Mislav Šramek - Seninarski rad iz kolegija Optimiranje konstrukcija

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE Zavod za motore i transportna sredstva Katedra za transportne uređaje i konstrukcije

OPTIMIRANJE KONSTRUKCIJA Seminarski rad – zadatak br. M13 – 2012/13. Optimizacijske metode u analizi i projektiranju konstrukcija

Mentor: Prof.dr.sc. Dragutin Šćap

Mislav Šramek 0035165363

Studeni,2012.

Sadržaj 1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u riješavanju statički neodređenih problema ................................................................................................ 4 2.

Zadatak 1 ........................................................................................................... 9 2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac ..................................................... 10 2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ...... 10 2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj pomičnog oslonca u točki D ............................................................................... 14 2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D .......................... 17 2.2. U točki D je zglob ........................................................................................... 19 2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije ....... 19 2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj zgloba u točki D ................................................................................................. 23 2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D ............................................ 26 2.3. Q i M dijagrami ............................................................................................... 28 2.3.1. Q dijagram štapa D-C .............................................................................. 28 2.3.2. Q dijagram štapa C-B .............................................................................. 28 2.3.3. Q dijagram štapa B-A .............................................................................. 29 2.3.4. M dijagram štapa D-C .............................................................................. 30 2.3.5. M dijagram štapa C-B .............................................................................. 30 2.3.6. M dijagram štapa B-A .............................................................................. 31

3.

Zadatak 2 .......................................................................................................... 32

Topološko optimiranje............................................................................................... 32 Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje ............................................ 32 Opis korištenog programa BESO2D ..................................................................... 33 3.1. Konstrukcija 1................................................................................................. 35 3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti..... 35 3.1.2. Definiranje karakteristika: ........................................................................ 36 3.1.3. Proces optimizacije.................................................................................. 36 3.1.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 38 3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 38 3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 39 3.2. Konstrukcija 2................................................................................................. 39 3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti..... 40 2

3.2.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 40 3.2.3. Proces optimizacije.................................................................................. 41 3.2.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 42 3.2.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 43 3.2.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 44 3.3. Konstrukcija 3................................................................................................. 44 3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti.... 45 3.3.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 45 3.3.3. Proces optimizacije.................................................................................. 46 3.3.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 47 3.3.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 48 3.3.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 48 3.4. Konstrukcija 4................................................................................................. 49 3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti..... 49 3.4.2. Definiranje karakteristika ......................................................................... 50 3.4.3. Proces optimizacije.................................................................................. 51 3.4.4. Rezultat procesa optimizacije .................................................................. 52 3.4.5. Deformirani oblik i naprezanja ................................................................. 53 3.4.6. Grafički prikaz procesa optimizacije ........................................................ 53 4.

Zaključak ........................................................................................................... 54

5.

Popis literature................................................................................................... 55

3

1. Primjena potencijalne energije elastične deformacije u riješavanju statički neodređenih problema

Energija deformacije proizvoljno opterećene konstrukcije: Ako je konstrukcija opterećena općenito, u njegovu se poprečnom presjeku može pojaviti svih šest komponenata unutarnjih sila, i to uslijed: uzdužnih sila N, poprečnih sila Qy i Qz, momenata savijanja My i Mz, te momenta uvijanja Mt. Te se komponente pri izračunavanju energije deformacije mogu razmatrati nezavisno, pa je ukupna energija jednaka zbroju energija pojedinačnih opterećenja. U tom slučaju može se pisati:

Vidi se da je svih 6 predbrojnika na desnoj strani građeno na isti način. Pod znakom integrala nalazi se kvadrat pojedinačnih komponenata unutarnjih sila, koje se dijele odgovarajućom krutošću. U slučaju osnog opterećenja imamo osnu krutost EA, u slučaju smicanja smičnu krutost GA. Kad se radi o savijanju, to je fleksijska ili savojna krutost EIy ili EIz, a u slučaju uvijanja imamo torzijsku krutost GIp. Svi se integrali protežu po čitavoj duljini štapa l. U slučaju smicanja integrali se još množe s k y, odnosno kz.

Teorem o minimumu energije deformiranosti: Drugi Castiglianov teorem može se primijeniti ne samo za određivanje pomaka na željenom mjestu i u željenom smjeru nego se pomoću njega mogu odrediti i prekobrojne reakcije veza u statički neodređenim konstrukcijama. Sljedeća slika prikazuje primjer tri puta statički neodređene konstrukcije:

4

Budući da konstrukcija ima šest nepoznatih reakcija i tri nezavisna uvjeta ravnoteže, ona je tri puta statički neodređena, tj. nedostaju tri jednadžbe ravnoteže da bismo mogli odrediti svih šest nepoznatih reakcija veza. Prema tome tri su reakcije prekobrojne. Reakcije u osloncima B i C su označene kao prekobrojne. One su označene s velikim slovima X i razmatraju se kao poopćene sile. Prema tome, tri su nepoznate poopćene sile X1, X2 i X3. Poopćeni pomaci u smjeru X1, X2 i X3 jednaki su nuli, pa prema drugom Castiglianovu teoremu vrijedi:

= 0,

= 0,

= 0.

To su tri dopunske jednadžbe koje zajedno s tri uvjeta ravnoteže omogućuju da se odredi šest nepoznatih reakcija veza. Ako se kao prekobrojne sile odaberu unutarnje sile u nekom presjeku, tj. normalnu i poprečnu silu te moment savijanja, poopćeni pomaci nisu uvijek jednaki nuli, pa se ne može neposredno primijeniti drugi Castiglianov teorem. U tom slučaju može se vrlo uspješno primijeniti teorem o minimumu energije deformiranosti.

5

Sljedeća slika prikazuje statički neodređenu konstrukciju koja je opterećena s više vanjskih sila F1, F2, F3:

Konstrukcija je u točki C podijeljena na dva dijela. Na mjestu presjeka djeluje normalna sila X1, poprečna sila X2 i moment savijanja X3. Vrijednosti poopćenih sila X1, X2 i X3 nisu poznate. Ako te sile imaju pravu vrijednost, u presječenu lijevom dijelu konstrukcije akumulirat će se jednaka energija UL kao i u dijelu AC izvorne konstrukcije. Isto vrijedi i za desni odsječeni dio BC. Prema tome može se pisati:

=

+

gdje je UL energija deformiranosti lijevog dijela, UD energija deformiranosti desnog dijela, a U ukupna energija čitave konstrukcije. Odabirom bilo koje unutarnje sile, npr. X2 i deriviranjem UL, odnosno UD po toj sili, dobiva se:

=

,

=

.

Gdje je poopćeni pomak lijevog dijela konstrukcije, a odgovarajući pomak desnog dijela konstrukcije. Ti su pomaci po veličini jednaki jer se odnose na istu 6

točku i C. Po predznaku, oni su suprotni kako je prikazano na slici iznad, po zakonu akcije i reakcije vrijedi: =−

Ako se to uvrsti u prethodni izraz, dobiva se:

=−

,

odnosno: (

)=

+

= 0.

Općenito vrijedi:

= 0,

= 0,

= (

To je nužan uvjet da funkcija je to minimum.

,

,

= 0.

) ima ekstrem. U nastavku je vidljivo da

Ako se zamisli konstrukcija koja je puta statički neodređena, u tom slučaju ima prekobrojnih poopćenih sila , … … . Derivacija energije deformabilnosti po bilo kojoj nepoznatoj sili jednaka je nuli, = 0, što je nužan uvjet za ekstrem. Da bi se pokazalo kako je to minimum, potrebno je zamisliti da na tijelo ili konstrukciju dijeluju sve sile osim sile , te tada energija deformiranosti iznosi: =

(

,

,…

,

,…

).

7

Ako sada na konstrukciju počne djelovati sila ,tako da postupno raste od nule do svoje konačne vrijednosti, energija će se povećati za iznos:

+

∆ =

1 2

.

Prvi član na desnoj strani izraza označava rad svih sila osim sile koje uzrokuje sila . Drugi član predstavlja rad sile .

na pomacima

Ukupna energija deformiranosti konstrukcije sada iznosi:

=

(

Prva derivacije energije

,

,…

po sili

,

,…

)+

+

1 2

.

, iznosi:

=

+

.

Druga derivacija u tom slučaju iznosi:

=

> 0.

Kako je ova druga derivacija veća od nule, energija deformacije statički neodređene konstrukcije ima minimum.

8

2. Zadatak 1 Statički neodređenu nosivu konstrukciju prema skici riješiti postupkom traženja minimuma potencijalne energije elastične deformacije. Zadano: 4 (2 ) , ℎ = 5 ,

= =

,

= 1.5 ,

=

=

= 1 2 ℎ,

4,

( ⁄40)

.

Problem riješiti za 2 slučaja: a) U točki D je horizontalno pomični oslonac, b) U točki D je zglob prema skici.

9

2.1. U točki D je horizontalno pomični oslonac 2.1.1. Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije

Presijek

prije štapa:

10

Presijek

poslije štapa:

Presijek

prije sile F:

11

Presijek

između sila F:

Presijek

poslije sile F:

12

Presijek

prije štapa:

Presijek

poslije štapa:

13

2.1.2. Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj pomičnog oslonca u točki D

Ulazni podaci: 4 (2 ) , ℎ = 5 ,

= =

,

= 1.5 ,

=

=

= 1 2 ℎ,

4,

( ⁄40)

.

Savijanje: Momenti savijanja po poljima: = {x1, x2, x2, x2, x3, x3};

vektori položaja po poljima

Mx = {X2 ∗ (x1 − ), X2 ∗ (ℎ − ) + X1 ∗ x2 −

,

X2 ∗ (ℎ − ) + X1 ∗ x2 −

−

∗ (x2 − ),

X2 ∗ (ℎ − ) + X1 ∗ x2 −

−

∗ (2 ∗ x2 − ),

X1 ∗

− X2 ∗ (x3 − ℎ + ) −

−

X1 ∗

− X2 ∗ (x3 − ℎ + ) −

/2 −

∗ , ∗

+ X2 ∗ (x3 − (ℎ − ))};

np = Length[Mx]; Gornje i donje granice po poljima: xd = {0,0, , L − a, 0, ℎ − }; xg = {ℎ, , L − a, , ℎ − , ℎ}; Momenti tromosti po poljima: Iyp = {I2, I3, I3, I3, I1, I1}; Računanje unutarnje energije deformacije uslijed savijanja:

U2E =

1 Iyp[[ ]]

[[ ]]

Mx[[ ]]

[[ ]]

[[ ]]

14

Uzdužne sile: Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila: UstE =

X2 2A2

Ukupna energija elastične deformacije: Usum = U2E + UstE Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija: X1 = X1F ; X2 = X2F U2E = Simplify[U2E] FU = Usum

I1

Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]]};

Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske veličine: = 1.31197 = −0.142302

15

Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama grafom.

i

, prikazana 3D

16

2.1.3. Projektni prostor, za slučaj pomičnog oslonca u točki D

Izgled projektnog prostora:

17

Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:

18

2.2. U točki D je zglob 2.2.1 Određivanje momenata savijanja po presjecima nosive konstrukcije

Presijek

prije štapa:

19

Presijek

poslije štapa:

Presijek

prije sile F:

20

Presijek

između sila F:

Presijek

poslije sile F:

21

Presijek

prije štapa:

Presijek

poslije štapa:

22

2.2.2 Energija elastične deformacije od savijanja i uzdužnih sila, za slučaj zgloba u točki D

Ulazni podaci: 4 (2 ) , ℎ = 5 ,

= =

,

= 1.5 ,

=

=

= 1 2 ℎ,

4,

( ⁄40)

.

Savijanje: Momenti savijanja po poljima: = {x1, x1, x2, x2, x2, x3, x3};

vektori položaja po poljima

Mx = { 3 ∗ 1, 2∗( 1 −

) +

3 ∗ 1,

2 ∗ (ℎ − ) +

1∗ 2 +

3 ∗ ℎ − ( ∗ 2^2/2),

2 ∗ (ℎ − ) +

1∗ 2 +

3 ∗ ℎ − ( ∗ 2^2/2) −

∗ ( 2 − ),

2 ∗ (ℎ − ) +

1∗ 2 +

3 ∗ ℎ − ( ∗ 2^2/2) −

∗ (2 ∗ 2 −

1 ∗

−

2∗( 3 − ℎ + ) +

3 ∗ (ℎ − 3) − (

∗ ^2/2) −

1 ∗

−

2∗( 3 − ℎ + ) +

3 ∗ (ℎ − 3) − ( ∗

^2/2) −

), ∗ , ∗

+

2 ∗ ( 3 − (ℎ − ))}; np = Length[Mx]; Gornje i donje granice po poljima: xd = {0, , 0, , L − a, 0, ℎ − }; xg = { , ℎ, , L − a, , ℎ − , ℎ}; Momenti tromosti po poljima: Iyp = {I2, I2, I3, I3, I3, I1, I1};

23

Računanje unutarnje energije deformacije od savijanja: 1 Iyp[[ ]]

U2E =

[[ ]]

Mx[[ ]]

[[ ]]

[[ ]]

Uzdužne sile: Računanje unutarnje energije deformacije uslijed uzdužnih sila: UstapE =

2X2 2A

Ukupna energija elastične deformacije: Uuk = U2E + UstapE Svođenje na bezdimenzijski oblik i računanje optimalnih vrijednosti reakcija: X1 = X1F ; X2 = X2F ; X3 = X3F U2E = Simplify[U2E] FU = Usum

I1

Rjes=Minimize[FU,{X1F,X2F,X4F}];Print[N[Rjes]] opt=Rjes[[1]];xopt={X1F/.Rjes[[2]],X2F/.Rjes[[2]],X4F/.Rjes[[2 ]]}; Rješenje – optimalne vrijednosti reakcija u osloncu F, izražene kao bezdimenzijske veličine: = 1.34013 = 0.057282 = 0.121665

24

Ciljna funkcija energije deformiranja u ovisnosti o reakcijama grafom.

i

, prikazana 3D

25

2.2.3. Projektni prostor, za slučaj zgloba u točki D

Izgled projektnog prostora:

26

Grafički prikaz projektnog prostora s riješenjem:

27

2.3. Q i M dijagrami 2.3.1. Q dijagram štapa D-C

2.3.2. Q dijagram štapa C-B

28

2.3.3. Q dijagram štapa B-A

29

2.3.4. M dijagram štapa D-C

2.3.5. M dijagram štapa C-B

30

2.3.6. M dijagram štapa B-A

31

3. Zadatak 2 Potrebno je topološki optimirati četiri različite 2D konstrukcije, koristeći slobodno dostupni program BESO2D.

Topološko optimiranje Postoje dva osnovna tipa topološkog optimiranja, ovisno o tipu konstrukcije čija se topologija optimira. Za one konstrukcije koje su po prirodi diskretne (primjerice rešetkaste konstrukcije), problem optimalne topologije sastoji se u određivanju optimalnog broja, pozicija, međusobne povezanosti strukturnih elemenata. Drugi tip topološkog optimiranja namjenjen je optimiranju kontinuiranih struktura. Ovdje se oblik vanjskih i unutrašnjih rubova (kontura) optimiraa istodobno s brojem unutrašnjih otvora s ciljem optimalnog zadovoljavanja zadanog projektnog kriterija. Često se optimalna konstrukcija dobivena kontinuiranim topološkim optimiranjem može interpretirati kako rešetkasta, tj. diskretna konstrukcija. Iz tog se razloga metode kontinuiranog optimiranja često koriste i za optimiranje topologije rešetkastih konstrukcija.

Opis algoritma ESO/BESO za topološko optimiranje Metoda ESO (evolucijsko strukturno optimiranje), razvijena je 1992 godine od strane dvaju znanstvenika: Mike Xie-a i Grant Steven-a. Cilj njenog razvoja bila je težnja da se razvije relativno jednostavna i svestrana metoda za pronalaženje optimalnog strukturnog oblika. Metoda se temelji na principu polakog ukljanjanja neučinkovitog materijala iz strukture, tako da se preostala struktura kroz iteracije razvija prema optimalnoj. Metoda ESO je u stanju riješavati veličinu, oblik i topologiju strukturne optimizacije statičkih i dinamičkih problema, problema stabilnosti, toplinskih problema ili njihovih kombinacija. Zbog izražene jednostavnosti i učinkovitosti ovu metodu primjenjuju brojni inženjeri i arhitekti. Također može je razumjeti i primjeniti svatko tko ima osnovno znanje o metodi konačnih elemenata (FEA). Velika prednost ove metode krije se u tome što se relativno jednostavno može povezati s komercijalnim paketima, kao što su primjerica NASTRAN, ANSYS i ABAQUS. ESO metoda temelji se na von Mises-ovim naprezanjima ili energiji deformacije svakog elementa. Za postizanje optimalne strukture, prvo se uklanjaju elementi s najvećim naprezanjem, zatim se iz strukture uklanjaju elementi sa manjim naprezanjem, i tako dalje postupkom iteracije sve dok se ne dobije optimalna struktura. 32

Naprezanje svakog konačnog elementa u trenutnoj iteraciji ( ) je određeno u odnosu na najveće naprezanje u konstrukciji ( ).

Elementi koji zadovoljavaju uvjet iteraciji.

će biti izbaćeni iz konstrukcije u toj

(rejection ratio) predstavlja omjer odbacivanja elemenata iz konstrukcije, a iznos mu se jasno povećava nakon svake iteracije, = + . (evolutionary rate), predstavlja korak evolucije, koji se unosi kao ulazni podatak. ESO metoda za nelinearne strukture – za postizanje nelinearne ESO strukture, model konačnog elementa se analizira s obzirom na materijalnu i/ili geometrijsku nelinearnost. Postoje dva kriterija za uklanjanje materijala, od kojih se jedan temelji na uklanjanju elemenata s niskim von Mises-ovim naprezanjem, a drugi na uklanjanju elemenata s niskom energijiom naprezanja. Kratica BESO (Bi-directional Evolutionary Structual Optimisation), označava metodu dvosmjernog evolucijskog strukturnog optimiranja. Valjanost ESO metode uvelike ovisi o pretpostavkama da je struktura promjene (evolucija) u svakom koraku mala, te da je mreža konačnih elemenata za analizu gusta. U slučaju da je previše materjala uklonjeno iz strukture u jednom koraku, ESO metoda ne može vratiti te elemente koji su prerano izbrisani. Godine 1999, u cilju povećanja učinkovitosti ESO metode, razvijena je dvosmjerna ESO (BESO) metoda u kojoj se materijal može brisati iz strukture i dodavati na najopterećenija područja. Metode ESO/BESO je osim za 2D probleme moguće primjeniti i na 3D probleme.

Opis korištenog programa BESO2D BESO2D je slobodno dostupni program koji se primjenjuje u topološkom optimiranju pojedinih dvo-dimenzionalnih konstrukcija. Opremljen je slijedećim funkcijama: crtanje domene konstrukcije, definiranje opterećenja i rubnih uvjeta, generiranje mreže konačnih elemenata, provjera naprezanja i deformacija pomoću MKE- metode, te provedbom BESO optmizacije. Postupak optimiranja: a) Definiranje domene

33

b) Diskretizacija domene generiranjem mreže konačnih elemenata (program koristi pravokutne konačne elemente sa četiri čvora i dva stupnja slobode po čvoru). U postupku je potrebno definirati razmak između pojedinih čvorova, odnosno gustoći mreže konačnih elemenata. c) Nakon toga zadaju se rubni uvjeti, uvjeti opterećenja i značajke materijala (Young-ov modul elastičnosti, Poisson-ov koeficijent, te gustoću materijala). d) Zatim se provodi postupak topološke optimizacije e) Nakon završenog procesa optimizacije i dobivanja optimalne konstrukcije, moguće je prikazati tijek optimiranja, te naprezanja i deformacije. Također je moguće promjeniti pojedine parametre i nastaviti danji postupak optimiranja.

Izgled sučelja programa BESO2D1

34

3.1. Konstrukcija 1 Konstrukcijska domena nalik na most poduprta sa 4 oslonca. Dio mosta gdje bi trebala biti cesta opterećen kontinuirano.

3.1.1 Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti

Definiranje mreže konačnih elemenata: Broj konačnih elemenata: 7200 (120x60). Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja slobode po čvoru. Broj stupnjeva slobode: 7381. Razmak među čvorovima (DBN): 0,05.

35

3.1.2. Definiranje karakteristika:

¸

Značajke materijala

3.1.3. Proces optimizacije

Iteracija 10

36

Iteracija 20

Iteracija 30

Iteracija 40

37

3.1.4. Rezultat procesa optimizacije

Konačan oblik – iteracija 53

3.1.5. Deformirani oblik i naprezanja

38

3.1.6. Grafički prikaz procesa optimizacije Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju.

3.2. Konstrukcija 2 Konstrukcijska nalik na kotač opterećen silama F.

39

3.2.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti

Definiranje mreže konačnih elemenata: Broj konačnih elemenata: 8200 Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja slobode po čvoru. Broj stupnjeva slobode:9140 Razmak među čvorovima (DBN): 0,1.

3.2.2. Definiranje karakteristika

40

Značajke materijala

3.2.3. Proces optimizacije

Iteracija 10

Iteracija 20

41

Iteracija 30

3.2.4. Rezultat procesa optimizacije

Konačan oblik – iteracija 43

42

3.2.5. Deformirani oblik i naprezanja

43

3.2.6. Grafički prikaz procesa optimizacije

Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju

3.3. Konstrukcija 3 Konstrukcija zamišljena kao spremnik za tekućinu otvoren odozgora. Tekućina opterećuje kontinuirano stijenke spremnika.

44

3.3.1. Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti

Definiranje mreže konačnih elemenata: Broj konačnih elemenata: 2000. Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja slobode po čvoru. Broj stupnjeva slobode: 2122. Razmak među čvorovima (DBN): 0,05.

3.3.2. Definiranje karakteristika

45

Značajke materijala

3.3.3. Proces optimizacije

Iteracija 10

Iteracija 20

46

Iteracija 30

3.3.4. Rezultat procesa optimizacije

Konačan oblik – iteracija 34

47

3.3.5. Deformirani oblik i naprezanja

3.3.6. Grafički prikaz procesa optimizacije

Graf prikazuje konvergenciju prema riješenju

48

3.4. Konstrukcija 4 Konstrukcija nalik stepenicama, kontinuirano opterećena. U donjem dijelu na krajevima oslonjena na nepomičnim osloncima.

3.4.1.Diskretizacija konstrukcijske domene, prikaz opterećenja, rubni uvjeti

Definiranje mreže konačnih elemenata: Broj konačnih elemenata: 2450. Vrsta konačnih elemenata: pravokutni konačni elementi sa četiri čvora i dva stupnja slobode po čvoru. Broj stupnjeva slobode: 2520. Razmak među čvorovima (DBN): 0,1.

49

3.4.2. Definiranje karakteristika

Značajke materijala

50

3.4.3. Proces optimizacije

Iteracija 20

Iteracija 40

51

Iteracija 60

3.4.4. Rezultat procesa optimizacije

Konačni oblik – iteracija 72

52

3.4.5. Deformirani oblik i naprezanja

3.4.6. Grafički prikaz procesa optimizacije

Graf prikazuje konvergenciju prema rješenju

53

4. Zaključak Optimalna rješenja konstrukcija razlikuju se u ovisnosti o gustoći mreže konačnih elemenata, međutim te razlike su vrlo male. Prednost gušće mreže sa više konačnih elemenata krije se u tome što ona omogućuje preciznije i bolje krajnje rješenje, međutim kako raste broj konačnih elemenata raste i broj potrebnih iteracija, što znači da je potrebno dulje vrijeme računanja. Također se može zaključiti da manji relativni volumen konstrukcije također povećava broj potrebnih iteracija.

54

5. Popis literature   

  

D. Šćap, Optimiranje mehaničkih konstrukcija, udžbenik raspoloživ za studente. Zagreb. Alfirević, (1999), Nauka o čvrstoći II. Zagreb: Golden Marketing. X. Huang, Y.M. Xie. Evolutionary topology optimization of continuum structures, methods and applications, School of Civil, Environmental and Chemical Engineering. RMIT University, Australia Z. Tonković, D. Pustaić, H. Wolf (2005), Mehanika III. Zagreb: Golden Marketing. Program Wolfram Mathematica v.7.0. Program BESO2D.

55