MMVIIIM1C01-4-Ejercicios de Analisis de Datos
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CONFIABILIDAD - ANÁLISIS DE DATOS...
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MMVIIIM1C01: Fiabilidad Capítulo: Análisis de Datos Ejercicios
2014 Blas Galván González*, Andrés Carrión García**, Nieves Martínez Alzamora** * Computación Evolutiva y Aplicaciones Numéricas en Ingeniería (CEANI) Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, España
** Departamento Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad Universidad Politécnica de Valencia, España
U L P G C – S I A N I – C E A N I
CURSO:
MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD Y RIESGO VIII EDICIÓN
MÓDULO:
1. Ingeniería de Fiabilidad
ASIGNATURA:
Fiabilidad
Capítulo
Análisis de Datos, Ejercicios
PROFESOR:
Blas Galván González, Andrés Carrión García, Nieves Martínez‐Alzamora
1.
ÍNDICE Ejercicio 1 ........................................................................................................................................................3
2.
Ejercicio 2 ........................................................................................................................................................4
3.
Ejercicio 3 ........................................................................................................................................................4
4.
Ejercicio 4 ........................................................................................................................................................6
5.
Ejercicio 5 ........................................................................................................................................................7
6.
Ejercicio 6 ........................................................................................................................................................7
7.
Ejercicio 7 ........................................................................................................................................................8
8.
Ejercicio 8 ......................................................................................................................................................10
9.
Ejercicio 9 ......................................................................................................................................................13
10. Ejercicio 10 ....................................................................................................................................................14 11. Ejercicio 11 ....................................................................................................................................................16 12. Soluciones: ....................................................................................................................................................17 1. 1.
Ejercicio 2 ............................................................................................................................................17
1. 2.
Ejercicio 4 ............................................................................................................................................17
1. 3.
Ejercicio 5 ............................................................................................................................................17
1. 4.
Ejercicio 6 ............................................................................................................................................18
1. 5.
Ejercicio 11 ..........................................................................................................................................18
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1. Ingeniería de Fiabilidad
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Capítulo
Análisis de Datos, Ejercicios
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Blas Galván González, Andrés Carrión García, Nieves Martínez‐Alzamora
1. EJERCICIO 1 Se quiere estudiar el momento en que el sistema pueda haber fallado con una probabilidad del 80%, partiendo de que se ha realizado un estudio del modelo de fallos y responde a una distribución Weibull, con los siguientes parámetros: 1, 5 50 0 Las unidades están expresadas en miles de horas. Definir la probabilidad de que falle en ese instante, tanto de manera genérica como de que falle a continuación, si no ha fallado previamente. Resolución:
Para estudiar el momento en que hay una probabilidad del 80% de que el sistema haya fallado ya, se acudirá a la función de distribución: F (t ) 1
t e
1,5
t 50 1 e
Solucionando F (t 0,8 ) 0,8 : 1,5
t 0,8 1 e 50
0,8
1,5
t 0,8 e 50
0, 2 1,5
t 0,8 50 t 0,8
50
ln(0,2)
11,5
[ ln(0, 2)]
11,5 68, 668
t 0,8 50[ ln(0, 2)]
El instante buscado es a los 68,67 miles de horas. Gráficamente, se aprecia que este valor tiene sentido: Para este instante, la probabilidad de fallo, considerando el cómputo global de fallos, es de 0,00703141, indicado por la función de densidad. La probabilidad de fallo a continuación de ese instante, suponiendo que no haya fallado previamente, es de 0,03515707, según la función de riesgo. Estos valores se pueden apreciar en sus representaciones gráficas.
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) t ( F n ó i c u b i r t s i d e d n ó i c n u F
1,2
0,016 ) t 0,014 ( f d 0,012 a d i s 0,01 n e d 0,008 e d n 0,006 ó i c 0,004 n u F 0,002 0
1 0,8 0,6
Distribución F(t)
0,4 0,2 0 0
50
100
150
Densidad f(t)
0
Tiempo hasta el fallo
50
100
150
Tiempo hasta el fallo
) t (
λ
o g s e i r e d n ó i c n u F
0,05 0,04 0,03 0,02
Riesgo λ(t)
0,01 0 0
50
100
150
Tiempo hasta el fallo
2. EJERCICIO 2 Tras haber hecho un estudio del fallo de las bombas del sistema en función del número de ciclos, se ha llegado a la conclusión de que éstos se relacionan bajo una distribución exponencial, con los siguientes parámetros: 0,00075 0
Las unidades empleadas son los miles de ciclos. Uno de los objetivos de este estudio es la previsión de tener equipo de apoyo extra, por cualquier inconveniente que pueda ocasionar no disponer de suficientes bombas en un momento de demanda. Por ello, se ha tomado la decisión de que, cuando el eje haya realizado un número de ciclos tal que, las probabilidades de no haber fallado ya sean del 30%, se mande a pedir una nueva bomba. Como comparativa a este valor, se pide el estudio de la media de número de ciclos hasta el fallo, con intención de ver si es más restrictivo al número de ciclos asociado al porcentaje planteado.
3. EJERCICIO 3 Los impedimentos del sistema por razones de indisponibilidad (mantenimiento preventivo, fallos del sistema o problemas para poder mantener el equipo en funcionamiento) han complicado la producción de las últimas semanas, que sólo ha producido el 96% de los lotes proyectados, 240 lotes de 250. Pág. 4 de 18
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Suponiendo que la tendencia del sistema siga en la misma línea se ha previsto buscar la realización de 150 lotes, con intención de asegurar que se produzcan como mínimo 142 lotes. Se pretende evaluar el porcentaje de que el objetivo se consiga, empleando la distribución binomial. Resolución:
Para este problema, se van a buscar n=150 lotes. Con una probabilidad de que se produzcan de p=0,96, se va a proceder a aplicar la siguiente ecuación:
n r 150 r 150 r p (1 p )n r 0, 96 0, 04 r r
P( r )
Como el estudio pide que se busquen como mínimo 142 lotes, hay que contemplar también las posibilidades de que se obtengan también más de 142 lotes. Después, habría que sumar las posibilidades, de cara a obtener el resultado deseado. Para r=142 lotes:
150 142 8 0, 96 0, 04 0,10465271 142
P(142)
En la siguiente tabla se muestra un resumen de todas las probabilidades Aciertos (r) 142 143 144 145 146 147 148 149 150
Probabilidad P(r) 0,10465271 0,14051272 0,16393151 0,16280095 0,133809 0,08738547 0,04251185 0,01369509 0,00219121
Por último, la probabilidad de que se obtengan 142 o más lotes es: n
P142
r
142
n
P(r )
n r n r r p (1 p) r 142
150
150 0, 96 r 0, 04150 r r 142
r
0,85149052 P142
Como conclusión, hay un 85% de posibilidades de que se realicen los 142 lotes objetivo, aunque si se quiere ser más previsor aún se debería buscar como objetivo 2 o 3 lotes más, por asegurar el objetivo. Como ilustración visual, se añade una gráfica de las probabilidades según el número de lotes realizados.
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0,18 0,16 0,14
) r ( 0,12 P d a 0,1 d i l i b 0,08 a b o r 0,06 P
P(r )
0,04 0,02 0 125
130
135 140 145 Número de aciertos
150
155
4. EJERCICIO 4 En el sistema se produce un fallo cada 48 horas. En base a la distribución de Poisson, evalúe la probabilidad de que en el periodo de una semana no se produzca fallo alguno.
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5. EJERCICIO 5 Realizar un histograma con los datos de tiempo hasta el fallo de las baterías de emergencia del subsistema de alimentación de terminal terrestre de comunicaciones SATCOM. Para ello se disponen de los siguientes partes de mantenimiento relativos a este activo. Tiempo hasta el fallo (h)
399 984 1587 2208 2849 3511 4196 4906 5641 6404 7198 8025 8887 9788 10732 11722 12764 13863
15026 16261 17577 18986 20502 22142 23929 25892 28068 30510 33292 36525 40383 45168 51469 60722 78468
6. EJERCICIO 6 Obtener el modelo de la distribución exponencial, del fallo por fatiga de los rodamientos del grupo de bombeo formado por la motobomba de trasiego de una estación de separación de aceite estabilizada, mediante la aproximación de Bénard. Tiempo hasta el fallo
10126 22342 36569 56933 77157 83338 99509 114932 155898 180704 195715
209152 227081 290599 299456 362620 381675 417454 442918 496910 669799 689393 Pág. 7 de 18
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7. EJERCICIO 7 Se desea modelar los datos, a través de una distribución Weibull 2P y empleando el número de orden, hasta el fallo del filtro Tx de un terminal SATCOM, debido a que este tipo de fallo es difícil de detectar, algunos de los datos están censurados, ya que se sospecha que en ese momento debe haber ocurrido un fallo porque la potencia de transmisión se redujo considerablemente pero no se tiene la confirmación por parte del equipo de mantenimiento. Tiempo hasta el fallo (h)
233* 437 868* 541 960 791* 715
330 306 365* 84 573 150 1244
Los datos con * indican que tienen censura a la derecha. Resolución:
El primer paso para la resolución de este ejercicio es ordenar los datos de manera creciente, con el fin de determinar el número de supervivientes que existen en la muestra cuando se produce cada fallo.
84 150 233* 306 330 365* 437
541 573 715 791* 868* 960 1244
A continuación se aplica el método escogido, número de orden. Se recuerda que la fórmula a emplear es la siguiente: MOi MOi 1
n 1 MOi 1 1 S i
Para la primera posición se tiene entonces: MO1 MO0
14 1 MO0 14 1 0 0 1 1 S 1 1 14 F (t )
MOi 0,3 n 0, 4
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F i
Tiempos definitivos 84 150 233* 306 330 365* 437 541 573 715 791* 868* 960 1244
1 0, 3 0,0486 14 0, 4
Nº supervivientes 14 13
Moi 1,000 2,000
F(t) 0,0486 0,1181
11 10
3,083 4,167
0,1890 0,2685
8 7 6 5
5,3704 6,5741 7,7778 8,9815
0,3521 0,4357 0,5193 0,6029
2 1
10,988 12,994
0,7422 0,8815
La última etapa consiste en la representación del modelo linealizado de la función Weibull 2P, para ello se emplea la expresión siguiente: 1 Ln t Ln 1 F t Donde el término a la izquierda se identifica con y, y Ln(t) con x. Ln Ln
LN(LN(1/(1‐F))) LN(t) 4,4308168 ‐2,99909043 ‐2,07444434 5,01063529 ‐1,53810677 ‐1,16256418 ‐0,83463497
5,7235851 5,79909265
‐0,07956452
6,0799332 6,29341928 6,35088572 6,57228254
0,3042178 0,75751793
6,86693328 7,12608727
‐0,55832171 ‐0,31130374
La gráfica resultante de este modelo lineal es la siguiente, además se destacan los parámetros característicos de la distribución Weibull, siendo β=1,368 y η:
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1
9,092 e 1,368
770
y = 1,368x ‐ 9,0922 R² = 0,9886
0,5 0 ) ) ‐0,5 ) ) t ( F ‐ ‐1 1 ( / 1 ( ‐1,5 n L ( n L ‐2
0
1
2
3
4
5
6
‐2,5
7
8
Lineal (Datos)
‐3 ‐3,5
Ln(t)
8. EJERCICIO 8 Empleando el estimador no paramétrico de Kaplan ‐Meiers graficar la fiabilidad y sus intervalos de confianza al 95% de los siguientes tiempos hasta el fallo del motor eléctrico de impulsión del grupo de motobombas encargadas del trasiego de aceite estabilizado en una planta de separación de éste. Tiempo hasta el fallo (h)
735 1844 2975 4070 5150 6626 8258 9632 11480 13073
14101 17972 18533 20090 26065 30187 35757 44237 52728 73524
Resolución:
Como en todos los métodos no paramétricos lo primero que se ha de realizar es colocar los datos disponible de forma creciente, en este caso ya están ordenados. Por lo que se puede aplicar directamente la expresión relativa a este método:
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S 1
s1 1 s1
S 2 S 1
20 1 0,95 20
s2 1 s2
19 1 0, 90 19
0, 95·
Tiempos definitivos
si
Si
735
20
0,95
1844
19
0,90
2975
18
0,85
4070
17
0,80
5150
16
0,75
6626
15
0,70
8258
14
0,65
9632
13
0,60
11480
12
0,55
13073
11
0,50
14101
10
0,45
17972
9
0,40
18533
8
0,35
20090
7
0,30
26065
6
0,25
30187
5
0,20
35757
4
0,15
44237
3
0,10
52728
2
0,05
73524
1
0,00
Ahora hay que aplicar al ecuación de Greenwood en la cual hay que tener en cuenta que, di es el número de equipos que han fallado y ni el número de supervivientes en el instante i: Var Si Si2
d
i n n t t i i d i i
Para las primeras posiciones se tiene entonces: Var S1 S12 ·
1 d 1 0, 952 0, 0024 20 20 1 n1 n1 d 1
1 1 d1 d 2 0, 90· Var S 2 S 22 · 0, 0045 n1 n1 d1 n2 n2 d 2 20 20 1 19 19 1
Para calcular los intervalos de confianza hay que primero determinar el valor de Zα, que para este caso de 95%, tras consultar la tabla de valores normalizados para una distribución normal tipificada, es 1,96. Cálculo de los intervalos de confianza:
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IC1 S1 1,96 Var S 1 0, 95 1, 96 0, 0024 0,8545 IC1 S1 1, 96 Var S i 0, 95 1, 96 0, 0024 1, 0455 1, 00
Los valores de los intervalos de confianza que den valores por encima de 1 y por debajo de 0, se fijarán a 1 y 0 respectivamente. Tiempos definitivos
Var(S)
735
0,0024
1844
IC‐
IC+
Tiempos definitivos
Var(S)
IC‐
IC+
0,8545 1,0000
14101
0,0124
0,2320
0,6680
0,0045
0,7685 1,0000
17972
0,0120
0,1853
0,6147
2975
0,0064
0,6935 1,0000
18533
0,0114
0,1410
0,5590
4070
0,0080
0,6247 0,9753
20090
0,0105
0,0992
0,5008
5150
0,0094
0,5602 0,9398
26065
0,0094
0,0602
0,4398
6626
0,0105
0,4992 0,9008
30187
0,0080
0,0247
0,3753
8258
0,0114
0,4410 0,8590
35757
0,0064
0,0000
0,3065
9632
0,0120
0,3853 0,8147
44237
0,0045
0,0000
0,2315
11480
0,0124
0,3320 0,7680
52728
0,0024
0,0000
0,1455
13073
0,0125
0,2809 0,7191
Por último se procede a graficar los datos de la fiabilidad y sus intervalos de confianza. 1,2 Fiabilidad
1 d a d i l i b a i F / a i c n e v i v r e p u S
Intervalo Inferior
0,8
Intervalo Superior
0,6 0,4 0,2 0 0 ‐0,2
10000
20000
30000
40000
50000
60000
Tiempo (h)
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9. EJERCICIO 9 Se quiere extraer un modelo Weibull 2P de los siguientes tiempos de reparación, para la sustitución de los rodamientos enclavados de una motobomba de trasiego de aceite estabilizado. Empléese el método de máxima verosimilitud. Tiempo hasta el fallo (h)
121 182 235 288 286 331 356
403 459 468 490 579 613 714
Resolución:
Haciendo uso de la herramienta Excel facilitada, en el curso, se introducen los datos en la hoja correspondiente Weibull 2P (MLE) y se calculan los parámetros de forma y escala de la misma:
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10. EJERCICIO 10 Se ha realizado un estudio del tiempo de reparación del sistema, adecuado al número de horas que el operario tarda en ponerlo en marcha. Adecuado a ellos, se ha establecido la probabilidad de aparición de esos tiempos con la aproximación de Bénard, y se ha determinado que se comporta en base a una distribución normal, con los siguientes parámetros: 7 18
A modo de comprobación de que estos parámetros se amoldan bien, se han calculado los valores de probabilidad de haber fallado con los tiempos recogidos inicialmente. Todos los valores se muestran en la siguiente tabla: Tiempos de reparación
Probabilidad de Bénard
Probabilidad de función normal
2
0,03431373
0,011135489
9
0,08333333
0,099271397
10
0,13235294
0,126548954
12
0,18137255
0,195682969
13
0,23039216
0,237525262
14
0,27941176
0,283854583
15
0,32843137
0,334117571
16
0,37745098
0,387548481
18
0,42647059
0,5
18
0,4754902
0,5
18
0,5245098
0,5
19
0,57352941
0,556798497
20
0,62254902
0,612451519
22
0,67156863
0,716145417
22
0,72058824
0,716145417
23
0,76960784
0,762474738
24
0,81862745
0,804317031
26
0,86764706
0,873451046
29
0,91666667
0,941958433
31
0,96568627
0,968354584
Las unidades empleadas son horas. Se pretende corroborar la bondad de ajuste de esta distribución estimada, aplicando el test de Kolmogorov‐ Smirnov.
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Análisis de Datos, Ejercicios
PROFESOR:
Blas Galván González, Andrés Carrión García, Nieves Martínez‐Alzamora
Resolución:
Para resolverlo, se calculará en primer lugar la máxima diferencia entre las probabilidades: D max Fidato F i distribución
D max Fidato F i distribución 1
0,02317824 0,01593806 0,00580399 0,01431042 0,00713311 0,00444282 0,0056862 0,0100975 0,07352941 0,0245098 0,0245098 0,01673091 0,0100975 0,04457679 0,00444282 0,00713311 0,01431042 0,00580399 0,02529177 0,00266831
0,03431373 0,07219784 0,03308154 0,05482359 0,03470919 0,0418865 0,04457679 0,04333341 0,03892211 0,0245098 0,0245098 0,07352941 0,06575052 0,05911711 0,00444282 0,05346243 0,05615271 0,06333003 0,04321562 0,02372784
La mayor diferencia encontrada es 0,073352941. Ahora, se recurrirá a calcular el valor de k(n), usando el polinomio correspondiente para una distribución normal: k (n)
n 0, 01
0,85 n
20 0, 01
0,85 20
4, 6522
Teniendo el valor de k(n), se puede comparar bajo los tres niveles de confianza: 0,819 0,176 4.6522 0,895 0,192 4,6522
D0,90 D0,95
D0,99
1,035 0,222 4,6522
Como las diferencias límite son menores que la mayor diferencia encontrada, los datos de la distribución contemplada cumplen para niveles de confianza de 99, 95 y 90%.
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CURSO:
MAESTRÍA EN INGENIERÍA DE CONFIABILIDAD Y RIESGO VIII EDICIÓN
MÓDULO:
1. Ingeniería de Fiabilidad
ASIGNATURA:
Fiabilidad
Capítulo
Análisis de Datos, Ejercicios
PROFESOR:
Blas Galván González, Andrés Carrión García, Nieves Martínez‐Alzamora
11. EJERCICIO 11 Se pretende corroborar los resultados hallados bajo el test de Kolmogorov‐Smirnov en el ejercicio anterior. Para ello, se quiere usar el gráfico Q ‐Q, y mediante una resolución gráfica, valorar cómo de preciso ha sido el test.
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12. SOLUCIONES: 1. 1.
Ejercicio 2 si R(n0 )
f ( n0 )
2, 25 104
F (n0 )
0, 7
(n0 )
7, 5 104
T
1. 2.
1605, 297
1333,33
f (T )
2, 7591 10 4
F (T )
0, 6321
R(T )
0, 3679
(T )
7, 5 104
Ejercicio 4
P (0)
1. 3.
0, 3 n0
3,1097 10
2
Ejercicio 5
Límite de los Intervalos 13411 26422 39434 52445 65456 78468
Intervalos [399 ‐ 13411) [13411 ‐ 26422) [26422 ‐ 39434) [39434 ‐ 52445) [52445 ‐ 65456) [65456 ‐ 78468)
Marca de Clase 6905,13 19916,52 32927,90 45939,28 58950,66 71962,04
Frecuencia 17 9 4 3 1 1
Frec. Acum. 17 26 30 33 34 35
Porcentaje 48,57% 74,29% 85,71% 94,29% 97,14% 100,00%
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1. 4.
Ejercicio 6
t 10126 22342 36569 56933 77157 83338 99509 114932 155898 180704 195715 1. 5.
F(x) 0,03125 0,07589286 0,12053571 0,16517857 0,20982143 0,25446429 0,29910714 0,34375 0,38839286 0,43303571 0,47767857
t 209152 227081 290599 299456 362620 381675 417454 442918 496910 669799 689393
F(x) 0,52232143 0,56696429 0,61160714 0,65625 0,70089286 0,74553571 0,79017857 0,83482143 0,87946429 0,92410714 0,96875
Ejercicio 11
14 12
o l l a f l 10 e a t s 8 a h s o 6 p m e 4 i T
Q ‐Q Guía
2 0 0
2
4
6 8 10 Tiempo calculado
12
14
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