MILA STOJAKOVIĆ - Analiza 2

MILA /TOJAKOVIĆ

MATEMATIČKA ANALIZA 2

Mila Stojaković

MATEMATIČKA

ANALIZA 2

Novi Sad 2010

Naziv udžbenika: “ Matematička analiza 2” Autor:

Dr Mila Stojaković, redovni profesor FTN u N ovom Sadu

Recenzenti: Dr Zoran Kađelburg, redovni profesor Matematičkog fakulteta u Beogradu, Dr Arpad Takači, redovni profesor Prirodno-matematičkog fakulteta u N ovom Sadu

CIP-KarajiorioaiiHja y ny6jjHKaunjH EHOJJHOTeKa MaTHije cpncKe, H obh Caa 517(075.8)

CTOJAKOBHTi, Mana Matematička analiza 2 / Mila Stojaković. - 5 izd. Novi Sad : Fakultet tehničkih nauka, 2010 (Novi Sad : Stylos). - 202 str.; 24 cm. Tiraž 500. - Bibliografija - Registar

ISBN 978-86-7473-539-8 COBISS.SR-ID 257948935

3

Predgovor Svrha ove knjige je da na jednostavan, pristupacan i razumljiv nacin predstavi odabrana poglavlja matematicke analize. Pisana je na osnovu predavanja iz Matematicke analize 2 koje autor niz godina drzi na Elektrotehnickom odseku Fakulteta tehnickih nauka u Novom Sadu. Za uspesno razumevanje materije citalac treba da bude upoznat sa osnovama analize i algebre, Ciji nivo odgovara standardnim kursevima koji se predaju na tehniCkim fakultetima. Sadrzaj knjige obuhvata Cetiri celine: • teorija redova, • integrali funkcija vise promenljivih, • kompleksna analizu, • Furijeova i Laplasova transformacije. Na pocetku svake glave dat je sadrzaj te glave i kratak uvod. To omogu^ava lakse pra^enje i bolji pregled izlozenog gradiva. Na kraju je naveden indeks pojm ova i izbor literature. Kako je knjiga namenjena pre svega studentima tehnickih fakulteta, autor je nastojao da sto je mogu^e vise izbegne preteran matematicki formalizam. Navedeni su dokazi samo onih teorema koji ne zahtevaju suvise komplikovan matematicki aparat, koji su bitni za razumevanje odgovaraju^e teorije ili sadrze postupke i algoritme koji se koriste u primeni teoreme. M nostvo ilustracija i detaljno resenih primera bitno olaksavaju razumevanje i usvajanje izlozenog gradiva. Zahvaljujem se svima koji su na bilo koji nacin pom ogli u realizaciji ovog udzbenika, a posebno recenzentima dr Arpadu Takaciju, redovnom profesoru PM F u Novom Sadu i dr Zoranu Kadelburgu, redovnom profesoru MF u Beogradu i Milosu Stojakovicu, studentu PM F u Novom Sadu koji je nacrtao sve slike. Novi Sad, 1. septembar 1998.g.

A utor ***

U ovom izdanju ispravljene su prime^ene stamparske greske i unete su manje izmene u tekst knjige. Novi Sad, 1. novembar 2010.g.

A utor

4

Sadržaj

1

Predgovor .............................................................................................................

3

REDOVI

9

1.1

1.2

2

Brojni redovi

............................................................................................

10

1.1.1

Brojni redovi - osnovne definicije i t e o r e m e ........................

11

1.1.2

Redovi sa pozitivnim cla n ovim a ................................................

14

1.1.3

Alternativni redovi .......................................................................

19

1.1.4

Apsolutno konvergentni r e d o v i ................................................

21

1.1.5

Komutativni i asocijativni zakon za redove

........................

22

1.1.6

Operacije sa r e d o v im a ................................................................

24

1.1.7 Dvojni niz i dvojni r e d ................................................................

27

Funkcionalni nizovi ir e d o v i ...................................................................

29

1.2.1

Funkcionalni n iz o v i.......................................................................

29

1.2.2

Funkcionalni redovi

...................................................................

31

1.2.3

Uniformna konvergencija..............................................................

35

1.2.4

Stepeni (potencijalni) redovi

...................................................

36

1.2.5

Razvoj funkcije u stepeni red ...................................................

38

1.2.6

Pregled najvaznijih osobina stepenih redova .........................

43

I N T E G R A L I F U N K C I J A V IS E P R O M E N L J I V I H

47

2.1

..................................................................................

48

2.1.1

Definicija i osnovne o s o b i n e ......................................................

48

2.1.2

Izrac unavanje dvostrukog in te g ra la .........................................

51

2.1.3

Smena promenljivih u dvostrukom in tegra lu .........................

55

2.1.4

Povrs u R 3 i izracunavanje njene povr s i n e ............................

58

2.2

Dvostruki integral

Krivolinijski integral

.............................................................................. 5

62

6

Sadrzaj

2.3 3

2.2.1

Krivolinijski integral po duzini krive (I v r s t e ) ....................

64

2.2.2

Krivolinijski integral po koordinatama (II vrste)

..............

67

2.2.3

Nezavisnost od putanje integracije...........................................

71

Integralne formule veze - formula G r i n a ...........................................

74

K O M P L E K S N A A N A L IZ A

77

3.1

Kompleksni brojevi ..................................................................................

79

3.2

Kompleksna funkcija.................................................................................

81

3.3

Izvod .............................................................................................................

83

3.4

Analiticka f u n k c ija ..................................................................................

87

3.5

Elementarne funkcije ...............................................................................

89

3.6

Vi sezna cne fu n k cije ..................................................................................

95

3.7

Krivolinijski integral u C ........................................................................ 101

3.8

3.9

3.7.1

Definicija i o s o b in e ......................................................................101

3.7.2

Kosijeva teorema i njene p o s l e d i c e ........................................ 104

3.7.3

Kosijeve integralne f o r m u l e ..................................................... 107

Razlaganje analitickih funkcija u r e d ................................................. 109 3.8.1

Red T e jlo r a ................................................................................... 109

3.8.2

Red L o r a n a ................................................................................... 111

Klasifikacija izolovanih singulariteta

................................................. 116

3.10 R e z id u u m ...................................................................................................117 3.11 Izracunavanje određenih integrala pomo^u reziduuma 3.12 Analiti cko produ zenje

................ 121

............................................................................ 129

3.13 Konformna preslikavanja........................................................................ 133 4

F U R IJ E O V A I L A P L A S O V A T R A N S F O R M A C IJ A 4.1

141

Furijeova transformacija ......................................................................... 142 4.1.1

Uvodne napomene ...................................................................... 142

4.1.2

Trigonometrijski red ................................................................... 143

4.1.3

Furijeov razvoj funkcije nad intervalom [—n, n ] .................145

4.1.4

Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom [—n, n] ..................................................................... 147

4.1.5

Razvoj u Furijeov red kosinusa i u Furijeov red sinusa nad intervalom [0, n ] .....................................................148

4.1.6

Furijeov razvoj nad intervalom [ a, b ] .....................................150

Sadrzaj

7

4.1.7

Kompleksni (eksponencijalni) oblik Furijeovog razvoja funkcije nad kona cnim in te rv a lo m .......................... 151

4.1.8

Spektar. Konacna Furijeova transformacija

4.1.9

Furijeov razvoj nad intervalom ( —ro, ro). Furijeov i n t e g r a l ........................................................................ 155

......................

152

4.1.10 Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom ( —to, r o ) ..................................................................157

4.2

4.1.11

Furijeova transformacija. Spektar ..........................................

157

4.1.12

Kosinusna i sinusna Furijeova transformacija

...................

159

Laplasova transformacija ........................................................................

161

4.2.1

Definicija i egzistencija Laplasove tr a n s fo r m a c ije ............ 161

4.2.2

Osobine Laplasove transform acije.......................................... 164

4.2.3

P r i m e r i ........................................................................................ 167

4.2.4

Inverzna Laplasova transformacija

4.2.5

Dvostrana Laplasova tr a n s fo r m a c ija ....................................173

4.2.6

Veza Laplasove i Furijeove tr a n s fo r m a c ije ..........................173

4.2.7

Neke primene Laplasove transformacije

4.2.8

Neke primene u elektroteh n ici.................................................177

....................................... 169

............................. 173

Literatura ............................................................................................................. 183 PR IL O G 1. Neke specijalne f u n k c ije ...........................................................184 PR IL O G 2. Povr si drugog reda ..................................................................... 186 PR IL O G 3. Tablice Laplasovih transformacija

....................................... 189

Indeks ...................................................................................................................

198

8

Sadrzaj

Glava 1

REDOVI 1.1 B r o jn i r e d o v i 1.2 F u n k cion a ln i r e d o v i

Ova glava posve^ena je teoriji redova. Citaocu je veoma dobro poznato kako se definise operacija sabiranja na skupovima brojeva (realnih ili kompleksnih). Jasno je sta znaci kada operaciju sabiranja kona can broj puta primenimo na elemente nekog od spomenutih skupova.Tada kao rezultat dobijam o element iz istog skupa. Međutim, sta se događa ako operaciju sabiranja beskonacno mnogo puta primenimo na neki niz elemenata? Kako uopste m ozemo obaviti sabiranje beskonacno mnogo elemenata, da li postoji i sta je rezultat takvog postupka i da li eventualni ” zbir” pripada skupu iz kojeg su uzeti sabirci? To su pitanja kojima se bavim o u ovom poglavlju. U 1.1 je dat kratak, neformalan pregled poznatih pojm ova i definicija sa kojima se citalac sreo u ranijim kursevima. Navedena je op sta teorija brojnih redova. Date su osnovne definicije i dokazane bazi cne teoreme. Posebno su izdvojene klase redova sa pozitivnim clanovima i klasa alternativnih redova. Naredni odeljak posve^en je apsolutno konvergentnim redovima - znac ajnoj klasi u skupu konvergentnih brojnih redova. Navedena su dva kriterijuma apsolutne konvergencije i teoreme koje su generalizacija komutativnosti i asocijativnosti za beskona cno sabiranje. Definisane su operacije sabiranja i mno zenja redova i mno zenje reda skalarom. Takode je uveden pojam dvojnog i ponovljenog reda, njihove konvergencije. Teorija je ilustrovana nizom karakteristi cnih primera. 1.2 posvecen je funkcionalnim nizovima i redovima. Prvo je dat pregled poznatih definicija i stavova vezanih za funkcionalne nizove. Posle osnovnih 9

10

Glava 1. R E D O V I

definicija i teorema o funkcionalnim redovima, sledi deo posvecen najvažnijoj klasi funkcionalnih redova - stepenim redovima i Maklorenovom i Tejlorovom razvoju funkcije u stepeni red.

1.1

Brojni redovi

Najpre se ukratko podse^amo nekih definicija i osnovnih pojm ova iž prethodnih kurseva. U skupu realnih brojeva R rastojanje između brojeva x ,y G R jednako je apsolutnoj vrednosti razlike, tj. d(x, y) = |x — y | (slika 1.1). U skupu kompleksnih brojeva C rastojanje izmedu brojeva x ,y G C jednako je modulu razlike, tj. d(x, y) = |x — y| (slika 1 .2 ).

d(x,y)=\x - y\ R

Slika 1.1. Niž ciji su elementi u R ili u C nazivamo b r o jn im n iz o m . Brojni niž {a n} k o n v e rg ira ka a ako za svako e > 0 postoji n G N tako da za sve k > n važi d(a, ak) = |a — ak|< e. To zapisujemo sa limn^ TO an = a. Broj a nazivamo g r a n ic n o m v r e d n o š ć u niža {a n}. Ako su clanovi an konvergentnog brojnog niža realni brojevi, tada je i granicna vrednost a realan broj. Analogno tvrdenje važi i ža kompleksne brojeve. Jedna od važnih osobina konvergentnog brojnog niža {a n} je da ža svako e > 0 postoji n G N tako da ža sve p ,k G N, važi implikacija k > n

d(ak + p ak)

1ak+p

ak1 < e.

To žnaci da se posle n-tog clana svi clanovi niža {a n} nalažena” stepenu bližine” e. Niž koji žadovoljava ovu osobinu naživamo K osijevim 1.Znamo da je svaki konvergentan niž i Kosijev. U prostorima R i C važi da je svaki Kosijev niž konvergentan, sto žnaci da je skup konvergentnih i Kosijevih nižova u R i u C identic an. Kažemo da je b G R ta ćk a n a g o m ila v a n ja niža {a n} C R ako ža svako e > 0 i ža svako m G N, postoji n G N, n > m, tako da d(b, an) = |b — an | < e. ^Augustin Louis Cauchy (1789-1857) — Francuski matematičar. Bavio se geom etrijom , teorijom brojeva, teorijom konačnih grupa, ali najznačajnije rezultate je postigao u domenu infinitezimalne analize.

1.1.

Brojni redovi

11

Najvecu tacku nagomilavanja M & R niza {a n} C R nazivamo lim e s o m sup e r io r i to zapisujemo sa lim su p ^ ^ ^ an — M . Najmanju tacku nagomilavanja m & R niza {a n} C R nazivamo lim e s o m in fe rio r i to zapisujemo sa lim infn—w an — m .

1.1.1

Brojni redovi - osnovne definicije i teoreme

P r im e r 1 .1.1 Pretpostavimo da je dat geometrijski niz 1, . . . u skupu realnih brojeva. Oznacimo sa sk sumu prvih k elemenata tog niza 1 1 k -1 1 sk k = H -------------h — j—-r1 = / ^ ^n — 5, k G N. 2 1 Qk— n=0

Ako je k & N fiksiran prirodan broj

sk =

1 ~ 1

2

Postavlja se pitanje cemu je jednaka suma svih clanova niza, tj. sta se dogačta kad k —> oo. Prirodna je ideja da tada suma svih članova niza (tj. 2^ ) bude jednaka lim k—TO s k, ako taj limes postoji. U ovom slucaju 1 ___L 1 2fc lim Sk = lim ------ y1- = 2 . k^ 00 k^ 00 1 — 7^2

□

Sli cno postupam o u skupu realnih ili kompleksnih brojeva. R e d u prostoru realnih brojeva R je ureden par koji se sastoji od dva niza {a n} i { s k}, an & R i sk & R, n, k & N za koje vazi k sk

an

sk+1 = s k + x k+1 ^ k & N .

n =1 Definicija reda u prostoru kompleksnih brojeva C identicna je, sem sto an & C i sk & C, n ,k & N. Red u R ili C nazivamo b r o jn im re d o m . U odeljku 1.1. brojnim redovima i to neCemo svaki put nagla savati.

bavimo se

Elementi an su č la n o v i red a , a s k su p a r c ija ln e s u m e red a . Red se kraCe oznaC ava sa Y an ili Y n an . Brojni red Y an je k o n v e rg e n ta n ako i samo ako je niz parcijalnih suma { s k} konvergentan. Limes s — lim sk k— je s u m a (z b ir ) reda Y an . To kraCe zapisujemo na sledeCi na Cin s

^ ^ an' n =1

12

Glava 1. R E D O V I

Nalaženje sume s reda J2 an cesto nazivamo s u m ir a n je m reda. Za red koji ne konvergira kažemo da d iv erg ira . Lako se dokazuju sledece osobine brojnih redova: • Clanovi reda ne moraju biti numerisani od 1. Cesto njihova numeracija poCinje od 0 i tada red oznaC avamo sa ^ n= 0 an, a njegovu sumu sa 5^n=o an. Takođe numeracija može poCeti nekim brojem p G N i tada red ozna Cavamo sa ^ n=p an . Ako je red konvergentan, sumu zapisuje\ OO

m o sa n=p an ili sa ^ , ° =0 Xp+n . Ako ^ a „ konvergira tada i J2n=p a„ konvergira i vazi o p—1 o ^ ^an n=1

^ ^an + ^ ^an, n=1 n=p

sto znaCi da k o n a č n o m n o g o čla n o v a r e d a n e u tič e n a n je g o v u k o n v e rg e n ciju . • redovi ^ an iAan oba istovremeno konvergiraju, odnosno divergiraju za svako A = 0 . • Ako redovi ^ an iJ 2 bn oba konvergiraju, tada i red J2(an + bn) konvergira. • Ako red ^ an konvergira a red ^ bn divergira, tada red X X an + bn) divergira.

P r im e r 1 .1 .2 PokazaCemo da g e o m e t r ijs k i r e d ^ n= 0 z n = 1 + z + z 2 + ••• oo 1 konvergira za svako z £ C takvo da je \z\ < 1 i da važi da je z n = --------. 1 —z n =0 Kako je 1 — z k = (1 — z)(1 + z + z 2 + •••+ z k - 1) za sve k € N i sve z G C, to je 1 —z k parcijalna suma reda sk = --------- . Ako k —> oo i ako je \z\ < 1, dobijam o 1 —z 0

V

1

zk

z ” = lim sk = lim kk ^ o kk^ o 1 — Z 0

Očigledno, ukoliko j e z = x € M i | x | < l , tada je

i 1 —Z x " = T^x-

□

T e o r e m a 1 .1.1 Neka j e ^ an brojni red. Tada r e d ^ an konvergira ako i samo ako za svako £ > 0 postoji k 0 G N tako da za sve p G N i sve k G N vaM implikacija k+p k ^ k0

E

^ an < £ n=k+1

1.1.

Brojni redovi

13

D o k a z. Red Y an je konvergentan ako i samo ako je niz { s k} parCijalnih suma konvergentan sto je ekvivalentno tvrctenju da je niz { s k} Kos ijev. To zna Ci da za svako £ > 0 postoji k 0 G N tako da za sve p G N i sve k G N va zi k ^ k0

|sk+p

sk 1 < £*

Ako poslednju nejednakost napisemo drugaCije, dobijamo k+p

k an —

|sk+p — sk 1

k+p an < £

n n=k+1

1

□

sto je i trebalo dokazati.

Poslednju teoremu nazivamo K o S ije v im k r ite r iju m o m k o n v e rg e n cije i sliCno kao kod nizova, ovaj kriterijum omoguCava ispitivanje konvergenCije reda bez poznavanja njegove sume. T e o r e m a 1 .1 .2 Ako brojni r e d Y an konvergira, tada lim n^ 0 |an |= 0. D o k a z. Sledi iz teoreme 1.1.1. za p = 1 .

□

P r im e r 1 .1 .3 (A lte r n a tiv n i h a r m o n ijsk i re d ) PokazaCemo da alternativni harmonijski red ( —1) n+1 1 1 1 i — i------------- h £ n 2 3 4 konvergira. Neka je £ > 0 fiksiran broj. Tada k+p

E n=k

+1

( —1 ) n+1

1

n

k+ 1

k+ 2

k+ p

<

1

k+ 1

te ako je ko = [^] + 1 , za svako k > ko će biti k+p

E

n=k+1 što znači da red Y konvergentan je.

( —1 ) n+1 n

< £,

(_1\n+1 — ----- zadovoljava Košijev kriterijum konvergencije, tj. □

P r im e r 1 .1 .4 (H a rm o n ijs k i re d ) PokazaCemo da harmonijski red V- 1 / —

1 1 , 1 — l ^ T T ^ 'o + T + ' ' ' 2 3 4

14

Glava 1. R E D O V I

divergira, i to na taj nacin sto cem o pokazati da ovaj red ne zadovoljava Kosijev kriterijum konvergencije. Za to je dovoljno dokazati da postoji e > 0 tako da za svako k o £ N postoje prirodni brojevi k i p, k > k 0 takvi da je k+p

E 1 > £.

^ n n=k+1

Neka je k 0 bilo koji prirodan broj i neka je k = p = k 0. Tada vaz i ko+ kc

E 1 n n=ko +1

1

1

ko + l

+

1

ko+ 2

2ko

> ^ = I > I ~ 2k0 2 4

Za e = j teorema 1.1.1. nije zadovoljena ni za jedno ko £ N, što znači da red nije KoSijev, pa samim tim nije konvergentan. □ P r im e r 1 .1 .5 Geometrijski red ^ n = 0 zn, z £ C, n = 0,1, 2 ... , divergira ako je |z| > 1 jer lim |zn |= lim |z|n = 0 . □ P r im e r 1 .1 .6 Ovaj primer pokazuje da uslov limn^ TO |an |= 0 nije dovoljan za konvergenciju reda ^ an. Bez obzira sto je lim ln ( 1 + — ) = 0 , n^TO y nJ red J^ln ( l +

ne konvergira jer niz parcijalnih suma k

(

1\

k

sfc= E ^ n ( l + ~J = E ^ 111^1 + n) _ lnn) = n=1

'

'

n=1

ne konvergira. Naime, lim k^ TO s k = limk^ TOln(1 + k) = ro.

1.1.2

□

Redovi sa pozitivnim članovima

U ovom odeljku baviCemo se veoma vaznom klasom redova u prostoru realnih brojeva koja ima poseban znaCaj u opstoj teoriji redova. Red an , an £ R, je r e d sa p o z it iv n im c la n o v im a ako je an > 0 za sve n £ N. Ovaj naziv je uobi Cajen bez obzira sto se ustvari radi o nenegativnim clanovima reda. T e o r e m a 1 .1 .3 R e d ^ an sa pozitivnim clanovima konvergira ako i samo ako je niz {s k } parcijalnih suma ogranicen odgore.

1.1.

Brojni redovi

15

D o k a z. Kako je sk = Y ^=1 an i ak+1 > 0, sledi da je Sk+1 = sk + ak+1 > sk za svako k £ N, sto znaCi da je niz { s k} m onotono neopadajuCi, te je konvergentan ako i samo ako je ograni cen odgore. □

Navodimo Cetiri kriterijuma konvergenCije redova sa pozitivnim Clanovima. Oni su odabrani među mnogim kriterijumima za konvergenCiju redova sa pozitivnim Clanovima zbog jednostavne prezentaCije i primene.

I U p o r e d n i k rite r iju m 1. Neka su Y an i J 2 bn redovi sa pozitivnim Clanovima i neka postoji n 0 £ N tako da je an < bn za sve n > n 0. Tada iz konvergenCije reda Y bn sledi konvergenCija reda Y an, a iz divergenCije reda Y an sledi divergenCija reda Y bn. D ok a z. Uvedimo oznake X n = + k a „ = sk, X n=+k bn = ^k. Ukoliko red Y bn konvergira, tada je na osnovi teoreme 1.1.3. niz { n 0 , an

< e

(A — e)bn < an < (A + e)bn

Kako redovi Y bn, X (A — e)bn , Y (A + e)bn istovremeno konvergiraju ili divergiraju, primenjujuCi tvrčtenje navedeno pod 1. sledi da redovi Y an i Y bn istovremeno konvergiraju ili divergiraju. P r im e r 1 .1 .7 Red Y n^+i divergira jer

~ ^ kad n —> oo. Na osnovu

divergencije reda Y ^ (primer 1.1.4) sledi divergencija reda Y n^+i •

1=1

II K o r e n s k i (K o S ije v ) k rite r iju m Neka je Y an red sa pozitivnim Clanovima. Ako postoje n 0 £ N i q £ (0,1) tako da za sve n > n 0 važi da je ^fa^ < q, t j. lim sup n—— ^o

< 1,

16

Glava 1. R E D O V I

tada red Y an konvergira. Ako za beskonačan skup prirodnih brojeva n važi da je ifa ^ > 1, tj. limsup n—

> 1,

tada je limn—TOan = 0 , sto znači da red Y an divergira. U slučaju da je lim supn^oo z fa f = 1 , tada red Y an može ili da konvergira ili da divergira (tj. tada ovaj kriterijum ne daje odgovor o prirodi reda). D ok a z. Ako postojiji q €E (0,1 ) takvo da za n > no važi i f a f < q • an < qn, tada, primenjujuči uporedni kriterijum i znajuči da geometrijski red Y qn konvergira, zaključujemo da Y an konvergira. □ N a p o m e n a : A k o je { i f a f } konvergentan niz, tada je lim supn^oo z fa f = limn^oo ifa^. U tom slučaju red Y an konvergira ako limn^oo vf^n < 1, a divergira ako limn^oo ^ fo f > 1 P r im e r 1 .1 .8 Ispitati konvergenciju redova Y n , X ^ 2 , X 2+ 2rl1'1 . R e š e n je . Kako je limn^oo \J\ = 1 ,

linin^oo \J~~^ = 1; na osnovu korenskog

kriterijuma ne može se odgovoriti koja je priroda re d o v a ^ ^ i Y Već smo videli (primer 1.1.4) da je red divergentan, a u primeru 1.1.10. će biti pokazano da red Y ^2 konvergira. Kako je lim \/2 + n—TO V 2”

= -

lim ^ 2 + ( - 1 )” = - < 1 ,

2 n—~

2

to red Y 2+ 2^ 1'> konvergira.

□

I I I K o lić n ić k i (D a la m b e r o v 2 ) k rite r iju m Neka je Y a« red sa pozitivnim članovima. Ako postoji n 0 € N i q € (0,1) tako da za sve n > no važi da je

W+1 < q, t j.

an lim sup a ” +1 < 1 , n—TO an tada red Y an konvergira. Ako postoji no €= N i Q > 1 tako da za sve n > no važi da je

W+1 > Q, tj.

an

lim inf a'n+1 > 1 n—TO a„ 2Jean Le Rond D ’Alam bert (1717—1783) — Francuski matematicar. Bio je sekretar Francuske akademije i vodeCi matematiCar Enciklopedista. N ajbolje rezultate je postigao u domenu dinamike i diferencijalnih jednaCina.

1.1.

Brojni redovi

17

tada red an divergira. U slučaju da je lim inf a'n+1 < 1 < lim sup a'n+1; n—~ an n—TO a„ tada red an mo ze da konvergira ili da divergira. N a p o m e n a : Ako je { a” +1} konvergentan niz, tada je i. an+l i. • r an+l iirn s u p ------- = iirn m i -= n

i. an+1 nm ---------------- .

U tom slučaju red Y 'a n konvergira ako limn^oo art+1 < 1, a divergira ako lim - 1 miln^oo ^n- \ ✓> 1. P r im e r 1 .1 .9 Primenom količničkog kriterijuma ispitati da li je ^ konvergentan red.

2"

R e s e n je . an+1 an

g, 3

n parno, n neparno,

te je - = lim inf an+1 < 1 < lim sup an+1 = - . 6 n—TO an n—TO a „ 2 Na osnovu količničkog kriterijuma ne mozemo odgovoriti da li red konvergira ili ne. U primeru 1.1.8. videli smo da ovaj red konvergira na osnovu korenskog kriterijuma. □ Moze se pokazati da, ako je { a n} niz nenegativnih brojeva, onda je lim inf n—w

W+1 < lim inf zfa^ < lim sup ^fa^ < limsup

an

n—w

n—w

n—w

W+1, an

sto zna č i da je korenski kriterijum prečizniji, tj. ako količni č ki kriterijum pokaze konvergenčiju (ili divergenčiju) reda, tada če i korenski kriterijum pokazati isto. S druge strane, ako količnički kriterijum ne moze da da odgovor o prirodi reda, m o ze da se desi da na osnovu korenskog kriterijuma odredim o da li red konvergira ili ne. I V In te g ra ln i k rite riju m . Neka je ^ an = ^ f (n) red sa pozitivnim članovima takav da funkčija f zadovoljava sledeče uslove - postoji n 0 € N tako da je funkčija f definisano za sve x € R, x > n 0, - f (x) > 0 i f je m onotono opadajuča funkčija nad intervalom [n 0, ro).

18

Glava 1. R E D O V I

Tada red ^ an konvergira ako i samo ako nesvojstveni integral J vergira.

f (x)dx kon-

D ok a z.

f (n + 1 ) <

['n+^ / f (x)dx < f (n), n

to je

E f (n + 1 ) = n=no O č igledno,

> =f (n) E an < f (x)dx an. n=no+1 no n=n0 n=n0

red ^ an konvergira ili divergira istovremeno kad i integral

ZnT f (x )d x '

D

P r im e r 1 .1 .1 0 Ispitaćemo konvergenciju reda ^ + u zavisnosti od vrednosti parametra a g l . Očigledno, za a < 0 ovaj red divergira jer član reda an = + 1 n ne teži ka 0. Za a > 0, funkcija f ( x ) = + zadovoljava uslove potrebne za primenu integralnog kriterijuma. Kako nesvojstveni integral Umr^oo

( T —a+1 — CK+l

i

\

^

— CK+l

x limT^ TO(ln T - 0),

a

konvergira za a > 1 , a divergira za a < 1 , to i red ^ + divergira za a < 1 .

1,

konvergira za a > 1 a □

P r im e r 1 .1 .1 1 Dat je red

E — Qj (n gde Pi ( n)

su P i(x) A + rr

i(x) kad

Pi(n) )=0

polinomi stepena

(n )’ jV 7 i i j

respektivno.

Kako je

?? —>• oo, primenom uporednog kriterijuma i prethodnog Qj(n) □ primera, dobijam o da red konvergira onda i samo onda kad je j — i > 1 .

1.1.

Brojni redovi

1.1.3

19

Alternativni redovi

Iz skupa redova u prostoru realnih brojeva izdvajamo jos jedan podskup alternativne redove. n €

Red Y an u prostoru realnih brojeva je a lte r n a tiv a n ako je za svako N, a2 n - 1 > 0 i a2n < 0. Neka je za svako n € N, bn = |an |. Tada je ^ a „ = 61 — 62 + 63 — 64 +-----

_^ ( _1 )n + 1 1 1 P r im e r 1 .1 .1 2 Red } ------------ = 1 -------- 1-------- •••je primer alternativnog n 2 3 reda, a odgovarajući niz { 6n} je niz { ^ } T e o r e m a 1 .1 .4 (Lajbnicov3 kriterijum konvergencije alternativnih redova). Neka j e ^ an alternativan red u R. Ako je niz { 6n} = {|an |} monotono nerastući i limn^ TO6n = 0 ; tada r e d ^ an konvergira. D o k a z. Izdvojičem o podniz s2k niza parčijalnih suma { s k} reda ^ ak i pokazačemo da je ovaj podniz m onotono neopadajuči i ograničen odgore. Kako je niz { 6n} m onotono nerastuči (tj. 6 ^ > 62 > ••• > 6n > ••• ), svako fiksirano k € N vazi « 2fc = 61 — (62 — 63 ) — •••— ( 62^ - 2 — 62^ - 1) —62^ tj.

< 61

podniz { s 2k} je ograni čen odgore. S druge strane je « 2fc+2 = S2fc + ( 62fc+1 — 62^+2 ) > S2k ,

sto znač ida je podniz { s 2k} m onotono neopadajuči, te uzograni čenost odgore sledi da je konvergentan. Neka je lim fc^ TO s2k = s. Iz jednakosti s2k+^ = s2k + 62k+;i_, ako k ^ ro, dobijam o lim s 2k+1 = lim (s 2fc + 62^+1) = lim s 2fc + lim 62^+1 = s + 0 = s , te mozemo zaključiti da je lim fc^ TO sk = s, tj. konvergentan, sto je i trebalo dokazati.

red ^ an = ^ ( —1 )n+ 16n je □

U sledečem primeru niz {|an |} alternativnog reda ^ an te z i ka 0, ali ne m onotono i taj red divergira. To znač i da uslov limn^ TO |an | = 0 (bez monotonosti) nije dovoljan da obezbedi konvergenčiju alternativnog reda. 3Gottfried W ilhelm Leibniz (1646—1716) — Nemacki fllozof i matematičar. Pored Njutna (Isaak Newton 1642—1727) predstavlja jednog od zacetnika infinitezimalnog racuna. D ao je veliki doprinos matematici, filozofiji, pravu, teologiji, lingvistici i istoriji.

to za

,

20

Glava 1. R E D O V I

P r im e r 1 .1 .1 3 Pokazačemo da članovi reda 1

/2 - 1

a

1

1

/2 + 1

+

^

a

=

1

----------------------------- F = ------------- +

/3 - 1

/3

a

a

+1

- - -

+

^

=

1

1

------------ ---------------- -

+

y /n - l

■

y/n + l

zadovoljavaju sve uslove prethodne teoreme sem uslova o m onotonosti niza {|an |}. Zatim čemo pokazatii da taj red divergira. Zaista, radi se o alternativnom redu, takvom da limn^ o |an | = 0. Kako je za svako n € {2, 3, •••} 1

1

y/n — 1

1

>

,

------

1

i —f=— r > yj n — 1 + 1 \/n—1y/n + 1

sledi da niz {|an |} nije monoton niz. S druge strane, za podniz { s 2n} niza parčijalnih suma { s k} vazi

S2n=

' 7^+t) + " '

~ V^+i) + +

—2

1

1

y/n + 1 — 1

Vn+ 1+ 1

1 1\ ^ 1 1 + - + ••• H ) —2 ^ —• 2 n z ' m y m=1

Iz primera 1.1.4. je limn^oo Y/L=i ^ = 00, to Je i linifc^oo s 2n = oo. Kako podniz { s 2n} niza parčijalnih suma { s k} divergira, to znači da i niz { s k} divergira. □

M o ze se pokazati da ako sumu alternativnog reda zamenimo parčijalnom sumom s k, pravimo gresku koja je manja od člana 6 k+i_, tj. oo |s — sk 1 =

k

£ ( —1 )n+ 16n — £ ( —1 )n+ 16n < 6 k+ 1. n=1 n=1

Ova činjeniča se koristi za pribli zno izra čunavanje sume alternativnog reda. Tada prvi odbačeni član predstavlja gornju graniču greske.

P r im e r 1 .1 .1 4 Koliko članova reda Y manja od 0 .0 1 ?

(_1)n+ 1 — n— treba sabrati da bi greška bila

R e š e n je . Kako je |s — sfc| < bk+ 1 = -j-pj, to je j-j- < =4- k > 99, te ako saberemo prvih 100 članova reda, greska je sigurno manja od 0 .0 1 .. □

1.1.

Brojni redovi

1.1.4

21

Apsolutno konvergentni redovi

Neka je Y an brojni red. Red Y an a p s o lu tn o k o n v e rg ir a ako red Y |an | konvergira. Ukoliko Y an konvergira ali ne konvergira apsolutno, onda kažemo da Y an k o n v e rg ir a u slo v n o . U slucaju reda Y an realnih brojeva an G R, apsolutna konvergencija svodi se na konvergenciju reda Y |an |apsolutnih vrednosti |an |, Sto i objaSnjava naziv ove vrste konvergencije. ( - 1)" — -----konvergira, ali red Y n (_1)n+1 (primeri 1.1.3. i 1.1.4), što znači da red Y — ----- konvergira uslovno.

P r im e r 1 .1 .1 5 Red Y

□

T e o r e m a 1 .1.5 Ako je brojni red Y an apsolutno konvergentan, tada je on konvergentan i vazi

£« n < £

n=1

1an 1•

n=1

D ok a z. Kako red Y 1an |konvergira u R, njegov niž parcijalnih suma je Kosijev, tj. za svako e > 0 postoji k o G N tako da za sve k,p G N k+p

k+p

] 1an 1 < £, n=k+1

£ 1an 1 n=k+1 tj.

k+p

k+p <

an n=k+1

£

k+p |an 1

n=k+1

^ ] |an 1 < e n=k+1

To zna Ci da red Y an zadovoljava Kos ijev kriterijum konvergencije. Nejednakost |2 ” =i. an| < E ” =i. |an| dobija se iž nejednakosti ^ ” =:l ^n k

.

< E ” =:l l^n| kad □

T e o r e m a 1 .1.6 Neka j e Y a n brojni red i neka j e Y an red u R sa pozitivnim clanovima, an > 0, tako da vazi |an | < an za svako n G N. Ako red Y an konvergira u R, tada r e d Y a n apsolutno konvergira i vazi

£ ' n

n=1

n=1

< 'T fc+pu+1 | < y^fc+p < Z_^n=k |an| < n=k+ 1 an, primenjujuci K o sijev kriterijum konvergencije (teorema 1.1.1), red Y |an |konvergira, tj. red Y a n apsolutno konvergira. □ D ok a z. Kako važi nejednakost

k+p +1 an a E n=k

22

Glava 1. R E D O V I

K r ite r iju m i k o n v e r g e n c ije a p s o lu tn o k o n v e rg e n tn ih re d o v a Brojni red an konvergira apsolutno ako red |an | konvergira. Kako je |an | red sa pozitivnim c lanovima o cekivano je da su kriterijumi za apsolutnu konvergenciju reda usko povezani sa kriterijumima konvergencije reda sa pozitivnim clanovima. K ao posledicu prethodne teoreme i kriterijuma konvergencije redova sa pozitivnim clanovima, izvodim o dva jednostavna kriterijuma za proveru apsolutne konvergencije brojnog reda an. 1. K o r e n s k i (K o S ije v ) k r ite r iju m • Y an konvergira apsolutno ako lim supn^oo

< 1,

• Y an divergira ako lim supn^oo v'^fč/^J > 1 , • test je nemoćan ako lim supn^oo

= 1,

2. KoliCniCki (D a la m b e r o v ) k rite riju m . • Y an konvergira apsolutno ako lim supn^oo • J 2 an divergira ako lim in fn^oo • test je nemoćan ako lim in fn^oo

< 1,

> 1, |an^

< 1 < lim sup„ , n

l°"-+1l |an 1

Zn P r im e r 1 .1 .1 6 Ispitati konvergenciju reda n=0

n!

gde je 2; fiksiran kompleksan

broj. R eS en je. Primenom kolicnickog kriterijuma dobijamo limsup n

—^oo

= \Zn

|

lim n ^ ° °

= | -^ f|

lim n

^

o

= 0, o

n

+

1

te ovaj red apsolutno konvergira za svako z € C.

1.1.5

□

K om utativni i asocijativni zakon za redove

Operacija sabiranja u prostoru realnih i kompleksnih brojeva je komutativna i asocijativna. Ove osobine ostaju ocuvane za zbir konacno mnogo elemenata. Postavlja se pitanje sta je sa ovim osobinama ako imamo zbir beskona cno mnogo elemenata. U naredne dve teoreme nalazi se odgovor na to pitanje. U sluc aju apsolutno konvergentnog reda ostaju ocuvane osobine komutativnosti i asocijativnosti u sirem smislu. Neka je a i, a2, . . . an, . . . beskona can brojni niz i neka je p : N ^ N jedna permutacija u skupu prirodnih brojeva. Tada se niz ap(i), ap(2) , . . . ap(n), . . . sastoji od istih clanova kao i pocetni niz, ali je redosled drugaciji. Navodimo sledecu teoremu koja se odnosi na komutativnost u sirem smislu beskonacne sume.

1.1.

Brojni redovi

23

T e o r e m a 1 .1 .7 Ako je ^ h an apsolutno konvergentan brojni red, onda je i red ^ ap(n) apsolutno konvergentan i vazi oo

oo

^ _ an^ _ ap(n) • n=1 n=1 U narednom odeljku naveden je primer (primer 1.1.13) u kojem promena redosleda clanova reda dovodi do promene sume reda. Taj red je konvergengentan, ali ne apsolutno konvergentan. Postoji teorema (tzv.Rim anova teorema) koja kaZe da ukoliko je red uslovno konvergentan u R, tada za svako s € R U j-T O , w }p o s to ji permutacija p : N ^ N takva da je ^ x p(n) = s. Takocte je interesantno pod kojim uslovima vaZi asocijativnost u sirem smislu za beskonaCan zbir. SledeCa teorema daje odgovor na to pitanje. T e o r e m a 1 .1 .8 Neka j e ^ n an apsolutno konvergentan brojni red. Ako su N 1 i N 2 neprazni disjunktni podskupovi od N tako da je N = N 1 U N 2 , tada su redovi "Ž2ne Ni an i Y ne n2 an apsolutno konvergentni i vazi ^ ^ an + E an — nGNi 1

^ ^ an* nGN2

Teorema se moze uopstiti na sluCaj kad imamo particiju skupa prirodnih brojeva N na prebojivo mnogo podskupova N 1, N2, . . . N j,. . . . P r im e r 1 .1 .1 7 Primenom poslednje dve tereme dokazaCemo da vaze osobine u skupu kompleksnih brojeva koje su do sada korisCene formalno, bez preciznih definicija i dokaza. Red '}2n=o

apsolutno konvergira za svako z

C (primer 1.1.16). Pres-

likavanje / koje svakom elementu z g C dodeljuje element J2^Lo vamo e k s p o n e n c ija ln o m fu n k c ijo m i to kraCe zapisujemo sa n T — ^ n! n=0

^

nazi-

ez

Na sliCan naCin definisemo sin u sn u i k osin u sn u fu n k ciju . Redovi ( _ l ) n z 2n

^

n=0

(2n)!

_

^^n^n+l

1 n^=0

(2n+l)!

konvergiraju apsolutno za svako z € C. PomoCu njih definisemo funkcije cos z i sin z , z € C, ~ ( - 1 )nz 2n > — ;— - — = cos z, ^ 2n 7 n=0

~ > ^ n=0

( - 1 )nz 2n+1 — --~— = s m z . (2n + 1 )

24

Glava 1. R E D O V I

Neka y € R. Ako primenimo teoremu 1.1.8, dobijam o -

f v (iy )nf

(»ž/)2m , f v

(2m)! m=0 '

n\^

n=0

f a ) 2m+1

(2m + l)!'

'

m=0 '

~ ( - 1 )my 2m ~ ( - 1 )my 2m+1 > — ;----- r;-------- h * > —;----------- rr- = cos y + i sm y, ^ 2m ! ^ 2m + l ! y m=0 m=0

=

sto je poznata Ojlerova 4 formula.

1.1.6

Operacije sa redovima

U ovom odeljku uvodimo tri nove operacije u skup brojnih redova • sabiranje redova, • mnoZ enje reda skalarom (brojem iz R ili C), • mno zenje dva reda. Ako su an i 2 bn brojni redovi i ako je c element iz polja skalara (skupa R ili C ), tada y > n + bn bn —

def

E an def=

^ 2 (fln + bn) / v can

T e o r e m a 1 .1 .9 Ako s u ^ an * S bn konvergentni brojni redovi i c je broj (rea/ara ili kompleksan), tada su red ovi^ ( a n + bn) i Y cfln takođe konvergentni i vazi da je o

+ bn) — ( £

o

\

/

o

o

°n ) + ( £

\

CXD

y^

i

£

/

oo

C°n = C ( T . an

1

P r im e r 1 .1 .1 8 U ovom primeru, korisCenjem operacije sabiranja redova, mnoZenja reda skalarom i teoreme 1.1.9, pokazaCemo da promena redosleda Clanova uslovno konvergentnog reda moze dovesti do promene sume reda. Red 1.1.3). Redovi

^-----je konvergentan ali nije apsolutno konvergentan (primer ^ n=1

1

1

1

1

1

1

2 + 3 “ 4 + 5 “ 6 + 7 "'

4Leonhard Euler (1707—1783) — Švajcarski matematičar. Bez obzira sto je bio otac trinaestoro dece i Sto je pred kraj života oslepeo, napisao je preko 800 naučnih radova i knjiga. O jlerovo delo je od sustinskog značaja i predstavlja fundament u mnogim granama matematike.

1.1.

Brojni redovi

25

1

1

1

1

1

2 ^ aP( n ) - l + ^ - 2 + 5 + 7 “ 4 + " ' n=1 imaju iste Clanove napisane razliCitim redosledom. Ako je 1

1 1

1 1

T b n n = 0-\-----i 2 1 + i0 ------2 -2 - + 0 + -------2 3 1----- , n=1 bn = \ Y ^=\ ««• s druge strane J2 aP(n) = J2 an + I ] bn,

tada važi da je te je OO

OO

OO

OO

1 OO

3

oo

^ ' ap(n) = 'y \an + ^ ' bn = ^ an + — ^ an = ^ ^ , an =1 n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 sto pokazuje da se promenom redosleda sabiraka promenila suma reda. Neka su Y an i Y bn brojni redovi. m n o ž e n je dva reda.

□

Definisemo jos jednu operaCiju -

P r o iz v o d r e d o v a J2n= 0 an iJ 2 n= 0 bn je red J2n= 0 Čn Ciji su Clanovi definisani sa n

n

Cn^ ^ a kbn-k ? k=0

t j.an ~^ ^ bn = ^ ^ ( ^ ^ bn-k I n=0 n=0 n=0 \k=0

J

T e o r e m a 1 .1 .1 0 Ako su brojni redovi X^n=0 an i n=0 bn apsolutno konvergentni, tada je red ^2 ^=0 ^n takode apsolutno konvergentan i vazi oo

oo

5 3 Cn — A •B , n=0

oo

g d e je A — ^ a „ i B — ^ bnn=0 n=0

P r im e r 1 .1 .1 9 Pokazaćemo da, iako red

(

1 )n

konvergira (ali ne apsoV ^+l lutno), red koji se dobija mno zenjem tog reda samim sobom ne konvergira. (

Konvergencija reda

1 )n

sledi na osnovu Lajbnicovog kriterijuma -

V« + 1 teorema 1.1.4. Dalje, neka je ( - 1 )n

E

^

( - 1 )n

E V/" S - + t1 ' ^E V n + 1

Po definiCiji mnozenja je "

( _ l )fc ^ , /TTj7T

( _ l ) n - fc , /^ m T T

» ^

1

^

26

Glava 1. R E D O V I

PokazaCemo da |£n | ne te zi 0 kad n ^ Zaista, n

to, sto Ce znaCiti da Y £n divergira.

n

1

1

^” 1 = ^k=0 V ^ (kT + l ) ( n - k + l ) = k=0 2 V v/(f V2 + l)2- ( f - =l F n+ 1 ____

W

/fn _|_ 1 ^2 v f W

=

2

•

“

^ + 2’

te je n -+ 1 lim |^n |> lim 2 — — = 2 ^ 0 . n^O n^O n + 2 □ P r im e r 1 .1 .2 0 U primeru 1.1.17. definisali smo eksponenCijalnu funkCiju f (z ) — ez , z G C. PokazaCemo, korisCenjem poslednje teoreme, osobinu ove funkCije da za svako z G C i svako w € C va zi ez •ew — ez+ w. Zaista, kako su redovi zn wn Y ^ = e* * V ^ - = e“ 1f n! ^ n! n! n=0 n=0 apsolutno konvergentni, to je i red oo n=0

n=0

n!

n=0

n!

takode apsolutno konvergentan. S druge strane ^ Sn -

n

^k „..n—k ^ _ 1 n„fc„ ,n-fc _ (z + w )" i.i (n ' — k)! k! n! ? ................. k!(n — k)! k=0 k=0

te je OO

OO /

E « » = E (; 0 n=0

x

n! ’

e

sto zna Ci da je ez •ew — ez+w. □ P r im e r 1.1.21 PokazaCemo da je ez — ex (Cos y + i sin y). Ako je kompleksan broj z izra zen u algebarskom obliku z — x + iy , x, y G R, na osnovu osobina dokazanih u primeru 1.1.17. i 1.1.20. imamo ez — — exe*y ez — ex+*y ex+iy — exeiy — — ex ex(Cos y + i sin y), □

1.1.

Brojni redovi

1.1.7

27

D vojni niz i dvojni red

Poslednja tema o brojnim redovima kojom se bavimo je problem koji moze biti interpretiran kao beskonaCno sumiranje niza redova. OgraniCiCemo se na brojne nizove i redove i to neCemo naglasavati pri svakom spominjanju dvojnog niza ili reda.. U analizi se Cesto sreCe problem vezan za sumiranje dvojnih nizova { a nk}, n, k € N. Pod d v o jn im b r o jn im n iz o m {a nk} podrazumevamo preslikavanje N x N ^ R ili N x N ^ C. C la n o v e n iza ank, ank € R ili ank € C, n, k € N Cesto predstavljamo kao beskona Cnu matri Cnu semu an a 21

a 12 ••• a 22 •••

a 1k ••• a 2k •••

an 1

an2 •••

ank •••

Dvojni brojni niz k o n v e rg ir a ako i samo ako je lim ( lim ank ) — lim ( lim ank ) — a, n ^ O \k^O J k^O Vn^O / a € R ili a € C. Tada pisemo lim ank — a.

P r im e r 1 .1 .2 2 Ispitati konvergenciju dvojnih nizova (^žj^)

i

R e s e n je . Kako je za n — k

lim ( lim

n ^ O \ k^O y n + 2 J

I

= 0*

lim ( lim ^

+

k^O \ n ^ O y n + 2

ovaj dvojni niz ne konvergira. Kako je n + 1 < 2n za sve n € {2, 3 ,...}, imamo ( ( n + 1 \ k\ ( ( n + 1 \ k\ / 1 xk iim iim -------= 0 = iim iim -------= iim n^TO \ k^TO V 2 n ) j k^TO \ n^TO V 2 n ) I k^TO \ 2 te ovaj dvojni niz konvergira.

0

□

Analogno kao kod obi Cnog brojnog reda, dvojni brojni red uvodimo kao beskonaCnu sumu dvojnog niza. Naravno, nailazimo na problem kojim redosledom navesti sabirke. Prirodno bi bilo konvergenCiju dvojnog reda definisati tako da redosled navodenja ne uti Ce na sumu.

28

Glava 1. R E D O V I

D v o jn i b r o jn i r e d je urečten par dvojnih brojnih nizova ( {a nk}, { s j }), n, k, i, j € N, gde je n=i,k=j Sij =

^ a„k n= 1,k=1

,

i j G N.

Elementi ank su cla n o v i a S j su p a r c ija ln e s u m e dvojnog reda. Dvojni red krace oznac avamo sa T ank. KaZ emo da dvojni brojni red T ank k o n v e rg ira ako i samo ako dvojni brojni niz parcijalnih suma { s j } konvergira. Limes s = lim i Sjj je s u m a (z b ir ) dvojnog brojnog reda T ank i to kraCe zapisujemo j sa OO

s=

^"^ ank • n= 1,k=1

Ako u beskona Cnoj matrici sumiramo svaku vrstu posebno, dobijam o beskona Can niz suma oblika k=1 ank, n = 1, 2 , . . . •Sumiranjem ovog niza dobijamo novu sumu oo

oo

Y j T j ank • n=1 k=1 Ovakav izraz nosi naziv p o n o v lje n i r e d i on k o n v e rg ira ako za svako n € N konvergira red T k=1 ank = A n i ako red T ^=1 A n konvergira. Lako je uoCiti da sa istim Clanovima reda ank postoji jos jedan ponovljeni red oo

oo ank ,

k=1 n=1 i on je dobijen tako sto je prvo izvr seno sabiranje po kolonama pa je onda sabrana dobijena vrsta. U opstem sluCaju moze da se desi da oba ponovljena reda konvergiraju ali ne ka istoj graniCnoj vrednosti. U sledeCoj teoremi je dat dovoljan uslov kada ta dva ponovljena reda konvergiraju ka istoj vrednosti, odnosno kada u ponovljenom redu smemo izmeniti redosled sumiranja. Takodje ova teorema sadri vezu ponovljenog i dvojnog reda.

T e o r e m a 1 .1.11 Neka je { a nk} dvojni brojni niz takav da za svako n € N red T k ank konvergira apsolutno, neka je OO T j lank | = A n € R k=1 i neka r e d Y A n konvergira. Tada r e d Y ank apsolutno konvergira i vazi da je OO OO

OO OO ank =

n=1 k=1

ank = k=1 n=1

OO ank • n= 1,k=1

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

P r im e r 1 .1 .2 3 D ok azatidaje

29

(_1) n T (fc+w2)(fc+w2- i ) k °nvergentan dvojni red. n=l,k=l

R e s e n je . Kako je

E k =1

E k =1

oo

(-i)n (k + n 2)(k + n 2 — 1 ) 1

1

k + n2 — 1

k + n2

i

■ E (k + n2)(k + n 2 — 1 ) 1 2 —

1 1 + ■ 2 n2 + 1 n2 + 1

1 n2

- 1)" —pr apsolutno konvergira. Dalje, red Y n= i ^ sledi da red J2 fc=i (fc+n2()(fe+n 2—1) ( - 1)" konvergira, te po poslednjoj teoremi i dvojni red J2 23TT ( k + n 2) ( k + n 2 —1) aPso" n= 1,k=1 □ lutno konvergira.

1.2

Funkcionalni nizovi i redovi

U ovom odeljku bavicemo se redovima ciji su clanovi realne funkcije realne promenljive. K ao i u ranijem razmatranju, osnovno pitanje ostaje pitanje konvergencije takvog reda i ono se svodi na pitanje konvergencije funkcionalnog niza parcijalnih suma. Zbog toga je prvo naveden pregled nekih poznatih definicija i osobina vezanih za funkcionalne nizove. Kako je pitanje neprekidnosti, diferencijabilnosti i integrabilnosti od posebnog znacaja pri ispitivanju funkcionalnih redova, obraticem o paznju na ove osobine i pod kojim uslovima su one ocuvane pri beskonacnom sumiranju. Dalje, stepeni redovi kao specijalan sluc aj funkcionalnih redova zauzima centralno mesto u ovoj teoriji, te cemo jedan deo posvetiti toj problematici.

1.2.1

Funkcionalni nizovi

Neka je I C R, neka je { s k} niz realnih funkcija, sk : I ^ R. Kazemo da n iz fu n k c ija { s k} k o n v e rg ira u ta čk i x 0 € I ka funkciji s, s : I ^ R, ako niz realnih brojeva { s k(x 0 ) } konvergira ka broju s(xo). Ako niz funkcija { s k} konvergira ka funkciji s u svakoj ta cki x 0 € I , onda ka zemo da { s k} k o n v e rg ira p o ta čk a m a ili o b ič n o ka funkciji s n a s k u p u I C R. Ako niz funkcija { s k} konvergira po ta ckama ka s na skupu I C R, to zna ci da za svako fiksirano x 0 € I i svako fiksirano e > 0 postoji k 0 € N (koje zavisi od x 0 i e) tako da za sve k € N vazi implikacija k > k 0 ^ |s(x0 ) — sfc(x 0 )| < e. U skupu funkcija definise se i drugi oblik konvergencije - uniformna (ravnomerna) konvergencija. Kazemo da niz funkcija { s k} u n ifo r m n o k o n v e rg ira

30

Glava 1. R E D O V I

ka funkciji s na skupu I ako za svako e > 0 postoji k o € N (koje zavisi samo od e) tako da za sve x € I i sve k € N vaZi implikacija k > ko ^ |s(x) — s fc(x)| < e. Poslednji uslov mo Zemo interpretirati na sledeCi na Cin: niz { s k} konvergira ka s ako za svako e > 0 postoji k 0 € N (koje zavisi samo od e) tako da je za sve k€N k > ko ^ sup |s(x) — sk(x)| < e, x£/ ili lim sup |s(x) — s k(x)| = 0 , k— 0 postoji k o € N tako da za sve k € N i sve p € N k > k 0|sk+p(x o)

s k(x o)| < e .

Uniformna konvergencija niza funkcija { s k} ka funkciji s na skupu I ekvivalentna je sa uslovom da za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I , sve k € N i sve p € N k> k o

|sk+p(x)

s k(x)| < e .

Pitanje prenosenja osnovnih osobina Clanova funkcionalnog niza { s k} (neprekidnosti, diferencijabilnosti, integrabilnosti) na graniCnu vrednost tog niza, je od posebnog interesa. Ukoliko j e { s k} uniformno konvergentan niz funkcija na intervalu [ a, b ] i ako je funkcija s : [ a, b ] ^ R grani Cna vrednost tog niza, tada znamo da vazi • ako su svi Clanovi niza { s k} neprekidne funkcije, tada je i s neprekidna funkcija i va zi da je za sve x o € [ a, b ] lim lim s k(x) = lim X—— Xo k—— k—— X—— Xo

lim sk(x) = s (x o),

• ako su svi Clanovi niza { s k} integrabilne funkcije, tada je i s integrabilna funkcija i za sve a, ,0 € [ a, b ] je r r ( lim / sk (x)dx = lim s k(x) k—W a Ja \k—~

dx =

rp

s(x)dx,

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

31

ako su svi clanovi niza { s k} diferencijabilne funkcije i ako niz {s'fc} uniformno konvergira ka g u intervalu [ a, b ], tada niz { s k} uniformno konvergira ka funkciji s koja je diferencijabilna i vaZi s'(x ) = g(x) za svako x G[ a, b ]. tj.

^ lim s k( x m k^TO

= lim s'fc(x) = s'(x ). J k^TO

Da osobine neprekidnosti, diferencijabilnosti i integrabilnosti ne moraju da budu sacuvane pri konvergenciji po tackama pokazuju sledeci primeri. P r im e r 1 .2.1 Neka je sin kx Sfc(x) = — , Vk

x (E M.

Tada je s(x) = lim sk(x) = 0 k^TO

i

s'(x ) = 0

za svako x € R. S druge strane s'k(x) = V~kcoskx. Očigledno lim s'fc(x) = ro = ( lim s k(x ))' = s '(x ) = 0 . k^TO k^TO

□

P r im e r 1 .2 .2 Neka je sk(x) = k 2x(1 — x 2 ) k, x € [0,1]. Za sve x € [0,1] je lim k^ TO s k(x) = 0. S druge strane r-1 /■1 k2 „ /(1 i — x 2) k * k / sk(x)dx = ku22 // x kdx Jo 2k + 2 .//o0 ./ 0 te dobijam o da je f 1

jo

1.2.2

( lim Sh{x))dx = 0 f

lim

k^ Sh{x)dx = lim —-------= oo . Jo 2k + 2 f 1

□

Funkcionalni redovi

Neka je I C R i neka je { f n} niz realnih funkcija, f n : I ^ R. Red Y fn c iji su clanovi funkcije f n naziva se fu n k c io n a ln im r e d o m . Funkcija s k : I ^ R definisana za svako k G N sa k sfc (x) = ^ fn (x) , x e I , n=1 je p a r cija ln a su m a fu n k c io n a ln o g r e d a Y fn a funkcionalni niz { s k} je niz parcijalnih suma. Funkcionalni red Y fn k o n v e rg ir a p o taCkam a na skupu I C R ako i samo ako funkcionalni niz parcijalnih suma { s k} konvergira po tackama na skupu I C R. To mozemo izraziti pomo^u dva ekvivalentna tvrčtenja:

32

Glava 1. R E D O V I

• Y / n konvergira po ta ckama na skupu I C R ako za svako x 0 € I i svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve k € N

• Y / n konvergira po ta ckama na skupu I C R ako za svako x 0 € I i svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve k € N i sve p € N

Analogno se definise uniformna konvergencija funkcionalnog reda. Funkcionalni red Y / n k o n v e rg ir a u n ifo r m n o na skupu I C R ako i samo ako funkcionalni niz parcijalnih suma { s k} konvergira uniformno na skupu I C R. Analogno kao i u sluc aju konvergencije po tackama imamo dva ekvivalentna tvrđenja • Y / n konvergira uniformno na skupu I C R ako za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I i sve k € N

• Y / n konvergira uniformno na skupu I C R ako za svako e > 0 postoji k o € N tako da za sve x € I , i sve k € N i sve p € N

Funkcionalni red Y / n k o n v e rg ira a p s o lu t n o (po tac kama ili uniformno) ukoliko funkcionalni red Y |/n |konvergira (po tac kama ili uniformno). Sa |/1 : I ^ R oznacili smo funkciju definisanu sa |/|(x) = |/(x)|, x € I . Ocigledno da apsolutna konvergencija (po tackama ili uniformna) implicira odgovaraju^u konvergenciju funkcionalnog reda. Upoređujuci definiciju konvergencije po tackama i uniformne konvergencije funkcionalnog reda, vidimo • da je svaki uniformno konvergentan red na skupu I , konvergentan po tackama na skupu I . • Ako niz funkcija { s k} konvergira po tackama ka funkciji s na skupu I i ako je taj niz uniformno konvergentan na istom skupu I , onda on konvergira ka istoj funkciji s (tj. grani cna vrednost po tac kama i granic na vrednost po uniformnoj konvergenciji ne mogu biti razli cite).

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

33

Niz funkcija koji konvergira po tackama na skupu I ne mora uniformno konvergirati na skupu I , sto pokazuje sledeci primer. P r im e r 1 .2 .3 Ispitati konvergenciju po tackama i uniformnu konvergenciju x2 funkcionalnog reda na intervalu [—1 , 1], n=o x2 R e š e n je . Ako je x £ [—1,1] fiksiran broj, tada red konvergira ka (1 + x ^ n=o 0 ako je x = 0 i ka 1 + x 2 ako je x = 0 , tj. f x2 = r /x ) = ( °’ x = 0> ^ ( l + x 2)" 1 1 + I 2, x £ [—1 , 0 ) U ( 0 , 1]. n=o Sto se tice uniformne konvergencije, pokaza^emo da ona ne vazi za ovaj red. Uniformna konvergencija niza { s k} ka funkciji s ekvivalentna je sa uslovom supx e[-1 1 ] |s(x)-sk(x)| < e, tj. lim k^TO(supx e[-1 1 ] |s(x)-sk(x)|) = 0. Provericemo da li poslednji uslov vazi:

lim sup |s(x) — sk(x)M = lim sup k^TO \ x e [ - 1,1] Ik—~ \ x e [ - 1,1]

E= ((\ +\x ™2\n x 2)n 0 1

lim sup > _ fc^ ° ° W [ - i A ] n^ + i ( i + x 0,

= k -”

2

x2 v 2-^ n= 0 ( 1 + x 2)n

y

x = 0

( 1 + * 2) - ‘ • x € [—1 , 0 ) U (0 , 1] )

= k— . 1 = 1 = ° . □

P r im e r 1 .2 .4 Neka je / n (x) = x n — x n+1, x € [0,1], n = 0,1, 2 , . . . 1. Pokazati da niz { / n} uniformno konvergira na intervalu [0,1]. 2. Pokazati da red T / n ne konvergira uniformno na intervalu [0,1]. R eS en je. 1. Svaka od funkcija / n(x) = x n —x n+1, n = 0,1, 2 , . . . ima maksimum u tački x n =

(jer je / ' ( ^ p r ) = 0 ), te je n

sup

*e[o,i]

fn(x) = max fn(x) = f

®e[o,i]JnK ’

--------

J \n + l )

=

--------

\n+l)

S druge strane, za svako fiksirano x € [0,1] je lim / n (x) = lim x n (1 — x) = 0 , n—— ^o n—— ^o

1 —

V

n

n+ 1

34

Glava 1. R E D O V I

te niz funkcija { f n} konvergira po tackama ka funkciji f (x) = 0 na intervalu [0,1]. Ako niz { f n} uniformno konvergira, onda grani Cna vrednost mora biti ista funkcija f . ProveriCemo da li je limn^ TOsupx£ [0 ^ |fn(x) — f (x)| = 0. lim sup |fn (x) — f(x)| = lim max |(xn — x n+ 1 ) — 0 |= n^ TOx£ [0,i] n^ TOxe [0,i]

liml-^Vfl" V

n^TO y n + 1 J lim ( —— n^TO y n + 11

n + 1

• lim ( 1 ------- — - ] = e _1 - 0 = 0 , n^TO y n + 1

te niz funkcija { f n} uniformno konvergiraka funkciji f (x) = 0 na intervalu [0 , 1]. 2. Parcijalna suma s k reda T f n je fc-i Sfc(x) = ^ fn (x ) = (1 — x) + (x — x 2 ) +-+ (x k -i — x k) = 1 — x k. n=0 Za svako fiksirano x G [0,1] brojni niz { s k(x )} konvergira i to

fcUm sfc(x) = s ( x ) ^

1, 0,

x e [0 , 1 ), x = 1.

Ako niz { s k} uniformno konvergira, on mora konvergirati ka funkciji s, tako da treba proveriti da li je lim k^ TOsup x £ [0 ^ |sk(x) — s(x)| = 0 .

lim

sup |s(x) — sk(x)| = lim max < sup |1 — (1 — x k)|, 0 > = x£ [0,i] fc^TO ^x£ [0,i) J =

lim sup x k = lim 1 = 1 = 0 . fc^ TOx£ [0,i) fc^ TO

Red T f n ne konvergira uniformno, ali konvergira po tac kama na intervalu [0,1]. □ Naredna teorema je poznati Vajerstrasov 5 kriterijum uniformne konvergencije funkcionalnog reda. T e o r e m a 1 .2.1 Neka je T an, an > 0 konvergentan red sa pozitivnim clanovima i neka je { f n} niz funkcija f n : I ^ R, takav da je |fn (x)| < an za sve x G I i sve n G N. T a d a ^ f n konvergira apsolutno uniformno na skupu I . 5Karl Weierstrass (1815—1897) — Nemacki matematicar. Imao je velikog uticaja na razvoj analize. Uvek je insistirao na rigoroznim dokazima. Razvio je, ali nije Stampao, uvod u sistem realnih brojeva.

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

35

D ok a z. an, an > 0 je konvergentan red, te za svako e > 0 postoji k0 € N takvo da je k+p k > k 0 —— ^^^ an < e. n=k+i Kako je za sve x € I , |fn(x)| < an, vazi k+p k > k0 —

k+p

£ |f(x)| < £ an < «, n=k+i n=k+i

sto zna ci da funkcionalni red T |fn |konvergira uniformno, tj. funkcionalni red T f n konvergira apsolutno uniformno. □ sin nx P r im e r 1 .2 .5 Neka je f n : [—7r , 7r] —> R definisano sa f n(x) = — — n G N, i(n + 1 ) ’ x € [—n, n]. Pokazacemo da je sin nx

^ 2 f n(x ) = E ; n( n +

1)

apsolutno uniformno konvergentan red nad intervalom [—n ,n ]. Zaista, sin nx E |fn(x)| < E n=i n=i x£[-n ,n]

lim

= lim fc^w y

> —-------- - = n (n + 1) n=i v

2

+

2

3

sup

(n + 1 )

1

E

n=i

n( n + 1 ) v '

l i m -------- 1-----------!-••• + V 1 -2 2 -3

+

k

k + 1y

k(k + 1) 'vvv

— ! _ " ) = lim ( l - = 1. fc^w y k+1y

na osnovi prethodne teoreme sledi apsolutna uniformna konvergencija reda T f n nad intervalom [—n,n]., □

1.2.3

Uniformna konvergencija i neprekidnost, integrabilnost i diferencijabilnost

Slicno kao u odeljku 1.2.1, u slucaju uniformne konvergencije reda T f n, osobina neprekidnosti, integrabilnosti ili diferencijabilnosti clanova reda f n se prenosi i na sumu funkcionalnog reda. Ove osobine izrazicemo u slede^e tri teoreme.

36

Glava 1. R E D O V I

T e o r e m a 1 .2 .2 Neka je { f n} niz neprekidnih funkcija na intervalu [ a, b ] i neka funkcionalni r e d ^ f n uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji s : [ a, b ] ^ R. Tada je s neprekidna funkcija na [ a, b ] i za svako x 0 € [ a, b ] vazi OO

OO

lim V ' fn (x ) = V X—%0 ' ■* n=0

lim fn (x ) = s (x 0 ). '■* x—— Xo n=0

T e o r e m a 1 .2 .3 Neka je { f n} niz integrabilnih funkcija na intervalu [ a, b ] i neka funkcionalni r e d ^ f n uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji s : [ a, b ] ^ R. Tada je s integrabilna na [ a, b ] i za svako a, ,0 € [ a, b ] vazi rP / O /E fn (x H •/“ \n=0

\ dx = E /

rP / fn (x ) dx = n=0 a

rP s(x) dx. •/“

T e o r e m a 1 .2 .4 Neka je { f n} niz diferencijabilnih funkcija na intervalu [ a, b ] takvih da za neko x 0 € [ a, b ] brojni r e d Y f n (x 0 ) konvergira i neka r e d Y f uniformno konvergira na [ a, b ] ka funkciji g : [ a, b ] ^ R. Tada i red T f n uniformno konvergira i vazi

(EOO f n(x M\ ’ = EOO f n(x) = g ( x ) n=0

1.2.4

x € [ a,b ].

n=0

Stepeni (potencijalni) redovi

Posebno mesto u teoriji funkcionalnih redova zauzimaju stepeni redovi. S te p e n i r e d je funkcionalni red ciji su clanovi f n(y) = a € R, an € R, n = 0 , 1 , 2 , . . . , tj. red oblika

an(y — a ) n,

n^=0] an(y — a ) n = a 0 + a i(y — a) + a 2 (y — a ) 2 + •••+ a^(y — a ) n + •••. Realni brojevi an, n = 0,1, 2 , . . . , su k o e fic ije n ti a realni broj a je ce n ta r stepenog reda. Ako uvedemo smenu x = y — a, poslednji stepeni red postaje stepeni red n 2 n anx = a 0 + a ix + a 2x + •••+ anx + •••

E

n=0

sa centrom 0. U daljem razmatranju, radi jednostavnosti, bavicemo se najpre redovima sa centrom 0 . Sto se tice oblasti konvergencije stepenog reda slucajevi, sto cemo videti u slede^em primeru. P r im e r 1 .2 .6 Ispita^emo konvergenciju redova V - x n, 11 n

V n nx n

i

V ^ x n. n!

anxn, postoje razni

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

37

Po korenskom kriterijumu prvi red konvergira za sve x lim su p ^ ^ ^ \J^~ < 1, tj.

za sve x € ( —1,1).

€

M za koje je

Drugi red konvergira samo

za x = 0 , jer je, za svako x f 0, lim su p ^ ^ ^ \Jnn ■\x\n = oo, te red divergira. Treci red konvergira za svako x € R. Zaista, po kolicnickom kriterijumu, za svako x € R je 1

lim n—^OO

(n+ 1)

IIn!

x n +1

lim J i L = 0 < 1 . n—— ^o n + 1

II

□ Za sve x € R za koje red Y anx n konvergira, mo Zemo pisati

E'

n

n

/ ( x ).

O cigledno da red Y ^=0 anx n konvergira (na osnovu korenskog kriterijuma) za sve x € ( —r, r), gde je 1

r= lim supn

Ako je lim su p ^ ^ ^ ^/ja^J = 0, tada je r = oo, te red

anx " kon-

vergira za sve x € M. Ako je lim su p ^ ^ ^ v^fčž^J = oo, tada je r = 0, te red S n = 0 anx n konvergira samo u tacki x = 0 . Broj r nazivamo p o lu p r e č n ik o m k o n v e r g e n c ije stepenog reda Y anx n a interval ( —r, r) nazivamo in te rv a lo m k o n v e rg e n cije . U slučaju kada je |x| > r, stepeni red Y anx n divergira jer opsti član |anx n | ne tezi ka 0. Ako je x = r i x = —r, red moze biti konvergentan ili divergentan. Poluprečnik konvergencije r moze se takođe nači korisčenjem količničkog kriterijuma konvergenčije i tada je r =

(ln lim n—TO an+l

u sluč aju kad poslednji limes postoji. P r im e r 1 .2 .7 Red Y n x " ima poluprečnik konvergencije 1 = 1,

lim supn—o te on konvergira za svako x € ( —1, 1) a divergira kad god je |x| > 1. U ta čki x = 1 red divergira, a u ta čki x = —1 red konvergira (pogledati primere 1.1.3. i 1.1.4). □

38

Glava 1. R E D O V I

T e o r e m a 1 .2 .5 Ako je T anx n stepeni red i ako je r > 0 njegov poluprecnik konvergencije, tada r e d ^ anx n konvergira apsolutno uniformno za sve x, |x| < p, gde je 0 < p < r. D ok a z. Kako je |anx n |< |an |pn za sve n G N i kako je limsup \J\an\pn = P limSUP v / lan| < r lim sup v + n l = 1, n—— ^o n—— ^o n—— ^o na osnovu korenskog kriterijuma brojni red T n= 0 |an |pn konvergira, te na osnovu VajerStrasovog kriterijuma (1.2.1) funkcionalni red T ^=0 anx n konvergira apsolutno uniformno za sve |x| < p. Znamo da su dva polinama jednaka ako i samo ako su im koeficijenti uz iste stepene jednaki. SliCna teorema vaZi i za stepene redove. T e o r e m a 1 .2 .6 Ako za svako x € ( —r, r), r > 0, redovi T anx n i T bnx n konvergiraju istoj sumi f (x), oni su identicni tj. svi odgovarajuci koeficijenti su im jednaki. D o k a z. Kako je za svako x € ( —r, r), T ^= 0 anx n = T ^= 0 bnx n, za x = 0, jednakost se svodi na a 0 = b0. Skratimo a 0 i b0 i podelim o jednakost T n=i anx n = S n = i bnx n sa x. UvrsCavanjem x = 0 u dobijenu jednakost, zakljuC ujemo da je a^ = bi. NastavljajuCi postupak, dobijam o an = bn za svako n € N. □ T e o r e m a 1 .2 .7 Neka je T ^=0 anx n = f (x) za x € ( —r, r), gde je r > 0 poluprecnik konvergencije reda T anx n. Tada za sve x € ( —r, r) funkcija f je neprekidna, ima sve izvode i vazi OO

f ( x ) =

n (n — 1 ) •••(n — k + 1 )anx n-k n=k

f (k)( 0 ) = klafc

za sve k = 0 , 1 , 2 , . . .

.

D ok a z. Na osnovu teorema 1.2.5. i 1.2.2, f je neprekidna funkcija nad intervalom [—p, p] za svako p < r, sto zna Ci da je neprekidna za svako x € ( —r, r). Iz limn^oo tfn = 1, imamo da lim su p ^ ^ ^ ^/n\an \= l i m s u p ^ ^ ^\an \, te redovi anx n i nanx n - 1 imaju isti polupre Cnik konvergenCije i na osnovu teoreme 1.2.4. je f '(x ) = n=i nanx n- 1 , x € ( —r, r). Analogno se dokazuje i za izvode viseg reda. □

1.2.5

Razvoj funkcije u stepeni red

Ako postoji stepeni red T anx n i r > 0 tako da je za sve x € ( —r, r), f (x) = $^n= 0 anx n, kazemo da je f a n a litick a fu n k cija u taCki 0 i da stepeni

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

39

red T anx n predstavlja r a z v o j fu n k c ije f u s te p e n i (M a k lo r e n o v 6 ) r e d u tac ki 0. Kaž emo da f ima razvoj u ta cki 0 ili da f ima Maklorenov razvoj. Na osnovu poslednje teoreme, veza koeficijenata an u Maklorenovom razvof(n)(0) ju i funkcije / data je sa a „ = J , , n = 0,1, 2 , . . . , tj. za svako x (E ( —r, r),

f (x) = n=0

f (n)( 0 ) n n!

Na osnovu teoreme 1.2.6, razvoj funkcije f u taCki 0 u stepeni red Y anx n, ako postoji, jedinstven je. Poslednja formula je veoma interesantna. Ona pokazuje, s jedne strane, da su koeficijenti an Maklorenovog razvoja Y anx n funkcije f određeni vrednosCu funkcije f i njenih izvoda f (n),n = 1, 2 , . . . u tacki 0. Ukoliko podem o od reda Y anx n koji za svako x € ( —r, r), r > 0 , konvergira ka f (x), tada f ( 0 ), f "( 0 ), f ” ( 0 )... nalazimo pomo^u formule f (n)( 0 ) = n!an, n = 0 , 1 , 2 , . . . . Medutim, ukoliko podem o od funkcije f , egzistencija svih izvoda f (n), n € N, u tac ki 0 nije dovoljan uslov da funkcijs f ima Maklorenov razvoj. U slede^em primeru pokaza^emo da svi izvodi f (n), n G N, funkcije f u tac ki 0 postoje, ali f(n)(0) / ipak nema Maklorenov razvoj. U ovom primeru Maklorenov red Y — i x n ne konvergira ka funkciji f ni u jednoj tacki sem u 0 .

P r im e r 1 .2 .8 Funkcija f ( x ) = < e x ’ x ^ 0, x = 0,

ima sve izvode u tački 0.

Zaista za x f 0, f ' ( x ) = Kako je lima,^ 0+ f ' ( x ) = lim^^o f ' ( x ) = 0, sledi da je f '(0) = 0. Analogno se pokazuje da je f (n)(0) = 0 , n = 2, 3 ,.... Ako stavimo da je an = ^ w,(0) = 0 , n = 0,1, 2 , . . . , dobijam o Y ^ o anxU = S n =0 0 •x n = 0 sto je, ocigledno, za sve x G R \ { 0 } razli cito od funkcije f (x). Naredna teorema daje potreban i dovoljan uslov da funkcija f bude analiti cka u ta cki 0 . T e o r e m a 1 .2 .8 Funkcija f je analiticka u tacki 0 ako i samo ako postoji r > 0 takvo da je za sve x G ( —r, r) • funkcija f beskonacno puta d,iferencija,bilna,, • limn—— ^ R k(x)

°;

gde je Rk( x ) = * ( k + i ) ^ xk+1 > ® €

^)’ osta,tak u Maklorenovoj formuli f ( x ) =

E t o ^ x” + ^ ( x)6Colin Maclaurin (1698—1746) — Britanski matematičar. Bio je student Njutna i profesor u Edinburgu. Glavni rezultati su mu iz geom etrije i matematičke fizike.

40

Glava 1. R E D O V I

Posmatracemo sada stepeni red sa centrom a = 0, tj. red Y bn(x — a ) n . Stepeni red Y n= 0 bn(x — a ) n, a = 0, konvergira za sve x G (a — r i , a + r i ), gde je 1

r i = ---------------------- ------• lim suP n ^ TO n 1bn 1 Ako je ri > 0, definisemo funkciju f sa bn(x — a ) n = f (x),

x G (a — r i , a + r i ).

n=0 KaZemo da je funkcija f razvijena u s te p e n i ( T e jlo r o v 7 ) red u taCki a = 0, odnosno da ima Tejlorov razvoj u taCki a = 0. SliCno kao i u sluCaju razvoja u taCki 0 mo ze se dokazati da je f neprekidna funkcija i da ima sve izvode nad intervalom (a —r i, a + r i). Veza koeficijenata bn reda Y n= 0 bn (x —a ) n i funkcije / data je sa bn = ^

, n = 0 , 1 , 2 , . . . , tj.

Ukoliko funkcija f ima Maklorenov razvoj u taCki 0 sa polupreCnikom konvergencije r > 0, tada u svakoj taCki a iz intervala ( —r, r) postoji Tejlorov razvoj funkcije f . Ta osobina funkcije f opisana je u narednoj teoremi. T e o r e m a 1 .2 .9 Neka funkcija f ima Maklorenov razvoj, f (x) = ^ ^ = 0 anx n, sa poluprecnikom konvergencije r > 0. Tada za svako a G ( —r, r), f ima Tejlorov razvoj u tački a , f ( x ) = Y ^ o ^ vergencije ri > r — |a|.

(x — a ) " ’ sa P°f-uPrečnikom kon-

Naglas avamo da uslov ri > r — |a| znaCi da Tejlorov red moze konvergirati u sirem intervalu nego sto je interval određen uslovom |x — a| < r — |a|.

—r

--------- (

0

r

»

)------

Interval konvergencije reda ^ ^ = 0 a^xn = f (x).

7Brook Taylor (1685-1731) Engleski matematičar. 1715 je ob ja vio rad o razvoju u beskonačni red ali, po običajim a onog vremena, nije se bavio pitanjem konvergencije. Te nedostatke je otklonio Lagranž (J.Z.Lagrange 1736-1813)

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi —r

41 a

r

0

-------- (------ -------)------•-------------------- )-----Interval u kojem red

^— j ^ - ( x ~ a )n sigurno konvergira.

D ok a z. Imamo da je oo

f (x)

oo

oo

n

/ \

= E °n x n = E “ n ((x —a ) + a ) n = a ^ E ( k ) a n-fc (x n=0 n=0 n=0 k=0

— a)*

Kako red oo

n

EE

/ \

oo

a ^ k ) a n -fc(x — a ) k =

n= 0 k=0

n | — a| + |a|) n E |an|(|x n

n=00

konvergira za sve x za koje je |x — a| + |a| < r, na osnovu teoreme 1 .1 . 1 0 . m o zemo promeniti redosled sumiranja, te je

f(x ) = E ( E ( l ) a n a n - M (x — a ) k k=0 \n=k ^ ^ /

k=0 \n=k

•____/ (W)( 0 ) .n -A k!(n — k)! n!

Uvoctenjem smene indeksa n — k = i, dobijam o

/w - f

£

k=0 Vi=0

!

J

^

!

=f

k=0

!

oo f (k) Da su koeficijenti bi~ u razvoju funkcije f { x ) = YkLo bk(x —a ) k jednaki — —— k! dokazuje se na isti na Cin kao u teoremi 1.2.7. Takode, na osnovu jedinstvenosti razvoja funkcije f u stepeni red u taCki a, sledi OO

/

\

f (k)(a) = k ! ^ ( J a n a n-fc n= k ' ' □

P r im e r 1 .2 .9 Stepeni red Y x n ima polupreCnik konvergencije

1

lim s u p ^ ^

1.

(a )

42

Glava 1. R E D O V I

Neka je f (x) = T ^=0 x n, x £ ( —1,1). Kako je za svako x £ ( —1,1),

T xn

geometrijski red čiji je zbir --------, to je 1 —x f ( x ) = T—— , 1 —x

x G (-l,l).

Na osnovu poslednje teoreme, f (x) mozemo razviti u stepeni red u svakoj taCki a £ ( —1,1). Razvičemo ovu funkciju u stepeni red u tački a\ = \ i tački a2 =

Razvoj u tački \ ima oblik f ( x ) = T an(x — \)n ■ Kako je / (n)(x) = koeficijenti

1 - 2 ...........n( 1 — x ) _n _1 , to su, za a\ =

f(™)( i ')

_ J

\2> _ on+l , — ^ i n!

an —

te je

/(x) =nX)2n+1U-=0

2

Poluprecnik konvergencije ovog reda je ri = ---------------------------, = — = r — lai I. lim su p ^ ^ ^ $ 2 n+ 1 2

Ako je a.2 = —\, tada je f ( x ) = T bn(x + \)n, gde je / (n ) ( - i )

bn

. n!

_

(2

n

i Q \3

te je °o / o \ n+i /

/w=E(!)

1\ n

n=0

Polupre cnik konvergencije ovog reda je 1 r2 = ----------------,

i i 1 = x3 > r - | a2| = -.

l i m s u p ^ ^ y ( ž ) n+1 Uočimo da interval konvergencije ( 0 , 1 ) pri razvoju u tački \ ne izlazi izvan intervala konvergencije (-1,1) Maklorenovog razvoja, dok pri razvoju u tački —\ interval konvergencije (-2,1) izlazi izvan intervala konvergencije (-1,1) Maklorenovog razvoja. □

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

1.2.6

43

Pregled najvažnijih osobina stepenih redova

Na osnovu razmatranja vezanih za funkcionalne redove i teorema navedenih u ovom odeljku, izdvajamo neke od vaznih elementarnih osobina stepenih redova. • Ako stepeni red T anx n konvergira za x = x 0 = 0, on apsolutno konvergira za sve x za koje je |x| < |x0|, a ako divergira za x = x 0 on divergira za sve x za koje je |x| > |x0|. • Ako stepeni red T anx n konvergira za neko x 0 = 0 i divergira za neko xi_ £ R, tada postoji jedan i samo jedan broj r > 0 takav da red konvergira za sve x takve da je |x| < r, a divergira za sve x takve da je |x| > r. Broj r nazivamo polupre Cnikom konvergencije, a interval ( —r, r) intervalom konvergencije stepenog reda T anx n . U svakoj ta Cki x £ (—r, r) red T anx n konvergira apsolutno (tj. red T |anx n |konvergira). • Na svakom zatvorenom intervalu [ a, b ] C ( —r, r), red T anx n uniformno konvergira. • Ako dva reda T anx n i T bnx n konvergiraju u istom intervalu ( —r, r) i u svim ta ckama tog intervala imaju iste sume, tada su ta dva reda identi cna (an = bn za sve n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . • Ako je T n= 0 anx n = f (x) i T ^ = 0 bnx n = g(x), tada za svako x koje pripada preseku intervala konvergencije oba reda, vazi da je

f (x) ± g(x) ^ ( a „ ± bn)xn, n=0

• Stepeni red T anx n mo ze se diferencirati i integrirati Clan po Clan u intervalu konvergencije, naime za svako x, y £ ( —r, r) va zi

• Ako red T bn (x —a ) n ima polupre Cnik konvergencije r (tj. njegov interval konvergencije je (a— r, a + r ) ), tada njegovu sumu f (x) = T ^ = 0 bn( x —a ) n

44

Glava 1. R E D O V I

moZemo razloZiti u stepeni red sa centrom u bilo kojoj tacki 0 € (a —r, a + r), i va Zi

n!

n=0

Poslednji stepeni red ima polupre Cnik konvergencije ri > r — |,0 — a|.

KaZemo da je f a n a litičk a fu n k c ija u ta ck i a ako postoji r > 0 takvo da je za sve x € (a — r, a + r) funkcija f suma nekog stepenog reda, tj.

OO

f (x) = E bn(x — a ) n . n=0 Svaka funkcija koja je analitiCka u taCki a, analitiCka je u nekoj okolini taCke a. Zbir, proizvod, kompozicija, kolicnik (gde je imenilac razlicit od 0) analitiC kih funkcija je ponovo analiti Cka funkcija.

• Neka funkcija f u nekoj okolini taCke a ima sve izvode. Ako u Tejlorovoj formuli

n=0

n!

ostatak R k(x) te zi ka 0 kad k ^ ro, tada je funkcija f analiti Cka u ta Cki a i postoji r > 0 tako da je

■ A f (n)(a) f ( x ) = } ------ ;— (x — a ) n n! n=0

za sve

x (E ( a — r, a + r).

Kazemo da je funkcija f razvijena u Tejlorov red u taCki a. Ako je a = 0, tada je ~ T

n=0

f (n)( 0 ) -------x G ( —r, r )

n!

i kazemo da je funkcija f razvijena u Maklorenov red.

1.2.

Funkcionalni nizovi i redovi

45

NavesCemo kako izgleda razvoj u Maklorenov red za neke elementarne funkcije koje zadovoljavaju poslednji uslov.

46

Glava 1. R E D O V I

Glava 2

INTEGRALI FUNKCIJA VISE PROMENLJIVIH 2 .1 D v o s tr u k i in teg ra l

2 .2 K r iv o lin ijs k i in teg ra l 2 .3 In te g ra ln e fo r m u le v eze

U teoriji realnih funkcija realne promenljive, integral i pojm ovi vezani za njega zauzimaju centralno mesto. Osnovna ideja pri definisanju odredenog integrala funkcije f : [ a, b ] ^ R se ponavlja u drugim granama matemati Cke analize, obezbedujuCi aparaturu nezamenljivu kako u razvijanju matematiCkih teorija koje se oslanjaju na analizu, tako i veoma sirokom polju primene u tehnici, ekonomiji, prirodnim naukama i drugim oblastima U ovom poglavlju baviCemo se dvostrukim i krivolinijskim integralima realne funkcije vise realnih promenljivih. Citaocu Ce biti umnogome olaks ano praCenje izlaganja ako je dobro upoznat sa tehnikom, osnovnim definicijama i teoremama vezanim za integraciju realne funkcije realne promenljive. Osnovni pojm ovi, definicije i teoreme kao i tehnika izvodenja i dokazivanja raznih veza i odnosa integrala funkcije vise promenljivih, analogni su tehnici korisCenoj u teoriji integracije funkcije jedne realne promenljive. To je razlog zbog Cega je u izlaganju materije ove glave izostavljen dokaz veCine navedenih teorema. U 2 .1 obrađen je dvostruki integral. Navedene su osnovne definicije i osobine. Jedan deo posveCen je uvodenju smene promenljivih prilikom dvostruke integracije. 2 .2 posveCen je osnovnim definicijama i teoremama krivolinijskog integrala po du zini krive (I vrste) i po koordinatama (II vrste). Detaljno je obrađen slu Caj kad kriva pripada prostoru R 2. 47

48

Glava 2. IN T E G R A LI FUNKCIJA VIŠE PROM ENLJIVIH

2 .3 sadr ži integralnu formulu koje povezuju razne vrste integrala - formulu Grina koja povezuje krivolinijski i dvostruki integral.

2.1

Dvostruki integral

Dvostruki integral je jedna generalizacija odrectenog integrala f (x) f : [ a, b ] — R. U ovom sluCaju funkciju f zamenjujemo realnom funkcijom dve realne promenljive Ciji je definicioni domen zatvorena oblast = 2 n i f (a), £—>-0 0 0 0

te je f (z ) 2 ni .Zl z — a

dz,

Sto je i trebalo dokazati. Dokaz druge formule koja se tiCe izvoda je sliCan navedenom, te ga izostavljamo. □ Na osnovu Kosijevih integralnih formula zakljuCujemo da ako poznajem o ponasanje analitiCke funkcije f na zatvorenoj putanji L, tada m ožemo naCi vrednosti funkdje f i svih njenih izvoda f (n) u bilo kojoj taCki a koja pripada unutrasnjosti L. Takocte, na osnovu ove teoreme m ožemo zakljuCiti da ako fu n k c ija f im a p r v i iz v o d n a D (tj. analitiCka je nad D ), ta d a o n a im a i sve iz v o d e v is e g r e d a n a D. Primetimo da u realnoj analiži ova osobina ne va ži. VeCina važnih osobina analitiCkih funkdja, koje smo radi preglednosti i da bismo istakli njihov žnaC aj, naveli u poglavlju 3.4, dokažuju se korisCenjem upravo Kosijevih integralnih formula i predstavljaju direktnu poslediCu ove teoreme. Cak i jedna od najvažnijih teorema algebre - Fundamentalna teorema algebre, da svaki polinom Pn(z), n > 1, z G C, ima najmanje jednu nulu u skupu C, dokažuje se kao poslediCa ove teoreme. P r im e r 3 .7 .4 Ako je L kružniCa |z| = 2, naCi

2 sin z

A R eS en je.

( , - 1) ( , + I ) ' k -

(' 2)

e2z

7i ( 5 T I F *

3.8.

Razlaganje analitičkih funkcija u red

1) Kako je

1

1

(z — 1 )(z + 1 )

1

2 \z —1

2 sin z l

1

dz =

(z — 1)(z + ^

109

z + 1/ f sin z Lz

1

lmamo sin z

dz

Lz+ 1

dz =

= 2ni (sin 1 — sin( —1)) = 4ni sin 1. 8 2)

L (z + l f d z -

3.8

3! (e

2

3m e

□

Razlaganje analitičkih funkcija u red

Osnovne definicije i pojm ovi vezani za funkcionalne redove kompleksnih funkcija kompleksne promenljive glase isto kao i u realnoj analizi. Naravno, vodim o raCuna o razliCitim definicijama rastojanja i okoline u realnoj i kompleksnoj analizi (pogledati odeljak 1.1). Recimo, kad u realnoj analizi promenljiva x prolazi intervalom |x — a| < r, a G R, r > 0 , analogan uslov u kompleksnoj analizi je da promenljiva z prolazi krugom |z — a| < r, a G C, r > 0. Sve teoreme navedene u 1.6. vezane za konvergenciju, uniformnu konvergenciju, neprekidnost, diferencijabilnost, integrabilnost, stepene redove u realnoj analizi vaz e i za funkcionalne redove u kompleksnoj analizi. Nave scem o dve teoreme o razvoju analiti cke funkcije u Tejlorov i Loranov 4 red.

3.8.1

Red Tejlora

T e o r e m a 3 .8 .1 (Tejlorova teorema) Neka je f analiticka funkcija na kruznici K : |z — a| = r i u unutrašnjosti kruznice int K . Tada za svako z G int K

f (z) = ^

a „(z — a ) n, 0

gde je an

f (n)(a) n:

n = 0 , 1, 2 ,

D ok a z. Svi uslovi teoreme 3.7.2. ispunjeni su, te za svako z G int K vazi

/ (z) =

i

2 ni .JK w — z

■

4 Pierre A lfonse Laurent (1813-1854) - Francuski matematičar. inženjer. D om en rada mu je bila kompleksna analiza.

Po profesiji je bio vojni

110

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

Kako je 1

1

Lv — z

(u> (z — a) ) \ — a) ) — \

1

u) — a

1 1 — i^— —— a ’

iz uslova da z £ int K a w € K , sledi da je |z — a| < |w — a|, te je ..

OO

- =T n

—

1

Za svako fiksirano z € intA ', red

=0

(jjz^ j

konvergira uniformno kad u> G

K , jer se moze majorirati brojnim geometrijskim redom

O= 0 qn, gde je q =

\~~a\ < 1. Na osnovu uniformne konvergencije, članove reda možemo integrisati clan po c lan (tj. mo zemo izmeniti redosled integracije i sumiranja), te imamo

/W

= 2ii

T\ • ^ \— ni J ni 2 2

0

f M (z — a ) n — (w — —a —a )n

K

dw I (z — a ) n. k

(w — a ) ” +1

Na osnovu teoreme 3.7.2. f

1

f M

2 ni J k (w — a ) ” +1

dw

f (n)(a) ni

an □

sto je trebalo dokazati. P o s le d ic e T e jlo r o v e te o r e m e O

• Ako je f (z) =

E an (z — a ) n, za n=0

|z — a| < r, tada kazemo da je red

O ^ ^ a n(z — a ) n T e jlo r o v r a z v o j ili T e jlo r o v r e d funkcije f (z ) u tacki n=0 a £ C. Ovaj razvoj je jedinstven.

3.8.

Razlaganje analitickih funkcija u red

111

• Funkcija f koja je analiticka u tacki a moze se razviti u Tejlorov red

f (z) = T an(z — a ) n n=0 koji je konvergentan u krugu, opisanom oko tacke a sa poluprecnikom r = |,0 — a|, gde je 0 singularitet funkcije f najblizi tacki a. B roj r nazivamo p o lu p re C n ik o m k o n v e r g e n c ije . • Na kruznici |z — a| = r red ne mora da konvergira. • Za one z za koje je |z — a| > r, red divergira. • Ako je najblizi singularitet funkcije f u ro, tada je poluprecnik konvergencije r = ro, tj. red konvergira za sve z £ C. • Ako je a = 0, razvoj u red funkcije f nazivamo M a k lo r e n o v im ra z v o je m . Moze se pokazati da elementarne funkcije ciji su Maklorenovi razvoji u red navedeni u 1 .2 .6 . imaju isti razvoj i u kompleksnoj analizi. • Ukoliko je f (a) = 0, tacku a £ C nazivamo n u lo m funkcije f . Ako je Tejlorov razvoj u ta cki a takav da je a 0 — a 1 — •••— ak - 1 — 0

ak = 0

tj. f (z) = ak(z — a)k + ak+1 (z — a ) k+1 + •••^ tada kazemo da je a n u la r e d a k za f . U tom sluc aju je f (a ) = f '(a ) = ••• = f ( k - 1) (a ) = 0 ,

3.8.2

f (k)(a ) = 0 .

Red Lorana

T e o r e m a 3 .8 .2 (Loranova teorema) Neka su K i i K 2 koncentrične kruznice sa centrom u a £ C, i neka je funkcija f analiticka na K i, K 2 i u prstenu P između K i i K 2 . Tada za svako z £ P

f(z )=

T an(z — a ) n, n= - O

gde je

n £ Z, a L je proizvoljna zatvorena pozitivno orijentisana putanja u P koja obuhvata manji krug.

112

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

D ok a z. Neka je z e P fiksirana tacka. Ako kružnica K i ima poluprecnik ri a kruž nica K 2 ima polupreCnik r2, r 2 < ri, tada je r 2 < |z — a| < ri. Oko ta Cke z opi semo kruž nicu r koja pripada prstenu P (slika 3.24).

Na osnovu posledica KoSijeve teoreme (3.7.1) je

/

m

■

JKi w — z

r

JK 2

a na osnovu Kosijeve integralne formule (3.7.2) je

^

^■dw = 2nif(z),

sto žna ci da je 1

f(z) = —

d> ^ L d w ~ —

2 ni Jki w — z

/ (w)

= Si + S 2 .

2 ni Jk 2 w — z

Prvi sabirak Si transformisemo na isti nacin kao u dokazu teoreme 3.8.1. dobijamo 1

= 2 ni jK i ^ — zv 2 ni J K i (^ — « )n+i

i

) (z — a ) n .

/* / (^) Kako u prstenu P funkcija / nema singulariteta, integral ® ---------- ——rđio J k x (^ — a )n + i se nece promeniti ako umesto putanje K i uzmemo bilo koju zatvorenu putanju L C P koja obuhvata K 2.

3.8.

Razlaganje analitickih funkcija u red

113

Drugi sabirak S 2 transformisemo na slican nacin: Kako je z fiksirana ta cka iž prstena P , to je |z — a| > r2. U drugom sabirku vrsimo integraciju po promenljivoj w koja se kre^e po K 2, sto znaci da je |w — a| = r2. Tada je

< 1,

r2

|z — a|

z a te imamo 1

1

1

w — z(w — v a) — (z ) —va )

1

1

z — a i i------------w a z —a

)

E

z — a m=0 vV z — a

Poslednji red uniformno konvergira na K 2 (po promenljivoj w) jer se može majorirati geometrijskim redom J2qm, q =

---------r < 1. Transformišemo drugi |z - a|

sabirak

k je bm = 0 . U primeru 3.8.2. tacka —1 je pol reda 3 funkcije f (z ) =

e2z (z + 1) 3

3. E se n cija ln i s in g u la rite t. Tacka a € C je esencijalni singularitet funkcije f ako je zadovoljen jedan od slede^a dva uslova: • limz^ a f (z) ne postoji (ni konac an ni beskonac an), • glavni deo u Loranovom razvoju funkcije f u ta cki a sadr zi beskona cno m nogo c lanova, tj. za svako k € N postoji m € N, m > k, takvo da je bm = 0 .

3.10.

Reziduum

117

Recimo, funkcija f( z ) = e* ima esencijalni singularitet u tački z = 0. Zaista lim e* ne postoji - ako z —> 0 preko pozitivnih realnih vrednosti, tada z^O e* —> + o o , a ako z —> 0 preko negativnih realnih vrednosti, tada e* —> 0 , te očito lim e* ne postoji. Loranov razvoj funkcije e* u tački 0 je z^O ! , 1 1 e I = 1 + J + 2?

+

'

Glavni deo ima beskonacno mnogo clanova.

4. T a čk e g ra n a n ja . Pogledati odeljak 3.6. S in g u la rite t u ta čk i ro. Kazemo da funkcija f (z) ima izolovan singu-

^

laritet u tački z = oo, ako funkcija g(oj) = f

ima izolovan singularitet u

tacki w = 0 . Recimo, funkcija f (z) = 1 + z + z 3 ima pol reda 3 u tacki z = ro jer funkcija g(oj) = f ( — ) = 1 H------- 1-----5- ima pol reda 3 u tački uj = 0. Vw w

3.10

Reziduum

Pretpostavimo da je za funkciju f (z) tacka z = a, a € C, regularna tacka ili izolovani singularitet. R e z id u u m funkcije f u tacki a, u oznaci Res [f (z ), a], definisan je sa f ( z) dz ,

Res [f(z), a] =

tj. j> f (z ) dz = 2ni Res [f (z ), a], gde je L zatvorena pozitivno orijentisana putanja koja okru zuje ta cku a i u cijoj unutrasnjosti i na L nema singulariteta sem eventualno u tacki a. Ukoliko je Res [f (z ), a] = 0.

a

regularna

tacka

ili

otklonjiv

singularitet,

tada

je

Reziduum funkcije f u tacki a € C jednak je koeficijentu b^ uz (z — a ) - 1 u Loranovom razvoju funkcije f u tacki a ( na osnovu Loranove teoreme 3.8.2), tj. Res [ f (z), a] = b^

118

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

T e o r e m a 3 .1 0 .1 Ako je f analitička funkcija u unutrasnjosti i na zatvorenoj pozitivno orijentisanoj putanji L sem u konačno mnogo tačaka a^, k = 1, 2, .. ., m, ak € int L, tada je

D ok a z. Ako su L i, L 2, . . . , Lm kružnice, L k C int L, int L k n int L n = 0, n = k, n, k G { 1 , . . . , m }, opisane redom oko a i, a 2, . . . , a m,

L

tada na osnovu pete posledice Kosijeve teoreme (3.7.1) važi ,.

m

,.

i f (z) dz = E f f (z) dz, Jl k = i^ Lk te kako je ža svako k = 1 , 2 , . . . , m ® f (z) dz = 2ni Res [ f ( z ) , a k], JLk

P m ® f (z) dz = 2 n i^ ^ Res [f ( z ) , a k]. L

□

Iž poslednje teoreme vidimo da se izraCunavanje integrala funkcije f po zatvorenoj putanji L može obaviti nalaženjem svih reziduuma u unutrasnjosti putanje. Svaki od režiduuma možemo naCi ražvijajuCi funkciju f u Loranov red u ta cki ak , k = 1 , . . . , m. Naredne dve teoreme daju m etod ža jednostavno ižracunavanje režiduuma u sluc aju da se radi o polu, s tim sto se prva teorema odnosi na pol reda k, k € N, dok se druga odnosi na pol prvog reda. T e o r e m a 3 .1 0 .2 Ako je a € C pol reda k funkcije f , tada je Res [ f ( z ) ,a ] =

lim ((z - a ) kf ( z ) ) ^

1}.

3.10.

Reziduum

119

D ok a z. Ako je a pol reda k, tada je Loranov ražvoj ža f u a dat sa / (z ) — 7---------tj: + ••• H------------- 1~ ao + ••• , bk ^ 0 , (z - a ) k z- a te je (z — a) f ( z ) — bk + b k - i(z — a ) + ••• + b i(z — a )

+ ao(z — a )

+

k f ((z z ) ) (k ((z — a ) kf (k -i) ^ = (fc (k -— 1 )! b^ + k !a0(z — a ) + lim [(z — a ) kf (z )]k - ^ = (k — 1 )! bi □

6l = T e o r e m a 3 .1 0 .3 Ako je a € C pol prvog reda funkcije f , tada je

D ok a z. Ako je a € C pol prvog reda funkcije f , tada 1

f(z )

(z — a )h (z ),

h (a ) = 0 ,

te je 1

i j j ž j ) = h(z) + (z ~ a )h'(z)^ 1

----l /(*)

h (a) z= a

S druge strane f (z ) = -----------h ag + a i(z + a ) +

1

- [bi + ao(z — a ) + •••],

te je

h(z)

— (bi + ao(z —a ) + •••),77 —7 — b\. ’

h (a)

P r im e r 3 .1 0 .1 Naci režiduum u svakom od singulariteta a € C, ža funkciju ez 2 f ( z ) = -sin2 z

□

120

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

R e s e n je . f (z) ima pol reda 2 u svakoj od tacaka a = mn, m € Z. Zaista, 2

1

sin 2 z

f(z )

ez

u tacki a = mn, m € Z ima nulu reda 2 , jer je g'(m n ) = 0 ,

g "(m n ) = ( —1 )memn = 0 ,

ža sve m € Z. Za nalaženje režiduuma u tacki a = mn koristimo formulu Res

lim z—^mn

ez

=

2 sin 2 z

lim

ez ( (z — rmr) 2 — 2 sin 2 z

ez ((z — m n ) 2 sin z + 2 (z — m n) sin z — 2 (z — m n ) 2 cos z ) . 3 sin z

Uvoctenjem smene w = z — mn, z = w + mn, dobijam o ez

Res

em7r lim W—>•0

2 sin 2 z

e

„ w3w2 sin w + 2 w sin w — 2 w2 cos w lim e — • l i m ------------ 5----------w^ o sin3 w ^^o

( oj — e

e“ (w 2 sin w + 2 w sin w — 2 w2 cos w)

+ •••) + 2oj ( oj — 3! + •••) —2oj (1 —^2! +

lim w—>•0

3

e □

Režiduum u tacki ro definisan je sa Res [ /(z ), °°] =

j)

f(z) dz =

j

f( z) dz = - a u

gde je L žatvorena, požitivno orijentisana putanja van koje f nema singulariteta sem eventualno u tacki ro i gde je ai koeficijent už linearni clan w u Loranovom razvoju funkcije g(oj) = f (^ ) u tački oj = 0 . Primenom teoreme 3.10.1, lako se dokažuje naredna teorema. T e o r e m a 3 .1 0 .4 Ako je f analitička funkcija za sve z € C sem u tačkama a i, a 2 •••, a n, n € N, tada je n Res [f (z ), ak] + Res [f (z), k=i

to] =

0 .

3.11.

Izracunavanje određenih integrala pom ocu reziduuma

3.11

121

Izračunavanje određenih integrala pomocu reziduuma

Neke klase određenih integrala realne funkcije realne promenljive mogu se ižracunati primenom teorije ižložene u prethodnom odeljku. Obradicem o 4 slu caja už ilustraciju primerima. f‘2n 1. In te g ra l t ip a / f (sin x, cos x) dx o Ako je f : R 2 ^ R racionalna funkcija, integral /*2n / f (sin x, cos x) dx o mož emo ižrac unati na sledeci na cin: Uvedimo smenu z = eix. Kada x prođe intervalom [0, 2n], tada z € C opise centralnu jedinicnu kružnicu K . Dalje je sm x = --------------- = -----------, 2i dz = ietx dx

cos x =

tj.

eix + e-ix z 2 + 1 2 iz

’2

2z

dx = — dz, iz

te je 1 2n

o

Jo

fr ( ^z z^2— - 11 z^ z 2++ 1l\\ 1^ f ( s m x , c o s x ) d x = ( p f [ --------- , ---------- I — dz = 2iri n

JK

\ 2iz V 2*zj K’ 2z ^ *z’ 2z

J iz

k=i

Res \F, ai], [

’ fcJ’

1 z2 — 1 z2 + 1 gde su afc, k = 1 , . . . , m, polovi funkcije F (z ) = — / ---- ;— , --------u ceniz y 2 iz 2 z y tralnom jedini cnom krugu K . Funkcija F (z) mora biti analiticka na kružnici K.

-

O cigledno je da se isti postupak može sprovesti ža svaku funkciju f (ne z2 — 1 z2 + 1 mora obavezno biti racionalna) ako je / ( ——— , — ) analitička na K i na y 2 iz 2 z / skupu int K ima kona cno mnogo ižolovanih singulariteta.

Primer 3 .11 .1 Naći

r2n sin 2 x ------ --------- dx, Jo a + b cos x

a > b > 0.

R e s e n je f 2n

'

/0

sin 2 x

i

f

-dx = — 1

a + 6 co s x

2 b J l z{=1

(z 2 — 1) 2 dz

—

z 2( z 2 + 2 - z + l )

b

i

f

1

(z 2 — 1) 2 dz

26 V|z|= 1

z 2(z - a ) ( z - (3)

122

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

gde je —a + %/a 2 — b2

—a — %/a? — b2 ,

b

3 = b

Kako je a •3 = 1, to je |a| •|3| = 1, tj. |a| < 1 i |3| > 1, sto žnaci da funkcija F (z ) =

(z 2 — 1) 2 z 2(z — a )(z — 3 )

ima u krugu |z| < 1 dva singulariteta: z = 0 je pol drugog reda, a z = a je pol prvog reda. Nacicemo režiduume u ove dve tacke Res [F(.s),0] = l im b 2^1^ ) ] ' = — z^o b Res [F (z ), a] = lim (z — a )F (z )

= a —3 =

(a 2 — 1) 2(a 2 — a 3 ) 2 a 2(a — 3 ) a 2(a — 3 ) 2 V a 2 - b2

b

'

Kona c no dobijamo r 2n o

sin x i . 2 V a 2 - b2 ------ --------- clx = — ■2 tii a + b cos x 2b b

2 a,

T

= Tw{a - V/ a 2 - b2). b2 □

-.X) 2. In te g ra l tip a

f (x) dx

Neka je f (z) funkcija analiticka u oblasti Im z > 0 sem u konacno mnogo singularnih tacaka a k, k = 1 , . . . , m , koje nisu na realnoj osi i neka je ža z = R ež^,

|Rf (R eiv )| < h(R ) R—^1° 0. Tada je

/OOf (x) dx = O

m

2 ni

E Res [ f (z ), ak]. k=i

Pokažacemo da poslednja jednakost važi. Zaista važi jednakost P m I = ^ f (z) dz = 2n^ ^ ^ Res [ f ( z ) , a k], k=i JL j„_1 gde je L putanja sa slike 3.27,

Slika 3.27.

3.11.

Izracunavanje određenih integrala pom ocu reziduuma

123

a R je dovoljno veliko da svi polovi a k, k = 1 , . . . , m, budu u int L. S druge strane je R /*n f (x) dx + / f (R e ^ ) R ie ^ d^.

/

R

o

Kad u poslednjem ižražu R ^ ^ , tada / R R f (x) dx = -R

/* O

O f (x) dx.

./- O

Iž uslova da ža z = R eiV, R f (R eiV) < h(R ) R—°° 0 sledi da /*n /*n lim |W f (R eiv )R eiv d^| W lim |f (R eiv )R ei v | R—— o jo o R

= 0.

Kona cno dobijamo

/OOf (x) dx = 2ni

m Res [ f (z ), a k], k=i

O sto je i trebalo dokažati. Primer 3 .1 1 .2 Izračunati

f °

dx ------- 7 , a > 0. x 4 + a4

—

Rešenje. Funkcija —:------- j ima polove prvog reda u gornjoj polovini komplekz 4 + a4 sne ravni u tačkama ae1 ’ , a e ~ l , te je

/O f (x) dx =

R R ie iv lim / f (z) dz = lim / f (x) d x + lim / o / oJoR 4 e4^^ + a 4 i—O JL R—O J -R R—O

-OO

= 2ni

Res

1

z 4 + a4

e4

+ Res

/OOf (x) sin x d x ili

1

z4 + a4

37T■

,e 4

□ a/ 2 a 3

/*OO / f (x) cos x d x . 5

O -O Neka je funkcija f (z) analiti cka u gornjoj polovini kompleksne ravni (Im z > 0 ), sem u kona cno mnogo singulariteta a k, k = 1 , 2 , . . . , m koji nisu na realnoj osi i neka je ža z = R eiV, f (R eiV) < h(R ) R—°° 0 . Tada je

/OOf (x) cos x d x + if (x)/*OOsin x d x = 2 n i^ ^ Resm[f (z)e iz, a k] -O O

J—

OO

k=i T, 1

5 U ovom slučaju nalazimo ustvari glavnu vrednost traženih integrala.

A ko nesvojstveni

b

integrali f _ ^ f (x) dx i f ^ f (x) dx divergiraju a granična vrednost lim b ^ ^ f_ ^ f (x ) dx postoji, tada je nazivamo glavn om vrednošću nesvojstvenog integrala f ^ ^ f (x) dx. O bično je označavamo sa g.v. f ^ ^ f (x) dx.

124

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

Da bismo dokažali poslednju jednakost, pođim o od integrala §L f (z)e iz d z, gde je L putanja na slici 4.27. Funkcija f (z)e iz ima singularitete u istim tackama gde ih ima funkcija f (z). Ako R ^ ro, imamo da je P m lim ® f (z)e iz dz = 2ni Res [f (z)e iz, a k]. R—O / l f-T k=i S druge strane l' (R lim 6 f (z)eiz dz = lim / f (x)eix dx + R—o L R—o R

lim / R—o

/■n f (R eiV)eiRe o

iV . R ie iV d^.

Kako je

-.X)

R lim / f (x )eix dx = R—o R

/

f (x) cos x d x + i /

—oo

f (x) sin x d x ,

— oo

ostaje jo s da doka žemo da je lim R

/

f (R eiv )eiRe^ R ie iv #

= 0.

o

Pretpostavili smo da je f (R eiv ) < h(R ) R— O 0. Kako je — < sin ^ za sve 0 <

/ o

< — (slika 3.28), imamo

|f (R eiv )eiRe^ R i e iv | o

< R h (R W

7T e-Rsin v

=

= 2Rh(R) [ 2 e - Rs'mLpd,if < 2R h (R ) ( ~ e ^ ^ d i p = 7th(R.)(l - e ~ R). o o O cigledno da, kad R ^ ro, poslednji ižraž te ž i ka 0. Time smo dokažali da je O m /OOf (x) cos x d x + i //»f O(x) sin x d x = 2 n i^ ^ Res [f (z)e iz, a k]. -oo

J—OO

7. 1

3.11.

Izracunavanje određenih integrala pom ocu reziduuma

125

Iž poslednje jednakosti, ižjednacavanjem realnih i imaginarnih delova leve i desne strane, nalažimo svaki od integrala

/OOf (x) cos x d x

i

-OO

J —

OO

cos x -dx. x2 + 1

P r im e r 3 .1 1 .3 Naci o R e s e n je .

f OO f (x) sin x d x .

e dz = 2ni Res z 2 + 1 L cos x x2 + 1

e z2 + 1

dx + i

ne \ te je sin x x2 + 1

cos x -dx = —7re x2 + 1 2

o

dx = ■

.

i

□

4. Ako u in te g ra lu tip a 2 ili 3 podintegralna funkcija f žadovoljava sve navedene uslove, ali na realnoj osi ima konacan broj polova prvog reda 3 i, 32 . . . 3 i, tada putanju definisemo kao na slici 3.29.

Slika 3.29. sin x

P r im e r 3 .1 1 .4 Naci o

x

dx .

R e š e n je . Koristićem o integral I = (p — dz 7 gde je L putanja na slici 3.30. L z

Slika 3.30.

126

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

e Kako je — regularna u unutrašnjosti putanje L, to je / = 0. S druge strane z /=

/

CR eeix r n eiRe^^ e — c£r +

1

x

,/o

C£ eixenie

------:— R ie lv dcp +

R ei(^

JR xeni

/*o ei£eiVe

------- - e 7™c£r +

,/n

£ei(^

-----:— e ie %•0 0 , £ —>•0, tada /1= /

O cos x ------- + * o x

O sin x -------cžx. o x

Slicno kao u primeru 3.11.3. pokažujemo da I 2 ^ 0 kad R ^ ro.

|/2| < / Jo Kad R ^

\eiRe^\d cp = f ./o to ,

e - flsin^ ^ < 2

/ 2 e - ^ ^ = ^ ( l - e - fi) fl- ^ ° 0 . ./o R

£ ^ 0, tada

13 =

/*o —ix /*OO /*CXD I e ix . . _ I cos x _ . I sin x _ / ------ (—l ) a x = — --------ax + * -------ax. —x /o x /o x

Kako je lim |eie o

|= lim e -e sin v = 1 , £->o

sledi da je o lim I 4 = i 1 e—o I

= —ni.

Kona cno dobijamo /* o o

0 = 1 = 2i

•

sin x -------d x—Tii, x

, te je

/* o o

sin x n -------dx = —■ x 2

□

Navescemo jos nekoliko primera realnih integrala koji se mogu ižracunati koriscenjem režiduuma.

Primer 3 .1 1 .5 Dokazati da je

f O xp - ^ n --------dx = --------- , 0 < p < 1. 1+ x sin pn

Jo

f zP- ^ Rešenje. Poćićem o od integrala / = ® --------dz, gde je L putanja na slici 3.31. Jl 1 + z

3.11.

Izracunavanje određenih integrala pom ocu reziduuma

127

Kako su 0 i ro ta cke grananja funkcije zp - ^, 0 < p < 1, ako ižaberemo žasek duž požitivnog dela realne ose, biramo putanju koja ne sme seci žasek. Ako bi putanja sekla žasek tada bismo presli na drugu granu funkcije zp -i\ Funkcija

1+ z

u unutras njosti konture L ima pol prvog reda u ta cki —1. zp -i

Res

e(p- i )n

1

1+ z’

te je z'P- 1

dz = 2 n ie (p -i)n i.

L l + z' S druge strane / + / + / + / = 2 n ie (p -i)n i, IAB Jt 1 J c d Jr^

L

AB 1 + z zp - i

1+x

■dx, f*2n

f 2n R p - i ei(p -i)v ■dz <

zp- 1

ICD 1 + z

R ie iv

1 + R ei(^

lo

/r i 1 + z

r

0

■

Rp i 0

dz

-dx,

n

zp - i

-dz < 1+ z

0

£p- i ei(p- i ) v

7T

1 + £ei(^

■

1+ x

£p

0.

n

Kona cno imamo ’ O xp - i 0

1+x

•O xp - i dx - e2n(p-i)i n

1+x

dx = 2 n ie (p -i)n i,

te je

-.X) xp-1 n

-dx

1+ x

2 ni epni _ e-pni

sin pn

□

128

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

-.X) ln 2 x

n3 —^------ d,x = — , x2 + 1 8

P r im e r 3 .1 1 .6 Dokažati da je 0

f O Jo

ln x , —r------ d,x x2 + 1

R e s e n je . Neka je L žatvorena kriva sa slike 3.32.

ln 2 s

U unutrasnjosti putanje L je z = i pol funkcije ln 2 z L z2 + 1

te je

z2 + 1

3

ln 2 z

dz = 2ni Res

z2 + 1 ’

S druge strane je I =

I = + + + / = Ii + I 2 + I3 + I4, l J ab Jr i J c d ./r^ R

O ln 2

i U

|I2 |<

ln 2 R eiv R ieiv R 2e2iv + 1

n

< n

x2 + 1

|ln R + i ^>|2 1 + R2

ln 2 R 0

R

0

I3

~R

-d ćf =

(ln.Te71"'')2 (x e 7Ti) 2 + 1

ln 2 : dx + 2 ni x2 + 1

0

0

|I41 <

dx,

ln" R R = c 7T

*

~~R

0

eni dx = 00

0

(ln x + ni) 2 dx x2 + 1

ln O dx ■dx — n 2 x2 + 1 1 + x2 0

ln 2 £eiv £ 2e2iv + 1

1 2 n£ ln £ — o>•0n .

Tada imamo 3 1 = ------ = 2

00

O ln 2 x

0

x2 + 1

dx + 2ni

0

ln dx — n arctg x x2 + 1 n

0.

3.12.

Analiticko produženje

2

129

ln 2 x

ln x

+ 2 ni

/o x 2 + 1 )o Ako izjednacimo realni deo leve i desne strane jednakosti, dobijamo

10

ln 2 x n —t,------ dx = — , x +1 8 ’

izjednac avanjem imaginarnih delova dobijamo ln x

2 ni

n

3.12

x2 + 1

dx = 0 tj. 0

ln x -dx = 0 . x2 + 1

□

Analitičko produženje

Neka su / i i / 2 funkcije analiticke u oblasti R^ i R 2 respektivno, R^ C C, R 2 C C, i neka je /^ ( z ) = / 2 (z) za sve z G R^ fi R 2 = 0, gde R^ n R 2 ima bar jednu taCku nagomilavanja. Tada ka Zemo da je / i analiti Cko produ Zenje funkcije / 2 sa oblasti R 2 na oblast R^ i obrnuto / 2 je analitiCko produZenje funkcije / i sa oblasti R^ na oblast R 2.

To znaCi da postoji funkcija / analitiCka na R^ U R 2 takva da je / (z )

/i ( z ) , / 2 (z),

z G R i, z G R 2.

Na osnovu dve naredne teoreme sledi da je ovakvo analitiCko produzenje jedinstveno. T e o r e m a 3 .1 2 .1 Neka je / analiticka funkcija na oblasti R C C i neka je / (z ) = 0 za sve z G P Q C R, gde je P Q putanja. Tada je / (z ) = 0 za sve z G R. D ok a z. Neka je z 0 bilo koja taCka na putanji P Q .

V\

X Slika 3.34.

130

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

Kako je / (z ) analitiCka na R, to postoji okolina O (z 0) takva da je za svako z e O (z o )

/ « - £

n=0

^

<

* -*»>*•

PokazaCemo da je za svako z 0 € P Q / '(z 0 ) = / " ( z 0 ) = ••• = / (m) (z 0 ) = ••• = 0 . Dalje, / je analitička u R , što znači da postoji f'(z o ) = \imz ^ z0 = a € C za svako z 0 € R i da poslednji limes ne zavisi od putanje po k ojoj se z priblizava ka z0. Kad z te zi ka z 0 du z putanje P Q , tada je / (z) = 0, te je /tU(zo)\ =

rlim -----------------f ( z) - f ( zo)=

n

0.

z - z0 Analogno se pokazuje da je za svako z 0 € P Q , To znaCi da je za svako z € O (z 0)

/ " ( z 0) = 0 , / '" ( z 0) = 0 , ... .

/ « - £ £ ^ n!< * - « r - o + o + ... =o. n=0

U okolini O (z 0) izaberemo drugu putanju i nastavimo ovaj proces. Na taj naCin mozemo prekriti celu oblast R okolinama u kojim je / (z) = 0, sto znaCi da je / (z) = 0 na celoj oblasti R. □ T e o r e m a 3 .1 2 .2 Neka su funkcije / i i / analitičke na oblasti R C C i neka je / i ( z ) = / 2 (z) za svako z € P Q , gde je P Q putanja u R. Tada je / i ( z ) = / 2 (z) za svako z € R. D ok a z. Na funkciju / (z) = /i.(z ) — / 2(z) primenimo prethodnu teoremu. P r im e r 3 .1 2 .1 Stepeni red ^ ^ = 0 zn za |z| < 1 definise analitiCku funkciju ------.. S t.eneni re d V* f ( z ) = ------Stepeni red 5^ )°°^ 0 z " konvergira samo u unutrašnjosti jediničnog

1-z

kruga, a funkcija ------- je definisana za sve z + 1. To znači da -------- predstavlja 1 —z 1 —z analiti Cko produz enje za ^= 0 z n sa jedini Cnog kruga na celu kompleksnu ravan bez taCke z = 1 . □ Ako analitiCko produzenje postoji ono moze biti konstruisano na sledeCi na Cin. Pretpostavimo da je analitiCka funkcija / (z) predstavljena u nekoj taCki a u obliku stepenog reda sa krugom konvergencije |z — a| < r. Za svaku taCku b iz tog kruga su poznate vrednosti / (b), / '( b ) ,. . . te je poznat i razvoj u Tejlorov

3.12.

A nalitičko produženje

131

red funkcije / ( z ) u tački b. Novi stepeni red konvergira u krugu \z — b\ < r i koji m ože imati deo koji leži izvan prvog kruga.

y

X slika 3.36. Na taj način dobijam o analitičko produženje funkcije f { z ) . Taj proces m ože biti produžen. Tada se formira lanac krugova konvergencije k oji se presecaju. Unija tih krugova daje oblast G u k ojoj razni razvoji u red d aju funkciju F k oja je analitičko produženje funkcije / . Stepene redove, koji na taj način reprezentuju funkciju F u sviin krugovima konvergencije, nazivamo elem en tim a funkcije F. Funkcija F je određena jednoznačno ako je zadat svaki njen element. Lanac krugova se obično formira duž neke putanje, tj. konvergencije su locirani na nekoj putanji P i .

centri krugova

D a bi se napravilo analitičko produženje sa kruga C i na krug Cn m ožem o izabrati drugu putanju Pz- Postavlja se pitanje da li ćem o u ob a slučaja dobiti isti razvoj u red na Cn . O dgovor je p otvrdan ako u oblasti ograničenoj putanjam a F\ i P2 nema singulariteta. Uopšte, prilikom analitičkog produženja m oram o izbegavati singularitete. Očigledno, kada vršim o analitičko produženje sa kruga C \ na krug C 2, onda u C'2 ne m ože biti sadržan singularitet sa ruba kruga C \, jer onda C 2 ne bi m ogao biti krug konvergencije za analitičko produženje. Ponekad su singulariteti tako gusto raspoređeni na rubu kruga konvergencije da nije m oguće analitičko produženje. U tom slučaju granicu takvog kruga nazivamo prirodnom granicom analitičke funkcije. U sledećem primeru navodim o funkciju k oja ima prirodnu granicu. P rim er 3 .1 2 .2 Dokazati da red OO

,2n

ne m ože biti analitički produžen van kruga \z\ < 1.

Rešenje. Neka je F{z) = 1 + z + z2 + z4 + z8 +

132

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

Tada je F (1) =

to .

Dalje,

F ( z ) = z + F ( z 2 ), te je

( / T ) = V T + f ( i ) = V T + oo = oo,

F ( z ) = z + z 2+ F ( z 4 ), te j e F(V ~

= V l + ( V l ) 2 + F ( l ) = v^T+( v T ) 2+ o o = oo,

F ( z ) = z + z 2 + z 4 + F ( z 8), te je F ( v T ) = v T ' + ( ^ I ) 2 + ( ^ T ) 4 + F ( 1 ) = oo. Produžavajući gore navedeni postupak, zakljucujemo da su vrednosti z koje zadovoljavaju jednacine z = 1,

z

1,

z = 1,

z8

1,

- odnosno svi n-ti koreni iz jedinice, singulariteti funkcije F (z ). Sve te vrednosti leže na jediniCnoj kružnici i svuda su gusti na toj kružnici. Kružnica |z | = 1 predstavlja prirodnu granicu ža funkciju F (z ). □ P r im e r 3 .1 2 .3 Dokažati da su redovi

Z ^ 2 n+1’

(z - i)n E ( 2 -- i ) n + 1 ^

analiticko produženje jedan drugog. ~ R e š e n je . Red

zn ^n+i konvergira u krugu |Z|< 2 i njegov zbir je

n=0 z

1

= f (z). n=0 Ako funkciju f ( z ) = -------- ra.zvijemo u Tejlorov red u ta.čki o. = i, dobija.mo 2 z

/•(.) =

1 = ______ 1______ = _ J _________ 1____ = y " 2 - z 2 - i - ( z - i ) 2 - i , z - i ^ v

;

1

---------------------------n = 0

2

v

- i

(* -* )"

.

( 2 - *) n+1 '

3.13.

Konformna preslikavanja

133

Poslednji red konvergira ža sve z ža koje je

2 - i 1

Kako su oba reda jednaka istoj funkciji f ( z ) =

< 1 tj.

jz

—i\ <

i imaju žajednicku oblast

konvergencije, ocigledno da predstavljaju direktno analiticko produženje jedan drugog. □ P r im e r 3 .1 2 .4 Za Re z > 0 je definisana g a m a fu n k cija /*OO x z - 1 e - x dx.

r(z ) =

0

Ako je z = a + ifi, tada važi O O |xz - 1 e- x |dx =

|r(z)| < / 0

O /

|x“ - 1 e- x x®^| dx =

0

O |x“ - 1 e- x e®^ln x |dx =

0

/

1

x

0

Ocigledno, poslednji integral konvergira ža svako a = Re z > 0. Na ranijim kursevima je dokažano (primenom metode parcijalne integracije) da ža ovu funkciju važi rekurživna formula r ( z + 1 ) = z r ( z ),

r ( 1) = 1 .

O Ako je a = Re z < 0, tada integral

/

x z - 1 e- x dx divergira.

Koriscenjem

0

analitickog produženja definisemo r ( z ) ža vrednosti z € C ža koje je Re z < 0. Primenom gore navedene rekurživne formule n puta, dobijam o ža svako n € N i svako z € C takvo da —n < Re z < —n + 1 , z € {0, - 1 , - 2 , . . . } r(z ) =

r ( z + n) z (z + 1 ) •••(z + n — 1 )

Funkcija r ( z ) ima polove prvog reda u 0, —1, —2 ,.... Poslednja formula se koristi za izračunavanje vrednosti funkcije r ( z ) za R e z < 0. Tako, recimo, T ( —— izračunavamo iz jednakosti: T ( dobijam o T ( —-

3.13

□

Konformna preslikavanja

Analiticka funkcija w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) koje oblast D C C preslikava u oblast G C C je k o n fo r m n o u taCki z 0 = x 0 + iy 0 ako ocuvava ugao

134

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

među putanjama koje prolaze kroz tacku z0. Ako se funkcijom f tacka (xo,yo) preslikava u tacku (uo,vo) i ako se putanje C\ i C 2 , koje se seku u ( x 0, y 0 ), preslikavaju u putanje C{ i C2 respektivno (C { i C2 se seku u (u 0 , v 0 ) ), tađa, ako je f konformno preslikavanje, ugao između putanja C i i C 2 jeđnak je (po veliCini i orijentaciji) uglu između putanja C1 i C2. Ugao između putanja je ugao između tangenti u taCki preseka.

Slika 3.37. Kazemo đa je preslikavanje f k o n fo r m n o n a o b la s ti D C C ako je f konformno u svakoj taCki z 0 G D. T e o r e m a 3 .1 3 .1 Ako je f analiticka funkcija i f ' (z) = 0 za svako z iz oblasti D , tada je preslikavanje w = f (z) konformno na D. D ok a z. Neka je z = x + iy i w = f (z) = u + iv . Ako putanja C ima parametarsku jeđnaCinu z(t) = x(t) + iy(t), onđa njena slike C ' ima parametarsku jeđnaCinu w(t) = u(t) + iv(t). DokazaCemo prvo đa ako tangenta u z 0 na putanju C zaklapa sa pozitivnim smerom x-ose ugao 00, onđa Ce tangenta u w0 = f (z0) na putanju C' = f (C ) zaklapati sa pozitivnim smerom u-ose ugao ip0 = 0 0 + a r g f '( z 0).

y

v

Cj

( c>

/ /za

,

/

\

X

u

Slika 3.38. i duj I Kako §dt1 IZ=Zq reprezentuju vektor tangente u taCki z 0 na C , dt \ = odnosno u tački w0 na C ' , iz jednakosti ^ dU ~ 7F ' II = f ' ( z ) w 1 17j usl° va da je dz I f ' ( z 0) ^ 0 sledi da je ■To znači da Je ^=Wq = f'(zo) co

arg

dw

dt ^=Wq

coq

= arg f' ( zo) + arg%

dt Z= Zq

tj.^0 = 60 + arg f '(z 0 ),

3.13.

K onform na preslikavanja

135

gde je ipo ugao koji tangenta u tački lj 0 = f ( z o) na putanju C ' zaklapa sa pozitivnim smerom u-ose. U slučaju da je f ' ( z o ) = 0 , argument od f ' ( z o ) nije odre;đen. Kako je svaka tangenta u tački cjq na krivu C ' rotirana u odnosu na tangentu u tački zo na krivu C za isti ugao (9o = a x g f '( z o ) ), to će, očigledno, ugao između putanja u ravni z i ugao između njihovih slika u ravni w biti isti i po veličini i p o orijentaciji. □ Tačke u k ojim a je f ' ( z ) = 0 nazivamo kritičnim tačkama. A ko je / konform no preslikavanje u oblasti D , tada ono dve familije uzajam no normalnih pravih koordinatnih linija Re z = a, a £ R, Im z = b, b £ R, preslikava u dve familije uzajam no normalnih krivih u ravni uj. Tako, recim o, konform no preslikavanje u> = z 2, z ^ 0, preslikava mrežu linija paralelnih sa a>osom i y-osom u mrežu uzajam no norm alnih istofokusnih parabola. U tački z = 0 preslikavanje nije konformno. Prvi kvadrant se preslikava u gornju poluravan.

slika 3.39.

N eki prim eri konform nih preslikavanja

1 . Linearna funkcija ui = a z + b,

a

£ C \ {0 },

b£ C

Neka je a = \ a \ e i a . Tada se preslikavanje uj = a z + b m ože prikazati kao kom pozicija tri preslikavanja:

136

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

wi = eiaz - rotacija za ugao a, u 2 = |a|wi - homotetija sa faktorom |a|, w = w2 + b - translacija za vektor b. Oblik figure prilikom svakog od ovih preslikavanja ostaje ocuvan, jedino se pri homotetiji menja njena veliCina ito ako je |a|< 1smanjuje se,aako je |a| >

1 povećava se. Za a ^ 1, tačke z\=

1

-----------—a

iz = oo preslikavajuseu

same sebe (fiksne taCke preslikavanja w = az + b). P r im e r 3 .1 3 .1 Trougao A B C , gde je A = 0, B = 2, C = 1 + i, preslikati preslikavanjem 1 .^1

Z + (1

i ),

1

3.

uj-i = - z , 2

’

2.

CJ2 = e 2 'lz,

4.to4 — - ^ - z + (1 — i).

R e s e n je .

uj

3 ravan Cz B3

2. In v e r z ija ui = —

Ovim preslikavanjem tačka z = r e llp preslikava se u tačku ui = —e 'llp, tj. r taCke izvan jediniCnog kruga |z| > 1 preslikavaju se u unutrasnjost jediniCnog

3.13.

Konformna preslikavanja

137

kruga |w| < 1 i obrnuto. Sama kruZniCa |z| = 1 preslikava se u kruZniCu |w| = 1. TaCke 1 i —1 su fiksne taCke. TaCka preslikava se u 0 a 0 se preslikava u ro. PokazaCemo da se inverzijom kruZniCa preslikava u kruZniCu, gde pravu smatramo kruzniCom sa beskonaCnim radijusom. Zaista, opsti oblik jednaCine kruzniCe |z — zo| = r, zo G C, r > 0, mozemo transformisati u oblik koji nam vise odgovara (z - z0)(z - Z0) = r 2 zz - z 0z - z 0z + \z0\ - r

=0

A z z + a z + a z + B = 0,

A, B (E M,

agC .

U primeni inverzije najpogodniji je treCi oblik jednaCine kruzniCe. Jednačina A z ' ž + a z + a ž + B = 0 predstavlja kružnicu ili pravu u zavisnosti od koeficijenata A, B \ a. Ako je A ^ 0 i a a — A B > 0, tada je to kružnica i njen Centar z 0 G C i polupreCnik r > 0 nalazimo iz a zo - ~ J ,

B r - N

\J \a\2 — A B |A| •

■

Ako je A = 0, onda jednačina a z + a ž + B = 0 predstavlja pravu p x + qy + s = 0, gde je p = Re a, q = Im a, s = y . U zavisnosti od koeficijenata A i B jednačina Az~ž + a z + a ž + B = 0 predstavlja za • A

= 0, B = 0 - kruzniCu koja ne sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - kruzniCu koja sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - pravu koja ne sadrzi 0,

• A

= 0, B = 0 - pravu koja sadrzi 0.

JednaCina A žž + az + a ž + B = 0 transformacijom cu = — postaje z A cucu

a a „ H------- 1- — + B cu co

0

tj. Bcucu + aco + aco + A — 0. Jednačina BcočJ + aco + acj + A = 0 takođe predstavlja kružnicu čiji oblik i polozaj zavise od A i B. ReCimo, za A = 0 i B = 0, kruzniCa u z ravni koja ne sadrzi 0 preslikava se u kruzniCu u w ravni koja ne sadrzi 0.

138

Glava 3. K O M PLE K SN A A N A LIZA

P r im e r 3 .1 3 .2 Krugove \z\ < 1 i \z — 1| < 1 preslikati inverzijom

uj =

- .

Rešenje. Kružnica \z\ = 1 ima jednačinu z ž — 1 = 0. Inverzijom u> = — se ona z preslikava u kružnicu 1 —uiuJ = 0 (tj. |w| = 1). Unutrašnjost kružnice \z\ = 1 se preslikava u spoljasnjost kružnice |w| = 1 . Kružnica \z —l\ = 1 ima jednačinu zH—z —ž = 0, te se inverzijom preslikava u pravu 1 — w — ČJ = 0 tj. 1 — 2 R ew = 0. To je prava paralelna imaginarnoj osi i prolazi kroz tačku Unutrašnjost kružnice \z — 1| < 1 se preslikava u poluravan Rew > □

3. Bilinearno preslikavanje

uj =

— - t — a,b, c, d € C , ad — bc J 0, 0. cz + d Bilinearno preslikavanje jednoznaCno i konformno preslikava prosirenu kompleksnu ravan C na C. Važi i obrnuto tvrđenje, koje navodimo bez dokaza, da svaka analitiCka funkcija, koja obostrano jeđnoznaCno i konformno preslikava C na C jeste jeđno bilinearno preslikavanje. Upravo žbog posleđnje osobine, bilinearno preslikavanje pređstavlja najznaCajniju klasu konformnih preslikavanja. Bilinearno preslikavanje možem o razložiti na kompoziciju tri preslikavanja wi = cz + d - linearno preslikavanje, 1

u>2 = — mverzija, wi a bc — ad uj = — | -------------- u>2 - hnearno presiikavanje. c c Kako svako ođ ta tri preslikavanja preslikava kružnicu u kružnicu (ako prave smatramo kružnicama sa beskonacnim rađijusom), to ce i bilinearno preslikavanje imati ovu osobinu. Fiksne tacke ovog preslikavanja (one koje se preslikavaju u same sebe) su one koje zadovoljavaju jednačinu z = — -. cz + d z 1 Primer 3 .1 3 .3 Funkcijom u> = --------preslikati oblast G z definisanu sa \z\ < 1, z —1 Im z > 0. Rešenje.

Bilinearno preslikavanje ui =

preslikavanja wi = z — 1 (translacija ža —1 ), 0J2 = —

wi

(inverzija),

z+ 1 2 -------- = 1 H---------- razložićemo na z —1 z —1

3.13.

Konformna preslikavanja

139

w3 = 2 •w2 (homotetija - povecanje 2 puta), = 1 + w3 (translacija za 1 ). |z ravan]

|uji ravan]

b3

A2

Ch= oo

|u ravan] b4

-3 ravan]

1

|oi2 ravaii|

64=00

d2 d3 C2 = 0 0

Da

C3 = 0 0

C i= oo

Slika 3.41. Oblast G z je ograniCena polukruZnicom C D A (|z| = 1, A B C ( - 1 < R e z < 1, Im z = 0).

Im z > 0) i duZi

Oblast G i u ravni wi je translirana oblast G za - 1 . Oblast G 2 u ravni w2 je dobijena inverzijom G^. Oblast G 3 u ravni w3 dobijam o tako sto koordinate svake taCke u G 2 pomnoZimo sa 2. Oblast Gw u ravni w nastaje ako G 3 transliramo za 1. Vidim o da se polukrug (oblast G z) preslikao u treCi kvadrant (oblast G w). □ 4. E k s p o n e n c ija ln o p reslik a v a n je

w = ez

Eksponencijalnim preslikavanjem se oblast z-ravni u obliku beskonaCne horizontalne pruge sirine 2n, preslikava u celu w-ravan bez 0. PokazaCemo da to vazi u sluCaju pruge ograniCene pravama Im z = 0 i Im z = 2n . Zaista, taCka z = x + iy, gde je —to < x < ( x —t )d t n J0 J —o

na

(4-18)

ili u kompleksnoj (eksponencijalnoj) formi O f(x )~ —

doj J — - oo O

O 7^1

O

O

O ( /

—O

JJ—oo —o

m e-^ d tje ^ d u .

f ( t ) e ^ x- ^ d t = (4.19)

156

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

S em a d ok a za . Pokaza^emo prvo na koji nacin pretpostavke teoreme impliciraju relaciju (4.18), a zatim da je ona ekvivalentna relacijama (4.16) i (4.19). Za svako 1 > 0, razvoj funkcije f nad intervalom [—1,1 ] ima formu

f ( x ) ~ -tt + ^ 2 ( a n cosujnx + 5n smwnx), n=1

(4.20)

gde je a n

—

J

J

f(t)ca s(jjntdt, j

J

bn = j^

un

J

f ( t ) sin ojnt dt,

(4-21)

i gde je ujn = n f , n £ N o. Ako u formulu (4.20) zamenimo koeficijente an i iz (4.21), imamo 1 f 1 1 f 1 f(x )~ — f(t)d t + - j / j /( * ) (cos tont cos L0nx + sin ujnt sin ujnx) dt = 21 J —1 1 n=1^ —' 1 / 1 % % /"1 = 27 / f ( t ) d t + y E f ( t ) cos ujn ( x - t ) d t . J —1 n=1-' —1 Prvi sabirak poslednjeg reda, na osnovu uslova 1 teoreme, tezi ka 0 kad 1 ^ Zaista 1 •

s

/* 1 L

1 /

w

«

-

3

/* 1 L

1 l

/

W

I

s

/*o

5 1 L

to .

M i

m

“ t

=

š

*

*

0

Da bismo pokazali da drugi sabirak tezi Furijeovom integralu, zapisa^emo ga u pogodnijoj formi 1 O n /' * 1 O /' * — — f ( t ) c o s ujn (x — t) dt = — Awn f ( t ) c o s u j n(x — t)dt. -i n f-; .7-1 Kad 1 —>• oo, tada diskretna promenljiva wn = n j , n G No ” postaje” neprekidna promenljiva w sa vrednostima u intervalu [0, to ). K a k oje A w „ = ujn — ujn - 1 = j , kad 1 —>•oo tada A ujn —> 0 i "p ostaje” du>, suma "p ostaje” integral, te za 1 ^ imamo O f ( x ) l^S° — n J0

O duj

f ( t ) c o s u j ( x — t)dt. J —o

sto je Furijeov razvoj u obliku (4.18). Ako u poslednjem cos w(t — x), dobijam o

dvostrukom

1 O O f ( x ) -----dw I ( f (t) cos n J0 J —oo

integralu

transformisemo

cos wx + f (t) sin sin wx) dt

izraz

4.1.

Furijeova transformacija

157

n OO

*OO

(/

( f (t) cos wt dt) cos + ( f (t) sin wt dt) sin wx)

=

J — OO

=

/•oo (a(w )cos Jo

+ 6(w)sin wx) dw.

sto je Furijeov razvoj u obliku (4.16). TreCi, eksponencijalni, oblik (4.19) dobijam o koriscenjem Ojlerove formule za kosinus u (4.18).

4 .1 .1 0

Furijeov razvoj parne i neparne funkcije nad intervalom ( -r o , ro)

Ako je f : R ^ R parna funkcija, slicno kao u odeljku 4.1.5, u izrazu (4.17) 2 f o je b(ou) = 0 a a(u>) = — f ( x ) c o s u i x d x , te je n Jo o f (x) ~

/ o

a (w )cos w id w ,

x £ ( - r o , ro).

(4.22)

Analogno, ako je f : R ^ R neparna funkcija, u izrazu (4.17) je 2 r o a(u>) = 0 a b(u>) = — f(x)sin u >xdx, te je n Jo f (x) ~

4 .1.11

r o / 6(w)sin wxdw, o

x £ ( - r o , ro).

(4.23)

Furijeova transformacija. Spektar

Neka je f : R ^ R funkcija ciji je razvoj u Furijeov integral dat sa (4.19), tj. f(x ) ~ ^

[ ° ° ( f ° ° f ( t ) e - ^ d t ] e^ d oj. o —o

Poslednji izraz moze biti zapisan pomo^u dve formule o

F( oj) = —

o

f ( x ) e - iujx dx,

27T

f(x) ~

F(oj)eiux duj,

(4.24)

J-r^

i tada funkciju F : R ^ C nazivamo beskonacnom F u r ije o v o m tr a n s fo r m a c ijo m funkcije f , a funkciju f nazivamo beskonacnom in v e rz n o m F u r ije o v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije F i to zapisujemo sa F M = F [ f (x)],

f ( x ) = F —1[F M ] .

Rec ” beskonacna” obicno se izostavlja u poslednja dva naziva. S obzirom kako su dobijene formule (4.24), ocigledno da je vrednost koeficijenata ispred integrala proizvoljna, bitno je samo da njihov proizvod bude

158

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

jednak Pored zapisa (4.24), često se koristi i takozvana simetrična forma Furijeove transformacije kada su oba koeficijenta ispred integrala jednaka Neperiodican proces opisan funkcijom f : R ^ R ne može biti predstavljen zbirom harmonijskih oscilacija diskretnih, izolovanih frekvencija = n f . Razvoj u Furijeov integral u fizičkom smislu znači da takav proces može biti predstavljen zbirom (integralom) harmonijskih oscilacija svih frekvencija kontinualnog spektra. Otuda nazivi koje navodimo u narednom pasusu. Funkciju F (w) nazivamo s p e k tr a ln o m fu n k c ijo m ili n e p r e k id n im s p e k tr o m , |F(w)| a m p lit u d n im s p e k tr o m a argF(w) fa z n im s p e k t r o m funkcije f.

O s o b in e F u r ije o v e tr a n s fo r m a c ije Neka su F (w ) i G(w) Furijeove transformacije funkcija f (x) i g(x) i neka a,b £ R. Tada vazi • F [a f (x) + bg(x)] = a F [ f (x)] + b F [g(x)], • F ( —lv) = F ( lv), • |F( - W)| = |F(W)|, • argF ( —w) = —argF (w), • Ako je f apsolutno integrabilna nad intervalom ( —to, ro), tada je F neprekidna za sve u> G ( —oo, oo) i teži ka 0 kad u> —> + o o . • Jednakost Parsevala -| —

p OO

p OO \f(x)\2 d x =

J —W

\F(oj)\2 doj J —W

• F [ ( f * g)(x)] = 2 n F ( w)G ( w ),

F - 1 [(F * G)(w)] = f (x )g (x ),

gde je sa f * g oznacena k o n v o lu c ija funkcija f i g definisana sa

/TO f (t)g (x —t) dt,

x £ R.

• J7 \f(ax)] = —F ( — , a > 0. a a • F [e“ x f (x)] =

F (w — a).

• F [ f (x + a)] =

eiaw F (w).

•

[ f oo. f

4.1.

Furijeova transformacija

159

U narednom primeru, slicno kao u primeru 4.1.4, koristimo beskona cnu Furijeovu transformaciju za reSavanje diferencijalne jednacine sa konstantnim koeficijentima, ali sada sa neperiodi Cnim nehomogenim delom f (x).

P r im e r 4 .1 .5 Neka je y " + a iy ' + a2y = f (x)

(4.25)

diferencijalna jednaCina gde je f neperiodi Cna funkcija. Neka je, dalje, F (w) neprekidni spektar (Furijeova transformacija) od f (x). Tada parcijalno re senje jedna cine y " + a iy ' + a2y = F (w)eiwx, za svako fiksirano w € R, ima oblik A (w )eiwx. Postupajuci na isti nac in kao pri nalaZenju (4.15), dobijam o =

2 , • —w2 + *aiw + a2

(4-26)

Ako je desna strana jednacine (4.25) predstavljena kao ” suma” (tj. integral) elemenata F (w )eiwx, tada ce i parcijalno resenje yp(x) jednacine (4.25) biti ” suma” (tj. integral) elemenata A (w )eiwx, te je

f (x) =

OO I F (w )eiwx dw, J —oo

CXD

^

yP( x ) = /

A (w )eiwx dw. J —OO

(4.27)

Kako je |A(w)| < |F(w)|, iz apsolutne konvergencije prvog, sledi apsolutna konvergencija drugog integrala u poslednjoj formuli. □

4 .1 .1 2

Kosinusna i sinusna Furijeova transformacija

Furijeova transformacija mo ze biti razlozena na kosinusnu i sinusnu Furijeovu transformaciju. Ako je funkcija f : [0, ro) ^ R, tada funkciju k o sin u sn o m F u r ije o v o m tr a n s fo r m a c ijo m ako je 2

p OO

F c (lo) = —

Fc : R ^

R

nazivamo

p OO f(x)cosujxdx,

F c (lo) coslox div,

f(x) ~

n J0

(4.28)

J0

dok funkciju Fs : R ^ R nazivamo s in u s n o m F u r ije o v o m t r a n s fo r m a c ijo m ako je 2

p OO

F s ( lo) = —

W o

p OO f(x)sinLoxdx,

f(x) ~

F s ( lo) sin lox cLo.

Jo

(4.29)

160

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

Formula (4.28) je dobijena koriscenjem izraza (4.22). Zaista, kako je funkcija f definisana nad intervalom [0, ro), definisemo njeno parno produzenje na celo R, te izvr simo Furijeov razvoj saglasno sa formulom (4.22). Ukoliko funkciju a(w) oznacimo sa Fc(w) i to zamenimo u (4.22), dobijam o (4.28). Analogno se iz (4.23) izvodi(4.29) uz pom oc neparnog produzenja funkcije f . Ako je f parna funkcija, tada je F (w ) = Fc(w) (pri w < 0 je F (w ) jednako parnom produzenju funkcije Fc(w)), dok je za neparnu funkciju f , F (w ) = iF s (w) (pri w < 0 je F (w ) jednako neparnom produzenju funkcije Fs (w)). U opstem sluc aju koristimo cinjenicu da se svaka funkcija f moze predstaviti u obliku zbira jedne parne funkcije p i jedne neparne funkcije n, gde je P (x) = 7} ( f ( x ) + f ( ~ x ) ) ,

n (x) = ^ ( f ( x ) - f ( - x ) ) ,

te kako je f (x) = p (x) + n (x ), x £ R to je F (w ) = P c(w) + N s(w), gde je P c kosinusna Furijeova transformacija od p a N s sinusna Furijeova transformacija od n. To znaci da kosinusna i sinusna Furijeova transformacija u potpunosti određuju Furijeovu transformaciju funkcije.

U ovoj knjizi razmotreni su razni oblici Furijeove transformacije realne funkcije realne promenljive ( f : R ^ R ). Ni sta se bitno ne menja ako je f kompleksna funkcija realne promenljive ( f : R ^ C ). Tada je f (x) = f i ( x ) + f 2 ( x ) , gde su f i i f 2 realne funkcije realne promenljive koje zadovoljavaju uslove za razvoj u Furijeov red ili integral. Kako je F [fi(x ) + i f 2 (x)] = F [fi(x )] + i F [f 2 (x)], nema potrebe posebno razmatrati ovaj slucaj.

4.2.

Laplasova transformacija

4.2

161

Laplasova transformacija

U ovom poglavlju bavicemo se definisanjem i razmatranjem osnovnih osobina i primena joS jedne integralne transformacije - Laplasove transformacije.

4 .2.1

Definicija i egzistencija Laplasove transformacije

Jednostranom L a p la s o v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije f (t) realne promenljive t nazivamo funkciju F (s ) kompleksne promenljive s definisanu sa

(4.30)

i to zapisujemo sa F (s) = L [ f (t)]. ReC ” jednostrana” u nazivu obicno izostavljamo. Nesvojstveni integral u (4.30) nazivamo L a p la so v im in te g ra lo m Smatramo da Laplasova transformacija funkcije f egzistira ako Laplasov integral (4.30) konvergira bar za jedno s € C. Tada funkciju f nazivamo o rig in a lom , a funkciju F s lik o m Laplasove transformacije. U ovoj knjizi bavicem o se sluc ajem kada je f realna funkcija realne promenljive ( f : R ^ R ). Funkcija f moz e biti kompleksna funkcija realne promenljive ( f : R ^ C) i tada ima oblik f ( t ) = f i ( t ) + i f 2(t), gde su f i ( t ) i f 2(t) redom realni i imaginarni deo od f (t). Kako je L [ f (t)] = L [fi(t)] + iL [f2(t)], ocigledno da ovaj sluc aj ne donosi nista sustinski novo u teoriji Laplasove transformacije, te ga necemo posebno razmatrati.

O b la s t a p s o lu tn e k o n v e r g e n c ije L a p la s o v o g in te g ra la Ako Laplasov integral (4.30) konvergira apsolutno za neko s = a + ib, tj. ako je

tada, ocigledno, on konvergira apsolutno za svako s € C takvo da je Re s > a. Infimum a0 € R svih a € R za koje Laplasov integral funkcije f (t) konvergira apsolutno, nazivamo a p s c is o m a p s o lu tn e k o n v e r g e n c ije Laplasove transformacije L [ f (t)]. U poluravni Re s > a0, slika F (s ) je analiticka funkcija i svi njeni singulariteti se nalaze u poluravni Re s < a0. Oblast definisanosti analiticke funkcije F (s ) = L [ f (t)], Re s > a0, obicno prosirujemo uz pom oc analitickog produzenja (pogledati odeljak 3.12) na celu kompleksnu ravan, iz koje su iskljuceni singulariteti od F .

162

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

J e d in s tv e n o s t L a p la sov e i in v e rz n e L a p la so v e tr a n s fo r m a c ije Ako je f original a F njegova slika, tada umesto formulacije ” F je Laplasova transformacija od f ,” cesto kazemo da je f in v e rz n a L a p la so v a tr a n s fo r m a c ija od F i to zapisujemo sa f (t) = L - 1 [F (s)].

Ako za funkciju f : R ^ R postoji Laplasova transformacija, ona je jedinstvena. Drugim recima, original ima jednu i samo jednu sliku. Obrnuto ne vazi. Naime, razliciti originali mogu imati istu sliku. Zaista, ako originali f i g zadovoljavaju uslov p OO / ( f (t) - g(t)) dt = 0, (4.31) 0 oni ce pripadati klasi funkcija koje imaju istu sliku. Tu klasu sacinjavaju svi originali koji su levo od 0 proizvoljno definisani, dok se nad intervalom [0, ro) međusobno razlikuju nad skupom mere 0 (recimo, svaki konacan ili prebrojiv skup ima meru 0). U odeljku 4.2.4. bice vise reci o postupku nalazenja jednog predstavnika klase originala ako je poznata slika F (s ).

D o v o lja n u s lo v za e g z is te n c iju L a p la so v e tr a n s fo r m a c ije U narednoj teoremi dat je dovoljan uslov za egzistenciju Laplasove transformacije funkcije f . Od mnogih teorema koje se bave ovom problematikom, ona je odabrana zbog relativno jednostavne primene. T e o r e m a 4 .2 .1 Neka je f : R ^ R funkcija koja zadovoljava sledece uslove: 1 . f je funkcija neprekidna po delovima nad intervalom [0, ro) ,

2. za sve t > 0 a € R.

je

|f(t)| < M e at,

Tada integral F (s ) =

gde su M i a konstante, M > 0,

p OO f (t)e-st dt, 0

konvergira apsolutno za sve s € C za koje je Re s > a. Funkcija F (s ) je analitička nad poluravni Re s > a. Prokomentarisimo uslove 1 i 2 iz poslednje teoreme Uslov 1, da je f neprekidna funkcija po delovima, znaci da svaki konacan podinterval intervala [0, ro) moze biti razlo zen na kona cno mnogo podintervala nad kojima je f neprekidna funkcija. Tacke prekida takve funkcije, ako postoje, su ta cke prekida prvog reda (u ta ckama prekida postoji leva i desna grani cna

4.2.

Laplasova transformacija

163

vrednost funkcije). Cesto u ta cki prekida funkcije f (obicno u t = 0), ne preciziramo da li je njena vrednost jednaka levoj ili desnoj granicnoj vrednosti, sto, oc igledno, nema uticaja na Laplasov integral (4.30). Uslov 2 obezbeduje konvergenciju Laplasovog integrala (4.30). Naime, modul funkcije f (t) moze da raste kad t — ro, ali ne brze od neke eksponencijalne funkcije. Ovaj uslov zadovoljavaju sve ogranicene funkcije (recimo sinusna, kosinusna funkcija), zatim stepena funkcija t k, k > 0, eksponencijalna funkcija , ,2 eat, a € R, dok recimo, funkcija e ne zadovoljava ovaj uslov. Uslovi 1 i 2 odnose se na deo funkcije f desno od 0, sto znaci da njen oblik levo od 0 nije bitan. Ukoliko t interpretiramo kao vreme, a funkciju f (t) kao proces koji se odvija u vremenu, to znaci da posmatranje procesa pocinje u nekom momentu (najjednostavnije je taj momenat oznaciti sa t = 0), a ranije ponasanje procesa nema uticaja na dobijene rezultate. Uobic ajeno je da se pri primeni jednostrane Laplasove transformacije pretpostavlja da je za t < 0, f (t) = 0 i to obi cno ne naglas avamo. Tako, recimo, funkciju f (t) = cos t zamenjujemo funkcijom f (t) = | °, ^ < °, f (t) \ cost, t > 0. Saglasno sa napomenom iz tacke 1, nismo precizirali koja je vrednost funkcije f u ta cki 0. Razmotrimo na kraju ponasanje slike F u beskonacno udaljenoj tacki. Ako je slika F analiticka funkcija za s = ro, tada je lim F ( s ) = 0. s—^OO Pokazacemo daposlednje tvrđenje va zi ukoliko je F slika originala f koji zadovoljava uslove tereme4.2.1. Uvedimo oznaku s = x + iy. Tada |F(s)| W

p OO |f(t)e- s t |dt < M / Jo

p OO e-(x -a )t dt, Jo

gde su konstante a i M one koje se pominju u teoremi 4.2.1. O cigledno, ako s ——^ duz realne ose tako sto x — , tada, na osnovu poslednje formule, F (s ) tezi ka 0. Ako je F analiticka funkcija u beskonacno udaljenoj tacki, tada je granicna vrednost jedinstvena, te je lims^ O F (s ) = 0. U opstem slucaju, dokaz je komplikovaniji, te ga ne navodimo.

P r im e r 4 .2 .1 (Hevisajdova3 jedini cna funkcija) Funkciju

Itl, 3Heaviside Oliver (1850-1925) Engleski fizičar i inženjer.



164

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

nazivamo H e v is a jd o v o m je d in ič n o m fu n k c ijo m . Kad je a = 0, u teoriji Laplasove transformacije uobi c ajen je zapis U (t) = 1. Nađimo Laplasovu transformaciju za U (t — a), a > 0. r C [U (t-a )]= Ja

e-as e ~ s t dt = -------, s

pođ uslovom đa e -st ^ 0 kađ t ^ to. Ako je s = x +

tađa je

|e- s t |= |e-x t -iy t |= e- x t . Posleđnji izraz teZi ka 0 kađ t ^ konvergira ako je x = Re s > 0.

to,

ako je x > 0. To znaCi đa Laplasov integral

Za a = 0 je C\lA{t)] = C[ 1] = - , s

Re s > 0. □

U poslednjem primeru našli smo da je £[1] = ^ , s tim što Laplasov integral konvergira nađ poluravni Re s > 0. S đruge strane, funkcija F (s) = je definisana i analitička ne samo nad pomenutom poluravni, nego nad celim C izuzev tačke s = 0 gde ima pol. Funkcija s £ C!\{0} je, ustvari, analitiCko prođuzenje Laplasovog integrala e-st dt, Re s > 0. Kako Cemo viđeti kasnije, uglavnom se sreCemo sa sluCajevima sliCnim ovome primeru. DobijaCemo funkdju F (s) đefinisanu i analitiCku nađ Celom kompleksnom ravni izuzev izolovanih singularnih taCaka funkCije F , a ne samo nađ poluravni Re s > a (nađ kojom Laplasov integral konvergira apsolutno i nađ kojom nema singulariteta). UbuđuCe, nas Ce po pravilu zanimati sama slika F (s ), a ne oblast nađ kojom se ona moze izraziti kao ođgovarajuCi Laplasov integral. Bitno je samo đa postoji poluravan nađ kojom Laplasov integral konvergira apsolutno.

4 .2 .2

Osobine Laplasove transformacije

U ovom ođeljku razmotriCemo osnovne osobine Laplasove transformaCije i kako se neki ođnosi između originala ođrazavaju na ođnos ođgovarajuCih slika. PretpostaviCemo đa su svi originali koji se spominju jeđnaki 0 za t < 0. Da bi zapis bio sto kraCi, originale Cemo oznaC avati sa f (t), g(t) a ođgovarajuCe slike sa F (s ), G (s). Konstante iz R oznaCiCemo sa a, b, konstante iz C sa a, ,0, a parametar iz R sa x. Simbol * koristiCemo za oznaku k o n v o lu c ije đve funkdje. Navođimo đefinidje konvoludje nađ realnim i nađ kompleksnim đomenom. Ako su f i g originali 4 (tj. realne funkCije realne promenljive), tađa je ( f * g)(t) = f f (y)g(t — y) dy. 0 4 Podsetim o da je za sve t < 0, f (t) = g(t) = 0, te otuda prividna razlika (kod granica integrala) u odnosu na definiciju konvolucije koja je navedena u odeljku 4.1.11.

4.2.

Laplasova transformacija

165

Ako su F i G slike (tj. kompleksne funkcije kompleksne promenljive), tada je konvolucija definisana sa 1 pb+iw ( F * G )(s) = — : F ( z ) G ( s - z) dz, 2ni Jb—ioo gde je putanja integracije bilo koja vertikalna prava koja pripada poluravni Re s > a u kojoj konvergiraju apsolutno oba Laplasova integrala koja defini su F i G ( sto zna Ci da svi singulariteti za F i G le že levo od te prave).

O s o b in e L a p la sov e tr a n s fo r m a c ije 1. L in e a r n o st 2. S lič n o s t

L [ a /(t ) + ,% (t)] = a F ( S ) + ^ G (S ). C[f(at)\ = - F f — , a > 0. a Va/

3. P r ig u s iv a n je £ [e at/( t ) ] = F (s — a). 4. K a s n je n je

L [ /( t — a)] = e-a s F (s ),

5. I z v o d p o p a r a m e tr u

a > 0.

Ako je L [/(t , x)] = F (s , x), tada je £

'd / ( t , x ) ]

d F (s ,x )

dx

dx

6. I z v o d o rig in a la L [/'(t )] = s F (s ) — / (0+), L [ / (n)(t)] = snF (s) — sn -1 / ( 0 + ) ----------- / (n -1 )(0+). 7. I z v o d slike L [—t /( t ) ] = F '(s ). 8. In te g r a c ija o rig in a la

L /o

9.

/ (t) dt

r / (t) n £ — = J

In te g r a c ija slike

10.

P r o iz v o d o rig in a la

11.

P r o iz v o d

slika

^

F (s) s

oo

F (u )d u .

L [/(t)g (t)] = (F * G )(s) L [ ( / * g)(t)] = F (s )G (s ).

12. P o n a s a n je u 0 i ro lim / (t) = lim s F (s), t—>-0+ s—to

lim / (t) = lim sF (s). t— s—0

13. U porecT ivanje p o n a s a n ja u 0 i ro

t—

g(t)

llm

M

t—o+ g(t)

s—— o G (s) = 1

s—to

lim

G (s)

166

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

Prokomentarišimo neke od navedenih osobina. • Naziv osobine 3 potice od procesa u fizici koje ona opisuje. Naime, ako je a < 0, tada Cinilac e at umanjuje funkciju f (t), te ako ona opisuje neki signal, tada je eatf (t) ” prigusen” signal. Kako ” prigusivanje” originala izaziva ” pomeranje” slike, ponekad se za ovu osobinu koristi naziv ” pomeranje” ili ” translacija” , • Proces opisan funkcijom f (t — a) poc inje s ” ka snjenjem” za vreme a u odnosu na proces opisan funkcijom f (t). (slika 4.4).

Iz osobine 4 vidimo da ” kasnjenje” originala za vreme a izaziva ” prigusivanje” slike F (s) za e- a s . • Osobina 5 vazi uz dve dodatne pretpostavke - za svako fiksirano x iz nekog domena, f (t, x) je original, - svi pomenuti parcijalni izvodi po parametru x postoje. • Kada govorimo o primeni Laplasove transformacije, osobine 6,7,8 i 9 spadaju u red najvaznijih osobina. U njima se kao original Laplasove transformacije pojavljuje izvod ili integral funkcije f , sto name^e potrebu postavljanja dodatnih uslova za f . • U osobini 6, ako se n-ti izvod f (n) javlja kao original, tada pretpostavljamo da su svi prethodni izvodi f , f ' , . . . , f (n-1) neprekidne funkcije. Ukoliko te pretpostavke nisu zadovoljene, te recimo, f ' jeste original, ali f ima prekid prvog reda u tacki t = a, tada ce prva formula u osobini 6 biti modifikovana na sledeci nac in L [ f '(t)j = s F (s) — f (0+) — e- a s ( f (a + ) — f (a- )). Analogno mogu biti modifikovane obe formule u zavisnosti od broja prekida i od njihove vrste. Napominjemo da f (a+) i f (a- ), a € R, predstavlja kraci zapis za levu i desnu grani cnu vrednost funkcije f u tac ki t = a, tj. f(a + ) =

lim+ f ( t ) , t—— a+

f(a - ) =

lim f ( t ) . t—>a

4.2.

Laplasova transformacija

167

• Ako se u ulozi originala javlja J0 f (t) dt, tada nikakve dodatne pretpostavke nisu potrebne. Moze se dokazati da ako je takođe original Laplasove transformacije. da lim f ( t )/t postoji. Kako je F t—o+ lims—_ TOF (s ) = 0, integral f s F (u ) du je.

f (t) original, tada je i J^ f (t) dt, Osobina 9 vazi uz pretpostavku analiti cka funkcija takva da ne zavisi od putanje integraci-

• Osobine 10 i 11 zna ce da proizvodu originala odgovara konvolucija slika, i obrnuto, proizvodu slika odgovara konvolucija originala. Konvolucija dve funkcije se cesto sre^e u matematickim disciplinama i primenama u tehnici. Lako se dokazuje da je - konvolucija komutativna operacija, - ako su f i g originali, tada je f * g takođe original, - ako su F i G slike, tada je F * G takođe slika. • Osobina 12 vaz i pod uslovom da sve navedene grani cne vrednosti postoje. Primetimo da ako ta cka s = 0 nije singularitet funkcije F , tada je s F (s) = 0 •F (s ) = 0 , te poslednja osobina nije interesantna. • U 13 je navedena osobina koja opisuje istovetnost ponas anja originala i odgovarajucih slika u tackama 0 i ro. Ako su, recimo, originali f i g ekvivalentne beskona cno male veli cine kad t ^ 0+, tada su njihove slike F i G ekvivalentne beskona cno male velicine kad s ^ ro

4 .2 .3

Primeri

P r im e r 4 .2 .2 (č-funkcija ili impulsna funkcija Diraka5) U ovom primeru naznacicemo, u grubim crtama, ideju koja se poslednjih nekoliko decenija razvila u modernu matematicku teoriju (tzv. teorija uopstenih funkcija), veoma dobro prilagođenu potrebama primene u tehnici. Ako primenjujemo osobine Laplasove transformacije, moramo voditi racuna pod kojim uslovima one vaze (to je navedeno u napomenama iza samih osobina). U protivnom, dobijam o pogresan rezultat. Tako, recimo, osobina (6) o diferenciranju originala, primenjuje se pod uslovom da je f neprekidna funkcija (pogledati komentar naveden posle osobina). Ako bi ova osobina bila primenjena formalno na funkciju U(t —a) definisanu sa (4.32) bez obzira sto ona ima prekid u tacki t = a, rezultat bi bio L[U '(t — a)] = s£[W (t — a)] — U (0 — a) = e- a s . S druge strane, izvod U ' funkcije U je jednak 0 na celom R osim u tacki t = a, gde nije definisan. Laplasov integral nula-funkcije jednak je 0. To je, ocigledno, korektan rezultat. 5Dirac Paul Adrien Maurice (1902-1984) Engleski teorijski fizicar, jedan od osnivaca kvantne mehanike.

168

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

U poslednje vreme veoma se razvija t e o r ija u o p s te n ih fu n k c ija u kojoj se problemi, povezani sa upravo izloZenim primerom, razmatraju sa drugog stanoviSta. U toj teoriji cesto se srece takozvana J- fu n k cija ili im p u lsn a fu n k c ija D ira k a J(t) , definisana formalno izrazom J(t) = Kako za funkciju D

lim D e(t), e^0+ vazi

D e(t)

t £ [0, e] t £ [0, e].

/*w / D e(t) dt = 1, Jo

formalno ” izvodim o” sledeCe osobine: 1.

/*OO / J(t) dt = 1,

Jo

2.

/» OO / J(t — a ) f (t) dt = f (a),

Jo

gde je f (t) funkcija neprekidna u taCki t = a, a > 0. U teoriji uopstenih funkcija, J(t — a) se smatra izvodom pomerene jediniCne funkcije U (t — a). Naziv ” uop stene funkcije” dolazi otuda sto neka njihova svojstva protivurece osobinama funkcija u klasi cnoj analizi. Primenom Laplasove transformacije dobijam o p OO L[W'(t — a)] = £[J(t — a)] = J(t — a )e -st dt = e- a s , Jo sto je u saglasnosti sa rezultatom dobijenim na po cetku primera.

□

Teorija uopstenih funkcija je formirana sa namerom da za uopstene funkcije ostanu na snazi osnovne teoreme klasicne analize, a da ipak om oguci znatno sire polje primene i jednostavniju aparaturu pri resavanju mnogih problema u matematici, fizici i tehnici.

P r im e r 4 .2 .3 (Impulsna funkcija, periodicni sistem impulsa) Naci Laplasovu transformaciju impulsne funkcije f di cnog sistema impulsa g (desna slika), zadatih sa

Slika 4.5.

(leva slika) i perio-

4.2.

Laplasova transformacija

0, f (t) = ^ 1, 0, gde je n G N0, 0

169

t < 0, [ 0, 0 < t < a, g(t) = < 1, t > a. ^ 0,

t < 0, n T < t < n T + a, n T + a < t< (n + 1)T,

0, te analitiCkim produzenjem dobijam o resenje za sve s e C \ {0 } □

4 .2 .4

Inverzna Laplasova transformacija

Do sada, pri bavljenju Laplasovom transformacijom, koristili smo Laplasov integral p OO F (s) = / f (t)e -st dt, 0 gde je slika F ižra žena preko originala f . Podsetim o da funkciju f (original) Cesto nazivamo in v e rz n o m L a p la so v o m t r a n s fo r m a c ijo m funkcije F (slike) i to zapisujemo sa f (t) = L - 1 [F (s)]. Ocigledno da svakom originalu odgovara jedna slika. Da li je isti slucaj i obrnuto? U odeljku 4.2.1. smo naglasili da jednoj slici odgovara beskonacno mnogo originala, citava klasa funkcija. Ako su dve funkcije originali jedne iste slike, tada se one nad intervalom [0, ro) mogu razlikovati u tackama prekida i to samo za takozvanu nultu funkciju N (t ) (definiciju nulte funkcije pogledati

170

Glava 4. FURIJEOVA IL A P L A S O V A TRAN SFO RM ACIJA

u dodatku 1 na kraju knjige). Kako u jednostranoj Laplasovoj transformaciji oblik funkcije f levo od 0 nije bitan, radi pojednostavljenja postupka obicno pretpostavljamo da je f (t) = 0 za sve t < 0. To, dalje, znaci da data slika F ne mo že imati vi se od jednog originala f neprekidnog ža sve t > 0 (i jednakog 0 ža t < 0). U daljem tekstu navodimo formulu (izra ženu u narednoj teoremi), iž koje, na osnovu zadate slike F, nalazimo jednog predstavnika iž odgovaraju^e klase originala. Postupkom koji ce biti opisan nalazimo original f takav da je za sve t < 0, f (t) = 0 . T e o r e m a 4 .2 .2 Ako je f (t) original, a F njegova slika,, tada u svakoj tacki t, u kojoj je original f neprekidan, vazi formula

(4.33)

gde se integracija obavlja po bilo kojoj pravoj Res = b, koja pripada poluravni apsolutne konvergencije Laplasovog integrala funkcije f . Posebno treba obratiti pažnju da konvergencija integrala (4.33) nije dovoljna ža egžistenciju originala f cija je slika funkcija F . Egžistencija originala mora biti proverena prilikom svake primene poslednje teoreme. Navodimo jedan dovoljan uslov ža egžistenciju originala, koji smo odabrali žbog jednostavnosti provere. T e o r e m a 4 .2 .3 Ako funkcija F : C ^ C zadovoljava uslove: • F ima konačno mnogo singulariteta, a u ostalim tačkama iz C je analitička funkcija (uključujuci i tačku r x ), lim-s^O F (s ) = 0, tada postoji funkcija f : R ^ C za koju j e F (s ) = L [ f (t)].

Ižracunavanje integrala (4.33) proižvoljne analiticke funkcije F obicno se obavlja koriscenjem teorije režiduuma. Navescemo opis ovog postupka u opstem slucaju, a žatim cemo ižneti posebne aspekte u žavisnosti od oblika funkcije F . Integral (4.33), ako je t > 0, ižracunavamo pomo^u integrala (4.34) gde je L putanja sa slike 4.6. Ona se sastoji iž dva dela. Prvi deo je duž A B , a drugi deo je luk B K A centralne kružnice poluprecnika R.

4.2.

Laplasova transformacija

171

Razmotrimo sta se dogada kada R ^

to .

Duž A B postaje prava Re s = b tj. prava duZ koje se promenljiva s krece od b — iro do b + iro. Kako je prava Re s = b izabrana u oblasti apsolutne konvergencije Laplasovog integrala, svi singulariteti funkcije F leže levo od te prave, sto znaCi u unutras njosti konture L (podsetimo da R ^ to ). Desno od prave Re s = b nema singulariteta, sto znaCi da je u toj oblasti funkcija F analitiCka. Ukoliko je lims^ TOF (s ) = 0, tada za sve t > 0, integral du z kruznog dela putanje B K A te zi ka 0, tj. lim / F (s )e st ds = 0. R^ ~ JBKA

(4.35)

Poslednja jednakost se izvodi analogno izvodjenju u odeljku 4.11, taCka 3. Ukoliko je lims^ TO F (s ) = 0, tada je za sve t > 0

(4.36)

gde su , k € {1, 2, •••, m } singulariteti funkcije F . Zaista, na osnovu teoreme o reziduumu, je f f f m lim ® = lim / + lim / = 2ni R es[F (s)est, a k], r ^ t o /L r ^

a" Jn(at)

—1

\/s2 + a2 (s — V s2 — a2)n

a "/„(a t)

69.

Vs2 — a2 _b(s — V s 2 + a2 ) 70.

J0(aV t2—62)

71.

72.

73.

74.

J0(aVt(t + 26))

Vs2 + a2

t>

5

t< 6

Vs2 + a2 tj^ (at) (s2 + a2)3/2

tJ 0(at)

(s2 + a2)3/2

J0(at) — at

(s2 + a2)3/2

(at)

t/^at) 75.

(s2 - a2)3/2

76.

( S2 _ a 2 )3/2

77.

(s2 — a2)3/2

78.

79.

s(es — 1)

s(l — e- s )

! — r)

t / 0(at)

Ioiat) + a tli(a t)

i?(f) = n,

F(t) =

s (l — re s)

81 .

es — 1 _ s(es — r)

1 — e~ s s(l — re~ s)

e-a/s

~7T

1,

n =

0,1,2,

m 2 rk k= l

g d e je

80.

n = t < n+

F(t) = r'1,

[t] =

najveći c e o broj ž

t

n ši t < n + 1, m = 0 ,1 ,2 ,

i 2Vat

194 F (s)

82.

/(*>

e -u /j

sin 2\/at

g 3 /2

yfrra

p —a/s

83.

— —"TT sn+ !

/ t \ n' 2

n > -1

[a )

Jn(2V a t)

e-aVš

e-a‘/4t

V>

V rt

84.

°

e-aVš

85.

e - a ! /4 t

zV^t3 l — e-aJš

86.

erf (a/2Vt )

s g-oVT

87.

erfc ( a l lV t )

s e-aVš

88.

e b (b t

+a )

erf c

V š (Vs + b) e ~ a / Vs

89.

8„+i

»>

i

/—

Virt a2n+1

f

/

^------ 5 _ \

l

2 ^ ;

« "« “‘ 'ial‘ J2n(2V u ) du e -M

_

e -a t

90.

'" ( S )

t

91.

ln [(s2 + a2)/a2] 2s

Ci (at)

92.

ln [(« + a)/a] s

Ei (at)

93. y =

ln t

/ s 2 + a2\ \s* + b2 j

94.

2 (cos at — cos bt) t

v2 _j_ (y + ln s)2 6s s

95. y =

96.

_ (y + In s) s O jlerova konstanta = .5772156...

O jlerova konstanta

ln2 t

= .5772156...

ln s s

- (ln t + y) y =

97.

ln2 s s

O jlerova konstanta

(ln t + y)2 y =

O jlerova konstanta

= .5772156...

J^2 = .5772156...

195

F (s) — r(» + sn+ 1

sr3

1

1)

99.

1)

ln s

v.

p'

r '(« +

98.

f(t)

tan ~ 1 (a/s) s

100.

pd/s

,---

.

tn ln t

sin a( t

S i (at) e -2Vču

101.

Vs

102.

es!/4“! erfc («/2o)

2£. e -o 2'* v?

103.

es’ /4a2erfc (»/2o) s

erf (ot)

104.

eas erfc V a i Vš eas Ei (as)

105.

106.

— j^cos as

1

\/ir(£ + o) 1

t+ a 1

— Si (as) j- — sin as Ci (as) J «2

107.

sin as

— Si (as) j- + cos as Ci (as)

108.

cos as

— Si (as)

+ o2

t t2 + o2

— sin as Ci (as) tan-1 (f/a)

8

109.

sin as j j - — Si (as)j> + cos as Ci (as) 8

110.

[| -

Si (as)

J

+ Ci2 (as)

M^) M^)

111.

0

* «t)

112.

1

«(t)

e~ as

S (t-a )

113.

e~ a s 114.

8

V(t - a)

196

F (s)

fa )

115.

sinh sx s sinh sa

X + 2 2 (_1)" sin n" x cos nwt a 7Tn= ! n a a

116.

sinh sx s cosh sa

117.

cosh sx s sinh sa

118.

cosh sx s cosh sa

119.

sinh sx s2 sinh sa

120

.

sinh sx s2 cosh sa

1

121

.

cosh sx s2 sinh sa

t2 72a i~

122

.

cosh sx s2 cosh sa

123.

cosh sx s3 cosh sa

124.

4 £ >

(—l)n . (2n — l)v x . (2n — V)Trt ' T sin n sin 0 2n 1 2a 2a

7r n=\

t 2 (—l)n nvx . nnt + 2t cos sm — a tt n=i n a a

+ ir 4 2 ,( - — 1 )’ c o .(2 " “ 1 )" c o s (2 * r 1)' t n= ^ 2n 1 2a 2a

1

xt , 2a (—l)n . nrrx . nirt — + —5- > — 5— sm ------sin-----a tt n= j nz a a 8a

n*

1

JUt9 +1 x‘ £(t z>

a°) a)

^

sinh xy/~8

cosh x V š cosh ay/š

“2

126.

sinh xy/s V š cosh a\fš

127.

cosh xy/š V š sinh ay/š

128.

sinh xy/H s sinh aV?

129.

cosh xy/š s cosh a\/š

130.

sinh xt / š s2 sinh ay/š

131.

cosh xy/š s2 cosh ay/š

2

a n=

(—l)n nirx A nvt\ cos----- 1 — cos----- ) n1 a \ a J

,2 a ^ + ~T vz

sinh ay/~š

125.

(2 n -lM 2a

005

8“ V (_ 1 )n co, (2m - V ” * oin r* „-1 , (2 n - l ) 2 C 0 3 2a “ln

( 1

(

(-1 ) " (2 n - l V * (2 n - l ) 2 Sln 2a

„-“ 1

2

„=i

v

(~_l)n (2n 1 ) 3 cos (2» — 2al)irx cos (2n— l)rt

sin

(— 1

(~ 1 )"~ 1 (2 n -

- D«-* 2a

a

1 ) e~ ( 2 n - 1 ) W / 4 a » c o s