Santiago de Cali, Junio de 2011
Evidencia experimental de la cuantización de la carga. John James Tello Cajiao a
a
Departamento de Física, Universidad del Valle,
[email protected]
Resumen
En este trabajo se exponen los resultados obtenidos en el experimento de la gota de aceite de Millikan. El experimento se llevó a cabo observando el movimiento de gotas de aceite en una cámara en la cual existía un potencial eléctrico conocido, que podía ser modificado. Siguiendo [1],[2] la ley de Stokes para fluidos y las leyes de Coulomb y Newton se obtiene una expresión que contiene a la carga de la gota junto con otras variables que se pueden medir en el laboratorio, así, de esta expresión y las medidas tomadas se pudo determinar la carga de cada gota. El análisis de de estos resultados muestra muestra que la carga eléctrica esta cuantizada cuantizada y de hecho, del experimento se puede estimar un valor para dicho cuanto de carga eléctrica.
Introducción
Luego del descubrimiento de los rayos catódicos a finales del siglo XIX por el profesor J.J. [3] Thompson, éste dedujo que debían existir partículas cargadas negativamente , para verificar su existencia era necesario medir sus propiedades, es decir carga y masa (aun no se contaba con el concepto de espín). Aunque se realizaron diferentes experimentos para medir la carga del electrón, en este articulo solo se discuten los resultados obtenidos al reproducir el método empleado por R. Millikan en 1909 quien utilizó gotas de aceite muy pequeñas sometidas a un campo eléctrico determinado. El objetivo del experimento es determinar la carga fundamental a partir de la medición del tiempo que tardan las gotas en recorrer la distancia entre las placas, y del valor del voltaje aplicado entre las mismas, esto es posible pues dado un voltaje se puede plantear una expresión para la fuerza eléctrica experimentada por la gota, que involucra su carga, las demás fuerzas que actúan sobre la gota son su peso y la resistencia del aire las cuales dependen de parámetros que pueden determinarse en el laboratorio tales como la velocidad de caída, la viscosidad del aire y la geometría de la gota. A continuación se expone el razonamiento teórico en el cual se apoya la experimentación realizada y luego se discuten las técnicas utilizadas para la misma, así como los resultados obtenidos y las conclusiones a las que se llegó.
John James Tello Cajiao
Universidad del Valle
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Fuerza eléctrica, viscosidad y peso
Si una gota esférica de aceite de radio r y densidad ρ, cae libremente a través de un fluido, experimenta, además de su peso, una fuerza (resistencia del fluido) que al cabo de un tiempo hace que la gota caiga con una velocidad constante, cuando esto sucede, tiene validez la ecuación: (1) Donde F g es el peso de la gota y F r es la resistencia que opone el fluido, en la práctica, es difícil medir la masa de la gota o su radio de manera directa, por lo tanto esta expresión puede utilizarse para estimar estas cantidades (conociendo la viscosidad η del fluido y la densidad del aceite) pues la relación (1) toma la forma (2) Donde Fr es la resistencia del fluido de acuerdo con la ley de Stokes y v 0 es la velocidad limite, así, se tiene un expresión para el radio de la gota en función de la gravedad, la viscosidad del fluido, la densidad del fluido y la velocidad de caída, todas estas, magnitudes que pueden obtenerse experimentalmente o en tablas de cantidades físicas, el radio es, pues (3) En un campo el eléctrico vertical, la gota experimenta además una fuerza eléctrica que 1 depende de la carga q de la gota y de la magnitud E del campo, por supuesto, todavía están el peso y la resistencia, sin embargo el valor de la velocidad límite es diferente al caso de caída libre, la condición de equilibrio dinámico es (4) Es decir, (5) El símbolo ± indica que el campo puede ser vertical hacia abajo (+) o vertical hacia arriba (-). 2 Se supone que las gotas son idénticas en cada experimento por lo tanto su radio cuando hay campo es el mismo, en ausencia de campo, por lo tanto se puede usar la igualdad (2) y el radio calculado en (3) en la expresión (5) de esta manera se obtiene, para la carga q,
(6)
1
A nivel experimental, se supone que la gota adquiere carga en el proceso de atomización, de todos modos no hay problema en incluir este término (teóricamente) pues de no haber carga, simplemente se obtiene el caso de caída libre ya mencionado. 2
En la práctica, se trabaja con un radio promedio.
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Aparato Hoag-Millikan
El aparato de Hoag-Millikan ( Fig. 1) consiste de una cámara de observación en el que las partes superior e inferior corresponden a las placas positiva y negativa respectivamente del capacitor requerido para que haya campo, la gota cae a través de ésta región y se pueden observar gracias a una fuente de iluminación y un microscopio dispuestos para tal fin. Encima de la cámara de observación, está la cámara de atomización que es el lugar en el que se crean las gotas de aceite con un atomizador, las gotas caen desde aquí y pasan a la cámara de observación a través de un orificio en la placa superior. En la parte inferior del aparato se localizan las conexiones para suministrar el potencial a las placas del capacitor.
Figura 1.Esquema del aparato de Hoag-Millikan
Preparación del experimento
Es necesario ajustar el microscopio antes de tomar datos, es decir, dejarlo en un posición fija tal que se tenga un campo de visión centrado en el eje que pasa por el orificio de salida de las gotas, esto se logra introduciendo un alambre en la cámara de observación (a través de la cámara de atomización) y focalizando el microscopio sobre la imagen del mismo, hecho esto, se deja el microscopio en la posición obtenida. También se debe verificar que las placas estén niveladas, para asegurar que la dirección de caída y la del campo sea la misma. En este punto, cabe señalar que el microscopio invierte la imagen de la cámara de observación. Es recomendable hacer varias observaciones de gotas antes de seleccionar una para la toma de datos, no se recomiendan gotas demasiado grandes ya que requieren campos eléctricos grandes para compensar su peso o cargas grandes las cuales son difíciles de conseguir en la [4] atomización , por otro lado, las gotas muy pequeñas no se mueven en línea recta y suelen “desaparecer”.
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Experimento
Inicialmente se hicieron observaciones para escoger el tipo de gotas adecuadamente, una vez seleccionada una, se registraron 3 tiempos de caída libre para dicha gota luego se aplicó un campo eléctrico en la dirección de la gravedad g, esto es, se seleccionó un voltaje de 100V entre las placas y se registró el tiempo empleado por la gota para recorrer la distancia entre l as placas, como la carga de las gotas es negativa, su movimiento es contrario a la dirección del 3 campo, por lo tanto la gota termina en la placa superior , inmediatamente después, se suspende el campo para que la gota descienda y pueda tomarse una nueva medida, finalmente se invirtió la polaridad del voltaje para obtener un campo anti paralelo a g, de nuevo se tomaron 3 registros del tiempo empleado por la gota para atravesar la región entre las placas, este proceso se realizó con 11 gotas. Los datos están consignados en la tabla A1 (ver anexo). Para determinar la magnitud del campo y poder estimar la velocidad de las gotas, se midió la -5 separación d entre las placas con un micrómetro, el valor obtenido fue 0,00428 ± 1x10 m. A continuación se muestran las tablas con los datos utilizados en el análisis de los resultados.
Gota
Tiempo Tiempo Tiempo Caida libre [s] Campo positivo [s] Campo negativo [s]
1
4,029
0,846
1,749
2 3
2,491
0,952
4,931
5,197
1,748
4,931
4
3,394
1,324
4,613
5
6,259
2,182
6,097
6 7
3,394
1,377
4,706
5,463
1,909
5,621
8 9
2,703
0,952
4,373
2,969
1,270
7,267
10
5,304
2,088
9,229
11
4,667
1,483
3,817
Tabla 1. Valores promedio del tiempo empleado por l a gota en las diferentes condiciones.
Magnitud
Valor
Viscosidad η
1.85x10 Ns/m
Densidad del aceite ρ
790 Kg/m
Gravedad g
9.8m/s
Separación entre las placas d Campo eléctrico (magnitud)
0.00428 ± -5 1x10 m
-5
2
3
2
0.428Vm
Tabla 2. Magnitudes físicas involucradas en el experimento
3
Recuérdese que la imagen aparecía invertida.
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Resultados
Para cada tiempo registrado calculó la velocidad limite y luego, con ayuda de la ecuación (3) y la tabla 2 se estimó tanto el radio como la masa de la gota ( ver tabla A2). Los valores de velocidad obtenidos para el tiempo de caída libre corresponden a v 0 en la ecuación (6) y los valores de velocidad para los casos con campo se corresponden con v1 en (6), cada caso (paralelo o anti paralelo a g) queda diferenciado por el signo de E. La tabla 3 muestra los resultados obtenidos
Gota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
v0 Caída libre [s] 3,72E-07 6,02E-07 2,89E-07 4,42E-07 2,40E-07 4,42E-07 2,75E-07 5,55E-07 5,05E-07 2,83E-07 3,21E-07
v1 Campo positivo [s] 1,77E-06 1,58E-06 8,58E-07 1,13E-06 6,87E-07 1,09E-06 7,86E-07 1,58E-06 1,18E-06 7,18E-07 1,01E-06
v1 Campo negativo [s] 8,58E-07 3,04E-07 3,04E-07 3,25E-07 2,46E-07 3,19E-07 2,67E-07 3,43E-07 2,06E-07 1,63E-07 3,93E-07
Tabla 3. Velocidades de caída de las gotas en las diferentes condiciones (con campo y sin campo). El valor de la carga de cada gota se calculó utilizando la ecuación (6), los once valores dispuestos en orden descendente se muestran en la tabla 4. Para establecer el carácter discreto de la carga eléctrica se calculó sucesivamente la diferencia entre las cargas de las gotas, llegando a un valor mínimo que se puede identificar como el cuanto de carga, como se contó con 2 series de velocidades v 1 el proceso mencionado arrojo dos valores para el cuanto de carga.
Gota
Carga [C](Campo paralelo a g)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
7,22E-17 6,42E-17 6,38E-17 4,06E-17 3,88E-17 3,64E-17 3,31E-17 2,58E-17 2,26E-17 1,96E-17 1,85E-17
Carga [C] (Campo anti paralelo a g) 4,27E-17 6,34E-17 5,94E-17 5,65E-17 4,31E-17 4,27E-17 3,42E-17 2,69E-17 2,40E-17 2,01E-17 2,00E-17
Tabla 4. Cargas de las gotas en orden descendente.
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Análisis de los resultados
-19
-19
Las restas sucesivas condujeron a los valores e+ = -0.800x10 C y e - = -0.021x10 C donde el subíndice + y – referencia el valor de la carga obtenido en el caso del campo paralelo y anti [5] paralelo a g respectivamente, comparando con el valor reportado en la literatura se calculó el error relativo para cada carga encontrada,
Los valores del cuanto de carga encontrados difieren notablemente del reportado en la literatura, sin embargo, cabe destacar el valor puesto que en orden de magnitud es aceptable, por el contrario esta muy alejado en orden, una posible razón para este resultado es que para campos anti paralelos a g, la gota experimenta una fuerza vertical hacia abajo mucho mayor que en cualquiera de los otros dos casos, de donde se puede inferir que la velocidad limite ha de ser mayor y por lo tanto difícil de alcanzar lo suficientemente pronto como para haber sido observada en equilibrio dinámico, es decir, a velocidad constante, en este sentido, es muy probable que en una parte considerable del camino entre las placas, la gota haya estado acelerada por lo que no aplicaría la aproximación reportada en la tabla 3. Por otra parte, observando la secuencia de diferencias ( ver Tabla A3) se pudo leer una especie de patrón en los valores de la carga de las gotas lo cual permite decir que existe la cuantización de la carga.
Conclusiones
De los resultados del experimento se pudo estimar dos valores para la carga del electrón, lo -19 más notable de estos resultados es el orden de magnitud de 10 C que concuerda con otras -19 [4] mediciones (la de Millikan fue de -1.591x10 C ). Cualitativamente se pudo observar en los datos la cuantización de la carga como se esperaba
John James Tello Cajiao
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Anexo
Gota
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Caida
Promedio
Campo
Promedio
Campo
Promedio
libre [s]
[s]
positivo [s]
[s]
Negativo [s]
[s]
3,817 3,976 4,295 2,383 2,544 2,545 5,09 5,09 5,41 3,34 3,341 3,500 6,046 6,206 6,525 3,181 3,500 3,501 5,410 5,411 5,567 2,704 2,544 2,862 2,863 3,021 3,022 5,090 5,410 5,411 4,454 4,615 4,932
4,029
2,491
5,197
3,394
6,259
3,394
5,463
2,703
2,969
5,304
4,667
1,749 1,749 1,748 0,953 0,952 0,952 1,748 1,749 1,748 1,270 1,270 1,431 2,226 2,066 2,255 1,431 1,270 1,431 1,909 1,909 1,908 0,952 0,953 0,952 1,270 1,269 1,270 2,226 1,909 2,130 1,431 1,430 1,587
1,749
0,952
1,748
1,324
2,182
1,377
1,909
0,952
1,270
2,088
1,483
0,952 0,793 0,792 4,772 5,250 4,771 4,772 5,250 4,771 4,772 4,615 4,453 6,843 5,721 5,728 4,772 4,732 4,614 5,568 5,727 5,568 4,432 4,550 4,136 7,796 7,003 7,002 9,387 8,912 9,387 3,975 3,819 3,657
0,846
4,931
4,931
4,613
6,097
4,706
5,621
4,373
7,267
9,229
3,817
Tabla A1. Datos recolectados en el experimento de la gota de aceite de Millikan
Gota
Radio [m]
masa[Kg]
1
6,33E-08
8,38E-19
2
8,05E-08
1,72E-18
3
5,57E-08
5,72E-19
4
6,89E-08
1,08E-18
5
5,08E-08
4,33E-19
6
6,89E-08
1,08E-18
7
5,43E-08
5,31E-19
8
7,72E-08
1,53E-18
9
7,37E-08
1,33E-18
10
5,51E-08
5,55E-19
11
5,88E-08
6,72E-19
Tabla A2. Radio y masa de cada gota utilizada en el experimento, de acuerdo con la ecuación (3) y la información de la tabla 2.
John James Tello Cajiao
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Carga Campo
Mayor-
[C]
menor
negativo 1
6,34E-17
4,27E-17
2,27E-17
2,26E-17
1,87E-17 1,58E-17 8,50E-18
0,00E+00 -4,00E-19 -1,38E-17 -1,67E-17 -2,07E-17
2
5,94E-17
6,34E-17
4,34E-17
4,33E-17
3,94E-17 3,65E-17 2,92E-17
2,07E-17 2,03E-17 6,90E-18 4,00E-18
3
2,69E-17
5,94E-17
3,94E-17
3,93E-17
3,54E-17 3,25E-17 2,52E-17
1,67E-17 1,63E-17 2,90E-18
4
4,31E-17
5,65E-17
3,65E-17
3,64E-17
3,25E-17 2,96E-17 2,23E-17
1,38E-17 1,34E-17
5
2,01E-17
4,31E-17
2,31E-17
2,30E-17
1,91E-17 1,62E-17 8,90E-18
4,00E-19
6
4,27E-17
4,27E-17
2,27E-17
2,26E-17
1,87E-17 1,58E-17 8,50E-18
7
2,40E-17
3,42E-17
1,42E-17
1,41E-17
1,02E-17 7,30E-18
8
5,65E-17
2,69E-17
6,90E-18
6,80E-18
2,90E-18
9
4,27E-17
2,40E-17
4,00E-18
3,90E-18
10
2,00E-17
2,01E-17
1,00E-19
11
3,42E-17
2,00E-17
Carga Campo
Mayor-
[C]
menor
positivo 1
7,22E-17
7,22E-17
5,37E-17
5,26E-17
4,96E-17 4,64E-17 3,91E-17
3,58E-17 3,34E-17 3,16E-17
2
6,38E-17
6,42E-17
4,57E-17
4,46E-17
4,16E-17 3,84E-17 3,11E-17
2,78E-17 2,54E-17 2,36E-17 4,00E-19
3
2,58E-17
6,38E-17
4,53E-17
4,42E-17
4,12E-17 3,80E-17 3,07E-17
2,74E-17 2,50E-17 2,32E-17
4
3,88E-17
4,06E-17
2,21E-17
2,10E-17
1,80E-17 1,48E-17 7,50E-18
4,20E-18 1,80E-18
5
1,85E-17
3,88E-17
2,03E-17
1,92E-17
1,62E-17 1,30E-17 5,70E-18
2,40E-18
6
3,64E-17
3,64E-17
1,79E-17
1,68E-17
1,38E-17 1,06E-17 3,30E-18
7
2,26E-17
3,31E-17
1,46E-17
1,35E-17
1,05E-17 7,30E-18
8
6,42E-17
2,58E-17
7,30E-18 6,20E-18
9
4,06E-17
2,26E-17
4,10E-18
10
1,96E-17
1,96E-17
1,10E-18
11
3,31E-17
1,85E-17
8,40E-18 8,00E-18
3,20E-18
3,00E-18
Tabla A3. Restas sucesivas entre las cargas encontradas para cada gota
Bibliografía
[1] Fluid mechanics (2ed, 1987), Vol. 6. Landau, Lifschitz. pág. 61 [2] Mecánica de fluidos, Ed. 6, White, Frank M, Mc Graw Hill, pág. 238 [3] http://es.wikipedia.org/wiki/Electr%C3%B3n, 19 de Junio de 2011 a las 3:40 pm [4] Laboratorio de Física moderna I, teoría y guía de experimentos, Tabares, Jesús A... [5] Introduction to quantum mechanics 2ed. Griffiths D.J. Pearson PH 2005
John James Tello Cajiao
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