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Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste.

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Joel Alberto Montalvo Hernández AL12523631

MODELACION ESTOCASTICA MTRA.GUADALUPE DEL CARMEN RODRIGUEZ MORENO.

Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste. Para realizar las pruebas de bondad de ajuste es necesario: 1. Definir la variable aleatoria, establecer el espacio de estados y paramétrico. 2. Elaborar el histograma 3. Encontrar la media y varianza 4. Es importante que grafique su frecuencia esperada en el histograma. Si es discreta el resultado es puntual y si es continua es necesario trabajar con integrales. 5. Elaborar el análisis de acuerdo a la prueba solicitada en el ejercicio. Aplica la prueba de bondad de ajuste  , para verificar que los datos proporcionados en cada caso encajan 2

en el modelo que se propone en los cuatro primeros ejercicios y en los siguientes 4 realiza la prueba Kolmogorov-Smirnov.

Consideramos si las distribuciones propuestas son continuas o discretas, si no se proporcionan intervalos en las distribuciones continuas dado E=[A, B] consideramos para el primer intervalo [a, c 1] ; en los histogramas se indicará el número de clase y su frecuencia correspondiente. Con los intervalos anteriores calcularemos la media y varianza considerando las marcas de clase: Mc=(Ls-Li)/2. Para el cálculo de media y varianza consideramos las marcas de clase Mc=(Li+Ls)/2 Para las distribuciones discretas tomamos E={0,1,…n} para Poison y binomial y E={1,2,…n} para la geométrica en la tabla se señalarán las FOi=0. Para la prueba de bondad de ajuste

χ2

, elaboramos una tabla de frecuencias observadas FO y

esperadas FE, donde FE=nF(x) para las distribuciones continuas y FE=np(x) para las discretas; se toma el criterio FEi ≥5 , si no se cumple el criterio se adjuntan las clases adyacentes, calculamos el parámetro 3

C=∑ i=1

( FEi−FOi )2 FEi

Determinamos los grados de libertad df=m-r-1, m es el número de clases, r los parámetros estimados, el nivel de significancia si se tiene que

α =0.05

, calculamos

χ 2df , α

, planteamos las hipótesis de trabajo Ho y alterna Ha,

C ≤ χ 2df , α lahipótesis H o no puede rechazarse , siC ≥ χ 2df ,α la hipótesis H o se rechaza

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15/11/2016

Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste.

1, Se tomó a los tiempos entre llegadas de aviones en la ciudad de México en minutos con los siguientes datos: Frecuenci Clase 0.104959 4.45273909 8.80051917 13.1482993 17.4960793 21.8438594 26.1916395

a 1 23 16 3 4 2 1

Modelo propuesto: Exponencial (lambda=6)

Parauna distribución exponencial μ=λ , σ 2=λ2

{

−x

1 λ La función de densidad de la variable aleatoria x es f ( x ; λ )= λ e , x ≥ 0 0, en otro caso −1

x 1 En este caso μ=6,σ =6 =36, la función de densidad es f ( x ,6 )= e 6 ; 6 2

b

1 F ( x ; a ,b )=∫ e a 6

−1 x 6

2

dx=−e

−x 6

|

−a

−b

b =e 6 −e 6 a

X t =Es el tiempo en minutos entre llegadas delt−ésimo avión S= [ 0, … , 1440 ] continuo ,tiempo entre llegadas en minutos T ={ 1,.. , 50 } discreto , aviones La tabla de intervalos de clases e histograma son

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Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste.

Calculamos la media y la varianza

La media calculada se aproximaa la media propuesta en elmodelo

Parala frecuencia esperadaFE=nF ( x )=50 ( e

−a 6

−e

−b 6

)

Generamos una tabla que incluya FO y FE

Graficamos La frecuencia observada y la frecuencia esperada

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Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste.

Comparando las frecuencias en el gráfico notamos que los tiempos de llegadas entre aviones se ajustan a un modelo exponencial con lambda=6

Como FEi ≥5 agrupamos las clases adyacentes

Generamos el histograma

Del gráfico se observa que los datos se ajustan a la distribución exponencial propuesta Determinamos el parámetro C con m=3 3

C=∑ i=1

( FEi−FOi )2 ( 26.19490−24 )2 ( 12.27144−16 )2 ( 10.8981−10 )2 = + + =1.390813397 FEi 26.1949 12.27144 10.8981

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Modelación estocástica. Unidad 1. Determinación del tipo de distribución que presenta un proceso estocástico. Actividad 2. Pruebas de bondad de ajuste. Planteamos nuestras hipótesis

H o :eltiempo de llegada entre avionesenla CDMX se ajusta a un modelo exponencial con lambda=6 H o : X Exponencial λ=6 H a no H o Si C ≤ χ 2df , α lahipótesis H o no puede rechazarse , siC ≥ χ 2df ,α la hipótesis H o serechaza La prueba la haremos con nivel de significancia de 0.05 α=0.05,

Paralos grados de libertad se tiene df =k−r −1 en nuestro caso k =3,r =0 lamedia se propoprcionó , df =3−0−1=2.

Tomamos χ 22,0.05=5.991, tenemos que C=1.3908