MK I-P01-Stabilnost Visedelnih Stapova

Metalne konstrukcije I 2011./2012. Tema 1

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

Predavanja: Dr Todor Vacev, docent Vežbe: Mr Srđan Živković, asistent

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

2

NASTAVA Î Broj radnih nedelja: 13 Î Oblici nastave: Î Predavanja: 2 časa nedeljno, obavezna Î Vežbe: 2 časa nedeljno, obavezne Î Domaći radovi: 2 u semestru, obavezni Î Seminarski radovi: 1 u semestru neobavezan; uspešno javno odbranjen seminarski rad oslobađa kandidata usmenog dela ispita Î Konsultacije: u predviđenim terminima Î Uslov za potpis asistenta: prisustvo vežbama, urađeni i odbranjeni domaći radovi Î Uslov za potpis nastavnika: prisustvo predavanjima, potpis asistenta Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

3

ISPIT I BODOVANJE Î Predavanja i vežbe (prisustvo):

0-3 p.

Î Domaći radovi:

6-10 p.

Î Pismeni ispit (obavezan, eliminatoran): Î Literatura dozvoljena

60-100 p.

Î Usmeni ispit / Seminarski rad (obavezan, eliminatoran): 6-10 p. Î Konačna ocena: 75-80p. = 6; 81-85p. = 7; 86-90p. = 8; 91-95p. = 9; 96-100p. = 10 Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

4

SADRŽAJ PREDAVANJA 1. PRORAČUN DUŽINE IZVIJANJA 1.1. Štapovi sa konstantnim momentom inercije i konstantnom normalnom silom 1.2. Štapovi konstantnog poprečnog preseka sa kontinualno promenljivom normalnom silom 1.3. Štapovi konstantnog poprečnog preseka sa skokovito promenljivom normalnom silom 1.4. Štapovi sa promenljivim momentom inercije i konstantnom normalnom silom 1.5. Štapovi sa stepenasto promenljivom normalnom silom i momentom inercije 2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA 3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

5

1. PRORAČUN DUŽINE IZVIJANJA PREGLED NACIONALNIH STANDARDA O STABILNOSTI ČELIČNIH KONSTRUKCIJA (1986.) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NAZIV STANDARDA Centrično pritisnuti štapovi konstantnog jednodelnog preseka Određivanje dužine izvijanja štapova Centrično pritisnuti štapovi konstantnog višedelnog preseka Štapovi izloženi pritisku i savijanju Bočno izvijanje nosača Određivanje dužine izvijanja za štapove sa elast. osloncima Stabilnost okvirnih nosača Stabilnost lučnih nosača Proračun izbočavanja limova Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

SRPS U.E7.081 U.E7.086 U.E7.091 U.E7.096 U.E7.101 U.E7.106 U.E7.111 U.E7.116 U.E7.121 6

1. PRORAČUN DUŽINE IZVIJANJA Î Problem izvijanja – nesavršenost (imperfekcija) štapova Î Bezdimenzionalni koeficijent izvijanja χ ne zavisi samo od relativne vitkosti λ¯, već i od imperfekcija štapa (v. krive izvijanja)

e P

P

e

P

e

Î Vrednosti koeficijenta izvijanja χ se očitavaju sa dijagrama, ili se mogu dobiti analitički na osnovu matematičke interpretacije krivih izvijanja Î Izbor krive izvijanja zavisi od tipa poprečnog preseka Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

7

1. PRORAČUN DUŽINE IZVIJANJA Î SRPS U.E7.086/1986 Î Opšti izraz za određivanje dužine izvijanja: Î li = dužina izvijanja Î l = sistemna dužina elementa (štapa) Î β = koeficijent dužine izvijanja

li = β * l

Î Ovim standardom data su pravila za dužine izvijanja: Î stubova (samostalnih štapova) Î štapova rešetkastih nosača Î ugaonih štapova rešetkastih stubova Î monosimetričnih poprečnih preseka

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

8

1.1. ŠTAPOVI SA KONSTANTNIM MOMENTOM INERCIJE I KONSTANTNOM NORMALNOM SILOM Î Određivanje dužine izvijanja stubova Î (I = const.; N = const.)

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

9

1.2. ŠTAPOVI KONSTANTNOG POPREČNOG PRESEKA SA KONTINUALNO PROMENLJIVOM NORMALNOM SILOM Î I = const. Î N ≠ const. ÎOdređivanje dužine izvijanja ÎOgraničenje primene: - 0,2 ≤ Nc,0 / Nc,1 ≤ 1 Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

10

1.3. ŠTAPOVI KONSTANTNOG POPREČNOG PRESEKA SA SKOKOVITO PROMENLJIVOM NORMALNOM SILOM Î I = const. Î N ≠ const. Î Redukovana sila:

Î Kontrola stabilnosti: Î Nc,red = const. Î li = β * l Î Kontrola napona:

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

11

1.4. ŠTAPOVI SA PROMENLJIVIM MOMENTOM INERCIJE I KONSTANTNOM NORMALNOM SILOM Î I ≠ const.; N = const. Î Prvo se određuje dužina izvijanja li zavisno od uslova oslanjanja Î Konačna dužina izvijanja: ll‘ = β * li Î Koeficijent dužine izvijanja β zavisi od načina promene momenta inercije, odnosa I0 / I1 i oblika poprečnog preseka Î Proračun stabilnosti se sprovodi sa max. vrednostima geometrijskih karakteristika (A1, I1) Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

12

1.5. ŠTAPOVI SA STEPENASTO PROMENLJIVOM NORMALNOM SILOM I MOMENTOM INERCIJE Î I ≠ const. Î N ≠ const. Î Štap 1: l1i = β1 * l1 Nc = Nc,1 + Nc,2 Î Štap 2: l2i = β2 * l2 Nc = Nc,2 Î Oblast primene: l2 / l1 ≤ 0,6; Nc,1 / Nc,2 ≥ 3; 0,05 ≤ I2 / I1 ≤ 0,3 Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

13

2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA Î Obuhvaćeni štapovi: Î pojasni štapovi Î štapovi ispune (dijagonale i vertikale) Î Dužine izvijanja: Î dužine izvijanja u ravni rešetkastog nosača Î dužine izvijanja izvan ravni rešetkastog nosača

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

14

2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA Î Pojasni štapovi Î Dužina izvijanja štapa u ravni jednaka je njegovoj sistemnoj dužini: β=1 Î Dužina izvijanja izvan ravni jednaka je rastojanju tačaka bočnog pridržavanja: β = a / 2 (slika)

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

15

2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA Î Dužina izvijanja pritisnutog štapa na elastičnim osloncima (SRPS .E7.106) Î Tipičan primer: gornji pojas kod otvorenih rešetkastih mostova Î Krutost elastičnih oslonaca - “opruga” zavisi od deformabilnosti okvirnih ukrućenja glavni nosač - pogled odozgo

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

frontalni pogled

16

2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA Î Štapovi ispune Î 1. Ako je sprečeno pomeranje krajnjih tačaka štapa ispune tada je dužina izvijanja izvan ravni rešetkastog nosača jednaka je njegovoj sistemnoj dužini Î 2. Koeficijent dužine izvijanja u ravni nosača: β = 0,8-1,0 Î 3. Kada osa min. poluprečnika inercije štapa ne leži u ravni nosača: β = (β1 + β2) / 2

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

17

2. DUŽINE IZVIJANJA ŠTAPOVA REŠETKASTIH NOSAČA

Î Dužine izvijanja štapova ispune od L profila

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

18

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î (SRPS U.E7.091) Î Osobenosti višedelnih štapova: Î Poprečni presek se sastoji od više samostalnih elemenata koji su mestimično povezani Î Razmicanjem samostalnih elemenata povećavaju se geometrijske karakteristike poprečnog preseka Î (+) Racionalnost u pogledu utrošenog materijala Î (-) Više rada je potrebno za izradu višedelnog štapa Î Bar jedna od glavnih osa inercije je nematerijalna Î Drugačije ponašanje u odnosu na jednodelne štapove Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

19

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Definicije glavnih osa Î Materijalna osa: glavna osa inercije poprečnog preseka koja preseca bar jedan samostalni element Î Nematerijalna osa: glavna osa inercije koja ne preseca ni jedan samostalni element Î Višedelni štap uvek ima bar jednu nematerijalnu osu inercije

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

20

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Tipovi višedelnih štapova Î Samostalni elementi su povezani međusobno na rastojanju a Î Zavisno od oblika veznih elemenata: ramovski i rešetkasti štapovi

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

21

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Izvijanje štapa – presečne sile

Nc

Î Slika: zglobno oslonjen štap u izvijenom položaju

Î N = normalna sila u štapu Î V = transverzalna sila u štapu

α

N V tang

Î Nc = spoljna normalna sila pritiska

Nc

f + f0

Î f0= početni ugib štapa u sredini raspona usled nesavršenosti Î f = ugib štapa u sredini raspona usled izvijanja Î tang = tangenta na elastičnu liniju štapa Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

22

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î (1) Jednodelni štapovi: rebro prima transverzalne sile (uz nisko iskorišćenje napona), pa se uticaj transverzalnih sila na deformaciju nosača može zanemariti Î (2) Višedelni štapovi: pri izvijanju oko nematerijalne ose ne postoji rebro, pa se mora uzeti u obzir uticaj transverzalnih sila na deformaciju štapa V (1) Î v = vM + vV Î vM = ugib usled momenta savijanja Î vV = ugib usled transverzalnih sila

V (2)

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

23

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Primer: višedelni štap ramovskog tipa sa početnom geometrijskom imperfekcijom Î Aksijalna sila pritiska raste postepeno od nule do granične vrednosti Î Dolazi do savijanja štapa kao celine (usled početne imperfekcije javlja se moment savijanja: M0 = Nc * f0 )

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

24

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Višedelni ramovski štap sa početnom geometrijskom imperfekcijom Î Poprečne deformacije od savijanja uvećavaju moment savijanja Î Raste strela parabole M = Nc * f; f > f 0 Î Moment savijanja dalje izaziva uvećanje deformacija Î Posledica (1): poprečne deformacije rastu nelinearno sa porastom opt. Î Posledica (2): nelinearan porast aksijalne sile u samostalnim elementima

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

25

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Višedelni ramovski štap sa početnom geometrijskom imperfekcijom Î Max. aksijalna sila javlja se u samostalnom elementu u sredini raspona (konkavna strana) Î Max. uticaji u spojnim elementima su na krajevima štapa, gde su nagib elastične linije i transverzalna sila maksimalni Î Eksperimenti su pokazali da je granična nosivost višedelnog štapa dostignuta kada se iscrpi nosivost, odnosno, stabilnost najopterećenijeg samostalnog elementa ili, kod rešetkastih višedelnih štapova, najopterećenijeg štapa ispune Max. opterećen spojni element Max. aksijalna sila Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

26

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Opšti postupak proračuna stabilnosti višedelnih štapova: Î Î Î Î Î

1. Provera stabilnosti na izvijanje oko materijalne ose (ako postoji) 2. Provera stabilnosti na izvijanje oko nematerijalne ose 3. Provera samostalnog elementa u sredini raspona 4. Provera samostalnog elementa na kraju štapa 5. Proračun veznih elemenata

Î Ako je rastojanje veznih limova a ≤ 15imin višedelni štap se u proračunu može tretirati kao jednodelan Î imin = min. poluprečnik inercije pojedinačnog štapa

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

27

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Tabela 1 Î Tipovi višedelnih štapova

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

28

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Detaljni postupak proračuna stabilnosti višedelnih štapova: Î Proračun stabilnosti na izvijanje oko materijalne ose Î Sprovodi se uvek ako postoji materijalna osa (štapovi tipa 1 i 2) Î Proračun se sprovodi prema standardu za stabilnost centrično pritisnutih štapova konstantnog jednodelnog preseka - JUS U.E7.081 Î Za višedelne štapove iz grupe 3 proračun se može sprovesti kao za jednodelne štapove, ako je rastojanje veznih elemenata a < 70 imin

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

29

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Detaljni postupak proračuna stabilnosti višedelnih štapova Î Proračun stabilnosti na izvijanje oko nematerijalne ose z-z Î Proračun se sastoji iz nekoliko koraka: Î 1. Proračun krutosti na smicanje Sy zavisno od tipa veznih limova Î 2. Proračun kritične sile Ncr,V Î 3. Proračun ekvivalentne relativne vitkosti za nematerijalnu osu λ⎯z,eq Î 4. Sa ovako sračunatom relativnom vitkošću proračun stabilnosti se sprovodi isto kao i kod jednodelnih poprečnih preseka (SRPS. U.E7.081) Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

30

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Tabela 2 Î Određivanje krutosti na smicanje Sy

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

31

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun kritične sile Ncr,V: Î Ekvivalentna relativna vitkost višedelnog štapa: Î Ekvivalentna vitkost višedelnog štapa: Î Na osnovu vrednosti λ⎯z,eq dobija se koeficijent χ i sledi provera globalne stabilnosti višedelnog štapa prema SRPS U.E7.081

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

32

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA

Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î

Osnovne veličine Ncr = π2 * EI / l2 = Ojlerova kritična sila za jednodelan štap Sy = krutost veznih limova na smicanje (Tabela 2) Npl = fy * A = plastična nosivost poprečnog preseka Ncr,V = kritična sila izvijanja višedelnog štapa oko nematerijalne ose z-z li,z = dužina izvijanja štapa upravno na nematerijalnu osu z-z λz = li,z / iz = vitkost štapa oko z-z (nematerijalne) ose, bez uticaja transverzalnih sila λf = a / if = vitkost samostalnog elementa if = poluprečnik inercije samostalnog elementa oko ose 1-1 λ1 = vitkost na granici razvlačenja (SRPS U.E7.081) A = ∑ Ai = ukupna površina poprečnog preseka štapa Iz = moment inercije oko nematerijalne ose z-z r = broj samostalnih elemenata If,i = moment inercije samostalnog elementa oko ose 1-1 Af,i = površina porečnog preseka i-tog samostalnog elementa yf,i = rastojanje od težišta samostalnog elementa i do težišta višedelnog preseka m = broj samostalnih elemenata u jednom pravcu (Tabela 1) λf = a / if = vitkost samostalnog elementa, odnosno pojasa a = rastojanje veznih limova ili čvorova (kod rešetkastih višedelnih štapova; min.: 3a) r

i= 1

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

33

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Određivanje vitkosti štapa oko z-z (nematerijalne) ose – λz: Î 1. Î 2. Î 3. Î 4. Î Af,i = površina i-tog samostalnog elementa Î If,i = moment inercije i-tog samostalnog elementa oko ose 1-1 Î yf,i = rastojanje od težišta i-tog samostalnog elementa do težišta višedelnog preseka Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

34

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun samostalnog elementa u sredini štapa Î Opšti slučaj: Nf = Nc / r + ( Mz / Wz ) * Af Î Dvodelni štap: Nf = Nc / 2 + Mz / h

( NM )

Î Moment savijanja:

Î Sa ovako sračunatom silom Nf proverava se stabilnost samostalnog elementa (SRPS.U.E7.081) Î Î Î Î

( NM )

Wz = otporni moment najudaljenijeg samostalnog elementa u odnosu na težišnu osu r = broj samostalnih elemenata f0 = l / 500 = početna imperfekcija štapa ν = koeficijent sigurnosti Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

35

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun samostalnog elementa na kraju štapa Î Dominira uticaj transverzalnih sila Î Ugib se pretpostavlja u obliku sinusne funkcije Î Moment savijanja je funkcija ugiba: M = Nc * (v + v0) = Nc * f * sin (πx / l) Î Transverzalna sila: V = dM / dx = Nc * f * (π / l) * sin (πx / l) Î Max. vrednost transverzalne sile: Vmax = Nc * f * (π / l) = (π / l) * Nc * f0 / ( 1 – ν * (Nc / Ncr,V )) Î Max. moment u samostalnom elementu na kraju štapa: Mf = Vmax * a / 2r Î Dokaz nosivosti elementa u krajnjem polju: σmax = Nc /(A*r) + Mf / Wf ≤ σdop Î Af = površina poprečnog preseka samostalnog elementa, Î Wf = otporni moment samostalnog elementa oko ose 1-1 Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

36

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun veznih limova Î Proračun se razlikuje za štapove ramovskog i rešetkastog tipa Î Rešetkasti tip: vezni limovi su aksijalno opterećeni Î Ramovski tip: vezni limovi su opterećeni na savijanje Î Vezni limovi se uvek postavljaju: na krajevima štapa, na istom rastojanju, minimum u trećinama raspona Î Ako je razmak samostalnih elemenata jednak debljini čvornog (veznog) lima, postavljaju se vezice Î Ovde se proverava samo da li veza može da prenese odgovarajuću silu T Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

37

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun sila u veznim limovima kod ramovskih višedelnih štapova

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

38

3. AKSIJALNO PRITISNUTI ŠTAPOVI KONSTANTNOG VIŠEDELNOG POPREČNOG PRESEKA Î Proračun sile u dijagonali rešetkaste ispune kod rešetkastih višedelnih štapova Î Nc,d,max = Vmax * d / ( n * hy )

Î n = broj paralelih ravni u kojima se nalazi rešetkasta ispuna Î d = dužina dijagonale Î hy = rastojanje težišta pojasnih štapova (za dvodelni štap)

Dr T. Vacev - Metalne konstrukcije I

39