de valori, reprezentări 2D sau 3D ale evoluţiei unor mărimi în timp, animaţie, etc. IV.2. Simularea bazată pe integrarea numerică a ecuaţiilor diferenţiale ordinare O ecuaţie diferenţială de ordinul I, de forma [2,6,13]: 

yt  

dy  f  y, t  , f : R  R  R, yt 0   y 0 , dt

(4.2)

cu funcţia f asigurând existenţa şi unicitatea soluţiei pe intervalul t0  t  t f , poate reprezenta modelul matematic pentru o mare varietate de procese fizice: electrice, mecanice, termice, hidraulice, etc. Găsirea soluţiei exacte a problemei (4.2) nu este posibilă decât în anumite cazuri, justificându-se necesitatea recurgerii la metode aproximative. Simularea comportării sistemelor modelate prin descrieri liniare (sau neliniare) de forma (4.2), se bazează pe rezolvarea numerică a problemei Cauchy (problemă cu condiţii iniţiale), prin care se va determina o aproximare a lui y(t), furnizată sub forma unei secvenţe de vectori numerici, calculaţi pentru un număr finit de valori ale variabilei independente t, definind o diviziune a intervalului t0 , t f : t0  t1  t 2  ...  t k  ...  t N  t f . În cazul reprezentării prin modele de stare, în urma rezolvării problemei Cauchy (4.2), se determină evoluţia în timp a mărimilor de stare, apoi dependenţa de timp pentru vectorul semnalelor de ieşire. În cazul reprezentării prin modele diagramă bloc, pentru a construi relaţia (4.2), este necesară elaborarea unei reprezentări intrare-stare-ieşire.

Modelare şi simulare

96

Observaţii: -

nici o metodă de integrare numerică a problemei Cauchy (4.2) nu este capabilă să furnizeze valorile exacte y t k   R n ale soluţiei y t  corespunzătoare punctelor tk, k = 1,2,...,N, ci doar aproximaţii ale acestora;

-

programele specializate destinate simulării (de ex. Simulink), sunt capabile să construiască automat, descrieri intrare-stare-ieşire, pornind de la descrieri de tip diagramă bloc.

Indiferent de metoda numerică de integrare, progresul integrării se raportează la o diviziune a intervalului t 0 , t N  , fiecare dintre punctele diviziunii fiind generate succesiv, pe măsură ce integrarea numerică avansează. Valoarea t k a variabilei independente, pentru care se calculează vectorul numeric al soluţiilor, se obţine, pornind de la t0 , incremental: t k  t k 1  hk , hk  0, k  1,2,..., N

(4.3)

în care: hk reprezintă pasul de integrare (poate avea o valoare constantă, sau poate fi modificat pe parcursul generării punctelor tk ). În rezolvarea numerică a problemei Cauchy (4.2), calitatea aproximării poate fi analizată cu ajutorul erorii totale  k ce afectează soluţia calculată la t  t k , determinată drept rezultat al acţiunii simultane a erorii de trunchiere şi

erorii de rotunjire, care tind să se acumuleze odată cu creşterea volumului de calcule efectuate, dând naştere unui fenomen de propagare a erorilor. Erorile de trunchiere sunt proprii fiecărei metode şi pot fi evaluate local, pe parcursul unui singur pas de integrare sau global, pe întregul interval de integrare. Ordinul unei metode de integrare se precizează cu ajutorul erorii locale de trunchiere,  klt , definită pentru un subinterval generic t k 1 , t k , cu vectorului soluţie y t k 1  , în punctul t k 1 al diviziunii, presupus de valoare exactă cunoscută.

Modelare şi simulare

97

Astfel, o anumită metodă de integrare numerică este de ordinul p dacă pe subintervalul generic t k 1 , t k  este îndeplinită condiţia:  klt  Chkp 1  Ohkp 1  ,

(4.4)

unde: hk  t k  t k 1 este valoarea pasului de integrare; C > 0 - constantă ce depinde de valorile derivatelor funcţiei vectoriale f din (4.2); O - funcţie de acelaşi ordin de mărime ca şi argumentul său, când argumentul tinde la zero (înlocuieşte inegalitatea prin scriere de tip egalitate). În funcţie de modul de utilizare a informaţiei pentru efectuarea unui pas de integrare, în rezolvarea numerică a problemei (4.2), se deosebesc [1,2,13]: -

metode directe (mono-pas), care la avansarea unui pas, pentru variabila independentă, necesită numai rezultatul de la pasul anterior (valoarea y k este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, numai în funcţie de valoarea calculată anterior, y k 1 ); aceste metode necesită un singur punct pentru iniţializare, fiind metode autostartabile; în această categorie se regăsesc metodele Taylor, Euler, Runge-Kutta;

-

metode indirecte (multi-pas), care la avansarea unui pas, pentru variabila independentă, necesită rezultatele de la un număr de paşi anteriori (valoarea y k este calculată, printr-o relaţie de recurenţă, în funcţie de valorile precedente, y k m , ..., y k  2 , y k 1 ); aceste metode nu sunt autostartabile şi pornesc cu ajutorul unei metode directe; în această categorie se regăsesc metodele Adams-Bashforth, AdamsMoulton, Gear, predictor-corector;

-

metode de extrapolare, care divizează fiecare pas de integrare întrun număr adecvat de subpaşi, utilizaţi pentru a extrapola rezultatul integrării

numerice

Richardson).

cu

ajutorul

fracţiilor

raţionale

(metoda

Modelare şi simulare

98

În funcţie de modul de definire a noii valori rezultate din efectuarea unui pas de integrare, se deosebesc: -

metode explicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea unui pas de integrare defineşte într-o manieră explicită noua valoare a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp tk 1 , iar expresia din membrul drept conţine referiri numai la valorile anterioare ale soluţiei, corespunzând momentelor de timp t k , tk 1 ,...etc. , anterioare momentului tk 1 ;

-

metode implicite, în care ecuaţia algebrică ce descrie efectuarea unui pas de integrare defineşte într-o manieră implicită noua valoare a soluţiei; astfel, ecuaţia algebrică respectivă, prezintă în membrul stâng noua valoare a soluţiei, corespunzând momentului de timp tk 1 , iar expresia din membrul drept conţine şi ea referiri la noua valoare a soluţiei, împreună cu referiri la valorile anterioare ale soluţiei, corespunzând momentelor de timp t k , t k 1 ,... , anterioare momentului t k 1 .

Observaţii: -

după cum valoarea pasului este constantă sau se modifică pe parcursul integrării, metodele directe/indirecte sunt cu pas constant sau cu pas adaptiv;

-

metodele directe/indirecte se pot utiliza în algoritmi de tip explicit sau implicit (de ex. metodele Runge-Kutta sunt directe şi explicite, metodele Adams sunt indirecte şi explicite sau implicite, etc.) .

IV.2.1. Metode directe Ca principiu general, metodele directe se bazează pe dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei y(t), ce reprezintă soluţia problemei (4.2). Astfel, se presupune că soluţia yt  se poate dezvolta în serie Taylor, în vecinătatea fiecărui punct t  t k , rezultând [1,2,9,10,13,18]:

Modelare şi simulare

99

t  t k 1 t  t k  y 2  t   ...  t  t k  y  p  t   ... y t k   k k 1! 2! p! 2

yt   yt k  

p

(4.5)

În vecinătatea punctului t 0 , dezvoltarea (4.5) conduce la forma: t  t 0 1 t  t 0  y 2  t   ...  t  t 0  y  p  t   ... yt   yt 0   y t 0   0 0 1! 2! p! 2

p

(4.6)

Pentru cazul particular t  t1 , dezvoltarea (4.6) are forma: t t t  t  t  t  yt1   y t 0   1 0 y 1 t 0   1 0 y 2  t 0   ...  1 0 y  p  t 0   ... 1! 2! p! 2

p

(4.7)

Cu notaţia h  t k 1  t k , desemnând pasul constant, particularizată în forma: h  t1  t 0 , relaţia (4.7) devine: yt1   yt 0  

h 1 h 2 2  h p  p y t 0   y t 0   ...  y t 0   ... 1! 2! p!

(4.8)

respectiv: y1  y0  hy01 

h 2 2  h p  p y 0  ...  y 0  ... , 2! p!

(4.9)

în care: yt1   y1 ; yt 0   y0 ; y  2  t 0   y 02  ; ... . Pentru determinarea soluţiei pe reţeaua de puncte t 0 , t1 , t 2 ,..., t k , relaţiile (4.8), (4.9) se aplică din aproape în aproape, rezultând: yt k 1   yt k  

h 1 h 2 2  h p p y t k   y t k   ...  y t k   ... , 1! 2! p!

(4.10)

respectiv: y k 1  y k  hy k1 

h 2 2  h p p y k  ...  y k  ... . 2! p!

Pentru calculul valorii

(4.11)

y k 1 este necesară determinarea derivatelor

y k1 , y k 2  , ... , în punctul t k .

Din ecuaţia (4.2), se obţine succesiv: y 2  t   y

3

f  yt , t   f  yt , t  y 1 t   f  yt , t   f  y t , t  f  y t , t  t y t y

t   ...,

etc.

respectiv, pentru t  t 0 :

(4.12)

Modelare şi simulare

100

y 1 t0   f  y t 0 , t 0   f  y0 , t0  f  y0 , t 0  f  y0 , t 0   f  y0 , t 0  t t 3  y t 0   ..., etc. y 2  t 0  

(4.13)

Algoritmul de integrare este de ordinul p, ordinul metodei fiind dat de cel mai mare ordin de derivare al funcţiei necunoscute y(t), în urma trunchierii seriei Taylor (4.11). Astfel, pentru p  2 , se obţine: yk 1  yk  hf  yk , t k  

h2 2 yk    h 3 , 2!

(4.14)

în care   h 3 indică faptul că toţi termenii care conţin h 3 , sau de putere mai mare, sunt neglijaţi. Dezavantajul metodei Taylor constă în faptul că, la fiecare pas, necesită calculul derivatelor y 2  , y 3 , ... . Observaţii: -

algoritmii de tip Taylor rezultă direct din modalitatea generală de calcul a valorii aproximative a soluţiei, particularizaţi prin alegerea ordinului p = 1, 2,...etc.;

-

teoretic, metoda permite găsirea oricărei soluţii, pentru orice ecuaţie diferenţială; practic, metoda se foloseşte pentru a evalua, prin comparaţie, precizia altor metode.

Metoda Euler clasică (algoritmul Taylor de ordin I), în forma explicită, reprezintă cel mai simplu caz al dezvoltării Taylor (4.11), particularizarea p  1 conducând la algoritmul: yk 1  y k  hf  y k , t k 

(4.15)

Pe baza relaţiei (4.15), plecând de la valoarea iniţială y 0  yt 0  , se obţine şirul aproximaţiilor y1 , y 2 , ... , ale valorilor adevărate yt1 , y t 2 ,... ale soluţiei. Modul de avansare al soluţiei, pe un interval oarecare t k , t k 1  , de lungime h, foloseşte drept informaţie despre derivată numai pe aceea corespunzătoare extremităţii din stânga a intervalului de interes, adică f  y k , t k  .

Modelare şi simulare

101

Din punct de vedere geometric, metoda Euler, numită şi metoda liniilor poligonale, constă în a înlocui curba y  y t  , prin linia poligonală construită din segmentele de dreaptă M 0 M 1M 2 M 3 M 4 ... (fig.4.1).

Fig.4.1. Metoda Euler (metoda liniilor poligonale) – interpretare geometrică

În punctul  y0 ,t 0  , tangenta la curba y  y t  , defineşte punctul M 0 , iar punctul M 1 se obţine la intersecţia tangentei cu ordonata ridicată din t1 . Segmentul M 0 M 1 are coeficientul unghiular y01  f  y0 ,t 0  . Similar, se trasează dreapta prin M 1 , cu coeficientul y11  f  y1 , t1  , iar la intersecţia cu ordonata ridicată din t 2 rezultă M 2 , ş.a.m.d. Observaţii: -

eroarea locală de trunchiere fiind destul de mare, pentru obţinerea unei precizii rezonabile, pasul de integrare h trebuie să fie ales suficient de mic;

-

dacă termenul hf  yk , t k  din (4.15), se înlocuieşte cu hf  y k  1 , t k  1  , 

2

2



informaţia despre derivată corespunde mijlocului intervalului de interes, obţinându-se algoritmul Euler, versiunea modificată: h h  yk 1  yk  hf  y k  f  y k , t k , t k   ; 2 2 

(4.16)

Modelare şi simulare

102

-

dacă termenul hf  yk , t k  din (4.15), se înlocuieşte cu hf  yk 1 , t k 1  , informaţia despre derivată corespunde extremităţii din dreapta a intervalului de interes, obţinându-se algoritmul Euler implicit.

Metoda Euler îmbunătăţită (algoritmul Taylor de ordin II), se obţine pentru cazul p  2 , rezultând: yk 1  yk  hf  y k , t k  

h 2 2  yk 2!

(4.17)

După aplicarea regulilor de derivare a funcţiilor compuse se obţin relaţiile: yk1  f  y k , t k  yk2   f 1  y k , t k  

f  y k  hf  y k , t k , t k  h  f  y k , t k  h

(4.18)

iar algoritmul de calcul devine: yk 1  y k 

h  f  yk , t k   f  yk  hf  yk , t k , t k  h  2

(4.19)

În relaţia (4.19), diferenţa fată de varianta clasică constă în faptul că derivata corespunde unei medii calculate din valoarea de la începutul intervalului şi o aproximare a valorii de la sfârşitul intervalului de interes. Metodele Runge-Kutta (Carl Runge-1895, Wilhelm Kutta-1901) evită calculul derivatelor funcţiei f  y, t  , care intervin în algoritmul Taylor, înlocuindule cu evaluări ale funcţiei în diverse puncte intermediare ale intervalului de interes. Numărul efectiv de puncte intermediare este corelat cu ordinul metodei. Ca principiu general, metoda urmăreşte formarea unor algoritmi de forma [1,2,4,6,9,10,11,17,18,19]: p

yk 1  yk   w j  r j

(4.20)

j 1

în care: w j , r j sunt coeficienţi care se determină cu ajutorul funcţiei f  y, t  , calculată în puncte intermediare din intervalul t k 1 , t k  , astfel încât dezvoltarea din partea dreaptă a relaţiei (4.20) să coincidă cu dezvoltarea Taylor a lui yk 1 până la termenii de rang p.

Modelare şi simulare

103

Pentru diverse valori întregi ale lui p, se obţin metode Runge-Kutta de diverse ordine. Metoda Runge-Kutta de ordinul I, se obţine pentru p  1 , respectiv: y k 1  y k  w1r1

(4.21)

Cu valorile coeficienţilor: w1  1 ; r1  hf  yk , t k  se obţine relaţia: yk 1  y k  hf  y k , t k 

(4.22)

care este similară metodei Taylor de ordinul I (metoda Euler clasică). Metoda Runge-Kutta de ordinul II, se obţine pentru p  2 , respectiv: yk 1  yk  w1r1  w2 r2

(4.23)

Cu valorile coeficienţilor: w1  w2  1 2 şi r1  hf  yk , t k  r2  hf  y k  r1 , t k  h 

se obţine relaţia: yk 1  yk 

1 r1  r2   yk  h  f  y k , t k   f  y k  hf  y k , t k , t k  h  2 2

(4.24)

care este similară metodei Euler îmbunătăţită (4.19). Metoda Runge-Kutta de ordinul IV se obţine pentru cazul p  4 , respectiv: y k 1  y k 

1 r1  2  r2  2  r3  r4  6

(4.25)

cu: r1  hf  yk , t k  1 1   r2  hf  y k  r1 , t k  h  2 2   1 1   r3  hf  y k  r2 , t k  h  2 2   r4  hf  y k  r3 , t k  h 

(4.25a)

Algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV în forma standard (4.25), este cotat drept cea mai populară şi eficientă metodă de integrare numerică cu pas

Modelare şi simulare

104

constant, reprezentând un optim simplitate-precizie. Eroarea de trunchiere a acestei metode este de ordinul q  h 5 . Metodele Runge-Kutta se pot aplica şi pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale. Astfel, se consideră ecuaţia diferenţială de ordinul n:





f y, y 1 , y 2  ,..., y n  , t  0

(4.26)

cu condiţiile iniţiale: t  t 0 , y  y0 , y 1  y01 , ... .

(4.26a)

Pe lângă soluţia căutată y(t), se mai introduc n-1 necunoscute auxiliare: y1 , y 2 ,..., yn1 , de forma:

dy dy dy  y1 , 1  y2 , ..., n2  yn1 . dt dt dt

(4.27)

Ecuaţia (4.27), împreună cu ecuaţia (4.25) pusă în forma: dyn  f  y, y1 , y 2 ,..., y n1 , t  dt

(4.28)

formează un sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul I, cu n funcţii necunoscute. Cazul general de tratare a problemei este laborios, dar pentru o ecuaţie diferenţială de ordin redus (de ex. 2 sau 3), calculele se simplifică. Se consideră sistemul de ecuaţii diferenţiale: dy1   y 1 t   dt  f 1  y1 , y 2 , t   dy  y 2 t   2  f 2  y1 , y 2 , t  dt 

(4.29)

cu condiţia iniţială:  y1 t 0   y10   y 2 t 0   y 20

(4.30)

În acest caz, relaţia (4.25) are forma:  y1,k 1   y1,k  1  r11  r   r   r           2   21   2   31    41   r22   r32   r42   y 2,k 1   y 2,k  6  r12 

în care:

(4.31)

Modelare şi simulare

105

r11  hf1  y1,k , y 2,k , t k  r12  hf 2  y1,k , y2,k , t k  1 1 1   r21  hf1  y1,k  r11 , y2,k  r12 , t k  h  2 2 2   1 1 1   r22  hf 2  y1,k  r11 , y2,k  r12 , t k  h  2 2 2   1 1 1   r31  hf1  y1,k  r21 , y2,k  r22 , t k  h  2 2 2  

(4.32)

1 1 1   r32  hf 2  y1,k  r21 , y 2,k  r22 , t k  h  2 2 2   r41  hf1  y1,k  r31 , y 2,k  r32 , t k  h  r42  hf 2  y1,k  r31 , y 2,k  r32 , t k  h 

respectiv: y1,0  y1 t 0 

(4.33)

y 2,0  y 2 t 0 

Observaţii: -

metodele Runge-Kutta cu pas constant, sunt uşor de implementat şi, în condiţiile unui pas de integrare suficient de mic în raport cu dinamica

sistemului

studiat

prin

simulare,

precizia

soluţiei

aproximative obţinute este bună; -

avantajele algoritmilor Runge-Kutta decurg din faptul că erorile de rotunjire datorate operaţiilor în virgulă mobilă sunt diminuate în raport cu metodele Taylor, pentru că se evită evaluarea derivatelor funcţiei f(y,t);

-

pe de altă parte, prelucrările în virgulă mobilă, cu un pas de integrare prea mic, pot conduce la aproximări grosiere datorită propagării erorilor de rotunjire.

Alte metode aproximative iterative, respectiv: -

metoda trapezelor;

-

metoda funcţiilor impuls-blocate (block-pulse functions);

-

metoda funcţiilor Walsh;

sunt prezentate în [5,20].

Modelare şi simulare

106

Exemplul 4.1. Se consideră modelul matematic dat sub forma unei ecuaţii diferenţiale de ordinul I, în forma: 

y  f  y, t   y  t  2 y0  y t 0 

Pentru t 0  0 şi y0  0 , se soluţionează numeric pentru t  0, 1 . Cu pasul constant h  0,1 , rezultă n  10 intervale. Folosind metoda Euler clasică (4.15), rezultă y1 , y 2 , y3 , ... , astfel: y1  y0  hf  y0 ,t 0 

Cu f  y0 , t 0   f 0,0  0  0  2  2 se obţine: y1  0  0,1 2  0,2 ; y2  y1  hf  y1 ,t1 

Cu t1  t0  h  0  0,1  0,1 şi f  y1 , t1   f 0,1; 0,2   0,2  0,1  2  2,1 se obţine: y2  0,2  0,1  2,1  0,41, ş.a.m.d.

Folosind metoda Euler îmbunătăţită (4.19), cu t 0  0 şi y0  0 , rezultă: y1  y 0 

h  f  y0 , t 0   f  y0  hf  y0 , t 0 , t0  h  2

Cu f  y0  hf  y0 , t 0 , t 0  h   f 0  0,1  2; 0  0,1  f 0,2; 0,1  0,2  0,1  2  2,1 şi f  y0 , t 0   2 , se obţine: y1  0 

0,1 2  2,1  0,205 2

Cu f  y1 , t1   f 0,205; 0,1  2,105 şi f  y1  hf  y1 , t1 , t1  h   f 0,4155; 0,2   2,2155 rezultă: y2  y1 

h  f  y1 , t1   f  y1  hf  y1 , t1 , t1  h   0,205  0,1 2,105  2,2155  0,4210 . 2 2

Folosind metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), cu t 0  0 şi y0  0 , rezultă: y1  y0 

1 r1  2r2  2r3  r4  6

r1  0,1  f  y 0 , t 0   0,2 1 0,1   r2  0,1  f  y 0  r1 , t 0    0,1  2 2  

 0,2 0,1  f ;   0,205  2 2 

Modelare şi simulare

107

1 0,1    0,205 0,1  r3  0,1  f  y 0  r2 , t 0  ;   0,20525   0,1  f  2 2  2    2 r4  0,1  f  y 0  r3 , t 0  0,1  0,1  f 0,20525; 0,1  0,210525

respectiv soluţia: y1  0 

1 0,2  2  0,205  2  0,20525  0,210525  0,2051708 , ş.a.m.d. 6

Exemplul 4.2. Se consideră modelul matematic dat sub forma ecuaţiei diferenţiale de ordinul I, în forma: 

y  f  y, t   y 2 

y 1  2 t 4t ,

y 1  0,5

pentru care se propune soluţionarea numerică în doi paşi, în punctul t  2 . În acest caz, rezultă: t 0  1 ,

y0  0,5 ,

n  2,

tf  2 , h 

t1  t 0  h  1  0,5  1,5 , t 2  2 .

Cu metoda Euler clasică rezultă: 0,5 1   y1  y0  hf  y0 , t 0   0,5  0,5   0,5 2     0,25 1 4  12  

 0,25 1  y2  y1  hf  y1 , t1   0,25  0,5   0,25 2     0,14236 . 1,5 4 1,5 2  

Cu metoda Euler îmbunătăţită se obţine: y1  y0 

h  f  y0 , t0   f  y0  hf  y0 , t0 , t 0  h   0,32118 2

y2  y1 

h  f  y1 , t1   f  y1  hf  y1 , t1 , t1  h   0,23481 2

Cu metoda Runge-Kutta de ordin IV se obţine: y1  y0 

1 r1  2r2  2r3  r4   0,33332 6

y2  y1 

1 r1  2r2  2r3  r4   0,24999 . 6

t f  t0 n



2 1  0,5 , 2

Modelare şi simulare

108

Exemplul 4.3. Se consideră circuitul electric RLC serie din Exemplul 2.6, prezentat în fig.2.17 pentru care a fost dedus un model matematic ce conţine două ecuaţii diferenţiale de ordin I: Re 1  diL 1  dt  L et   L iL t   L uC t   du 1  C  iL t   dt Ce

Considerând pentru componentele sistemului valorile Re = 2000 Ω, L = 0.025H, Ce = 10-7H, trasarea evoluţiei stărilor pe intervalul de timp t  0, 1ms  se poate realiza prin folosirea metodelor numerice. Două metode

numerice, directe şi explicite, de tip Runge-Kutta de ordin 3 şi 4 sunt implementate în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode23 şi ode45. Sintaxa folosită de aceste două funcţii este de forma [5,8,23,24]: [t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0);

sau [t,xn]=ode45('rlcserie',t0,tf,x0);

unde: t este un vector ce conţine timpul de simulare; xn - matrice ce conţine soluţiile ecuaţiilor diferenţiale la momentele de timp t; rlcserie - reprezintă o funcţie în care este descris sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordin I; t0 - momentul de timp iniţial; tf - momentul de timp final; x0 - condiţiile iniţiale. Pentru exemplul dat, funcţia Matlab ce conţine descrierea sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordin I (modelul matematic al circuitului RLC serie cu intrare treaptă, 1V), denumită “rlcserie.m” este de forma: function dx=rlcserie(t,x) e=1;Re=2000;L=0.025;Ce=10^-7; dx=zeros(2,1); dx(1)=-Re/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*e;

Modelare şi simulare

109

dx(2)=1/Ce*x(1); dx=[dx(1); dx(2)];

Secvenţa de program care determină traiectoriile de stare prin apelarea funcţiei rlcserie cu ajutorul metodei ode23, şi le afişează grafic, este următoarea: clf;clc;clear; %initializarea variabilelor t0=0;tf=10^-3;x0=[0 0]; % Determinarea starilor prin rezolvare numerica [t,xn]=ode23('rlcserie',t0,tf,x0); x1=xn(:,1);x2=xn(:,2); % Afisarea starilor figure(1) subplot(211),plot(t,x1);grid;ylabel('I_L [A]');xlabel('Timp [s]'); subplot(212),plot(t,x2);grid;ylabel('U_C [V]');xlabel('Timp [s]');

Evoluţia stărilor la o intrare treaptă e(t)=1V, prin rezolvarea numerică cu ajutorul a două metode Runge-Kutta este indicată în fig.4.2 [23].

a)

b)

Fig.4.2. Evoluţia variabilelor de stare a circuitului RLC serie la un semnal de intrare treaptă cu amplitudine 1V: a) rezolvare cu ode23; b) rezolvare cu ode45

Modelare şi simulare

110

IV.2.2. Metode indirecte Metodele indirecte (multi-pas) se bazează, ca principiu general, pe faptul că funcţia y(t), ce reprezintă soluţia problemei Cauchy (4.2) poate fi aproximată oricât de bine, în orice interval închis, printr-un polinom de grad suficient de înalt (metodele de integrare indirecte se numesc şi metode de integrare bazate pe aproximări polinomiale) [2,4,6,9,10,13,17,18,19]. Astfel, dacă în cadrul diviziunii t0 , t f  , se consideră punctele consecutive t k  p1  ...  t k 1  t k  t k 1 , p  N , se presupune că soluţia exactă y(t) poate fi

aproximată printr-un polinom de gradul p:





yt   c0  c1t  ...  c p t p , t  t k  p 1 , t k 1 ,

(4.34)

unde coeficienţii ci , i  0, 1,..., p , asigură egalitatea dintre soluţia aproximativă şi soluţia exactă în punctele diviziunii t0 , t f  . Dacă

punctele

diviziunii

uniforme

t , t  0

f

satisfac

condiţia

t k 1  t k  h, k  0,1,..., N  1 , forma generală a unui algoritm de integrare indirect

cu pas constant este dată de relaţia: y k 1  a1 y k  a 2 y k 1  ...  a m y k 1 m   hb0 f  y k 1 , t k 1   b1 f  y k , t k   ...  bm f  y k 1 m , t k 1 m ,

(4.35)

m 1  k  N 1

în care: a1 ,..., am , b0 , b1 ,..., bm sunt coeficienţi aleşi astfel încât valoarea yt k 1  calculată cu (4.35) să coincidă cu valoarea yt k 1  calculată cu (4.34); f  y k 1i , t k 1i , i  0,1,..., m - funcţii pentru care se consideră satisfăcută

egalitatea: f  yk 1 i , tk 1i  

dy  c1  2c2t  ...  pc pt p 1 dt t  t k 1i





t  t k 1 i

.

(4.35a)

Observaţii: -

relaţia (4.34) se poate considera un polinom de interpolare care aproximează soluţia exactă a problemei Cauchy (4.2);

Modelare şi simulare

-

111

pentru b0  0 , în (4.35), se obţine metoda explicită, deoarece termenul yk 1 apare numai în membrul stâng, iar relaţia poate defini valoarea

acestuia într-o manieră explicită; -

pentru b0  0 , în (4.35), se obţine metoda implicită, deoarece termenul yk 1 apare atât în membrul stâng cât şi în membrul drept, iar relaţia

poate defini valoarea acestuia într-o manieră implicită; -

o metodă multi-pas (explicită sau implicită) de ordinul p + 1 necesită cunoaşterea valorilor yi  yt i , i  0,..., p, p  1 , corespunzătoare primelor

t , t ,

p + 1 puncte ale diviziunii

0

f

(metodele indirecte nu sunt

autostartabile); pentru obţinerea acestor valori, trebuie aplicat în prealabil, de p ori, un algoritm uni-pas (o metodă directă), cel mai recomandat fiind algoritmul Runge-Kutta de ordinul IV, datorită preciziei sale şi a modului relativ simplu de programare. Algoritmi Adams Expresia

generală

a1  1, a 2  ...  a m  0, b0  0 ,

(4.35),

particularizată

conduce

la

clasa

pentru

m  p 1

algoritmi

de

şi

expliciţi

Adams-Bashforth, de forma:





y k 1  y k  h b1 f  yk , t k   ...  b p1 f  y k  p , t k  p  ,

p  k  N 1.

(4.36)

În (4.36), calculul valorii yk 1 are semnificaţia de predicţie a unei valori necunoscute,

ce

se

evaluează

pe

baza

a

p+1

valori

cunoscute

yk  p  y t k  p ,..., yk  y t k  , astfel că algoritmii Adams-Bashforth se numesc şi

algoritmi Adams predictor. Expresia

generală

(4.35),

particularizată

pentru

m p

şi

a1  1, a2  ...  am  0 , conduce la clasa de algoritmi impliciţi Adams-Moulton, de

forma:





y k 1  y k  h b0 f  yk 1 , t k 1   b1 f  yk , t k   ...  b p f  y k 1 p , t k 1 p  , p  k  N  1.

(4.37)

În (4.37), calculul valorii yk 1 are semnificaţia de corecţie a valorii deja cunoscute yk 1  yt k 1  , care apare şi în membrul drept, alături de alte p valori

Modelare şi simulare

112

yk 1 p  y t k 1 p ,..., y k  y t k  ,

cunoscute

utilizate pentru realizarea corecţiei

(algoritmii Adams-Moulton se numesc şi algoritmi Adams corector). Dacă valoarea

yk 1  y t k 1  este, mai întâi, predictată cu ajutorul

algoritmului Adams predictor (4.36) şi, apoi corectată cu ajutorul algoritmului Adams corector (4.37), se obţine algoritmul Adams predictor-corector. În construcţia concretă a unei formule de integrare multi-pas de tipul (4.35), pentru care se determină valorile numerice ale coeficienţilor, aplicarea efectivă a aproximării prin interpolare polinomială se referă la funcţia f(y,t) din membrul drept al ecuaţiei diferenţiale (4.2). Astfel, din (4.2), considerând relaţia: yt k 1   y t k   

t k 1

tk

f  y, t dt ,

(4.38)

pentru funcţia f(y,t), se calculează aproximativ integrala, prin utilizarea polinomului Lagrange de interpolare, g p t  , de grad p:



tk 1

tk

f  y, t dt  

t k 1

tk

g p t dt ,

(4.39)

care conduce la forma: y k 1  yk  

tk 1

tk

g p t dt .

(4.40)

Observaţii: - în cazul algoritmilor Adams-Bashforth, polinomul de interpolare, g p t  , se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante t k  p  ...  t k ; -

în cazul algoritmilor Adams-Moulton, polinomul de interpolare, g p t  , se foloseşte în următoarele p+1 puncte echidistante t k 1 p  ...  t k 1 ; eroarea locală de trunchiere pentru un algoritm de integrare multi-pas de tip Adams, bazat pe un polinom de interpolare

g p t  , este

 kl 1  O h p 2  .

Algoritmii Adams-Bashforth de ordin p  1, p  1, sunt descrişi de egalitatea (4.36). Coeficienţii b1 ,..., b p1 se determină în urma explicitării integralei



tk 1

tk

g p t dt din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.1.

Modelare şi simulare

113

Tabelul 4.1. Valorile coeficienţilor b1 ,..., b p 1 , pentru algoritmii Adams-Bashforth Algoritm Adams-Bashforth Ordinul II Ordinul III Ordinul IV

b1

b2

3 2 23 12 55 24

1 2 16  12 59  24 

b3

b4

-

-

5 12 37 24

-



9 24

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul II, obţinut pentru p = 1, necesită valorile y0  yt 0 , y1  yt1  , pentru pornire şi are forma: 1 3  yk 1  y k  h  f  yk , t k   f  y k 1 , t k 1 , 1  k  N  1 . 2 2  

(4.41)

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită valorile y0  y t0 , y1  yt1 , y2  yt 2  , pentru pornire şi are forma: 16 5  23  yk 1  yk  h  f  y k , t k   f  yk 1 , t k 1   f  yk 2 , t k 2 , 2  k  N  1 12 12  12 

(4.42)

Algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV, obţinut pentru p = 3, necesită valorile y0  y t0 , y1  y t1 , y 2  y t 2 , y3  yt3  pentru pornire şi are forma:

59 37 9  55  yk 1  yk  h f  y k , t k   f  yk 1 , t k 1   f  yk 2 , t k 2   f  y k 3 , t k 3 , 24 24 24 24   3  k  N 1

Algoritmii Adams-Moulton de ordin

(4.43)

p  1, p  1 , sunt descrişi de

egalitatea (4.37). Coeficienţii b0 ,..., b p se determină în urma explicitării integralei



tk 1

tk

g p t dt din (4.40), rezultând valorile din Tabelul 4.2.

Observaţie: -

practic, algoritmii Adams-Moulton sunt utilizaţi ca metode corectoare; pred t k 1  calculată printr-o metodă astfel, dacă există o valoare ykpred 1  y

Modelare şi simulare

114

oarecare, în punctul t k 1 , atunci formula de integrare (4.37) va furniza o valoare nouă ykcor1 , corespunzând aceluiaşi punct tk 1 . Tabelul 4.2. Valorile coeficienţilor b0 ,..., b p , pentru algoritmii Adams-Moulton Algoritm Adams-Moulton Ordinul II Ordinul III Ordinul IV

b0

b1

1 2 5 12 9 24

1 2 8 12 19 24

b2

b3

-

-

1 12 5  24 

-

1 24

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul II, obţinut pentru p=1, necesită valorile y0  yt0 , y1  y t1  , pentru pornire şi are forma: 1 1  yk 1  yk  h  f  yk 1 , t k 1   f  yk , t k , 0  k  N  1. 2 2 

(4.44)

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul III, obţinut pentru p=2, necesită valorile y0  y t 0 , y1  y t1 , y 2  y t 2  , pentru pornire şi are forma. 8 1 5  yk 1  yk  h  f  y k 1 , t k 1   f  yk , t k   f  yk 1 , t k 1 , 1  k  N  1 12 12 12 

(4.45)

Algoritmul Adams-Moulton de ordinul IV, obţinut pentru p=3, necesită valorile y0  y t0 , y1  y t1 , y 2  y t 2 , y3  yt3  , pentru pornire şi are forma: 19 5 1 9  yk 1  yk  h  f  yk 1 , t k 1   f  yk , tk   f  yk 1 , t k 1   f  yk  2 , t k 2 , 24 24 24  24  3  k  N 1

(4.46)

Algoritmi Adams predictor-corector se construiesc folosind predictorul şi corectorul de acelaşi ordin, obţinându-se: algoritmul Adams predictorcorector de ordinul II (predictorul de ordin II (4.41) şi corectorul de ordin II (4.44)), algoritmul Adams predictor-corector de ordinul III (predictorul de ordin III (4.42) şi corectorul de ordin III (4.45)), algoritmul Adams predictorcorector de ordinul IV (predictorul de ordin IV (4.43) şi corectorul de ordin IV (4.46)).

Modelare şi simulare

115

Algoritmul predictor-corector de ordinul I (algoritmul Euler predictorcorector), se obţine prin asocierea algoritmului Euler clasic (4.15), utilizat drept predictor, cu algoritmul Euler îmbunătăţit (4.19), utilizat drept corector. Formula de predicţie conduce la o primă estimare pentru valoarea yk 1  y kP1 , iar formula de corecţie creşte precizia soluţiei la ykC1 , respectiv: ykP1  yk  hf  y k , t k  ykC1  yk 

h f  y k , t k   f y kP1 , t k 1 2







(4.47)

Considerând un punct  y k , t k  al soluţiei, algoritmul (4.47) se aplică iterativ, în următorii paşi: 1. se calculează ykP1 cu formula predictor; 2. se calculează ykC1 cu formula corector, luând pentru prima iteraţie valoarea ykP1 calculată la pasul 1; pentru iteraţiile următoare, în locul valorii ykP1 se ia valoarea ykC1 , determinată la iteraţia precedentă; formula corector se repetă la acelaşi pas (pentru aceeaşi ordonată) până se ajunge la precizia impusă: ykC1  ykP1   impus sau ykk1  y kk11   impus

(4.48)

3. având condiţia (4.48) îndeplinită, se trece la calculul punctului următor, începând cu pasul 1. Metode Gear pentru ecuaţii stiff Sistemele de ecuaţii diferenţiale stiff (lb. română, „înţepenit” sau „rigid”) se caracterizează prin aceea că dinamica soluţiilor (traiectoriilor) pune în evidenţă componente cu variaţie foarte rapidă, precum şi componente cu variaţie foarte lentă în raport cu variabila independentă, cu semnificaţie temporală. Geometric, aceasta se traduce prin schimbări bruşte ale cosinusurilor directoare pentru dreptele tangente la curbele soluţii [8,13,23,24]. În cazul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de forma (4.2), comportarea de tip stiff apare pentru domeniile de valori ale vectorului soluţie y, care

Modelare şi simulare

116

conduc la disproporţii mari (de ordinul sutelor sau miilor) între valorile proprii ale matricei jacobian f y  . În cazul particular al sistemelor de ecuaţii diferenţiale liniare, cu coeficienţi constanţi, prezenţa valorilor proprii disproporţionate ca amplitudine, se traduce prin disproporţia constantelor de timp (comportare stiff). Majoritatea metodelor standard de integrare nu sunt potrivite pentru rezolvarea ecuaţiilor stiff, astfel că trebuie ales un algoritm care să permită variaţia pasului de integrare într-o plajă largă de valori, în condiţii de stabilitate numerică (algoritm stiff stabil). Algoritmii Gear (1971), cu structură implicită şi cu ajustarea automată a pasului, se bazează pe formula generală multi-pas (4.35), pentru m  p  1 şi b1  ...bm  0 , respectiv: yk 1  a1 y k  a2 y k 1  ...  a p1 yk  p  hb0 f  yk 1 , t k 1  , p  k  N  1 .

(4.49)

Algoritmul Gear de ordinul II, obţinut din (4.49) pentru p = 1, necesită pentru pornire valorile y0  y t 0 , y1  y t1  şi are forma: yk 1 

4 1 2  yk  yk 1  h f  yk 1 , t k 1  . 3 3 3 

(4.50)

Algoritmul Gear de ordinul III, obţinut pentru p = 2, necesită pentru pornire valorile y0  y t0 , y1  y t1 , y2  yt 2  şi are forma: yk 1 

18 9 2 6  y k  y k 1  y k 2  h  f  yk 1 , t k 1  11 11 11 11 

(4.51)

Observaţii: -

viteza şi precizia cu care se rezolvă problema (4.2), depind de metoda de integrare folosită, de mărimea pasului de integrare şi de toleranţa acceptată de utilizator;

-

metoda Euler implicită este extrem de simplă, dar necesită paşi de integrare mult mai mici decât cei utilizaţi de alte metode pentru a atinge aceeaşi precizie (uzual se foloseşte în cazul unor sisteme de complexitate redusă);

Modelare şi simulare

-

117

metodele Runge-Kutta sunt adecvate unor clase largi de sisteme, caracterizate printr-o dinamică liniară sau neliniară, echilibrată (fără tendinţe de comportare stiff);

-

în rezolvarea numerică a unei probleme de forma (4.2), algoritmul Adams implicit de ordinul II este stabil pentru orice valoare a pasului de integrare, alegerea pasului fiind restricţionată doar de precizia impusă pentru soluţia numerică a problemei; orice algoritm Adams implicit, de ordin p + 1, p > 1, poate utiliza paşi de integrare mai mari decât algoritmul Adams explicit de acelaşi ordin.

-

metodele Adams predictor-corector sunt recomandate pentru simularea sistemelor care prezintă o comportare stiff, uşoară sau moderată;

-

metodele Gear sunt singurele care pot furniza rezultate corecte în simularea sistemelor cu o pronunţată comportare stiff;

-

stabilitatea numerică a unui algoritm de integrare garantează faptul că erorile de rotunjire şi cele de trunchiere nu sunt amplificate, ci rămân mărginite pentru valori suficient de mici ale pasului de integrare;

-

dacă pasul de integrare este prea mic, este necesar un număr foarte mare de paşi pentru a acoperi întreg intervalul de integrare, ceea ce implică un volum mare de calcule;

-

în practică se recomandă alegerea unui pas de integrare cât mai mare posibil, care să asigure, însă, stabilitatea numerică a algoritmului. Exemplul 4.5. Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.1:



y  f  y, t   y  t  2 y0  y t 0 

Pentru t 0  0 şi y0  0 , se soluţionează numeric pentru t  0, 1 . Se alege pasul constant h  0,1 , n  10 şi se impune  impus  0,001 . Pentru calculul valorilor y1 , y 2 , y3 , ... , algoritmul Euler predictor-corector (4.47), se aplică astfel:

Modelare şi simulare

118

Determinarea valorii y1 : - iniţializarea: y10  y0  hf  y0 , t0  ; Cu f  y0 , t 0   f 0,0   0  0  2  2 se obţine: y10  0  0,1  2  0,2 ; h f  y0 , t 0   f y10 , t1 ; 2



- corectarea: y11  y0 





Cu t1  t 0  h  0  0,1  0,1 şi f  y10 , t1   f 0,2;0,1  0,2  0,1  2  2,1 se obţine valoarea corectată: y11  0  0,5  0,1 2  2,1  0,205 ; - verificarea condiţiei (4.48): y11  y10  0,001 conduce la: y11  y10  0,205  0,200  0,005  0,001 ;

- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea: y12  y0 

Cu



h f  y 0 , t 0   f y11 , t1 ; 2









f y11 , t1  f 0,205;0,1  0,205  0,1  2  2,105

se obţine valoarea corectată:

y12  0  0,5  0,1 2  2,105  0,20525 ;

- verificarea condiţiei (4.48): y12  y11  0,001 conduce la: y12  y11  0,20525  0,205  0,00025  0,001;

- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: y1  0,20525 . Determinarea valorii y 2 : - iniţializarea: y20  y1  hf  y1 ,t1  ; Cu f  y1 , t1   f 0,20525;0,1  0,20525  0,1  2  2,10525 se obţine: y20  0,20525  0,1 2,10525  0,4158 ;

- corectarea: y12  y1 

h f  y1 , t1   f y 20 , t 2 ; 2



Cu t 2  t1  h  0,1  0,1  0,2 şi









f y 20 , t 2  f 0,4158;0,2  0,4158  0,2  2  2,2158 se

obţine valoarea corectată: y12  0,20525  0,5  0,1  2,10525  2,2158  0,4213 ; - verificarea condiţiei (4.48): y12  y20  0,001 conduce la: y12  y20  0,4213  0,4158  0,0055  0,001 ;

- condiţia (4.48) nefiind îndeplinită se reia corectarea:

Modelare şi simulare

y22  y1 

119

h f  y1 , t1   f y12 , t 2 ; 2







Cu f  y 12 , t 2   f 0,4213;0,2  0,4213  0,2  2  2,2213 se obţine valoarea corectată: y22  0,20525  0,5  0,1  2,10525  2,2213  0,42157 ;

- verificarea condiţiei (4.48): y22  y12  0,001 conduce la: y22  y 12  0,42157  0,4213  0,00027  0,001 ;

- condiţia (4.48) fiind îndeplinită, se consideră soluţia: y2  0,42157 ; - similar, se determină y3 , y4 , ... , ş.a.m.d. Exemplul 4.6. Se consideră modelul matematic din Exemplul 4.2: 

y  f  y, t   y 2 

y 1  2 t 4t ,

y 1  0,5

pentru care se propune soluţionarea numerică cu metoda Adams-Bashforth de ordinul IV, în punctul t  2,25 . Soluţia de start se determină în punctul t  2 , prin metoda Runge-Kutta de ordin IV, în 4 paşi. Pentru a aplica metoda Runge-Kutta de ordin IV (4.25), se consideră: t0  1 ,

y0  0,5 , t f  t  2 , n  4 , h 

t f  t0 n



2 1  0,25 , t1  t 0  h  1  0,25  1,25 , 4

t 2  1,5 , t3  1,75 , t 4  2 .

Utilizarea relaţiilor (4.25), (4.25a), conduce la: y1  0,4 ; y2  0,33333 ; y3  0,28571 ; y4  0,25 .

Pentru determinarea valorii aproximative a soluţiei în punctul t  2,25 , algoritmul Adams-Bashforth de ordinul IV (4.43), are forma: 59 37 9  55  y5  y 4  h f  y 4 , t 4   f  y3 , t 3   f  y2 , t2   f  y1 , t1  . 24 24 24  24 

Cu: f  y 4 , t 4   f 0,25; 2  0,25 2 

0,25 1   0,0625  0,125  0,0625  0,125 ; 2 4  22

f  y3 , t 3   f 0,28571;1,75  0,16327 ; f  y 2 , t 2   f 0,33333;1,5  0,22222 ; f  y1 , t1   f 0,4;1,25  0,32 se obţine soluţia: y2,25  y5  0,22307 .

Modelare şi simulare

120

Exemplul 4.7. Se consideră ecuaţia diferenţială de ordin I din Exemplul 4.2: 

y  f  y, t   y 2 

y 1  2 t 4t

pentru care se doreşte realizarea unui program de rezolvare numerică, în mediul Matlab, cu ajutorul metodelor indirecte de tip Adams implementate în funcţia ode113 [5,8,23,24]. Ecuaţia diferenţială de ordin I este descrisă cu ajutorul funcţiei “func.m”. function dy=func(t,y) %ecuatia dif. de ordin I dy=y^2-y/t+1/(4*t^2); Secvenţa de program care determină şi afişează evoluţia soluţiei numerice a ecuaţiei diferenţiale este: %Exemplul 4.7 Rezolvarea unei ecuatii diferentiale de ordin I clf;clc;clear; %initializarea variabilelor t0=1;tf=2;y0=[0.5]; % Determinarea solutiei prin rezolvare numerica [t,yn]=ode113('func',t0,tf,y0); % Afisarea solutiei figure(1) plot(t,yn);grid;ylabel('Solutia');xlabel('timp [s]') Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale de ordin I, prin rezolvarea numerică cu ajutorul metodei de tip Adams (funcţia ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0,5, este prezentată în fig.4.3. Dacă se modifică condiţia iniţială, y(1)=0 şi se extinde domeniul variabilei t  1, 4 , atunci evoluţia soluţiei y se modifică conform fig.4.4.

Modelare şi simulare

Fig.4.3. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0,5

Fig.4.4. Evoluţia soluţiei ecuaţiei diferenţiale cu rezolvare numerică (ode113), pentru condiţia iniţială y(1)=0

121

Modelare şi simulare

122

Exemplul 4.8. Se consideră următoarea ecuaţie diferenţială de ordin II: 







y  f  y, t   k  1  y 2  y  y

cunoscută în literatura de specialitate ca ecuaţia Van der Pol (ecuaţie diferenţială stiff). Cu cât valoarea coeficientului k este mai mare cu atât este mai evident caracterul stiff al problemei (existenţa componentelor cu variaţie foarte rapidă şi a componentelor cu variaţie foarte lentă în raport cu variabila independentă). Algoritmii Gear, recomandaţi pentru rezolvarea numerică a ecuaţiilor stiff, sunt implementaţi în mediul Matlab cu ajutorul funcţiilor ode15s, ode23s, ode23t. Deoarece ecuaţia Van der Pol este diferenţială de ordin superior, aceasta trebuie adusă la forma unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin I şi transpusă sub forma unei funcţii, apoi în program Matlab [5,8,23,24]:   y1  y 2   y 2  k  1  y12  y 2  y1





function dy=func(t,y) %ecuatia van der Pol k=1; dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=k*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1); dy=[dy(1); dy(2)]; Pentru t  0, 20 şi condiţiile iniţiale y1(0)=2, y 2(0)=0, respectiv pentru un factor k=1 evoluţia celor două variabile determinate cu ajutorul funcţiei ode23s este prezentată în fig.4.5. Creşterea factorului k determină evidenţierea caracterului stiff al sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordin I (fig.4.6, cu k=2 şi k=5).

Modelare şi simulare

123

Fig.4.5. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, pentru k=1, rezolvare numerică cu ode23s

a)

b)

Fig.4.6. Evoluţia soluţiei ecuaţiei Van der Pol, rezolvare numerică cu ode23s: a) pentru k=2; b) pentru k=5.

Modelare şi simulare

124

ANEXE. PROGRAME MATLAB Anexa 1. Programul Matlab pentru Exemplul 2.5 [23,24]. %Exemplul 2.5 Un sistem mecanic conectat cu resort si amortizor (in paralel) clf;clc;clear;

%Parametrii sistemului ke=1; %N/mm (1, alte valori 4N/mm) gamma=10; %Ns/mm (10, alte valori 5Ns/mm) %Timpul de simulare t=0:0.1:50;

%Ecuatia diferentiala: gamma*x'(t)+ke*x(t)=F(t) %Constanta de timp: T=gamma/ke %sec %Factorul de amplificare: K=1/ke %mm/N

%1.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM TREAPTA %____________________________________ %Semnalul de intrare F=10; %N

(10, alte valori -10N,20N)

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat xft(1,1:length(t))=K*(1-exp(-t/T))*F;

%mm

figure(1) subplot(131);plot(t,xft);grid; ylabel('Deplasarea in regim fortat [mm]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat vft(1,1:length(t))=K*exp(-t/T); %mm/s subplot(132);plot(t,vft);grid; title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)');

Modelare şi simulare

125

ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului Fr=ke*xft; %Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului Fa=gamma*vft; subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid; legend('Fr','Fa'); ylabel('Actiunea fortelor [N]'); xlabel('Timp [s]');

%Performante: ts5=3*T ts2=4*T ys=K*F

%2.RASPUNSUL FORTAT LA REGIM SINUSOIDAL %______________________________________ %Semnalul de intrare A=10; w=pi/10;

%(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)

F=10*sin(w*t); %N figure(2) subplot(131);plot(t,F);grid; ylabel('Intrarea sinusoidala [N]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat M=K/sqrt(T^2*w^2+1); Fi=atan(T*w) R=K*T*w/(T^2*w^2+1); xfs(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi)+A*R*exp(-t/T);

%mm

Modelare şi simulare

126

%Expresia componentei de regim permanent sinusoidal xps(1,1:length(t))=A*M*sin(w*t-Fi); %mm subplot(132);plot(t,xfs,t,xps,'--');grid; legend('x_f','x_p'); title('Raspunsuri in regim fortat (intrare treapta)'); ylabel('Deplasarea si comp. permanenta [mm]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim fortat vfs(1,1:length(t))=1/gamma*(F-ke*xfs); %mm/s subplot(133);plot(t,vfs);grid; ylabel('Viteza in regim fortat [mm/s]'); xlabel('Timp [s]');

%3.RASPUNSUL LIBER %__________________ %Pozitia initiala x0=3

%mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber xl(1,1:length(t))=x0*exp(-t/T);

%mm

figure(3) subplot(131);plot(t,xl);grid; ylabel('Deplasarea in regim liber [mm]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a vitezei pt regim liber vl(1,1:length(t))=-1/T*xl; %mm/s subplot(132);plot(t,vl);grid; title('Raspunsuri in regim liber (x_0=2 mm)'); ylabel('Viteza in regim liber [mm/s]'); xlabel('Timp [s]');

Modelare şi simulare

%Expresia analitica a fortei elastice corespunzatoare resortului Fr=ke*xl; %Expresia analitica a fortei de frecare corespunzatoare amortizorului Fa=gamma*vl; subplot(133);plot(t,Fr,t,Fa,'--');grid; legend('Fr','Fa'); ylabel('Actiunea fortelor [N]'); xlabel('Timp [s]');

%4.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE SINUSOIDALA %__________________________________________ %Semnalul de intrare figure(4) subplot(131);plot(t,F);grid; ylabel('Intrarea sinusoidala [N]'); xlabel('Timp [s]');

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat si %liber subplot(132);plot(t,xfs,t,xl,'--');grid; legend('x_f','x_l'); title('Determinarea raspunsului complet la intrare sinusoidala'); ylabel('Deplasarea in regim fortat si liber [mm]'); xlabel('Timp [s]'); %Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet x=xl+xfs;

%mm

subplot(133);plot(t,x,t,xps,'--');grid; ylabel('Raspunsul complet la sinus [mm]'); xlabel('Timp [s]'); %5.RASPUNSUL COMPLET LA INTRARE CU IMPULSURI %___________________________________________ %Timpul de simulare t=0:0.1:200; %Semnalul de intrare

127

Modelare şi simulare

128

F(1,1:400)=10;

%N

F(1,401:800)=-4; %N F(1,801:1000)=-7; %N F(1,1001:1400)=12; %N F(1,1401:1600)=-15; %N F(1,1601:2001)=0; %N figure(5) subplot(121);plot(t,F);grid; ylabel('Intrarea sub forma de impulsuri [N]'); xlabel('Timp [s]');

%pozitia initiala x0=3; xi=[x0];

%mm %mm

ts=0; xs=K*F(1); for i=1:length(t) if ((t(i)==40)|(t(i)==80)|(t(i)==100)|(t(i)==140)|(t(i)==160)) %Pozitia initiala ts=t(i);

%timpul unde a aparut ultima discontinuitate

x0=x(1,i-1); xi=[xi x0];

%ultima pozitie inainte de discontinuitate %toate pozitiile in punctele de discontinuitate

xs=[xs K*F(i)]; %toate valorile pentru componentele stationare end %Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim liber xl(1,i)=x0*exp((-t(i)+ts)/T);

%mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii pt regim fortat xf(1,i)=K*(1-exp((-t(i)+ts)/T))*F(i);

%mm

%Expresia analitica si evolutia in timp a deplasarii, raspuns complet x(1,i)=xl(1,i)+xf(1,i);

%mm

end subplot(122);plot(t,x);grid; ylabel('Raspunsul complet la impulsuri [mm]'); xlabel('Timp [s]');

Modelare şi simulare

Anexa 2. Programul Matlab pentru Exemplul 2.6 [23,24]. %Exemplul 2.6 Un sistem electric RLC serie clf;clc;clear;

%1.Determinarea valorilor proprii pentru doua sisteme %____________________________________________________ %Parametrii sistemului 1 R1=1250;

%Ohm

L1=0.025; %H C1=10^-7; %F A1=[-R1/L1 -1/L1; 1/C1 0]; lam1=eig(A1); %Parametrii sistemului 2 R2=800;

%Ohm

L2=0.02; %H C2=10^-7; %F A2=[-R2/L2 -1/L2; 1/C2 0]; lam2=eig(A2);

%2.Dinamica de regim liber %_________________________ %Parametrii sistemului 3 R3=2000;

%Ohm (2000, alte valori 200)

L3=0.025; %H C3=10^-7; %F A3=[-R3/L3 -1/L3; 1/C3 0]; B3=[1/L3;0]; C3=[-R3 -1]; D3=1; sys3=ss(A3,B3,C3,D3); lam3=eig(A3);

%Starile initiale il0=0.001; %a

129

130

uc0=2; %V x0=[il0;uc0]; %Dinamica de regim liber a circuitului RLC serie figure(1); [yl,tl,xl]=initial(sys3,x0,10^-3); subplot(221) plot(tl,xl(:,1));grid; ylabel('I_L [A]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(223) plot(tl,xl(:,2));grid; ylabel('U_C [V]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(122) plot(tl,yl);grid; ylabel('U_L [V]'); xlabel('Timp [s]');

%3.Dinamica de regim fortat %__________________________ %Raspunsul la intrare treapta figure(2); [yf,tf,xf]=step(sys3,10^-3); subplot(221) plot(tf,xf(:,1));grid; ylabel('I_L [A]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(223) plot(tf,xf(:,2));grid; ylabel('U_C [V]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(122) plot(tf,yf);grid; ylabel('U_L [V]');

Modelare şi simulare

Modelare şi simulare

xlabel('Timp [s]'); %Raspunsul la intrare sinus %timpul de simulare ts=0:0.00001:0.001; %Semnalul de intrare A=1; w=4000*pi;

%(pi/10, alte valori pi/20 rad/sec)

e=A*sin(w*ts); %V figure(3) subplot(222);plot(ts,e);grid; ylabel('E [V]'); xlabel('Timp [s]');

[ys,ts,xs]=lsim(sys3,e,ts); subplot(224);plot(ts,ys);grid; ylabel('U_L [V]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(221) plot(tf,xs(:,1));grid; ylabel('I_L [A]'); xlabel('Timp [s]'); subplot(223) plot(tf,xs(:,2));grid; ylabel('U_C [V]'); xlabel('Timp [s]');

131

Modelare şi simulare

132

BIBLIOGRAFIE [1] Beu T.A., Analiza numerică în Turbo Pascal, Editura Microinformatica SRL, Cluj Napoca, 1992. [2] Berbente C., Mitran S., Zancu S., Metode numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1998. [3] Chi Tsong C., Analog and digital control system design. Transfer function, state space and algebraic methods, Saunders College Publishing, 2000. [4] Dodescu Gh., Toma M., Metode de calcul numeric, Editura Tehnică, Bucureşti, 1979. [5] Dulău M., Oltean S., Modelare şi simulare, Lucrări de laborator, Universitatea “Petru Maior” Tg.Mureş, 2003. [6] Forsythe G., Malcolm M., Moler C., Computer methods for mathematical computations, Prentice-Hall, New Jersey, 1977. [7] Franklin G., ş.a., Feedback control of dynamic systems, Fourth edition, Prentice Hall, 2002. [8] Ghinea M., Fireţeanu V., Matlab, calcul numeric. Grafică-aplicaţii, Editura Teora, 1997. [9] Jora B., Popeea C., Barbulea S., Metode de calcul numeric în automatică. Sisteme liniare, Editura Enciclopedică, Bucureşti,1996. [10] Kahaner D., Moler C., Nash S., Numerical methods and software, Prentice-Hall, New Jersey, 1989. [11] Larionescu D., Metode numerice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1989. [12] Mătieş V., Mecatronică, Editura Dacia, Cluj Napoca, 1998. [13] Păstrăvanu O., Limbajul bond-graph în modelarea şi simularea sistemelor fizico-tehnice, Editura Gh. Asachi, Iaşi, 2002. [14] Postolache M., Metode numerice, Editura Sirius, Bucureşti, 1994. [15] Preitl Ş., Precup R.E., Introducere în ingineria reglării automate, Editura Politehnica Timişoara, 2001. [16] Rus I., ş.a., Modelare şi simulare. Îndrumar de lucrări practice, Universitatea Politehnică Bucureşti, 1994.

Modelare şi simulare

133

[17] Rusu I., Metode numerice în electronică. Aplicaţii în limbaj C, Editura Tehnică, Bucureşti, 1997. [18] Shampine, L. F., Gordon M. K., Computer solution of ordinary differential equations: the initial value problem, San Francisco, 1975. [19] Ştefan K., ş.a., Calcul numeric în energetică. Algoritmi, programe, aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, 1996. [20] Teodorescu D., Sisteme automate deterministe, Editura Tehnică, Bucureşti, 1984. [21] Voicu M., Introducere în automatică, Editura Polirom, Iaşi, 2002. [22] Zărnescu H., Ingineria reglării automate, Universitatea „Petru Maior” Tg.Mureş, 1997. [23] ***, Matlab. The language of technical computing, The MathWorks Inc., 1997. [24] ***, Simulink. Dynamic system simulation for Matlab, The MathWorks Inc., 1997.