Mmc- Mr Neifar

Cours de Mécanique des Milieux Continus

Mondher NEIFAR

Institut Supérieur de l’Education et de la Formation Continue

Janvier 2009

Sommaire CHAPITRE 1 : ELEMENTS DE CALCUL TENSORIEL EN BASES ORTHONORMEES.. 4 1. Convention d'indice muet................................................................................................... 4 2. Tenseurs euclidiens en bases orthonormées....................................................................... 4 2.1. Définitions.................................................................................................................. 4 2.2. Changement de base orthonormées............................................................................ 7 3. Tenseurs isotropes .............................................................................................................. 8 4. Multiplication des tenseurs................................................................................................. 8 5. Tenseurs gradient et divergence......................................................................................... 9 5.1. Tenseur gradient......................................................................................................... 9 5.2. Tenseur divergence .................................................................................................. 10 CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS............................................. 12 1. Définition d'un milieu continu – Hypothèses de base ...................................................... 12 1.1. Notion de particule ................................................................................................... 12 1.2. Hypothèse de continuité ........................................................................................... 13 2. Repérage des milieux continus......................................................................................... 13 2.3. Configuration de référence et configuration actuelle............................................... 13 2.4. Relation entre les configurations actuelles et de référence : La transformation du milieu continu....................................................................................................................... 14 2.5. Transformation linéaire tangente. ............................................................................ 15 2.6. Jacobien de la transformation................................................................................... 17 2.7. Champ des déplacements et champ des vitesses...................................................... 19 3. Description lagrangienne du mouvement......................................................................... 20 4. Dérivée matérielle et champ des accélérations ................................................................ 20 4.1. Dérivée matérielle .................................................................................................... 20 4.2. Champ des acélérations............................................................................................ 21 CHAPITRE 3 : LES DEFORMATIONS................................................................................. 22 1. Considérations intuitives .................................................................................................. 22 2. Tenseur de déformation lagrangien.................................................................................. 23 2.3. Tenseur de Cauchy à droite et tenseur de green-Lagrange ...................................... 23 2.3.1. Tenseur de Cauchy à droite.............................................................................. 24 2.3.2. Tenseur de Green-Lagrange ............................................................................. 25 2.3.3. Décomposition en fonction du champ des déplacements................................. 25 2.4. Décomposition polaire de la transformation linéaire tangente................................. 26 2.5. Directions principales de déformation et déformation principales .......................... 28 2.6. Variation de longueur d'un vecteur matériel élémentaire : Notion de dilatation ..... 29 Calcul de εNN en fonction de C (tenseur de Cauchy à droite) .......................... 30 2.6.1. 2.6.2. Calcul de εNN en fonction de L (tenseur de déformation de Green-Lagrange). 30 2.7. Variation d'angle entre deux vecteur matériel élémentaires : Notion de distorsion. 31 2.8. Variation de volume matériel élémentaires : Notion de dilatation volumique ........ 33 3. Cas des transformations infinitésimales........................................................................... 33 3.1. Définition : ............................................................................................................... 33 3.1.1. Définition ......................................................................................................... 34 3.1.2. Conséquences ................................................................................................... 35 3.2. Tenseur des petites déformations et des petites rotations : ...................................... 35 3.3. Expression de C, L, et U dans le cas des transformations infinitésimales : ............. 36 3.3.1. Tenseur de Cauchy à droite (C) : ..................................................................... 36 3.3.2. Tenseur de Green-Lagrange (L) :..................................................................... 36

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3.3.3. Tenseur de déformation pure avant rotation (U) :............................................ 37 3.3.4. Tenseur des rotations (R) : ............................................................................... 37 3.4. Variation de longueur en transformations infinitésimales : ..................................... 37 3.5. Variation d'angle droit :distorsion dans le cas des transformations infinitésimales : 38 3.6. Variation de volume :dilatation volumique dans le cas des transformations infinitésimales : .................................................................................................................... 39 3.7. Déviateur des déformations...................................................................................... 40 3.7.1. Définition : ....................................................................................................... 40 3.7.2. Significations physiques................................................................................... 40 3.8. Déformations planes (représentation géométrique) ................................................. 41 3.8.1. Définition ......................................................................................................... 41 3.8.2. Représentation géométrique du tenseur des déformations planes.................... 41 CHAPITRE 4 : LES CONTRAINTES .................................................................................... 44 1. Actions mécaniques sur un milieu continu et tenseur des contraintes ............................. 44 1.1. Les actions du milieu extérieur ................................................................................ 45 1.1.1. Les actions de contact ...................................................................................... 45 1.1.2. Les actions à distance....................................................................................... 46 1.2. Les actions mécaniques intérieures : notion de vecteur de contraintes.................... 46 1.3. Tenseur des contraintes de Cauchy .......................................................................... 47 1.3.1. Définition ......................................................................................................... 47 1.3.2. Relation entre vecteur contrainte et tenseur des contraintes ............................ 48 1.3.3. Symétrie du tenseur des contraintes de Cauchy ............................................... 49 2. Propriétés du tenseur des contraintes de Cauchy ............................................................. 50 2.1. Théorème de Cauchy................................................................................................ 50 2.2. Direction principales de contraintes et contraintes principales................................ 51 2.3. Déviateur des contraintes ......................................................................................... 52 2.4. Invariants des contraintes ......................................................................................... 53 3. Etat de contraintes planes – représentation géométrique ................................................. 54 4. Equations d'équilibre ........................................................................................................ 55 TD1 : Eléments de calcul tensoriel .......................................................................................... 57 TD2 : Cinématique des Milieux Continues.............................................................................. 58 TD3 : Déformations ................................................................................................................. 60 TD4 : Contraintes ..................................................................................................................... 63 Références ................................................................................................................................ 66

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CHAPITRE 1 : ELEMENTS DE CALCUL TENSORIEL EN BASES ORTHONORMEES

On considère l'espace euclidien E = ℝn, n ∈ IN*, muni d'une base orthonormée fixe r r r B = ( e1 ,e2 ,..., en ). Dans la pratique, n=3 et même 2 et E représente respectivement l'espace physique et le plan.

1. Convention d'indice muet r Soit x un vecteur de E, de composantes xi , i ∈ {1,2,…,n} relativement à la base B. On a alors: n r r x = ∑ x i ei i =1

Et l'on notera :

r r x = x i ei Définition (convention d'indice muet ou convention d'Einstein)

La répétition d'un même indice dans une expression arithmétique vaut convention de sommation sur cet indice. r r r r Remarque : On écrira indifféremment x = xi ei ou x = x j e j

Exempler : r Soient x et y des vecteurs de E, de composantes respectives xi et yi, i ∈ {1,2,…,n}, r r r r relativement à la base B. Le produit scalaire de x par y , représenté par x . y et définie par : rr n x . y = ∑ xi y i i =1

s'écrira, en utilisant la convention d'indice muet : rr (ou encore x .y = x k y k ).

rr x . y = xi y i

2. Tenseurs euclidiens en bases orthonormées 2.1. Définitions

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Définition On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E vers ℝ ou ℂ. Exemple : f : E →ℝ n r x → ∑ xi i =1

est une forme linéaire. Définition On appelle forme p-linéaire sur Ex…xE (p fois) toute application p-linéaire de Ex…xE vers ℝ ou ℂ. Exemple : f : ExE →ℝ r r rr ( x , y ) → x .y est une forme bilinéaire. Définition Soit p ∈ IN*. On appelle tenseur d'ordre p sur E = ℝn, n ∈ IN*, toute forme p-linéaire sur l'espace produit Ex…xE (p fois).

r r r r Soit alors t une tenseur d'ordre p sur E et x , y , …, u , et v p vecteurs de E, de composantes respectives xi, yi,..., ui et vi, i ∈ {1,2,…,n}, relativement à la base B. On a alors: n r r r r r n r⎞ ⎛ n r n r t( x , y , …, u , v ) = t ⎜ ∑ xi ei , ∑ y i ei ,..., ∑ u i ei , ∑ vi ei ⎟ i =1 i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠

Ou encore en utilisant la convention d'indice muet:

r r r r r r r r t( x , y , …, u , v ) = t( xi ei , y i ei ,...,u i ei ,vi ei ) Exploitons à présent la p-linéarité du tenseur t. Il vient :

r r r r r r r r t( x , y , …, u , v ) = xi yj... uk vl t( ei , e j ,..., ek , el ) On voit alors que le tenseur t est complètement caractérisé par l'ensemble des np scalaires r r r r t( ei , e j ,..., ek , el ), (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p.

Cas où p = 1

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r r r ⎛ n r⎞ t( x ) = t ⎜ ∑ xi ei ⎟ = t( xi ei ) = xi t( ei )=xi ti ⎝ i =1 ⎠ r r Le tenseur t de composantes ti = t( ei ), i ∈ {1,…,n}, s'identifie au vecteur t de E ayant les r r mêmes composantes : t = t i ei r r Soit y = y i ei ∈ E.

rr r t( y ) = ti yi = t .y

r r Cette relation permet d'identifier tout vecteur x = xi ei X E à un tenseur x d'ordre 1 de

composantes xi, i ∈ {1,…,n}. r Les vecteurs ei , i ∈ {1,…,n}, s'identifient en particulier à des tenseurs du premier ordre ei de composantes δij, j ∈ {1,…,n}.

Remarque : δij est le symbole de Kronecker . δij = 1 si i = j, et δij = 0 sinon. r r r r r r r On a ∀ i ∈ {1,…,n}, ei( y ) = ei .y = yi ∀ y ∈ E, et ei( e j ) = ei .e j = δij ∀ j ∈ {1,…,n}.

Cas où p = 2 r r (i,j) ∈ {1,…,n}2 t( x , y ) = tij xi yj Le tenseur t s'identifie à la matrice T ayant les mêmes composantes que t.

r r Tij = tij = t( ei , e j )

Le tenseur de Kronecker δ de composante δij est un tenseur d'ordre 2 sur ℝn. r r

rr

δ( x , y ) = δij xi yj = xi yj = x . y Cas où p = 3 r r r t( x , y , z ) = tijk xi yj zk

(i,j,k) ∈ {1,…,n}3

Un tenseur d'ordre 3 sur ℝn contient n3 composantes. Dans le cas où n = 3, c'est-à-dire E = ℝ3, on introduit le tenseur d'orientation ∈ . Les composantes de ce tenseur d'ordre 3 sont données par :

⎧1 si (i,j,k) est une permutation circulaire de ( 1,2 ,3 ) ⎪ ∀ (i,j,k) ∈ {1,…,n} , ∈ijk = ⎨2 si (i,j,k) est une permutation circulaire de ( 3 ,2 ,1 ) ⎪0 sinon ⎩ r r r Le tenseur d'orientation ∈ permet d'exprimer les composantes du produit vectoriel z = x ∧ y r r où ( x , y ) ∈ ℝ3. On a : 3

∀ i ∈ {1,…,n}, zi = ∈ ijk xj yk

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r r r r r r Le tenseur d'orientation ∈ permet aussi d'exprimer le produit mixte ( x | y | z ) = x .( y ∧ z ) . On a: r r r ( x | y | z ) = ∈ ijk xi yj zk Cas où p = 4 r r r r t( x , y , z , w ) = tijkl xi yj zkwl

(i,j,k,l) ∈ {1,…,n}4

Un tenseur d'ordre 4 sur ℝn contient n4 composantes.

2.2. Changement de base orthonormées Examinons à présent comment se transforment les composantes d'un tenseur d'ordre p dans un changement de base orthonormée de l'espace euclidien E = ℝn, n ∈ IN.

r r r r r r Soient B = ( e1 ,e2 ,..., en ) et Bˆ =( eˆ1 ,eˆ2 ,...,eˆn ) deux bases orthonormées de E, et soit Pˆ la matrice de passage de B à Bˆ définie par : r r eˆi = Pˆij e j

∀ i ∈ {1,…,n}.

Soit à présent t un tenseur d'ordre p sur E de composantes tij…kl, (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p relativement à la base B , et ˆtij …kl , (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p, relativement à la base Bˆ . On alors, par définition des composantes d'un tenseur et ∀ (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p : r r r r ˆtij…kl = t( eˆi ,eˆ j ,...,eˆk ,eˆl ) r r r r = t( Pˆi' i ei' , Pˆj' j e j' ,..., Pˆk ' k ek' , Pˆl' l el' ) r r r r = Pˆi' i Pˆj' j ...Pˆk' k Pˆl' l t( ei' ,e j' ,...,ek ' ,el' ) = Pˆ Pˆ ...Pˆ Pˆ t i' i

j' j

k ' k l' l

i' j ' … k ' l '

Cas où p = 1 r r Le tenseur t s'identifie à un vecteur t de composantes ti = t( ei ) relativement à la base B et r de composantes ˆti = t( eˆi ) relativement à la base Bˆ . On a alors : ∀ i ∈ {1,…,n}

⎛ t1 ⎞ ⎜ ⎟ On pose [t] = ⎜M ⎟ ; [ ˆt ] = ⎜ .t ⎟ ⎝ n⎠

ˆti = Pˆji tj

⎛ ˆt1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜M ⎟ et [ Pˆ ] = [ Pˆij ]. ⎜ˆ ⎟ ⎝ .tn ⎠

On retrouve ainsi la relation classique : [ ˆt ] = t[ Pˆ ] [t]

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Cas où p = 2 r r Le tenseur t est une forme bilinéaire de composantes tij = t( ei , e j ), (i,j) ∈ {1,…,n}2, r r relativement à la base B et de composantes ˆtij = t( eˆi ,eˆ j ) relativement à la base Bˆ . On a

alors :

ˆ Pˆ tkl ˆtij = P ki lj En posant [t] = [tij] ; [ ˆt ] = [ ˆtij ] ainsi que [ Pˆ ] = [ Pˆij ], nous obtenons la relation matricielle connues : [ ˆt ] = t[ Pˆ ] [t] [ Pˆ ]

3. Tenseurs isotropes Définition Un tenseur t d'ordre p sur E = ℝn est isotrope lorsque ses composantes sont invariantes dans tout changement de repère orthonormé. Un tenseur isotrope est nécessairement d'ordre pair. Les composantes d'un tenseur isotrope du second ordre sur E = ℝn relativement à une base orthonormée sont de la forme : tij = α δij

(i,j) ∈ {1,…,n}2 avec α ∈ ℝ.

Les composantes d'un tenseur isotrope d'ordre 4 sur E = ℝn relativement à une base orthonormée sont quant à elles de la forme : tijkl = α δijδkl + β δikδjl + γ δilδjk

4. Multiplication des tenseurs Définition On appelle produit de deux tenseurs t et t' d'ordre respectifs p et p' et on le note t ⊗ t' le tenseur d'ordre p+p' sur E = ℝn de composantes tij…kl t'i'j'…k'l'. Exemple Soit u le tenseur d'ordre 1 sur ℝ3 de composantes u1 = 1, u2 = 2, u3 = 0, et v le tenseur d'ordre 1 sur ℝ3 de composantes v1 = 2, v2 = 1, v3 = 5. On a :

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⎡2 1 5 ⎤ [u ⊗ v] = ⎢⎢4 2 10 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ Définition On appelle contraction sur un indice d'un tenseur t d'ordre p sur E = ℝn par un tenseur t' d'ordre p' sur E = ℝn et on le note t . t' le tenseur d'ordre p+p'-2 sur E = ℝn de composantes tij…kl t'lj'…k'l'. Exemple

∈ .δ est le tenseur de composantes ∈ ijk δkl = ∈ ijl d'où ∈ .δ = ∈ . Définition On appelle contraction sur un indice d'un tenseur t d'ordre p ≥ 2 sur E = ℝn par un tenseur t' d'ordre p' ≥ 2 sur E = ℝn et on le note t : t' le tenseur d'ordre p+p'-4 sur E = ℝn de composantes tij…kl t'kl…k'l'. Exemple

∈ :δ est le tenseur d'ordre 1 de composante ∈ ijk δjk = ∈ ijj =0. D'où ∈ :δ = 0.

5. Tenseurs gradient et divergence 5.1. Tenseur gradient r r r Soit E = ℝn, n ∈ IN*, muni d'une base orthonormée B = ( e1 , e2 ,..., en ). Soit Ω un ouvert de E, r r et f une fonction réelle définie sur Ω. Si f est différentiable au point x = xk ek ∈ Ω, et si r i ∈ {1,…,n} est un indice quelconque mais fixé, on désigne par ∂ i f ( x ) la dérivée partielle de f r par rapport à la variable xi au point x : r ∂f r ∂i f ( x) = (x) ∂xi r Dans ce cas, le gradient de f au point x est le tenseur du premier g = grad f de composantes r gi = ∂ i f ( x ) , i ∈ {1,…,n} relativement à la base B . On a donc :

r r grad f = ∂ i f ( x ) ei r Ce tenseur s'identifie au vecteur g de E ayant les même composantes gi, i ∈ {1,…,n} relativement à cette base. On a alors :

r r r r r df( x ) = g .d x = ∂ i f ( x ).dx

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Définition Soit à présent t une fonction tensorielle d'ordre p, p ∈ IN*, définie sur Ω. Les composantes r tij…kl( x ), (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p de t relativement à la base B sont des fonctions des variables r xi, i ∈ {1,…,n}. Si t est différentiable au point x et si m ∈ {1,…,n} est un indice quelconque r mais fixé, on désigne par ∂ m t( x ) la dérivée partielle de t par rapport à la variable xm au point r x . Cette dérivée est le tenseur d'ordre p dont les composantes relativement à la base B sont :

r ∂t r ∂ mtij ...kl ( x ) = ij ...kl ( x ) (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p. ∂xm r Le gradient de t au point x est alors le tenseur d'ordre p+1, g = grad t de composantes r gij…klm = ∂ m tij ...kl (x ) , (i,j,…,k,l,m) ∈ {1,…,n}p+1 relativement à la base B. On a donc :

r r dtij…kl( x ) = ∂ mtij ...kl (x ) dxm Exemple

⎧u1 = x1 + x2 + x3 ⎪ Soit u la fonction tensorielle d'ordre 1 définie sur ℝ par : ⎨u2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ⎪u = x x x 1 2 3 ⎩ 2 3

⎡ 1 r [grad u( x )] = ⎢⎢ x2 + x3 ⎢⎣ x2 x3

1 x1 + x3 x1 x3

1 ⎤ x1 + x2 ⎥⎥ x1 x2 ⎥⎦

5.2. Tenseur divergence Définition On considère à présent un champ tensoriel de premier ordre u définie sur Ω de composantes ui, i ∈ {1,…,n}, relativement à la base B, fonctions des variables xi, i ∈ {1,…,n}. Si u est r différentiable au point x , sa divergence en ce point est alors le scalaire : r d = div u = ∂ iui ( x )

Exemple On considère l'exemple précédent, div u = 1 + x1 + x3 + x1 x2 . Définition Soit à présent t une fonction tensorielle d'ordre p, p ∈ IN*, définie sur Ω, de composantes r tij…kl( x ), (i,j,…,k,l) ∈ {1,…,n}p, relativement à la base B , fonctions des variables xi, r i ∈ {1,…,n}. Si t est différentiable au point x , on peut alors définir p tenseurs d'ordre p-1 r r appelés divergences de t au point x et notés div(q)t( x ), q ∈ {1,…,p}. Les composantes de r div(q)t( x ) relativement à la base B sont données par :

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r r (div(q)t( x ))ij…rt…kl = ∂ s tij ...rst ...kl (x ) (i,j,…,r,t,…,k,l) ∈ {1,…,n}p-1, q désignant ici le rang de l'indice s sur lequel porte la sommation.

r r Si par exemple p = 2, on obtiendra deux tenseurs du premier ordre div(1)t( x ) et div(2)t( x ) de r r r r composantes respectifs ∂ i tij (x ) et ∂ j tij (x ) . Si le tenseur t( x ) est symétrique ∀ x ∈ Ω, alors r r r div(1)t( x ) = div(2)t( x ) = div t( x ). Exemple r Soit t( x ) le tenseur du second ordre sur ℝ3 s'identifiant à la matrice suivante : ⎡ x1 r [t( x )] = ⎢⎢ x2 ⎢⎣ x3

3 ⎤ ⎡ r ⎥ ⎢ 0 [div t( x )] = ⎢ ⎥ ⎢⎣ x2 x3 + x1 x3 + x1 x2 ⎥⎦ (1)

x2 x3 x1 x3 x1 x2

et

x1 x2 x3 ⎤ x1 x2 x3 ⎥⎥ x1 x2 x3 ⎥⎦ ⎡1 + x3 + x1 x2 ⎤ r ⎥ x1 x2 [div t( x )] = ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ x1 + x1 x2 ⎥⎦ (2)

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CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS

Cinématique : c'est l'étude et la description du mouvement du milieu sans considérer les efforts. Avant :

- on considérait des corps indéformables, représentés par leur centre de gravité G. -Les grandeurs physiques qui leurs étaient attachées étaient représentées par r r r des fonctions vectorielles ( v , γ , F ).

En mécanique des milieux continus : -

Les corps sont supposés déformables sous l'action de charges externes. Les grandeurs physiques étudiées sont représentées par des fonctions tensorielles.

1. Définition d'un milieu continu – Hypothèses de base Idée intuitive A l'échelle microscopique, la matière apparaît discontinue. Cette discontinuité n'est pas décelable à l'échelle macroscropique : un solide qui se déforme est formé de corps matériels occupant en totalité (de façon continue) un domaine de l'espace physique. Cette idée est à la base du concept de milieu continu. Dans tout ce qui suit, M désigne un milieu, ou corps matériel (mais qui peut être un liquide ou un gaz).

1.1. Notion de particule Définition Soit M un corps matériel. On appelle particule de M un élément matériel de masse dm occupant au point M de l'espace physique le volume élémentaire dv. Le volume élémentaire dv est d'un point de vue macroscopique, "suffisamment petit" pour pouvoir être assimilé à un infiniment petit, tout en restant représentatif de la matière. Cette représentativité dépend de chaque milieu et elle sera requise à différentes échelles très différentes :

M dv M

dm

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-

Cristaux constituant un métal (nm). Paillettes dont se compose une argile (µm). Grains d'un sable (mm). Granulats entrant dans la composition d'un béton (cm). Bloc d'un barrage en enrochement.

Si ρ désigne la masse volumique au point M, on a :

dm = ρ dv 1.2. Hypothèse de continuité Soit M un corps matériel continu ou milieu continu. L'ensemble des particules de M occupe, à chaque instant t un domaine Ωt ouvert et connexe de l'espace physique. A tout point de Ωt correspond une et une seule particule.

2. Repérage des milieux continus r r r On considère l'espace euclidien ℝ3, munie d'un repère orthonormé R = (O, e1 ,e2 ,e3 ) direct d'origine O supposé fixe.

2.3. Configuration de référence et configuration actuelle Définition Soit M un milieu continu. On appelle configuration de référence, ou configuration non déformée de M l'ensemble Ω0 des positions de ses particules à un instant de référence t0 quelconque mais fixé. Soit P une particule de M quelconque mais fixée. La position P0 de P à l'instant de référence est alors repérée par le vecteur : r r X = OP0 = X k ek

Les variables (X1,X2,X3) coordonnées des particules de M à l'instant de référence t0, sont appelées variables de Lagrange.

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Ft

(t0) Ω0

r X

(t) Ωt

P0 r x

Pt

r e2 r e3

O

r e1

Définition Soit t l'instant actuel (on dit aussi l'istant courant). On appelle configuration actuelle, ou encore configuration déformée, de M à l'instant t l'ensemble Ωt des positions de ses particules à cet instant. Soit P la particule de M quelconque mais fixée considérée plus haut. La position Pt de cette particule à l'instant t est repérée par le vecteur : r r x = OPt = xi ei

Les variables (x1,x2,x3) coordonnées des particules de M à l'instant de courant t, sont appelées variables d'Euler

2.4. Relation entre les configurations actuelles et de référence : La transformation du milieu continu. L'application Ft de Ω0 sur Ωt : Ω0 → Ωt r r r X a x = F t( X ) est appelé transformation du milieu continu M relative à l'instant t.

Ft est une bijection de Ω0 sur Ωt. Par ailleurs, on appelle transformation du milieu continu M r r l'application qui à X et t associe le vecteur x . On a donc :

et l'on désigne par

F

r r r x = F ( X ,t ) = F t ( X ) Cette relation peut s'écrire aussi parfois : 14

r r r r x = x ( X ,t) = xi(X1,X2,X3,t) ei ⇔

⎧ x1 = x1 ( X 1 , X 2 , X 3 ,t ) ⎪ ⎨ x2 = x2 ( X 1 , X 2 , X 3 ,t ) ⎪ x = x ( X , X , X ,t ) 3 1 2 3 ⎩ 3

La transformation Ft relative à l'instant t étant bijective, l'application réciproque existe et est une bijection de Ωt sur Ω0. On a donc :

Ft-1 : Ωt → Ω0

r r r x a X = Ft-1( x )

et nous écrivons aussi parfois :

r r r r X = X ( x ,t) = xi(x1,x2,x3,t) ei

⇔

⎧ X 1 = X 1 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪ ⎨ X 2 = X 2 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪ X = X ( x , x , x ,t ) 3 1 2 3 ⎩ 3

2.5. Transformation linéaire tangente. Hypothèse :

Soit t l'instant actuel quelconque mais fixé. La transformation Ft relative à cet instant est une

bijection continûment différentiable et il en est de même de sa réciproque Ft-1. Soit par r r ailleurs X ∈ Ω0 quelconque mais fixé. Les applications t a F ( X ,t) ainsi que r t a ∂ K F ( X ,t), K ∈ {1,2,3}, sont continues.

r Cette hypothèse nous permet de considérer le gradient de Ft , grad Ft au point X . Ce r r gradient noté F( X ,t) ou Ft( X ) ou plus simplement Ft et même F est le tenseur du second ordre appelé transformation linéaire tangente au point P0 et à l'instant t. Il est caractérisé par : r r r r x = Ft( X ) : F( X ,t) = grad Ft ( X )

⇔

r r r d x = F( X ,t) d X

r r r Ses composantes relatives au repère orthonormé fixe R = (O, e1 ,e2 ,e3 ) ont alors pour expression :

FiK =

∂xi ∂X K

∀ (i,K) ∈ {1,2,3}2

La transformation linéaire tangente F au point P0 et à l'instant t et donc représentée par une matrice à 3 lignes et 3 colonnes :

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⎡ ∂x1 ⎢ ⎢ ∂X 1 ∂x F= ⎢ 2 ⎢ ∂X 1 ⎢ ∂x ⎢ 3 ⎣⎢ ∂X 1

r r r Et la relation d x = F( X ,t) d X s'écrit :

⎡ ∂x ⎡dx1 ⎤ ⎢ 1 ⎢ ⎥ ⎢ ∂X 1 ⎢ ⎥ ⎢ ∂x2 ⎢dx2 ⎥ = ⎢ ∂X ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎢dx ⎥ ⎢ ∂x3 ⎣ 3 ⎦ ⎢ ∂X ⎣ 1

∂x1 ∂X 2 ∂x2 ∂X 2 ∂x3 ∂X 2

∂x1 ∂X 2 ∂x2 ∂X 2 ∂x3 ∂X 2

∂x1 ⎤ ⎥ ∂X 3 ⎥ ∂x2 ⎥ ∂X 3 ⎥ ∂x3 ⎥ ⎥ ∂X 3 ⎦⎥

∂x1 ⎤ ⎥ ⎡ dX 1 ⎤ ∂X 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ∂x2 ⎥ ⎢ dXx2 ⎥ ⎢ ∂X 3 ⎥ ⎢ ⎥ ∂x3 ⎥ ⎢ ⎥ dX ⎥ ∂X 3 ⎥⎦ ⎣ 3 ⎦

Théorème :

r r La transformation linéaire tangente F( X ,t) = grad Ft ( X ) au point P0 de coordonnées r r (X1,X2,X3) et à l'instant t, est inversible. Son inverse noté F-1( X ,t) ou Ft-1( X ) ou plus simplement Ft-1 et même F-1 n'est autre que le gradient grad Ft -1 de Ft -1 au point Pt de r r r coordonnées (x1,x2,x3) avec x = Ft( X ) l'image de X par Ft . Les composantes de F-1 r r r relativement au repère R = (O, e1 ,e2 ,e3 ) sont : FKi =

∂X K ∂xi

∀ (K,i) ∈ {1,2,3}2

et la matrice représentative s'écrit :

⎡ ∂X 1 ⎢ ⎢ ∂x1 ∂X F-1 = ⎢ 2 ⎢ ∂x1 ⎢ ∂X ⎢ 3 ⎢⎣ ∂x1

∂X 1 ∂x2 ∂X 2 ∂x2 ∂X 3 ∂x2

∂X 1 ⎤ ⎥ ∂x3 ⎥ ∂X 2 ⎥ ∂x3 ⎥ ∂X 3 ⎥ ⎥ ∂x3 ⎥⎦

r r r La relation d X = F-1( x ,t) d x s'écrit :

16

⎡ ∂X ⎡ dX 1 ⎤ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ∂x1 ⎢ ⎥ ⎢ ∂X 2 ⎢ ⎢dX 2 ⎥ = ⎢ ∂x ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎢dX ⎥ ⎢ ∂X 3 ⎣ 3 ⎦ ⎢ ∂x ⎣ 1

∂X 1 ∂x2 ∂X 2 ∂x2 ∂X 3 ∂x2

∂X 1 ⎤ ⎥ ⎡dx1 ⎤ ∂x3 ⎥ ⎢ ⎥ ∂X 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢dx2 ⎥ ∂x3 ⎥ ⎢ ⎥ ∂X 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ dx ∂x3 ⎦⎥ ⎣ 3 ⎦

Exemple : X2

Configuration initiale Configuration actuelle a(t)

a(t)

H

r r e2 X O

Ft

X2 ⎧ ⎪ x1 = X 1 + a( t ) H ⎪ ⎨ x2 = X 2 ⎪x = X 3 ⎪ 3 ⎩

x2 ⎧ X x a ( t ) = − 1 1 ⎪ H -1 ⎪ Ft ⎨ X 2 = x 2 ⎪X = x 3 ⎪ 3 ⎩

b

r x X1

r e1 ⎡ ⎢1 F = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣

L

a( t ) ⎤ 0⎥ H 1 0⎥ ⎥ 0 1⎥ ⎥⎦

a( t ) ⎤ ⎡ 0⎥ ⎢1 − H F-1 = ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ 0 1⎥ ⎢0 ⎥⎦ ⎣⎢

2.6. Jacobien de la transformation r Soit t l'instant actuel et X ∈ Ω0 quelconque mais fixé, et soit Ft la transformation du milieu continu M relative à cet instant. Considérons, au point P0 de coordonnées (X1,X2,X3) r extrémité du vecteur X , un volume matériel élémentaire dV bâti sur trois vecteurs matériels r r r élémentaires non liés d X 1 , d X 2 et d X 3 .

17

Ft

(t0)

Ω0 r1 P0

r X

Ωt r2

dX

dX

r1

dx

r x

r3

dX

r e2 r e3

O

(t)

Pt

r2

dx

r3

dx

r e1

On a alors :

r r r r r r dV = ( dX 1 | dX 2 | dX 3 ) = det [ dX 1 , dX 2 , dX 3 )] = ∈ IJK dX I1dX J2 dX K3 La transformée de ce volume matériel élémentaire dans la configuration actuelle Ωt à l'instant t est alors le volume élémentaire dv bâti au point Pt de coordonnées (x1,x2,x3) extrémité du r r r r r vecteur x = Ft( X ) sur trois vecteurs matériels élémentaires non liés d x 1 , d x 2 et d x 3 définis par : r r d x α = F. d X α , α ∈ {1,2,3}

r avec F : transformation linéaire tangente F( X ,t) au point P0 à l'instant t. Il vient alors : r r r dv = det [ dx 1 , dx 2 , dx 3 )] = ∈ ijk FiI dX I1 F jJ dX J2 FkK dX K3 = ∈ ijk FiI F jJ FkK dX I1dX J2 dX K3 = det F ∈ IJK dX I1dX J2 dX K3 = det F dV

r r Le déterminant de F noté J( X ,t) ou Jt( X ) ou plus simplement Jt et même J est appelé le r jacobien de la transformation Ft au point P0 extrémité du vecteur X . r r ∀ t, ∀ X ∈ Ω0 , J( X ,t) = det F et on a :

J=

dv dV

Théorème :

r r ∀ t, ∀ X ∈ Ω0 , J( X ,t) > 0

18

2.7. Champ des déplacements et champ des vitesses Soit t l'instant actuel quelconque mais fixé, et soit Ft la transformation du milieu continu M relative à cet instant. Soit par ailleurs P une particule quelconque mais fixée de M , de r position dans la configuration de référence Ω0 le point P0 extrémité du vecteur X , et de r r position dans la configuration actuelle Ωt le point Pt extrémité du vecteur x = Ft ( X ). Le déplacement de la particule P à cet instant est alors le vecteur : r r r u = P0 Pt = x − X

(t0)

Ft

Ω0

P0

r X

(t)

Ωt r u r x

Pt

r e2

r e3

O

r e1

r r On appelle champs des déplacement l'application u qui à t et X associe le vecteur u de déplacement de la particule P à cet instant : u : Ω0 x [t0, + ∞ [→ ℝ3 r r r r r r r ( X ,t) a u( X ,t ) = u = x ( X ,t ) − X = ui ( X 1 , X 2 , X 3 ) ei r r u = ui ( X 1 , X 2 , X 3 ) ei

⇔

⎧u1 = u1 ( X 1 , X 2 , X 3 ,t ) ⎪ ⎨u2 = u2 ( X 1 , X 2 , X 3 ,t ) ⎪u = u ( X , X , X ,t ) 3 1 2 3 ⎩ 3

r La vitesse v de la particule P à l'instant courant t n'est alors autre que la dérivée par rapport au r temps du déplacement t a u( X ,t) de cette particule à cet instant :

r r ∂x r ∂u r v = ( X ,t ) = ( X ,t ) ∂t ∂t Exprimée sous cette forme, elle est ainsi fonction du temps et des variable de Lagrange (X1,X2,X3) coordonnées de la particule P dans la configuration de référence Ω0.

19

r r r Or X = Ft-1( x ), donc v peut s'exprimer en fonction du temps et des variables d'Euler (x1,x2,x3) coordonnées de la particule P dans la configuration actuelle Ωt et on a : r ∂u r (Ft-1( x ),t) v= ∂t r r On appelle champ des vitesse l'application v qui à t et x associe la vitesse v de la particule P à cet instant :

v : Ωt x [t0, + ∞ [→ ℝ3 r r ∂u r r r ( x ,t) a v ( x ,t ) = v = (Ft-1( x ),t) = vi ( x1 , x2 , x3 ) ei ∂t r r v = v i ( x 1 , x 2 , x 3 ) ei

⇔

⎧v1 = v1 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪ ⎨v2 = v2 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪v = v ( x , x , x ,t ) 3 1 2 3 ⎩ 3

3. Description lagrangienne du mouvement Définition Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M . On appelle trajectoire de P le lieu des positions successives de cette particule au cours du temps.

r Soit X le vecteur position de la particule P dans la configuration de référence Ω0 et soit Ft la transformation du milieu continu M relative à l'instant courant t. La trajectoire de P est alors la courbe géométrique ayant pour équation de paramètre t : r r t a x = Ft ( X ) Dans ce mode de description associé aux variables de Lagrange X1, X2, et X3 nous adoptons un point de vue consistant à suivre les particules dans leur mouvement. Ce point de vue, où l'on privilégie la particule est appelé point de vue lagrangien et la description du mouvement du milieu M qui en résulte est dite lagrangienne.

4. Dérivée matérielle et champ des accélérations 4.1. Dérivée matérielle Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M et soit g(P,t) une grandeur physique (scalaire, vectorielle ou tensorielle) liée à la matière, ou grandeur matérielle. On

20

appelle dérivée matérielle ou dérivée totale encore dérivée particulaire de g et l'on note g& ou dg , le taux de variation de cette grandeur lorsqu'on suit la particule P dans son mouvement. dt Supposons que g est une grandeur scalaire. Soient alors (X1,X2,X3) les coordonnées de la particule P dans la configuration de référence Ω0 (variables de Lagrange), et soit (x1,x2,x3) les coordonnées de cette même particule dans la configuration de actuelle Ωt à l'instant t (variables d'Euler).

Point de vue lagrangien g(P,t) = g(X1,X2,X3,t) et on a : g& =

∂g ∂t

Point de vue eulerien g(P,t) = g(x1,x2,x3,t) et on a : g& =

∂g ∂g ∂xi ∂g ∂g + = + vi ∂t ∂xi ∂t ∂t ∂xi

∂g + grad x g .v ∂t La dérivé matérielle d'une grandeur vectorielle ou tensorielle exprimée dans un système de coordonnées cartésiennes s'obtient aisément en dérivant chacune de ses composante, à l'aide des relations fournies précédemment. d'où

g& =

4.2. Champ des acélérations r Soit P une particule quelconque mais fixée du milieu continu M . L'accélération γ de cette particule à l'instant t n'est autre que la dérivée matérielle de sa vitesse à cet instant. r ∂u r Si v = ( X ,t ) ∂t r r Si v = v ( x ,t )

⇒ ⇒

∂2u r ( X ,t ) ∂t 2 r dv r γ = ( x ,t ) dt

r

γ =

r On appelle champ des accélérations et désignerons par γ l'application qui à tout t et x associe r l'accélération γ de la particule P à cet instant :

r dv r r r γ( x ,t) = γ = ( x ,t ) = γ i ( x1 , x2 , x3 ) ei dt

⇔

⎧γ 1 = γ 1 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪ ⎨γ 2 = γ 2 ( x1 , x2 , x3 ,t ) ⎪γ = γ ( x , x , x ,t ) 3 1 2 3 ⎩ 3

Propriété

γi = γ=

∂vi ∂vi + vj ∂t ∂x j

∀ i ∈ {1,2,3}

∂v + grad x v .v ∂t 21

CHAPITRE 3 : LES DEFORMATIONS

1. Considérations intuitives Définition Un corps est dit déformable si lorsqu'on lui applique des efforts, les distances relatives entre ses particules sont variables au cours du temps (par opposition aux corps rigides). Exemple Ecrasement d'un échantillon cubique d'un matériaux déformable homogène (même matériaux, même densité, …, dans tout le volume) isotrope (les propriétés physiques sont les mêmes en tout point et dans toutes les directions.

On suppose que cet écrasement se déroule dans des conditions idéales de compression simple (pression uniforme, pas de frottement entre l'échantillon et les embases de la presse). La transformation est dans ce cas linéaire :

r r r r x = F ( X ,t) = Ft( X ) = [α] X et donc :

r r [α] = Ft( X ) = grad Ft( X )

(Dans ce cas la transformation coïncide avec son gradient).

θ0 L0

θt Lt

On observe : -

raccourcissement de la hauteur, allongement de la longueur, conservation de l'angle droit, variation de l'angle entre diagonale, diminution du volume et de l'aire des faces latérales.

22

Notre objectif est de trouver un outil mathématique en mesure de retranscrire toutes ces informations : variation de longueur, d'angles, de surface, de volume au cours de la transformation. C'est le rôle du tenseur des déformations. Remarques -

Les déformations sont différentes des déplacements. Les déformations sont des grandeurs adimensionnelles, car il s'agit de variations relatives de mesures. Dans tout projet de génie civil, les déformations sont des grandeurs dimensionnante de l'ouvrage. Il existe plusieurs méthodes de mesure et de suivi des déformations : jauges d'extensométrie, extensomètre à fibre optique, extensomètre à corde vibrante, …

2. Tenseur de déformation lagrangien Soit M un milieu continu dont les configurations successives sont observées relativement à r r r un repère orthonormé direct R = (O, e1 ,e2 ,e3 ) de ℝ3 supposé fixe. On considère : -

F : transformation du milieu déformable M . Ft : transformation relative à l'instant t.

- Ω0 : état de référence de M . - Ωt : état déformé de M à t. Soit P une particule fixée de M repérée par :

r r X = OP0 = X k ek dans Ω0 r r x = OPt = xk ek dans Ωt La notion de déformation, liée aux variations relatives de mesures est basée sur l'étude de la transformation de domaines matériel élémentaire, c'est-à-dire une approche locale qui utilise la transformation linéaire tangente (on peut passer au volume global en intégrant).

2.3. Tenseur de Cauchy à droite et tenseur de green-Lagrange r r On choisit deux vecteurs élémentaires de longueur au point P0 de Ω0 dX 1 et dX 2 . Au temps t, r r r r ils leurs correspond au point Pt extrémité de x = Ft( X ) deux vecteurs élémentaires dx 1 et dx 2 vérifiant :

r r dx 1 = F d X 1 r r dx 2 = F dX 2

∂xi , (i,K) ∈ {1,2,3}2. ∂X K Pour quantifier les variations de longueurs et d'angle au cours de la transformation, regardons comment évolue le produit scalaire de ces vecteurs élémentaires.

où F est la transformation linéaire tangente de composantes FiK =

23

Ft

(t0) Ω0

Ωt

r1

r2

dX

P0

(t)

dX

r1

dx

r X

Pt

r x

r2

dx

r e2 r e3

O

r e1

2.3.1. Tenseur de Cauchy à droite r r dx 1 .dx 2 = dxi1 dxi2 = FiK dX K1 FiL dX L2 = FiK FiL dX K1 dX L2 Posons :

C KL = FiK FiL =t FKi FiL ce qui équivaut à introduire le tenseur du second ordre tel que : C = tF.F

r

r

r

C est un tenseur lagrangien car est fonction des variables de Lagrange : C( X ,t) = tF( X ,t).F( X ,t).

On a donc :

r r dx 1 .dx 2 = CKL dX K1 dX L2

d'où :

r r r r dx 1 .dx 2 = dX 1 .C . dX 2

C est appelé tenseur de Cauchy à droite : C = tF.F

Propriété C est un tenseur d'ordre 2, lagrangien et symétrique (par construction), défini positif (SDP). En effet

r r r2 dX .C . dX = dx ≥ 0 , donc C est positif r

r

r

r

r

r

Si dX .C . dX = 0 , alors dx = 0 et donc dX = 0 . Comme F est inversible, C est inversible et on a C-1 = F -1.tF -1

24

2.3.2. Tenseur de Green-Lagrange Etudions la variation du produit scalaire :

r r r r r r dx 1 .dx 2 − dX 1 .dX 2 = C KL dX K1 dX L2 − dX K1 δKL dX L2 = ( C KL − δKL ) dX K1 dX L2 = dX 1 .(C - δ).dX 2 avec δ le tenseur de Kronecker. On pose L =

1 (C - δ) ; 2

1 LKL = ( CKL − δKL ) 2

L est le tenseur de déformation de Green Lagrange.

L=

1 (C - δ) 2

Propriété L est un tenseur du deuxième ordre, symétrique et lagrangien par construction. On montrera par la suite que L contient toutes les informations pour décrire les déformations autour de Pt au temps t.

2.3.3. Décomposition en fonction du champ des déplacements Calculons de façon explicite les termes de C et L. Considérons le champs des déplacements

r r r r u( X ,t ) = x ( X ,t ) − X et son gradient lagrangien :

r r H L ( X ,t ) = grad X u( X ,t ) ;

r r

r

H iJ =

r

∂ui ∂X J

On a x ( X ,t ) = X + u( X ,t ) Exprimons F en fonction de HL.

∂xi ∂( X i + ui ) = = δ iJ + H iJL ∂X J ∂X J d'où la relation intrinsèque : FiJ =

F = δ + HL L

Exprimons C en fonction de H

L L L L C = tF.F donc C IJ =t FIK FKJ = FKI FKJ = ( δ KI + H KI )( δ KJ + H KJ ) = δ IJ + H IJL + H JIL + H KI H KJ L L H KJ soit CIJ = δ IJ + H IJL + tH IJL + tH IK

d'où :

C = δ + H L + t H L + t H L .H L CIJ = δ IJ +

∂u I ∂u J ∂u K ∂u K + + ∂X J ∂X I ∂X I ∂X J

25

1 (C - δ) , d'où : 2 1 L = ( H L + t H L + t H L .H L ) 2 ∂u ∂u ∂u 1 ⎛ ∂u LIJ = ⎜⎜ I + J + K K 2 ⎝ ∂X J ∂X I ∂X I ∂X J

Exprimons L en fonction de HL. L =

⎞ ⎟⎟ ⎠

2.4. Décomposition polaire de la transformation linéaire tangente Théorème Toute transformation linéaire tangente admet une unique double décomposition en produit d'une déformation pure par une rotation telle que : F = R .U = V .R

où :

r

r

F : transformation linéaire tangente (F( X ,t) = grad Ft ( X ) : tenseur lagrangien d'ordre 2) R : tenseur de rotation du second ordre orthogonal (R-1 = tR soit tR.R = δ) de déterminent égal à 1. U : tenseur lagrangien de déformation pure avant rotation du second ordre symétrique défini positif (les valeurs propres de U sont strictement positives). V : tenseur eulerien de déformation pure après rotation du second ordre symétrique défini positif (les valeurs propres de V sont strictement positives).

Démonstration 1)

Montrons l'unicité de la décomposition F = R .U. en supposant que :

⎧R est orthogonal (t R.R = δ ) ⎨ ⎩det R = 1

et

⎧U symetrique ⎨ ⎩U défini positif

Supposons la non unicité de la décomposition et donc F = R1 .U1 = R2 .U2 Considérons le tenseur de Cauchy à droite : C = tF.F = t(R1 .U1).(R1 .U1) = tU1 . tR1.R1 .U1 = tU1 . δ .U1= tU1.U1

Or U1 est symétrique donc tU1 = U1 et par conséquent C = U12. De même C = U22. Or U1 et U2 sont définis positifs et U12 = U22 donc U1 = U2 = U et R1 = R2 = R = F .U-1.

2)

Montrons l'existence de la décomposition F = R .U avec :

⎧R est orthogonal (t R.R = δ ) ⎨ ⎩det R = 1

et

⎧U symetrique ⎨ ⎩U défini positif

26

O sait que le tenseur de Cauchy à droite C est symétrique (C = tF.F), donc il est diagonalisable. Il est défini positif, donc ses valeurs propres C1, C2 et C3 sont strictement positives.

r r r

RD = (P0, I 1 , I 2 , I 3 ) un repère orthonormé direct associé aux directions principales de C. Donc C est représenté dans RD par la matrice diagonale :

Soit

CRD

⎡C1 0 = ⎢⎢ 0 C2 ⎢⎣ 0 0

0⎤ 0 ⎥⎥ avec C1 > 0, C2 > 0, C3 > 0 C3 ⎥⎦

r r r Soit Q la matrice de passage de RD vers R = (O, e1 ,e2 ,e3 ). Notons que Q est orthogonal et

det Q = 1. On a C = tQ . CRD .Q. Soit U le tenseur du second ordre représenté dans RD par la matrice :

URD

⎡ C1 ⎢ =⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

0 C2 0

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ C3 ⎥⎦

U est défini positif. r r r Dans R = (O, e1 ,e2 ,e3 ), U est représenté par la matrice :

U = tQ . URD .Q Par construction, U est symétrique, défini positif avec U2 = C. Considérons le tenseur R tel que : R = F .U-1 R.R = t(F .U-1). (F .U-1) = tU-1.tF .F .U-1 = U-1.C.U-1 = U-1.U.U.U-1 = δ

t

Donc R est orthogonal. Montrons que det R =1. Considérons pour cela le jacobien de la transformation : J = det F = det (R.U) = (det R) (det U) = (det R) = (det R)

det C = (det R)

det (t F.F )

J 2 = (det R) J (car J > 0).

D'où det R = 1 Il convient de montrer l'existence et l'unicité de la décomposition F = V .R', V tenseur 3) eulerien de déformation pure. Il suffit d'agir comme précédemment en considérant le tenseur de Cauchy à gauche B = F. tF qui est un tenseur eulerien symétrique défini positif.

27

4)

On a F = R .U = V .R'. Montrons que R = R'.

F = R .U = R .U. tR.R = (R .U. tR).R L'unicité de la décomposition impose que :

⎧R.U.t R = V ⎨ ⎩R = R' d'où :

⎧⎪V = R.U.t R ⎨ ⎪⎩U = R.V.t R

2.5. Directions principales de déformation et déformation principales r r r Par construction, on a vu que C, L et U ont les même directions principales ( I 1 , I 2 , I 3 )

relativement à la configuration initiale Ω0. Corollaire -

Les tenseurs U et V ont les rmêmes rvaleurs propres r Les directions principales i1 ,i2 et i3 de V sont les transformées par la rotation R des r r r directions principales I 1 , I 2 et I 3 de U, C et L.

Démonstration Montrer que U et V ont les mêmes valeurs propres et que les directions principales de V s'obtiennent par rotation R des directions principales de U revient à montrer que : r - pour α fixé, α ∈ {1,2,3} : si Uα est valeur propre de U associée à la direction Iα , alors Uα r est valeur propre de V associée à la direction R. Iα ce qui reviendrait à écrire que : r r r r r r r V.(R. Iα ) = (V.R). Iα = F. Iα = (R.U). Iα = R.(U. Iα ) = R.( Uα Iα ) = Uα (R. Iα ) r r D'où iα = R. Iα est direction principale pour V.

Exemple : Cas d'un disque plan

28

r I2 U

R

r I1

P0

r i2

r I2 P0

r I1

F = R .U = V .R

P0

r i1

r i2 R

P0

r i1

V

2.6. Variation de longueur d'un vecteur matériel élémentaire : Notion de dilatation

Ft

(t0) Ω0

P0

r X

r

dX

(t) Ωt

r N

Pt r x

r

r dx n

r e2 r e3

O

r e1

r r Soit dX un vecteur élémentaire de longueur dX dans Ω0. r r Soit N un vecteur unitaire dans la direction et le sens de dX . r r Soit dx le vecteur élémentaire image de dX par Ft.

Définition r On appelle dilatation εNN dans la direction N au point P0 à l'instant t, la différence relative r r r entre les longueurs des vecteurs élémentaires dx et dX ramenée à la longueur initiale dX .

29

r r dx − dX ε NN = r dX r r On a alors dx = ( 1 + ε NN ) dX

(dilatation lagrangienne)

Remarque :

εNN est sans unité (variation relative de longueur).

-

Il existe une dilatation eulerienne :

ε nn

r r dx − dX = r dx

On a ( 1 + ε NN )( 1 − ε nn ) = 1

-

2.6.1. Calcul de εNN en fonction de C (tenseur de Cauchy à droite) r r r r On a dx 1 .dx 2 = dX 1 .C. dX 2 . r

r

r

r

r

r

Soit dX = dX 1 = dX 2 et donc dx = dx 1 = dx 2

r r r2 dx = dX .C.dX r 2 r r r r r r2 Or dX = dX N d'où dx = dX N .C. N

D'où

r

r

r

Or dx = ( 1 + ε NN ) dX d'où dx

2

r = ( 1 + ε NN )2 dX

Par conséquent :

r

2

r

ε NN = N .C. N − 1 En notation indicielle ε NN =

N K CKL N L − 1

2.6.2. Calcul de εNN en fonction de L (tenseur de déformation de GreenLagrange) r

r

r

r

r

r

On a : dx 1 .dx 2 − dX 1 .dX 2 = dX 1 .2L. dX 2

r r r r r r D'où en prenant dX = dX 1 = dX 2 et donc dx = dx 1 = dx 2 , on obtient : r 2 r 2 r r r2 r 2 r 2 r 2 r r d x − dX = dX N .2 L. N soit ( 1 + ε NN )2 dX − dX = dX N .2L. N

D'où :

r r 1 2 ε NN + ε NN = N .L. N 2

Remarques :

30

-

εNN traduit physiquement la variation de longueur entre les temps t0 et t autour de la

r particule P dans la direction N .

Si εNN > 0, alors il s'agit d'un allongement. Si εNN < 0, alors il s'agit d'un raccourcissement. Si εNN = 0, alors il s'agit d'une conservation de longueur. -

⎧ε e e = ε 11 = ⎪⎪ 1 1 ⎨ε e2 e2 = ε 22 = ⎪ ⎪⎩ε e3 e3 = ε 33 =

r r e1 .C.e1 − 1 = C11 − 1 r r e2 .C.e2 − 1 = C22 − 1 r r e3 .C.e3 − 1 = C33 − 1

soit

⎧ε 11 = C11 − 1 ⎪⎪ ⎨ε 22 = C22 − 1 ⎪ ⎪⎩ε 33 = C33 − 1

2.7. Variation d'angle entre deux vecteur matériel élémentaires : Notion de distorsion

Ft

(t0) Ω0 r T

Ωt

r

r X

(t) r t r2

2 P0 d X r1 r dX N

dx

Pt r x

θnt

r1 dx

r n

r e2

C

r e3

O

r e1

r r Soit dX 1 et dX 2 deux vecteurs orthogonaux élémentaires en P0. r r r r Soit N et T deux vecteurs unitaires de directions respectives dX 1 et dX 2 . Définition : r r On appelle distorsion entre les directions orthogonaux N et T au point P0 et au temps t, notée γNT , l'opposé de la variation entre l'instant de référence t0 et l'instant actuel t, de l'angle que font entre elles ces directions matérielles.

γ NT = On définit aussi la demi distorsion :

ε NT = Explicitons la distorsion γNT :

π 2

− θ nt

γ NT

1⎛π ⎞ = ⎜ − θ nt ⎟ 2 2⎝ 2 ⎠

31

r r r r r r On sait que dx 1 .dx 2 − dX 1 .dX 2 = dX 1 .2L. dX 2 r r r r r r ce qui équivaut à dx 1 dx 2 cos( θ nt ) = dX 1 dX 2 N .2L. T Or cos( θ nt ) = cos( r dx 1 r dx 2

π

− γ nt ) = sin( γ nt ) r r r r = ( 1 + ε NN ) dX 1 = dX 1 N .C. N r r r r = ( 1 + ε TT ) dX 2 = dX 2 T .C.T

r D'où : dX 1

2

r r r r r r r r r N .C. N dX 2 T .C.T sin( γ nt ) = dX 1 dX 2 N .2L. T

Soit :

sin( γ NT ) =

r r N .2L. T r r r r N .C. N T .C.T

Remarques : -

Lorsque γNT > 0, il y'a entre t0 et t une diminution de l'angle que font entre elles les r r directions des vecteurs N et T .

-

Lorsque γNT < 0, il y'a entre t0 et t une augmentation de l'angle que font entre elles les r r directions des vecteurs N et T .

-

Lorsque γNT = 0, il y'a entre t0 et t une conservation de cet angle droit.

-

r r Distorsion entre e1 et e2 :

sin( γ 12 ) = sin( 2ε 12 ) = -

r r Distorsion entre e1 et e3 :

sin( γ 13 ) = sin( 2ε 13 ) = -

2 L13 C11 C33

r r Distorsion entre e2 et e3 :

sin( γ 23 ) = sin( 2ε 23 ) =

-

2 L12 C11 C22

2 L23 C22 C33

r r Distorsion entre I 1 et I 2 directions principales de L (et aussi de C et U) :

32

⎡ L1 0 0 ⎤ r r r Dans RD = (P0, I 1 , I 2 , I 3 ), L est représenté par la matrice LRD = ⎢⎢ 0 L2 0 ⎥⎥ , C est ⎢⎣ 0 0 L3 ⎥⎦ ⎡C1 0 0 ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛0 ⎞ r r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ représenté par la matrice CRD = ⎢⎢ 0 C2 0 ⎥⎥ et on a I 1 = ⎜ 0 ⎟ et I 2 = ⎜ 1 ⎟ , d'où : ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎢⎣ 0 0 C3 ⎥⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sin( γ I 1 I 2 ) =

0 C1 C2

=0

donc γ I 1 I 2 = 0 et par conséquent les directions principales de déformations restent

orthogonales deux à deux.

2.8. Variation de volume matériel élémentaires : Notion de dilatation volumique Soit dV un volume élémentaire en P0. Soit dv le volume élémentaire en Pt au temps t image de dV par Ft. On sait que J =

dv dV

Définition :

On appelle dilatation volumique notée θv au point P0, à l'instant t, la différence relative entre les volumes élémentaires dv et dV ramenée au volume initial dV.

θv = On a

dv − dV dV

θv = J − 1

signification physique :

-

Si θv > 0, il y'a entre t0 et t une augmentation du volume élémentaire.

-

Si θv < 0, il y'a entre t0 et t une diminution du volume élémentaire.

-

Si θv = 0, il y'a entre t0 et t une conservation du volume élémentaire.

3. Cas des transformations infinitésimales 3.1. Définition :

33

Tout ce qui a été dit jusqu'alors sur les déformations est absolument général et indépendants de la grandeur relative des déformations. En mécanique des milieux continues, et en particulier en mécanique des solides, il existe toutefois un cas particulier important : c'est le cas des "petites déformations" ou "transformations infinitésimales".

3.1.1. Définition r Soit u( X ,t ) le champ des déplacements du milieu continu M . r r Soit H L ( X ,t ) = grad X u( X ,t ) : le gradient lagrangien du déplacement au point P0 au temps t. La transformation est dite infinitésimale, ou infiniment petite, lorsqu'en tout point P0, et en tout temps t, la norme euclidienne de HL reste petite devant 1. C'est-à-dire : r ∀ t, ∀ X ∈ Ω0 , H L