mma10

Ficha de revisão 1 Nome da Escola

Ano letivo 20

Nome do Aluno

Turma

/20 N.º

Matemática A | 10.º ano Data /

Professor

1. Complete, com um dos símbolos  ou  , de modo a obter afirmações verdadeiras. 1 23 2   ........¥ 1.1. 4 20 5

2  22 ........¡ 3 1.3.





1.2.

4 1 : ........¢ 5 5 2



1  1   7 :  14    1.4. 

2

 5........¤

2. Considere os conjuntos A, B, C e D.

A   2 , 3 , 5 , 8 ,11

B   1, 3 , 7 , 10

C   3 , 5 , 9 , 10

D   1, 3 , 7 , 8

Defina os conjuntos: 2.1. A  B

2.2. A  B

2.3. B  C

2.4. B  D

 A  B  C

2.5.

2.6.

A   B C

3. Resolva, em ¡ , cada uma das equações do 1.º grau. 2   5  x 

3.1.

1 3

5 1 x     2   x 3.3. 3 3  2 

3.5.

x  3  2  x   4  1  x 

1  2  1  2x   0 3.2. 5

3.4.

3.6.

3



2  4x 1 x  3 2

2 1 x      3 3 5 2 

4. Classifique em ¥ , ¢ , ¤ e ¡ cada uma das equações. Justifique as respostas.

4.1.

6

1 5  26 2 5

x

4.3. x  3  x

2 1 4   2  x  x  3 4.2. 3 3

7  3 x  2   x   2  4.4.

/20

Ficha de revisão 1

5. Classifique, em ¡ , cada uma das condições. Justifique as respostas. 5.1.

4  x  1

5.3. 2 x  0 5.5.

2x  0

5.2.

6  12 x  0

5.4.

2x  0

2 5.6. x  0

6. Resolva, em ¡ , cada uma das inequações. x 1 x 1  0 2 6.1. 5

6.2.



x 3  1   1  x  2

4x 1  6 6.3. 3

1 x x 0  1 2  3 2 6.4.

7. Resolva, em ¡ , cada uma das equações do 2.º grau. 2 7.1. 3x  x 2 7.2. 2 x  16 2 7.3. 3 x  2x  1

 4 x 2  1  2  2   7.4.





x 3 

2 7.5. 3 x  2 x  1

x    2  2   x    0 3   3 7.6.  7.7.

 2x  3 

7.8.

 3 x  1  3 x  1  17

2

 3  x  3 

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20

Professor Professor

N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

/20

1. Considere as expressões. (A) : Portugal é um país europeu. (B) : 4 + 2 = 3 (C) : π + 2 (D) : O Sul de Portugal é mais bonito que o Norte de Portugal. (E) : Azul Indique as que são proposições.

2. Indique o valor lógico de cada uma das proposições. a : O número 27 é par. b : O número 1 é primo. c : O menor quadrado perfeito maior que 100 é 121. d:

17 está compreendida entre 4 e 5.

e : O Sol é uma estrela. f : A cidade de Guimarães fica situada no Norte de Portugal. g : Portugal foi fundado no século XII. h : O oceano Pacífico é o maior de todos os oceanos. i : Luís Vaz de Camões escreveu Os Maias.

3. Considere as proposições. p : Um triângulo equilátero tem os três ângulos internos obtusos. q : Um polígono com nove lados chama-se eneágono. r : O cubo é um poliedro convexo regular. 3.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições. 3.2. Utilizando duas das proposições dadas e o símbolo  , escreva uma proposição: 3.2.1. verdadeira; 3.2.2. falsa.

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

Professor Professor

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

/20

Item de seleção 1. Considere a proposição. O quadrado de qualquer número real é um número real positivo. Qual das seguintes proposições é equivalente à proposição dada?

(A)

3 é um número irracional.

(B) A soma dos três menores números primos é 10. (C)

9  4  13

3 1  (D) 6 3

Item de construção 2. Considere as proposições. p : Uma pirâmide pentagonal tem 5 faces. q : Um prisma hexagonal tem 12 arestas. r : Uma pirâmide triangular tem 4 vértices. s : A esfera é um poliedro.

2.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições dadas. 2.2. Utilizando duas das proposições dadas e o símbolo  , escreva uma proposição: 2.2.1. verdadeira (indique todos os casos possíveis); 2.2.2. falsa (indique todos os casos possíveis).

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

/20

1. Indique o valor lógico da negação de cada uma das proposições. 1.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º. 1 1  1.2. 6 5

1.3.

 a  b

2

 a2  b2

2

x2  x    2 1.4.  2

1.5. O comprimento da diagonal de um quadrado tem o dobro do comprimento do seu lado.

2. Considere as proposições: p : 17 é um número primo q : –3 é um número natural 2.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições. 2.1.1. 17 é um número primo e –3 é um número natural. 2.1.2. Se –3 é um número natural, então 17 não é um número primo. 2.1.3. –3 é um número natural se e somente se 17 é um número primo. 2.1.4. 17 não é um número primo ou –3 não é um número natural. 2.2. Indique o valor lógico das proposições p e q, assim como das indicadas em 2.1.. 3. Considere as proposições p e q tais que p é verdadeira e p  q é falsa. Indique o valor lógico de cada uma das proposições: 3.1. ~ q 3.2. ~ p  q 3.3. p ~ q 3.4. ~ p  q

Item de seleção

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Professor Professor

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

/20

1. Das seguintes proposições, apenas uma é verdadeira. Identifique-a.

(A) Se zero é um número real não positivo, então 2 não é um número primo.

(B)



1 2   e 32  9 3 5

1  1 ou 4  2  5 (C) 5 2 2 não é um número irracional se e somente se 2   2  . 2

(D)

Item de construção 2. Considere as proposições. a : 7 é um número racional. b:

7 7

c : 2  3

2.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições dadas. 2.2. Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique o respetivo valor lógico. 2.2.1. ~ a  b 2.2.2. a ~ b 2.2.3. ~ a  c 2.2.4. ~ c  b

1. Considere as proposições. a : Paris é uma cidade francesa. b : Rio de Janeiro é a capital do Brasil.

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano

N.º N.º

Data

Professor Professor

/

/20

c : Roma é a capital da Áustria. d : Barcelona fica situada no nordeste de Espanha. 1.1. Indique o valor lógico de cada uma das proposições. 1.2. Determine o valor lógico das proposições. 1.2.1. a  ~ b 1.2.2.

~  a ~ b 

1.2.3.

~  ~ a  b

1.2.4. c ~ d 1.2.5.

~  d ~ c

2. Considere as proposições p e q tais que p ~ q é uma proposição falsa. Indique o valor lógico de cada uma das proposições. 2.1.

~  p ~ q 

2.2.

~   p ~ q   q

3. Identifique as operações lógicas e as proposições elementares envolvidas na proposição seguinte e escreva-a em linguagem simbólica, como no exemplo apresentado. Se nem 100 é um número racional nem π é um número irracional, então 100π é um número real. 2

 1   1  3   4 2 2 3  4     Exemplo: A proposição “3 < 4 se e somente se ou

2

” pode traduzir-se, simbolicamente, por 2

 1   1 a : 3  4 , b : 32  4 2 e c :      a  b  c , sendo as proposições elementares  3   4

2

.

Item de seleção 1. Das proposições seguintes, identifique a que é equivalente à proposição

:  p  q

, sendo:

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

Professor Professor

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

 3 ,  

p : O menor número inteiro pertencente a



q : O maior número inteiro pertencente a  (A)

~  ~ p ~ q 

(B)

~  p  q

(C)

~  p ~ q 

(D)

~  p ~ q 

5 , 2

/20

é o 3. é o 6.

Item de construção 2. Considere as proposições. a : 3 é divisor de 12. b : 8 é múltiplo de 4. c : 4 não é divisor de 18. 2.1. Aplique as leis de De Morgan e escreva cada uma das proposições obtidas em linguagem natural. 2.1.1.

~  a  b

2.1.2.

~  b ~ c 

2.2. Escreva a proposição em linguagem simbólica. 3 não é divisor de 12 quando 8 é múltiplo de 4, a menos que 4 seja divisor de 18.

1. Considere as proposições p e q. Verifique, utilizando tabelas de verdade, que: 1.1. p  q  ~ q ~ p

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

/20

1.2. q  p  ~ p ~ q 2. Utilizando as propriedades das operações lógicas, simplifique cada uma das proposições: 2.1.

b   a ~ b 

2.2.

~  ~ a  b  b

2.3.

~   a  b    ~ a  b 

2.4.

 a ~ b   a

3. Dadas as proposições p e q, a disjunção p &q designa-se por disjunção exclusiva e é verdadeira quando e apenas quando p e q têm valores lógicos distintos. Prove, utilizando tabelas de verdade, que

 p ~ q    ~ p  q   p &q

.

Item de seleção 1. Considere a proposição a  b .

Questão-aula 4 Nome da Escola

Ano letivo 20

/20

Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno

Turma

N.º

Data

Professor

/

Admita que a  p ~ q e b  p  q . Qual das seguintes opções é a contrarrecíproca da proposição a  b ? (A) p

(B)

 p  q    p ~ q 

(C) q

(D)

:

p : q    : p  q 

Item de construção  a   ~ a  b   ~ a 2. Considere a proposição  .

Prove que a proposição é falsa independentemente do valor lógico de a e de b.

/20

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

/20

1 7   A    5 ,  , 2 , ,  2 3  .  1. Considere o conjunto 1.1. Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições. 1.1.1. Todo o elemento de A é um número racional. 1.1.2. Há pelo menos um elemento de A que é um número não racional. 1.1.3. Qualquer elemento de A é um número real. 1.2. Traduza para linguagem natural cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. 2 1.2.1. x  A : x  5  0

1.2.2. x  A , x    0

2. Considere as condições:

a : x 2  1

b : x 2  1

c : x2  1

d : x2  1

2.1. Para cada uma das condições dadas, indique se é universal, possível ou impossível em ¡ . 2.2. Classifique as seguintes condições, definidas em ¡ , em universais, possíveis ou impossíveis. 2 2 2.2.1. x  1  x  1 2 2 2.2.2. x  1  x  1 2 2 2.2.3. x  1  x  1 2 2 2.2.4. x  1  x  1

3. Classifique cada uma das condições. 3.1. x  1  x  ¥ 3.2. x  1  x  ¢ 3.3.

x 1  x¥

3.4.

x  0  x ¡

3.5. x    x  ¡

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

Professor Professor

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

/20

Item de seleção 1. Qual das proposições é verdadeira? (A) x  ¢ : 2x  1  0  (B) x  ¡ ,

x 1

(C) x  ¡ : 1000 x  x (D) x  ¡ ,  x  0

Item de construção 2. Seja D o conjunto de todos os divisores de 72. Escreva em linguagem natural cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. 2.1. x  D : x é primo 2.2. x  D , x é múltiplo de 3 2.3. x  D : x é múltiplo de 5 2.4. x  D , x  1

1. Escreva uma afirmação equivalente à negação de cada uma das proposições, utilizando as segundas leis De Morgan. 1.1. Não é verdade que o Rui estude ou vá ao cinema. 1.2. Não é verdade que o Rui jogue futebol e seja bom aluno. 1.3. Existe um aluno na minha escola que não estuda. 1.4. Todos os alunos da minha escola estão a estudar. 2. Considere a proposição x  ¡ , 2 x  0  x  2 . 2.1. Indique o valor lógico da proposição dada.

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano

N.º N.º

Data

Professor Professor

/

/20

2.2. Escreva a negação da proposição dada sem utilizar o símbolo ~. 3. Utilize um contraexemplo para mostrar que é falsa a proposição: Todos os quadriláteros convexos com os lados geometricamente iguais têm as diagonais com o mesmo comprimento.

Item de seleção 1. Considere a proposição: “Se um aluno estuda, então é aprovado no exame.” Qual das proposições é a negação da proposição dada? (A) O aluno estuda e é aprovado no exame. (B) O aluno estuda ou não é aprovado no exame. (C) O aluno estuda e não é aprovado no exame. (D) O aluno estuda ou é aprovado no exame.

Item de construção 2. Determine, para cada caso, a negação das proposições, sem utilizar o símbolo ~.

Questão-aula 6 Nome da Escola

Ano letivo 20

/20

Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno

Turma

N.º

Data

Professor

/

2 2.1. x  ¥ , x  1

2.2. x  ¡ : x  1

2.3. x  A : x é par  x  2

2.4. x  B , x  1  x  3

/20

1. Considere os conjuntos.



A   x  ¥ :  2 x  10

B  x  ¡ : 6x  x 2





C  x¡ :

 2  x

2



4

Defina, sob a forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos, os subconjuntos de ¡ . 1.1. A  C A\B

1.2.

 B C \ A

1.3.

A \  B C

1.4.

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

/20

2. Indique se, para qualquer concretização de variáveis no conjunto U, se obtém, das seguintes condições, implicações verdadeiras e escreva as respetivas contrarrecíprocas. 2.1. x é múltiplo de 8

 x é par  U  ¥ 

2.2.

x  3  x  8 U  ¡



2.3. Se um triângulo tem um ângulo interno obtuso, então não é equilátero (U é o conjunto dos triângulos de um dado plano). 2.4. Se um losango tem as diagonais perpendiculares, então é um quadrado (U é o conjunto dos losangos de um dado plano).

1   A   x ¡ : é um número real x   e B   x  ¡ : x  0 . 3. Considere os conjuntos Mostre que A = B.

Item de seleção 1. Considere a proposição: “Trabalhar é condição necessária para ter dinheiro.” Qual das proposições corresponde à negação da proposição p? (A) Se tem dinheiro, então trabalha.

(B) Tem dinheiro e não trabalha.

Questão-aula 7 Nome da Escola

Ano letivo 20

/20

Matemática A | 10.º ano

Nome do Aluno

Turma

N.º

Data

Professor

/

(C) Se não trabalha, então tem dinheiro.

/20

(D) Não tem dinheiro ou não trabalha.

Item de construção 2. Considere os conjuntos de números reais.

1 2x   A   x¡ :   1  5 3 3   , B   x  ¡ : 4  4 x e C   x  ¡ : :  x  3  x  6   Defina, sob a forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos, cada um dos conjuntos dados e, em seguida, estabeleça uma relação de inclusão entre eles.

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

1. Mostre, sem recorrer a tabelas de verdade, que a proposição verdadeira independentemente do valor lógico de p e de q.

/20

p    p  q    p ~ q 

2. Considere as proposições. p : O Fernando é picheleiro.

q : O Fernando é pintor.

 p  q   q  r    ~ r 

Sabe-se que a proposição

r : O Fernando é médico.

é verdadeira.

Qual é a profissão do Fernando?

3. Defina, em extensão, cada um dos conjuntos. 3.1.

A   x  ¥ : 2 x  1  15

3.3.

C   x  A : x  3

4. Considere o conjunto

3.2.





B  x  ¢ : x2  1

A   1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10

.

Determine, justificando, o valor lógico de cada uma das proposições. 4.1. x  A , 4  x  14

4.3.

x  A ,

4.2. x  A : 15  x  14

1 1  x 14

4.4. x  A :

3

 x  2

5. Classifique cada uma das condições que se seguem, no universo U considerado.

U  ¥

5.1.

2n  2  n  n

5.3.

2x  1  0  x 2  0

 U  ¢

5.5.

8  x2  0  x2  0

U  ¡ 

5.2.

2x  4  0 

x 0

5.4.

1  x 2  0  3x  x 2

U  ¢ U  ¡ 

6. Traduza em linguagem natural cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. 6.1.

x   1, 9 , 12 , 21 : x é primo

2 6.2. x  ¡ : x  0  x  0

é

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data

Professor Professor

/

x  ¡  ,  x  x

6.3.

/20

6.4. x  ¡ , 2 x  2 x

7. Identifique as proposições elementares e as operações lógicas envolvidas na proposição seguinte e escreva-a em linguagem simbólica. Ser múltiplo de 15 é condição necessária para que seja múltiplo de 3 e ímpar.

8. Considere os conjuntos. A   x  ¢ : x  9

B   x  ¥ : :  x  80  

C   x  ¢ :  12  x  77

8.1. Quantos elementos têm cada um dos conjuntos dados? 8.2. Defina em extensão cada um dos conjuntos. 8.2.1. C \ B

8.2.3. A  C

8.2.2. A \ B

9. Mostre que a afirmação é falsa, apresentando em contraexemplo. A raiz quadrada do quadrado de qualquer número real é um número real positivo.

1. Considere a proposição

 p  q  :  :

p : q 

.

Qual das seguintes proposições é equivalente à proposição dada? (A) p

(B) q

(C) : q

(D) : p

2. Qual das proposições seguintes é falsa? (A) x , x é um quadrado  x é um retângulo (B) x , x é um quadrado  x é um losango (C) x , x é um trapézio  x tem os lados paralelos dois a dois (D) x , x tem dois lados paralelos  x é trapézio

Questão-aula 5 1 2 3

Teste de avaliação 1 (90 min) Nome Nome da da Escola Escola

Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

/20 /20 N.º N.º

Professor Professor

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

3. Considere a proposição p:

p : x  ¡ , x  2  x 2  4 Qual das proposições seguintes é a negação da contrarrecíproca da proposição p? 2 (A) x  ¡ , x  2  x  4

2 (B) x  ¡ : x  4  x  2

2 (C) x  ¡ : x  4  x  2

2 (D) x  ¡ , x  2  x  4

4. Considere os conjuntos:

A   1, 3 , 5 , 7

B   2 , 3 , 4 , 6 , 7

C   3 , 5 , 6 , 8 , 10

Qual das proposições seguintes é verdadeira? (A)

 A  B  \  A  C    5

(B)

 B  C  \  A  C    7

(C)

 A  C  \  A  B    5

(D)

 A \ B  \  B  C    1

5. Qual dos conjuntos tem uma infinidade de elementos?

 n :  1 (A) (C)

x:

n 2

 n¥

x  ¢  x  2



(B)

x:

x  ¡  1  x  x

(D)

x:

x  ¡  x2  x



/20

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Ano Ano letivo letivo 20 20

Nome Nome do do Aluno Aluno

Turma Turma

Professor Professor

/20 /20 N.º N.º

Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

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6. Considere as proposições. p : Há números inteiros entre

5 e

10 .

q : Qualquer número real é pelo menos igual ao seu dobro. r : Há números racionais não negativos. 6.1. Escreva cada uma das proposições em linguagem simbólica. 6.2. Escreva, sem utilizar o símbolo ~, a negação de cada uma das proposições e indique o seu valor lógico.

7. Considere as proposições: a : O António não comeu peixe. b : O António comeu ovos. c : O António comeu carne. Sabendo que a proposição

:  a  b  c

é verdadeira, diga o que o António comeu.

8. Considere os subconjuntos de números naturais:

P   x  ¥ : 6  x  20 A   x  P : x é par B   x  P : x é divisor de 48 C   x  P : x é múltiplo de 5 Defina em extensão cada um dos conjuntos. 8.1. P

8.2. A

8.3. B

8.4. C

8.5. B \ A

8.6. P \ C

9. Sejam p e q duas proposições. 9.1. Mostre, recorrendo a uma tabela de verdade, que:

 p  q    p  q    q  p 9.2. Determine a negação de

 3  4  7   4  8 .

2 2 10. Demonstre por contrarrecíproco que, sendo m e n números naturais, se m  n é par, então m – n é par.

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Ano Ano letivo letivo 20 20

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Professor Professor

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Matemática Matemática A A || 10.º 10.º ano ano Data /

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