MINGGU-1

Pertemuan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Pokok Bahasan dan Sub-Pokok Bahasan .Sistem bilangan Konversi Sistem bilangan .Aljabar Boolean Gerbang logik  IC-IC: bipolar Saturasi dan bipolar Non-Saturasi Teknik penyederhanaan Metode K a r n o u g h map Metode Quine- McCluske y Combinational logic Multiplexer Demultiplexer Flip Flop Monostable Multivibrator Astable Multivibrator Konter Register

5. . Daftar Pustaka 1. Alan BM 2005, Introduction to Logic Design. McGraw-Hill Comp,Inc., New  York ital E lectronics ectronics : Pri nciple nciples , D evices evices and 2. Anil K. Maini . 2007. Dig ital

 A pplic ati ati ons 3. Goodse A.P And Goodse D.A , 2008 . Digital Elechtronics 4. Jain RP.2003.Modern Digital Elektronics.Tata Mc-GrawHill. Publishing Co Singapura. 5. Ronald J.T, Neal S.W. 2001. Digital System principles and applications. Prentice Hall

BAB I SISTEM BILANGAN DAN KODE-KODENYA Sistem bilangan yang sangat familier dan populer adalah adalah sistem bilangan desimal. Simbol  bilangan dasar desimal dinyatakan dengan : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jumlah bilangan dasar (basis) desimal ada 10. Bilangan dasar ini dinyatakan base atau base atau radix. radix. Sebagai contoh 2011,11. Bilangan bulatnya adalah 2011, dinyatakan bagian integer . untuk bilangan dibelakang koma yaitu 0,11 disebut bagian  fractional.   fractional.  Sistem bilangan dasar yang lain adalah : biner (binary), binary), oktaf (octal  (octal ), ), dan heksadesimal (hexadecimal  (hexadecimal ). ). Dalam bab 1 ini akan dibahas sistem sistem bilangan: desimal, biner, oktaf dan heksadesimal. 1. Sistem Bilangan

Secara umum sistem bilangan memiliki operasi ilmu hitung (arithmetic) seperti penambahan,  perkalian dan sebagainya. Aturan untuk membentuk suatu bilangan dasar dapat dinyatakan dengan aturan sebagai berikut : (N) b =

⏟− − …  …     , ⏟− − … − … − ↑ Bagian bulat Bagian pecahan

…………………(1).

Radix dengan tanda koma atau titik

Keterangan :  N = bilangan  b = radix/basis dari sistem bilangan n = bilangan bagian bulat m = bilangan bagian pecahan dn-1 = bilangan terbesar (most significant digit atau msd) d-m = bilangan terkecil (least significant digit atau lsd) dan

0 ≤ di ≤ b –   b – 1 1

atau

0 ≤ d -f 

≤ b –   b –  1  1

Sistem bilangan dasar ditunjukkan pada Table 1 berikut. Tabel 1, Sistem bilangan dasar. Sistem bilangan Basis atau radix (b) Desimal 10 Biner 2 Oktal 8 Heksadesimal Heksadesimal 16

Simbol (dI atau d-f ) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Bobot i f i 10 10-f 2i 2-f   8i 8-f 16i 16-f

Contoh 2011,11 1101,01 2035,42 27AB98

2. Bilangan Desimal. Sistem bilangan desimal memiliki basis (radix (radix)) 10. Posisi setiap digit pada bilangan desimal memiliki bobot yang berbeda. Contoh 1.1. Bilangan desimal 2011. Bilangan 2011 ini merupakan jumlah dari setiap digit, yang ditunjukkan dengan posisi sebagai berikut. 2011 = (2 x 103) + (0 x 102) + (1 x 101) + (1 x 100) = 2000 + 0 + 10 + 1 = 2000 + 10 + 1 Contoh 1.2. Bilangan desimal 789,342 Digit bilangan 7 memiliki bobot ratusan (100 atau 102), digit bilangan 8 memiliki bobot  puluhan (10 atau 101), digit bilangan 9 memiliki bobot satuan (100).

Bilangan dibelakang koma adalah bilangan desimal pecahan. Digit bilangan 3 memiliki bobot 0,1 atau 10-1, pecahan digit 4 bobotnya 0,01 atau 10-2, dan digit bilangan 2 memiliki bobot 0,001 atau 10-3. 789,342 = (7 x 102) + (8 x 101) + (9 x 100) + (3 x 10-1) + (4 x 10-2) + (2 x 10-3) = (7 x 100) + (8 x 10) + (9 x 1 ) + (3 x 0,1) + (4 x 0,01) + (2 x 0,001) + 80 + 9 + 0,3 + 0,04 + 0,002 = 700 3. Bilangan Biner. Sistem bilangan biner memiliki basis (radix) 2 Simbol bilangan biner hanya 0 dan 1. Setiap posisi suatu bilangan biner memiliki bobot yang berbeda. Bilangan biner yang berada  paling kiri dinyatakan dengan most significant bit   (MSB) atau bobot nilai yang paling besar. Bilangan biner yang posisinya paling kanan dinyatakan dengan least   significant bit   (LSB) ini memiliki bobot nilai paling kecil. Dalam bilangan biner pecahan selanjutnya digunakan dengan tanda titik ( point ). Hal tersebut untuk memisahkan bagian yang bulat dengan bagian pecahan. Kesamaan bilangan desimal dengan bilangan biner dapat dilihat pada Tabel 2. Tabel 2 Kesamaan bilangan desimal dengan bilangan biner 4 bit. Bilangan Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Bilangan biner B2 B1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1

B3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

12

1

1

0

0

13

1

1

0

1

14 15

1 1

1 1

1 1

0 1

B0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

4. Bilangan Desimal diubah Menjadi Bilangan Biner Untuk bilangan desimal yang bulat diubah menjadi bilangan biner dengan cara dibagi 2 sampai habis. Dan pada bilangan desimal pecahan dengan dikali 2 sampai diperoleh nilai nol. Proses perubahan bilangan decimal menjadi bilangan biner ditunjukkan contoh berikut. Conoh 1.3 Bilangan desimal 11 atau (11)10 diubah menjadi bilangan biner. Solusinya sebagai berikut.

 = 5 , sisa   = 2 , sisa   = 1 , sisa     = 0, sisa 

1 1 0 1

(11)10

MSB = 1

LSB 0

1

1

Solusi berakhir apabila hasil bagi = 0, pada contoh

 

=0

Contoh 1.4 Bilangan (23)10 diubah menjadi bilangan berbasis 2 atau bilangan biner. Solusinya.  = 11, sisa   = 5, sisa   = 2, sisa   = 1, sisa   = 0, sisa 

(23)10

1 1 1 0 1 MSB LSB = 1 0 1 1 1

Contoh 1.5 Bilangan (0,125)10 diubah ke bilangan berbasis 2 atau bilangan biner. Solusinya 0,125 0,250 0,500 x2 x2 x2 0,250 0, 500 1,000

0

0

1

Dengan demikian (0,125)10 = (0.001)2

Contoh 1.6 Bilangan desimal berikut , selesaikan menjadi bilangan biner. a. 21,25 b. 11,875 c. 0,625 Penyelesaian. a. Bilangan bulat (21)10

Hasil bagi          

= = = = =

Sisa

10 5 2 1 0

1 0 1 0 1 MSB 1 0 1

0 1 LSB

dari hasil tersebut bilangan biner dapat ditulis sesuai dengan arah anak panah yaitu (10101)2 atau (21)10 = (10101)2. Bilangan pecahan (0,25)10 0,25 0,50 x2 x2 0,50 1,00

0

1

Bagian pecahan didapat (0.01)2

Dengan demikian hasil akhir (21,25) 10 = (10101.01) 2  b. Bilangan bulat (11)10 Hasil bagi  =   =   =   = 

Sisa

5

1

2

1

1 0

0 1

Bilangan bulat dari (11)10 = (1011)2 . Bilangan pecahan (0,875)10 0,875 x2 1,750

0,750 x2 1,500

0,500 x2 1,000

1

1

1

Bagian pecahan diperoleh (0.111)2

Jadi dari hasil penyelesaian bagian bulat dan bagian pecahan, dapat dinyatakan bahwa  bilangan desimal 11,875 sama dengan bilangan biner 1011.111 atau (11,875)10 = (1011.111)2 c. Bilangan pecahan (0,625)10 0,625 x2 1,250

0,250 x2 0,500

0,500 x2 1,000

1

0

1 Bilangan (0,625)10 = (0.101)2

5. Bilangan Biner diubah Menjadi Bilangan Desimal Suatu bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan desimal dengan menggunakan bobot seperti ditunjukkan pada Tabel 1. Contoh 1.7 Dapatkan kesamaan bilangan decimal dari bilangan biner berikut : a. 11011 ; b. 101011; c. 111001 ; d. 1010011 Solusi. a. (11011)2 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 27 Jadi (11011)2 = (27)10  b. (101011)2 = 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43 Jadi (101011)2 = (43)10 c. (111001)2 = 1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 57 Jadi bilangan biner 111001 = 57 bilangan desimal. d. (1010011)2 = 1 x 26 + 0 x 25 + 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 = 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 83 Dengan demikian bilangan biner 1010011 = 83 bilangan desimal. Contoh 1.8 Pastikan bilangan desimal dari bilangan biner berikut : a. 101.011 ; b. 1101.1011 ; c. 0.11001 ; d. 11.11011 Solusi. a. (101.011)2 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + = 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 5,375 Bilangan biner 101.011 = 5,375 bialngan desimal.

1 x 2-3

= 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 + 0,0625 = 13,6875 Jadi (1101.1011)2 = (13,6875)10 c. (0.11001)2 = 1 x 2-` + 1 x 2-2 + 0 x 2-3 + 0 x 2-4 + 1 x 2-5 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0 + 0,03125 = 0,78125 Bilangan biner 0.11001 = 0,78125 bilangan decimal d. (11.11011)2 = 1 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2 -3 + 1 x 2-4 + 1 x 2-5 = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 + 0,03125 = 3,84375 Jadi bilangan biner 11.11011 sama dengan (3,84375)10

 b. (1101.1011)2

5.1 Bentuk komplemen satu. Komplemen satu pada bilangan biner, untuk setiap bilangan biner 1 diganti dengan bilangan  biner 0 dan sebaliknya setiap bilangan 0 diganti dengan bilangan 1. Hasil bilangan tersebut dinyatakan komplemen 1 dari bilangan yang pertama. Jika salah satu bilangan tersebut positip dan bilangan yang lain negatip maka digunakan pernyataan magnitut dan sebaliknya. Sebagai contoh, (0110)2 menyatakan (+ 6)10, sedangkan (1110)2  menyatakan (- 6)10. Cara ini biasa dipakai untuk pernyataan tanda bilangan biner. Pada gambaran tersebut juga digunakan untuk  bilangan biner positip bila MSB = 0, dan bilangan negatip bila MSB = 1. Contoh 1.8 Dapatkan komplemen 1 dari bilangan biner berikut : a. 0110011101 b. 110011011 Solusi. a. 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 b. 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1001100010

001100100

Contoh 1.9 Selesaikan bilangan biner berikut ini dengan komplemen 1. a.+ 5 dan -5. b.+ 11 dan – 11. c. + 14 dan  –  14. Solusi. a. (+ 5)10 = (0101)2 b. (+ 11)10 = (01011)2 c. (+ 14)10 = (01110)2 (- 5)10 = (1011)2 (- 11)10 = (10101)2 ( - 14)10 = (10010)2 Dari contoh-contoh tersebut, dapat diamati bahwa untuk jumlah bilangan bit = n, maka  bilangan positip maximum dinyatakan dengan komplemen 1 adalah ( 2n-1  –   1) dan untuk  bilangan negatip maximumnya adalah - ( 2n-1 –  1). 5.2 Bentuk komplemen dua. Dalam komplemen dua ini melanjutkan dari komplemen satu. Jika komplemen satu pada  bilangan biner ditambah 1, maka akan menghasilkan bilangan biner komplemen dua. Contoh 1.10 Dapatkan komplemen 2 dari bilangan biner berikut. a. 011011010 b. 001010101 Solusi.

a. Bilangan

011011010

Komplemen 1 komplemen 2

 b. Bilangan Komplemen 1 komplemen 2

100100101 +1 100100110

hasil komplemen 2

001010101 110101010 +1 110101011

hasil komplemen 2

7. Perhitungan bilangan Biner. Sistem bilangan desimal memiliki perhitungan yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan  pembagian. Demikian pula operasi pada bilangan biner dapat dilakukan, dan lebih sederhana karena hanya memiliki bilangan 0 dan 1. 7.1 Penjumlahan Bilangan Biner Aturan penjumlahan pada bilangan biner diberikan pada Tabel 3 . Tabel 3. Aturan Penjumlahan Biner 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

carry

1

Contoh. 1.11 Jumlahkan bilangan biner berikut. a. 1101 dengan 1010  b. 110 dengan 1110 c. 01010101 00010000 10000101 11100101 Solusi. 1 carry 1 1 a. 1 1 0 1 b. 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 c. 0 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 1

1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1

carry 1 0 1 1 1

7.2 Pengurangan bilangan Biner.

1 1 1 1

carry 1 0 1 0 0 0

Aturan pengurangan bilangan biner dengan menggunakan Tabel 4. Tabel 4. 0-0=0 1-1=0 1-0=1 10 - 1 = 0

borrow 1

Contoh 1.12 Selesaikan pngurangkan bilangan biner berikut : a. 1101 dengan 110  b. 1011 dengan 111 c. 11110 dengan 1011 Solusi. a. 1 1 0 1 b. 1 0 1 1 c. 1 1 1 1 1 - 110 - 111 - 1011 0111 0100 10100 Bentuk pengurangan/penjumlahan bilangan biner dengan menggunakan komplemen 2. Contoh 1.13a. Selesaikan pengurangan/penjumlahan bilangan berikut dalam bentuk bilangan biner dengan 8 bit: 1). (8 - 5)10 2). (13 - 8)10 3). ( –  24 –  19))10 4). (- 13 + 8 )10 Penyelesaian. 1).. 8,

Komplemen 2 dari + 8 = 00001000 (5 )10  = 00000101 komplemen 1 = 11111010 komplemen 2 = +1 11111011 8 = 00001000 -5 = 11111011 +3 1 00000011 MSB 1 tidak diperhatikan, jadi hasil pengurangan = ( +3 )10 2). 13 Komplemen 2 dari + 13 = 00001101 (-8) (8)10  = 00001000 komplemen 1 = 11110111 komplemen 2 = +1 11111000  jadi, 13 = 00001101 -8 = 11111000 +5 1 00000101 = (+5)10 3). (- 24)10  (24)10 = 00011000

komplemen 1 = 11100111 komplemen 2 = + 1 11101000 (19)10 = 00010011 komplemen 1 = 11101100 komplemen 2 +1 11101101

(-19)10 

 jadi , - 24 - 19

= =

11101000 11101101 111010101 = (-128 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 1) = ( -43)10

4). (-13)10 

(13)10 = 00001101 komplemen 1 = 11110010 komplemen 2 = + 1 11110011  bilangan (+ 8 )10 = 00001000

 jadi, -13 = +8 = + -5 Contoh : 1-13b. Jumlahkan Solusi :

11110011 00001000 11111011 = (-128 + 64 + 32 + 16 + 0 + 2 + 1) = (-5)10 bilangan 9 dengan bilangan –  4. Gunakan dengan sistem biner.

Contoh : 1-13c. Jumlahkan bilangan 23 dengan bilangan –  48. Gunakan dengan sistem biner. Jawab : + 23 = 0 0010111 - 48 = 1 1010000 - 25 = 1 1100111 ; bila dikomplemen 2, menghasilkan : 1 0011001 ; = (-25)10 7.3 Perkalian bilangan biner. Aturan dasar perkalian bilangan biner seperti ditunjukkan table 5. Tabel 5 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

Contoh 1.14 Selesaikan perkalian bilangan biner dari soal berikut.

a. 100 x 100  b. 101 x 11 c. 111 x 11 d. 1010 x 10 Solusi. a. 100 x 100 000 000 100 10000 c.

111 x 11 111 111 10101 Soal latihan. 1. 101 x 111 2. 110 x 1001 3. 1011 x 101 4. 1101 x 110

b. 101 x 11 101 101 1111

d.

1010 x 10 0000 1010 10100

7.4 Pembagian bilangan biner. Pembagian bilangan biner dapat dilakukan seperti prosedur pada pembagian bilangan decimal. Pembagian bilangan biner seperti contoh berikut. Contoh 1.15 Selesaikan pembagian bilangan biner berikut ini a. 1001 : 11  b. 1100 : 100 c. 1111 : 11 d. 100100 : 100 Penyelesaian : 11 11 a. 11 ) 1001 b. 100 ) 1100 11 100 11 100 11 100 0 0 101 c. 11 ) 1111 11 11 11 0 8. Sistem bilangan oktal.

1001 d. 100 ) 100100 100 100 100 0

Sistem bilangan memiliki dasar (radix) sejumlah 8. Simbol bilangan oktal adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Sistem bilangan octal seperti sistem bilangan desimal dan bilangan biner yang memiliki bilangan bulat dan pecahan. Hitungan diatas bilangan 7 dimulai dengan 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, … 8.1 Perubahan bilangan oktal menjadi bilangan desimal. Bilangan oktal bulat maupun bilangan oktal pecahan dapat dilakukan peeubahan ke  bilangan desimal. Contoh 1.16 Ubahlah bilangan oktal berikut ini menjadi bilangan desimal. a. (3423)8  b. (2011)8 c. (564.5104)8 Solusi. Dengan menggunakan bobot seperti pada Tabel 1. dapat diselesaikan. a. (3423)8 = 3 x 83 + 4 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 3 x 512 + 4 x 64 + 2 x 8 + 8 x 1 = 1536 + 256 + 16 + 8 = (1816)10  b. (2011)8 = 2 x 83 + 0 x 82 + 1 x 81 + 1 x 80 = 2 x 512 + 0 + 8 + 1 = (1033)10 c. (564.5104)8 = 5 x 82 + 6 x 81 + 4 x 80 + 5 x 8-1 + 1x 8-2 + 0 x 8-3 + 4 x 8-4 = 5 x 64 + 6 x 8 + 4 x 1 +

  + + 8 6

0+

 96

= 320 + 48 + 4 + 0,625 + 0,0625 + 0,0009766 = (372, 6884766)10 8.2 Pengubahan bilangan desimal ke bilangan oktal. Konversi dari bilangan desimal menjadi bilangan oktal (base 10 ke base 8), seperti  prosedur konversi dari bilangan desimal ke bilangan biner (dari base 10 ke base 2). Karena  bilangan oktal memiliki base 8, maka bilangan 8 sebagai pembaginya. Contoh 1.17 Ubahlah bilangan desimal berikut menjadi bilangan oktal. a. (274)10  b. (0,6875)10 c. (2012,875)10 Solusi. Dengan menggunakan prosedur seperti mengubah bilangan desimal menjadi bilangan biner, maka contoh soal 1.16 dapat diselesaikan sebagai berikut.

a.

Hasil bagi

sisa

7 8

=

34

2

 8

=

4

2

 8

=

0

4 4 2 2

 jadi

(274)10  = (422)8

 b. Penyelesaian bilangan pecahan dilakukan sebagai berikut ini. 0, 6875 8 5, 5000

0, 5000 8 4, 0000

5 4  jadi (0,6875)10 = (0.54)8 cbilangan desimal ini terdiri dari bilangan bulat 2012 dan bilangan pecahan. 0,87. (2012,875)10 5. Bilangan desimal bulat diselesaikan seperti jawaban 1.16 a, maka Hasil bagi sisa  8  8  8  8

= 251 = 31 = 3 = 0

5 3 7 3

3 7 3 5  jadi bilangan desimal bulat (2012)10  = (3735)8 Bilangan pecahan (0,875)10 diselesaikan seperti contoh 1.16 b, maka 0,875 8 7,000

jadi bilangan decimal (0,875)10  = (0.7)8

dengan demikian (2012) 10 = (3735.7)8 8.3 Pengubahan bilangan oktal menjadi bilangan bilangan biner. Bilangan oktal dapat diubah menjadi bilangan biner dengan menempatkan setiap digit  bilangan oktal menjadi 3 bit bilangan biner. Ekuivalen bilangan oktal dan bilangan biner dengan  bilangan desimal 0 sampai dengan 15 dinyatakan dalam Tabel 6. Tabel 6. Ekuivalen bilangan desimal ,biner, dan oktal. Desimal

Biner

Oktal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

000000 000001 000010 000011 000100 000101 000110 000111 001000 001001 001010 001011 001100 001101 001110 001111

0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17

Bilangan oktal dapat diubah menjadi bilangan biner dengan membuat grup (kelompok). Setiap digit bilangan oktal dibuat kelompok 3 bit bilangan biner dan diawali dari LSB selanjutnya ke MSB untuk bilangan bulat. Pada bilangan pecahan diawali setelah tanda titik (point). Contoh 1. 17 Ubahlah bilangan oktal berikut ini menjadi bilangan biner. a. (653)8  b. (1246)8 c. (567.342)8 Solusi. Dari Tabel 6 dapat diselesaikan. a. (653)8 = ( 110 101 011)2  b. (1246)8  = (001 010 100 110)2 c. (567.342)8 = ( 101 110 111. 011 100 010)2 Bila bilangan biner diubah menjadi bilangan oktal, maka cara penyelesaian untuk 3 digit  bilangan biner dinyatakan 1 bit bilangan oktal. Pengelompokan diawali dari LSB selanjutnya ke MSB untuk bilangan bulat, sedang untuk bilangan pecahan dimulai dari tanda koma atau tanda dot kebelakang/ kekanan Contoh 1. 18 Ubahlah bilangan biner berikut ini menjadi bilangan oktal. a. (1110101)2  b. (1010111.110001111001)2 c. (101101110.011010100)2 Solusi : a. (1110101)2 = 001 110 101 = 1 6 5 Jadi (1110101)2  = (165)8  b. (1010111.110001111001)2 = =

001 010 111. 110 001 111 001 1 2 7 . 6 1 7 1

jadi (1010111.110001111001)2 = (127.6171)8 c. (101101110.011010100)2 = 101 101 110. 011 010 100 = 5 5 6 . 3 2 4  jadi (101101110.011010100)2 = (556.324)8 9. Sistem Bilangan Hexadesimal. Sistem Bilangan Hexadesimal sangat populer didalam penggunaan komputer. Base sistem bilangan hexadesimal ada 16. Simbol bilangan yang dimiliki adalah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. Sistem bilangan hexadesimal sangat berbeda dengan simbol bilangan yang lain, yaitu memiliki simbol yang berupa angka (numerik) dan huruf (alphabet). Tabel 7 menunjukkan ekuivalen bilangan desimal dengan bilangan biner dan bilangan hexadesimal. Tabel 7 Ekuivalen bilangan desimal ,biner, dan Hexadesimal Bilangan Desimal

Biner

Hexadesimal

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

Tabel 7 terlihat bahwa ada 16 kombinasi untuk bilangan biner. Setiap satu set 4 bilangan biner dapat dimasukkan ke komputer dalam bentuk digit hexadesimal. 9.1 Pengubahan bilangan hexadesimal menjadi bilangan desimal. Dengan menggunakan persamaan 2.1 bilangan hexadesimal dapat diubah menjadi  bilangan desimal. Contoh 1. 19 Dengan menggunakan persamaan 2.1 ubahlah bilangan hexadesimal berikut ini, menjadi  bilangan desismal. a. (2AE.4C)16 ; b. (45F.A8)16 ;c. (2011.8F)16

Solusi. a. (2AE.4C)16 = 2 x 162 + 10 x 161 + 14 x 160 + 4 x 16-1 + 12 x 16-2  6

= 2 x 256 + 10 x 16 + 14 x 1 + = 512 + 160 = 686,296875  jadi (2AE.4C)16 = (686,296875)10

+

14

+

+ 0,25

 6

+ 0,046875

 b. (45F.A8)16 = 4 x 162 + 5 x 161 + 15 x 160 + 10 x 16-1 + 8 x 16-2

 jadi (45F.A8)16

 6

= 4 x 256 + 5 x 16 + 15 x 1

+

= 1024 + 80 = 1119,65625 = (1119,65625)10

+ 0,625

+

15

+

8 6

+ 0,03125

c. (2011.8F)16 = 2 x 163 + 0 x 162 + 1 x 161 + 1 x 160 + 8 x 16-1 + 15 x 16-2

 jadi (2011.8F)16

8 6

= 2 x 4096 + 0 x 256 + 1 x 16 + 1 x 1

+

= 8192 + 0 + 16 + 1 = 8209,558594 = (8209,558594)10 = (8209,5586)10

+ 0,5

+

 6

+ 0,05859375

9.2 Konversi bilangan desimal menjadi bilangan hexadesimal. Bilangan desimal dapat diubah menjadi bilangan hexadesimal dengan menggunakan  prosedur seperti mengubah bilangan desimal menjadi bilangan biner. Untuk mengubah  bilangan desimal menjadi bilangan hexadesimal dengan menggunakan pembagi 8 pada  bilangan bulat. Pada bilangan pecahan dikalikan 8. Contoh 1. 20 Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bilangan hexadesimal. a. (91)10  b. (975,125)10 c. (2012,625)10 Solusi a.

hasil bagi

sisa

5

11

0

5

9 = 6  = 6

5 B jadi (91)10 = (5B)16

 b. Bilangan bulat hasil bagi 97 6 6 6  6

sisa

60

15

3

12

0

3 3 C F

bilangan bulat (975)10 = (3CF)16

bilangan pecahan 0,125 x 16 750 125 2,000 bilangan pecahan (0,125)10  = (0.2)16 dengan demikian bilangan (975,125)10 = (3CF.2)16 c. Bilangan bulat hasil bagi  6  6 7 6

sisa

125

12

7

13

0

7 7 D C

bilangan (2012)10 = (7DC)16

 bilangan pecahan 0,625 x 16 3750 625 10,000 A , bilangan pecahan (0,625)10 = (0.A)16 dengan demikian bilangan (2012,625)10 = (7DC.A)16 9.3 Konversi bilangan biner menjadi bilangan hexadesimal. Bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan hexadesimal dengan menggunakan kelompok. Untuk setiap 4 bit dari bilangan biner menjadi 1 digit bilangan hexadesimal. Pengelompokan diawali dari LSB bilangan biner bulat menuju kearah MSB. Pada bagian pecahan juga dibuat kelompok 4 bit setelah tanda titik (point) dilanjutkan kearah kanan. Contoh 1. 21 Ubahlah bilangan biner berikut menjadi bilangan hexadecimal. a. 1101011011 b. 0.001111010110 Jawab. a. (1101011011)2 = 0011 0101 1011 3

5 13  jadi (1101011011)2 = (35B)16  b. (0.001111010110)2 = 0.0011 1101 0110 = 0. 3 13  jadi (0.001111010110) = (0.3D6)16

6

Dari contoh 1. 21 tersebut dapat diamati bahwa setiap kelompok 4 bit bilangan biner dapat dilengkapi dengan angka 0 (nol) pada kelompok pertama (most significant digit atau MSD)

untuk bilangan bulat. Pada bagian bilangan pecahan dapat dilengkapi angka 0 (nol) yang terakhir (least significant digit atau LSD) 9.4 Perubahan bilangan hexadesimal menjadi bilangan oktal atau sebaliknya. Perubahan bilangan hexadesimal ke bilangan oktal atau sebaliknya, masing-masing diubah menjadi bilangan biner. Contoh 1. 22 Ubahlah bilangan hexadesimal menjadi bilangan biner. a. B719D  b. 0.AC4F Jawab. a. (B719D)16 = (1011 0111 0001 1001 1101)2 = 010 110 111 000 110 011 101 =

2

6

7

0

6

3

5

 jadi (B719D)16 = (2670635)2  b. (0.AC4F)16 = ( 0. 0110 1100 0100 1111)2 = 0. 011 011 000 100 111 100 = 0. 3 3 0  jadi (0.AC4F)16  = (0.330474)2

4

7

4

9.5 Bentuk-bentuk kode Didalam teknik digital ada beberapa macam kode. Kode-kode antara lain : - Biner code decimal (BCD) - Kode Excess-3 - Kode Gray - Kode Oktal - Kode Hexadesimal - Kode Alpanumerik 9.5.1 Biner code desimal (BCD). Bit - a binary digit 0 or 1 Nibble - a group of four bits Byte - a group of eight bits Word - a group of sixteen bits; a word has two bytes or four nibbles

Bit: A single, bivalent unit of binary notation. Equivalent to a decimal ”digit.” Crumb, Tydbit , or Tayste: Two bits. Nibble , or Nybble : Four bits. Nickle : Five bits. Byte: Eight bits. Deckle: Ten bits. Playte: Sixteen bits. Dynner: Thirty-two bits. Word: (system dependent).

• • • • • • •

•

 Biner code decimal   (BCD) adalah kode untuk menyatakan bilangan desimal. Setiap satu digit desimal dinyatakan dengan 4 bit kode biner. Pada sistem BCD ada sepuluh (10) kelompok kode seperti ditunjukkan dalam Tabel 8. Tabel 8. Desimal BCD

0 0000

1 0001

2 0010

3 0011

4 0100

5 0101

6 0110

7 0111

8 1000

9 1001

Kode 8421 adalah tipe dari kode BCD. Biner Code decimal (BCD) dimaksudkan setiap digit desimal 0 sampai dengan 9 dinyatakan dengan kode biner 4 bit. Bobot dari kode 8421 adalah 23, 22, 2 1, 20. Sangat sederhana untuk menyatakan suatu bilangan desimal dalam bentuk BCD, yaitu setiap digit bilangan desimal disamakan dengan k ode biner 4 bit. Contoh 1. 23 Ubahlah bilangan decimal berikut ini menjadi BCD a. 47  b. 89 c. 165 d. 3237 Solusi. a. 4 7 b. 8 9 0100 0111 c.

1

6

1000 1001 5

d.

0001 0110 0101

3

2

3

7

0011 0010 0011 0111

9.5. a. Penambahan dan Pengurangan sistem BCD. Penambahan dan pengurangan sistem BCD banyak digunakan didalam kalkulator maupun komputer. Setiap 1 digit desimal dinyatakan dengan kode 4 bit dari 0000 sampai dengan 1001. Bilangan desimal bila dilakukan penjumlahan dalam bentuk BCD, maka ada 2 ketentuan yaitu :  jumlahnya sama dengan 9 atau lebih kecil dari 9 dan lebih besar dari 9. a.1. Jumlah bilangan desimal sama dengan 9 atau lebih kecil dari 9. Contoh: Jumlahkan bilangan berikut dalam bentuk BCD a. 3 + 5  b. 4 + 3 c. 2 + 7 Solusi : a. 3 bentuk BCD + 5 bentuk BCD 8 bentuk BCD Contoh a. 23 + 35

0011 0101+ 1000

b. 4 BCD + 3 BCD 7 BCD

0100 0101 + 0111

c. 2 BCD + 7 BCD 9 BCD

0010 0111 + 1001

b. 55 + 24 Solusi : a. 23 BCD + 35 BCD 58 BCD

0010 0011 0011 0101 + 0101 1000

b. 55 BCD 24 BCD 79 BCD

0101 0101 0010 0100 0111 1001

a.2. Jumlah bilangan desimal lebih dari 9 Contoh : Susunlah penjumlahan dalam bentuk BCD a. 7 + 8  b. 6 + 5 Jawaban : a. 7 BCD 0111 b. 6 BCD 0110 + 8 BCD 1000 + 5 BCD 0101 15 1111 11 1011 Jawaban a dan b kode kelompok untuk BCD tidak benar. Karena 1111 untuk satu digit bilangan desimal hanya 0000 atau (0)10 sampai dengan 9 atau (1001)10.  Jawaban tersebut perlu dibenarkan. Dengan cara hasil penjumlahan ditambah 0110 sebagai berikut. a.

7 BCD 0111 b. 6 BCD 0110 + 8 BCD 1000 + + 5 BCD 0101 + 15 1111 Tidak valid 11 1011 0110 + , Koreksi di + 6 0110 + , Koreksi di + 6 10101 BCD 0001 0101 = (15)10 10001 BCD 0001 0001 = (11)10

Perbandingan Biner dengan BCD 13710 _ (10001001)2  (binary) 13710 _ 0001 0011 0111 (BCD) 9.5.2 Kode exces-3 Kode exces-3 adalah setiap digit bilangan desimal ditambah 3. Sebagai contoh, desimal 2. Kode exces-s = 0010 + 0011 = 0101. Desimal 5, kode exces-3 adalah 0101 + 0011 = 1000. 9.5.3 Kode Gray Kode Gray dapat diubah menjadi kode biner dan sebaliknya, yakni bilangan biner dapat diubah menjadi kode Gray. Bilangan awal atau bilangan paling kiri pada bilangan biner (most significant bit MSB) selalu sama dengan awal kode Gray dan sebaliknya. Cara mengubah bilangan biner menjadi kode Gray sebagai berikut.

Bilangan biner 11010 1 + 1 +

1

0

0 +

1

+ 0

Biner

1

1

1

Gray

Jadi Bilangan biner 11010 = 10111 kode Gray. Cara mengubah kode Gray menjadi kode biner adalah sebagai berikut. Kode Gray : 11010110 1 1 0 1 0 1 1 0 + 1

+ 0

+ 0

+ 1

+ 1

+ 0

+ 1

1

Jadi kode Gray 11010110 = 10011011 bilangan biner.  Applications kode Gray 1. The Gray code is used in the transmission of digital signals as it minimizes the occurrence of errors. 2. The Gray code is preferred over the straight binary code in angle-measuring devices. Use ofthe Gray code almost eliminates the possibility of an angle misread, which is likely if the angle is represented in straight binary. The cyclic property of the Gray code is a plus in this application. 3. The Gray code is used for labelling the axes of Karnaugh maps, a graphical technique used for minimization of Boolean expressions. 4. The use of Gray codes to address program memory in computers minimizes power consumption. This is due to fewer address lines changing state with advances in the program counter. 5. Gray codes are also very useful in genetic algorithms since mutations in the code allow for mostly incremental changes. However, occasionally a one-bit change can result in a big leap, thus leading to new properties . 6. Sandi Gray ini sangat berguna untuk peralatan masukan/keluaran (input/output devices),  pengubah analog ke digital dan peralatan tambahan lainnya

Table 9 Generation of a larger word-length ternary Gray code. 1-digit ternary code 0 1 2

0 1 2 2 1 0 0 1 2

2-digit ternary code 3-digit ternary code 00 00 000 01 01 001 02 02 002 12 12 012 11 11 011 10 10 010 20 20 020 21 21 021 22 22 022 22 122 21 121 20 120 10 110 11 111 12 112

02 01 00 00 01 02 12 11 10 20 21 22

102 101 100 200 201 202 212 211 210 220 221 222

9.5.3 Kode Oktal Bilangan oktal dari 0 sampai dengan 7 dikode langsung menjadi 3-bit biner. Bilangan oktal dapat langsung dikode dalam bentuk biner seperti yang telah dibahas didepan yakni sub  bagian 8.3. Kode ini banyak digunakan antara lain : input biner dalam komputer digital, microprocecor. 9.5.4 Kode Hexadesimal Contoh 24. bentuk bilangan desimal 27 diubah menjadi menjadi : a. Kode biner d. kode octal  b. Kode BCD e. kode gray c. Kode excess-3 f. kode hexadecimal Solusi : a. Bilangan decimal 27 diubah langsung menjadi bentuk bilangan biner yaitu : 11011  b. Setiap digit dari bilangan decimal dikode dengan menggunakan kode BCD 4-bit dan menghasilkan : 0010 0111. c. Setiap digit bilangan decimal dikode menggunakan kode 4-bit excess-3 yaitu : 0101 1010 d. 5-bit bilangan decimal 27 dalam bilangan biner disusun menjadi kode Gray dengan hasil 10110 e. (27)10 = (33)8 = 011 011 f. (27)10 = (1B)16 = 0001 1011 Contoh 25. Dinyatakan bilangan decimal 1.a. 396 dan 2.b. 4096 susunlah menjadi bentuk : a. Kode biner langsung. d. kode oktal  b. Kode BCD e. kode hexadesimal c. Kode excees-3 Jawab : 1 a. 396 = 110001100 2.a. 4096 = 1000000000000  b. 396 = 001110010110 b. 4096 = 0100000010010110 c. 396 = 011011001001 c. 4096 = 01110011 11001001 d. 396 = (614)8 = 110001100 d. 4096 = (10000)8 = 001 000 000 000 000 e. 396 = (18C)16 = 00110001100 e. 4096 = (1000)16 = 0001 0000 0000 0000