Mis Notas de Clase -Cálculo Integral 13 de Septiembre de 2015

Cálculo Integral “con problemas de aplicación orientados hacia la administración y la economía”

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José F. Barros Troncoso

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Con especial cariño a mi madre Delva por su crianza, por la semilla que sembraste en mí, a Lilia mi esposa, por su apoyo, estimulo, comprensión y sacrificio, a mis hijos porque son mi fuente de inspiración, a todas aquellas personas que han creído en mi trabajo y que me han dado la oportunidad de seguir creciendo cada día y a mis estudiantes a quienes va dirigido este trabajo. Gracias José Francisco Barros Troncoso Octubre 19 de 2014

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Tabla de contenido INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................... 4 LA INTEGRAL ................................................................................................................................................... 5 ANTIDERIVADA................................................................................................................................................ 5 INTEGRAL INDEFINIDA ................................................................................................................................... 6 ECUACIONES DIFERENCIALES ........................................................................................................................ 8 Ecuaciones Diferenciales Separables ............................................................................................................... 8 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ................................................................................................................. 17 REGLA DE LA POTENCIA PARA LA INTEGRACIÓN ........................................................................................ 19 INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES EXPONENCIALES .................................................................. 28 Integrales que Involucran Funciones Exponenciales de la forma 𝒃𝒏 ............................................................. 35 INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES LOGARÍTMICAS .................................................................... 37 INTEGRACIÓN POR PARTES .......................................................................................................................... 41 INTEGRACIÓN POR TABULACIÓN ................................................................................................................. 46 FRACCIONES PARCIALES ............................................................................................................................... 52 INTEGRALES DEFINIDAS ............................................................................................................................... 58 ÁREA BAJO LA CURVA.................................................................................................................................... 65 ÁREA ENTRE CURVAS .................................................................................................................................... 70 APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA .......................... 75 Valor promedio .............................................................................................................................................. 75 Ingreso Total .................................................................................................................................................. 81 Valor Presente de un flujo continuo de ingreso ............................................................................................. 82 Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso ................................................................................................ 82 Superávit de Consumidor ............................................................................................................................... 87 Superávit del Productor ................................................................................................................................. 90 LA INTEGRAL DOBLES...................................................................................................................................... 96 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................................. 100 Web-grafía.................................................................................................................................................... 101

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INTRODUCCIÓN El presente trabajo es una compilación de mis notas de clase, fruto de la experiencia obtenida al servicio a la educación en instituciones educativas de Maicao, Riohacha (Guajira) y en Santa Marta (Universidad del magdalena, Universidad Sergio Arboleda, Corporación Unificada Nacional de Educación Superior (CUN) y en la Escuela Normal Superior San Pedro Alejandrino). La propuesta busca darle sentido a la matemática en otros contextos, en particular en la economía, que el estudiante le dé a la matemática una mirada distinta a la que tradicionalmente le atribuye y que la reconozca como una herramienta fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico del ser humano y de la sociedad. El documento no pretende plagiar la información contenida en libros especializados o contenidos obtenidos en páginas web (todos referenciados), sino dar al estudiante explicación más sencilla de los conceptos y fortalecer el desarrollo de problemas de aplicación orientados hacia su perfil profesional. El objetivo es el de exponer los conocimientos básicos del cálculo diferencial en forma sencilla, lógica, crítica y analítica utilizando herramientas modernas que faciliten el aprendizaje y poder expresarlo en diferentes situaciones, además el de solucionar problemas que permitan el desarrollo de las competencias.

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LA INTEGRAL A través de la integración para encontrar funciones de costo total, dada la información de costo marginal y costos fijos. También la podemos usar para encontrar las funciones de ingreso marginal con el fin de optimizar la ganancia a partir de la información sobre el costo marginal y el ingreso marginal y para encontrar funciones de consumo nacional con base en información acerca de la propensión marginal al consumo.

ANTIDERIVADA La integral es la operación inversa de la derivada, cuando conocemos la derivada de una función, el proceso de encontrar la función recibe el nombre de antidiferenciación. Por ejemplo, si la derivada de una función es f´(x)=2x, la función original podría ser f(x)=x 2, pero también podría ser f(x)=x2 + 1 ó f(x)=x2 – 2 en general toda antiderivada de la función f´(x) = 2x tiene la forma f(x)=x2+ c donde c es un constante Sea G una antiderivada de una función f. Entonces toda antiderivada de f debe tener la forma F(x) = G(x) + C donde C es una constante Ejercicios 41 Demuestre que f´(x) es la antiderivada de f(x): 1. 𝑓´(𝑥 ) = 4𝑥 si 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 2 + 1 2. 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 2 si 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥 3 − 2 𝑥4

1

2

3. 𝑓´(𝑥 ) = 3 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 si 𝑓(𝑥 ) = 12 + 3 𝑥 3 − 4. 𝑓´(𝑥 ) = 2𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 + 10 es 𝑓 (𝑥 ) = 1

1

5. 𝑓´(𝑥 ) = − 𝑥2 es 𝑓 (𝑥 ) = − 𝑥 6. 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥 (𝑥 2 − 3) es 𝑓 (𝑥 ) = 3

4

𝑥4 2

2

2

4

7. 𝑓´(𝑥 ) = 4 𝑥 es 𝑓(𝑥 ) = 4√𝑥 3 − 3 √ 8. 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥𝑒 𝑥 si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒 𝑥 (𝑥 − 1) 2 2 1 9. 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥𝑒 𝑥 si 𝑓 (𝑥 ) = 2 𝑒 𝑥 √(𝑥 2 +1)3

𝑓´(𝑥 ) = 𝑥√𝑥 2 + 1 si 𝑓 (𝑥 ) = 3 𝑓´(𝑥 ) = 𝐿𝑛(𝑥 ) + 1 si 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 𝑙𝑛(𝑥 ) 1 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥 −2 (𝑥 2 − 1) si 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 + 𝑥

13.

𝑓´(𝑥 ) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) si 𝑓 (𝑥 ) =

14.

𝑓´(𝑡) =

5𝑡 2 +7 𝑡 4/3

𝑥3

+ 𝑥 2 − 3𝑥

3 −1/3

si 𝑓 (𝑥 ) = 3𝑡 5/3 − 21𝑡

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2

+ 2𝑥 5

+ 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 10𝑥

(𝑥 2 −3)

10. 11. 12.

𝑥2

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INTEGRAL INDEFINIDA Reglas de Integración El símbolo ∫ - El símbolo es una S larga, se escogió debido a que una integral es el límite de una sumaindica que la operación de integración debe realizarse sobre cierta función f. Así ∫ f(x) dx = F(x) + C Indica que la integral indefinida de f es la familia de funciones dadas por F(x) + C, donde F´(x) = f(x). La función f por integrar es el integrando y C es la constante de integración. La expresión dx recuerda que la operación se efectúa respecto a x. Si la variable independiente es t, se escribe ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡.

Regla

Expresión

De una ∫ 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐 donde 𝒄 es una constante de integración Constante Ejemplo: ∫ 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 𝑥 𝑛+1

𝑛 De la ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑛+1 + 𝑐 n ≠ -1 Potencia 𝑥4 Ejemplo: ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 = 4 + 𝑐

De un ∫ 𝑘𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 múltiplo 𝑥3 constante Ejemplo: ∫ 2𝑥 2 𝑑𝑥 = 2∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 [ 3 + 𝑐] =

2x 3 +c 3

∫ [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 De la suma

∫(3x2 + 4x – 1)dx = ∫3x2 dx + ∫4x dx – ∫1 dx = =x3 + 2x2 – x + c

3x3 4x2 + 3 2

Ejercicios Calcule las integrales y verifique sus respuestas derivando ∫ 225𝑑𝑥

∫ 𝑥 4 𝑑𝑥

∫ 15𝑥 4 𝑑𝑥

∫ 𝑥 7 𝑑𝑥

∫ 8𝑥 5 𝑑𝑥

∫(3 + 𝑥 3 )𝑑𝑥

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− x+c

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∫(𝑥 4 − 9𝑥 2 + 3)𝑑𝑥

∫(𝑥 3 − 6𝑥 2 + 1)𝑑𝑥

∫(𝑥 2 + 𝑥 − 𝑥 −3 )𝑑𝑥

∫

∫

1 𝑑𝑥 3𝑥 5

∫

5 ∫(𝑥 3 − 4 + 6 )𝑑𝑥 𝑥 1 2 ∫(3𝑥 4 − 3 + 3 )𝑑𝑥 𝑥 √𝑥 5 2 2 𝑥 − √𝑥 ∫( ) 𝑑𝑥 𝑥2 ∫(1 − 16𝑥)3 𝑑𝑥

∫

7

∫(5𝑥 4 − 2𝑥 + 4)𝑑𝑥

5 𝑑𝑥 𝑥4 𝑑𝑥

∫ 2√𝑥𝑑𝑥 3

∫ 6 √𝑥 2 𝑑𝑥

3

2 √𝑥 2 3√𝑥

1 5 + √𝑥 2 ) 𝑑𝑥 𝑥2 10 ∫ (3 3√𝑥 + 6 ) 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 + √𝑥 2 ∫( ) 𝑑𝑥 𝑥 2 ∫ 𝑥 2 (𝑥 + ) 𝑑𝑥 √𝑥 ∫(

3

√𝑥

∫ (√𝑥 +

3 √𝑥

) 𝑑𝑥

𝑥4 − 1 ∫ 𝑑𝑥 𝑥2

∫(25𝑥 4 + 𝑥 2 − 12)𝑑𝑥

Ejercicios En los siguientes problemas encontrar la función original dada la derivada y las condiciones iniciales 1. 𝑓´(𝑥 ) = 3𝑥 − 4 y 𝑓 (−1) = 13/2

2. 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥 2 − 1 y 𝑓 (3) = 19/2

3. 𝑓´(𝑥 ) = −𝑥 2 + 2𝑥 y 𝑓(2) = 1

4. 𝑓´(𝑥 ) = 4𝑥 3 y 𝑓 (2) = 15 6. 𝑓´(𝑥 ) = −𝑥 2 + 4𝑥 y 𝑓 (3) = 45

5. 𝑓´(𝑥 ) = −2𝑥 3 y 𝑓 (6) = 10 7.

𝑓´(𝑥 ) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 y 𝑓(−3) = 8

8. 𝑓´(𝑥 ) = 8𝑥 3 − 3𝑥 2 y 𝑓 (2) = 8

9.

𝑓´(𝑥 ) = 5𝑥 4 − 6𝑥 2 y 𝑓(5) = 140

10. 𝑓´(𝑥 ) = 6𝑥 5 − 6𝑥 2 y 𝑓 (1) = 10

11. 𝑓´(𝑥 ) = 10 − 𝑥 + 𝑥 2 y 𝑓 (2) = −7 1 12. 𝑓´(𝑥 ) = 1 + 𝑒 𝑥 + ; 𝑓 (1) = 3 + 𝑒

13. 𝑓´(𝑥 ) =

𝑥

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4 √𝑥

y 𝑓 (4) = 10

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ECUACIONES DIFERENCIALES Es una ecuación que relaciona una función (o variable dependiente), su variable o variables (variables independientes), y sus derivadas. Si la ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria; y si contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes se llama ecuación en derivadas parciales. Se llama orden de la ecuación diferencial al orden de la derivada o derivada parcial más alta que aparece en la ecuación. Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias son Ecuación

Tipo

Orden

𝑑𝑦 = 2𝑥𝑦 2 𝑑𝑥

Ordinaria

Primer

𝑑2𝑦 𝑑𝑦 3 − 4 ( ) + 3𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥

Ordinaria

Segundo

𝜕𝑢 𝜕𝑢 +𝑦 =𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑦

Parcial

Primer

𝜕 3𝑢 𝜕2𝑢 𝜕𝑢 = − 4 𝜕𝑥 3 𝜕𝑡 2 𝜕𝑡

Parcial

Tercer

𝑥

En esta unidad nos dedicaremos solo a las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Ecuaciones Diferenciales Separables Si se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden: 𝑑𝑦 = 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 Se dice que es separable si se puede expresar: 𝑑𝑦 = 𝐹 (𝑥 )𝐺(𝑦) 𝑑𝑥

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, donde 𝑭(𝒙, 𝒚) representa el producto de dos funciones, una depende de la variable 𝒙 y la otra de la variables 𝒚 . En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: 𝑑𝑦 = 𝐹 (𝑥 )𝑑𝑥 𝐺 (𝑦 ) 𝑑𝑦 ∫ = ∫ 𝐹 (𝑥 )𝑑𝑥 𝐺 (𝑦 ) Ejercicios Resuelva cada ecuación diferencial 1.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑥

=𝑦

Separamos variables: 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 Integramos: ∫ 𝑦𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑦2

𝑥2

Resolviendo: 2 + 𝐶1 = 2 + 𝐶2 Despejando:𝑦 2 = 𝑥 2 + 𝐶 Es decir: 𝒚 = √𝒙𝟐 + 𝑪 2.

𝑑𝑦

1

𝑥 2 𝑑𝑥 + 𝑦2 = 0 𝑑𝑦

1

Despejamos la ecuación: 𝑥 2 𝑑𝑥 = − 𝑦2 𝑑𝑥

Separando variable: 𝑦 2 𝑑𝑦 = − 𝑥2 Integrando: ∫ 𝑦 2 𝑑𝑦 = ∫ − Resolviendo:

𝑦3 3

𝑑𝑥 𝑥2

1

+ 𝐶1 = 𝑥 + 𝐶2 1/3

3

Despejando: 𝑦 = (𝑥 + 𝐶) 3.

𝑦 2 𝑑𝑥 = 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Separando variables: = 2 Integrando: ∫

𝑑𝑥 𝑥

𝑥 𝑑𝑦

𝑦

= ∫ 𝑦2

1

Resolviendo: 𝐿𝑛(𝑥 ) + 𝐶1 = − 𝑦 + 𝐶2 1

Despejando: 𝑦 = − 𝐿𝑛(𝑥)+𝐶 4.

𝑑𝑦

𝑥

= 𝑦 𝑒 Separando variables: 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 Integrando: ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥

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Resolviendo: 𝑒 𝑦 + 𝐶1 = Despejando: 𝑒 𝑦 =

𝑥2 2

𝑥2 2

+ 𝐶2

+𝐶 𝑥2

Por igualación: 𝐿𝑛(𝑒)𝑦 = 𝐿𝑛 ( 2 + 𝐶) 𝑥2

Por tanto 𝑦 = 𝐿𝑛 ( 2 + 𝐶) 5.

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= √𝑥𝑦

Por propiedad de los radicales √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 𝑑𝑦 = √𝑥 √𝑦 𝑑𝑥 , despejando 𝑑𝑦 = √𝑥𝑑𝑥 √𝑦 𝑑𝑦 ∫ = ∫ √𝑥𝑑𝑥 √𝑦 1

, como 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛 ∫𝑦

−1⁄ 2 𝑑𝑦

= ∫𝑥

1⁄ 2 𝑑𝑥

, integrando 1

, dado que: 𝑐 = 𝑐2 − 𝑐1

3

𝑦 ⁄2 𝑥 ⁄2 + 𝑐1 = + 𝑐2 1⁄ 3⁄ 2 2 3

1 2𝑦 ⁄2

, despejando 1 𝑦 ⁄2

2𝑥 ⁄2 = +𝑐 3 =

𝑥

3⁄ 2

+𝑐 3 , elevando al cuadrado ambos lados de la igualdad 𝑦=(

𝑥

3⁄ 2

3

2

+ 𝑐)

Ejercicio 1 Determine 𝑓 (𝑥 ) si 𝑓´(𝑥 ) = 1 + 𝑒 𝑥 + 𝑥 ; 𝑓 (1) = 𝑒 Sabemos que 𝑓 (𝑥 ) = ∫ 𝑓´(𝑥), por tanto

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1 𝑓 (𝑥 ) = ∫ 𝑓´(𝑥 ) = ∫ (1 + 𝑒 𝑥 + ) 𝑑𝑥 𝑥 , aplicando la propiedad distributiva 𝑑𝑥 𝑓 (𝑥 ) = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 , integrando, hallamos la solución general 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 + 𝑐 , como 𝑓 (1) = 𝑒, remplazamos 𝑒 = 1 + 𝑒 + ln(1) + 𝑐 𝑒 = 1+𝑒+0+𝑐 , despejando 𝑒−𝑒−1=𝑐 , es decir −1 = 𝑐 , sustituyendo en la solución general 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 − 1 Ejercicio Resolver cada ecuación diferencial 𝑑𝑦 = 𝑥𝑦 2 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑥 − 5 = 𝑑𝑥 𝑦2

𝑑𝑦 1 − 𝑥 2 = 𝑑𝑥 𝑦2

𝑑𝑦 = 3𝑥 3 𝑦 2 𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑒𝑥𝑦3 𝑑𝑥

𝑑𝑦 + (𝑥𝑦)3 = 0 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑥 2 + 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦+1

𝑦3 − 𝑥2

𝑦 2 𝑑𝑦 = 1 + 𝑥2 𝑥 𝑑𝑥

2

𝑑𝑦 =0 𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑥 =√ 𝑑𝑥 𝑦

𝑑𝑦 4𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦 2

Ejercicio 1 Demuestre que si (𝑥 2 + 9)𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0 entonces 𝑦 = √𝑥2

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+9

+𝑐

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Problemas 1. La función costo marginal de cierta empres a un nivel de producción x es: C´(x)=5 - 2x + 3x2 dólares Si el costo de fabricar 30 unidades es de 29 050 dólares. Determine el costo de fabricar 60 unidades. 2𝑥 2 3𝑥 3 + +𝑐 𝐶(𝑥) = ∫ 𝐶´(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ (5 − 2𝑥 + 3𝑥 2 )𝑑𝑥 = 5𝑥 − 2 3 C(x)=5x-x 2 +x 3 +c Solución General Como C(x)=29 050 cuando x=30, 29 050 = 5(30) − 302 + 303 + 𝑐 = 150 – 900 + 27 000 + 𝑐 = 26 250 + 𝑐 Despejando 29 050 - 26250 = c ó c = 2800 Remplazando en la solución general C(x) = 5x - x 2 + x 3 + 2800 Solución Particular Cuando se fabrican 60 unidades x=60, remplazando en la solución particular 𝐶 (60) = 5(60) − 602 + 603 + 2 800 = 300 − 3 600 + 216 000 + 2 800 = 215 500 El costo de fabricar 60 unidades será de 215 100 dólares 2. La tasa de incremento del costo de mantenimiento en dólares para un complejo privado de locales comerciales es: M'´(x) = 90x2 + 5000, siendo x la edad del complejo en años y M(x) costo total de mantenimiento acumulado en los x años. Halle el costo del mantenimiento en 5 años 𝑀 (𝑥 ) = ∫ 𝑀´(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫(90x 2 + 5000)dx = 90

x3 + 5000x + c = 30x 3 + 5000x + c 3

Para x=0, M(x)=0 por lo tanto c=0. La solución particular es 𝑀 (𝑥 ) = 30x 3 + 5000x Para hallar el costo del mantenimiento en 5 años, hacemos x=5, remplazando 𝑀 (𝑥 ) = 30(5)3 + 5000(5) = 30(125) + 25000 = 3750 + 25000 = 28750 En 5 años el costo de mantenimiento será de 28750 dólares

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3. La razón de cambio del ingreso anual promedio actual R ( en miles de pesos) que una persona puede recibir al buscar un empleo ordinario respecto al número de años de educación t está dada por 𝑑𝑅 = 100𝑡 3/2 𝑑𝑡 , donde R=55 000 cuando t=9. Encontrar a. La función ingreso total 𝑑𝑅 𝑅=∫ = ∫ 100𝑡 3/2 𝑑𝑡 = 100 ∫ 𝑡 3/2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integrando

, la solución general

𝑡 5/2 2 ] + 𝑐 = 100 [ 𝑡 5/2 ] + 𝑐 𝑅 = 100 [ 5 5 2 𝑹 = 𝟒𝟎𝒕𝟓/𝟐 + 𝒄

, como R=55 000 cuando t=9, 55000 = 40(9)5/2 + 𝑐 = 9720 + 𝑐 , despejando 55000 − 9720 = 𝑐 , entonces 𝑐 = 45280, remplazando en la solución general, obtenemos la solución particular 𝑹 = 𝟒𝟎𝒕𝟓/𝟐 + 𝟒𝟓𝟐𝟖𝟎 b. El ingreso anual que puede recibir una persona con 5 años de estudio. Remplazamos en la solución particular 𝑡 = 5 𝑅 = 40(5)5/2 + 45280 𝑅 = 47516 Por tanto el ingreso anual que puede percibir una persona con 5 años de estudio es de 47516 miles de pesos 4. Dada la función de ingreso marginal para cierto producto 𝑅´(𝑞) = 275 − 𝑞 − 0.3𝑞2 . Como para 𝑞 = 0, 𝑅 (𝑞) = 0 determina a. La función Ingreso Total b. Calcula el ingreso para 𝑞 = 100

5. La tasa de variación del costo de cierto producto está dada por 𝑑𝐶 = 0.08𝑞2 − 1.6𝑞 + 6.5 𝑑𝑞 , donde 𝐶 es el costo total y 𝑞 las unidades producidas. Si producir 25 unidades cuesta 8000 U.M, determinar:

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a. La función costo total b. ¿Cuánto cuesta producir 100 unidades? 6. Para un artículo particular, la función de ingreso marginal es 𝑅´(𝑥 ) = 15 − 4𝑥 Si 𝑥 unidades son demandadas cuando el precio por unidad es de 𝑝 pesos: a. Determine la función ingreso total. b. Determine la ecuación de demanda. 7. Una agencia de seguros sabe que la función costo marginal por vender x seguros de gastos médicos es 𝑄´(𝑥 ) = 32𝑥 + 92 , donde 𝑥 es el número de seguros vendidos y 𝑄´(𝑥) es el costo marginal dado en pesos. a. Encontrar la función costo total, si el costo fijo es de $10000 (es decir si x=0 entonces Q(x)=10 000). b. Determinar el costo de vender 100 seguros. 8. Sea 𝑆´(𝑡) = 4 + 5𝑡 2/3 la razón de cambio de la circulación de cierta revista por t semanas, además la condición inicial es 𝑆(0) = 3000. a. Halle la función que determina la circulación de la revistas dentro de t semanas. b. Determine el número de copias que circularan en 125 semanas 9. La tasa de cambio del costo promedio de fabricar cierto artículo está dado por 48 ̅̅̅̅̅̅̅ = − + 6𝑥 𝐶´(𝑥) 𝑥2 , si el costo promedio de producir 2 artículos es de $41 a. Halle la función que determina el costo promedio. b. Determine el costo promedio de producir 100 artículos 10. El ingreso marginal de la venta de x unidades de un producto es R´(x)=12 – 0.0004x Si el ingreso por la venta de las primeras 1000 unidades es de 12 400 dólares, determine el ingreso total por la venta de 5000 unidades

11. El costo marginal de cierta empresa está dado por C´(x)= 24- 0.03x +0.006x2 Si el costo de producir 200 unidades es de $22.700, encuentre a.La función costo b.El costo de producir 500 unidades

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12. Un productor ha determinado que la función de ingreso marginal de uno de sus productos es 𝑑𝑟 = 100 − 3𝑞2 𝑑𝑞 , determine la elasticidad de la demanda para el producto cuando se demandan 5 unidades. 13. Si el ingreso marginal (en dólares por unidad) mensual por un producto es ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑅 =-0.3x + 450, ¿Cuál es el ingreso total de la producción y venta de 50 unidades? 14. Una compañía ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio por producto es 1 100 ̅̅̅̅̅̅̅ 𝑐´(𝑥) = − 2 4 𝑥 , donde x es el número de unidades y el costo en dólares. El costo promedio de producir 20 unidades es de $40. a.Encuentre la función de costo promedio del producto b.Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto 15. Los activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos, A, en miles de millones de dólares, han cambiado con una tasa que se determina mediante 𝑑𝐴 = 160.869𝑡 0.5307 𝑑𝑡 , donde t es el número de años que han pasado desde 1990. a. Si había $1 234.5 mil millones de activos patrimoniales invertidos en 1995, encuentre la función que modela la cantidad total de activos patrimoniales invertidos en fondos mutuos. b. Encuentre los activos patrimoniales invertidos en el 2000 16. El gasto nacional dedicado al cuidado de la salud, H en miles de millones de dólares, ha aumentado radicalmente desde 1960, cuando el total era de $26.7. La razón de cambio del gasto se puede modelar con

, donde t=0 en 1960.

𝑑𝐻 = −0.0042𝑡 2 + 2.1𝑡 − 8.349 𝑑𝑡

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a. Encuentre la función que modela el gasto nacional para el cuidado de la salud b. Utilice el modelo de la parte a, para pronosticar el gasto nacional dedicado al cuidado de la salud para el 2010 17. Si el ingreso marginal está dado por 𝑑𝑟 3 = 100 − √2𝑞 𝑑𝑞 2 Determine la ecuación de la demanda correspondiente 18. Si el costo marginal está dado por 𝑑𝑐 = 𝑞2 + 7𝑞 + 6 𝑑𝑞 , si producir 6 unidades cuesta 2734, determine la ecuación del costo total y el costo total para producir 7 unidades. Suponga que los costos están en dólares 19. La gerencia de una compañía ha determinado que la función de ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de relojes de viaje está dada por R´(x)=0.009x +12, donde x denota el número de unidades producidas y vendidas y R`(x) se mide en dólares por unidad. Determine la función de ingresos R(x) asociada con la producción y venta de relojes 20. La gerencia de una compañía ha determinado que la función ingreso marginal diario relacionada con la producción y venta de sus relojes está dada por

R`(x)=-0.009x + 12 , donde x representa el número de unidades producidas y vendidas y R´(x) se mide en dólares por unidad. Teniendo en cuenta que R(x)=0 si x=0 encuentre la función de ingresos asociada a la producción y venta de los relojes.

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Es utilizada cuando la integral no es posible resolverla utilizando las reglas básicas. Corresponde a la regla de la cadena de la derivación y consiste en reducir la integral mediante un cambio de variable.

Ejercicio Evaluar cada integral 1. ∫(2𝑥 + 1)7 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 2𝑥 + 1 derivando u respecto a x obtenemos , despejando 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

𝑑𝑢 𝑑𝑥

=2

remplazando en la función original 𝑑𝑢 1 1 𝑢8 𝑢8 ∫ 𝑢7 = ∫ 𝑢7 𝑑𝑢 = +𝑐 = +𝑐 2 2 2 8 16 Remplazando el valor de u obtenemos (2𝑥 + 1)8 ∫(2𝑥 + 1)7 𝑑𝑥 = +𝑐 16 2

1+ √𝑥

2. Evalué la integral ∫ 1−

√𝑥

𝑑𝑥

Le sumamos y restamos √𝑥 en el numerador 1 + √𝑥 + √𝑥 − √𝑥 ∫ 𝑑𝑥 1 − √𝑥 , operando (2√𝑥 + 1 − √𝑥) ∫ 𝑑𝑥 1 − √𝑥 𝑎+𝑏 𝑎 𝑏 , como 𝑐 = 𝑐 + 𝑐 ∫

2√𝑥 1 − √𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 1 − √𝑥 1 − √𝑥

Ahora para la primera integral 1 𝑈 = 1 − √𝑥 , despejando √𝑥 = 1 − 𝑈 , derivando 𝑑𝑈 = − 2 𝑥 𝑑𝑥 √

, despejando −2√𝑥 ∗ 𝑑𝑈 = 𝑑𝑥 y remplazando −2(1 − 𝑈)𝑑𝑈 = 𝑑𝑥 Reemplazando en la integral 2(1 − 𝑈)(−2)(1 − 𝑈) ∫ 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈 (1 − 𝑈)(1 − 𝑈) −4 ∫ 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈

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, aplicando la propiedad distributiva (1 − 𝑈 − 𝑈 + 𝑈 2 ) −4 ∫ 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈 (1 − 2𝑈 + 𝑈2 ) −4 ∫ 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈 1 2𝑈 𝑈2 −4 ∫ ( − + ) 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈 𝑈 𝑈 Simplificando 1 −4 ∫ ( − 2 + 𝑈) 𝑑𝑈 + ∫ 𝑑𝑥 𝑈 Integrando 𝑈2 −4 [𝐿𝑛(𝑈) − 2𝑈 + ] + 𝑥 + 𝐶 2 , remplazando el valor de U, 2 (1 − √𝑥) ]+𝑥+𝑐 −4 [ln(1 − √𝑥) + 2(1 − √𝑥) − 2 2

−4 ln(1 − √𝑥) − 8(1 − √𝑥) + 2(1 − √𝑥) + 𝑥 + 𝑐 Ejercicio Evalué cada integral 1

1

1. ∫ (2−5𝑡)2 𝑑𝑡

2. ∫

5. ∫ 𝑒 3𝑥+2 𝑑𝑥

6. ∫ 𝑒

8. ∫ 3

𝑡2

√𝑡 3 +8

𝑑𝑡

3𝑥 2

11. ∫ 𝑥3 −1 𝑑𝑥= 14. ∫ 6𝑥(3𝑥 2 − 5)1/2𝑑𝑥 𝑥2

17. ∫ 𝑥+1 𝑑𝑥

√5−2𝑥 5−2𝑥

𝑑𝑥

4. ∫ √3𝑥 − 5𝑑𝑥

𝑑𝑥

7. ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 +2

9. ∫ 𝑥√𝑥 2 + 1𝑑𝑥 3

12. ∫ 𝑦 2 𝑒 𝑦 𝑑𝑦

𝑥

5

10. ∫ √𝑥(2𝑥 + 𝑥 √𝑥) 𝑑𝑥 13. ∫(1 − 𝑥 )3 𝑑𝑥

15. ∫ 4𝑥(2𝑥 2 + 3)−3 𝑑𝑥

16. ∫ 2√7𝑥+5

18.

19.

Cálculo Integral

7𝑑𝑥

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19

REGLA DE LA POTENCIA PARA LA INTEGRACIÓN

∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 =

[𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 + 𝒄, 𝒏+𝟏

𝒏 ≠ −𝟏

Ejercicios 1. ∫(𝑥 2 + 1)4 . 2𝑥𝑑𝑥 𝑢(𝑥 ) = 𝑥 2 + 1 y 𝑢´(𝑥 ) = 2𝑥 (𝑥 2 + 1)5 ∫(𝑥 2 + 1)4 . 2𝑥𝑑𝑥 = +𝑐 5 (𝑥 2 + 1)5 = +𝑐 5 5(𝑥 2 + 1)4 . 2𝑥 = = (𝑥 2 + 1)4 . 2𝑥 5

Si comparamos con la definición entonces Si derivamos obtenemos

2. ∫(3𝑥 + 1)7 𝑑𝑥 (3𝑥 + 1)7 . 3 Para que tenga la forma ∫ = 𝑑𝑥 𝒏 ∫[𝒖(𝒙)] . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos 3 y dividimos por 3 1 ∫(3𝑥 + 1)7 . 3𝑑𝑥 3 (3𝑥 + 1)8 Aplicamos la fórmula 1 (3𝑥 + 1)8 = . +𝑐 = +𝑐 [𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 3 8 24 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏+𝟏 + 𝒄 Factorizando

Si derivamos obtenemos

=

(3𝑥 + 1)8 +𝑐 24 8. (3𝑥 + 1)7 24. (3𝑥 + 1)7 .3 = 24 24 = (3𝑥 + 1)7

Cálculo Integral

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3. ∫ √4𝑥 − 5𝑑𝑥 1

El ejercicio se puede expresar

∫(4𝑥 − 5)2 𝑑𝑥

1 Para que tenga la forma 2 ( ) 4𝑥 − 5 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos = ∫ . 4𝑑𝑥 4 y dividimos por 4 1 1 Factorizando = ∫(4𝑥 − 5)2 . 4𝑑𝑥 4 3 3 Aplicamos la fórmula 2 2 ( ) ( ) 1 4𝑥 − 5 4𝑥 − 5 [𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 +𝑐 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏+𝟏 + 𝒄 = 4 . 3/2 + 𝑐 = 6 3

Si derivamos

(4𝑥 − 5)2 +𝑐 6 1 1 3 (4𝑥 − 5)2 (4) 12(4𝑥 − 5)2 = = √4𝑥 − 5 2 6 12

obtenemos

1

4. ∫ (2−5𝑡)2 𝑑𝑡 El ejercicio se puede expresar

∫(2 − 5𝑡)−2 𝑑𝑡

(2 − 5𝑡)−2 Para que tenga la forma ∫ = . (−5)𝑑𝑡 𝒏 ∫[𝒖(𝒙)] . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos −5 y dividimos por -5 1 Factorizando = − ∫(2 − 5𝑡)−2 . (−5)𝑑𝑡 5 Aplicamos la fórmula 1 (2 − 5𝑡)−1 1 1 𝒏+𝟏 = − . + 𝑐 = . +𝑐 [𝒖(𝒙)] 5 −1 5 (2 − 5𝑡) ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏+𝟏 + 𝒄 1 = +𝑐 5(2 − 5𝑡) (2 − 5𝑡)−1 Si derivamos 1 +𝑐= +𝑐 5(2 − 5𝑡) 5 obtenemos −1(2 − 5𝑡)−2 (−5) = (2 − 5𝑡)−2 5 1 = (2 − 5𝑡)2

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Ejercicios. Integrar 1. ∫(𝑥 2 + 3)3 2𝑥𝑑𝑥

4. ∫(𝑥 2 + 1)−3 𝑥𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥

7. ∫ (𝑥3 −1)2 4𝑥

10.∫ (2𝑥2 +3)3 𝑑𝑥

2. ∫(3𝑥 − 𝑥 3 )2 (3 − 3𝑥 2 )𝑑𝑥

3. ∫(𝑥 2 + 5)3 𝑥𝑑𝑥

5. ∫(2𝑥 3 − 𝑥 )(𝑥 4 − 𝑥 2 )6 𝑑𝑥

6. ∫ 7𝑥 3 √𝑥 4 + 6 𝑑𝑥

𝑥 3 −1

8. ∫ (𝑥4 −4𝑥)3 𝑑𝑥 2

11.∫ 𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

(𝑥 2 −4𝑥)𝑑𝑥

9. ∫ √𝑥3 2 −6𝑥 +2 𝑥4

12.∫ 1−𝑥5 𝑑𝑥

Problemas 1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de 58 𝐶´(𝑡) = − (0 ≤ 𝑡 ≤ 10) (3𝑡 + 2)2 , donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. b. ¿Cuál será el costo de las celdas en el 2000? 58 Para hallar la expresión del costo de ∫− 𝑑𝑡 = producción debemos hallar (3𝑡 + 2)2 ∫ −58(3𝑡 + 2)−2 𝑑𝑡

Que podemos expresar

= −58 ∫(3𝑡 + 2)−2 𝑑𝑡 (3𝑡 + 2)−2 (3) Para que tenga la forma ∫ 𝑑𝑡 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y = −58 3 dividimos por 3 58 Factorizando = − ∫(3𝑡 + 2)−2 (3)𝑑𝑡 3 Aplicamos la fórmula 58 (3𝑡 + 2)−1 𝐶(𝑡) = − +𝑐 [𝒖(𝒙)]𝒏+𝟏 3 −1 + 𝒄 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏+𝟏

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58 1 58 +𝑐 = +𝑐 3 (3𝑡 + 2) 3(3𝑡 + 2) 58 La ecuación general sería 𝐶(𝑡) = +𝑐 3(3𝑡 + 2) 58 58 Como para 1990 los panales costaban 10 = + 𝑐; 10 = +𝑐 3(3(0) + 2) 6 $10 dólares. 58 Despejando 𝑐 = 10 − 6 Entonces 𝒄 = 𝟎. 𝟑𝟑 =

Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular

𝑪(𝒕) =

Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t

𝟓𝟖 + 𝟎. 𝟑𝟑 𝟑(𝟑𝒕 + 𝟐)

𝑡 = 2000 − 1990 = 10

Remplazando

𝐶 (𝑡 ) =

58 + 0.33 3(3(10) + 2)

𝐶 (𝑡 ) =

58 + 0.33 = 0.6 + 0.33 96 ≈ 0.93

Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares

2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de 𝑁´(𝑡) = 2000(1 + 0.2𝑡)−3/2 Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. ¿Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Para hallar la expresión total de ∫ 2000(1 + 0.2𝑡)−3/2 𝑑𝑡 estudiantes inscritos debemos hallar Que podemos expresar

= 2000 ∫(1 + 0.2𝑡)−3/2 𝑑𝑡

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3 Para que tenga la forma (1 + 0.2𝑡)−2 (0.2) 𝒏 ∫[𝒖(𝒙)] . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 multiplicamos y = 2000 ∫ 𝑑𝑡 0.2 dividimos por 0.2 3 2000 Factorizando ∫(1 + 0.2𝑡)−2 (0.2)𝑑𝑡 = 0.2 1 Aplicamos la fórmula (1 + 0.2𝑡)−2 𝒏+𝟏 [𝒖(𝒙)] 𝑁(𝑡) = 10000 +𝑐 ∫[𝒖(𝒙)]𝒏 . 𝒖´(𝒙)𝒅𝒙 = 𝒏+𝟏 + 𝒄 −1/2

La ecuación general sería

1

𝑁(𝑡) = −20000 (1 +

1 0.2𝑡)2

1

𝑁(𝑡) = −20000

1 0.2𝑡)2

+𝑐 +𝑐

(1 + −𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 𝑵(𝒕) = +𝒄 √𝟏 + 𝟎. 𝟐𝒕 −20000 Si la inscripción actual es de 1000 1000 = +𝑐 estudiantes √1 + 0.2(0) Despejando 𝑐 = 1000 + 2000 Entonces 𝑐 = 3000 Remplazando en la ecuación general se obtiene la ecuación particular Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos Remplazando

𝑵(𝒕) =

−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟏 + 𝟎. 𝟐𝒕

+ 𝟑𝟎𝟎𝟎

𝑡=5

𝑵(𝒕) =

𝑵(𝒕) =

−𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟏 + 𝟎. 𝟐(𝟓) −𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 √𝟐

+ 𝟑𝟎𝟎𝟎

+ 𝟑𝟎𝟎𝟎

𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟏. 𝟒𝟏 = −𝟏𝟒𝟏𝟒 + 𝟑𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟖𝟔 =−

En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes

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3. El gerente de una zapatería determina que el precio 𝑝 (dólares) por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de −300𝑥 𝑝’(𝑥 ) = 2 (𝑥 + 9)3⁄2 cuando los consumidores demandan 𝑥 (cientos) de pares. Cuando el precio es de US$ 75 por par, son demandados 400 pares (𝑥 = 4). Determine la función de demanda 𝑝(𝑥 ) (precio). ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par? Debemos hallar −300𝑥 𝑝(𝑥 ) = ∫ 𝑝´(𝑥 ) = ∫ 2 𝑑𝑥 (𝑥 + 9)3⁄2 , hacemos 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢 = 𝑥 2 + 9, derivando 𝑑𝑥 = 2𝑥, despejando 2𝑥 = 𝑑𝑥 , remplazando −300𝑥 𝑑𝑢 𝑝 (𝑥 ) = ∫ (𝑢)3⁄2 2𝑥 , simplificando 1

𝑝 (𝑥 ) =

3 −150 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢

, remplazando el valor de 𝑢: 𝑝 (𝑥 ) =

𝑢−2 300 = −150 ( + 𝐶) = 1/2 + 𝐶 1 𝑢 −2

300 (𝑥 2 +9)1/2

+ 𝐶, Solución general

, como cunado 𝑥 = 4, 𝑝 = 75, remplazando 75 =

300 + 𝐶 = 60 + 𝐶 (42 + 9)1/2

, luego 𝐶 = 15, remplazando en la solución general 300

𝑝(𝑥 ) = (𝑥2 +9)1/2 + 15, solución particular o función de demanda ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? 𝑥 = 5 , remplazando en 300 𝑝 (𝑥 ) = 2 + 15 = 66.44 (𝑥 + 9)1/2 , para demandar 500 pares de zapatos se debe vender a US$66.4 el par de zapato.

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¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? 𝑥 = 0 , remplazando en: 300 𝑝 (𝑥 ) = + 15 = 115 (9)1/2 , A un precio de US$ 115 no se demandarán zapatos. ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de US$ 90 por par? 𝑝(𝑥 ) = 90 , remplazando en: 300 90 = 2 + 15 (𝑥 + 9)1/2 , despejando: 300 75 = 2 (𝑥 + 9)1/2 (300)2 (75)2 = ((𝑥 2 + 9)1/2)2 90000 5625 = 2 𝑥 +9 90000 2 𝑥 +9= 5625 𝑥 2 = 16 − 9 = 7 𝑥 ≈ 2.64 A un precio de 90 dólares por par se demandarán aproximadamente 264 pare de zapatos. 4. El costo marginal ( en dólares) de una compañía que fabrica zapatos está dado por 𝑥 √𝑥 2 + 2500 𝐶´(𝑥 ) = 100 , en donde x es el número de pares de zapatos producidos. a. Determine la función costo b. Calcule el costo de fabricar 100 pares de zapatos 5. La función de ingreso marginal para cierto producto está dada por: 𝑑𝑟 900 = 𝑑𝑞 (2𝑞 + 3)3 Encuentre la función de la demanda si q=100

5. Dada la función de ingreso marginal de cierto producto

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𝑑𝑅 200 = 𝑑𝑞 (𝑞 + 2)2 Determine a. La función ingreso total b. El ingreso si se producen y venden 5 unidades 6. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por −30 + 30 (2𝑥 + 1)2 , donde x es el número de unidades y el ingreso se da en dólares. Encuentre el ingreso total. ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑅 =

7. El ingreso marginal de una calculadora nueva está dado por 40 000 ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑅 = 60 000 − (10 + 𝑥)2 , donde x representa cientos de calculadora y el ingreso esta dado en dólares. Encuentre la función de ingreso total de estas calculadoras. 8. La producción total de varios trabajadores o máquinas se denomina productividad física y es una función del número de máquinas y es una función del número de 𝑑𝑃

máquinas o trabajadores. Si 𝑃 = 𝑓(𝑥) es la productividad física, 𝑑𝑥 es la productividad física marginal. Si la productividad física marginal de unos albañiles es 𝑑𝑃 = 90(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥 , donde P es el número de ladrillos colocados por día y x es el número de albañiles, encuentre la productividad física de 4 albañiles. Nota P=0 cuando x=0 9.

La tasa de producción de una línea nueva de productos se determina por medio de 𝑑𝑥 400 = 200[1 + ] (𝑡 + 40)2 𝑑𝑡 , donde x es el número de artículos, y t es el número de semanas que el producto ha estado en producción. a. Suponiendo que x=0 cuando t=0 encuentre la función que determina el número total de artículos producidos como una función del tiempo.

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b. ¿Cuántos artículos se produjeron en la quinta semana? 10. Puesto que un empleado nuevo debe aprender una tarea asignada, la producción se incrementará con el tiempo. Suponga que para un empleado promedio, la tasa de desempeño está dada por 𝑑𝑁 1 = 𝑑𝑡 2√𝑡 + 1 , donde N es el número de unidades terminadas t horas después de comenzar una nueva tarea. Si terminan 2 unidades en 3 horas, ¿cuántas unidades se terminaran después de 8 horas? 11. El ingreso marginal de cierta empresa está dado por:

R´(x) =

x2 √x 3 +3600

a.Encuentre la función ingreso b.Halle el ingreso cuando se producen y venden 100 unidades

11. Suponga que la esperanza de vida de una mujer al nacer está cambiando a razón de 𝑔`(𝑡) =

5.45218 (1 + 1.09𝑡)0.9

, años por año. En este caso, t se mide en años y t=0 corresponde al inicio de 1900. Halle una expresión para 𝑔(𝑡) para la esperanza de vida (en años) de una mujer. Si dicha esperanza de vida al inicio de 1900 era de 50.02 años. ¿Cuál es la esperanza de vida de una mujer que nace en 1991?

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INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES EXPONENCIALES ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐

Ejercicios Calcule las integrales 1. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 2. ∫ 5𝑒 5𝑥 𝑑𝑥 El ejercicio lo podemos escribir

∫ 𝑒 5𝑥 (5)𝑑𝑥

Tiene la forma ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐, aplicando la fórmula

= 𝑒 5𝑥 + 𝐶

3. ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Para que quede expresado de la forma ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥, multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos

𝑒 2𝑥 (2) ∫ 𝑑𝑥 2 =

Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐

1 ∫ 𝑒 2𝑥 (2)𝑑𝑥 2 1 = 𝑒 2𝑥 + 𝐶 2

2

4. ∫ 5𝑥𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 La expresión se puede escribir

2

5 ∫ 𝑒 −𝑥 (𝑥)𝑑𝑥

Si multiplicamos y dividimos por -2 Factorizamos Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝑐

Cálculo Integral

2

𝑒 −𝑥 (−2𝑥) = 5∫ 𝑑𝑥 −2 5 2 = − ∫ 𝑒 −𝑥 (−2𝑥)𝑑𝑥 2 5 2 = − 𝑒 −𝑥 + 𝐶 2

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Ejercicios Calcule cada integral ∫ 3𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 ∫

∫ 1 000𝑒 0.1𝑥 𝑑𝑥

3 𝑑𝑥 𝑒 2𝑥

∫

𝑡2

∫ 𝑡𝑒 𝑑𝑡

∫

𝑥5 2−3𝑥 6

𝑒 𝑒 √𝑥 √𝑥

∫ 840𝑒 −0.7 𝑑𝑥 4

∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥

∫(𝑒 4𝑥 −

𝑑𝑥

3 𝑒 𝑥/2

𝑑𝑥

Problemas 1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $350.000 dólares puede modelarse por medio de 𝑑𝑉 = 8𝑒 0.05𝑡 𝑑𝑡 , donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida La expresión 𝑑𝑡 = 8𝑒 0.05𝑡 equivale a

𝑉(𝑡) = ∫ 8𝑒 0.05𝑡 𝑑𝑡

Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.05

𝑉(𝑡) = 8 ∫ 𝑒 0.05𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑉

𝑉(𝑡) = 8 ∫

𝑒 0.05𝑡 (0.05) 0.05

𝑑𝑡

8 ∫ 𝑒 0.05𝑡 (0.05)𝑑𝑡 0.05 8 0.05𝑡 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑉(𝑡) = 𝑒 +𝐶 𝑢 𝑒 + 𝑐, obtenemos la ecuación general 0.05 8 0.05(0) Para t=0 V=350000, remplazando hallamos 350000 = 𝑒 +𝐶 el valor de la constante C 0.05 350000 = 160(1) + 𝐶 350000 − 160 = 𝐶 𝐶 = 349840 8 0.05𝑡 Remplazando en la ecuación general 𝑉(𝑡) = 𝑒 + 349840 0.05 Factorizando

𝑉(𝑡) =

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Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos

30

8 0.05(10) 𝑒 0.05 + 349840 0.5 𝑉(10) = 160𝑒 + 349840 𝑉(10) = 160(1.64) + 349840 𝑉(10) = 263.79 + 349840 𝑉(10) = 350103 𝑉(10) =

En 10 años la casa costará 350103 dólares 2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es ̅̅̅̅̅ 𝑀𝑅 = 𝑅´(𝑥 ) = 6𝑒 0.01𝑥 ¿Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? La expresión 𝑅´(𝑥 ) = 6𝑒 0.01𝑥 equivale a

𝑅(𝑥 ) = ∫ 6𝑒 0.01𝑥 𝑑𝑥

Factorizando Multiplicamos y dividimos por 0.01

𝑅(𝑥 ) = 6 ∫ 𝑒 0.01𝑥 𝑑𝑥 𝑅 (𝑥 ) = 6 ∫

𝑒 0.01𝑥 (0.01) 0.01

𝑑𝑥

6 ∫ 𝑒 0.01𝑥 (0.01)𝑑𝑥 0.01 Aplicamos la fórmula ∫ 𝑒 𝑢 . 𝑢´𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑅(𝑥 ) = 600𝑒 0.01𝑥 + 𝐶 𝑒 𝑢 + 𝑐, obtenemos la ecuación general Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el 0 = 600𝑒 0.01(0) + 𝐶 valor de la constante C 0 = 600(1) + 𝐶 𝐶 = −600 Remplazando en la ecuación general 𝑅(𝑥 ) = 600𝑒 0.01𝑥 − 600 𝑅(𝑥 ) = 600(𝑒 0.01𝑥 − 1) Para hallar el ingreso por la venta de 100 𝑅(𝑥 ) = 600(𝑒 0.01(100) − 1) unidades hacemos x=100 𝑅(𝑥 ) = 600(𝑒 1 − 1) 𝑅(𝑥 ) = 600(2.71 − 1) 𝑅(𝑥 ) = 600(1.71) 𝑅(𝑥 ) = 1030.96 El ingreso por la venta de 100 unidades será de 1030.96 dólares aproximadamente Factorizando

𝑅 (𝑥 ) =

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40

3. Suponga que el ingreso marginal de un producto está dado por 𝑅´(𝑥 ) = 𝑒𝑜.01𝑥 + 10. Encuentre la función de demanda para el producto. Inicialmente hallamos la función ingreso 𝑅(𝑥 ) = ∫ 𝑅´(𝑥) Utilizando las propiedades 1  de la potenciación 𝑎𝑛 = 𝑎−𝑛 y  La integral de la suma ∫[𝑓 + 𝑔](𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 (𝑥 ) + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑅(𝑥 ) = ∫ 𝑅´(𝑥 ) = ∫ 40𝑒 −0.01𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 10 𝑑𝑥 , para la primera integral, hacemos 𝑈 = −0.01𝑥 derivando 𝑑𝑈 = −0.01 𝑑𝑥 𝑑𝑈 despejando −0.01 = 𝑑𝑥 , reemplazando 𝑅(𝑥 ) = 40 ∫ 𝑒 𝑈 𝑅 (𝑥 ) =

𝑑𝑈 + ∫ 10 𝑑𝑥 −0.01

40 ∫ 𝑒 𝑈 𝑑𝑈 + ∫ 10 𝑑𝑥 −0.01

, integrando 𝑅 (𝑥 ) = 4000𝑒 𝑈 + 10𝑥 + 𝑐 , remplazando U, obtenemos la solución general 𝑅(𝑥 ) = 4000𝑒 −0.01𝑥 + 10𝑥 + 𝑐 , ahora como 𝑅 = 0 si 𝑥 = 0 0 = 4000𝑒 −0.01(0) + 10(0) + 𝑐 , resolviendo y despejando 0 = 4000 + 𝑐 , por tanto 𝑐 = −4000 , remplazando en la solución general, obtenemos la función ingreso 𝑅(𝑥 ) = 4000𝑒 −0.01𝑥 + 10𝑥 − 4000 , sabemos que el ingreso (𝑅) es igual al producto de la cantidad demandada (𝑥) por el precio unitario (𝑝), es decir 𝑅 = 𝑝𝑥

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𝑅

, despejando hallamos la función demanda 𝑝 = 𝑥 , dividiendo la función ingreso por 𝑥 𝑝=

𝑅(𝑥 ) 4000𝑒 −0.01𝑥 + 10𝑥 − 4000 = 𝑥 𝑥

4000𝑒 −0.01𝑥 10𝑥 4000 + − 𝑥 𝑥 𝑥 , simplificando encontramos que la función demanda es: 𝑝=

𝑝=

4000 4000 + 10 − 0.01𝑥 𝑥𝑒 𝑥

4. Durante una crisis económica reciente, el porcentaje de desempleados creció a razón de 0.4𝑒 −0.1𝑡 𝑝´(𝑡) = (1 + 𝑒 −01𝑡 )2 Donde t es el tiempo en meses. Dado que t=0 había el 4% de desempleados ¿qué porcentaje estaba empleado un año después de la crisis? , debemos hallar 𝑝(𝑡) = ∫ 𝑝´(𝑡)𝑑𝑡 0.4𝑒 −0.1𝑡 𝑑𝑡 (1 + 𝑒 −01𝑡 )2 , hacemos 𝑈 = (1 + 𝑒 −01𝑡 ) derivando 𝑑𝑈 = −0.1𝑒 −0.1𝑡 𝑑𝑡 y 𝑑𝑈 , despejando −0.1𝑒−0.1 𝑡 = 𝑑𝑡 , remplazando 0.4𝑒 −0.1𝑡 𝑑𝑈 𝑝(𝑡) = ∫ 2 𝑈 −0.1𝑒 −0.1 𝑡 , simplificando 0.4 𝑑𝑈 ∫ 2 = −4 ∫ 𝑈 −2 𝑑𝑢 𝑝 (𝑡 ) = −0.1 𝑈 , integrando 𝑝(𝑡) = ∫

−4𝑢−1 +𝑐 −1 4 𝑃 (𝑡 ) = +𝑐 (1 + 𝑒 −0.1𝑡 ) 𝑃 (𝑡 ) =

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, como 𝑃(𝑡) = 4 cuando 𝑡 = 0 4=

4 (1 +

𝑒 −0.01(0) )

+𝑐

4 +𝑐 1+1 4 4= +𝑐 2 4=2+𝑐 𝑐=2

4=

, por tanto 4 +2 (1 + 𝑒 −0.1𝑡 ) , ahora un año tiene 12 meses por lo tanto 𝑡 = 12 4 𝑃 (12) = +2 (1 + 𝑒 −0.1 (12) ) 𝑃 (𝑡 ) =

𝑃 (12) = 5.07% Como se pregunta el número de empleados un año después de la crisis restamos el total de empleados al iniciar la crisis (100) menos el número de desempleados a la fecha 5.07 100 − 5.07 = 94.93 Por tanto el número de empleados un año después de la crisis será de 94.93% 5. Se invierten $p durante n años, a una tasa de interés del 10% compuesto continuamente, la tasa con que se incrementa el valor futuro es 𝑑𝑆 = 0.1𝑃𝑒 0.1𝑛 𝑑𝑛 a. ¿Qué función describe el valor futuro al cabo de n años? b. ¿En cuántos años se duplicará el valor futuro? 6. Suponga que la razón de cambio del impuesto federal per cápita de los Estado Unidos, T (en dólares), se puede modelar mediante 𝑑𝑇 = 16.984𝑒 0.06891𝑡 𝑑𝑡 , donde t es el número de años transcurridos desde 1950. a. Teniendo en cuenta que en 1975 el impuesto per cápita fue de $1 375.84, encuentre la función que modela el impuesto federal per cápita en los Estados Unidos.

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b. Encuentre e intérprete T(60) y T´(60). 7. Una tienda encuentra que sus ventas disminuyen después de terminar una campaña publicitaria, con sus ventas diarias en el periodo bajando con la tasa 𝑆´(𝑡) = −147.78𝑒 −0.2𝑡 , 0 ≤ t ≤ 100 , donde t es el número de días que han pasado desde que la campaña termino. Suponga que S=7 389 unidades cuando t=0. a. Encuentre la función que describe el número de ventas diarias t días después de culminar la campaña b. Encuentre el número total de ventas 10 días después de finalizar la campaña 8. Suponga que la razón de cambio del ingreso personal total, I en Estados Unidos (en miles de millones de dólares se puede modelar mediante 𝑑𝐼 = 32.324𝑒 0.0763𝑡 𝑑𝑡 , donde t es el número de años que han pasado desde 1960 a. Teniendo en cuenta que en 1960 el ingreso personal fue de $409.4 encuentre la función que modela el ingreso personal total. b. Encuentre e intérprete 𝑇(60) y 𝑇´(60). 9. Después que una persona ha estado trabajando por t horas con una máquina en particular habrá producido x unidades, en donde la tasa de rendimiento (número de unidades por hora) está dado por

dx = 10 (1-e-t/50) dt

Si t=0 entonces x=0, calcule el rendimiento en las primeras 50 horas 10.Una industria textil tiene un costo marginal (en dólares) por rollo de una tela 2 particular dado por 𝐶´(𝑥 ) = 20𝑥𝑒 0.01𝑥 , donde x es el número de rollos producidos de la tela. Si los costos fijos ascienden a $1500 determine la función costo y calcule el costo de producir 100 rollos de tela.

11. Durante el primer año de lanzamiento al mercado se vendieron dos mil pares de bocinas del sistema de sonido modelo F de Acrosonic. Desde entonces, las ventas de estos sistemas se han incrementado a razón de 𝑓´(𝑡) = 2000(3 − 2𝑒 −𝑡 ) , unidades por año

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Donde t denota los años que estos sistemas han estado en el mercado. ¿Cuántos sistemas se vendieron durante los primeros 5 años posteriores a la introducción al mercado? Integrales que Involucran Funciones Exponenciales de la forma 𝒃𝒏 Para integrar una función de la forma 𝑏𝑛 , donde 𝑏 ∈ 𝑅, la expresamos de la forma 𝑢 𝑒 𝐿𝑛( 𝑏) = 𝑒 𝑢𝐿𝑛(𝑏) y la integramos de la forma ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢. Ejercicio Integrar 1. ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 𝑢 Expresamos de la forma 𝑒 𝐿𝑛( 𝑏) = 𝑒 𝑢𝐿𝑛(𝑏) 𝑥

∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝐿𝑛(3) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥𝐿𝑛(3) 𝑑𝑥 , hacemos 𝑢 = 𝑥𝐿𝑛(3) derivando

𝑑𝑢 𝑑𝑥

= 𝐿𝑛(3), despejando

𝑑𝑢 𝐿𝑛(3)

= 𝑑𝑥

, remplazando ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢

𝑑𝑢 1 1 (𝑒 𝑢 + 𝐶 ) ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = = 𝐿𝑛(3) 𝐿𝑛(3) 𝐿𝑛(3)

, remplazando 𝑢:

𝑥

𝑒 𝑥𝐿𝑛(3) 𝑒 𝐿𝑛(3) ∫ 3 𝑑𝑥 = +𝐶 = +𝐶 𝐿𝑛(3) 𝐿𝑛(3) 𝑥

∫ 3𝑥 𝑑𝑥 =

3𝑥 +𝐶 𝐿𝑛(3)

2. ∫ 51−2𝑥 𝑑𝑥 𝑢 Expresamos de la forma 𝑒 𝐿𝑛( 𝑏) = 𝑒 𝑢𝐿𝑛(𝑏) ∫ 51−2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝐿𝑛(5)

1−2𝑥

𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 (1−2𝑥)𝐿𝑛(5)𝑑𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑢

, hacemos 𝑢 = (1 − 2𝑥)𝐿𝑛(5) derivando 𝑑𝑥 = −2𝐿𝑛(5), despejando −2𝐿𝑛(5) = 𝑑𝑥 , remplazando ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢

𝑑𝑢 1 1 (𝑒 𝑢 + 𝐶 ) ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = = −2𝐿𝑛(5) −2𝐿𝑛(5) −2𝐿𝑛(5)

, remplazando 𝑢:

Cálculo Integral

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(1−2𝑥)

𝑒 (1−2𝑥)𝐿𝑛(5) 𝑒 𝐿𝑛(5) ∫ 3 𝑑𝑥 = +𝐶 = +𝐶 −2𝐿𝑛(5) −2𝐿𝑛(5) 𝑥

51−2𝑥 ∫ 3 𝑑𝑥 = +𝐶 −2𝐿𝑛(5) 𝑥

Problema 1. La tasa de variación del volumen de ventas 𝑣 de un detergente disminuye 𝑡 meses después de culminar una campaña publicitaria a razón de 𝑑𝑣 = −750𝐿𝑛(1.3) × 1.3−𝑡 𝑑𝑡 Si al mes de culminar la campaña publicitaria el volumen de ventas fue de 577 unidades, ¿cuál será el volumen de ventas 6 meses después de culminar la campaña publicitaria?

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INTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES LOGARÍTMICAS

∫

𝑑𝑢 = 𝑙𝑛(𝑢) + 𝑐 𝑢

Ejercicios Calcule cada integral 8

1. ∫ 𝑑𝑥 8𝑥 Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de u´ la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma ∫ u du u´

aplicando la formula ∫ u du = 𝑙𝑛(u) + c obtenemos 8 ∫ 𝑑𝑥 = ln(8𝑥 ) + 𝐶 8𝑥 1 2. ∫ 4𝑥+9 𝑑𝑥 1(4) 𝑑𝑥 (4)(4𝑥 + 9) 1 4 Factorizamos ∫ 𝑑𝑥 4 4𝑥 + 9 u´ 1 El integrando tiene la forma ∫ u du = 𝑙𝑛(u) + c, ln(4𝑥 + 9) + 𝐶 4 resolvemos Multiplicamos y dividimos el integrando por 4

∫

𝑥

3. ∫ 2 𝑑𝑥 3𝑥 +1 Observamos que la derivada del denominador del integrando (3𝑥 2 + 1) es 6𝑥, por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6

∫

6𝑥 𝑑𝑥 (6)(3𝑥 2 + 1)

1 6𝑥 ∫ 𝑑𝑥 6 (3𝑥 2 + 1) u´ 1 El integrando tiene la forma ∫ u du = 𝑙𝑛(u) + c, ln(3𝑥 2 + 1) + 𝐶 6 resolvemos Factorizamos el 6 del denominador

Cálculo Integral

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Ejercicios Calcule cada integral 1

1. ∫ 𝑥 𝑑𝑥 4.

𝑑𝑥

∫ 2𝑥+3 3𝑥 2

7. ∫ 𝑥3 +4 𝑑𝑥

2

2. ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥

𝑥2

3. ∫ 𝑥3 +8 𝑑𝑥 2𝑥

5. ∫ 3𝑥2 +1 𝑑𝑥

6. ∫ 𝑥2 +1 𝑑𝑥

𝑑𝑧

9. ∫ 𝑥3 +2𝑥 𝑑𝑥

8. ∫ 4𝑧+1

3𝑥 2 −2

Problemas 1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por 3 𝑥´(𝑝) = − 2(𝑝 + 1) , si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar

𝑥(𝑝) = ∫ −

3 𝑑𝑝 2(𝑝 + 1)

3 1 𝑥 (𝑝 ) = − ∫ 𝑑𝑝 2 (𝑝 + 1)

Factorizamos

3 u´ El integrando tiene la forma ∫ u du = 𝑙𝑛(u) + 𝑥 (𝑝) = − 2 ln(𝑝 + 1) + 𝐶 c, resolvemos y obtenemos la ecuación general 3 Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades 27 = − ln(7 + 1) + 𝐶 2 27 = −3.11 + 𝐶 𝐶 = 30.11 Remplazando en la ecuación general Para p=14 dólares

Cálculo Integral

3 𝑥 (𝑝) = − ln(𝑝 + 1) + 30.11 2 3 𝑥 (14) = − ln(14 + 1) 2 + 30.11 𝑥 (14) = 26

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Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades

2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por 400 𝐶´(𝑥 ) = 2𝑥 + 1 , donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares ¿cuál será el costo de producir 50 unidades? 400 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 1 Factorizamos 𝐶 (𝑥 ) = 400 ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 + 1 u´ El integrando tiene la forma ∫ du = 𝐶 (𝑥 ) = 400 ln(2𝑥 + 1) + 𝐶 u 𝑙𝑛(u) + c, resolvemos y obtenemos la ecuación general 1980 = 400 ln(2(5) + 1) + 𝐶 Como C(5)=1980 1980 = 400 ln(2(5) + 1) + 𝐶 1980 = 959 + 𝐶 𝐶 = 1021 Remplazando en la ecuación general 𝐶 (𝑥 ) = 400 ln(2𝑥 + 1) + 1021 𝐶 (𝑥 ) = 400 ln(2(50) + 1) Para x=50 unidades + 1021 𝐶 (𝑥 ) = 2867 Producir 50 unidades costaría 2867 dólares Debemos hallar

𝐶 (𝑥 ) = ∫

3. La función costo marginal para el producto de un fabricante está dada por 𝑑𝑐 100 = 10 − 𝑑𝑞 𝑞 + 10 , donde c es el costo marginal en dólares cuando se producen q unidades. Cuando se producen 100 unidades el costo promedio es de 50 dólares por unidad. Determine el costo de producir 200 unidades 4. Una compañía encuentra que la tasa de cambio de los gastos de publicidad respecto a las unidades vendidas semanalmente está dado por

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200

𝐴´(𝑥 ) = 500−𝑥 , dólares Si cuando no hay inversión en publicidad se venden 100 unidades. Calcule los gastos de publicidad si se quiere vender 200 unidades 5. La tasa de cambio de la demanda respecto al precio de cierto producto está dada por 3 𝑥´ = − 2(𝑝 + 1) Si cuando el precio p=2 dólares se demandan 28 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 4 dólares. 6. La tasa de cambio del precio (en miles de pesos) respecto a las unidades ofertadas está dada por 150 𝑝´ = 3𝑥 + 1 Si cuando se venden 30 unidades el precio es de 235 mil pesos, calcule el precio si se venden 40 unidades

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INTEGRACIÓN POR PARTES Si la integración de una función no es posible encontrarla por alguna de las fórmulas conocidas, es posible que se pueda integrar utilizando el método conocido como integración por partes Este método tiene como base la integración de la fórmula para la derivada de un producto de dos funciones. Así 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑑𝑢𝑣 + 𝑢𝑑𝑣 𝑢𝑑𝑣 = 𝑑 (𝑢𝑣 ) − 𝑑𝑢𝑣 Integrando ∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫(𝑑(𝑢𝑣) − 𝑣𝑑𝑢) ∫ 𝑢𝑑𝑣 = ∫ 𝑑(𝑢𝑣 ) − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

Para aplicar la fórmula en la práctica, se separa el integrando en dos partes; una de ellas se iguala a 𝑢 y la otra, junto con 𝑑𝑥 a 𝑑𝑣. Por eso se llama integración por partes. Es conveniente considerar los dos criterios siguientes. a. La parte que se iguala a 𝑑𝑣 debe ser fácilmente integrable. b. La ∫ 𝑣𝑑𝑢 no debe de ser más complicada que ∫ 𝑢𝑑𝑣 Luego se aplica la fórmula de integración por partes. Este proceso convierte el integrando original - que no se puede integrar - en un integrando que si se puede integrar. Para escoger en orden el “𝑢” y “𝑑𝑣” se utiliza una técnica denominada ILATE, acrónimo que resume los nombres de las funciones que podemos encontrar. I: inversas (arctan(x), arcsec(x)…etc.) L: logarítmicas (ln(x)) A: algebraicas (polinomios de grado n: en suma, multiplicación y división) T: trigonométricas (sen(x), cos(x), tan(x), csc(x) ,..etc) E: exponenciales (𝑒 𝑥 )

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Para seleccionar la función 𝑢, se clasifican las funciones en las siguientes categorías ILATE la que aparece primero de izquierda a derecha va ser 𝑢 y lo que sobra será 𝑑𝑣

Ejercicio Integrar 1. ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I

L 𝐿𝑛(𝑥)

A 𝑥

T

E

Como la primera función es 𝐿𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 1

Entonces 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑣 = ∫ 𝑥𝑑𝑥 = Aplicando la formula

𝑥2 2

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑥2 𝑥2 1 )−∫ 𝑑𝑥 2 2 𝑥 𝑥 2 𝐿𝑛(𝑥 ) 1 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 2 2 𝑥 2 𝐿𝑛(𝑥 ) 1 𝑥 2 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = − [ ]+𝐶 2 2 2 2 ( ) 𝑥 𝐿𝑛 𝑥 𝑥2 ∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = − +𝐶 2 4

∫ 𝑥𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥 ) (

2. ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A 𝑥

T

E 𝑒

2𝑥

Como la primera función es 𝑥 hacemos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = Aplicando la formula

𝑒 2𝑥 2

∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 𝑒 2𝑥 𝑒 2𝑥 )−∫ 𝑑𝑥 2 2 𝑥𝑒 2𝑥 1 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 2 2

∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 (

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𝑥𝑒 2𝑥 1 𝑒 2𝑥 ∫ 𝑥𝑒 𝑑𝑥 = − ( )+𝐶 2 2 2 2𝑥 𝑥𝑒 𝑒 2𝑥 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = − +𝐶 2 4 2𝑥

3. ∫ 𝑥 √1 + 𝑥𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A 𝑥

T

E √1 + 𝑥

Como la primera función es 𝑥 hacemos 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = √1 + 𝑥𝑑𝑥 2 Entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 = 3 (1 + 𝑥 )3/2 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 2 2 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ( (1 + 𝑥 )3/2 ) − ∫ (1 + 𝑥 )3/2 𝑑𝑥 3 3 2𝑥 (1 + 𝑥 )3/2 2 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 = − ∫(1 + 𝑥 )3/2 𝑑𝑥 3 3 2𝑥 (1 + 𝑥 )3/2 2 2 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 = − [ (1 + 𝑥 )5/2 ] + 𝐶 3 3 5 3/2 ( ) 2𝑥 1 + 𝑥 4 ∫ 𝑥√1 + 𝑥𝑑𝑥 = − (1 + 𝑥 )5/2 + 𝐶 3 15 4. ∫ 𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I L A ( ) 𝐿𝑛 𝑥

T

E

Como la primera función es 𝐿𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 1 Entonces 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑥 Aplicando la formula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 1 ∫ 𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥)(𝑥) − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 ∫ 𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥𝐿𝑛(𝑥) − ∫ 𝑑𝑥

Cálculo Integral

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∫ 𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑥𝐿𝑛(𝑥 ) − 𝑥 + 𝐶 5. ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑒 𝑥 remplazando en la fórmula ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶 6. ∫ ln(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑙𝑛(𝑥 2 ) 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 remplazando en la fórmula

entonces

2𝑥

2

𝑑𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥

y

𝑣=𝑥

2 ∫ ln(𝑥 2 ) 𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥 2 ) − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥 2 ) − ∫ 2𝑑𝑥 = 𝑥ln(𝑥 2 ) − 2𝑥 + 𝐶 𝑥 7. ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 1 Hacemos 𝑢 = 𝑥 2 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 y 𝑣 = 2 𝑒 2𝑥 remplazando en la fórmula 1 1 1 ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑥𝑑𝑥 2 2 2 Para desarrollar la integral, integramos por parte, hacemos u=x y dv=e2xdx 1 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑣 = 2 𝑒 2𝑥 remplazando ∫ 𝑥 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 =

1 2 2𝑥 𝑥 𝑒 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑥𝑑𝑥 2 1 1 1 1 1 1 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 2𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 + 𝑒 2𝑥 + 𝐶 2 2 2 2 2 4 1 2𝑥 = 𝑒 (2𝑥 2 − 2𝑥 + 1) + 𝐶 4

8. ∫ 𝑥 3 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 Hacemos 𝑢 = 𝑥 2 entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑦 𝑑𝑣 = 𝑥(𝑥 2 + 1)1/2 dx luego: 1 𝑣 = (𝑥 2 + 1)3/2 3 , remplazando

Cálculo Integral

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∫ 𝑥 3 √𝑥 2 + 1 𝑑 3 1 2 2 𝑥 (𝑥 + 1)2 3 3 1 − ∫ (𝑥 2 + 1)2 2𝑥𝑑𝑥 3 3 3 1 2 2 1 = 𝑥 (𝑥 + 1)2 − ∫(𝑥 2 + 1)2 2𝑥𝑑𝑥 = 3 3 1 2 2 2 𝑥 (𝑥 + 1)3/2 − (𝑥 2 + 1)5/2 + 𝐶 3 15

=

4

9. ∫2 √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I

L 𝑙𝑛(𝑥)

A

T

E

√𝑥

Como la primera función es 𝑙𝑛(𝑥) hacemos 𝑢 = 𝐿𝑛(𝑥) y 𝑑𝑣 = √𝑥𝑑𝑥 1 2 3 , por tanto 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 y 𝑣 = 3 𝑥 ⁄2 Remplazamos en la fórmula de integración por parte ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 4 2 3 2 3 1 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = ln(𝑥) ( 𝑥 ⁄2 ) − ∫ ( 𝑥 ⁄2 ) 𝑑𝑥 3 3 𝑥 2 , simplificando 4 2 3 2 2 3 2 2 4 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ⁄2ln(𝑥) − ∫ 𝑥 1/2 𝑑𝑥 = [ 𝑥 ⁄2 ln(𝑥) − ( 𝑥 3/2 )] 2 3 3 3 3 3 2 , remplazando 4 2 3 4 2 4 4 2 3 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = [ 𝑥 ⁄2ln(𝑥) − 𝑥 3/2 ] = 𝑥 ⁄2 [ln(𝑥) − ] 2 3 3 9 3 2 2 4 2 2 2 2 3 3 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = { (4) ⁄2 [ln(4) − ]} − { (2) ⁄2 [ln(2) − ]} 3 3 3 3 2 4

2 2 2 2 3 3 ∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = { (4) ⁄2 [ln(4) − ]} − { (2) ⁄2 [ln(2) − ]} 3 3 3 3 2 4

∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 3.83 − 0.049 = 3.78 2

, en conclusión 4

∫ √𝑥𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 = 3.78 2

Cálculo Integral

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10. ∫ 𝑥 √𝑥 + 2𝑑𝑥 13. ∫

3𝑥

𝑑𝑥 4−𝑥

√

16. ∫ 𝐿𝑛(𝑥 2 + 4)𝑑𝑥 3𝑥 3

1 𝑦

22. ∫0

𝑒 2𝑦

𝑥

11. ∫ 3𝑥 √2𝑥 + 3𝑑𝑥

12. ∫ (5𝑥+2)3 𝑑𝑥

14. ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

15. ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

17. ∫ 𝑥 2 𝐿𝑛(𝑥 )𝑑𝑥

18. ∫

2

3

19. ∫ √4−𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑦

46

𝐿𝑛(𝑥) 𝑥2

𝑑𝑥

𝑟3

20. ∫ √𝑥 𝐿𝑛(𝑥 5 )𝑑𝑥

21. ∫0

23. ∫ 𝑥𝑒 −4𝑥 𝑑𝑥

24. ∫(𝑥 2 − 3𝑥 + 2)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

1

√4+𝑟 2

𝑑𝑟

INTEGRACIÓN POR TABULACIÓN En algunos casos las integrales de productos de polinomios con funciones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas) conllevan cálculos demasiado laboriosos al aplicar la fórmula de integración por partes varias veces. En tales situaciones se utiliza una técnica denominada integración tabular, que consiste en: Derivar las funciones polinómicas hasta llegar a cero e integrar las trascendentes tantas veces como se derivó la otra función. Colocando las derivadas e integrales correspondientes una al frente de la otra, luego conectamos la primera derivada con la segunda integral y le ubicamos los signos más (+) y el signo (-) intercalado, luego multiplicamos la derivada con le integral correspondiente y se le asigna el signo que le corresponde, al final se le agrega la constante de integración. Para verificar se deriva. Este método funcionas bien con las funciones exponenciales, hiperbólicas, senos y cosenos. Ejercicio Integrar 1. ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Clasificamos las funciones en el acrónimo I

L

A 𝑥2

T

E 𝑒𝑥

Como la primera función es 𝑥 2 la función a derivar es 𝑥 2 , por tanto la función a integrar será 𝑒 𝑥 . Hacemos una tabla con las derivadas de 𝑥 2 y al frente colocamos las integrales de 𝑒 𝑥

Cálculo Integral

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Las derivadas de la función 𝑥 2 2𝑥 2 0

+ --

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Las integrales de 𝑒 𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥

Relacionamos las derivadas con las integrales partiendo de la primera derivada y segunda integral, le colocamos signos intercalados partiendo del +, luego se multiplican la derivada con la integral relacionada ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑒 𝑥 + 𝐶 2. 3. 4. 5. 6. 7.

∫ 𝑡 2 𝑒 4𝑡 𝑑𝑡 2 ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑡 4 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 ∫(𝑥 2 − 5𝑥 )𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 (2𝑥 4 − 8𝑥 3 )𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 ∫(𝑥 2 − 3𝑥 + 2)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑥2

8. ∫ ( 2 + 𝑥) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 Problemas 1. Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado a una tasa de S´(x) = 4 000te-0.2t juegos por semana, en donde t es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como una función de t. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas? Debemos hallar 𝑆(𝑥 ) = ∫ 4000𝑡𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 𝑆(𝑥 ) = 4000 ∫ 𝑡𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 1

Hacemos 𝑢 = 𝑡 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 y 𝑑𝑣 = 𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 entonces 𝑣 = − 0.2 𝑒 −0.2𝑡 + 𝐶, aplicando la formula de integración por parte ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 1 −0.2𝑡 1 −0.2𝑡 )− ∫− 𝑆(𝑥 ) = 4000 ∫ 𝑡𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡 = 4000[(𝑡) (− 𝑒 𝑒 𝑑𝑡 0.2 0.2 1 1 𝑆(𝑥 ) = 4000[− 𝑡𝑒 −0.2𝑡 + ∫ 𝑒 −0.2𝑡 𝑑𝑡] 0.2

0.2

Cálculo Integral

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𝑆(𝑥 ) = 4000[−

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48

1 1 1 −0.2𝑡 𝑡𝑒 −0.2𝑡 + (− 𝑒 + 𝐶)] 0.2 0.2 0.2

La ecuación general es 1

𝑆(𝑥 ) = 4000[− 0.2 𝑡𝑒 −0.2𝑡 − 25𝑒 −0.2𝑡 + 𝐶] Para S(0)=0 0 = 4000[−

1 (0)𝑒 −0.2(0) − 25𝑒 −0.2(0) + 𝐶)] = 4000(−25) + 𝐶 0.2 = −100000 + 𝐶

𝐶 = 100000 Remplazando en la ecuación general, se obtiene la ecuación particular 1 𝑆(𝑥 ) = 4000[− 0.2 𝑡𝑒 −0.2𝑡 − 25𝑒 −0.2𝑡 + 100000] Para saber cuántos juegos se venderán durante las primeras 4 semanas hacemos t=4 1 𝑆(𝑥 ) = 4000[− (4)𝑒 −0.2(4) − 25𝑒 −0.2(4) + 100000] 0.2 𝑆(𝑥 ) = 399 919 147.1 Las ventas totales durante las primeras cuatro semanas será de 399 919 147 juegos 2. Suponga que el valor del petróleo producido por una pieza de un equipo de extracción se considera un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual (en dólares por año) en el momento t, en años, dado por f(t)=300 000 – 2500t, y el dinero crece 8% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente de la pieza para los próximos 2 años. 𝑘

La fórmula del valor presente es ∫0 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 donde 𝑘 = 2 y 𝑟 = 0.08 remplazando 2

2

∫ (300000 − 2500𝑡)𝑒

−0.08𝑡

𝑑𝑡 = ∫ 300000𝑒

0

2 −0.08𝑡

𝑑𝑡 − ∫ 2500𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡

0

2

2

= ∫0 300000𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 − 2500 ∫0 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 (1) 2

Resolvemos la integral ∫0 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 integrando por parte.

Cálculo Integral

0

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49

1

Hacemos 𝑢 = 𝑡 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 y 𝑑𝑣 = 𝑒 −0.08𝑡 entonces 𝑣 = − 0.08 𝑒 −0.08𝑡 Aplicando la fórmula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 2

∫ 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 (− 0 2

∫ 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = − 0 2

∫ 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = − 0

1 −0.08𝑡 1 −0.08𝑡 )+∫ 𝑒 𝑒 𝑑𝑡 0.08 0.08

1 1 ∫ 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 𝑡𝑒 −0.08𝑡 + 0.08 0.08 1 1 ∫ 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 𝑡𝑒 −0.08𝑡 + 0.08 0.08

2

1

1

1

Integrando ∫0 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = − 0.08 𝑡𝑒 −0.08𝑡 + 0.08 (− 0.08) 𝑒 −0.08𝑡 2

∫ 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = [− 0

= [−

1 2 𝑡𝑒 −0.08𝑡 − 156.25𝑒 −0.08𝑡 ] | | 0 0.08

1 (2)𝑒 −0.08(2) − 156.25𝑒 −0.08(2) ] 0.08 1 − [− (0)𝑒 −0.08(0) − 156.25𝑒 −0.08(0) ] 0.08 𝟐

= −154.45 − (−156.25) = 1.8 entonces ∫𝟎 𝒕 𝒆−𝟎.𝟎𝟖𝒕 𝒅𝒕 = 𝟏. 𝟖 Integramos 2

300000 −0.08𝑡 2 (𝑒 )| | 0 0.08 −0.08(2) −0.08(0) = −3750000(𝑒 −𝑒 )

∫ 300000𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = − 0

2

∫ 300000𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = −3750000(𝑒 −0.08(2) − 𝑒 −0.08(0) ) = −574460.79 0

Remplazando en (1) 2

2

= ∫ 300000𝑒

−0.08𝑡

𝑑𝑡 − 2500 ∫ 𝑡 𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 = −574460.79 − 2500(1.8)

0

0

= −558960.79

Cálculo Integral

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50

3. Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por 5000ln(𝑥 + 20) 𝐶´(𝑥 ) = (𝑥 + 20)2 , donde 𝑥 es el nivel de producción. Calcule el costo de producción de las primeras 100 unidades Inicialmente hallamos la función costo 100 100 5000ln(𝑥 + 20) 𝐶 (𝑥 ) = ∫ 𝐶´(𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 20)2 1 1 , sacamos al 5000 de la integral por ser un múltiplo constante, la integral queda 100 100 ln(𝑥 + 20) 𝐶 (𝑥 ) = ∫ 𝐶´(𝑥 )𝑑𝑥 = 5000 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 20)2 1 1 1 , hacemos 𝑢 = ln(𝑥 + 20), por tanto 𝑑𝑢 = 𝑥+20 𝑑𝑥, hacemos 𝑑𝑣 = (𝑥 + 20)−2 luego 1

𝑣 = − 𝑥+20 , aplicando la fórmula ∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 100

ln(𝑥 + 20) 𝑑𝑥 (𝑥 + 20)2 1 1 1 1 ] − ∫ [− ][ 𝐶 (𝑥 ) = 5000 {ln(𝑥 + 20) [− 𝑑𝑥]} 𝑥 + 20 𝑥 + 20 𝑥 + 20 ln(𝑥 + 20) 1 𝐶 (𝑥 ) = 5000 (− +∫ 𝑑𝑥) (𝑥 + 20)2 𝑥 + 20 ln(𝑥 + 20) 1 100 ] 𝐶 (𝑥 ) = 5000 [− − = 5000(−0.04 − (−0.19)) 𝑥 + 20 𝑥 + 20 1 𝐶 (𝑥 ) = 5000(0.14) = 721.83 𝐶 (𝑥 ) = 5000 ∫

El costo de producción de las primeras 100 unidades es de 721.83 U.M.

4. El ingreso marginal de una empresa por la producción de unidades de uno de sus productos es 𝑅´(𝑥 ) = 200𝑒 −0.05𝑥 − 10𝑥𝑒 0.05𝑥 , dólares. Determine el ingreso total si se producen de 10 a 20 unidades 5. Si la función oferta para 𝑥 unidades de una mercancía es 𝑝 = 30 + 50 𝑙𝑛(2𝑥 + 1)2 pesos ¿cuál es el superávit del productor en 𝑥 = 30?

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51

6. Suponga que se puede considerar la producción de una máquina como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por 𝑓(𝑡) = 10 000 – 500𝑡 miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente encuentre el valor presente de la máquina para los próximos 5 años. 7. Suponga que la producción de una máquina que se utiliza para extraer carbón se considera como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el momento t dada por 𝑓(𝑡) = 280 000 − 14 000𝑡 miles de pesos por año. Si el dinero crece a una tasa de 7% compuesto continuamente, encuentre el valor presente de esta máquina los próximos 8 años. 8. Suponga que el ingreso de una empresa de acceso a Internet es un flujo continuo de ingreso con una tasa anual dada por 𝑓(𝑡) = 100𝑡𝑒 −0.1𝑡 , en millones de pesos por año. Encuentre el ingreso total durante los próximos 10 años. 9. Suponga que la curva de Lorenz para la distribución de ingresos de cierto país está dada por 𝑦 = 𝑥𝑒 (𝑥−1) Encuentre el coeficiente de Gini para el ingreso

10. Evalúa el ingreso total obtenido en 8 años, si la razón de ingresos en dólares por año es 𝑓 (𝑡) = 600𝑡 √1 + 3𝑡 11. La tasa de variación del ingreso de cierto producto está dada por 𝑅´(𝑥 ) = 𝑥√49 − 6𝑥 Calcular el ingreso si se producen y venden 5 unidades

Cálculo Integral

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52

FRACCIONES PARCIALES Toda función racional se puede integrar en términos de funciones elementales. Una función racional es de la forma 𝑃(𝑥) 𝑅 (𝑥 ) = 𝑄(𝑥) , donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son polinomios. El método de fracciones algebraicas es una técnica que permite descomponer a 𝑅(𝑥 ) en una suma de términos: 𝑃(𝑥) 𝑅 (𝑥 ) = = 𝑝(𝑥 ) + 𝐹1 (𝑥 ) + 𝐹2 (𝑥 ) + ⋯ + 𝐹𝑘 (𝑥 ) 𝑄(𝑥) , donde p(x) es un polinomio y las 𝐹𝑖 (𝑥) es una fracción que puede integrarse con poca dificultad. 𝑃(𝑥)

Se dice que una función racional 𝑅(𝑥 ) = 𝑄(𝑥) es una fracción propia, si el grado del polinomio 𝑃(𝑥) es menor que el grado del polinomio 𝑄(𝑥). En caso contrario, es decir, si el grado de 𝑃(𝑥) es mayor o igual al de 𝑄(𝑥), la fracción se llama impropia. El primer paso consiste en determinar si la fracción es propia o impropia. Si 𝑅(𝑥) es impropia, la solución puede encontrarse mediante una división de 𝑃(𝑥) entre 𝑄(𝑥), Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma de un polinomio más una fracción propia. En el caso de que la fracción sea impropia la forma de descomposición de la fracción se realiza dependiendo de 𝑄(𝑥), así Caso 1 Si 𝑄(𝑥) es un producto de factores lineales distintos, es decir que lo podemos escribir 𝑄(𝑥) = (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 )(𝑎2 𝑥 + 𝑏2 ) · · · (𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 ) , en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑘 tales que 𝑃(𝑥) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 = + + ⋯+ 𝑄(𝑥) 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘

Cálculo Integral

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53

Ejercicio Integrar 2𝑥 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos 2𝑥 𝐴 𝐵 = + (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥 − 3 𝑥 + 2 Operando el término de la derecha de la igualdad 2𝑥 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 3) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) Comparando las expresiones de la igualdad 2𝑥 = 𝐴(𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 3) ① Hallamos los valores que hacen la expresión indeterminada, igualando el denominador de la integral en cero (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0 Por tanto 𝑥 − 3 = 0, 𝒙 = 𝟑 ó 𝑥 + 2 = 0, 𝒙 = −𝟐 Evaluamos los valores obtenidos en la ecuación ① Si 𝒙 = 𝟑, 2(3) = 𝐴(3 + 2) + 𝐵(3 − 3) 6 = 5𝐴 6 𝐴= 5 Si 𝒙 = −𝟐, 2(−2) = 𝐴(−2 + 2) + 𝐵(−2 − 3) −4 = −5𝐵 4 𝐵= 5 , por tanto ∫

2𝑥 𝐴 𝐵 6 𝑑𝑥 4 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( + + ∫ (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 𝑥−3 𝑥+2 5 𝑥−3 5 𝑥+2 2𝑥 6 4 ∫ 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥 − 3) + 𝐿𝑛(𝑥 + 2) + 𝐶 (𝑥 − 3)(𝑥 + 2) 5 5

Caso 2 El denominador 𝑄(𝑥) es un producto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten.

Cálculo Integral

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54

Si 𝑄(𝑥) tiene un factor lineal repetido 𝑘 veces de la forma (𝑎1 𝑥 + 𝑏1 )𝑘 , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene 𝑘 términos de la forma: 𝑃(𝑥) 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑘 = + + ⋯ + (𝑎𝑘 𝑥 + 𝑏𝑘 )𝑘 𝑄(𝑥) 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 (𝑎2 𝑥 + 𝑏2 )2 , donde 𝐴1 , 𝐴2 ,· · · , 𝐴𝑘 son constantes. Ejercicio Integrar 𝑑𝑥 ∫ 𝑥(𝑥 + 2)2 Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 𝑥(𝑥 + 2) 𝑥 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)2 Operando el término de la derecha de la igualdad 1 𝐴(𝑥 + 2)2 + 𝐵𝑥 (𝑥 + 2) + 𝐶𝑥 = 𝑥(𝑥 + 2)2 𝑥(𝑥 + 2)2 , comparando 1 = 𝐴(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 1 = 𝐴𝑥 2 + 4𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 , agrupando y factorizando 1 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝑥 (4𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 ) + 4𝐴 , por tanto 𝐴+𝐵 = 0① 4𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 0 ② 4𝐴 = 1 ③ 𝟏 , de ③ 𝑨 = 𝟒 𝟏

, de ① 𝐵 = −𝐴, 𝑩 = − 𝟒 , remplazando en ②

, remplazando en la integral

1 1 4 ( ) + 2 (− ) + 𝐶 = 0 4 4 1 1− +𝐶 =0 2 𝟏 𝑪=− 𝟐

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55

𝑑𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 ∫ ( ) 𝑑𝑥 = + + 𝑥(𝑥 + 2)2 𝑥 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 ∫ = ∫ − ∫ − ∫ 2 𝑥(𝑥 + 2) 4 𝑥 4 𝑥 + 2 2 (𝑥 + 2)2 𝑑𝑥 1 1 1 ( ) ( ) ∫ = 𝐿𝑛 𝑥 − 𝐿𝑛 𝑥 + 2 + +𝐶 𝑥(𝑥 + 2)2 4 4 2(𝑥 + 2) ∫

Caso 3 El denominador 𝑄(𝑥) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite. Si 𝑄(𝑥) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, en donde, 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , donde 𝐴 𝑦 𝐵 son constantes. Ejercicio Integrar 10 ∫ (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 9) Descomponemos la fracción, que como puede verificarse es propia. Como tiene dos factores, la fracción se descompone en dos sumandos 10 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 9) (𝑥 − 1) (𝑥 + 9) Operando el término de la derecha de la igualdad 10 𝐴(𝑥 2 + 9) + (𝐵𝑥 + 𝐶 )(𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 9) (𝑥 − 1)(𝑥 2 + 9) , comparando y resolviendo 10 = 𝐴𝑥 2 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 𝐶 , factorizando 10 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝑥(𝐶 − 𝐵) + (9𝐴 − 𝐶) , entonces 𝐴+𝐵 = 0① 𝐶−𝐵 = 0② 9𝐴 − 𝐶 = 10 ③ Sumando ① y ② 𝐴 + 𝐶 = 0, 𝐶 = −𝐴 remplazando en ③

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56

9𝐴 − (−𝐴) = 10, 𝑨 = 𝟏 , luego 𝑪 = −𝟏 y 𝑩 = −𝟏 , por tanto la integral quedaría 10 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 1 −𝑥 − 1 ∫ ) 𝑑𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 = ∫( + 2 + 2 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 9) (𝑥 − 1) (𝑥 + 9) (𝑥 − 1) (𝑥 + 9) ∫

10 1 𝑥 1 ) 𝑑𝑥 = ∫( − 2 − 2 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 9) (𝑥 − 1) (𝑥 + 9) (𝑥 + 9) 𝑑𝑥

1

𝑥

, por fórmula ∫ 𝑥2 +𝑎2 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑎) + 𝐶 , resolviendo ∫

10 1 1 𝑥 = 𝐿𝑛(𝑥 − 1) − 𝐿𝑛(𝑥 2 + 9) − 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 9) 2 3 3

Ejercicios Integrar 𝑥−9

1.

∫ (𝑥+5)(𝑥−2) 𝑑𝑥

4.

∫1

7.

∫ 𝑥2 +3𝑥+2 𝑑𝑥

10.

5 4𝑦 2 −7𝑦−12 𝑦(𝑦+2)(𝑦−3)

𝑑𝑥

𝑥−1

3

1

2.

∫1

5.

∫ (𝑥+5)2(𝑥−1) 𝑑𝑥

8.

∫

𝑥 2 −1

𝑑𝑥

1

𝑥 2 +2𝑥−1 𝑥 3 −𝑥

𝑑𝑥

4 𝑥 3 −2𝑥 2 −4

3.

∫3

6.

∫ (𝑡+4)(𝑡−1) 𝑑𝑡

9.

∫ (2𝑥−1)(𝑥−2)2 𝑑𝑥

𝑥 3 −2𝑥 2

𝑑𝑥

1

𝑥 2 −5𝑥+6

17𝑥−12

∫ 𝑥3 −𝑥2 −12𝑥 𝑑𝑥

Ejercicio 1. La tasa de cambio del precio de cierto producto cuando se venden x unidades está dada por 𝑑𝑝 150 = 2 𝑑𝑥 𝑥 − 𝑥 Calcule el precio cuando se venden entre 5 y 10 unidades. Hallamos 10

𝑝 = ∫ 𝑑𝑝 = ∫ 5

10 150 1 ∫ 𝑑𝑥 = 150 𝑑𝑥 2 𝑥 −𝑥 5 𝑥 (𝑥 − 1)

Cálculo Integral

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57

Factorizando 10

𝑝 = 150 ∫ 5

1 𝑑𝑥 𝑥 (𝑥 − 1)

, por fracciones parciales 1 𝐴 𝐵 = + 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 − 1 , operando 1 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥 = 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥(𝑥 − 1) , comparando 1 = 𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵𝑥 ① Hallamos los valores críticos 𝑥 (𝑥 − 1) = 0 , por ser un factor nulo: 𝑥 = 0 ó 𝑥 − 1 = 0 por tanto 𝑥 = 1, luego los valores críticos son 𝑥 = 0y𝑥 = 1 Si 𝑥 = 0 en ① 1 = 𝐴(0 − 1) + 𝐵(0) 1 = −𝐴 , por tanto 𝐴 = −1 Si 𝑥 = 1 en ① 1 = 𝐴(1 − 1) + 𝐵(1) 1=𝐵 , por tanto 𝐵 = 1 , remplazando en la integral 10 10 1 −1 1 10 ) 𝑑𝑥 = 150[− ln(𝑥 ) + ln(𝑥 − 1)] 𝑝 = 150 ∫ 𝑑𝑥 = 150 ∫ ( + 5 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 − 1 5 5 𝑝 = 150{[− ln(10) + ln(10 − 1)] − [− ln(5) + ln(5 − 1)]} 𝑝 = 150{−0.10 − [−0.22]} = 150(−0.10 + 0.22) = 150(0.12) = 18 𝑃 = 18 El precio cuando se venden entre 5 y 10 unidades es aproximadamente de 18 U.M.

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2. La ecuación de la demanda para cierto artículo está dado por 200(𝑥 + 3) 𝑝= 2 𝑥 + 7𝑥 + 6 , donde 𝑝 es el precio por unidad cuando se demanda 𝑥 unidades calcular el superávit del consumidor. Suponga que el equilibrio de mercado se obtiene en el punto (𝑞, 𝑝) = (10,15) INTEGRALES DEFINIDAS Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces: 𝑏

𝐹 (𝑥 ) = ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎

Ejercicios Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones 4 4 1. ∫2 7𝑑𝑥 = 7𝑥 | | = 7(4) − 7(2) = 28 − 14 = 14 2 1 5 𝑡6 1 16 (−1)6 1 1 2. ∫−1 𝑡 𝑑𝑡 = 6 | | = ( 6 ) − ( 6 ) = 6 − 6 = 0 −1 2 𝑥3 2 2 2 3. ∫1 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 3 | | = 𝑥 3 | | = 23 − 13 = 8 − 1 = 7 1 1 1 3 2 2 2 3 (2𝑥 + ) 𝑑𝑥 = [𝑥 + ln(𝑥)] | | = [3 + ln(3)] − [1 + ln(1)] 𝑥 4. ∫1 1 = [9 + 1.09] − [1 + 0] = 7.9 − 1 = 6.9 2 𝑥𝑑𝑥

5. ∫1 2𝑥+1 Hacemos: 𝑢 = 2𝑥 + 1 , despejando 𝑥: 𝑢 − 1 = 2𝑥 , entonces 𝑑𝑢

𝑢−1 2

=𝑥

, derivando 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥, despejando = 𝑑𝑥 2 , reemplazando 𝑢−1 2 2 𝑥 𝑑𝑢 1 2 𝑢 − 1 1 2𝑢 − 1 2 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 2 2 1 2𝑢 4 1 𝑢 1 2𝑥 + 1 1 , luego 2 2 2 𝑥 1 2𝑢 1 1 2 1 ∫ 𝑑𝑥 = [∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢] = [∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢] 4 1 𝑢 4 1 1 2𝑥 + 1 1 𝑢 1 𝑢 , por tanto

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2

∫ 1

59

𝑥 1 2 𝑑𝑥 = [𝑢 − ln(𝑢)] 1 2𝑥 + 1 4

, como 𝑢 = 2𝑥 + 1 2

∫ 1

𝑥 1 2 𝑑𝑥 = [(2𝑥 + 1) − ln(2𝑥 + 1)] 1 2𝑥 + 1 4

, sustituyendo 2 𝑥 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = [(2(2) + 1) − ln(2(2) + 1)] − [(2(1) + 1) − ln(2(1) + 1)] 4 4 1 2𝑥 + 1 2 𝑥 1 1 1 1 ∫ 𝑑𝑥 = [5 − ln(5)] − [3 − ln(3)] = [3.39] − [1.90] = 0.37 4 4 4 4 1 2𝑥 + 1 , concluyendo 2

∫ 1

𝑥 𝑑𝑥 = 0.37 2𝑥 + 1

Ejercicios 1

3

3 1

3.∫−2(6𝑥 2 − 4)𝑑𝑥

5

6.∫1 (4 − 𝑥 2 )𝑑𝑥

5

9.∫1 (𝑥3 + √𝑥 2 ) 𝑑𝑥

1.∫0 𝑥 2 𝑑𝑥

2.∫−1 2 𝑑𝑥

2 4.∫−2(𝑥 3

− 1)𝑑𝑥

5.∫1 (2𝑥 + 1)𝑑𝑥

+ 2𝑥 )𝑑𝑥

8.∫2 (𝑥 − 3)3 𝑑𝑥

1 7.∫0 (4𝑥 3

1 10.∫0 𝑥(2

− √𝑥) 𝑑𝑥

−6 𝑑𝑥 13.∫−10 𝑥+2 𝑑𝑥

16.



4

2

1

19. ∫0

4  dx 5x 4 𝑒𝑥

2

𝑑𝑥 1+𝑒 𝑥

2

5

8 11.∫1 √3𝑥

4

12.∫0

+ 1𝑑𝑥

15. 

2

14.∫1 2𝑒 −4𝑥 𝑑𝑥

x 17.  1

1

3

1



 2x 2  5 x  6  dx

1 𝑥 20. ∫0 1+2𝑥2 𝑑𝑥

2

0

3

𝑥 √𝑥 2 +9

𝑑𝑥

2x 2  x 3  1  dx

1

18.∫0 2𝑒 𝑥 𝑑𝑥 2

21. ∫1

𝑥 2 +2𝑥 𝑥 3 +3𝑥 2 −1

𝑑𝑥

Problemas 1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por 𝑹´(𝒙) = 𝟏𝟐. 𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒙. Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades

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Debemos calcular

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60

𝟐𝟎𝟎

𝑹 (𝒙 ) = ∫

(𝟏𝟐. 𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟐𝒙)𝒅𝒙

𝟏𝟎𝟎

Integrando

𝒙𝟐 𝟐𝟎𝟎 | 𝑹(𝒙) = (𝟏𝟐. 𝟓𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟐 ) | 𝟐 𝟏𝟎𝟎

y 𝑹(𝒙) = [𝟏𝟐. 𝟓(𝟐𝟎𝟎) − 𝟎. 𝟎𝟏(𝟐𝟎𝟎)𝟐] − [𝟏𝟐. 𝟓(𝟏𝟎𝟎) − 𝟎. 𝟎𝟏(𝟏𝟎𝟎)𝟐 ] 𝑹(𝒙) = [𝟐𝟓𝟎𝟎 − 𝟒𝟎𝟎] − [𝟏𝟐𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎] = 𝟐𝟏𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟓𝟎 = 𝟗𝟓𝟎 El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias Simplificando remplazando

2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es ̅ = 𝟔𝟎 + 𝟔𝒕 + 𝟎. 𝟔𝒕𝟐 dólares por año, calcule el costo total de reparación durante 𝑪 los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular

𝟐

𝑪 = ∫ (𝟔𝟎 + 𝟔𝒕 + 𝟎. 𝟔𝒕𝟐 )𝒅𝒕 𝟎

Integrando

𝑪 = (𝟔𝟎𝒕 +

𝟔𝒕𝟐 𝟎. 𝟔𝒕𝟑 𝟐 + )| | 𝟎 𝟐 𝟑

Simplificando

𝟐 𝑪 = (𝟔𝟎𝒕 + 𝟑𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒕𝟑 ) | | 𝟎

Remplazando

𝑪 = [𝟔𝟎(𝟐) + 𝟑(𝟐)𝟐 + 𝟎. 𝟐(𝟐)𝟑 ] − [𝟔𝟎(𝟎) + 𝟑(𝟎)𝟐 + 𝟎. 𝟐(𝟎)𝟑 ] 𝑪 = [𝟏𝟐𝟎 + 𝟏𝟐 + 𝟏. 𝟔] − [𝟎] = 𝟏𝟑𝟑. 𝟔

El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de 133.6 dólares

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61

Para un periodo de t=4 𝟒 𝑪 = (𝟔𝟎𝒕 + 𝟑𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒕𝟑 ) | | 𝟎 Remplazando 𝑪 = [𝟔𝟎(𝟒) + 𝟑(𝟒)𝟐 + 𝟎. 𝟐(𝟒)𝟑 ] − [𝟎] 𝑪 = [𝟐𝟒𝟎 + 𝟒𝟖 + 𝟏𝟐. 𝟖] − [𝟎] = 𝟑𝟎𝟎. 𝟖 El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de 300.8 dólares Calculamos

Para un periodo de t=6 𝟔 𝑪 = (𝟔𝟎𝒕 + 𝟑𝒕𝟐 + 𝟎. 𝟐𝒕𝟑 ) | | 𝟎 Remplazando 𝑪 = [𝟔𝟎(𝟔) + 𝟑(𝟔)𝟐 + 𝟎. 𝟐(𝟔)𝟑 ] − [𝟎] 𝑪 = [𝟑𝟔𝟎 + 𝟏𝟎𝟖 + 𝟒𝟑. 𝟐] − [𝟎] = 𝟓𝟏𝟏. 𝟐 El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de 511.2 dólares Calculamos

Encontramos reparación

que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de

3. El costo marginal de cierta empresa está dado por 𝐶´(𝑞) = ingreso marginal es R´ (q)=

120 √𝑞

2 3

𝑞 , mientras que su

, donde q son las unidades producidas y vendidas.

Determine el incremento en las utilidades de la empresa si las ventas se incrementan de 10 a 50 unidades. Inicialmente hallamos la utilidad marginal: 𝑈´(𝑞) = 𝑅´ (𝑞) − 𝐶´(𝑞) , remplazando 120 2 𝑈´(𝑞) = − 𝑞 √𝑞 3 , sabemos que 50 120 2 𝑈(𝑞) = ∫ 𝑈´(𝑞) 𝑑𝑞 = ∫ [ − 𝑞] 𝑑𝑞 √𝑞 3 10 , integrando 1 2 q2 50 1 50 𝑈(𝑞) = [120 (2q ⁄2) − 3 ( 2 )] =[240q1/2 − 3 q2 ] = 863.72 − 725.61 = 138.1 10 10 , por tanto 𝑈(𝑞) = 138.1 En conclusión el incremento de utilidad de 10 a 50 unidades es 138,11

Cálculo Integral

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4.

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62

La productividad física (número de unidades producidas) marginal, para una industria es 𝒅𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟐𝒙)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 , donde 𝒙 es el número de máquinas en funcionamiento. Determine la productividad física 𝒑 cuando están en funcionamiento 4 máquinas Debemos calcular 𝟒

𝟒 𝒅𝒑 𝒑=∫ = ∫ 𝟑𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟐𝒙)𝟏/𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏 𝟏

, hacemos 𝒖 = 𝟏 + 𝟐𝒙, derivando 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙, despejando 𝟒

𝒑 = 𝟑𝟎𝟎𝟎 ∫ 𝒖𝟏/𝟐 𝟏

𝒅𝒖 𝟐

= 𝒅𝒙, remplazando

𝟒 𝒅𝒖 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 ∫ 𝒖𝟏/𝟐 𝒅𝒖 𝟐 𝟏

, integrando 𝟐 𝟒 𝟒 𝒑 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 [ 𝒖𝟑/𝟐] = 𝟏𝟎𝟎𝟎[(𝟏 + 𝟐𝒙)𝟑/𝟐] 𝟏 𝟏 𝟑 , remplazando 𝒑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎[(𝟏 + 𝟐(𝟒))𝟑/𝟐 − (𝟏 + 𝟐(𝟏))𝟑/𝟐] = 𝟏𝟎𝟎𝟎[𝟐𝟕 − 𝟓. 𝟏𝟗] 𝒑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎[𝟐𝟏. 𝟖𝟏] = 𝟐𝟏 𝟖𝟏𝟎 Unidades Cuando están en funcionamiento 4 máquinas se producirán aproximadamente 21 810 unidades. 5. La función de costo marginal de un fabricante es 𝒅𝑪 = 𝟎. 𝟐𝒒 + 𝟖 𝒅𝒒 Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades. 6. La función de ingreso marginal de un fabricante es 𝒅𝑹 𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝒅𝒒 √𝟑𝟎𝟎𝒒 Si R está en dólares, encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 500 a 800 unidades 7. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto es 𝑪´(𝒙) = 𝟕𝟒 + 𝟏. 𝟏𝒙 – 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝒙𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟒𝒙𝟑 , dólares por unidad Encuentre el incremento en costo si el nivel de producción se eleva de 1200 a 1600 unidades

Cálculo Integral

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63

8. Una compañía puede reducir sus gastos laborales automatizando su planta. Sin embargo la automatización requiere mantenimiento sustancial extra, el cual se incrementa con el tiempo. El ahorro neto anual después de t años está dado por 𝑺´(𝒕) = 𝟏𝟐𝟎 – 𝟒𝒕 – 𝟎. 𝟓𝒕𝟐 (millones de pesos por año). Calcule el ahorro total sobre los primeros 8 años. 9. Una compañía está considerando la compra de una maquinaria nueva con un costo de 5000 dólares. Se estima que la máquina ahorrará dinero a la compañía a una tasa de 160(5 + t) dólares anuales en un tiempo t después de su adquisición. ¿Se pagará la máquina a si misma durante los próximos 5 años? 10.La función ingreso marginal de un fabricante es 𝒅𝒓 = 𝟐𝟓𝟎 − 𝒒 − 𝟎. 𝟐𝒒𝟐 𝒅𝒒 Si r está en dólares, encuentre el incremento en el ingreso total del fabricante si la producción se incrementa de 15 a 25 unidades 11.La tasa de depreciación de un edificio está dada por 𝑫´(𝒕) = 𝟑 𝟎𝟎𝟎 (𝟐𝟎 – 𝒕) dólares por año, 0 ≤ t ≤ 20. Use la integral definida para encontrar: a. La depreciación los primeros 10 años b. La depreciación los primeros 20 años c. La depreciación entre 10 y 20 años 12. Se espera que la compra de una nueva máquina genere un ahorro en los costos de operación. Cuando la máquina tenga 𝑥 años de uso la razón de ahorro sea de 𝑓(𝑥) pesos al año donde 𝑓´(𝑥) = 1000 + 5000𝑥. ¿Cuánto se ahorra en costos de operación durante los primeros seis años? 13. La curva de demanda está dada por la ley 𝒅(𝒙) = 𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟎𝟔𝒙𝟐 . Encuentre el superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades 𝒙

14. Se conoce que la curva de la oferta para un producto es 𝑺(𝒙) = 𝟐 + 𝟕 . Encuentre la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos 15. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por: 𝑺´(𝒕) = −𝟑𝒕𝟐 + 𝟑𝟎𝟎𝒕 , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 ≤ t ≤ 30.

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64

a. Encuentre la venta total durante la primera semana después que se terminó la campaña (t=0 a t=7) b. Encuentre la venta total durante la segunda semana después que se terminó la campaña (t=7 a t=14) 16. La cantidad total que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener q0 𝒒 unidades de un artículo está dado por ∫𝟎 𝟎 𝑫(𝒒)𝒅𝒒, donde 𝑫(𝒒) es la función de la demanda. Supongamos que la función demanda de cierto artículo es 𝑫(𝒒) = 𝟒(𝟐𝟓 − 𝒒𝟐 )𝒅𝒒 Hállese la cantidad de dinero (en miles de pesos) que los consumidores están dispuesto a pagar para obtener 3 unidades del artículo. /264 mil pesos 17. Una empresa que fabrica y vende balones encuentra que sus utilidades cambian a razón de 𝒙 𝒉´(𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝟎 − 𝒙 , donde 𝒙 representa el número de balones fabricados y vendidos. Calcule la utilidad total si se venden de 1 a100 balones.

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ÁREA BAJO LA CURVA Si 𝒇 es un función continua en [𝒂, 𝒃] y 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 en [𝒂, 𝒃] entonces el área exacta entre 𝒚 = 𝒇(𝒙) y el eje de las 𝒙 en 𝒙 = 𝒂 a 𝒙 = 𝒃esta dada por 𝒃

Á𝒓𝒆𝒂 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒂

Ejercicio Dibuje y encuentre el área bajo la curva de cada función entre las coordenadas dadas 1. 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟏 , entre 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟓 Inicialmente tabulamos para graficar Tabulación 𝒙 0 1 2 3 4 5 6

Gráfica

𝒚 -1 1 3 5 7 9 11

El área sería 𝟓

𝑨 = ∫ (𝟐𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = [𝟐 𝟏

𝒙𝟐 𝟓 𝟓 − 𝒙] = [𝒙𝟐 − 𝒙] = [𝟓𝟐 − 𝟓] − [𝟏𝟐 − 𝟏] = 𝟐𝟎 − 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐

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66

𝑨 = 𝟐𝟎 𝒖𝟐 𝟐

2. 𝟒 − 𝒙 , entre 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟐 Tabulación 𝒙 -1 0 1 2 3

Gráfica

𝒚 3 4 3 0 -5

El área sería 𝟐

𝑨 = ∫ (𝟒 − 𝒙𝟐 )𝒅𝒙 = [𝟒𝒙 − 𝟎

𝒙𝟑 𝟐 𝟐𝟑 𝟎𝟑 ] = [𝟒(𝟐) − ] − [𝟒(𝟎) − ] = 𝟓. 𝟑 − 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝟑 𝑨 = 𝟓. 𝟑 𝒖𝟐

3. 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝟏 , entre 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟐 Tabulación 𝒙 -2 -1 0 1 2 3

Gráfica

𝒚 -7 0 1 2 9 28

El área sería 𝟐

𝒙𝟒 𝟐𝟒 (−𝟏)𝟒 𝟐 𝟑 ( ) 𝑨 = ∫ 𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = [ + 𝒙] = [ + 𝟐] − [ + (−𝟏)] = 𝟓. 𝟐𝟓 −𝟏 𝟒 𝟒 𝟒 −𝟏 𝑨 = 𝟓. 𝟐𝟓 𝒖𝟐

Cálculo Integral

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4. 𝒚 = √𝒙 + 𝟒 , entre 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟓 Tabulación 𝒙 0 1 2 3 4 5

Gráfica

𝒚 2 √𝟓 √𝟔 √𝟕 √𝟖 3

El área sería 𝟓 𝟐 𝟓 𝑨 = ∫ √𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 = [ √(𝒙 + 𝟒)𝟑 ] = 𝟏𝟐. 𝟔 𝒖𝟐 𝟎 𝟑 𝟎

5. 𝒚 = 𝟐𝒆𝟐𝒙 , entre 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟏 Tabulación

𝒙 -1 0 1 2

Gráfica

𝒚 0.73 2 5.4 14.7

El área sería 𝟏

𝟏 𝑨 = ∫ 𝟐𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 = [𝒆𝟐𝒙 ] = 𝟔. 𝟑𝟖 𝒖𝟐 𝟎 𝟎

Cálculo Integral

67

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6. 𝒚 =

𝟏𝟐

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68

, entre 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟒

𝒙+𝟏

Tabulación 𝒙 0 1 2 3 4 5

Gráfica

𝒚 12 6 4 3 2.4 2

El área sería 𝟒

𝑨=∫ 𝟏

𝟏𝟐 𝟒 𝒅𝒙 = [𝟏𝟐 × 𝐥𝐧(𝒙 + 𝟏] = 𝟏𝟎. 𝟗 𝒖𝟐 𝟏 𝒙+𝟏

7. 𝒚 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝒙𝟑, entre 𝒙 = −𝟐 𝒚 𝒙 = 𝟐 Tabulación 𝒙 -2 -1 0 1 2

Gráfica

𝒚 -16 -11 0 11 16

Para hallar el área total (𝑨) la dividimos en dos partes, un área 1 (𝑨𝟏 ) la cual integramos entre 𝒙 = −𝟐 𝒚 𝒙 = 𝟎 y un área 2 (𝑨𝟐 ) la cual integramos entre 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟐 y al final las sumamos 𝟎 𝒙𝟐 𝒙𝟒 𝟎 𝟑 𝑨𝟏 = ∫ 𝟏𝟐𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = [𝟏𝟐 − ] = 𝟐𝟎 𝒖𝟐 −𝟐 𝟐 𝟒 −𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 𝒙𝟒 𝟐 𝟑 𝑨𝟐 = ∫ 𝟏𝟐𝒙 − 𝒙 𝒅𝒙 = [𝟏𝟐 − ] = 𝟐𝟎 𝒖𝟐 𝟐 𝟒 𝟎 𝟎

Cálculo Integral

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69

Por tanto 𝑨 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 = 𝟒𝟎 𝒖𝟐 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

𝒚 = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 , entre 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟐 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐 , entre 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟑 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 , entre 𝒙 = −𝟏 y 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 , entre 𝒙 = −𝟐 y 𝒙 = 𝟑 𝒚 = √𝟒𝟗 − 𝟔𝒙 , entre 𝒙 = 𝟎 𝒚 𝒙 = 𝟑 𝟐 𝒚 = 𝒙𝒆𝒙 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = 𝟑 𝟏 𝒚 = 𝟐𝒙+𝟏 , entre 𝒙 = 𝟏 y 𝒙 = 𝟑

15. 𝒚 = 𝟐√𝒙 , entre 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟒 Problemas de aplicación 1. La tasa de depreciación de un edificio está dada por 𝑫´(𝒕) = 𝟑 𝟎𝟎𝟎(𝟐𝟎 − 𝒕) dólares al año (𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝟎). a. Haga una gráfica que represente la depreciación total del edificio b. Calcule la depreciación de los primeros 10 años. 2. Una tienda se da cuenta de que sus ventas cambian a una tasa dada por:

S´(t) = -3t2 + 300t , donde t es el número de días después de terminada la campaña publicitaria y 0 ≤ t ≤30 Haga una gráfica que represente las ventas los primeros 10 días.

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70

ÁREA ENTRE CURVAS Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son funciones continuas en un intervalo [𝒂, 𝒃] y 𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) para todo 𝒙 en [𝒂, 𝒃], entonces el area de la región acotada por las graficas 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) y las rectas verticales 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃 se obtiene por 𝒃

𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 𝒂

Ejercicios Grafique y calcule el área entre las funciones dadas 1. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 ; 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 Inicialmente hallamos los puntos de intersección igualando las funciones 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝒙 − 𝟏 , despejando 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 , factorizando (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 , es decir 𝒙 − 𝟒 = 𝟎, 𝒙 = 𝟒 𝒙 − 𝟏 = 𝟎, 𝒙 = 𝟏 , por tanto los límites de integración son de 1 a 4 Tabulamos y graficamos Tabulación

𝒙 1 2 3 4

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 0 -1 0 3

Gráfica

𝒚 =𝒙−𝟏 0 1 2 3

Hallamos el área utilizando la fórmula

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71

𝒃

𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 𝒂

, por gráfico hacemos 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟏 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 remplazando 𝟒

𝟒 𝟐

𝑨 = ∫ [(𝒙 − 𝟏) − (𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟑)] 𝒅𝒙 = ∫ (𝒙 − 𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟑)𝒅𝒙 𝟏

𝟏

𝟒

𝟓𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝟒 𝑨 = ∫ (𝟓𝒙 − 𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 = [ − 𝟒𝒙 − ] = 𝟒. 𝟒 𝒖𝟐 𝟐 𝟑 𝟏 𝟏

2. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 ; 𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 , despejamos 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 , factorizamos 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎 , es decir 𝒙 − 𝟑 = 𝟎, 𝒙=𝟑 𝒙 + 𝟐 = 𝟎, 𝒙 = −𝟐 , por tanto los límites de integración son 𝒙 = −𝟐 𝒚 𝒙 = 𝟑 Tabulamos y graficamos Tabulación 𝒙 -2 -1 0 1 2 3

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 8 3 0 -1 0 3

Gráfica

𝒚 = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 8 11 12 11 8 3

Hallamos el área utilizando la fórmula 𝒃

𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 𝒂

, por gráfico 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 remplazando

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72

𝟑 𝟐 𝟑 𝑨 = ∫ [(𝟏𝟐 − 𝒙𝟐 ) − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙)] 𝒅𝒙 = [𝟏𝟐𝒙 − 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 ] = 𝟒𝟏. 𝟔𝟔 𝒖𝟐 −𝟐 𝟑 −𝟐

3.

𝒚 = 𝟐√𝒙 ; 𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones 𝟐√𝒙 = 𝟐𝒙 − 𝟒 , elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad, para eliminar el radical 𝟐 (𝟐√𝒙) = (𝟐𝒙 − 𝟒)𝟐 𝟒𝒙 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟏𝟔 , despejando 𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟔 = 𝟎 , factorizando 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 , es decir 𝒙 − 𝟒 = 𝟎, 𝒙=𝟒 𝒙 − 𝟏 = 𝟎, 𝒙=𝟏 , por tanto los límites de integración son 𝒙 = 𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟒 Tabulamos y graficamos Tabulación 𝒙 1 2 3 4

𝒚 = 𝟐√𝒙 -1 0 3 4

Gráfica

𝒚 = 𝟐𝒙 − 𝟒 11 8 3 4

Hallamos el área utilizando la fórmula 𝒃

𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 𝒂

, por gráfico 𝒇(𝒙) = 𝟐√𝒙 y 𝒈(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟒 remplazando 𝟒 𝟒𝒙𝟑/𝟐 𝟒 ( )] ∫ [(𝟐 [ 𝑨= − 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙] = 𝟔. 𝟑 𝒖𝟐 √𝒙) − 𝟐𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟑 𝟏

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73

4. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 ; 𝒚 = 𝟒 − 𝒙𝟐 Hallamos los puntos de intersección igualando las funciones 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟒 − 𝒙𝟐 , resolvemos la ecuación 𝑥 2 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 4 = 0 2𝑥 2 − 2𝑥 − 4 = 0 , factorizamos 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 , es decir 𝒙 − 𝟐 = 𝟎, 𝒙=𝟐 𝒙 + 𝟏 = 𝟎, 𝒙 = −𝟏 , por tanto los límites de integración son 𝒙 = −𝟏 𝒚 𝒙 = 𝟐 Tabulamos y graficamos Tabulación 𝒙 -2 -1 0 1 2 3

𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 8 3 0 -1 0 3

Gráfica

𝒚 = 𝟒 − 𝒙𝟐 0 3 4 3 0 -5

Hallamos el área utilizando la fórmula 𝒃

𝑨 = ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙 𝒂

, por gráfico 𝒇(𝒙) = 𝟒 − 𝒙𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 remplazando 𝟐

𝟐

𝑨 = ∫ [(𝟒 − 𝒙𝟐 ) − (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ (−𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒)𝒅𝒙 −𝟏

−𝟏

−𝟐𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟐 −𝟐𝒙𝟑 𝟐 𝟐 𝑨=[ + + 𝟒𝒙] =[ + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙] −𝟏 −𝟏 𝟑 𝟐 𝟑 −𝟐(𝟐)𝟑 −𝟐(−𝟏)𝟑 𝑨=[ + (𝟐)𝟐 + 𝟒(𝟐)] − [ + (−𝟏)𝟐 + 𝟒(−𝟏)] = 𝟔. 𝟔𝟔 − (−𝟐. 𝟑𝟑) 𝟑 𝟑

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74

𝑨 = 𝟗𝒖𝟐 , por tanto el área comprendido entre las curvas 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 ; 𝒚 = 𝟒 − 𝒙𝟐 es de 9 𝒖𝟐 5. 𝒚 = 𝟑 − 𝒙𝟐 ; 𝒚 = −𝒙 + 𝟏 6. 𝒚 = 𝒙 + 𝟒; 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐 7. 𝒚 = √𝟐𝒙;𝒚 = √𝟏𝟐 − 𝟒𝒙 8. 𝒚 = 𝒙𝟐 ; 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 9. 𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟐; 𝒚 = |𝒙| 10. 𝒚 = 𝒙𝟑 − 𝒙; 𝒚 = 𝟑𝒙

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75

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL EN LA ADMINISTRACIÓN Y EN LA ECONOMÍA

Valor promedio El valor promedio de una función continua y=f(x) sobre un intervalo [a, b] es 1

𝑏

Valor promedio = 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 Problemas 1. El costo semanal C (en dólares) de producir x unidades de un producto está dada por: C (x)= 5000+16x+0.1x2 El fabricante estima que la producción será entre 100 y 200 unidades. Halle el costo promedio semanal C (x)= 5000+16x+0.1x2 1

200

= 200-100 ∫100 (5000+16x+0.1x 2 )dx 1 200 | =100 (5000x +8x² + 0.033x³)| 100

= 1 100

[(5000(200)+8(200)2 +0.033(200)3 )- (5000(100)+8(100)2 +0.03(100)3 )] 1

1

= 100 (1.584.000 – 613000) = 100(971000) = 9710 Es el costo promedio semanal cuando la producción es entre 100 y 200 unidades serán de 9710 dólares 2. La función demanda para cierto articulo está dada por: 100

P= 500+𝑄+1 , donde P: precio y q: unidades demandadas. Encuentre el precio promedio si se demanda en 50 y 100.

Cálculo Integral

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1

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100

76

100

= 100-50 ∫50 (500 + 𝑞+1) 𝑑𝑞 1 100 | =50 [500q+100ln|q+1] | 50 1

1

=50 (50461.512- 25393.183) = 50 (25 068.329) = 501.3666 El precio promedio cuando se demandan entre 50 y 100 unidades será de 501.36 Unidades Monetarias. 3. El ingreso total de una máquina de videos está dada por: I=50e0.2t

Encuentre el ingreso promedio entre el intervalo de 0 y 4 horas. =

1 4−0

4

∫0 50 𝑒 0.2𝑡 𝑑𝑡

50

=

4

4

∫0 𝑒 0.2𝑡 𝑑𝑡 =

50 𝑒 0.2𝑡 4

[

0.2

4 ] = 62.5(𝑒 0.2(4) − 𝑒 0.2(0) ) = 0

62.5(2.22 − 1) = 76.59 El ingreso promedio de la máquina de video en un intervalo de 0 y 4 horas será de 76.59 Unidades Monetarias 4. Suponemos que durante los primeros cinco años que un producto se puso a la venta en el mercado la función 𝑓(𝑥) describe la razón de ventas cuando pasaron 𝑥 años desde que el producto se presentó en el mercado por 𝑓 (𝑥 ) = 2700√𝑥 + 900 Calcule la venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado Debemos calcular ̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥) =

𝑏 1 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑏−𝑎 𝑎

, donde 𝑎 = 2 y 𝑏 = 4 Remplazando ̅̅̅̅̅̅ = 𝑓(𝑥)

4 1 ∫ (2700√𝑥 + 900)𝑑𝑥 4−2 2

Cálculo Integral

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77

1 𝑥 3/2 1 4 4 [2700 + 900𝑥] = ̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥) = [1800𝑥 3/2 + 900𝑥] 2 2 2 3/2 2 3 3 1 ̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥) = {[1800(4)2 + 900(4)] − [1800(2)2 + 900(2)]} 2 1 ̅̅̅̅̅̅ 𝑓 (𝑥 ) = {18000 − 6891.16} 2 ̅̅̅̅̅̅ 𝑓 (𝑥 ) = 5554.42 La venta promedio entre el segundo y cuarto año de lanzamiento del producto al mercado fue de 5554.42 U.M. ̅̅̅̅̅̅ 𝑓(𝑥) =

5.

Una firma de publicidad es contratada para promover un programa nuevo de televisión durante 3 semanas antes de su debut y durante 2 semanas después. Al cabo de 𝑡 semanas de la campaña publicitaria se determina que 𝑃(𝑡) por ciento de los televidentes conoce acerca del programa, donde 59𝑡 𝑝 (𝑡 ) = 0.7𝑡 2 + 16 ¿Cuál es el porcentaje promedio de televidentes que conoce acerca del programa durante las 5 semanas de la campaña publicitaria? Tenemos que calcular 𝑏 1 ̅̅̅̅̅̅ = ∫ 𝑝(𝑡)𝑑𝑡 𝑝(𝑡) 𝑏−𝑎 𝑎 , por datos 𝑎 = 0 y 𝑏 = 5, remplazando ̅̅̅̅̅̅ = 1 ∫5 59 𝑡 𝑑𝑡 𝑝(𝑡) 2 0 5−0

0.7 𝑡 +16

𝑑𝑢

2

, hacemos 𝑢 = 0.7𝑡 + 16 derivando 𝑑𝑢 = 1.4𝑡𝑑𝑡, es decir 1.4𝑡 = 𝑑𝑡, sustituyendo ̅̅̅̅̅̅ = 𝑝(𝑡)

1 5 59 𝑡 𝑑𝑢 ∫ 5 0 𝑢 1.4𝑡

, simplificando ̅̅̅̅̅̅ 𝑝(𝑡) =

59 5 𝑑𝑢 ∫ 7 0 𝑢

, integrando 5 5 ̅̅̅̅̅̅ 𝑝(𝑡) = 8.42[ln(𝑢)] = 8.42[ln(0.7𝑡 2 + 16] 0 0 ̅̅̅̅̅̅ 𝑝(𝑡) = 8.42{3.51 − 2.77} = 84.28 ∗ 0.74 = 6.23

El porcentaje promedio de televidentes que conocen acerca del programa durante las 5 semanas de campaña es de 6.23%

Cálculo Integral

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6.

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78

La ecuación de demanda para cierto producto está dada por 50𝑞 𝑝 = 60 − √𝑞2 + 3600 Encuentre el precio promedio si se demandan de 100 a 200 unidades 𝑏 1 Debemos hallar ̅̅̅̅̅̅ 𝑝(𝑞) = 𝑏−𝑎 ∫𝑎 𝑝(𝑞)𝑑𝑞 , donde 𝑎 = 100 y 𝑏 = 200, remplazando 200 1 50𝑞 ̅̅̅̅̅̅ ∫ 60 − 𝑝(𝑞) = 𝑑𝑞 200 − 100 100 √𝑞2 + 3600 200 200 1 50𝑞 ̅̅̅̅̅̅ ∫ 60𝑑𝑞 − ∫ 𝑝(𝑞) = 𝑑𝑞 ① 100 100 100 √𝑞 2 + 3600 , resolvemos las integrales por separado 200

∫

60𝑑𝑞 = [60𝑞]

100

200 = 60[200 − 100] = 60(100) = 6000 100

Para resolver la integral 200

50𝑞

∫

𝑑𝑞 √𝑞2 + 3600 𝑑𝑢 , hacemos 𝑢 = 𝑞2 + 3600, derivando 𝑑𝑢 = 2𝑞𝑑𝑞, despejando 2𝑞 = 𝑑𝑞, remplazando 100

200

∫ 100

200

50𝑞 √𝑞2 + 3600

𝑑𝑞 = ∫ 100

50𝑞 𝑑𝑢 𝑢1/2 2𝑞

, simplificando e integrando 200

∫

100 √𝑞 2

200

50𝑞 + 3600

𝑑𝑞 = 25 ∫ 100

200

∫

50𝑞

100 √𝑞 2

200

∫

100 √𝑞 2 200

50𝑞

200 200 𝑢−1/2 𝑑𝑢 = 25[2𝑢1/2] = 50[𝑢1/2] 100 100

200 𝑑𝑞 = 50[(𝑞2 + 3600)1/2 ] 100 + 3600

𝑑𝑞 = 50[(2002 + 3600)1/2 − (1002 + 3600)1/2]

+ 3600 50𝑞 ∫ 𝑑𝑞 = 50[208.80 − 116.61] = 50[92.16] = 4609.5 100 √𝑞 2 + 3600 , remplazando en ① ̅̅̅̅̅̅ 𝑝(𝑞) =

1 [6000 − 4609.5] = 13.9 100

Cálculo Integral

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79

Por tanto el precio promedio si se demandan entre 100 y 200 unidades de 13.9 U.M. 7. La utilidad (en dólares) de un negocio está dada por 𝑝 = 369𝑞 – 2.1𝑞2 – 400 , donde 𝑞 es el número de unidades del producto vendido. Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de 𝑞 = 1 a 𝑞 = 100. 8. Suponga que el costo(𝐶) de producir 𝑞 unidades de un producto está dado por 𝐶 = 4000 + 10𝑞 + 0.1𝑞2 Encuentre el costo promedio sobre el intervalo de q=100 a q=500 9. Suponga que el costo en dólares de un producto está dado por 𝐶(𝑥) = 400 + 𝑥 + 0.3𝑥 2 , donde 𝑥 es el número de unidades. Encuentre el costo promedio de producir de 10 a 20 unidades 10.El costo en miles de pesos, de producir x unidades de cierto artículo es 𝐶(𝑥) = 𝑥 2 + 400𝑥 + 2 000 Encuentre el valor promedio de C(x) sobre el intervalo de 0 a 100. ¿Qué significa el resultado? 11.El número de ventas diarias de un producto está dado por 2 𝑆 = 100𝑥𝑒 −𝑥 + 100 , x días después de iniciarse una campaña publicitaria para este producto. a. Encuentre las ventas diarias promedio durante los primeros 20 días de la campaña, es decir x=0 a x=20. b. Si no se inició una nueva campaña publicitaria, ¿cuál es el número promedio de ventas por día durante los próximos 10 días? (de x=20 a x=30) 12. El valor futuro de 1 000 dólares, invertidos, en una cuenta de ahorros con una tasa de interés compuesto continuamente de 10% es S=1000e0.1t, donde t está en años. Calcule la cantidad promedio en la cuenta de ahorros durante los primeros 5 años.

13. Suponga que la tasa de variación de los beneficios obtenidos por determinada empresa está dada por 3𝑥 − 6 𝑓´(𝑥 ) = 𝑥+2

Cálculo Integral

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80

, 𝑓(𝑥) se da en millones de euros, siendo 𝑥 los años de vida de la empresa. Se pide calcular el beneficio promedio que se obtiene los primeros 5 años de vida de la empresa.

14. Una firma de publicidad es contratada para promover un programa nuevo de televisión durante 3 semanas antes de su debut y durante 2 semanas después. Al cabo de 𝑡 semanas de la campaña publicitaria se determina que 𝑃(𝑡) por ciento de los televidentes conoce acerca del programa, donde 59𝑡 𝑝 (𝑡 ) = 0.7𝑡 2 + 16 ¿Cuál es el porcentaje promedio de televidentes que conoce acerca del programa durante las 5 semanas de la campaña publicitaria?

Cálculo Integral

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81

Ingreso Total Sea f(t) una tasa de flujo de ingreso anual, entonces el ingreso total para k años está dado por 𝑘 Ingreso total = ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Problemas 36 1. Una pequeña compañía petrolera considera el bombeo continuo de petróleo de un pozo como un flujo de ingreso continuo con su tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 600e-0.2t, en miles de dólares al año. Encuentre un estimado del ingreso total por este pozo durante los próximos 10 años. 2. Encuentre el ingreso total durante los próximo 10 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=12 000 dólares por año 3. Encuentre el ingreso total durante los próximo 8 años de un flujo continuo de ingreso que tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=8 500 dólares por año 4. Una compañía acerera visualiza la producción de su colado continuo como flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo mensual en el tiempo t, dado por f(t) = 24 000e0.03t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de este colado en el primer año 5. Suponga que la franquicia de una empresa de servicio se da cuenta que el ingreso generado por sus tiendas se puede modelar suponiendo que el ingreso es un flujo continuo con una tasa de flujo mensual en el tiempo t dado por f(t) = 10 000e0.02t (dólares mensuales). Encuentre el ingreso total de una tienda para los primeros dos años. 6. Una pequeña destiladora considera la producción de su máquina embotelladora como un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dado por f(t)=80e0.1t, en miles de pesos por año. Encuentre el ingreso de este flujo para los siguientes 10 años.

Cálculo Integral

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82

Valor Presente de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo de ingreso que gana una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor presente del flujo continuo de ingreso es 𝑘 Valor-presente = ∫0 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 Donde t = 0 a t = k es el intervalo del tiempo

Valor Futuro de un flujo continuo de ingreso Si f(t) es la tasa del flujo continuo durante k años, ganando una tasa de interés r, compuesta continuamente, entonces el valor futuro del flujo continuo de ingreso es 𝑘 Valor-futuro = 𝑒 𝑟𝑘 ∫0 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡

Problemas 1. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t, dada por f(t) = 9 000e0.12t (dólares al año). Si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años encuentre a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por 𝑘

∫ 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 0

, por datos 𝑓(𝑡) = 9 000e0.12t y k = 10 remplazando 10

∫ 9000𝑒 0

10 0.12𝑡

𝑑𝑡 = 9000 ∫ 0

𝑒 0.12𝑡 (0.12) 𝑑𝑡 0.12

9000 10 0.12𝑡 (0.12)𝑑𝑡 = 75000𝑒 0.12𝑡 |10| ∫ 𝑒 = 0 0.12 0

= 75000[𝑒 0.12(10) − 𝑒 0.12(0) = 75000[3.32 − 1] = 75000 [2.32] = 174 000 El ingreso total del flujo continuo 𝑓(𝑡) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 174 000 dólares por año b. El valor presente

Cálculo Integral

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10

10

= ∫ 9 000𝑒

0.12𝑡 −0.06𝑡

𝑒

𝑑𝑡 = 9000 ∫ 𝑒

0

83

10 0.06𝑡 0.06𝑡

𝑑𝑡 = 9000 ∫

0

𝑒

0

(0.06) 𝑑𝑡 0.06

9000 10 0.06𝑡 10 ∫ 𝑒 = (0.06)𝑑𝑡 = 150000 𝑒 0.06𝑡 | | 0 0.06 0 = 150000[𝑒 0.06(10) − 𝑒 0.06(0)] = 150000 (1.82 − 1) = 150000 (0.82) = 123318 El valor Presente de un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 123 318 dólares c. El valor futuro 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑒 𝑟𝑘 (𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒) = 𝑒 0.06(10)(123318) = (1.82)(123318) = 224700 El valor futuro de un flujo continuo de ingreso f(t) = 9 000e0.12t que crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, para los próximos 10 años será de 224 700 dólares 2. Un flujo continuo de ingreso tiene una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por f(t) = 12 000e0.04t U.M. Si el dinero crece a una tasa del 8% compuesta encuentre para los próximos 8 años a. El Ingreso total Por definición el ingreso total está dado por 𝑘

∫ 𝑓 (𝑡)𝑑𝑡 0

, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t y k = 8 remplazando 8

∫ 12 000𝑒

8 0.04𝑡

𝑑𝑡 = 12 000 ∫

0 8

∫ 12 000𝑒 0.04𝑡 𝑑𝑡 = 0

0

𝑒 0.04𝑡 (0.04) 𝑑𝑡 0.04

12000 8 0.04𝑡 (0.04)𝑑𝑡 = 300000𝑒 0.04𝑡 [8 ∫ 𝑒 0 0.04 0

Cálculo Integral

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84

8

∫ 12 000𝑒 0.04𝑡 𝑑𝑡 = 300000[𝑒 0.04(8) − 𝑒 0.04(0) = 300000[1.37 − 1] 0 8

∫ 12 000𝑒 0.04𝑡 𝑑𝑡 = 300000[0.37] = 113138 0

El ingreso total del flujo continuo será de 113138 U.M. b. El valor presente Por definición el ingreso total está dado por 𝑘

∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 0

, por datos f(t) = f(t) = 12 000e0.04t , k = 8 y r=0.08 remplazando 8

∫ 12 000𝑒 0.04𝑒 −0.08𝑡 𝑑𝑡 0 8

= 12 000 ∫ 𝑒 −0.04𝑡 𝑑𝑡 0 8

= 12 000 ∫ 0

𝑒 −0.04𝑡 (−0.04) 𝑑𝑡 −0.04

12 000 8 −0.04𝑡 (−0.04)𝑑𝑡 ∫ 𝑒 = −0.04 0 8 = −300000𝑒 −0.04𝑡 [ = −300000[𝑒 −0.04(8) − 𝑒 −0.04(0)] 0 = −300000[0.72 − 1] = −300000[−0.27] = 82 155.3 El valor presente del flujo continuo es de 82 155.3 U.M c. El valor futuro Por definición el ingreso total está dado por 𝑘

𝑒 𝑟𝑘 ∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 0

, por datos

𝑘 ∫0 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡

= 82 155.3, r=0.08 y k=8, remplazando

𝑘

𝑒 𝑟𝑘 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 0.08(8) [82 155.3] = 1.89(82 155.3) = 155806 0

El valor futuro del flujo continuo en 8 años a una tasa del 8% será de 155 806 U.M.

Cálculo Integral

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85

3. Se transfiere dinero continuamente a una cuenta a una tasa de flujo anual en un tiempo 𝑡 dado por 𝑓(𝑡) = 6 537 𝑒 −0.3𝑡 dólares por semana. La cuenta gana interés a una tasa anual de 6%, capitalizado continuamente. Encuentre para los próximos 5 años. a. El Ingreso Total b. El valor presente. c. El valor futuro Por datos: 𝑘 = 5 y 𝑟 = 0.06 a. Ingreso total. Debemos calcular 𝐾

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0

, remplazando e integrando 5

𝑒 −0.3𝑡 5 ] = −21790[𝑒 −0.3∗5 − 𝑒 −0.3∗0] 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∫ 6537 𝑒 𝑑𝑡 = 6537 [ −0.3 0 0 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −21790[0.22 − 1] − 21790 ∗ −078 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 16996 𝑈. 𝑀. b. Valor presente. Debemos calcular −0.3𝑡

𝑘

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑟𝑡 𝑑𝑡 0

, remplazando y simplificando 5

5

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = ∫ 6537𝑒

−0.3𝑡 −0.06𝑡

𝑒

0

𝑑𝑡 = ∫ 6537𝑒 −0.36𝑡 𝑑𝑡 0

, integrando 𝑒 −0.36𝑡 5 6537 −0.36∗5 [𝑒 ] =− 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = 6537 [ − 𝑒 −0.36∗0] = −18158[0.16 − 1] −0.36 0 0.36 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 = 15252.72 𝑈. 𝑀. c. El valor futuro. Debemos calcular 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑒 𝑟𝑘 × 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 , remplazando 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 𝑒 0.06∗5 × 15252.72 = 20589.01 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑜 = 20589.01 4. Suponga que una compañía planea vender un pozo y quiere usar su valor presente durante los próximos 10 años para establecer su precio de venta. Si la compañía determina que la tasa de flujo anual es f(t)=600e-0.2(t+5), en miles de dólares por año y si el dinero crece con una tasa de 10% compuesto continuamente, encuentre este valor presente

Cálculo Integral

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86

5. Si la tasa de flujo de ingreso de un activo es 𝑓 (𝑡) = 1 000𝑒 0.02𝑡 , en millones de pesos por año, y si el ingreso se invierte a una tasa de interés de 6% compuesto continuamente, para los próximos 4 años, encuentre a. El ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 6. Suponga que un flujo de ingreso continuo tiene una tasa anual de flujo dada por f(t) = 5 000e-0-01t y el dinero crece un 7% compuesto continuamente, para los próximos 5 años calcule: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro 7. Suponga que una compañía de impresión considera la producción de sus prensas como un flujo continuo de ingreso. Si la tasa de flujo anual en el tiempo t está dada por 𝑓(𝑡) = 97.5𝑒 −0.2(𝑡+3) en millones de pesos al año, si el dinero crece a una tasa de 6% compuesto continuamente, encuentre el valor presente y el valor futuro de las prensas durante los siguientes 10 años. 8. Una pareja piensa abrir un negocio propio, van a comprar ya sea un almacén de ropa para hombres o una tienda de video. El almacén de ropa para hombres tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa de flujo anual en el tiempo t dada por 𝐺(𝑡) = 30 000 (miles de pesos por año) y la tienda de video tiene un flujo continuo de ingreso con una tasa anual proyectada en el tiempo t dada por 𝐺(𝑡) = 21 600𝑒 0.08𝑡 (miles de pesos por año). La inversión inicial es igual para ambos negocios y el dinero crece a una tasa de 10% compuesto continuamente. Encuentre el valor presente y el valor futuro de cada negocio durante los próximos 7 años, para saber cuál es la mejor compra. 9. El valor actual de un flujo continuo de ingreso de 2000 U.M. durante 5 años al 6% de interés compuesto continuamente está dado por 𝑓 (𝑡) = 2000𝑒 −0.06𝑡 𝑑𝑡. Determine: a. El Ingreso total b. El valor presente c. El valor futuro

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87

Superávit de Consumidor

El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto es igual a la oferta. Algunos consumidores están dispuestos a comprar x3 unidades si el precio fuera $p3. Los consumidores que están dispuestos a pagar más de $p1 se benefician por el precio más bajo. La ganancia total para todos aquellos dispuestos a pagar más de $p1 se conoce como superávit del consumidor cuya fórmula está dada por 𝑥1

𝐶𝑆 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 − 𝑝1 𝑥1 0

, donde f(x) es la demanda, p1 es el precio de equilibrio y x 1 es la cantidad en equilibrio, p1x1 representa el total que gastaron los consumidores y que los productores recibieron como ingreso. Problemas 1. La función demanda para x unidades de un producto es p = 100/(x+1) dólares. Si el precio de equilibrio es $20, ¿cuál es el superávit del consumidor? Por datos f(x)=100/(x+1) y p1=20, debemos hallar q1 Remplazando 100 100 20 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑥 + 1 = 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 5 − 1 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 4 𝑥+1 20 Entonces el punto de equilibrio es (4, 20), el superávit del consumidor es

Cálculo Integral

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4

𝐶𝑆 = ∫ 0

100 𝑑𝑥 − 20 ∗ 4 = 100 ln(𝑥 + 1) 40 𝑥+1

88

− 80

= 100[ln(5) − ln(1)] − 80 = 100[1.6 − 0] − 80 = 160 − 80 = 80 El superávit del consumidor es aproximadamente de 80 dólares 2. La función demanda de un producto es 𝑝 = √49 − 6𝑥 y su función de oferta es p = x + 1 donde p se da en dólares y x es el número de unidades. Encuentre el punto de equilibrio y el superávit del consumidor. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta √49 − 6𝑥 = 𝑥 + 1 Elevamos al cuadrado ambos términos de la igualdad 2 (√49 − 6𝑥) = (𝑥 + 1)2 49 − 6𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 2 𝑥 + 2𝑥 + 1 + 6𝑥 − 49 = 0 𝑥 2 + 8𝑥 − 48 = 0 Factorizando (𝑥 + 12)(𝑥 − 4) = 0 Ósea que 𝑥 + 12 = 0, 𝒙 = −𝟏𝟐 o 𝑥 − 4 = 0, 𝒙 = 𝟒 Es decir que la cantidad en equilibrio 𝑥1 = 4 unidades, remplazando en la ecuación de la oferta 𝑝 = 4 + 1, 𝒑 = 𝟓 Entonces el precio de equilibrio 𝑝1 = 5, como la demanda 𝑓 (𝑥 ) = √49 − 6𝑥 , 𝑥 remplazamos en la ecuación 𝐶𝑆 = ∫0 1 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 − 𝑝1 𝑥1 4

𝐶𝑆 = ∫ √49 − 6𝑥𝑑𝑥 − (5)(4) 0

Resolviendo 1 4 𝐶𝑆 = − (49 − 6𝑥 )3/2 | | − 20 0 9 1 1 𝐶𝑆 = [− (49 − 6(4))3/2 ] − [− (49 − 6(0))3/2 ] − 20 9 9 𝐶𝑆 = (−13.88) − (−38.11) − 20 = 4.23 El superávit del consumidor será aproximadamente de 4.23 dólares

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89

3. La función de demanda para un producto es p = 34 – x2. Si el precio es de $9. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 4. La función de demanda para un producto es p = 100 –4x. Si el precio es de $40. ¿Cuál es el superávit del consumidor? 5. La función de demanda para un producto es p = 200/(x +2). Si la cantidad en equilibrio es 8 unidades. ¿Cuál es el superávit del consumidor?

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90

Superávit del Productor Cuando se vende un producto al precio de equilibrio, algunos productores también se benefician ya que ellos estaban dispuestos a vender el producto a un precio más bajo. El área entre la línea p=p1 y la curva de la oferta x=0 y x=x1 da como resultado el

superávit del productor. Si la función de la oferta es p = g(x), el superávit de productor está dado por la diferencia entre el área entre la gráfica p=g(x) y el eje de las x entre 0 a x1. 𝑥1

𝑃𝑆 = 𝑝1 𝑥1 − ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 0

, p1x1 representa el ingreso total en el punto de equilibrio.

Problemas 1. Suponga que la función oferta para una mercancía es p = 4x2 + 2x + 2. Si el precio de equilibrio es de $422. ¿Cuál es el superávit del productor? Inicialmente debemos hallar la cantidad en equilibrio remplazando el precio de equilibrio 𝑝1 = 422 en la función oferta 422 = 4𝑥 2 + 2𝑥 + 2 4𝑥 2 + 2𝑥 + 2 − 422 = 0 4𝑥 2 + 2𝑥 − 420 = 0 Factorizando 𝑥 = 10 ó 𝑥 = −10.5 La cantidad en equilibrio es 𝑥1 = 10 La función oferta es 𝑔(𝑥 ) = 4𝑥 2 + 2𝑥 + 2, remplazamos en 𝑃𝑆 = 𝑝1 𝑥1 − 𝑥1 ∫0 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 10

𝑃𝑆 = (422)(10) − ∫ (4𝑥 2 + 2𝑥 + 2)𝑑𝑥 0

Cálculo Integral

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91

Resolviendo 4𝑥 3 10 + 𝑥 2 + 2𝑥] | | 0 3 3 4(10) 4(0)3 𝑃𝑆 = 4220 − [( + 102 + 2(10)) − ( + (0)2 + 2(0))] 3 3 𝑃𝑆 = 4220 − [1453.33 − 0] = 2766.67 𝑃𝑆 = 4220 − [

El superávit del productor será de 2766.67 dólares 2. Encuentre el superávit del productor para una mercancía si su función demanda es p = 81 – x2 y su función oferta es p = x2 + 4x + 11. Para hallar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la demanda y la oferta 81 − 𝑥 2 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 11 Despejando 2𝑥 2 + 4𝑥 − 70 = 0 Factorizando (𝑥 + 7)(2𝑥 − 10) = 0 Ósea que 𝑥 + 7 = 0, 𝒙 = −𝟕 o 2𝑥 − 10 = 0, 𝒙 = 𝟓 Es decir que la cantidad en equilibrio 𝑥1 = 5 unidades, remplazando en la función demanda 𝑝 = 81 − 52 , 𝒑 = 𝟓𝟔 Entonces el precio de equilibrio 𝑝1 = 56, como la oferta es 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 + 𝑥 11 , remplazamos en 𝑃𝑆 = 𝑝1 𝑥1 − ∫0 1 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 5

𝑃𝑆 = (56)(5) − ∫(𝑥 2 + 4𝑥 + 11)𝑑𝑥 0

Resolviendo 𝑥3 5 [ 𝑃𝑆 = 280 − + 2𝑥 2 + 11𝑥] | | 0 3 53 03 + 2(5)2 + 11(5)) − ( + 2(0)2 + 11(0))] 3 3 𝑃𝑆 = 280 − (146.66 − 0) = 133 𝑃𝑆 = 280 − [(

El superávit del productor será aproximadamente de 133.33 dólares

Cálculo Integral

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3. Suponga

que

José F. Barros Troncoso

la

función

demanda

para

una

92

mercancía

es

𝑝 = √245 − 2𝑥 y la de oferta para la misma mercancía 𝑂: 𝑝 = 5 + 𝑥, calcule a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor a. El punto de equilibrio. Igualamos las funciones de demanda y oferta √245 − 2𝑥 = 5 + 𝑥 , elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad 2

(√245 − 2𝑥) = (5 + 𝑥 )2 , simplificando y resolviendo el producto notable 245 – 2𝑥 = 25 + 10 𝑥 + 𝑥 2 , igualando a cero 0 = 𝑥 2 + 10 𝑥 + 25 − 245 + 2𝑥 0 = 𝑥 2 + 12𝑥 − 220 , factorizando (𝑥 + 22)(𝑥 − 10) = 0 , por ser un producto nulo 𝑥 + 22 = 0 ó 𝑥 – 10 = 0 , es decir 𝑥 = −22 ó 𝑥 = 10 , depreciamos la cantidad 𝑥 = −22 ya que no tiene sentido para el problema y tomamos 𝑥 = 10 como la cantidad de equilibrio. Remplazamos en la función de oferta, 𝑃 = 5 + 10 = 15 , luego el precio de equilibrio es de 15 U.M. b. Superávit del Consumidor. Debemos calcular 𝑥1

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 − 𝑝1 𝑥1 0

, donde 𝑓(𝑥) es la demanda, 𝑥1 la cantidad de equilibrio y 𝑝1 el precio de equilibrio. Remplazando 10

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = ∫ √245 − 2𝑥𝑑𝑥 − (15)(10) 0

Cálculo Integral

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93

10

𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = ∫ √245 − 2𝑥 𝑑𝑥 − 150 0 𝑑𝑢

, hacemos 𝑢 = 245 − 2𝑥, entonces 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥, por tanto −2 = 𝑑𝑥, remplazando 10

𝑑𝑢 1 2𝑢3/2 10 ] − 150 − 150 = − [ 0 −2 2 3 0 1 10 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = − [(245 − 2𝑥 )3/2] − 150 0 3 1 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = − {[245 − 2(10)]3/2 − [245 − 2(0)]3/2 } − 150 3 1 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = − {3375 − 3834.85} − 150 3 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = ∫ 𝑢1/2

1 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = − {−459} − 150 = 153.28 − 150 3 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜𝑟 = 3.28 c. Superávit del productor. Debemos calcular 10

𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝑝1 𝑥1 − ∫ (5 + 𝑥)𝑑𝑥 0

, remplazando e integrando 𝑥 2 10 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 = (15)(10) − [5𝑥 + ] 2 0 (10)2 10 ] 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 = 150 − [5(10) + 0 2 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 = 150 − 100 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟á𝑣𝑖𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜𝑟 = 50 4. Dadas las ecuaciones de demanda y de oferta determine el superávit del consumidor y del productor 𝐷: 𝑝 = 65 − 𝑥 2 1 𝑂: 𝑝 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 3 Inicialmente hallamos el punto de equilibrio es decir 𝐷 = 𝑂 1 65 − 𝑥 2 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 3 , despejando

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1 2 𝑥 + 2𝑥 + 5 − 65 + 𝑥 2 = 0 3 4 2 𝑥 + 2𝑥 − 60 = 0 3 , resolviendo 𝑥 = −7.5 ó 𝑥 = 6, como 𝑥 es la cantidad la expresión 𝑥 = −7.5 no tiene sentido por tanto la depreciamos y trrabajamos solo con 𝑥1 = 6 Remplazamos en la función demanda para hallar el precio de equilibrio 𝑃 = 65 − (6)2 = 29 , luego 𝑝1 = 29 Hallamos el superávits del consumidor 𝑥1

𝑆𝐶 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 − 𝑝1 𝑥1 0

, donde 𝑓(𝑥) es la función demanda, remplazando

6

𝑆𝐶 = ∫ (65 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 − (29)(6) = [65𝑥 − 0

𝑥3 6 63 ] − 174 = [65(6) − ] − 174 3 0 3

= 318 − 174 = 144 𝑆𝐶 = 144 𝑈. 𝑀. El superávits del consumidor es de 144 U.M. Hallamos el superávits del productor 𝑥1

𝑆𝑃 = 𝑝1 𝑥1 − ∫ 𝑔(𝑥 )𝑑𝑥 0

, donde 𝑔(𝑥) es la función oferta, remplazando 6 1 𝑆𝑃 = (29)(6) − [∫ ( 𝑥 2 + 2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 ] 0 3 , integrando 𝑥3 6 𝑆𝑃 = 174 − [ + 𝑥 2 + 5𝑥] = 174 − 90 = 84 0 9 𝑆𝑃 = 84 𝑈. 𝑀. El superávits del productor es de 84 U.M. 5. Suponga que la función oferta para una mercancía es p=0.1x2+3x+20. Si el precio de equilibrio es de $36. ¿Cuál es el superávit del productor? 6. Si la función de oferta para un producto es p = 10ex/3. ¿Cuál es el superávit del productor cuando se venden 15 unidades?

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7. Suponga que para cierto producto, la función de demanda es p=200e-0.01x y la función oferta es 𝑝 = √200𝑥 + 49, si la cantidad en equilibrio es de 31 unidades encuentre: a. El punto de equilibrio b. El superávit del consumidor c. El superávit del productor 8.

Determine el superávit del consumidor y del productor en el caso de un producto cuyas funciones de demanda y de oferta aparecen en seguida 𝐷: 𝑝 = 15 − 2𝑥 𝑂: 𝑝 = 3 + 𝑥

𝐷: 𝑝 = 17 – 0.5𝑥 𝑂: 𝑝 = 5 + 0.3𝑥

𝐷: 𝑝 = 1100 – 𝑥 2 𝑂: 𝑝 = 300 + 𝑥 2

𝐷: 𝑝 = 400 – 𝑥 2 𝑂: 𝑝 = 20𝑥 + 100

D: 𝑝 = √49 − 6𝑥 𝑂: 𝑝 = 𝑥 + 1

𝐷: 𝑝 = 110 – 𝑥 2 𝑂: 𝑝 = 2 − 6/5𝑥 + 1/5𝑥 2

𝐷: 𝑝 = 12/(𝑥 + 1) 𝑂: 𝑝 = 1 + 0.2𝑥

𝐷: 𝑝 = 49 – 𝑥 2 𝑂: 𝑝 = 4𝑥 + 4

𝐷: 𝑝 = 22 – 0.8𝑥 𝑂: 𝑝 = 6 + 1.2𝑥

1

D: 𝑝 = 15 − 2 𝑥 1

3

O: 𝑝 = 4 𝑥 − 2 𝐷: 𝑝 = 81 − 𝑥 2 𝑂: 𝑝 = 𝑥 2 + 4𝑥 + 11

D: 𝑝 = 𝑥 2 − 4 O: 𝑝 = 𝑥 + 8 𝐷: 𝑝 = √245 − 2𝑥 𝑂: 𝑝 = 5 + 𝑥

Cálculo Integral

D: 𝑝 = 100 – 0.05𝑥 O: 𝑝 = 10 + 0.1𝑥

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LA INTEGRAL DOBLES La integral doble tiene una interpretación geométrica como volumen de un sólido. Efectivamente cada término de la sumatoria (1) representa el volumen de un cuerpo elemental de base (𝑟𝑖) y altura (𝐻) Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra el procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. 𝑏

𝑑

Si la expresión ∫𝑎 ∫𝑐 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 se refiere a una integral iterada, la parte externa 𝑏

𝑑

∫𝑎 … . 𝑑𝑥 es la integral con respecto a x de la función de x: 𝑔(𝑥 ) = ∫𝑐 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ó 𝑑𝑥 𝑑𝑦, y por lo general se calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este 𝑏 𝑑 𝑑 𝑏 caso no existe la integral doble, ya que se tiene: ∫𝑎 ∫𝑐 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 ≠ ∫𝑐 ∫𝑎 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Definición de Integral Doble Las sumas empleadas para estimar la temperatura promedio en la habitación son semejantes a las sumas de Riemann que se utilizan para definir la integral definida en una función en una variable. Para una función de dos variables; decimos: Dada una función continua 𝑓 (𝑥, 𝑦) definida en una región rectangular 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, construimos una suma de Riemann al subdividir la región de rectángulos más pequeños. Esto se hace subdividiendo cada uno de los intervalos 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, en n y m sub-intervalos iguales respectivamente, y se obtienen 𝑛𝑥𝑚 sub-rectángulos (figura 4).

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𝑏−𝑎

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𝑑−𝑐

Cada sub-rectángulo tiene un área ∆𝐴 = ∆𝑥. ∆𝑦, siendo ∆𝑥 = 𝑛 𝑦 ∆𝑦 = 𝑚 . Para calcular la suma de Riemann, multiplicamos el área de cada subrectángulo por el valor de la función en un punto del rectángulo y sumamos todos los números resultantes. Si elegimos el valor máximo de cada función 𝑀𝑖𝑗 , obtenemos la suma superior: ∑𝑖,𝑗 𝑀𝑖𝑗 ∆𝑥∆𝑦. La suma inferior se obtiene al tomar el valor mínimo de cada rectángulo 𝐿𝑖𝑗 . Luego cualquier otra suma de Riemann satisface la siguiente relación: ∑ 𝐿𝑖𝑗 ∆𝑥∆𝑦 ≤ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )∆𝑥∆𝑦 ≤ ∑ 𝑀𝑖𝑗 ∆𝑥∆𝑦 𝑖,𝑗

𝑖,𝑗

𝑖,𝑗

Donde (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) es cualquier punto del ij-ésimo subrectángulo. Luego, definimos la integral definida como el límite para el número de subdivisiones n y m que tienden a infinito o lo que es equivalente, la longitud de estas subdivisiones ∆𝑥 𝑦 ∆𝑦 tienden a cero. Tenemos entonces la siguiente definición:

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Supongamos que la función f es continua en D, el rectángulo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑. Definimos la integral definida de 𝑓 sobre D, como: ∬ 𝑓 𝑑𝐴 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ∆𝑥∆𝑦 ∆𝑥→0 ∆𝑦→0 𝑖,𝑗

𝐷

Esta integral recibe el nombre de integral doble.

Muchas veces consideramos a 𝑑𝐴 como un rectángulo infinitesimal de longitud 𝑑𝑥 y altura 𝑑𝑦, de modo que 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 𝑑𝑦, entonces ∬ 𝑓 𝑑𝐴 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐷

𝐷

Ejercicio. Resolver cada integral doble 3 2 1. ∫0 ∫0 (4 − 𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 Resolvemos inicialmente la integral más interna 3

2

3

2

3

3 𝑦3 2 ∫ ∫ (4 − 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ (4 − 𝑦 𝑑𝑦] 𝑑𝑥 = ∫ [4𝑦 − ] 𝑑𝑥 = ∫ 5.33𝑑𝑥 3 0 0 0 0 0 0 0 , ahora resolvemos la integral externa o la que queda 3 2 3 3 ∫ ∫ (4 − 𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ 5.33𝑑𝑥 = [5.33𝑥 ] = 16 0 0 0 0 , por tanto 2)

2)

3

2

∫ ∫ (4 − 𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 = 16 0

3 0 ∫0 ∫−2(𝑥 2 𝑦

0

2. − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 Resolvemos inicialmente la integral más interna 3

0

3

0

∫ ∫ (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [∫ (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦] 𝑑𝑥 0 3

−2

0

0

−2

3

3 𝑦2 𝑦2 𝑥 2𝑦 2 0 0 2 2 ∫ ∫ (𝑥 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ [(𝑥 ( ) − 2𝑥 ( ))] 𝑑𝑥 = ∫ [ − 𝑥𝑦 2 ] 𝑑𝑥 −2 −2 2 2 2 0 −2 0 0 3

0

3

∫ ∫ (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 2 + 4𝑥 )𝑑𝑥 0

−2

0

, resolvemos la integral que nos queda 3 0 2𝑥 3 4𝑥 2 3 2𝑥 3 3 ∫ ∫ (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = [ ] =[ − − 2𝑥 2 ] = 18 − 18 = 0 0 3 2 0 3 0 −2 , en conclusión

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3

0

∫ ∫ (𝑥 2 𝑦 − 2𝑥𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0 0

−2

𝑦2

2

9. ∫1 ∫𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Resolvemos inicialmente la integral más interna en función de 𝑥 2

𝑦2

2

𝑦2

2

2

𝑦2 ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑑𝑥 ] 𝑑𝑦 = ∫ [[𝑥] ] 𝑑𝑦 = ∫ [𝑦 2 − 𝑦]𝑑𝑦 𝑦 1 𝑦 1 𝑦 1 1 , resolvemos la otra integral en función de 𝑦 2 𝑦2 𝑦3 𝑦2 2 ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = [ − ] = 0.66 − (−0.16) = 0.83 3 2 1 1 𝑦 , en conclusión 2

𝑦2

∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0.83 1 3

4

3

2

1

𝑥2

𝑦

10.∫0 ∫0 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥 11.∫1 ∫1 (𝑥 2 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 12.∫0 ∫3𝑥 14𝑥 2 𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥 1

1−𝑥

13.∫−1 ∫𝑥 1

3(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑦

14. ∫0 ∫0 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 3

𝑥

1

𝑦2

𝑒

ln(𝑥)

15.∫0 ∫0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑦𝑑𝑥 16.∫0 ∫0 3𝑦 3 𝑒 𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 17. ∫1 ∫1

𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦

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