Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Stanko Brčić email:
[email protected]
Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Jednačine ravnoteže koje se odnose na posmatrani računski model linijskog nosača (u ravni) imaju oblik K ∗q∗ = S ∗
(1)
Matrica koeficijenata K ∗ uz nepoznati vektor q ∗ je globalna matrica krutosti sistema štapova Vektor slobodnih članova S ∗ je vektor opterećenja koji je posledica spoljašnjih sila koje su koncentrisane u čvorovima nosača, kao i opterećenja koje deluje duž pojedinih štapova i koje je zamenjeno ekvivalentnim čvornim opterećenjem
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE
Rešavanje sistema jednačina Matrica koeficijenata K ∗ može da bude redukovana matrica krutosti, dobijena posle izbacivanja vrsta i kolona koje odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačkih čvorova, ili transformisana matrica krutosti, dobijena kada se elementima glavne dijagonale koji odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačih čvorova dodaju “jako veliki brojevi” U svakom slučaju, matrica koeficijenata K ∗ je regularna matrica i sistem uslovnih jednačina ravnoteže (1) može da se reši (postoji inverzna matrica)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Osnovne osobine matrice koeficijenata u jednačinama (1) su sledeće: 1 2
3
matrica koeficijenata je simetrična matrica koeficijenata je retka matrica trakaste strukture (ima puno elemenata koji su = 0, a širina trake zavisi od strukture nosača i od usvojene numeracije čvorova i štapova) matrica koeficijenata je pozitivno definitna
Ove osobine su značajne i uslovljavaju način rešavanja dobijenih jednačina Računski modeli formirani primenom MKE mogu da budu jako veliki (n × 106 nepoznatih), pa je način rešavanja jednačina osnovni problem Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Neka je data kvadratna matrica A = [aij ], (i, j = 1, 2, . . . , n), kao i vektor x = {xi } reda n, sa elementima u skupu realnih brojeva Matrica A je simetrična ukoliko važi: A = AT
ili aij = aji
Matrica A je pozitivno definitna ukoliko važi: XX xT A x > 0 ili aij xi xj > 0 i
j
za bilo koji vektor x 6= 0 Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(2)
(3)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Kvadratna matrica koja je simetrična i pozitivno definitna naziva se normalna matrica Rešenje jednačina (1) dobija se (formalno napisano) kao K ∗q∗ = S ∗
⇒
q ∗ = K ∗−1 S ∗
(4)
Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A definisana je relacijom A A−1 = A−1 A = I gde je I jedinična matrica reda n
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Inverzna matrica može da se dobije kao A−1 =
1 adjA detA
Sa adjA i detA označeni su adjungovana matrica matrice A i determinanta matrice A Međutim, osim izuzetno, jednačine ravnoteže ne rešavaju se određivanjem inverzne matrice i njenim množenjem sa vektorom opterećenja, prema (4)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Postupci za rešavanje linearnih algebarskih jednačina dele se na dve generalne grupe: 1 2
direktni postupci rešavanja jednačina iterativni postupci rešavanja jednačina
Za rešavanje linearnih algebarskih jednačina “normalne veličine” (to je rastegljiv pojam!) efikasniji su direktni postupci Za nesimetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak LU dekompozicije (u varijantama Crout-a ili Doolittle-a) Nesimetrične matrice koeficijenata (matrice “krutosti”) javljaju se u analizi fluida i problemima interakcije fluida i konstrukcija
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Za simetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak Čoleskog (Cholesky method - varijanta LU dekompozicije za simetrične matrice) Iterativni postupci rešavanja linearnih algebarskih jednačina (razne varijante gradijentnih postupaka) efikasniji su za “jako velike sisteme” jednačina Osnovne varijante gradijentnih iterativnih postupaka rešavanja linearnih algebarskih jednačina su: - metoda najmanjeg pada - metoda konjugovanih gradijenata
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina LU dekompozicija matrice znači da se regularna kvadratna matrica A transformiše u obliku proizvoda dve matrice: A = LU
(5)
gde su L i U donja i gornja trougaona matrica, redom Donja trougaona matrica L je kvadratna matrica kod koje su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli Slično, gornja trougaona matrica U je kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Ako se izvrši LU dekompozicija (5) matrice koeficijenata sistema jednačina Ax = b, dakle kada je A = LU , dobija se LU x = b Ovakva jednačina može da se posmatra kao dva povezana sistema jednačina: Ly = b Ux = y Oba sistema se trivijalno rešavaju, jer su matrice koeficijenata trougaone strukture Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE
Rešavanje sistema jednačina Prvi sistem jednačina, po privremeno nepoznatom vektoru y, rešava se zamenom unapred, polazeći od prve jednačine, pa zatim redom: y1 =
b1 α11 i−1
X 1 yi = (bi − αij yj ) (i = 2, 3, . . . , n) αii j=1
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE
Rešavanje sistema jednačina Pri tome su sa αij obeleženi elementi α11 0 0 α21 α22 0 L= . .. .. .. . . αn1 αn2 αn3
Stanko Brčić
matrice L: ... 0 ... 0 .. .. . . . . . αnn
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE
Rešavanje sistema jednačina Sa dobijenim rešenjem za yi jednačine U x = y rešavaju se zamenom unazad (polazeći od poslednje jednačine): xn =
yn βnn
n X 1 xi = (yi − βij xj ) (i = n − 1, n − 2, . . . , 1) βii j=i+1
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE
Rešavanje sistema jednačina Sa βij obeleženi su elementi gornje trougaone matrice U : β11 β12 β13 . . . β1n 0 β22 β23 . . . β2n U = . .. .. .. . . . . . . . . 0
Stanko Brčić
0
0
. . . βnn
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina U LU dekompoziciji za nesimetričnu regularnu matricu Crout-ov algoritam je tako formulisan da se elementi αij i βij efikasno određuju bez dodatnih memorijskih zahteva (“operacije u mestu”) Algoritam Čoleski za simetrične matrice je još efikasniji i tu se usvaja da je (zbog simetrije matrice A) L = UT Ako su elementi matrice koeficijenata A označeni sa aij , pri čemu je matrica simetrična: aij = aji , onda se u metodi Čoleskog dobijaju sledeći izrazi za elemente βij matrice U Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina elementi prvog reda matrice U β11 =
√
a11 , β1j =
a1j β11
(j = 2, 3, . . . , n)
ostali elementi (za i = 2, 3, . . . , n) v u i−1 X u 2 βki βii = taii − k=1 i−1
βij =
X 1 (aij − βki βkj ) (j = i + 1, i + 2, . . . , n) βii k=1
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Prema tome, ako broj nepoznatih u jednačinama nije “suviše veliki”, jednačine ravnoteže se lako reše i dobija se vektor nepoznatih generalisanih pomeranja u globalnom sistemu q ∗ Iz dobijenog vektora pomeranja q ∗ izdvajaju se vektori generalisanih pomeranja za svaki štap: q ∗j , izraženi u globalnom sistemu Izdvajanje čvornih pomeranja pojedinih štapova iz ukupnog vektora čvornih pomeranja za ceo nosač vrši se analogno procesu “sabiranja” matrica krutosti, samo u suprotnom smeru
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Čvorna pomeranja pojedinih štapova u lokalnom sistemu dobijaju se iz čvornih pomeranja štapa u globalnom sistemu prema relaciji q j = T j q ∗j gde je T j matrica transformacije za štap j Najzad, čvorne sile na krajevima štapova, izražene u lokalnom sistemu, dobijaju se na osnovu osnovne jednačine opterećenog štapa R j = K j q j − Qj
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Analiza linijskih nosača Konvencije o pozitivnim smerovima
- sile na krajevima štapa Rj pozitivne su prema konvenciji u matričnoj analizi (u + smerovima lokalnih osa) - sile na krajevima štapa N, T, M imaju drugu konvenciju o pozitivnim smerovima
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Imajući u vidu: - dobijene sile na krajevima štapova, - relacije između sila Rj i sila u preseku N, T, M na krajevima, - moguće spoljašnje opterećenje duž ose štapa
za svaki štap mogu da se odrede sile u preseku i nacrtaju odgovarajući dijagrami sila u preseku Čvorna generalisana pomeranja q ∗ su osnovne nepoznate u posmatranoj matričnoj analizi nosača Sile u presecima prikazane u vidu dijagrama sila u preseku pretstavljaju glavne nepoznate u analizi nosača Takođe, raspodela ugiba (pomeranja upravno na osu nosača) duž svakog od štapova posmatranog nosača pretstavljaju željeni rezultat analize Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Imajući sve ovo u vidu osnovne faze matrične analize konstrukcija (odn. osnovne faze MKE) su 1 2 3
unos podataka i defnisanje računskog modela (pre-processing) formiranje i rešavanje sistema jednačina (solution) obrada dobijenih rezultata (post-processing)
Prvi računarski programi kojima je implementirana matrična analiza konstrukcija (napisani u Fortran-u) imali su tekstuelnu ulaznu datoteku i tekstualnu izlaznu datoteku Najbolji takav program bio je STRESS (napravljen na MIT-u) za statičku analizu linijskih nosača u ravni i prostoru
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Generalna struktura programa na bazi MKE
Unos podataka
Rešavanje jednačina
Stanko Brčić
Obrada rezultata
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program STRESS Primer ulazne datoteke za program STRESS STRU PRIMER PRORACUNA RAVNOG OKVIRA TYPE PLANE FRAME NUMB OF JOINT 8 NUMB OF MEMB 9 NUMB OF SUPP 2 NUMB OF LOAD 4 JOINT COOR 1 0. 0. S 2 12. 0. S 3 3. 4. 4 6. 4. 5 9. 4. 6 12. 4. 7 6. 8. 8 12. 8. Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program STRESS Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB PROP PRISM 1 THRU 3 AX 0 . 1 4 THRU 7 AX 0 . 2 8 THRU 9 AX 0 . 3 MEMB I N C I 1 2 6 2 6 8 3 4 7 4 1 3 5 3 7 6 7 8 7 5 6 8 3 4 9 4 5
IZ IZ IZ
0.001 0.002 0.003
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program STRESS Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB RELE 1 END MOME Z 2 START MOME Z END MOME Z 4 END MOME Z 5 START MOME Z CONST E 2 0 0 0 0 0 0 0 . ALL TABU ALL LOAD 1 ∗ OPTERECENJE ∗ MEMB LOAD 4 FORCE X UNIF 4 . 8 4 FORCE Y UNIF −6.4 5 FORCE X UNIF 4 . 8 5 FORCE Y UNIF −6.4 JOINT LOAD 8 FORCE Y −50. MOME Z −100. Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program STRESS Primer ulazne datoteke za program STRESS LOAD 2 ∗ POMERANJE OSLONCA ∗ JOINT DISPL 2 DISPL Y −0.02 LOAD 3 ∗ TEMPERATURNA PROMENA ∗ MEMB TEMP CHAN 0 . 0 0 0 0 1 7 THRU 9 2 0 . LOAD 4 ∗ TEMPERATURNA RAZLIKA ∗ MEMB END LOAD 3 START MOME Z 1 0 0 . END MOME Z −100. SOLVE PROBLEM CORRECTLY SPECIFIED , EXECUTION TO PROCEED
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program ALIN - MKE Analiza LInijskih Nosača (MKE) Program ALIN za analizu linijskih nosača zasnovan na MKE (napisan u jeziku C++) Namena (osnovne mogućnosti) programa ALIN: -
analiza linijskih nosača u ravni i u prostoru vrsta analize: statička, dinamička, stabilnost statička analiza: Teorija I reda i Teorija II reda analiza stabilnosti: određivanje kritičnog opterećenja dinamička analiza: problem svojstvenih vrednosti i odgovor za dinamičku pobudu - dinamička pobuda: vremenska funkcija opterećenja ili zadati akcelerogram
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program ALIN - MKE Analiza LInijskih Nosača (MKE) Vrste (linijskih) konačnih elemenata implementiranih u program ALIN: -
rešetkasti nosači (Truss) puni nosači (Beam) tankozidni nosači (TWBeam) kablovski nosači (Cable)
Predefinisane karakteristike materijala za Beton i Čelik Mogućnost automatskog unošenja sopstvene težine Neki oblici poprečnih preseka: pravougaoni, kružni, I, T, opšti presek
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program ALIN - MKE Deo jedne od datoteka: Enums.h //−−−−−−−− g e n e r a l enum SPACE { s2D = 2 , s3D = 3 } ; enum ANALYSIS {STATIC , DYNAMIC, STABILITY } ; enum OBJECT {SIMPLE , CST_BRIDGE , BUILDING , TOWER} ; //−−−−−−−− d y n a m i c s enum DYNA_TYPE {EIGEN , RESPONSE } ; enum DYNA_SOLU {MODAL, DIRECT } ; enum DYNA_LOAD {TIME_FORCE, ACCELEROGRAM} ; //−−−−−−−− s t a b i l i t y enum STAB_ANAL {SECOND, CRITICAL , POSTCRIT } ; enum STAB_STIFF {EXACT, GEOMETRIC } ; enum STAB_LOAD {FIXED , VARIABLE } ;
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Program ALIN - MKE Deo jedne od datoteka: Enums.h
//−−−−−−−−− s t r u c t u r e and f i n i t e e l e m e n t s enum STRUCTURE {TRUSS , FRAME, TWBEAM, CABLE , MIXED } ; enum ELEMENTS {TRUSS_ELE , BEAM_ELE, TWBEAM_ELE, CABLE_ELE , MIXED_E enum PLANE_STIFF {FOUR, SIX } ; //−−−−−−−−− m a t e r i a l and c r o s s s e c t i o n s enum MATERIAL {CONCRETE, STEEL , OTHER, MIXED_MAT} ; enum SECTION {FULL , THIN_WALLED, BOTH} ; enum FULL_SECTION {RECT , CIRC , T_SEC, I_SEC , GEN_SEC, MIXED_SEC } ; enum TW_SECTION {OPENED, CLOSED , CLOSED_OPENED} ; //−−−−−−−−−− c a b l e −s t a y e d b r i d g e enum INIT_SHAPE {LINEAR , NONLINEAR } ; enum AFTER_ISHAPE {NO, ADD_LOAD, DYNAMIC_EIG , DYNAMIC_RESP } ; enum TYPE_CABLE {BAR, ERNST , KAROUMI, BAR_SW, ERNST_SW, KAROUMI_SW
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda: Program ALIN
Analiza obostrano uklještenog dvospratnog okvira po Teoriji II reda
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda Program ALIN: deo ulazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda
Program ALIN: deo ulazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda
Program ALIN: deo ulazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda
Program ALIN: deo ulazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda Program ALIN: deo izlazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda Program ALIN: deo izlazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda
Program ALIN: deo izlazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda Program ALIN: deo izlazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda
Program ALIN: deo izlazne datoteke
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Okvir u ravni - Teorija II reda Poređenje dobijenih rezultata
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Stabilnost proste grede
Materijal: beton MB30 (E = 31.5 × 107 kPa), Presek: 10/10cm (J = 8.33 × 10−6 m4 )
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj
Stabilnost proste grede - ulazni podaci
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Stabilnost proste grede - ulazni podaci
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj
Stabilnost proste grede - ulazni podaci
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj
Stabilnost proste grede - ulazni podaci
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Deo izlazne datoteka: Ojler-1.txt
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Stabilnost proste grede - kritična sila Kao što se vidi, dobijen parametar opterećenja je λ = 1.911 Kako je sila pritiska definisana kao P = 150 kN, to je kritična sila Pcr jednaka Pcr = λ × P = 1.911 × 150 = 286.65 kN Tačna vrednost Ojlerove kritične sile za prostu gredu je Pcr,Eu =
π2 π2 EJ = 3.15 × 107 · 8.33 × 10−6 = 287.748 kN `2 32
Dobijena relativna greška je ∆=
Pcr − Pcr,Eu × 100 = −0.38% Pcr,Eu Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Linijski nosač je prostorni nosač: - ukoliko se štapovi nosača nalaze u 3D prostoru - ako nosač pripada jednoj ravni, ali postoji opterećenje koje je ⊥ na ravan nosača
Ako se posmatra linijski nosač u 3D prostoru razumno je da se globalni kordinatni sistem OXY Z usvoji na standardni način Na primer, da XY ravan bude horizontalna, a osa Z vertikalna, sa smerom na gore Na taj način smer gravitacije je jasno definisan, odn. sopstvena težina nosača može lako da se automatski uzme u obzir
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Prostorni nosači, slično kao i nosači u ravni, mogu da budu rešetkasti i/ili puni, u zavisnosti od načina veze štapova u čvorovima Kod rešetkastih 3D nosača sve veze u čvorvima su zglobne, a sve spoljašnje veze i spoljašnje sile deluju samo u čvorovima (odn. zglobovima) Kod punih 3D nosača mora da postoji barem jedan čvor sa krutom vezom, a opterećenje može da deluje proizvoljno duž štapova
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza nosača u prostoru
Linijski nosači u 3D prostoru Analiza nosača u prostoru pretstavlja generalizaciju razmatranja nosača u ravni Osnovne relacije za štap, transformacije iz lokalnog u globalni koordinatni sistem, način formiranja jednačina za sistem štapova, kao i unošenje graničnih uslova i rešavanje jednačina ravnoteže, formalno su isti kao i za nosače u ravni Razlika je u povećanju dimenzije prostora, a time i povećanje broja statičko-kinematičkih veličina koje ulaze u analizu
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Sa povećanjem broja nepoznatih u čvorovima štapa (konačnog elementa) povećavaju se dimenzije matrica krutosti i vektora Time se i ukupan broj nepoznatih veličina povećava (naravno, zavisi od složenosti računskog modela) U zavisnosti od problema koji se posmatra: linearan / nelinearan, statički / dinamički, samo rešavanje sistema algebarskih jednačina ili problema svojstvenih vrednosti može da bude prilično zahtevno po pitanju vremena rada procesora i memorijskih zahteva
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Štap nosača u prostoru (linijski element u 3D) ima dva čvora na svojim krajevima (dve čvorne tačke), označene sa ik U svakom čvoru nepoznate veličine su komponente vektora pomeranja i vektora rotacije čvora Za prostorni nosač svaki od ovih vektora ima po 3 koordinate Prema tome, broj nepoznatih generalisanih pomeranja u svakom čvoru je 3+3=6 Ukupan broj nepoznath veličina za jedan štap (gredni element) je 6+6=12
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila izražavaju se u odnosu na lokalni koordinatni sistem xyz Lokalni koordinatni sistem xyz štapa ima početak u čvoru i, a osa x je u pravcu štapa, sa smerom i − k Lokalne ose yz su u ravni poprečnog preseka i one su glavne centralne ose inercije poprečnog preseka Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su sa: ui ϕxi vi ϕyi ui = ϕi = (6) wi ϕzi Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru k, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su slično: uk ϕxk v ϕ uk = ϕk = (7) k yk wk ϕzk Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor i čine vektori pomeranja i rotacije: qiT
=
ui ϕi
T =
ui vi wi ϕxi ϕyi ϕzi
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(8)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor k je, analogno,: qkT
=
uk ϕk
T =
uk vk wk ϕxk ϕyk ϕzk
(9)
tako da je ukupan vektor generalisanih pomeranja za štap dat sa T qi qT = = ui · · · ϕzi uk · · · ϕzk (10) qk
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Slično su date i komponente vektora sila i spregova u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem: Ni Mxi Tyi Myi Fi = Mi = (11) Tzi Mzi odnosno u čvoru k: Nk T Fk = yk Tzk
Mxk M Mk = yk Mzk
(12)
Momenti Mxi , odn. Mxk su momenti torzije Mti , odn. Mtk Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila za čvor i čine vektori sila i spregova: RiT
=
Fi Mi
T =
Ni Tyi Tzi Mxi Myi Mzi
(13)
Slično je i za čvor k: RkT
=
Fk Mk
T =
Nk Tyk Tzk Mxk Myk Mzk
(14)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru
Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila R za ceo štap je dat kao vektor sa 12 elemenata T Ri T R = = Ni · · · Mzi Nk · · · Mzk Rk (15) Prema tome, gredni element u prostoru ima dve čvorne tačke i 12 čvornih nepoznatih veličina
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa
Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru lokalne koordinate Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Kao i u slučaju grednih elemenata u ravni, veza između čvornih sila i čvornih pomeranja, odn. osnovna relacija neopterećenog štapa, data je sa (16) R = Kq gde je K matrica krutosti štapa Matrica krutosti štapa u prostoru je kvadratna, simetrična, singularna matrica reda 12 Elementi matrice krutosti prostornog štapa mogu da se odrede na isti način kao i za štap u ravni (jedino je to znatno složenije i teže)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Međutim, u linearnoj teoriji štapa matrica krutosti prostornog štapa može da se (relativno) lako odredi primenom principa superpozicije Na osnovu principa superpozicije, koji važi u linearnoj teoriji, opšti slučaj prostornog naponskog stanja štapa može da se razdvoji na: -
aksijalno naprezanje (u pravcu ose x) savijanje u ravni xy (oko ose z) savijanje u ravni xz (oko ose y) torziju (oko ose x)
Za vektore čvornih sila, pomeranja i matrice krutosti koji se odnose na pojedinačna naponska stanja koriste se oznake (indeksi), redom: a, sz, sy, t Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Aksijalna matrica krutosti Veza (16) za izdvojeno aksijalno naprezanje može da se prikaže kao Ra = Ka qa (17) Matrica krutosti za aksijalno naprezanje Ka data je sa EF 1 −1 Ka = −1 1 ` dok su vektori čvornih sila i pomeranja dati sa Ni ui Ra = qa = Nk uk Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(18)
(19)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Matrica krutosti za savijanje u ravni xy U izrazu (18) za matricu krutosti Ka sa E, F i ` označeni su modul elastičnosti materijala, površina poprečnog preseka i dužina štapa Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xy (oko ose z) data je sa Rsz = Ksz qsz (20) Matrica krutosti za savijanje u ravni xy Ksz 12 6` −12 2 E Jz 6` 4` −6` Ksz = 3 −12 −6` 12 ` 6` 2`2 −6` Stanko Brčić
data je sa 6` 2`2 −6` 4`2
Metoda konačnih elemenata
(21)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru
Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xy Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za dati su sa Tyi Mzi qsz = Rsz = T yk Mzk
savijanje u ravni xy vi ϕzi vk ϕzk
(22)
U izrazu (21) E i ` su modul elastičnosti i dužina štapa, dok je Jz moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka y
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xz (oko ose y) data je sa Rsy = Ksy qsy (23) Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Ksy data je sa
Ksy
12 6` −12 6` E Jy 6` 4`2 −6` 2`2 = 3 ` −12 −6` 12 −6` 6` 2`2 −6` 4`2
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(24)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru
Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xz Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za dati su sa Tzi Myi qsy = Rsy = T zk Myk
savijanje u ravni xz wi ϕyi wk ϕyk
(25)
U izrazu (24) Jy je moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka z
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru
Čvorne sile i pomeranja za torziju Posmatra se torzija štapa (slobodna, neograničena torzija) Parametri pomeranja u čvorovima štapa su uglovi rotacije oko ose štapa ϕxi i ϕxk Štap ima dva stepena slobode, po jedan u svakom čvoru (kao i aksijalno naprezanje) Generalisane sile u čvorovima su momenti torzije Mxi i Mxk
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Torziono napregnut štap
Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru za slučaj torzije Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Matrica krutosti za torziju Za štap izložen slobodnoj torziji (Saint Venant-ova torzija) veza između momenta torzije i ugla obrtanja štapa data je sa Mx =
GJ ϕ `
gde su - G . . . modul klizanja materijala štapa - J . . . torziona konstanta poprečnog preseka štapa
Matrica krutosti pri torziji dobija se na osnovu veze (26) i značenja koeficijenata matrice krutosti (reakcije veza obostrano uklještenog štapa za jedinična generalisana pomeranja) Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(26)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru
Matrica krutosti za torziju Dobija se sledeća matrica krutosti za torziju štapa: GJ 1 −1 Kt = −1 1 `
(27)
Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za torziju dati su sa Mxi ϕxi Rt = qt = (28) Mzk ϕxk
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru
Torziona konstanta J Torziona konstanta J zavisi od oblika poprečnog preseka štapa U tehničkoj teoriji štapa torziona konstanta se određuje uz pretpostavku o slobodnoj Saint Venant-ovoj torziji To znači da se zanemaruje deplanacija poprečnog preseka tokom torzije Kod tankozidnih štapova takva pretpostavka ne važi
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Torziona konstanta J Za štap sa kružnim poprečnim presekom, sa prečnikom d, torziona konstanta jednaka je polarmom momentu inercije preseka: π d4 J= 32 Za štapove pravougaonog preseka, sa širinom t i sa visinom h, torziona konstanta može da se odredi prema izrazu: " 5 # h t3 t t J= 1 − 0.630 + 0.052 (h ≥ t) (29) 3 h h
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Torziona konstanta J Izraz (29) može da se piše u obliku J=
h t3 β 3
gde je β koeficijent koji se izračunava za različite odnose h/t i može da se tabuliše Kada je pravougaoni presek dovoljno uzan, odn. u graničnom slučaju h/t → ∞, dobija se izraz za torzionu konstantu J=
Stanko Brčić
1 3 ht 3 Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Matrica krutosti za torziju Matrica krutosti štapa opterećenog na torziju po strukturi je ista kao i matrica krutosti za aksijalno naprezanje Dovoljno je da se E F u matrici Ka zameni sa G J i dobija se matrica krutosti Kt Vektor ekvivalentnog opterećenja za slučaj torzije određuje se slično kao i vektor ekvivalentog opterećenja za aksijalno naprezanje Razlika je, naravno, u različitom značenju elemenata ovih vektora (momenti torzije i aksijalne sile na krajevima štapa)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Za svako od nezavisnih naponskih stanja odgovarajuća matrica krutosti, odn. submatrica ukupne matrice krutosti štapa, određuje se posebno, tako da veza (16) može da se prikaže u obliku: q R K a a a qsz Rsz K sz = qsy (30) R Ksy sy Kt qt Rt Međutim, takav redosled i grupisanje čvornih sila i pomeranja nije praktičan Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru
Matrica krutosti punih nosača u 3D Ovakav kvazidijagonalan oblik matrice krutosti štapa u prostoru je pogodan i kompaktan Međutim, to je matrica krutosti u lokalnom sistemu, a prilikom transformacije iz lokalnog u globalni sistem takav oblik se gubi Zato se generalisane sile i generalisana pomeranja prikazuju u drugačijem redosledu: prvo za čvor i, pa zatim za čvor k To dovodi do odgovarajuće promene položaja pojedinih vrsta i kolona u matrici krutosti datoj sa (30)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa
Generalisane sile ili pomeranja na krajevima štapa u prostoru lokalne koordinate u pogodnom redosledu Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Submatrice krutosti štapa u prostoru
Položaj vrsta/kolona submatrica krutosti u ukupnoj matrici krutosti štapa u prostoru Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Elementi matrice krutosti štapa u prostoru
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Elementi matrice krutosti štapa u prostoru
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Submatrice krutosti štapa u prostoru
Matrica krutosti za aksijalno naprezanje
Statičko značenje elemenata matrice krutosti Ka za aksijalno naprezanje
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xy ravni
Statičko značenje elemenata matrice krutosti Ksz za savijanje u ravni xy
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xz ravni
Statičko značenje elemenata matrice krutosti Ksy za savijanje u ravni xz Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Submatrice krutosti štapa u prostoru
Matrica krutosti za torziono naprezanje
Statičko značenje elemenata matrice krutosti Ka za torziono naprezanje
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q kod nosača u 3D prostoru jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještenog štapa Vektor ekvivalentnog opterećenja kod nosača u 3D prostoru određuje se, u principu, na isti način kao i kod nosača u ravni posebno za svaki slučaj opterećenja: -
aksijalno savijanje u xy ravni savijanje u xz ravni torzija
Koriste se isti izrazi kao i za nosač u ravni, uz odgovarajuće momente inercije Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Kao i kod nosača u ravni, vektor ekvivalentnog opterećenja pretstavlja vektor ekvivalentnih sila u čvorovima koje u potpunosti zamenjuju spoljašnje opterećenje duž štapa Osnovna jednačina opterećenog štapa data je, po formi, isto kao i kod nosača u ravni: R = Kq − Q
(31)
Razlika u odnosu na štap u ravni je u veličini matrica i vektora: u ravni 6, u prostoru po 12 elemenata Relacija (31) je u lokalnom sistemu štapa Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Kao i kod nosača u ravni, osnovne relacije o štapu izvode se u lokalnom koordinatnom sistemu xyz koji je definisan u odnosu na štap: osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i − k, dok su ose yz glavne centralne ose poprečnog preseka U sistemu štapova koji čini posmatrani nosač u prostoru položaj svakog štapa određen je u odnosu na globalni koordinatni sistem XY X Koordinatni početak globalnog sistema je pogodno izabrana tačka O(0, 0, 0), dok je koordinatni početak lokalnog sistema za svaki štap definisan u kraju štapa koji je usvojen za čvor i
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem U određivanju relacija između vektora prikazanih u lokalnom ili u globalnom sistemu, posmatra se slučaj kada se koordinatni počeci lokalnog i globalnog sistema poklapaju ~ J, ~ K ~ Ortovi osa globalnog sistema XY Z su, redom, I, Ortovi osa lokalnog sistema xyz su, redom, označeni sa ~ı, ~, ~k Neka su uglovi između osa globalnog i lokalnog sistema dati sa γij (i, j = 1, 2, 3)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Štap (gredni konačni element) određen je u prostoru sa svoje tri tačke: - tačka Pi . . . početak štapa i - tačka Pk . . . kraj štapa k - tačka Pm . . . bilo koja tačka u lokalnoj ravni štapa xy
Koordinate ovih tačaka date su u globalnom sistemu XY Z: Pi (Xi , Yi , Zi ) Pk (Xk , Yk , Zk ) Pm (Xm , Ym , Zm ) Jedinični vektor lokalne ose x određen je sa tačkama Pi i Pk : −−→ Pi Pk ~ ~ı = = cos γ11 I~ + cos γ12 J~ + cos γ13 K Pi Pk Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Lokalni sistem štapa u prostoru Štap (gredni element) u prostoru
Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke i, j, k (odn. i, k, m) Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Lokalni sistem štapa u prostoru Štap (gredni element) u prostoru
Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke 1, 2, 3 (odn. i, k, m) Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Jedinični vektor ~eim u lokalnoj ravni xy određen je sa tačkama Pi i Pm : −−−→ Pi Pm ~eim = Pi Pm Jedinični vektor ~k lokalne ose z određen je sa vektorskim proizvodom ~k = ~ı × ~eim Najzad, jedinični vektor ~ lokalne ose y određen je vektorskim proizvodom ~ = ~k ×~ı Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Prema tome, ortovi osa lokalnog sistema štapa određeni su u odnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene tačke: početak štapa, kraj štap i bilo koja (pomoćna) tačka u lokalnoj glavnoj ravni štapa xy Koordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglova koje zaklapaju sa osama globalnog sistema Takve relacije mogu da se prikažu u matričnom obliku ~ cos γ11 cos γ12 cos γ13 ~ı I ~ = cos γ21 cos γ22 cos γ23 J~ ~ ~ cos γ31 cos γ32 cos γ33 K k Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(32)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Matrica u relacijama (32) naziva se matrica rotacije λ cos γ11 cos γ12 cos γ13 λ = cos γ21 cos γ22 cos γ23 cos γ31 cos γ32 cos γ33 Matrica rotacije je ortogonalna matrica: λ−1 = λT Položaj sistema xyz u odnosu na sistemXY Z određen je, prema tome, matricom rotacije λ Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(33)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Relacije između ortova dva sistema (32) obliku ~ ı I~ ~ = [λ] J~ ~ ~ k K
mogu da se napišu u (34)
Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda važi I~ ~ı T ~ ~ = [λ] J K ~ ~ k
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(35)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem ~ koji može da se izrazi ili u Posmatra se proizvoljan vektor R globalnom sistemu ili u lokalnom sistemu ~ označava se sa gornjim U globalnom sistemu vektor R ∗ indeksom () Prikazano u matričnom obliku, isti vektor može da se prikaže u jednom ili u drugom sistemu, čiji su ortovi povezani međusobno matricom rotacije λ - u globalnom sistemu R∗T = {R1∗ , R2∗ , R3∗ } - u lokalnom sistemu RT = {R1 , R2 , R3 } Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Napisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R∗ i R može da se napiše - u globalnom sistemu ~ R∗T = R1∗ I~ + R2∗ J~ + R3∗ K
(36)
- u lokalnom sistemu RT = R1 ~ı + R2 ~ + R3 ~k
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(37)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Imajući u vidu relacije između jediničnih vektora lokalnog i globalnog sistema date sa (34), odn, (35), između različitih prikaza istog vektora (36) i (37) mogu da se uspostave relacije - vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnom sistemu R = λT R ∗ (38) - vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnom sistemu R∗ = λ R (39)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Proizvoljan vektor u dva prikaza R∗ i R može da bude vektor sila F ili vektor momenata M u čvoru i ili u čvoru k Takođe, to može da bude vektor pomeranja u ili vektor rotacije ϕ u čvoru i ili k Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije - Čvorne sile (za čvor i ili k) T Fi,k λ = Mi,k
Stanko Brčić
λT
∗ Fi,k ∗ Mi,k
Metoda konačnih elemenata
(40)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije (nastavak) - Čvorna pomeranja (za čvor i ili k) T ∗ ui,k ui,k λ = ϕi,k ϕ∗i,k λT
(41)
Relacije (40) i (41) mogu da se prikažu skraćeno u obliku ∗ Ri,k = tT Ri,k
Stanko Brčić
∗ qi,k = tT qi,k
Metoda konačnih elemenata
(42)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem U relacijama (42) uvedene su oznake ui,k Fi,k qi,k = Ri,k = ϕi,k Mi,k
T
t =
λT
λT (43)
Ako se napišu relacije za oba čvora i i k, dobija se R = T T R∗
q = T T q∗
gde je T matrica transformacije reda 12 t T = t Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(44)
(45)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Analogno, i za vektor ekvivalentog opterećenja Q važi ista transformacija: Q = T T Q∗
(46)
Kako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matrica transformacije takođe ortogonalna matrica, pa važe relacije R∗ = T R
q∗ = T q
Q∗ = T Q
(47)
Relacije (44) i (46) pretstavljaju transformaciju iz globalnog u lokalni sistem, dok su relacije (47) transformacija iz lokalnog u globalni sistem Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem
Generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i u globalnom sistemu
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Osnovna jednačina opterećenog štapa Posmatra se osnovna jednačina opterećenog štapa (31) R = Kq − Q
(48)
U jedn. (48) unosi se (44) za vektor q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa matricom T : T R = T KT T q ∗ − T Q Imajući u vidu relacije (47), dobija se R ∗ = K ∗ q ∗ − Q∗ Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(49)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Matrična analiza punih nosača u prostoru Formiranje jednačina u globalnom sistemu Relacija (49) je osnovna jednačina opterećenog štapa u globalnom koordinatnom sistemu Matrica K ∗ je globalna matrica krutosti štapa u prostoru, reda 12 K ∗ = T KT T (50) Kao i u slučaju štapa u ravni, matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama je kvadratna, simetrična i singularna matrica “Sabiranje” matrica krutosti K ∗ štapova nosača u prostoru vrši se, načelno, isto kao i kod nosača u ravni
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
Analiza nosača u prostoru Formiranje jednačina u globalnom sistemu Kao rezultat, dobija se jednačina ravnoteže sistema, u globalnom koordinatnom sistemu K ∗q∗ = S ∗
(51)
Matrica K ∗ je matrica krutosti sistema štapova, vektor q ∗ je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S ∗ vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama) U jednačinu ravnoteže (51) unose se granični uslovi redukcijom, ili, bolje, transformacijom matrice krutosti Smatra se da su već uneti granični uslovi, tako da je matrica K ∗ u jedn. (51) regularna matrica Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Sadržaj 1
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Rešavanje sistema jednačina Primeri ulaza i izlaza
2
Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača
3
Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu
4
Oslobađanje veza na krajevima štapova Redukcija matrice krutosti i vektora Q Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru
Oslobađanje veza na krajevima štapova Kod nosača u prostoru, ukoliko nisu u pitanju prostorne rešetke, štapovi su obično kruto vezani na oba kraja (štapovi “tipa k”) Međutim, moguće je da su neke od veza na jednom kraju (ili ba oba) ukinute, odn. moguće je da su jedna ili više čvornih sila jednake nuli U takom slučaju mora da se koriguje matrica krutosti u lokalnom sistemu
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru Oslobađanje veza na krajevima štapova Posmatra je osnovna jednačina opterećenog štapa (48) R = Kq − Q
(52)
Za štap u prostoru vektori i matrica u jedn.(52) su reda n = 12 Jednačina (52) može da se prikaže u skalarnom obliku: Ri =
n X
kij qj − Qi
(i = 1, 2, . . . , 12)
j=1
gde su kij elementi matrice krutosti štapa K Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(53)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru Oslobađanje veza na krajevima štapova Neka je element broj k vektora čvornih sila jednak nuli (ukunuta je veza broj k): Rk =
n X
kij qj − Qk = 0
j=1
Iz ovog uslova dobija se čvorno pomeranje broj k u obliku 1 qk = − kkk
n X
kkj qj +
j=1,j6=k
Stanko Brčić
1 Qk kkk
Metoda konačnih elemenata
(54)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru Oslobađanje veza na krajevima štapova Relacije (53), odn. komponente čvornih sila na krajevima mogu da se napišu i u obliku Ri =
n X
kij qj + kik qk − Qi
(i = 1, 2, . . . , 12)
(55)
j=1,j6=k
Ako je čvorna sila broj k jednaka nuli, Rk = 0, u jedn. (55) unosi se čvorno pomeranje qk prema (54): Ri =
n X j=1,j6=k
kij qj −
kik kkk
Stanko Brčić
n X
kkj qj − Qi +
j=1,j6=k
Metoda konačnih elemenata
kik Qk (56) kkk
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru Oslobađanje veza na krajevima štapova Jednačine (56) mogu da se napišu u obliku n X
Ri =
r kij qj − Qri
(57)
j=1,j6=k
gde je (za i = 1, 2, . . . , n), r kij = kij − kik
kkj kkk
(j = 1, 2, k − 1, k + 1, . . . , n)
(58)
kao i Qri = Qi −
kik Qk kkk
Stanko Brčić
(i = 1, 2, . . . , n)
Metoda konačnih elemenata
(59)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru Oslobađanje veza na krajevima štapova Gornji indeks r ukazuje na redukovane elemente matrice krutosti i vektora ekvivalentnih sila U izrazu za redukovan element matrice krutosti (58) dobija se za j = k: r kik = kik − kik
kkk = 0 (i = 1, 2, . . . , n) kkk
(60)
Prema tome, u jednačine (57) može da se uključi i član sa indeksom j = k, tako da se dobija Ri =
n X
r kij qj − Qri
j=1 Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(61)
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru
Oslobađanje veza na krajevima štapova U jednačini (61) redukovani elementi matrice krutosti dati su sa kkj r kij = kij − kik (i, j = 1, 2, . . . , n) (62) kkk Kao što se vidi, red lokalne matrice krutosti ostaje n = 12, pri čemu su elementi u redu i koloni matrice krutosti koji odgovaraju broju k ukinute čvorne sile, Rk = 0, jednaki nuli Redukovan vektor ekvivalentnih čvornih sila dat je sa (59)
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrična analiza linijskih nosača u prostoru Transformacija iz lokalnog u globalni sistem Oslobađanje veza na krajevima štapova
Redukcija matrice krutosti i vektora Q
Analiza nosača u prostoru
Oslobađanje veza na krajevima štapova Za svako oslobađanje veza na krajevima vrši se redukcija koeficijenata matrice krutosti štapa u lokalnom sistemu, prema (62), kao i redukcija elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja prema (59) Za štap u prostoru kod koga je izvršeno oslobađanje nekih veza na krajevima, osnovna jednačina opterećenog štapa data je sa R = K r q − Qr
Stanko Brčić
Metoda konačnih elemenata
(63)
