Miller Dias - Os Segredos Da Álgebra 93960

 

 .

 

  iller   Dias  de  Araújo

Os  Segredos  da  Álgebra para  I E  ITA  Olimpíadas

Editora  Editora  Vestseller  FORTALEZA  -  CE  1 a  Edição  Julho/2018

 

Apresentação as  nele  nele   questões  um   livro  não   só  matéria  resolver  Escrever   expor  a  é  e  selecionadas.

É ,  antes,  relacionar  conteúdos,  conjugando   didaticamente   e  métodos  idéias  Trata-se  eficazes  ao  longo  obra.  de   um  trabalho  pois  são  da  árduo,  árduo,   vários  os   aspectos  (muitas  sobrepostos)  abordar,  somente  vezes  a  e  quem  é  autor  sabe  a  levar  tudo  isso  a  dificuldade  de  um  bom   termo. outro  lado,  a  escrita  deste  livro  ofereceu-me  novas  e  Por  experiências  de   tanto  quanto  oportunidades  amadurecimento  como  professor  como  autor.  Além  disso,  o  fato  de  haver  poucos,  talvez  pouquíssimos,  livros  hoje  n o   mercado  que   detalham  os   assuntos  de  que   trato  aqui  fez   com   que  minha  motivação  fosse  ainda  maior. oito  primeiros  exponho  toda  teoria,  detalhada  Nos   capítulos,  a  de  forma  e  demonstrada.  Trato  do   assunto  e,  após  fazê-lo,   trago  exemplos  resolvidos  facilitar  a  sequência,  h á  exercícios  para   para  compreensão.  Na  uma  batería  de  praticar  fixar  aprendeu. o  leitor   os  assuntos  e  o  que   maioria  questões   Você   verá  que   a  das  tem   mais  de  uma  resolução,  e  algumas  delas  foram  repetidas  capítulos  diferentes.  Isso  se  dá  que  em   para  você  possa,  se  quiser,  resolvê-las  com   o  assunto  daquele  novo  capitulo,  aumente  geral  dos   conteúdos   ainda  para   sua   visão  e  afie  mais  seu   raciocínio  

exercícios   utilizar  futuros. em  dois  últimos  capítulos,  concentrei  os   gabaritos,  as  sugestões  e  as  Nos   que e  o  leitor  possa  conferir  suas  próprias   respostas  e,  resoluções,  para  qu

possivelmente,  aprender   idéias  novas  a  partir  das   também  resoluções.   iller   Dias  De  Araújo

 

Prefácio No  século  XVIII,  o  matemático  francês  Jean  Le  Rond   D'Alembert   se  lhe  "A   ela   dá  mais  do  que  afirmou  álgebra  é  generosa:  frequentemente   que   possui  descobertas  álgebra,  como  o pediu".  D'Alembert,  importantes  na  Teorema  Fundamental  da  Álgebra,  não   poderia  ter   sido  mais  feliz   em  sua  a  célebre  frase.  A  é  ferramenta  ferramenta   para  o  desenvolvimento  de  álgebra   mestra  todas   as  ciências  naturais.  que   seria  física  sem   que   seria  O  da  a  álgebra?  O  outras  das   áreas  da  matemática  sem   a  álgebra? nosso  pais,  geral,  as  pessoas  menosprezam   a  importância  No  de  forma  vidas. al  essas  pessoas  da  da   matemática  em  suas  sabem  o  quanto  elas  seriam   soubessem,  exemplo,  cada  mais  felizes  se  por   calcular   o  consumo   mensal  de  aparelho  eletrônico   de   sua  residência  ou  o  consumo   de  combustível  de  calcular  seu  automóvel  em   diferentes   tanto,  bastaria  que   faixas  de   velocidade.  Para 

uma   base  sólida  de  base  mais  sólida  mais  álgebra  aritmética.   essa  tivessem   e  E  bons  e  em  matemática  aprende-se  com   professores  com   bons  livros. âmbito  dos   concursos  militares  e  olimpíadas  cientificas,  uma   base  No  não   sólida   em  matemática  é  uma um a  opção,   é  uma  obrigação.  Há  um  detalhe  importante  sobre  o  ensino  dos   primeiros  conceitos  de  álgebra:  eles  são  abordados  no  ensino  fundamental,  momento   em   que   não   há  espaço  para  fazendo  com   que   apresentem  a  maneira   aprofundamentos,  os  os   livros  álgebra  de  superficial.  (ENE Nos   vestibulares  tradicionais   e  vestibulares  de  e  universidades  federais,  estaduais  particulares),  não   há  uma  muito  exigência  grande  quanto  à  álgebra.  Porém,  nos  concursos  militares  e   olimpíadas  de  a  é  exigida  em  nível  muito  alto,  necessário  matemática,  álgebra   um   sendo  um 

estudo  mais   aprofundado. modo  a  auxiliar  nesse  aprofundamento,  a  "Os  "Os   Segredos  De  obra  da  Álgebra  Para  I E/ITA/OLI PÍADAS",  do   eminente  Dias  Araújo,  autor  iller  De  é  perfeita.  Todos  tópicos  da  fundamental  estão  presentes,  incluindo   os  álgebra  potenciação,  radiciação,  produtos  Em  a  notáveis  e  fatoraçâo.   Em   cada  capitulo,  teoria   algébrica  é   apresentada  de  forma   detalhada,  seguida  de   muitos  problemas  resolvidos.  Várias  identidades  algébricas  são   demonstradas,   conhecidas.  Certamente,  a  cereja  os  algumas  pouco  do   bolo  são   exercícios  e  a  propostos,  em  grande  quantidade  de  maioria  retirada   excelente  qualidade,  de  concursos   militares  e  olimpíadas  de  matemática  de   todo  o  mundo.  Você  vai   e também  se  deparar  deparar  com   exercícios  do  Colégio  Naval,  ITA,  I E  de  olimpíadas  de  de   países.  Deve-se  nos   diversos  destacar  organização   dos   capítulos,  quais a 

 

os  conceitos  mais  fundamentais   são   apresentados   primeiro,  para  somente  facilitando  depois  constarem  os  os   tópicos  mais  avançados,  o  entendimento   do capitulo  do  livro  é   reservado  para  as  soluções   e  dicas  dos  leitor.  O  último  exercicios   propostos. A  presente  é  um   verdadeiro  tesouro,  indispensável  para  obra  qualquer  pessoa  que qu e  deseja  formar  sólida  álgebra.  ao  leitor  uma   base  em   Recomendo  cada  que   resolva  esse  livro  a  capa,  prestando  atenção  nas  nuances  de  de  capa  d o  passagem   algébrica.  Existe muita  muita poesia,  arte  e  magia  magia nessa  obra  obra prima  Existe          iller  Parabéns  ao  ao   grande  Dias.  mestre! Tenho  admitir  durante  que   que,  que,   a  leitura  do   livro,  me  perguntei  quanto  o  vida  teria  fácil  se  eu  à  época,  minha  de  concurseiro  militar  sido  mais  tivesse,  tão   livro  alto  nivel  ajudar  minha  algébrica.  algébrica. Certamente   esta  um  de  para  base    Araújo   será  uma  importante  ferramenta  para  todos  obra  de  iller  Dias  De  formarem  uma   base  mais  sólida  em  álgebra.

  arcelo Rufino  de  Oliveira  

 

Agradecimentos da  Deus,  pelo  vida. dom   A 

Aos   meus  pais,  que  sempre  me   me   em  apoiaram  e  incentivaram  todas  as  minhas  caminhadas. Bruno,  pelo  A  meus  amigos,  em  especial  Thais  Pereira  Soares  e  Johnatan  apoio,  e  incentivo;  eus   professores,  que   com   muita  motivação  ensinaram-me 

dedicação. Brito,  pelas  Renato   sugestões. professor  Ao   criticas  e 

professor  arcelo   Rufino  pela  escrita   do  prefácio. Ao   pelas  Ao   professor  Cláudio  Neves  revisões.

Luiz  Vieira  dos  Santos,  pelos  ensinamentos,  pela  paciência   e  por  Ao   professor 

ter-me   iniciado  no  no   caminho  da  atemática  I E  ITA.

 

Sumário Capítulo   01:  Potenciação 1.1)  Definição 1.2)  Produto  de  de  esma  Base Potências  1.3)  Divisão  de  Potências  de  esma  Base. 1.4)  Potência  Elevada  à  Potência 1.5) Produto  Elevado  á   esma  Potência n  1.6)  Potência  Elevada  á  Potência,  vezes  .. de  Superior 1.7)  Potência  Ordem  PG 1.8)  Potência  com  Expoente  em  Negativo 1.9)  Potência  com  Expoente  1.10) Divisão  Composta com  Expoente  Fracionário... 1.11)  1.11)  Potência  Capítulo   0 2 :   Radiciação 2.1) Definição de  índice 2.2) Produto  de  esmo  Radicais   índice 2.3) Divisão  de  Radicais   de  esmo  2.4) Raiz  de  uma  Raiz 2.5) Produto  de  de  Diferentes. Radicais  índices  2.6) Raiz  de  Fração  Composta 2.7) Séries  de  Radicais Finitas  Radicais 2.8) Séries  Infinitas  de  2.9) Divisão  Composta  Infinita Infinita 2.10) Radicais  em  Cadeia  Radicais 2.11) Operações   com 

11 11

12 13 13 17 17 21 26 26

27 31

32 33 36 43 45 52 61 81 84  0

  apítulo 03:  acionalização 3.1) Quocientes  Notáveis 3.2) Fator Racionalizante 3.3) Radicais  Duplos......................................... Avançados  Duplos. 3.4) Tópicos  em  Radicais 

 3  4 105 124

  Algébricas Capítulo  Capítulo Expressões 4.1) Algébricas  Tipos  04:   de   Expressões  4.2) Valor  Numérico 4.3) Operações  com  Expressões   Algébricas.

125 126 127

 

 

Capítulo   05:  Produtos   Notáveis 5.1) Quadrado  da  Soma  de  Dois Termos 5.2) Quadrado   da  Diferença  Termos.. Entre  Dois  5.3) Identidade  de  de   Legendre  a  para  Soma 5.4) Identidade  de  de   Legendre  a  Diferença para  a  5.5) Identidade  de  Lagrange  Soma para  Lagrange  a  5.6) Identidade  de  Diferença.... para  da  pela  Diferença................... 5.7) Produto  Soma  de  5.8) Identidades  Stevin 5.9) Cubo  da  Soma  de  Dois  Termos da  Diferença  de  Termos 5.10) Cubo  Dois  5.11) Identidade  de  Cauchy 5.12) Quarta  Potência  da  Soma  e  da  Diferença.. 5.13) Identidades  de  Legendre 5.14) Quinta  Potência  da  Soma 5.15) Quinta  Potência  da  Diferença 5.16) Identidades  para  Termos  Recíprocos 5.17) Quadrado  da  Soma  de  Três  Termos 5  18)  Identidade  de  Lagrange  Para  Três Termos..

161 165 173   175

  Dois Dois  ao  5.19) Elevado  Quadrado.   a  5.20) Produto Identidades   de   Argand Quatro  5.21) Quadrado  da  Soma  de  Termos da  Soma  de  Três  Termos 5.22) Cubo  5.23) Identidade  de  Gauss...................................... Termos  5.24) Soma  de  Quatro  Elevado  ao  Cubo. Potência  de  5.25) Quarta  Três  Termos Três  5.26) Identidades  de  Stevin  para  Termos de  Sophie-Germain 5.27) Identidade  de  Chrystal 5.28) Identidade  Condicionais 5.29) Identidades  Produtos  5.30) Tópicos Avançados em  Notáveis.

11 8716 182 1 83 1 85 1 86 187 18 1 1 1 4 1 211

Capítulo   06:   Fatoração 6.1) Critérios   de  Fatoração Agrupamento   6.2)  ou  "evidência ” 6.3) Quocientes  Notáveis Produto  Notável 6.4) Completando o  6.5) Cruzadinha  Simples Fator ou  das  das   Raizes  6.6) Teorema  do  Racionais   Polinõmios  do  3o   Grau 6.7) Fatorando  6.8) Cruzadinha   Dupla Cruzadinha   Especial 6.9)  Dupla 

213 213 214 216 22 6  230  23 1  234 238

do  6.10) Fatorando  Polinõmios   5o  Grau

243

130

131 132 133 133

134 140 142 14 14 152 157 158 160

Tripla ........................... 6.11) Cruzadinha   6.12) Tópicos  Avançados  em  Fatoração.

246 256

Capitulo   07:   Polinômios   Simétricos 7.1) Forma  de  um  Polinõmio  Simétrico........... 7.2) Propriedades  dos  Polinômios  Simétricos. 7.3) Fatoração  por  Polinõmio  Simétrico.......... 7.4) Polinõmio Alternado................................... 7.5) Propriedades  dos  Polinômios  Alternados 6)  7  Fatoração   por  Polinõmio  Alternado..........

25 260 261 263 264 265

Capítulo   0 8 :   Somas   d e  Newton 8.1) Somas  Newton  Termos ............. de  para  Dois  8.2) A   Notação  Sigma.............................................. 8.3) Somas  de  para  Termos............ Newton  Três  8.4) Generalização  um  de  para  Polinõmio  Grau  n

272 274 276 280

Capítulo   0 9 :   Respostas   e   Sugestões Capítulo   1 0 :   Resoluções Bibliografia

 

O s  Segredos  da   Álgebra  para  para   I E/ITA/OLI PÍADAS

11

Capítulo  01   -  Potenciação Introdução potência  é  pela  fatores   A  determinação   da  de  um  um   número  feita   multiplicação   de  possui  O  expoente  papel  fundamental  potenciação,  pois  ele   é  iguais.  um   na  ela   mesma.  quem   define  quantas  vezes  a  base  será  multiplicada  por   Vejamos   como   trabalhar  com   essa  ferramenta  importantíssima   na  resolução  de  problemas. 1.1)  Definição:

real  real natural.  Dado  um   número    "a"  qualquer,  tomemos  n  como   número  O  um  “a"  é  á  produto   de  n  fatores   igual  enésima  potência  de  “ a” .

"n"   vezes - ...a   a  a   =  a n   ;  VneNeaeR.

Consequências   definição: da   |a°  l| ;  VaeR-{0,®). )

b)

)

e  a1  a | ;  Va   R  .

d)

|0a  Va   s R - | 0 ,  ra}. =  0 | ; 

|l a  =  Va  e  R  - {«>}. l|; 

Exemplos   d e  Aplicação   01 a) 

0. d)  01785  = 

2001°  =1.. =1

=  1. b)  1o  C)

=  0  e)  01   . f) 

(4O962 02 )1  =4096'.202

750 234  234  _  1

1.2)  Propriedades   d as   Potências:

veremos   importantes  potências.  elas,  A  seguir,  as  propriedades  mais   das   Com   vários  o    iremos  resolver  problemas  usando   de  cálculo  algébrico. Vamos minimo   lá! P1.   Produto   de   P1. Potências  d e 

esma  Base: Num   produto  potências  mesma  base  e  de  de  base,  repete-se  a  somam-se   os  expoentes. an  =  |am  ■  am ~ n]

2

1

Potenciação

 

Demonstração: m" v e z e s " n "  v e z e s =a-a-...-a   a   a-...  a im  an 

” m +  n "   v e z e s

=  a  a  a  a-...  a   'im -a n 

; V m , n e N  e a e R .

im  •  a"   =  a.   m Resolvidos  01 Exemplos  

a) 53 -5 15 = 5 3  +  15 => 53 -5 1 = 5 18. )

81 36

C)

m2”

■ 81 25

 g36 g3 6  + 25

2 p   +  7 p

■  m 7p   =   m‘

=> 8 1 36

=811 61 . ■81'l2 5 =8

m7 p = m,  5 P =>   m 2p ■  

P2.  Divisão  de   esma  Base: de   Potências 

repete-se  a  base  e  subtraem-se   Numa  divisão  de  potências   de  mesma  base,  base,   os  expoentes. — = a m“ n 

an

Demonstração: "m"vezes

am 1 —  a  a  •...  •  =  ■  a --------------aa...-a an   "n"  vezes

am

"m   -  n" vezes

—  =  a  ■  a   a  a  ■   a  an

am

=  —  am -n  ;  Vm,  n  e  a  e  R  e  a n  N ,  *  0. an

Resolvidos   Exemplos  02   30    30