MICROECONOMIA EIRAS_

Análisis microeconómico con Excel

MICROECONOMÍA CON EXCEL EN EMPRESAS La criticada impracticabilidad de la teoría neoclásica resuelta mediante su aplicación en Excel. El consumidor, la empresa, optimización y programación, los mercados: análisis diferencial, operadores de Lagrange, elasticidad media o promedio, ecuación de Slutsky, nivel de vida, 12 índices de precios y de cantidades; integración, excedente del consumidor y del productor según tipo de mercado; investigación operativa, muestreo, probabilidad, combinatoria, series cortas; proyección del mercado y estimación de funciones de demanda mediante correlación múltiple con Anova para el reemplazo por una décima variable representativa; “mejor ajustamiento” con más de 500 variables; programación lineal, no lineal, dinámica, entera, binomial, Solver; matrices; equivalencia de 6 métodos con similar resultado; programación de la producción en sistemas resueltos en Excel con 5, 10 y miles de variables; colas, modelos de simulación dinámica en Excel, modelo de la telaraña con el número exacto de período del ajuste dinámico, matemática difusa (fuzzy) y del caos; VA y TIR, teoría de los juegos y de la incertidumbre; nivel intermedio asequible para no especialistas mediante aplicaciones simples de Excel. MICROECONOMÍA CON EXCEL

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Programa de la asignatura Microeconomía I “linkeado” al material de estudio, a ejercicios resueltos y a

archivos Excel y otros (pag.370) disponibles en www.microeconomiaconexcel.com , sitios del curso en la FCE, foros y otros site.

Use Cntrl + F para buscar temas por palabra 2003 Santiago Eiras Roel – T. Isabel Rébora – Teresa Eiras Derechos exclusivos IMPRESO

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MICROECONOMÍA CON EXCEL EN EMPRESAS

Enfoque teórico práctico de microeconomía de la empresa, para no graduados y profesionales, del área comercial e investigación de empresas; con más de 100 ejemplos resueltos paso a paso utilizando aplicaciones de Excel -en situaciones bajo cuatro contextos: cierto, aleatorio, hostil e incierto-.

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Análisis microeconómico con Excel

Los autores - Santiago Eiras Roel , 30 años en análisis de mercado de Siderurgia Argentina -SOMISA- y profesor de microeconomía en la Universidad de Buenos Aires; Dr. en Ciencias Económicas. - T. Isabel Rébora, 30 años de docencia; profesora ayudante del curso. Contadora (CPN)

- Teresa Eiras, auxiliar en práctica estadística y casos microeconómicos.

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ÍNDICE

Página

CAPÍTULO 1 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA Orientación y contenido

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¿Hasta dónde microeconomía y hasta dónde estadística? Estudiar la demanda Desde series hacia ecuaciones y gráficos Desde ecuaciones hacia series y gráficos Función de demanda lineal Demanda teórica hiperbólica Estimación de demanda en la empresa y tipos de bienes El mercado competitivo Mercado competitivo con impuestos Demanda, Ingreso Total e Ingreso Marginal

17 19 20 21 22 23 23 24 25 26

Extender cálculos Excel Análisis bajo cuatroen contextos Tipos de bienes, contextos y métodos CAPÍTULO 2 CONTEXTO CIERTO SERIES A) Variaciones en series individuales SERIES SIMPLES Promedios y medidas de posición: Media aritmética

26 27 28

Media Media geométrica armónica Otros ejemplos de medidas de posición Relación entre medias Mediana

30 31 31 32 32

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28 29 30

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Moda(o) Medidas de dispersión Varianza Desvío estándar

32 33 33 34

Desviación en una población SERIES DEestándar PRECUENCIAS Media aritmética Media geométrica Media armónica Mediana Modo MEDIDA DE ORDEN: CUANTILES Cuartiles Deciles

36 36 37 38 39 39 40

Percentiles Medidas de dispersión Desvío estándar y varianza Asimetría y curtosis MOMENTOS ABSOLUTOS Momento 0 Momento 1 Momento 2 Momento 3 Momento 4 MOMENTOS CENTRADOS Momento 1 Momento 2 Momento 3 Momento 4

41 42 42 42

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40 41

43 43 44 44 45 45 46 46 47

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Desvío cuartílico Varianza mediante momento Conclusión del análsis de series SERIES CRONOLÓGICAS Estacionalidad: promedios móviles

47 47 48 48 49

Ciclos: método de los nueve puntos B) Relación entre variables –simpleAjustamientos Covarianza Dos rectas de regresión Coeficiente de correlación-determinación Elasticidad media de la demanda Correlación en una población Demanda según correlación precio-cantidad Correlación en muestras

50

Evaluación de exámenes Análisis de la varianza-covarianza C) Demanda según correlación–múltiplePronósticos Discos de freno para autos Análisis de la varianza Análisis de regresión ANOVA Multicolinealidad Estimación lineal múltiple

58 59

Venta de helados ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION) Ajustamiento exponencial con Excel

64

Ajustamiento lineal con Excel

68

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52 53 54 55 55 56 56 57

59 60 60 61 62 63 64

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Ajustamiento logarítmica con Excel

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Ajustamiento potencial con Excel Ajustamiento media móvil con Excel Ajustamiento polinómica con Excel

69 70

“Mejor ajustamiento” con “Findgraph”

71

CAPÍTULO 3 PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN ¿Con series? ¿Con funciones? ¿Con matrices? o ¿con Programación lineal? ¿Para qué proyectar con correlaciones? Análisis de coyuntura para pronósticos Programación No Lineal con Solver de Excel Sensibilidad Programación lineal Simplex

75 76 68 78 82 83

Precios sombra Minimización - Dualidad Programación lineal Simplex con Solver Fábrica de Mesas y Sillas Zonda Producción de TV, estéreos, altavoces Problema de transporte Planificación del personal de una parque Maximizar una inversión en bonos Optimizar una cartera de valores-acciones Valor de resistencia para un circuito eléctrico Matriz Insumo-Producto con Excel Matrices y determinantes con Excel Equilibrio general de producción e intercambio Matriz Insumo-Producto argentina 1997 CAPÍTULO 4

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85 87 88 89 91 92 94 96 98 99 102 103 105 108

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CONTEXTO ALEATORIO Teoría de la probabilidad Probabilidad de distribuciones Distribución binomial Esperanza matemática

112 113 114 115

Desviación típica Distribución normal Desvío reducido Distribución normal acumulada Uso de tablas y de funciones incorporadas en Excel Regla o teorema de Bayes ANÁLISIS COMBINATORIO: reglas de conteo Arreglos Permutaciones Combinaciones

115 115 116 116 117 117 119 120 121 122

Distribución Binomial con Excel Distribución Normal con Excel Prueba Z Vida útil de un producto Muestra de 200 arandelas Muestra de 100 tubos fluorescentes Distribución de Poisson -Teoría de las colas Simulaciones de Montecarlo Tamaño de la muestra Programación dinámica: cadenas de Markov

114 115 124 125 125 126 127 128 132 133

Cadenas de5Markov absorbentes CAPÍTULO MUESTREO Estimación muestral Ensayos con una o dos colas

134

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Números aleatorios Pequeñas muestras Distribución Student Muestra de 100 arandelas Prueba CHI cuadrado X2 Muestra de 16 piezas torneadas

140 141 141 142 143

Muestra de 200 bombitas Salieron 115 caras y 85 cruces El kilo de guisantes de Mendel Bondad del ajuste

144 145 146 147

CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DEMANDA Teorías de la demanda y sistemas económicos Primera teoría: sicológico-utilitaria Segunda teoría: curvas de indiferencia de Pareto

149 153 155

Tercera teoría: preferencia revelada Números índice Equilibrio del consumidor: demanda derivada Maximización con la utilidad marginal (A. Marshall) Problema dual: minimización del gasto Maximización según la indiferencia de Pareto Función combinada de Lagrange Determinantes Efecto ingreso y sustitución según Hicks Función de Lagrange: significado de λ

157 159 159 160 161 163 164 165 166 169

Ecuación de Slutsky: de ÍNDICE: bienes Teoría estadística de clasificación los NÚMEROS 1.Agregativo aritmético simple (precios y cantidades) 2.Promedio aritmético de relativos (idem) 3.Promedio geométrico de relativos (idem)

171 173 174 175 176

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4.Mediana de relativos (idem) 5.Promedio aritmético ponderado de relativos (idem) 6.Promedio geométrico ponderado de relativos (idem) 7.De Laspeyres (idem) 8.De Paasche (idem)

177 178 178 179 179

9.Ideal de Fisher (idem) 10.De Edgeworht-Marshall (idem) 11.De Walch (idem) 12.De Drovich-Bowley (idem)

180 181 182 183

CAPÍTULO 7 TEORÍA DEL EQUILIBRIO DE L A EMPRESA Maximización de la producción Dualidad: mínimo costo Potencias y raíces

186 187 190

Teoría de los costos con Excel Minimización del costo con Solver Restricciones adicionales con matrices: Dos sofás simples más uno triple Programación entera de una dieta Problema de la mochila con enteros Programación binaria OTIMIZACION DE LA PRODUCCION Minimización del costo Programación de turnos de trabajo

190 191

Equilibrio empírico Excel -Ajuste lineal de lacon demanda -Ajuste parabólico del costo medio Equilibrio de la empresa con Solver METODS CIENTÍFICOS

204 205 207 210 211

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192 195 196 197 198 200

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FORMAS DE ESTUDIAR PRESENTACIONES TIPO INFORME PROFESIONAL MEDODOS DE DEMOSTRACION ¿CONOCIMIENTO PREVIO DE MATEMÁTICA? ¿Para que sirve todo esto de los métodos en la empresa?

212 212 213 214 218

Archivos con 6 metodos 220 Seis métodos equivalentes (un caso con 12 resultados iguales del primal y del dual 212 Autos y motos con Lagrange 224 Autos y motos con el método gráfico 227 Autos y motos con programación lineal Simplex 230 Autos y motos con programación Solver de Excel 232 Autos y motos con matriiz inversa (manualmente) 234 Autos y motos con matrices de Excel 235 Dual de estos casos 237 Evaluación Inversiones - TIR – VAN VAN períododefuturo VAN período pasado ESTABILIDAD DINAMICA (P. TELARAÑA) ANTE BAJA EN LA DEMANDA MEDIDA DE RAPIDEZ DEL AJUSTE ANTE BAJA EN LA OFERTA O SUBA DE COSTOS ANALISIS DINAMICO ITERACIONES CON EXCEL RECALCULO CON EXCEL CREAR UNA MACRO DINAMICA EN EXCEL NEWTON - RAPHSON CAPITULO 8 MERCADOS DE BIENES Y DE FACTORES Teorías económicas y legislación obligatoria

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240 243 243 245 247 248 250 252 252 254 254 255 257 257

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Tablas de extras de precios y costos La Competencia perfecta: criterio de contratación Mercado competitivo: equilibrio y cantidad de competidores Monopolio Monopolio que actúa competitivamente

258 260 262 264 265

Monopolio discriminador de precios Monopolio sin discriminación COMPETENCIA MONOPÓLICA Duopolio según Cournot Empresa líder y seguidoras Cartel - Monopolio con DOS Plantas (colusión empresaria) Contratación bajo monopsonio Contratación en monopolio (con sindicatos) Monopolio bilateral-Negociación cuasicompetitiva Editor de Ecuaciones (Office, Microsoft)

266 268

Raíces en funciones cuadráticas (Ruffini) Raíces en funciones cúbicas (Ruffini) Raíces en polinomios de orden superior Competencia desleal Antidumping Carga impositiva para exportadoras Protección efectiva de una industria Organigramas (Office, Microsoft)

277 278 279 280 281 283 285 286

269 272 274 275 276 276 277

CONTEXTO HOSTIL

Duopolio de los juegos Juego de Teoría suma cero Estrategias mixtas Estrategias dominadas DOMINANCIA

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286 287 289 290 291

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Axiomas de la lógica Neumann-Morgenstern CONTEXTO INCIERTO Seguros Evaluación de proyectos inciertos Mercados de futuros

292 293 295 296

Valor esperado Utilidad esperada Competencia bajo incertidumbre Ejemplo bajo incertidumbre CUATRO CONTEXTOS PARA LAS DECISIONES Principio de indeterminación de Heisemberg INCERTIDUMBRE SEGÚN J.M. KEYNES LOGICA DIFUSA – FUZZY – MATEMATICA BORROSA RIESGO VS. INCERTIDUMBRE – UTILIDAD ESPERADA ANALISIS NUMERICO

296 297 298 298 301 302 303 303 305 306

CALCULO NUMERICO DEL CAOS 306 FUNCION LOGISTICA DE LORENZ 306 ATRACTORES – FRACTALES – CAOS 307 URNA DE PÒLYA 309 ENUNCIADOS DE EJERCICIOS Y TP 311 50 INFORMES PARA 50 TP RESUELTOS (GUIA) 325 5 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL y un TP integrador de metodos equivalenets341 352 LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS 353 COMPARACION DE SOFT ESTADISTICO 363 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 376 AYUDA DE MICROSOFT ONLINE Y CODIGOS 380 PROGRAMA LINEADO 382 MICROECONOMIA EN ACCION 411

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PRÓLOGO

En el ámbito de investigación de mercado o ventas de cada empresa, así como en el de los profesionales y estudiantes de microeconomía (o economía de la empresa), es fundamental el estudio de la demanda y de la programación. Las técnicas estadísticas y econométricas son laboriosas y presentan dificultades importantes, tanto para comprenderlas y memorizarlas, como para la aplicación concreta de esos métodos, generalmente imposibles de concretar sin ayuda de ordenadores. Desde la aparición de Excel, se ha simplificado considerablemente el uso de estas técnicas, ya que esta hoja de cálculo facilita muchas operaciones. Adicionalmente Excel tiene incorporadas gran cantidad de funciones estadísticas, financieras y matemáticas, dedicadas a estos análisis. Incluyen breves ayudas conceptuales, pero suelen no ser suficientes para la generalidad de los usuarios, quienes pueden no captar el sentido y practicidad de cada aplicación al no disponer de un ejemplo práctico de la misma resuelto. Este trabajo reúne una cantidad importante de esos ejemplos resueltos paso a paso, sobre las aplicaciones referidas al estudio de demanda, mercado, programación y otros de la empresa y la microeconomía, que se identifican en el índice. Se plantea el problema, se lo resuelve pasos Excel y se incluye la evaluación o identificación delcon casobreves para orientar al lector. No es este trabajo un manual de Excel. Supone tener una idea básica, mínima, sobre su uso; y no repite indicaciones elementales, tales

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como abrir o salir de un archivo, imprimirlo, copiarlo, etc que son conocidas por la generalidad de usuarios de Excel, Word y otros del Office de Micro Soft. Lo que sí se detalla paso a paso, brevemente, es como imprimir, graficar y aplicar series, funciones y métodos estadísticos o econométricos. T. I. Rébora

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CAPÍTULO 1 SERIES Y FUNCIONES EN LA EMPRESA ORIENTACIÓN Y CONTENIDO

El lenguaje científico puede ser a veces difícil e inadecuado. Puede ser imprescindible para generar conocimientos, pero la excesiva abstracción o un exceso de símbolos no imprescindibles resultan inadecuados como método de promover y ampliar el conocimiento científico. No hay contradicción: para el objetivo de ampliar la captación y el uso de los métodos científicos en microeconomía y estadística aplicada en las empresas, los tratados tradicionales pueden ser inviables para la generalidad de los técnicos que necesitan aplicar estos métodos en las oficinas de Investigación o Ventas de las empresas. Algo similar ocurre con los estudiantes de microeconomía y de estadística, quienes, todavía carentes de base empírica, no captan la aplicación concreta de los métodos y modelos abstractos. Cuanto menos grandes sean las empresas importantes y en aquellas medianas o en las más pequeñas, pueden llegar a carecer de oficinas especializadas en investigación económica y comercial. Sin embargo, todas ellas efectúan estudios de mercado y demanda y sobre otras formas diversas de toma de decisiones. En todas se estima y estudia la demanda; pero la intensidad de estos estudios depende precisamente de las dificultadas de interpretar el lenguaje científico. Simultáneamente, desde hace dos décadas, no existen empresas en las que dejen de utilizarse PC y hoy Excel de Microsoft, para

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múltiples aplicaciones administrativas. Esta hoja de cálculo incluye numerosas funciones econométricas, con cierta ayuda conceptual primaria, aunque insuficiente para aplicarlas por la generalidad de los técnicos y usuarios. Hacía falta un manual microeconómico con ejemplos en Excel para estas aplicaciones, resumiendo las teorías científicas en casos concretos y abreviados en pocos pasos. Se consultó en Internet y a las principales librerías o editoriales, así como a Microsoft y no fue posible encontrar algún manual o CD con ejemplos Excel sobre estas cuestiones no contables (en inglés o castellano). Debido a ello se procedió a editar este trabajo, que resume el conjunto de ejemplos explicados en el curso de microeconomía I en la facultad. En la empresa se adoptan continuamente decisiones, generalmente de tipo cuantitativo, que exceden las posibilidades de cálculo mental o manual inmediato y Excel es útil e imprescindible. Además, la microeconomía estudia modelos de comportamiento teórico para numerosas actividades en la empresa y Excel facilita su implementación práctica mediante un amplio paquete de funciones incorporadas: decisiones sobre demanda, oferta, personal, producción óptima, máximo beneficio / mínimo costo, evaluación de proyectos, control de la producción, conducta competitiva en el mercado, etc. ¿HASTA DÓNDE MICROECONOMÍA Y HASTA DÓNDE ESTADÍSTICA? Para estudiar microeconomía siguiendo alguna lógica, podría resumirse su contenido en función del objeto estudiado: a) teoría de la demanda (su naturaleza, la estimación, etc.) b) teoría de la empresa

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(producción, costos, optimización, planificación, etc.) c) teoría de los mercados (modelo competitivo u otros, como monopolio, empresa líder, cartel, etc.) Además podría agregarse una parte d) que hiciera referencia a los métodos utilizados en estos capítulos (diferenciación; matrices; Programación lineal; juegos; probabilidades bajo incertidumbre; etc.). En cuanto a la lógica de estudiar las series y estadística en general se podría resumir su contenido en: a) series simples, series de frecuencias, series cronológicas b) números índice c) correlación d) probabilidad y distribuciones. Existe entonces una gran interacción entre el contenido de la microeconomía y el de la estadística. Para estudiar y pronosticar la demanda se utilizan métodos estadísticos, como series simples, de frecuencia y cronológicas; también se utilizan encuestas, muestras y diversas distribuciones, así como correlaciones simples o múltiples. Igualmente, en otros temas microeconómicos, como control y planificación la producción también son utilizadas éstas y otras herramientas de estadísticas. Son usualmente conocidos los aportes de Excel para facilitar la gestión contable y la toma de decisiones en la esfera financiera en las empresas. Pero Excel también brinda además numerosas herramientas para el análisis microeconómico y para la estimación de funciones vinculadas con losanálisis de la esfera, no monetaria sino, real de la economía empresaria a los cuales se hace referencia inicialmente. Mediante ejemplos sencillos se intentará aquí explicarlas. El tema básico será estudiar la demanda (en la esfera real), por que es el punto principal en empresaria: conocer los la deseos (gustos, demandas) de la loseconomía compradores para luego adoptar ingeniería y procesos de producción necesarios, así como los métodos contables y financieros que permitan ajustar las transacciones monetarias que implique esta esfera real optimizando.

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En este trabajo sobre el aporte de Excel para estos análisis de demanda y otros -de la comentada esfera no monetaria- será implementado utilizando un avance progresivo, avanzando desde una introducción a los temas económicos continuada por casos vinculados de aplicaciones estadísticas. ESTUDIAR LA DEMANDA

Dado que uno de los principales objetivos de la empresa es la optimización de su actividad para generar ingresos y beneficios, se destaca como importante el tema de la estimación del mercado –particularmente la demanda- y su estudio se efectúa mediante múltiples enfoques. Para su análisis se identifica a la demanda con funciones y ecuaciones; y la matemática aporta numerosos procedimientos, que con Excel se pueden concretar fácilmente, sin necesidad de limitarse a utilizar con pocas variables al resolver ciones, ejemplos y correlaciones simples o múltiples, linealessistemas o no. de ecuaAdemás, la demanda es en realidad algún bien o servicio -unidades, kilos, metros cuadrados, etc. de algo concreto- por lo cual, más allá de las funciones o ecuaciones teóricas existen otros procedimientos de estudio alternativos y/o complementarios, que también se ven simplificados por el aporte de Excel: programación lineal, juegos, simulaciones, incertidumbre. Estas aplicaciones están disponibles en Excel en : a) Herramientas > Complementos > Análisis (y/o Solver), así en de funciones al cual se accede picando sobre el b) como el listado icono de la barra superior, que abre el siguiente cuadro :

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DESDE SERIES OBTENER ECUACIONES Y GRÁFICOS

Antes de avanzar, es importante ver la facilidad de Excel para graficar series, incluyendo además en el gráfico la función de ajuste: Icono de gráficos>Dispersión > Siguiente y pintar el rango de datos > Siguiente y poner títulos > Siguiente y elegir en la hoja >Finalizar. Finalmente, con doble clic sobre la línea de tendencia se abre una ventana para su formato, dentro de cuyas opciones figura presentar la ecuación y el R2 en el gráfico.

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DESDE ECUACIONES OBTENER SERIES Y GRÁFICOS

Excel permite escribir cualquier fórmula y representarla con pocos pasos. En el siguiente ejemplo se plantea una ecuación y se calculan sus valores y el gráfico (igualmente con cualquier otra ecuación más compleja).

En A3:A11 se escriben los valores de X ; la ecuación Y = 3 (X2) se escribe en B3, copiándola hasta B11. Se grafica pintando el rango A3:B11 y pulsando el icono de Gráfico; se elige Dispersión; finalmente pide título, nombre para los ejes y lugar para guardarlo. FUNCIÓN DE DEMANDA LINEAL

Por razones didácticas o conceptuales es usual utilizar funciones para explicar demandas, costos, producciones, etc. Con Excel resulta fácil escribir, obtener los valores y graficar funciones de demanda u otras.

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Para una demanda lineal obsérvese que el precio se escribió a la explícita X = 49 –0,8P se escribió derecha, en B2:B10. La fórmula hasta a la izquierda , en A2, copiándola A10.

Para graficar se pintó todo el rango A2:B10; > icono de gráficos > Dispersión > Título > Título de ejes> Imprimir en la misma hoja > Aceptar. FUNCIÓN DE DEMANDA TEÓRICA (HIPERBÓLICA)

En este caso, la función en la forma implícita P = 12 / X2 se escribe a la derecha, en B2 y se la copia hasta B10; los valores de X se anotan en A2:A10.

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Se pinta el rango A2:B10; icono de gráficos > Dispersión > Título > Titulo de ejes > Lugar de impresión >Aceptar. ESTUDIOS DE DEMANDA EN LAS EMPRESAS y TIPOS DE BIENES

Véanse más adelante los casos prácticos de obtención y de pronóstico de la demanda, a través de los ejemplos Excel de correlación lineal simple precio–cantidad. También con el ejemplo de correlación múltiple con varias variables independientes y otros métodos. Los métodos son aplicables según se trate de bienes de consumo perecedero; bienes durables (que se conforman con demanda de reposición y demanda nueva, diferentes); insumos y bienes de capital (demandas derivadas, proyectadas también con simulaciones de coyuntura, etc.), casos analizables preferentemente bajo contexto cierto. Servicios reales, servicios financieros, nuevos productos (con muestreos; promocionales, etc), son analizables preferentemente bajo contexto aleatorio.

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EQUILIBRIO EN MERCADOS COMPETITIVOS

Se escriben las funciones en la forma implícita en un hoja Excel, con la cantidad X a la izquierda y a la derecha la demanda y oferta (escribiendo como muestra la celda C4 y copiadas hacia abajo).

Se pinta el rango A4:C7; icono de gráficos > Dispersión > títulos > etc. MERCADO COMPETITIVO CON IMPUESTOS

Suponiendo un impuesto de $2 por unidad vendida, la oferta inicial se traslada hacia arriba por esta suba de costo adicional. La cantidad vendida baja y el precio sube, ya que la demanda esta invariante.

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Se escriben las cantidades y las funciones implícitas en el orden del cuadro (según ilustra D5). Se pinta el rango A5:D10 > Icono de gráficos > Dispersión > títulos, etc. se lodedesea, picando en una línea aparece Ecuación la ventanaen For> Presentar el mato(siLínea Tendencia > Opciones Gráfico >... permite incluir la ecuación en el gráfico.) Si se presentara la oferta en la forma explícita el efecto de este impuesto de $2 por unidad sería X = 200 (p - 2), expresión equivalente a la que aparece en la columna D al despejar p. DEMANDA, INGRESO TOTAL Y MARGINAL

El análisis teórico puede suponer a veces que el costo sea nulo y el objetivo empresario sería así transitoriamente maximizar ingresos totales (primer derivada nula y segunda negativa). En este caso, igualando a cero el ingreso marginal surge la cantidad X = 2,2 y los demás valores para ingresos totales y medios o demanda (la segunda derivada del IT sería -100, negativa).

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Se nota que la pendiente del ingreso marginal (-100) es siempre el doble que la de la demanda (-50), por el 2 que multiplica al derivar el cuadrado en el ingreso total. Más detalladamente aparecerán estos valores si se anotan las funciones según ilustra la celda B6, pero con un rango para X en decimales tan amplio como lo se desee: EXTENDER CÁLCULOS EN EXCEL Para ello Excel facilita la tarea, escribiendo solamente dos valores para X y para cada función; luego se pintan las dos filas y picando en el ángulo inferior derecho se extiende (arrastra) y se copian hacia abajo todo lo deseado (de este modo aparecen al graficar curvas del tipo funciones continuas en vez de estos ejemplos breves). ESTUDIOS DE DEMANDA Y MERCADO BAJO CUATRO CONTEXTOS

En microeconomía suelen comenzar estos estudios con el concepto de elasticidad de la demanda, respecto al precio (-%cantidad / %precio) clasificándolos en bienes típicos o atípicos; también respecto al ingreso (normales o inferiores) y respecto al precio de otro

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bien (sustitutos, complementarios, independientes), facilitando su caracterización en bienes de consumo perecedero; bienes de consumo durable; servicios reales y personales; insumos; equipos industriales. TIPOS DE BIENES, CONTEXTOS Y MÉTODOS

El estudio de mercado y demanda de estos tipos de bienes y servicios es variado, pero podrían agruparse sus técnicas según el contexto de referencia preferente: - contexto cierto (determinístico), para bienes de consumo, insumos y equipos - contexto aleatorio /probabilístico), para servicios, nuevos productos de consumo - contexto hostil, para la competencia monopolista - contexto incierto, si rigen contingencias, como en seguros u otras. Este criterio diferenciando contextos facilita la utilización de algunas de las así herramientas demandas bajo diferentes contextos, como para para otroscasos temasde diferentes a estudios de mercado: producción, stocks, duopolio, seguros y otros sobre toma de decisiones en la empresa. La estadística y otros aportan gran variedad de métodos para el análisis bajo estos contextos. Excel reúne buena parte de ellos en funciones prediseñadas, pero simplificando la aplicación de cada función o distribución según el caso, con ayudas incorporadas. El enfoque analítico tradicional, riguroso (en cuanto es mayormente simbólico) pero tan limitado e insuficiente al momento de llevar a la práctica los estudios encon la empresa si no existen que ordenadores, se ve ahora complementado estas herramientas, desde el plano instrumental permiten concretar los análisis a usuarios poco más que iniciados en estos temas.

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CAPÍTULO 2 CONTEXTO CIERTO

Se analizarán las variaciones en series individuales y la correlación (simple y múltiple) entre ellas. En las series individuales se estudian las series simples y las de frecuencias, para determinar sus principales medidas de posición y de dispersión (y los momentos absolutos y centrados). Además, en las series cronológicas interesa encontrar una función de tendencia, luego de depurarlas de componentes estacionales, cíclicos y aleatorios. ANÁLISIS DE VARIABLES INDIVIDUALES SERIES SIMPLES

Para el análisis de las series simples y de frecuencia se utilizará aquí como ejemplo hipotético, un supuesto estudio de mercado de fletes. Para esto se efectúa un análisis estadístico de las operaciones comerciales de importación argentina de soda cáustica, durante los doce últimos meses previos a abril 2003, analizando el mercado de transporte por camión para la firma Transportes Rutazul S. A. Esta empresa necesita evaluar la logística para atender el tráfico de sus clientes entre el puerto de Buenos Aires y las empresas importadoras de soda cáustica, ubicadas en el área metropolitana e interior de la provincia de Buenos Aires. La flota camionera a utilizar (cantidad de unidades chicas, medianas y/o grandes) dependería del nivel de los despachos involucrados, así como de la fluidez del movimiento y diversidad en magnitud de cada uno de estos envíos.

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Los datos fueron obtenidos en el INDEC hasta diciembre 2002 y en la Dirección Nacional de Aduanas para el lapso enero/marzo 2003, correspondiendo a la estadística del volumen de importación por la posición 2815.11.00 (soda cáustica) del nomenclador de comercio exterior. Se estudian las medidas de posición y las de dispersión, considerando los datos como series simples. A continuación también se analizan esos mismos datos conformando series de frecuencias al separarlos en tramos según el peso a transportar, incluyendo las medidas de posición y de dispersión así como los momentos absolutos y momentos centrados hasta cuarto orden. Paralelamente se utilizan diversas funciones prediseñadas de Excel confirmando las mediciones estadísticas; y se grafican cuadros que facilitan la toma de decisiones para la empresa de transportes. Los datos figuran en el siguiente cuadro (al cual se le han ocultado las filas 5 hasta 98 para simplificar esta presentación): nombre del importador y kilos importados en cada despacho en las columnas A y B.

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MEDIDAS DE POSICIÓN: MEDIA ARITMÉTICA: sumatoria sobre n; el cursor ubicado sobre la media aritmética muestra el cálculo en la solapa superior (=suma(B3:B100) / 100). MEDIA GEOMÉTRICA: raíz enésima del producto de n números. Ante números desiguales positivos resulta un promedio inferior a la media aritmética. Por ejemplo, con los números 2, 4 y 8 sería la raíz cúbica de 64 = 4 (menor que el promedio aritmético 4,67).

Calculada con logaritmos o con Excel puede ser una medida interesante en algunos problemas, no obstante que aquí carece de sentido.

: es +la1/4 MEDIA ARMÓNICA recíproca la media aritmética de ser los recíprocos: aquí 3 / (1/2 +1/8) = de 3,43. Esta medida podría útil para comparar las medias de esta muestra con, por ejemplo, otras de años anteriores. Excel la calcula mediante la función prediseñada que muestra la solapa.

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Otro ejemplo para PROMEDIOS Y MEDIDAS DE POSICIÓN:

Excel tiene en incorporadas alfabéticamente funciones para calcular la moda (valor más frecuente); la mediana (el valor o frecuencia intermedia de una serie “ordenada”) y para la media aritmética (promedio).

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La media aritmética es una medida afectada por el valor de sus datos extremos y también se utilizan otros promedios, como la media geométrica y la media armónica, siendo sus RELACIÓN es: media armónica < media geométrica < media aritmética En los casos de datos que se agrupan según una curva de frecuencia normal unimodal se cumple: media – moda = 3(media – mediana) Al escribir lo que aparece en B5 y anotar o pintar el rango de datos calculará la media, la moda, e igualmente para otras funciones: “=percentil(valores;percentil)” etc.

RELACIÓN ENTRE MEDIAS: La media geométrica de una serie de números positivos es menor o igual que su media aritmética, pero es mayor o igual que su media armónica. : En una serie ordenada de mayor a menor la mediana es MEDIANA el valor intermedio, el central (o la mitad de los dos centrales si la serie fuera par). Si por ejemplo, en otro caso fuera bueno que la serie variara uniformemente, la mediana indicaría si coincide con el valor intermedio; aunque aquí tiene poco significado.

En este ejemplo hay varios valores centrales así como la mediana con 25000 kilos. Además Excel confirma esta observación con la función prediseñada =mediana(B5:B102). MODA(O): Es el valor con mayor frecuencia: en este caso 25000 aparece 23 veces, mientras que el siguiente en frecuencia es 10000,

que soloprediseñada aparece 20 =moda(B3:B102). veces. Excel confirma esta observación con su función

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MEDIDAS DE DISPERSIÓN: VARIANZA: Es el cuadrado de la diferencia entre cada dato y la media, que se calcula en la columna D (al lado, en C, se muestra el cálculo). La media aritmética se calculó en C111. La diferencia entre cada dato y esa media figura en la columna D elevada al cuadrado. La varianza es la suma, en D103.

Excel tiene la =varp(B3"B102).

función

prediseñada

para

calcularla

con

Si no fuera una población sino solo una muestra Excel utiliza =var(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto. Para incluir los valores lógicos y de texto en una muestra Excel utili=vara(B3:B102) za , que asigna 0 a ylos valores lógicos y el texto Falso y asigna 1 a los valores lógicos el texto Verdadero.

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DESVIO ESTÁNDAR

En una población es la raíz cuadrada de la varianza / n, o sea, la raíz de (D105 /n). Excel utiliza la función prediseñada =desvestp(B3:B102) que omite los valores lógicos y el texto. Los incluye con =desvestpa(B3:B102). Para una muestra Excel utiliza =desvest(B3:B102), que omite los valores lógicos y el texto. Para considerar estos últimos utiliza =desvesta(B3:B102), que asigna 0 a los valores lógicos y texto Falso y asigna 1 a éstos cuando tienen valor Verdadero.

En este ejemplo se observó que siendo la media aritmética 40986,9 hay el gran desvío por 40119. Esto orientaría a pensar que, al ser un estudio es para una empresa de transporte de soda cáustica desde el Puerto hasta los depósitos en establecimientos, se debería prever camiones muy chicos y simultáneamente otros muy grandes, a fin de optimizar su logística, ya que hay gran desvío en el tamaño de los despachos. Si hubiera sido pequeño correspondería prever camiones uniformes, para el tamaño que indicara el modo(a), ya que todos los despachos serían parecidos en tamaño.

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DESVIACIÓN ESTÁNDAR- EN UNA POBLACIÓN:

Como otros ejemplos sobre dispersión de los datos, luego de calculada la media, interesa la desviación de los datos entre cuartiles. También puede interesar conocer la desviación media o promedio (sin signo, en %) de los datos luego de conocida la media.

La desviación estándar o típica “s” (kilos o unidades), cuyo cálculo es parecido en una población y en una muestra (con en vez de s). Se utiliza la raíz y el cuadrado: varianza “s2” ( 2 en muestras), también en kilos o unidades. El coeficiente de variación expresa esto en %. La desviación media es = 4/5 de la desviación típica. El rango semicuartílico es = 2/3 de la desviación típica. La media y desviación típica de esta población se calculan con Excel según se lee en este cuadro:

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Estas y otras funciones afines, disponibles con , también se las aplica al estudiar más adelante la "relación" entre dos o más variables. SERIES DE FRECUENCIAS

El análisis seriesSedeestudian frecuencias confirmará las observaciones con mediante series simples. las medidas de posición y de dispersión; también se efectúa un análisis mediante momentos absolutos y centrados. Ordenando la serie en forma creciente de kilos se pueden seleccionar intervalos de diversa amplitud, por ejemplo aquí de 11.440 kilos, para registrar en cada uno de estos deciles la cantidad de despachos, como frecuencia absoluta en (A) y en (B) la cantidad acumulada de éstos sumándolos.

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Ambas frecuencias pueden ser graficadas, en forma de barras unas (histograma o función de frecuencias) y en forma de curva continua o discreta pero creciente las otras (polígono de frecuencias acumuladas o función de distribución). Frecuencia Despachos Soda Cáustica 40 35 30 25 20 15 10

Frecuencia absoluta

5 0 0,01A 11.440

22881-3 4320

45761-5 7200

68641-8 0080

91521-1 02960

Intervalo Kilos

MEDIA ARITMÉTICA: El siguiente cuadro muestra como calcular la media efectuando las operaciones con una hoja de cálculo.

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Frecuencia Acumulada Soda Cáustica 120

100

80 lo a v r e t In

60

40

20

0 0

2

4 6 8 Intervalo Kilos (miles)

10

12

MEDIA GEOMÉTRICA: Igualmente, Excel muestra en la solapa el cálculo correspondiente, no obstante que en el ejemplo actual esta medida no sea significativa:

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MEDIA ARMÓNICA:

MEDIANA:

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MODA(O):

MEDIDAS DE ORDEN - "CUANTILES" CUARTILES: cada uno de los 4 intervalos en que fracciono la serie; se calculan como indica el cuadro:

DECILES: Cada uno de los 10 intervalos en que divido la serie, según se indica:

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PERCENTILES: Cada uno de los 100 intervalos en que divido la serie, según el siguiente ejemplo:

MEDIDAS DE DISPERSIÓN DESVIO ESTÁNDAR Y VARIANZA:

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ASIMETRÍA Y CURTOSIS Más adelante, al tratar funciones, se agregarán otras medidas de dispersión, como la asimetría (para indicar si una curva es o no simétrica respecto a un eje central) y la curtosis (para indicar la forma de una curva real más o menos achatada frente a una curva

normal u otra función teórica). MOMENTOS ABSOLUTOS HASTA SU CUARTO GRADO: MOMENTO 0:

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MOMENTO 1:

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MOMENTO 2:

MOMENTO 3:

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MOMENTO 4:

MOMENTOS CENTRADOS HASTA CUARTO ORDEN MOMENTO 1

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MOMENTO 2

MOMENTO 3

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MOMENTO 4

DESVÍO CUARTÍLICO

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VARIANZA MEDIANTE MOMENTOS

CONCLUSIÓN

Es usual incluir alguna conclusión tras un análisis de las series. En este caso se podría que los valores de media y varianza también muestran con series de frecuencias la elevada del tamaño de los embarques o despachos de soda cáusticadispersión a transportar. El estudio de cuantiles -cuartiles, deciles y percentiles- confirma la distribución atomizada en los primeros cuantiles, y gran concentración en los últimos. Mediante el análisis de los momentos también se confirmó la gran varianza de los despachos. La atomización simultánea a una gran concentración de despachos en usuarios masivos se confirma también mediante la gran asimetría que indica el momento central tres M3. Asimismo, el momento centrado cuatro M4 muestra la elevada curtosis, indicando que la distribución leptocúrtica de estos despachos responde a una ley que difiere profundamente de una distribución campanular normal tipo de Gauss, orientando hacia la decisión de

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prever simultáneamente un parque de unidades de transporte de tamaño reducido adicional a otras grandes para el tráfico masivo. ANÁLISIS DE UNA SERIE CRONOLÓGICA

Series de datos históricos, empíricos (discretos, discontinuos) cuya evolución puede incluir o no componentes aleatorios, efectos coyunturales y efectos periódicos, además de una tendencia. Una vez depurada la serie de los datos aleatorios y los efectos coyunturales y periódicos, su tendencia puede estimarse con el análisis de regresión de Excel, desarrollado más adelante. La variación periódica (horaria, semanal, estacional, etc.) suele representarse con índices base 100, dividiendo las medias periódicas por la media aritmética. Una variación coyuntural o cíclica es aquella que puede repetirse pero duración y forma diferentes a la yestacional; se detectan luegocon de dividir por los valores de tendencia de la estacionalidad. Puede haber además variaciones aleatorias, no explicadas por los ajustes anteriores; si no indicaran algo, podrían ser eliminables mediante una media flexible. Método de los promedios móviles: este método es recomendable para trabajar con la estacionalidad, aunque también se lo utiliza para averiguar la tendencia. Los promedios móviles son sucesivos y pueden ser o no ponderados.

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Dada una serie y (t), con t variando en períodos mensuales de N años se escriben los valores encolumnados y se forman promedios móviles de doce meses. Luego: Se divide cada valor srcinal por el promedio móvil correspondiente. Se forman los promedios de los meses. No existen variaciones cíclicas o aleatorias ya que éstos se compensan. Se expresan los valores obtenidos en porcentajes del promedio de los doce meses. Se representan los valores gráficamente de E(t) resultando la curva que expresa la variación estacional.

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Es conveniente trabajar con una cantidad par de años. Una vez obtenida la cantidad de años se repite la operación corriendo los sumandos y se vuelve a atribuir cada valor al valor del centro. Finalmente se obtienen los coeficientes de estacionalidad de cada bimestre: I=1.004; II=0,959; III=1.003; IV=0,991; V=1,102; etc. Tiene como propiedad que no existen variaciones estacionales y además que no altera los valores extremos, ya que suaviza lo central. CICLOS Método de los nueve puntos : Tiene por objeto aislar la componente cíclica de una serie de tiempo con datos mensuales cuando se trata en ciclos cortos de 3 ó 4 años. Los valores de la serie srcinal se deflactan de la componente estacional por el método de los promedios móviles en doce meses.

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Los datos sin componente estacional se dibujan tratando de establecer en el dibujo las ondas cíclicas, para lo cual se señalan los puntos mínimos y máximos relativos destacados, según se van encontrando al recorrer la serie. Las ondas se delimitan tomando valores mínimos consecutivos. Se asimila a una función sinusoidal. En cada onda se expresan los valores mensuales en porcentaje del promedio correspondiente a los valores de toda la onda. Cada onda se divide en nueve partes. En cada onda se promedian los valores correspondientes a cada una de las nueve partes resultando nueve los resultados representativos. Se promedian los valores correspondientes a cada onda de los valores de x y de y. Las ondas del ciclo promedio se dibujan conjuntamente con las srcinales para poder comparar los datos reales con los del ciclo promedio Se lo utiliza para períodos de 40 meses. Cada onda esta compuesta por las siguientes partes:

1°. son los tres meses centrados en el primer mínimo de la onda 5°. son los tres meses centrados en el máximo dela onda. 9°. son los tres meses centrados en el valle de laonda 2,3,4°. son sucesivos tercios del período de expansión comprendidos entre 1 y 5. 6,7,8°. son sucesivos tercios del período de contracción entre 5 y9.

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RELACIÓN ENTRE VARIABLES - SIMPLE (DOS V ARIABLES) AJUSTAMIENTOS Método de los mínimos cuadrados: se lo utiliza para averiguar la tendencia obteniendo los coeficientes a y b de una recta de regresión lineal.

Dada una serie cronológica y(t), con t=1,2,3...N, se trata de determina entre todas las rectas del plano y = at + b aquella que mejor ajuste la serie de valores empíricos. Es decir, determinar a y b de manera que se cumpla la condición. (a,b) = ((y(t) – at – b))² mínimo Se deriva parcialmente (regla de la cadena) en función de a y de b: / a = -2 (y(t) - a t - b)*t = 0 / b = -2 (y(t) – a t - b) = 0 ; por lo cual a

b

NΣ t y(t) NΣ t Σt

2

Σ y(t)

NΣ t

2

Σt Σt

Σ y(t) 2

Σ t y(t) Σ Σt

t

2

Si se tomaran valores centrados la sumatoria de t seria igual a cero. Entonces a y b quedaría como: a

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t y(t) t

2

b

y(t) N

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Así, Y = at + b =

t y(t) t

t

2

+

y(t) N

Al estudiar las series de frecuencias interesa especialmente conocer su media y su dispersión, las cuales son calculables mediante momentos obsoletos, con el para método largoelo cálculo el método corto o solo abreviado, centrando las series facilitar y trabajar con valores enteros y sus potencias, lo cual es especialmente útil cuando hay mas de 100 datos. COVARIANZA

La covarianza es el momento mixto centrado de primer orden. Es la sumatoria del producto de las x menos su media multiplicado las y menos su media; es decir que es el producto de los desvíos multiplicados de las dos series. Σ (x - mx) (y-my) = xy

DOS RECTAS DE REGRESION

Se obtienen utilizando el método de los mínimos cuadrados: con

a

t y(t) t

2

b

y(t) N

Y= a x + b primer recta de regresión X= a y + b segunda recta de regresión

Las variables cambian en las ecuaciones cuando se aplica el despeje en función de una o la otra, luego de aplicar el método de los mínimos cuadrados. Puede ser que no ambas tengan sentido, por ejemplo para alguna relación precio-cantidad demandada; pero en otros análisis ambas lo tienen.

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COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

El cociente entre la variación explicada a la variación total se llama coeficiente de DETERMINACIÓN. Si la variación explicada es igual a cero, es decir, la variación total es toda no explicada, este cociente es cero. Si la variación no explicada es cero, es decir, la variación total es toda explicada, el cociente es uno. En los demás casos el cociente se encuentra entre cero y uno; r 2 es siempre no negativa y se calcula como: r2

y

2

y-y

2

y

variación explicada variación no explicada

ˆ

Su raíz cuadrada, el coeficiente de correlación r varía entre –1 y 1, con signos + o - que se utilizan para la correlación lineal positiva y la correlación lineal negativa respectivamente. Nótese que r es una cantidad sin dimensiones, es decir no depende de las unidades empleadas. Si se supone una relación lineal entre dos variables, el coeficiente de correlación es: r

x x

x

x y

y

y

y

1/ 2

Ésta fórmula da el signo adecuado de r; se llama fórmula productomomento y muestra claramente la simetría entre x e y. Un r = 0,973 cercano a 1 permitiría decir que muestra una relación funcional perfecta directa (ambas series varían en igual sentido). Los datos representan lo que se estudia y a mediada que se cumple una de las variables la otra lo hace en el mismo sentido yproporción.

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ELASTICIDAD MEDIA O PROMEDIO

El concepto teórico de elasticidad de la demanda tiene aplicación práctica en la empresa, calculado como promedio serial. Teóricamente se estudia este cociente puntualmente (una cantidad y un precio), pero la toma de decisiones empresarias se basa en promedios calculados durante algún lapso razonable. Excel aporta aquí su ayuda: la elasticidad media se calcula estadísticamente como el producto de la pendiente de la línea de ajuste multiplicada por el cociente suma de precios/suma de cantidades: E media = b ΣP/ΣQ.

La pendiente del ajuste es el coeficiente angular de la línea de correlación precio-cantidad durante el período (1,008 en el gráfico) CORRELACIÓN – EN UNA POBLACIÓN

El coeficiente r de Pearson esta incorporado en Excel; indica valores entre 0 y +1 ó –1 para medir la relación entre una variable dependiente y dos (o más) variables independientes. Excel calcula la matriz de correlación y (si fueran varias) permite elegir los pares que presentan la correlación más alta mediante el análisis de regresión. Excel dispone de varias funciones alternativas para calcular la función de ajuste que minimiza los desvíos: correlación, tendencia, proyección, regresión, accesibles mediante su ayuda F1 o con el icono . Por ejemplo, con los datos de este cuadro: Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión

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Alternativamente, para utilizar separadamente algunas de las funciones (incorporadas en ) sería suficiente consultar ese listado y luego escribirla simplemente después del signo igual: "=pendiente(rango datos)", "=interseccion.eje(...)", "=coeficiente.R2(...)" para obtener los coeficientes de la línea de ajuste o correlación, que incluyen el coeficiente angular -1.008 que interesa para calcular la elasticidad media: -(-1.008 (36/35,9))=+1.01 (los rangos están indicados en la imagen sobre demanda de Y) DEMANDA COMO CORRELACIÓN PRECIO-CANTIDAD

Obsérvese en este ejemplo de la imagen que la variable independiente (precio) figura a la izquierda de la variable dependiente (cantidad) y ello corresponde al orden de las celdas del rango

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(B3:B10;C3:C10), así como al gráfico con cantidades en la abscisa y precios en la ordenada, usualmente aceptado. En casos de correlación sin término independiente –por el srcenpudieran presentarse imprecisiones, por la resta del término de corrección, en el cálculo de la determinación R2. CORRELACIÓN - EN MUESTRAS

Cuando se estudie la correlación en una muestra con estos mismas funciones Excel es necesario comprobar su representatividad estadística mediante la prueba "t". Véanse los ejemplos posteriores. Ya que los mismos instrumentos pueden ser utilizables bajo distintos contextos, en el enfoque progresivo de esta exposición se intenta explicar cada herramienta relevante presentándola conforme coincida con el ejemplo y cuadro específicos según el avance conceptual. EVALUACIÓN DE EXÁMENES

Supónganse la siguiente cantidad de aciertos en una evaluación, clasificados en función del grado de instrucción de cada consultado:

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N= T= X= X2 = 2 T / n=

4º grado

6º grado

3º Secundario secundario Completo

1 3 4 5

5 7 6 3

8 6 9 5

9 11 8 7

14 -

97 4 2

74 4 -

7-

6 18 3 68 54

8 43 5.38 269 213.13

7 43 6.14 287 267.14

5 42 8.4 364 352.80

n=26 T=146 X2/n=1462/26=819.85 X2 =988 2 T /n =902.07

ANÁLISIS DE VARIANZA Y COVARIANZA: Sumatoria de cuadrados ∑X2 - ∑X2/n (desvío – medias) = 988 –

819.85 = 168.15.

Suma de cuadrados intragrupos ∑X2 - ∑T2/n = 988 – 902.07 = 85.93. Suma de cuadrados intergrupos ∑T2/n - ∑ X2 = 902.07 – 819.85 =

= 82.22.

Resumen: Suma Cuadrados Intergrupos: 82.22 Intragrupos: 85.93

Grados libertad 3 22

Variancia F Snedecor ................ .................... 82.22/3=27.4127.41 85.93/22=3.913.91

Finalmente, 27.41 / 3.91 = 7.01 En la Tabla Distribución F, para 3grados de libertad horizontal (numerador) y 22 grados de libertad vertical (denominador; varianza menor) al 1% de significatividad indica 4,82, sensiblemente menor que 7,01 de la muestra.

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Se concluye que las diferencias educativas son relevantes en las respuestas de los encuestados y no surgen de alguna influencia ocasional entre ellos (copia, colinealidad). REGRESIÓN MÚLTIPLE ESTIMACIÓN DE DEMANDA SEGÚN CORRELACIÓN MÚLTIPLE PRONÓSTICOS:

La demanda de un bien suele tener como condicionantes a los gustos, cambios en el ingreso disponible, en el precio o en los precios de otros bienes complementarios o sustitutos. Cuando ya existen pronósticos sobre esas u otras variables independientes (calor; lluvia, turistas) es usual utilizarlos para estimar la demanda del bien en estudio (variable dependiente, venta de helados) efectuando correlación lineal múltiple entre aquellas y la demanda que seuna desea estimar (véase más adelante con Estimación Lineal) DISCOS DE FRENO PARA AUTOS

Igualmente con la demanda de discos de freno (Y) para autos, cuya demanda podría depender de la producción (y reparación) de autos, el nivel de los salarios y el del PBI (las X). Una vez anotados los datos históricos en B8:E16 Excel calcula la correlación con Herramientas >Complementos > Análisis de datos >Regresión

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Pide el rango para la variable Y; luego el rango para las otras variables; también pide una celda conde comenzará a emitir los resultados hacia abajo. En este ejemplo se le indicó A25 y los coeficientes del ajuste figuran en B39:B42. Esos coeficientes multiplican cada variable independiente (pronósticos conocidos) según la fórmula de la celda B18 (que también se indica en F17).

ANÁLISIS DE VARIANZA

¿Hay suficiente correlación entre las variables? ¿Serán todas las variables independientes suficientemente explicativas o influyentes? Excel calcula el estadístico F (104,5) y también su valor crítico. En este ejemplo el estadístico es mayor que su valor crítico, lo cual asegura que el resultado 97% implica una varianza intergrupos e intragrupos parcialmente aceptable y que el ajuste no es aleatorio o manifieste coalineación.

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Por otra parte, la tabla de distribución t Student para 6 grados de libertad y 95% de aproximación (5% error) muestra el coeficiente 1,94, que es menor que el valor indicado por Excel para la variable independiente X1 (3,099), asegurando que esta variable es significativa en la formación de la demanda de discos de freno de este ejemplo.

El coeficiente de determinación R2 indica en las regresiones simples el % de variabilidad explicada por la variable independiente. R2 ajustado se utiliza en las regresiones múltiples.

El error típico o estándar es la raíz cuadrada del cociente entre la suma de residuos al cuadros y sus grados de libertad (T-v-1). ANÁLISIS DE REGRESIÓN

Se utiliza el análisis de regresión y de varianza-covarianza para elegir con Excel cuales de las variables independientes son más adecuadas y mejorarían la precisión del ajuste entre la ecuación y los datos empíricos.

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Se busca evitar posibles errores por la existencia de eventuales vinculaciones entre algunas de las variables independientes entre sí (colinealidad). Conviene comenzar seleccionando las regresiones entre las variables que se sabe están más vinculadas e ir introduciendo otras que mejoren la regresión múltiple. ANOVA (en inglés ANÁLISIS DE VARIANZA)

Existen dificultades importantes para detectar la existencia de esa relación lineal molesta entre las variables independientes. Interesa asegurar la independencia o no asociación entre los atributos: dos grupos difieren entre sí cuando la varianza intergrupos es mayor que la varianza intragrupo (si no hay colinealidad). La proporción de estas dos medidas es la F de Snedecor

.

Comparando con el valor de la tabla de F por azar se observa si el F obtenido en el ANOVA es mayor, lo que indicaría que hay una diferencia entre grupos que es adecuadamente significativa. La tabla de la distribución F valora según los grados de libertad horizontal (numerador) y los grados de libertad vertical (denominador) para distintos % de significación; esto ya lo indican los coeficientes que calcula Excel simplificando así el análisis de varianza y covarianza. Los estadísticos T DE STUDENT calculados por Excel demuestran el TEST DE HIPOTESIS: comparando este ejemplo con la tabla de distribución Student para 95% de confianza se observa la significatividad del coeficiente de cada variable, conforme su “t” sea mayor

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que el valor de tabla, tal como se explico en este ejemplo para el 3,099 de la variable X1, aunque para otras variables es menor, indicando dificultades. MULTICOLINEALIDAD

En resumen, hemos visto varios indicadores para determinar la existencia de una alto grado perturbador de correlación entre las variables independientes. En los textos es usual la referencia a: - El método d e la relación entre t y R 2 , que consiste en o bservar las razones t y si no fueran significativas -y además el R2 es alto (mayor a 0,8)- indicarían multicolinealidad molesta.

- El método de la prueba F: haciendo regresiones de cada variable con las demás y observando si la relación entre F y R2 es mayor que en la tabla indicaría multicolinealidad. - El método de la matriz de correlación, formada por los coeficientes de cada variable respecto a las demás. El valor de su determinante es entre 0 y 1; cuando se acerca 1 indica poca multicolinealidad. - El método de los valores propios e índice de condición, que también implica fórmulas que no son necesarias en este resumen práctico, luego de la claridad y facilidad de los ejemplos aquí expuestos.

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ESTIMACIÓN LINEAL (MÚLTIPLE) VENTA DE HELADOS

Excel incluye la función "estimacion.lineal" que también permite ajustar una serie dependiente de una o varias variables independientes. Ejemplo, pronosticar la venta de helados, dependiendo de las estimaciones de temperatura, cantidad de lluvia y arribo de ómnibus con turistas para el próximo período. Se trata de encolumnar los datos históricos sobre ventas de helados y a su derecha las tres variables independientes. Luego pintar en otro lugar cuatro celdas para imprimir cada coeficiente más la constante y escribir "estimacion.lineal(rango helados; rango variables independientes)" y Ctrl+Shift+Enter. Con los cuatro coeficientes se controla o compara la aproximación del ajuste, armando la ecuación con F4 para los coeficientes y copiándola hasta el rango de de pronóstico F2:F14. En la pareciayuda F1 incluyeincluso Excel las características este ajuste en detalle, das a la regresión múltiple anterior.

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ESTIMACION DE FUNCIONES (REGRESION)

Hemos visto antes estimación de funciones para casos de “correlación” entre variables, simple (la teoría básica orientativa) y múltiple

(demanda de helados). En este caso, había una correlación entre la demanda de helados y el calor, la lluvia y los turistas, registrada por ejemplo en 30 períodos. Si el gobierno o los técnicos nos pronosticaban para el próximo período cual sería el calor, la lluvia y los turistas, Excel podía calcula en pocos pasos cual sería la próxima demanda de helados (por correlación múltiple, incluyendo el análisis de la varianza (ANOVA) y otras medidas para ver la bondad del ajuste. Pero hay otros casos, por ejemplo cuando proyectamos observando solamente la evolución histórica de algo (sea por ejemplo esta misma producción de helados) y según sea la tendencia registrada (regresión) en los últimos años también se intenta estimar cual puede ser la producción para el próximo período. El análisis de series es muy variado: tendencia, estacionalidad, ciclos, autocorrelación mediante etc. promedios móviles, Box-Jenkins, ARIMA, ARMA, ARMARO, Supongamos un caso de análisis de la tendencia (regresión) que pueda haber dado como resultado algunas observaciones muy frecuentes, como ser, este breve conjunto de cuatro ocurrencias preferentes sobre el par variables precio y cantidad, o fecha y cantidad, o cualquier otro par: 130 y 2.9; 160 y 3.8; 200 y 4.6; 230 y 5.2 (donde 130 es el precio o la fecha y 2.9 es la producción, etc.). Para pronosticar la producción (o lo que sea) disponiendo solo de estas pocas observaciones relevantes puede ser útil o necesario disponer de una función o ecuación que ajuste adecuadamente a este breve conjunto de datos. Entonces vamos a estimar una función de solo datos; luego se debería compararsufilos datospartiendo con lo que surjaalgunos de la estimación, siendo generalmente ciente ver a simple vista si el ajuste es perfecto, o bien recurrir al análisis paramétrico que proporciona la estadística.

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Análisis microeconómico con Excel

Dibuje los datos para elegir el tipo de función; haga varios ajustamientos para elegir el mejor; o bien busque ud.el “mejor ajustamiento” como se indica más adelante.

Excel incluye seis tipos de funciones: se pintan esos pares de datos; se Inserta un gráfico; de Dispersión. Con el botón derecho sobre los puntos graficados se puede Agregar línea de tendencia y tildar Presentar la ecuación en el gráfico (aparecen ahí 6 las funciones Excel para elegir: exponencial, lineal, logarítmica, polinómica, potencial, media móvil). AJUSTAMIENTO EXPONENCIAL CON EXCEL

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Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferencia, por que los datos no responden a una evolución exponencial (observe que aquí” e” es el número natural

o neperiano

2,7182818... (o de Euler, que se utiliza en la descripción de movimientos amortiguados, por que ex es similar a su derivada ) AJUSTAMIENTO LINEAL CON EXCEL

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Comparando Y con la estimación Y* se observa demasiada diferencia, por que los datos no responden a una evolución lineal (cero o una constante másnecesario otro número la variable a la potencia uno); es probar multiplicado con otro tipo por de ajustamiento. AJUSTAMIENTO LOGARITMICA CON EXCEL

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Este ajustamiento con una función logarítmica (logaritmo natural o neperiano) aproxima bastante, pero aun se ven diferencias importantes entre Y e Y*; conviene buscar otra función que ajuste mejor. AJUSTAMIENTO POTENCIAL CON EXCEL

El ajustamiento potencial muestra mucha diferencia éntrelos datos reales Y y los ajustados Y*; conviene buscar otro ajustamiento. AJUSTAMIENTO MEDIA MOVIL CON EXCEL

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Excel permite determinar el orden de los promedios, pero para el anterior ejemplo con tan pocos períodos no es posible o adecuado aplicarlo. Lo sería teniendo una serie mas larga. AJUSTAMIENTO POLINOMICA CON EXCEL

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Este polinomio no ajusta bien y es necesario buscar otro ajustamiento.cual Entonces, modelos de Excel no son aadecuados buscó sería el como mejor los ajustamiento preguntándole Findgraph.se “MEJOR AJUSTAMIENTO” CON “FINDGRAPH”

Si fuera el caso (como aquí) que este breve conjunto de solo cuatro observaciones históricas no quedara bien ajustado con alguna de esas seis funciones incluidas en Excel. Se vio al comparar estas observaciones históricas Y con las surgidas de las funciones estimadas Y* que no hubo una gran aproximación. Es entonces necesario recurrir a un programa estadístico más especializado que Excel para que él encuentre el mejor ajustamiento . Existen este caso docenas se probó decon ellos un (Eviews, “trial” del SSPS, FindGraph Matlab, (queDerive, dice incluir etc).500 En tipos de funciones) y el ajuste resultó perfecto, fácil y en pocos minutos, tanto para instalar el trial como para procesar la función (gracias a su archivo de ayuda).

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Desde Excel se Pintó y Copió el rango con los pares de datos, incluyendo los títulos X e Y (utilizar punto y no coma). Abrir el utilitario FIndgraphAy lapegar esos seleccionar datos con Edit y con verde Paste.Data Luego 4 veces Siguiente. izquierda el círculo From……

(cambia a blanco); arriba elegir Fit; luego Best Function. Luego 3 veces Siguiente y tildar todas las funciones deseadas o disponibles; luego Siguiente. Luego con Star calcula la función.

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Función: Copiarla a Excel como Y*para compararla con los datos históricos (corregirle comas por puntos; eliminarle espacios; reemplazar la notación computacional e-005 ó e-007 por su equivalente 10 elevado a la -5 y 10 a la -7; o sea 10^-5 y 10^-7; que hacen referencia al número natural e=2.7182818…).

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Con esta función ajustada Y* en la columna D se calcularon datos que son prácticamente iguales a los reales de la columna C (con millonésimos de aproximación en cada parámetro; de modo que no es necesario algún otro análisis paramétrico para confirmar la bondad del ajuste. Al menos mientras se mantengan las condiciones generales sin cambios drásticos, esta ecuación serviría para calcular nuevas producciones, copiando abajo los nuevos datos X y esa función Y* (col.D).

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CAPÍTULO 3 PROYECCIÓN Y PROGRAMACIÓN ¿CON SERIES, CON ECUACIONES, CON MATRICES O CON PROGRAMACIÓN LINEAL?

Hemos encontrado la correlación múltiple con varias variables independientes, eludiendo las dificultades por elegir alguna inadecuada entre éstas. Encontramos una ecuación, una función adecuada, que podemos utilizar para proyectar la demanda (pero ... solo si previamente alguien nos adivinara la futura magnitud de cada una de estas variables independientes). A un nivel teórico sería como resolver un sistema de ecuaciones identificables en la forma homogénea, en el cual no existan variables repetidas entre las ecuaciones. Una solución puede obtenerse a través de sucesivos multiplicadores de Lagrange; o también mediante la matriz inversa según Gauss. Otro forma alternativa sería plantear el problema de la correlación múltiple como una programación lineal Simplex. Excel también facilita todos esto análisis (sistemas de ecuaciones, matrices, Simplex / Solver) pero el más práctico y utilizado suele ser el aquí comentado para correlación múltiple.

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¿PARA QUÉ PROYECTAR CON CORRELACIONES?

Ante tantas dificultades, alguien puede además preguntarse: para qué tantas teorías (con sus problemas propios)?; ¿por qué no estimar directamente las unidades demandadas en el próximo periodo, en vez de hacerlo dificultosamente a través de la indirecta estimación de varias otras cosas? En realidad así suele ocurrir en la empresa. Se estima la cantidad, demanda empírica (lo real) sin teorías: directamente; también utilizando modelos de simulación de la demanda y oferta global (con ponderaciones surgidas de las ventas históricas por sector demandante y la evolución probable según el análisis macroeconómico coyuntural). También se estima la demanda empírica por analogía con la de otras localidades o países, por ejemplo al intentar imponer un nuevo producto en un mercado. Especialmente en los planes de inversión o pronósticos de largo plazo se suelen incluir varios de estos tipos de estudios simultáneamente (tanto empíricos como teóricos), para sumar opiniones y comparar alternativas o estadios razonable posibles. ANÁLISIS DE COYUNTURA PARA PRONÓSTICOS

El análisis macroeconómico de coyuntura suele ser muy utilizado en las estimaciones de demanda de las empresas, tanto para sus pronósticos de corto plazo como para justificar planes de expansión o inversión.

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Suponiendo, aquí, que el bien producido por una empresa se distribuye directamente en proporción igual hacia los sectores que conforman el producto interno bruto-PBI- (caso contrario se modifican las ponderaciones), la estimación de la demanda depende de las evolución prevista para cada sector de actividad En D3 se observa la ponderación del porcentaje previsto para 2003 y la participación relativa del sector agro. Con similar criterio para todos los sectores demandantes y del PBI involucrados puede obtenerse la variación de (4,01% la actividad y demanda este en bien, como un promedioestimada ponderado de aumento parade2003, el ejemplo ilustrativo).

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Existen algunos analistas de coyuntura y revistas especializados en pronósticos para cada rama industrial y sectores de actividad, de la oferta y demanda globales. Sus conclusiones resumidas suelen publicarse en la prensa; y en detalle se obtienen por suscripción, conformando uno de los instrumentos básicos de la estimación de demanda para las empresas (en forma paralela con otras formas de estimación y proyección comentadas). El instituto INDEC o Bureau of Census de cada país publica mensualmente y trimestralmente las variaciones reales por subsector, permitiendo analizar y proyectar con cierta seguridad. Sus informes sin desagregación están disponibles en algunos países por Internet y pueden comprarse allí otros con datos más desagregados. PROGRAMACIÓN NO LINEAL O LINEAL CON SOLVER DE EXCEL

La herramienta Solver Excel en no un lineal simple(según y potente mecanismo de programación, tantode lineal como se elija tildar en sus Opciones). Supóngase un ejemplo para optimizar una inversión en 3 títulos o acciones, que tienen las siguientes características:

Acciones “A” Acciones “B”

Precio $

Rendimiento anual $/acc.

Inversión posible

20 12

5 2

6000 2000

Acciones “C”

10 y optimizar 2 es $10000. 3000 El importe a invertir El planteo como programación lineal consistiría en maximizar la función objetivo sujeta a las restricción:

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Max. Z = 5(X 1) + 2(X2) + 2(X3) (precio por cantidad de cada acción) sujeto a: 20X1 + 12X2 + 10X3 ≤ 10000 20 X1 ≤ 6000 12 x2 ≤ 2000 10 X3 ≤ 3000 (siendo Xi 0)

En una hoja Excel se escribe el modelo separando cada importe y precio en celdas, para que la macro Solver pueda identificarlos:

Es decir, una fila para las cantidades a comprar; otra para los rendimientos de cada acción; y cuatro más para los precios y las restricciones.

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En la columna E, en E3, se ubicará la fórmula para la función objetivo: “=sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3)” que hace referencia a las

acciones B2:D2 que estimará Solver y multiplicará por los rendimientos B3:D3. Esa formula se copia hacia abajo en E5:E8. La columna F es para la restricción de inversión y de cada acción. Conviene salvar la hoja. Con Herramientas > Solver> se abre esta ventana. Pulsando el icono que hay en Celda objetivo permite arrastrar o anotar E3; igualmente con Cambiando celdas B2:D2.

Para las celdas de "Sujetas a las siguientes restricciones" pulsar agregar y se abrirá una pequeña ventana para que anote o arrastre a la izquierda una celda o rango; en el centro elija = o etc. y a la derecha anotar 0 o la celda restricción:

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Luego, con Opciones.... tildar Adoptar Modelo Lineal > y Aceptar para volver a la ventana principal Parámetros de Solver.

Pulsar Resolver > Utilizar Solución de Solver > Aceptar. Solver calculo ahí el rendimiento máximo $2267 (comprando 300 acciones A; 83 B y 300 C).

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SENSIBILIDAD

Además Solver brinda en la última pantalla, en “Informes”, la posib ilidad de un análisis adicional de sensibilidad, que permite observar si quedan recursos ociosos, precios sombra, costos de oportunidad y otros. Al activar “Respuestas”, o “Sensibilidad” y “Límites” guard a estos in-

formes en hojas adicionales fáciles de interpretar.

PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX

Típico ejemplo para maximizar los beneficios o la producción de una empresa: la inyectora de plástico Zonda, que produce mesas y

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sillas, en 3 talleres -carpintería, tapizado y empaque- con las siguientes restricciones: X1 ≤ 3 X2 ≤ 6 (... con X1 ; X2 0 ) 6X1 + 4X2 ≤ 36 FO: Maximizar Bj = 8X1 + 3X2 (dónde $8 y $3 son los beneficios en ambos productos) 1) Transformar a ecuaciones, agregando las variables de holgura (capacidad ociosa en cada sección) 1X1 + 0X2 + 1X3 + 0X4 + 0X5 = 3 0X1 + 1X2 + 0X3 + 1X4 + 0X5 = 6 6X1 + 4X2 + 0X3 + 0X4+ 1X5 = 36 2) Tabla 0: la primer línea de títulos es común para todas las tablas, con estas 9 columnas -Funcional (F); Variable (X); Recursos (R); X1...5 ;Variable Saliente (VS)- y puede omitirse en las siguientes tablas o pasos del cálculo si se ponen seguidas. 3) Conviene anotar los coeficientes de la función objetivo (F.O) o funcional, arriba de cada Xj de la primera línea encabezamiento, como una ayuda para calcular el punto 9. 4) En la columna X anotar las variables básicas que intervienen en cada cálculo o tabla. La primera solución (en el origen) solo incluye las variables de holgura (con nada producido todo son excedentes). Se suponen variables continuas, fraccionables. 5) En la columna Funcional van los coeficientes de las variables básicas en la F.O.. El valor que tiene en el funcional. 6) En la columna Recursos se anotan los recursos iniciales. Es el valor de cada variable X en este paso (tabla) del cálculo Simplex. En las próximas tablas irán los recursos utilizados para esa etapa (o solución de la frontera acodada).

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7) En X1 ... 5 se anotan inicialmente los coeficientes del sistema de ecuaciones; i filas, j columnas. Cada Xij indica cuánto disminuye el valor de la variables Xi por cada unidad de Xj que decida fabricar (o que sobre, si j fuera un insumo). O sea, cuánto disminuye el valor de Xi por cada unidad con que j entre valiendo a la base. 8) Conviene trazar rayas: tras la columna Recursos; tras la columna X5; y otra inferior. 9) Agregar una última fila, calculando cada X como: ( FiXi) – Bj 10) Variable que entra: el mayor negativo en la fila inferior (señalarlo). Se toma el mayor negativo por que mejora el funcional (mayor en valor absoluto). 11) Calcular la última columna VS como R / cada coeficiente en la columna de la variable que entra. 12) Variable que sale: el menor positivo en VS (señalarlo), ya que indica el valor con que la variable entra a la base y sale el menor (las variables no pueden ser nulas o negativas). 13) Pivote: intersección entre ambas señales. Remarcar el pivote: TABLA 0: F 00 0 TABLA 1

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X 3 X X4 X5

R 36 36

8 X1 01 6 -8

3 X2 10 4 -3

0 X3 01 0 0

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0 X4 10 0 0

0 X5 00 1 0

VS -3 < 6

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8 0 0 TABLA 2 8 0 3

X1 X4 X5

3 6 18

1 0 0 0

0 1 4 -3

1 0 -6 8

0 1 0 0

X1 X4 X2

3 1,5 4,5 37,50

1 0 0 0

0 0 1 0

1 1,5 -1,5 3,5

0 1 0 0

0 0 1 0

6 4,5<

0 -1/4 1/4 0,75

TABLA 1: 14) En la columna X cambiar la variable que sale por la variable que entra.

15) Anotar en la columna F el valor que tiene cada variable en el funcional. 16) Calcular la nueva línea del pivote como = línea pivote anterior / pivote. 17) En la columna del pivote completar con ceros (salvo el 1 del pivote). 18) Para calcular cada elemento restante observar los extremos del cuadrado con diagonal en el pivote: al número en la tabla anterior restarle la otra diagonal dividida por el pivote. 19) Calcula la última fila según (9). 20) Calcular la columna VS según (11). 21) Marcar la variable que entra (según 10) y pivote: la variable que sale (según 12); circular su intersección como nuevo TABLA 2:

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22) Repetir el calculo para la Tabla 1. Se llega al óptimo cuando una tabla tiene todo positivo en la última fila. 23) Los coeficientes R indicarán ahí las producciones; puede quedar algún recurso ocioso. El valor máximo B se puede anotar al final bajo R ( B = 8(3) + 3(4,5) = $37,50 ) y sobran 1,5 del recurso 2. Contribución marginal (precios sombra) o máximo a pagar por otra unidad: 3,5 y 0,75 para estos dos insumos que están en la ultima línea. Costo de oportunidad: si hubiera quedado alguna cifra abajo en las columnas de los productos X 1 ó X2 (indicarían que no se produce ese bien) sería el costo o pérdida si se decidiera producir lo que no conviene.

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Minimizar el costo de producción:

En los casos de minimización, el srcen de coordenadas no puede ser el paso inicial y se suponen costos muy altos para los insumos al solo efecto del paso / tabla inicial. Además de las variables reales y las slag (aquí con signo -) se agregarán las nuevas variables, artificiales (+) en el funcional y como columnas en las tablas para considerar esos altos costos. En la columna F de la tabla 0 inicial se anotan esos altos costos (por ej. M), continuando el proceso hasta obtener el precio de cada insumo que minimiza lo requerido para la producción de bienes dada, cuando todos los valores de la última fila sean positivos. Sin embargo, es más fácil calcular el primal, o sea, el dual del mínimo. DUALIDAD Todo caso normal de maximización implica uno de minimización y viceversa.

Como los cálculos para minimizar son mayores que para maximizar, debido a esos agregados comentados, es posible calcular el dual de un mínimo convirtiéndolo en un caso de máximo, al considerar los recursos disponibles como los coeficientes de las variables de un nuevo funcional y tomando los coeficientes de las filas del sistema de restricciones del mínimo como columnas para el sistema del máximo. Es decir, el dual tiene una variable por cada restricción del primal (y tiene tantas restricciones como variables hay en el primal). Solo se trata de que el funcional pasen a ser términos independientes y po-

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ner las filas como columnas (las desigualdades tendrán sentido inverso). Esto vale igualmente cuando en el primal hay mezcladas desigualdades contrarias: si alguna es negativa se le agregara una variable artificial tal como se dijo) Ejemplo: Min Z = 5X1 + 9X2 sujeto a

Su dual es:

-3X1 - 2X2 -6 5X1 + X2 10 X1 + 10X2 9 ( con X1; X2 0)

Max. B = -6Y1 + 10Y2 + 9Y3 Sujeto a: -3Y1 + 5Y2 + Y3 ≤ 5 -2Y1 + Y2 + 10Y3 ≤ 9 (con Y1; Y2 0)

2 variables y 3 restricciones pasan a ser 3 variables y 2 restricciones... Véase en cualquier texto, pero –precaución- no los mezcle, ya que si bien son equivalentes, cambian los pasos y su consideración de los signos. PROGRAMACIÓN LINEAL SIMPLEX CON SOLVER DE EXCEL FÁBRICA DE MESAS Y SILLAS ZONDA

Este mismo ejemplo está planteado en esta hoja Excel: se anotan las relaciones básicas, por ejemplo B7 = B5 por B6; C7=C5 por C6; D7=B7 más C7, D2 según indica la solapa, etc.

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Luego Herramientas >Complementos> Solver > y se abrirá este cuadro, que pide la celda objetivo D7, las celdas cambiantes B5:C5 y Agregar ...restricciones (orienta como agregar una a una en segundos).

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Finalmente Resolver y calcula la solución $37,5 de ingreso o beneficio o producción de 3 mesas y 4,5 sillas (es usual trabajar con beneficios en vez de ingresos menos costos). Además de Resolver, Excel ofrece ahí 3 informes adicionales: Respuestas (1,5 de capacidad ociosa en el Sector B). Sensibilidad (cuanto representaría una unidad más en las secciones A y C totalmente ocupadas). Límites (suponiendo alternativas). PRODUCCIÓN DE TV, ESTÉREOS Y ALTAVOCES

En el Office de Microsoft se incluye un archivo Excel, Muestras.xls, que incluye cinco ejemplos de aplicación de Solver en casos de programación lineal Simplex. En el primero se trata de optimizar o maximizar la producción de televisores, estéreos y altavoces/parlantes, en función de los beneficios que genera cada uno y las existencias de materiales en depósito.

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Ejecutando Herramientas > Solver> se abre una ventana que ya tiene incorporadas lasanteriormente). celdas objetivo,Con cambiantes restricciones (según se detalló Resolver y> de Utilizar la solución de Solver calcula los valores que aparecen en pantalla, 160 televisores, 200 estéreos y 80 altavoces, totalizando en D18 $14917 de beneficio máximo.

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PROBLEMA DE TRANSPORTE

La segunda muestra de Solver es sobre optimizar la distribución o transporte minimizando los costos, en función de las demanda de almacenes en cinco ciudades y las existencias en tres plantas regionales.

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En C8 a G10 están las celdas a cambiar anotando las demandas de cada ciudad (o pidiéndole a Solver que lo resuelva) y a su izquierda la suma total, que se compara con las existencias de B16:B18. Con Herramientas > Solver > se introducen las celdas que indica la imagen (tal como en los primeros ejemplos - Fábrica de Mesas y Sillas Zonda) y luego Resolver > Utilizar la solución de Solver (también se pueden pedir ahí los informes sobre Respuestas, Sensibilidad y Límites, comentados anteriormente).

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PLANIFICACIÓN DEL PERSONAL DE UN PARQUE DE DIVERSIONES

El objetivo de este modelo es programar el horario de los empleados de manera que se cuente siempre con suficiente plantilla al menor coste. En este ejemplo se paga a todos los empleados utilizando la misma tasa, de forma que al minimizar el número de empleados que trabajan cada día, también se minimizan los costos. Cada empleado trabaja cinco días consecutivos y dispone de dos días libres.

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Con Herramientas > Solver > se puede pedir que optimice la disponibilidad, minimizando el costo. Las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones se muestran en la siguiente imagen. La operatoria es similar lo detallo en los primeros ejemplos y en Fábrica de Mesas y SillasaZonda.

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MAXIMIZAR UNA INVERSIÓN EN BONOS

La ayuda que trae Excel en esta muestras dice lo siguiente: Determinar cómo invertir los excedentes de efectivo en certificados de depósito a plazo fijo de 1, 3 y 6 meses, de modo que se aumenten los ingresos por intereses al tiempo que se conservan fondos suficientes para cubrir los gastos (más un margen de seguridad). Una de las funciones de un directivo gerente financiero es el manejo de dinero líquido y de las inversiones a corto plazo de forma que se maximicen los ingresos por intereses, a la vez que se mantienen fondos disponibles para poder hacer frente a los gastos. Es preferible la flexibilidad que proporcionan las inversiones a largo plazo que las altas tasas de interés de las inversiones a corto plazo. En este modelo se calcula la liquidez final en base a la liquidez inicial (del mes anterior), la entrada de flujo financiero debida a los plazos de los certificados de depósito, la salida de flujo financiero motivada porpara la compra de nuevosmensuales certificadosdedeladepósito y el dinero necesario las operaciones organización. Puede tomar hasta nueve decisiones: las cantidades a invertir en certificados a un mes entre los meses 1 al 6, las cantidades a invertir en certificados a tres meses entre los meses 1 al 4 y las cantidades a invertir en certificados a seis meses en el mes 1.

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Nuevamente, la optimización se consigue con Herramientas > Solver > identificar las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones como muestra la siguiente imagen. Luego Resolver > Utilizar la solución de Solver (también se pueden pedir en este último paso los tres informes sobre Respuestas; Sensibilidad; Limites) La operación básica se detalló anteriormente y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda.

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OPTIMIZAR UNA CARTERA DE VALORES-ACCIONES

El ejemplo de Excel propone hallar la ponderación de acciones en una cartera de valores rentable que permita incrementar la rentabilidad para un determinado nivel de riesgo. En esta hoja se utiliza el modelo de índice simple de Sharpe. También se puede utilizar el método de Markowitz si existen términos de covarianza. Uno de los principios básicos en la gestión de inversiones es la diversificación. Con una cartera de valores variada, por ejemplo, puede obtener una tasa de interés que represente la media de los flujos financieros de los valores individuales, a la vez que se reduce el riesgo de que un valor en concreto dé un mal resultado. Al utilizar este modelo, puede utilizar Solver para obtener la dotación de fondos en valores que minimice el riesgo de la cartera de valores para una tasa de flujo financiero dada o que maximice la tasa de flujo financiero para un tipo de riesgo conocido.

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Esta hoja de cálculo contiene los números (riesgo relativo al mercado) y la varianza residual de cuatro valores distintos. Además, la cartera de valores incluye inversiones en Deuda del Tesoro, para las que se asume un riesgo de flujo financiero y de varianza de 0. Inicialmente, cantidades iguales (20 por ciento de la cartera de valores) se invierten en cada valor del mercado.

Utilice Solver para probar las diferentes dotaciones de fondos en los valores y Deuda del Tesoro para maximizar el flujo financiero de la cartera de valores para un nivel específico de riesgo o para minimizar el riesgo para una tasa de flujo financiero específica. Con la dotación inicial del 20 por ciento, la cartera de valores devuelve un 16.4 por ciento y la varianza es del 7.1 por ciento. Con el procedimiento detallado en los ejemplos iniciales aparece la ventana para ubicar las celdas objetivo, cambiantes y para restricciones, como en los demás casos; pero la ayuda Excel es explícita,

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abriendo el archivo muestra.xls o (muestras.xls), incluido en el CD del Office.

VALOR DE RESISTENCIA PARA UN CIRCUITO ELÉCTRICO

Finalmente, la sexta muestra que incluye este archivo de Excel se refiere a un caso técnico, de otra índole: Hallar el valor de la resistencia en un circuito eléctrico que emitirá una descarga equivalente al uno por ciento de su valor inicial en una vigésima de segundo desde el momento en que se mueve el interruptor.

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Este modelo presenta un circuito eléctrico que contiene una batería, uninterruptor interruptor,enunla posición condensador, una resistencia y unconecta inductor.con Con el de la izquierda, la batería el condensador. Con el interruptor a al derecha, el condensador conecta con el inductor y la resistencia, los cuales consumen la energía eléctrica. Por medio de la segunda ley de Kirchhoff se puede formular y resolver una ecuación diferencial para determinar cómo la carga en el condensador varía con el tiempo. La fórmula relaciona la carga q[t] con el tiempo t, con la inducción L, la resistencia R y la condensación C de los elementos del circuito. Utilice Solver para del escoger un Lvalor para resistencia R (dados los valores inductor y el apropiado condensador C)laque emitirán la carga a un uno por ciento del valor inicial en una vigésima parte de segundo después de haberse presionado el interruptor.

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La operatoria básica del Solver y opciones es similar que lo ya explicado en los ejemplos iniciales y en Fábrica de Mesas y Sillas Zonda. Cabe aclarar que si bien la razón de este trabajo fue suplir la ausencia de ejemplos resueltos con Excel para las múltiples aplicaciones microeconómicas; pero no es el caso de estos seis ejemplos de Solver, suficientemente explicativos en el archivo muestra que ya incluye Excel. MATRICES Y DETERMINANTES: MATRIZ INSUMO-PRODUCTO

La inversión de matrices es utilizada para calcular la repercusión total del proceso de relaciones intersectoriales en un grupo empresario (al igual que en un país). Supongamos un grupo empresario que produce acero y autos.

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Para hacer acero son necesarios autos y viceversa, para hacer autos hace falta parte de ese acero (incluso hace falta acero para hacer acero y autos para hacer autos), por lo que estos requerimientos intermedios aumentarán los valores finales a producir más allá de lo que se pretenda vender al exterior de acero y de autos. El método de Gauss-Jordan permitiría invertir esa matriz fácilmente si fuera de 2x2. Se la resta de la matriz unidad (o idéntica); se le acopla otra matriz unidad a la derecha y mediante operaciones elementales se la traslada hacia la izquierda, de modo que la matriz de coeficientes directos se transformó así en algo un poco mayor: coeficientes directos más indirectos (totales). Al multiplicarla por las demandas finales deseadas indicará los requerimientos o producciones totales. Los les. requerimientos de insumos son los coeficientes intersectoriaLa venta externa o demanda final es un objetivo a establecer (aquí 360 acero y 110 autos). La producción total es el producto de la demanda externa o final por la matriz inversa de esos coeficientes intersectoriales, o requerimientos directos más indirectos (600 acero y 180 autos) Excel permite trabajar sin limitaciones de rango y rápidamente: en G2:H3 se restaron ordenadamente los coeficientes a la matriz identidad. En A6:B7 se calculó la matriz inversa de esa resta: pintando el rango A6:B7 y escribiendo =minversa(G2:H3) y pulsando Cntrl+Shift+Enter por ser un rango.

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Igualmente para multiplicar eso por la demanda externa: se pinta el rango G6:G7 y se escribe Mult.(A6:B7;E6:E7) y se pulsa Cntrl+Shift+Enter. Queda ahí la producción total a obtener para los requerimientos directos externos más los indirectos intersectoriales.

MATRIZ DETERMINANTE Por otra parte, Excel también tiene incorporada la función “md eterm(A1:C3)” que calcula el determinante de la matriz NxN, simpl e-

mente anotando esta expresión en una celda y el rango del determinante:

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EQUILIBRIO GENERAL DE PRODUCCIÓN-INTERCAMBIO

Suponga un modelo de dos sectores de producción, caracterizado por las relaciones intesectoriales según la siguiente matriz de insumo-producto: 4/6

2/6

1/ 6

2/6

A

En la cual los requerimiento de factores capital y trabajo para producir dos bienes son: X= mín(C, T) e Y = min(1/6C, 1/2T). Las dotaciones de la economía son 260 unidades de capital C y 120 unidades de trabajo T. La función de utilidad es del tipo multiplicativo, indicando las preferencias similares por el consumo final de ambos bienes: U = xy. La producción de ambos bienes deberá satisfacer las demanda finales x e y, así como los requerimientos intersectoriales intermedios, según la matriz de coeficientes técnicos que indica la matriz insumoproducto inicial.

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Restando la matriz A inicial a la matriz unitaria se obtiene la matriz "I-A" que figura en E6:F7; la matriz inversa de ésta se calcula como lo indica la imagen en H6:I7.

Dada la función U=xy se definen intercambios por M=$120. Resolviendo las condiciones de primero (punto de giro, igualando a cero las primeras derivadas) y según grado (determinante Hessiano=36, positivo) indican demandas finales por x=10 e y=10, que en función de los precios para ambos bienes totalizan ese importe.

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Multiplicando la matriz inversa por las demandas finales (o externas) se obtienen las producciones globales necesarias para cada bien (consumo final más intermedio) X = 60 e Y = 30.

Multiplicando las restricciones H3:I4 por las producciones finales C13:C14 se obtienen los requerimientos de factores utilizados (y comparando con las dotaciones se observa que T=120 esta plenamente ocupado, mientas que C=240 implica 20 ociosos.

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MATRIZ INSUMO-PRODUCTO ARGENTINA 1997

La MIP permite cuantificar el incremento de la producción de todos los sectores, derivado del aumento en la demanda final de uno de ellos en particular. Ofrece una descripción detallada de la ruta que siguen los bienes y servicios hasta llegar a la demanda final. La MIP brinda a los empresarios la posibilidad de evaluar la participación relativa de su empresa en el total de una determinada rama de actividad, con sus consecuentes posibilidades de expansión de mercado. Además, las empresas conocen cual es la distribución sectorial de sus ventas normales y ponderando, pueden cuantificar los impactos directos e indirectos en la producción como consecuencia de cambios en la demanda final de cualquier sector, tanto sean expansiones o reducciones de empleo. Conforma asíy la MIP un instrumento para la proyección de su demanda análisis depreciso mercado (que en Argentina es ahora posible incluir dentro del conjunto de las herramientas consideradas en este trabajo inicialmente).

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INDEC publicó en 2003/04 la MIP 1997 que registra la estructura productiva argentina actualizada a los cambios de política económica aperturista de los años 90 (el otro estudio, hecho por el Banco Central R.A. 30 años antes correspondía a otra tendencia económica, desarrollista pero todavía con incipiente expansión industrial) Las empresas suelen utilizar para sus proyecciones de demanda diversas valiosas encuestas y estudios parciales publicados por INDEC y al comparar con esta MIP les otorga un marco de consistencia que permite encuadrarlos y corregirlos

Pero además del pronóstico de demanda y análisis de mercados, la MIP también posibilita estudios diversos, como por ejemplo medir las consecuencias de cambios en las reducciones de desempleo por

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expansiones en la actividad de la construcción de obras públicas o privadas. También es útil para evaluar las repercusiones de alteraciones en el comercio exterior, midiendo la demanda directa e indirecta de importaciones de todos los sectores. También permite el análisis del tipo de insumos que requerirá la expansión de exportaciones en algún sector.

La MIP también permite determinar el efecto en el nivel general de precios como consecuencia de la modificación de algunos de los precios sectoriales o de sus tasas tributarias. Para el análisis energético de cada sector la MIP permite calcular los contenidos directos e indirectos de los diferentes productos o sectores. Asimismo es posible el análisis del medio ambiente al relacionar las fuentes de contaminación y datos sobre emisiones en términos con los cuadros insumo-producto, calculando el contenido físicos de contaminación de la demanda final.

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Los estudiantes de microeconomía tienen a su disposición esta MIP 1997 en el INDEC, pero también pueden utilizar sus cuadros desde los site del curso. Matriz Insumo Producto 1997 - ARGENTINA CONTENIDO Matriz Insumo Producto 1997 (Publicación completa formato PDF) Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato XLS) Matriz Insumo Producto 1997 (Matrices Reducidas formato PDF) Clasificador de Actividades Clasificador de Productos Matriz de oferta a precios básicos Matriz de utilización a precios de comprador Matriz de utilización a precios básicos Matriz de importaciones a precios de CIF Matriz de gastos de nacionalización de las importaciones Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos importados Matriz de márgenes de transporte de carga de los productos importados Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos importados Matriz de márgenes de comercio minorista de los productos nacionales Matriz de márgenes de transporte de los productos nacionales Matriz de impuestos netos de subsidios sobre los productos nacionales Matriz simétrica de insumo producto Matriz de coeficientes de requerimientos directos (o de coeficientes técnicos) Matriz de coeficientes de requerimientos directos e indirectos de producción Matriz de requerimientos directos e indirectos y multiplicadores de empleo Matriz de generación del ingreso y puestos de trabajo INDEC

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CAPÍTULO 4 CONTEXTO ALEATORIO TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Según Pierre de Laplace, la teoría matemática de la probabilidad no es más que el sentido común aplicado a los cálculos, en situaciones que no son conocidas con certeza, o que sólo responden a una opinión o aserción con reserva. Inicialmente la teoría se desarrolló en conexión con la solución a problemas de los juegos de azar, pero luego se aplicó al análisis de los problemas demográficos, económicos y estadísticos en general. Es usual leer que las primeras nociones relevantes sobre la teoría de la probabilidad correspondieron a los matemáticos Pascal y Fermat, no obstante que en aquel momento el filósofo francés Compte (1798-1857) consideró como "una vergonzosa aberración científica" aquellos análisis "no determinísticos" para resolver problemas de cuestionables juegos de azar. Si embargo, posteriores aportaciones de Gauss cimentaron estos conocimientos conformando una sólida rama de la "ciencia del azar"; con importantes aplicaciones a los fenómenos económicos, además de a la biometría, a la astronomía y a la estadística en general, después de los aportes de Santiago Bernoulli (1654-1705), que desarrollo un célebre teorema que permitió estructurar el cálculo de probabilidades como una disciplina orgánica. A principios del XIX varios trabajos de Laplace completaron los análisis de Bernoulli, impulsando la estructuración definitiva de esta disciplina, a la que se sumaron luego aportaciones de Possion, Gauss y otros, vinculando esta teoría con los diversos campos de la ciencia comentados inicialmente.

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PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIONES

Un aspecto fundamental de la metodología estadística reside en determinar si una distribución de observaciones se debe al azar o no. Por ello resulta interesante conocer determinados modelos estocásticos/probabilísticos, construidos a priori: distribuciones. Interesa explicar como se plantean y qué son las pruebas de significación, con significación en sentido opuesto al azar; tal que si una prueba resulta significativa implica que el resultado de la misma es muy poco probable que se haya dado por azar, y viceversa. Un planteo presupone que las observaciones correspondientes a cada una de las variables son "independientes" entre sí, es decir, que no se afectan mutuamente para presentarse en las experiencias (puede ocurrir un hecho ocurriendo o no el otro) Se precisa el concepto de probabilidad con tres criterios: - se define el frecuencia valor numérico de de probabilidad cero y unocomo la relativa ocurrencia:-siempre o sea, laentre frecuencia absoluta sobre cantidad total de observaciones. Se obtienen conclusiones empíricas, basadas en las observaciones. - un segundo criterio considera la probabilidad como el cociente entre los casos favorables sobre los posibles; siendo este punto de vista muy útil para obtener leyes a priori, tal como la probabilidad de sacar cara o cruz con una moneda. - el tercer criterio apunta a verificar un modelo a priori o a construir un modelo empírico. Si N es una cantidad numerosa de observaciones de una variable y f es el conjunto de observaciones pertenecientes a una misma categoría, se define el valor numérico de la probabilidad de obtener una observación perteneciente a esa categoría en el conjunto de observaciones de la variables como la frecuencia relativa "a la larga" de las observaciones que pertenecen

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a una categoría dada. Es decir que no suministra un valor exacto sino solo un valor aproximado del mismo. Laplace aportó tres leyes que definen las propiedades matemáticas de la probabilidad: - Haciendo N ensayos no es posible tener menos de 0 éxitos ni más de N éxitos, entonces la probabilidad tiene necesariamente un valor numérico que oscila entre 0 y 1. - Probabilidad simple (suma). Si dos hechos A y B no pueden ocurrir simultáneamente, la probabilidad de obtener A o B es igual a la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B (la probabilidad de obtener 3 o 5 con un dato es 1/6 + 1/6 = 1/3) - Probabilidad compuesta (multiplicación). Dos o más hechos que se presentan juntos: la probabilidad de obtener A y B es el producto de la probabilidad de uno por la de probabilidad condicionada de obtener el otro: P(A) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B) Las distribuciones son construcciones quesesedeben utilizan para interpretar si los hechos concretos de ala priori realidad o no al azar. Entre estos modelos estocásticos o probabilísticos se destacan la distribución binomial y la distribución normal. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Suponiendo un universo con la variable en observación clasificada en dos categorías y se considera favorable (r) la obtención de una de ellas, que a priori tiene una probabilidad p dada. Si además interesa formar conjuntos de N elementos, en los cuales la probabilidad de obtención favorable varia entre 0 y N, es posible formar un modelo estocástico a priori que informa la p(r) según J. Bernouilli: P(r) = N! /r!(N - r)! . Pr .qN-r

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ESPERANZA MATEMÁTICA

Si la variable aleatoria solo puede tomar un conjunto finito de valores enteros -como el número de hijos de una familia por ejemplo, o caras de un dado, etc.- es una variable discreta, no continua. En estos casos la distribución de frecuencias puede trasformare en una distribución de probabilidad. La media aritmética de una distribución de probabilidad es la esperanza matemática: el valor esperado E(x) que se obtiene sumando el producto de cada uno de los valores en que puede darse la variable por su probabilidad (en una lotería de 1000 números a $1 que ofrece un premio de $750, la esperanza es E(x) = 0,749 - 0,999 = = -0,25: un mal negocio para un jugador). DESVIACIÓN TÍPICA

El equivalente de la desviación standar o de la variancia para una distribución de probabilidad es ζ = [ E(x 1/2) - (E(X))1/2 ]1/2. DISTRIBUCIÓN NORMAL Cuando N tiende a infinito la gráfica de las ocurrencias deja de verse como de barras y toma la apariencia de una variable continua (campana), representada por una función matemática desarrollada en 1773 por De Moivre y paralelamente por Laplace y Gauss: y=

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1 x M 2

e

2

que varía entre 0 y 1, siendo e y pi constantes conocidas.

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DESVÍO REDUCIDO

Utilizando x (minúscula) para indicar la transformación del srcen corrido hacia la media de la distribución, tal que la media srcinal se transforma en 0 y además se expresan todas las medidas con desvíos respecto a su media, o sea, x = X-X (X sombrero o media) Así la unidad de medida se transforma en términos de desviación standar, o puntaje standard, denominado "desvío reducido" y simbolizado con z en muestras grandes: Z= X-X /ζ = x/ζ DISTRIBUCIÓN NORMAL ACUMULADA

Es la suma de casos de cada intervalo más todos aquellos que están por debajo del mismo: una distribución de frecuencias acumuladas. Cuando se usan clases de intervalo muy numerosas y de módulo chico,secon la frecuencia deconstantemente estos intervaloscreciente como valores acumulados obtiene una función de x: una curva en forma de S conocida como ojiva (la integral de la curva de distribución normal). USO DE TABLAS Y DE LAS FUNCIONES INCORPORADAS EN EXCEL

Cuando se conoce N, la media X y ζ para una distribución es pos ible calcular por ejemplo, la cantidad o porcentaje de individuos locales entre dos puntajes, o por encima, o por debajo de un puntaje dado de esa distribución. No es necesario realizar todos los cálculos en cada caso; basta consultar las tablas o bien utilizar las funciones incorporadas en Excel. En la tabla de distribución normal interesa la primer columna y la primer fila, con los valores de puntaje reducidos de x en la fila y

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las dos primeras cifras de ese puntaje en la columna; la fila la segunda y tercera del mismo. Aplicaciones usuales de estas tablas son por ejemplo, determinar el porcentaje de casos que caen entre dos límites dados en una distribución normal. También, encontrar los límites de cualquier distribución normal que incluyan un porcentaje determinado de casos (problema inverso al anterior). Otro ejemplo de aplicación es clasificar un grupo total en subgrupos de acuerdo con el aprendizaje o la aptitud para una materia; también determinar la dificultad relativa de las preguntas de un examen o de los item de un test; etc. Excel trae ayudas incorporadas para éstas y muchas otras distribuciones (aproximadamente 10 ó 15 más); si bien no presenta ejemplos para su interpretación concreta de cada caso, tal como figuran en los textos técnicos, resultan un complemento perfecto para la aplicación práctica de este análisis. REGLA O TEOREMA DE BAYES Supónganse 6 cajas conteniendo 100 unidades cada una. En 4 hay 8 unidades falladas en cada una; en las otras 2 hay 20 falladas en cada una.

Elegir una unidad implica bastante riesgo de que sea fallada (calculable, pero con resultado aleatorio). Por una parte, si hay 4 cajas con 8 falladas, el primer cálculo indica una probabilidad de 4/6 (ó 66%) de obtener una de ellas; pero se corre el riesgo de sacar de una caja peor con 20 falladas, cuya probabilidad es 2/6, ó 33%. Sin embargo, este riesgo de elegir una unidad fallada podría reducirse algo si existiera la posibilidad de poder extraer y ver una uni-

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dad de una caja, ya que las fallas en una de las convenientes son 8/100): La probabilidad compuesta de elegir una caja con 8 se multiplicaría por la de elegir una unidad fallada esa caja. Casos favorables sobre casos posibles: P = 4/6 (8/100) / [ 4/6 (8/1000) + 2/6 (50/100) ] = 0,053 / 0,053 + 0,166 = 0,24 (el 33% se redujo a 24% de riesgo que salga fallada).

Excel calcula probabilidades seleccionando con el ícono bien, escribiendo directamente: =probabilidad(fallas;probabilidad;límite inferior;límite superior)

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o

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ANÁLISIS COMBINATORIO. Reglas de conteo

Para el cálculo de la probabilidad puede ser difícil efectuar el conteo de los casos favorables y del número total de casos posibles. Regla de conteo 1: si cualquiera de los k eventos mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos, diferentes, puede ocurrir en cada uno de los n ensayos, el número de resultados posibles es Kn. Lanzando una moneda 4 veces el número de resultados es 24 = 16; lanzando un dado 2 veces el número de resultados diferentes sería 62 = 36.

Regla de conteo 2: si hay k1 eventos en el primer ensayo, k2 en el segundo, ... y kn en el n=ésimo ensayo el número de resultados posibles es (k1) (k2) ... (kn). Si la patente de los autos fuera compuesta por tres dígitos seguidos por dos letras el número total de patentes sería (10) (10) (10) (26) (26) = 676000.

Regla de conteo 3: Los arreglos de diferentes formas en que se pueden ordenar n objetos es factorial de n (n!); se define 0! como 1.

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El número de formas en que se pueden ordenar 4 objetos es 4! = (4) (3) (2) (1) = 24.

Regla de conteo 4: Las permutaciones posibles al ordenar X objetos extraídos del conjunto Y, aunque se repitan en otro orden, es: Y! / (Y - X)! Utilizando la función factorial de Excel se calculan las permutaciones posibles al ordenar 3 objetos extraídos de un conjunto de 4 son: 4! / (4 - 3)! = 24.

PERMUTACIONES

Excel también incluye la función permutaciones: los subconjuntos de 2 objetos que pueden obtenerse contando con 4 son 12 (aunque se repitan en otro orden, tal como 43 y 34, etc.).

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Regla de conteo 5: las combinaciones posibles para ordenar X objetos tomados del conjunto, tal que no se repitan en otro orden al tomarlos, es igual a Y! / X! (Y-X)! Las combinaciones posibles para ordenar 4 objetos tomados de a 3, tal que no se repitan en otro orden, son: 4! / 3!(4-3)! = 4

COMBINACIONES

Las combinaciones diferentes de 4 elementos tomados de a 2, sin repeticiones, también pueden calcularse con la función "combinat" de Excel:

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DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En contexto aleatorio también se estudia la media ( ), la varianza ( 2) y la desviación típica ( ) , además de la curtosis, sesgo y la desviación media. La distribución binomial (Bernoulli) se utiliza en los casos en que los ensayos son independientes y solo puede haber la posibilidad de éxito o fracaso, la probabilidad de éxito es constante en todo el experimento (caso contrario se utilizaría la distribución acumulada) y un número fijo de pruebas. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de obtener 4 caras al lanzar una moneda 8 veces: en un lanzamiento la probabilidad de éxito sería 0,5 (50%); entonces Excel la calcula para 8 veces en 27,3% activando esta función al escribir en A1 =distr.binom.(4;8;0,5;falso):

La notación “falso” corresponde a la densidad de probabilidad y no acumulada. DISTRIBUCIÓN NORMAL

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Calcula la probabilidad de un valor aleatorio dado en series grandes. Cuando N es grande y la probabilidad de éxito p y la de fracaso q no están próximas a cero entonces coincide la distribución binomial con la normal de Gauss (...con Np y Nq > 5) Excel incluye varias funciones para estudiar esta distribución. Un suceso que se distribuye normalmente con una media 25 y dispersión 8 tiene una campana ubicada en el primer cuadrante, centrada en la abscisa 25.(abarcando desde 0 y 50) y ordenada 1. La función distribución normal indicará la probabilidad de que la campana abarque cualquier valor igual o inferior al deseado. Para el valor de abscisa 40 la probabilidad del área para todo valor hasta 40 es 96,9%.

Una campana de Gauss con media 0 está centrada en la ordenada. Si la abscisa abarca aprox. entre –3 y +3, para un desvío de 1 el área acumulada a la izquierda de 1 es 84,13%; para un desvío de 2 el área es acumulativa babilidad 97.72% y si )elesdesvío 99.86%) es 3 el área a la izquierda ( o pro-

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PRUEBA Z

La prueba z indica la probabilidad de que un valor pertenezca a una población: se calcula mediante la tabla de distribución normal o bien con Excel, anotando el rango de las muestras de esa población, el valor a averiguar y el desvío estándar (aunque si se lo omite Excel toma los el desvío estándar de los valores del rango de las muestras). La prueba Z devuelve el valor P de dos colas de la distribución normal y permite evaluar la probabilidad de que una observación determinada provenga de una población específica. Su sintáxis es PRUEBA.Z(matriz;x;sigma), donde Matriz es la matriz o rango de datos frente a los que se ha de comprobar x; X es el valor a comprobar; sigma es la desviación estándar (conocida) de la población. Si se omite, se utiliza la desviación estándar de la muestra.

La Distribución Norma de Gauss considera comportamientos constantes, con poca probabilidad al principio y hacia el final: la distribución tipo campana simétrica:

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VIDA ÚTIL DE UN PRODUCTO

La vida útil de un producto está calculada en 700 horas, según la distribución normal con un desvío estándar de 185. Para averiguar la posibilidad de que falle dentro de las 900 a 800 horas sería: de uso el cálculo de la probabilidad acumulada con Excel =distr.norm(900;700;185;verdadero) e indicará 86%. =distr.norm(800;700;185;verdadero) e indicará 71%. La diferencia 86% 75% = 11% es la probabilidad de fallar si al producto se lo utiliza entre 900 y 800 horas (la notación “verdadero” co rresponde a la probabilidad acumulada).

En las muestras mayores de 30 grados de libertad también se utiliza la distribución normal o de Gauss (en las muestras grandes coincidiría la distribución de Student con la normal). MUESTRA DE 200 ARANDELAS

Ejemplo: una muestra de 200 arandelas tiene diámetro 0,502 mm, con desviación típica 0,005mm. El estándar de rechazo es de 0.496 a 0.508mm ¿Cuál es el % de rechazadas si la producción se distribuye normalmente?

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z= (0.496-0.502)/0.005 = -1,2; y z= (0.508-0.502)/0.005 =+1,2 El área de la curva normal tipificada en z entre –1,2 y +1,2 es dos veces el área z=0 y z=1,2, o sea: 2(0,3849) = 0.7898 = 77%. Hay el 23% de defectuosas. Los valores pueden consultarse en las tablas de distribución normal o directamente escribir en Excel las funciones correspondientes que figuran en estas imágenes (o utilizar la ayuda para seleccionar en Funciones Estadísticas).

MUESTRA DE 100 TUBOS FLUORESCENTES

En otro ejemplo, la duración media de una muestra de 100 tubos fluorescentes es 1570 horas, con una desviación típica en la muestra de 120 horas. Si la duración media de todos los tubos producidos por esta empresa es =1600 horas (con desconocida) se busca comprobar la hipótesis nula que los tubos de la muestra difieren de la producción normal de esta fábrica, con una significación del 95% y del 99%.

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Corresponde un ensayo bilateral, ya que intervienen valores mayores y menores que 1600 horas y se utiliza la curva normal, tipificada en z. Z se estima como: z = (1570-1600)/ (aquí desconocida) Se adopta el criterio de suponer como aproximación que la muestral [igual a 120/(100)1/2=12] sea como la de la población, de modo que z= (1570-1600)/12 = -2,5 por lo que se rechaza la hipótesis nula ya que la z de la media muestral esta fuera del rango –1,96 a +1,96. TEORÍA DE LAS COLAS

Casos como los de atención en mostrador, en los cuales la disposición de servicios implica tanto un costo como posibles beneficios, por evitar deserción de clientes ante tiempos excesivos de espera. La decisión depende de: - la aleatoriedad en la llegada de clientes - la aleatoriedad del tiempo requerido para la atención de cada uno. Si no hay ninguna constante y las llegadas son aleatorias se utiliza la distribución de POISSON para determinar la probabilidad “rara” de desatención.

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En cuanto al tiempo requerido para la atención de cada uno, se suele utilizar la distribución exponencial por que es conceptualmente coincidente con la anterior. SIMULACIÓN DE MONTECARLO

Un revendedor de aparatos sabe que tendrá fluctuantes suministros y clientela; supóngaselos según las siguientes probabilidades de recepción y venta, por lo cual necesita diagramar sus instalaciones y accionar futuro: a) Suministro mensual de equipos para la venta previsto: Cantidad de equipos mensual: 1 2 3 4 Probabilidad de recepción: 0.04 0.23 0.3 0.23

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5 0.2

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En una urna se preparan 100 papeles, anotando los números 1 a 5 en esa proporción anterior: 4 con 1; 23 con 2; 30 con 3, etc. Eligiendo 12 al azar se obtendría uno para cada mes del año, y podría tomarse como el suministro para la venta: E F M A M J J A S O N D 1 3 2 3 1 3 4 3 5 1 1 2

La selección al azar con urnas es laboriosa. Excel simplifica esta tarea mediante Herramientas > Análisis de Datos > Generación de Números Aleatorios > Discreta e indicando que seleccione un número del rango A2:B6 indicado para los 12 meses necesarios en C2:C13, según se ve en la imagen: luego, Herramientas > Análisis de datos >GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

b) Por otra parte, la empresa sabe que recibiría mensualmente la siguiente cantidad de clientes según estas probabilidades:

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N° de compradores: Probabilidad:

0 0.1

1 0.1

2 0.15

3 0.3

4 0.15

5 0.1

6 0.1

Utilizando el Análisis de Datos Excel > Generación de Números Aleatorios, etc. (o bien poniendo en una urna 100 papeles con estos números de compradores según esas probabilidades) se podrían obtener 12 para la recepción mensual de clientes: E F M A M J J A S O N D 2 3 6 0 5 3 4 1 3 0 4 3 c) La empresa también tiene registrada la probabilidad de que un cliente compre efectivamente: N° de clientes que compran: Probabilidad:

0 0.4

1 0.3

2 0.25

3 0.05

Con este mismo Análisis de Datos de Excel (o repitiendo en una urna con 100 se papeles las cantidades queposibles comprancompras según estos porcentajes) podríacon obtener al azar las para cada uno de los posibles cliente de cada mes según b): E F M A M J J A S O N D

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1)2 1)0 1)2 1)1 1)1 1)1 1)2 1)0 1)2 1)2

2)0 2)1 2)0 ----2)2 2)1 2)0 2)2 --2)0 2)0

3)1 3)1 3)0 3)0 3)2

4)3

5)0

4)2

5)1

6)1

4)3

3)1 3)1 3)1

4)1

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Por consiguiente, según las pruebas al azar, calculadas en el método de Montecarlo con Excel (o con las urnas), el resultado sería: a) Suministro c) Ventas E F M A M J J A S O N D TOTAL29

1 3 2 3 1 3 4 3 5 1 1 2

37

2 2 7 0 6 2 6 2 3 0 4 3

-8

Saldo

-1 1 -5 -3 -5 1 -2 1 2 1 -3 -1

En esta simulación habría un saldo de –8 (suministro insuficiente). Surgió del rigor de una selección al azar. Sin embargo, hay que aclarar que si se repite la simulación con nuevas pruebas al azar seguramente el resultado sería otro. Una posibilidad es entonces efectuar numerosas pruebas al azar (con Excel) y observar los resultados posibles hasta que se estabilicen, para luego adoptar alguna decisión sobre las instalaciones y facilidades necesarias. Excel facilita larga tarea: es necesario una planilla anotando los 100esta números, repitiendo cada unoarmar las veces que corresponda en un cuadro de 10 por 10. Luego se encolumnan en A1 hasta A100. En B1 se escribe la fórmula “=aleatorio()”, copiándola hasta

B100 con una macro que elija solo en el rango A1: A100.

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Seguidamente desde B1 se ordena la lista de la columna B utilizando el icono del botón A-Z. Cada vez que se apriete el botón A-Z, el número que ocupe la celda A1 será el elegido al azar por Excel, respetando la proporción necesaria para la simulación; igualmente para los números para los 12 meses del año, etc.

TAMAÑO DE LA MUESTRA

Una forma técnica de calcular el tamaño n de la muestra (¿30 simulaciones necesarias?) sería calcular la varianza del resultado para una cantidad de, por ejemplo 1000 simulaciones, y medir la varianza. Si la distribución es normal y con un nivel de confianza de orden del 5%, se calcula la prueba Z de la distribución normal; y con el

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error absoluto (e) que se admita aceptable se calcula el tamaño de la muestra (n) n = Z2 ( ζ2) / e2 De todos modos, con posterioridad a los estudios y a lo que se implemente, la realidad seguramente será otra. Pero una planificación como esta puede representar alguna ventaja racional en aquellos casos en que no existe otra fórmula posible de previsión. PROGRAMACIÓN DINÁMICA

CADENAS DE MARKOV Procesos estocásticos (aleatorios) con variaciones discretas a lo largo del tiempo. Supóngase un estudio de dos marcas, tendiente a establecer la penetración del mercado con cada una, conociendo las proporciones actuales de cada marca A 60% y B 40%, así como cuántos clientes estarían dispuestos a cambiar hacia la otra marca: El producto A tiene 90% de clientes firmes y 10% estaría dispuesto a cambiar hacia B; en el producto B hay 95% de clientes fieles y 5% de clientes que estarían dispuestos a pasarse hacia A. Estas proporciones pueden disponerse en forma de una matriz [C] de fidelidad, en la cual A11 es la posibilidad de que un cliente de A continúe en A; A12 es la posibilidad de que un cliente de A se pase a B; B22 son los clientes de B que continúan en B; y B21 los clientes de B que se pasarían hacia A.

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En H3 se muestra el producto de la participación inicial de clientes A 60% y B 40% por la matriz de fidelidad, de modo que al final del primer año la participación ha cambiado hacia A 56% y B 44%. Se utilizó la función "=MMULT(PARTICIPACIÓN;FIDELIDAD)" Para establecer el proceso dinámico es necesario efectuar el producto {[0,60 0,40] [C]}n en los años posteriores. Repitiendo este producto con los nuevos clientes de cada año por la misma matriz de fidelidad (obsérvese en H3 que fue fijada como referencia absoluta con $D$2:$E$3 mediante F4) se copia hacia abajo durante n períodos, hasta que las proporciones se estabilizan en 1/3 y 2/3 (en este caso A) 0.34 y B 0.66 desde el año 21. Cadenas de Markov absorbentes

Un laboratorio estudia casos excluyentes de salud o muerte (E y F) después de una serie de tratamientos sucesivos y periódicos, para

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una muestra con 60% de enfermos leves y 40% de enfermos graves. Se observaron los resultados en el primer y siguientes períodos, según este resumen: E F E 1 F 0 Grupo 1 0.2 Grupo 2 0.05 Tratamiento Inicial

1 2 0 0 1 0 0.1 0.6 0.15 0.15 Tratamientos siguientes

Estado inicial [P

Q] = [0.60

0 0 0.1 0.65

0.40]

La probabilidad final de enfermos curados después de un tiempo indefinido de tratamiento es: 0.60 0.40 * [I - A]-1 *

0.20 0.05

Siendo "l" matriz unitaria; y A =

entonces [I - A] =

0.40 0.15

0.60

0.10

0.15

0.65

0.10 0.35

;

;

con la proporción de curados en el primer año 0,20 y 0,05; 0.20

de modo que [0.60 0.40] * [I - A] *

0.05

= 0.52

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(se esperan 52% de pacientes sanos, luego de los tratamientos sucesivos y periódicos). En una hoja Excel se anotan los datos en A2 hasta G3; en I2:J3 se resta la matriz unitaria menos la matriz A, ordenadamente celda a celda; en L2:M3 se calcula la matriz inversa pintando las cuatro celdas y escribiendo con Ctrl+Shift+Enter lo que indica el visor (cuando esta pintado un rango de celdas la máquina agrega a la fórmula una llave inicial y otra final "{...}" ).

la matriz En la fila 3inversa se anotó de ellosconcepto tratamientos de fondo: por multiplicar el vector de la muestra cura inicial. por Pero procedemos en dos partes: en la primera multiplicamos la muestra por la matriz inversa de tratamientos, según se ve en D6 (previo pintar las cuatro celdas).

En segundo lugar, multiplicamos el producto anterior por el vector de cura inicial, como se indica en el visor de G6.

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El 52% de pacientes de la muestra serán curados, después de los tratamientos.

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CAPÍTULO 5 MUESTREO

Mediante muestras es posible la estimación estadística de la media y la varianza de la población. Esta estimación será insesgada o no según que la media y varianza de la muestra sean iguales a las de la población. Si dos muestras tienen iguales media y una tiene menor varianza que la otra se dice que ésta es un estimación más eficiente. Las pruebas de significación usuales son: hipótesis de nulidad; prueba estadística; nivel de significación; distribución muestral; zona de rechazo; decisión sobre la prueba. Conviene distinguir la estimación en estima de puntos y estima de intervalos. La estima de puntos dirá que el peso es 4 kilos. La estima de intervalos dirá 4 kilos + o – 0,1, o sea, peso entre 3,9 y 4,1 kilos. Hipótesis nula (Ho): por ejemplo, que un método o algo, no es mejor que otra cosa. Se distingue el error de tipo uno (rechazar algo verdadero) del error de tipo dos (aceptar algo erróneo).

En cuanto a la significación de los ensayos admitiendo algún porcentaje de error, se explica -al 95% o al 99%- que entre las muestras y la población no difieren las medias ni las proporciones o desviación típica.

Existen varios tipos de muestreo: al azar simple; al azar sistemático; estratificado (al azar, proporcional o no proporcional); conglomerados al azar; no probabilístico o directo, etc. Interesa la selección de

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la muestra, su tamaño y la varianza de las muestras y de la población. ENSAYOS CON UNA Y DOS COLAS

Con una cola es para cuando se compara si un proceso es mejor que otro. De dos colas es para cuando se pregunta si el proceso es mejor o peor que el otro. El tipo de muestreo más importante es el muestreo aleatorio. Se numeran los elementos de la población. Se extrae solo uno, elegido al azar, i; se conforma una muestra eligiendo los elementos que ocupen los lugares i; i+K; i+2k; etc. tomándolos de k en k (con alguna corrección si casualmente existiera una periodicidad constante k en la población) Los resultado se someten a error muestral e intervalos de confianza, que varían de muestra a muestra y según se calculen al principio o al final. La diferencia entre un estadístico muestral (los de posición y de dispersión vistos) y su parámetro poblacional correspondiente dan la idea del valor que se obtendría con un censo en vez de con las muestras. El tamaño de la muestra dependerá del tipo de muestreo, del parámetro a estimar, del error admisible, de la varianza poblacional y del nivel de confianza del caso. Las poblaciones homogéneas tienen poca varianza y necesitan muestras menores. El error muestral es la diferencia entre el parámetro o medida sobre la población y el estadístico o medida en la muestra.

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El nivel de confianza es la probabilidad de que la estimación se ajuste a la realidad, siguiendo una distribución normal o bien de Student, según el caso. NÚMEROS ALEATORIOS

Excel tiene funciones para aplicar al análisis aleatorio. En el cuadro figuran el cálculo de números aleatorios: escribiendo en A1 “=aleatorio( )” los entrega como decimales cada vez que se recalcula con F9.

Si se desea calcular números aleatorio entre 700 y 800 se escribirá en A2 „=aleatorio.entre(700;800)” y los calculará cada vez que se

recalcule con F9.

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PEQUEÑAS MUESTRAS DISTRIBUCIÓN STUDENT

Esta distribución es aplicable para muestras pequeñas (entre 3 y 30 grados de libertad) cuando no se conoce la desviación estándar de la población pero sí la de una muestra. En vez del z de la distribución normal se utiliza t; y en vez del utiliza el ŝ.

se

La prueba t indica la probabilidad de que dos muestras sean de poblaciones con igual media. Cuando el valor calculado –para los grados de libertad y % de confianza del caso- es menor que el de la tabla bilateral se concluye que la diferencia entre medias es por azar, no significativa. MUESTRA DE 10 ARANDELAS

Una máquina produce arandelas de 0,050mm de diámetro promedio. En una muestra de 10 hubo 0,053mm de promedio, con una desviación típica de 0,003mm. Ensayar la hipótesis de que la máquina funciona bien para un 97,5% de significación. Se trata de un ensayo bilateral, con t = (x-μ)/s (N-1)1/2 t = (0.053 – 0.050)/ (10-1)1/2 = 3 valor que es mayor al 2,26 que aparece en la tabla de distribución Student para 9lagrados libertad y 97,5% de que significación, lo que se acepta Ho; dede modo que se concluye la máquinapor esta funcionando mal.

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Comprobamos con Excel, modificando los valores de la muestra, en la imagen cercanos a 0,053 en promedio; también ponemos en la segunda fila producciones normales de la maquina como 0,053 en todos los casos.

Es evidente que el resultado debe ser que la muestra indique que la maquina funciona bien (ya que casi todos los valores son parecidos a 0,053...). En la celda A3 hacemos la prueba t con Excel: muestra que hay un 79,76% de probabilidad favorable: A3 con “=prueba.t(rangomuestra1; rango 2°muestra;2 colas;tipo3”

(el tipo 3 corresponde a muestras con distinta varianza; tipo 2 si son muestras con igual varianza; tipo 1 si es sobre observaciones de pares). PRUEBA X2 (DE ASOCIACIÓN ENTRE DOS VARIABLES Y DOS O MÁS MUESTRAS)

Mide el promedio de la diferencia cuadrática relativa entre la frecuencia observada y la frecuencia teórica esperada. La prueba X2 permite observar el % de confiabilidad de que una serie teórica sea como otra real, escribiendo en B11 lo que figura en esta imagen; un alto porcentaje indica que el ajuste teórico es ade-

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cuado para representar los datos empíricos (o una muestra representa a una población, etc.)

La prueba CHI.INV(probabilidad;grados) compara los resultados observados con los esperados (muestra con población) para ver si la hipótesis srcinal es válida. Comparando el valor calculado con el de la tabla X2 -para los grados de libertad y el % de significación del caso- se puede observar que las variables no son independientes cuando el valor calculado sea mayor que el de tabla. Ejemplos: MUESTRA DE 162,4mm PIEZAS cuya altura tiene de TORNEADAS desviación típica.

¿Toda la producción tiene esa desviación respecto del promedio?

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No se tiene la desviación típica de la población, pero sí la de la muestra, entonces se usa chi2:

Con 95% de confiabilidad, los límites izquierdo y derecho de la distribución chi2 son: 2,4 (16/5.24)1/2 = 1,83, izquierdo; y 2,4(16/2,5) 1/2 = 3,84, derecho. Para esa confiabilidad con límites 97,5% y 2,5% -y con 16 grados de libertad- la tabla muestra “el cuadrado” de 5,24 y de 2,5 -28,8 y 6,9(igual que en Excel, anotando como se ve en A11 y B11):

Entonces, la producción habitual tendría una desviación típica en su altura media de 1,83mm a 3,84mm, según un nivel de confianza del 95%. MUESTRA DE 200 BOMBITAS que tienen una desviación típica de 100 hs. en su duración.

¿Será esta la desviación típica en la duración promedio de toda la producción? Si la tabla no mostrara 199 grados de libertad se utiliza Excel: Medimos los extremos con 95% de confiabilidad: izquierdo: 100(200/12.7)1/2 = 111.3 hs derecho: 100 (200/15,5)1/2 = 91.2 hs.

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(Excel muestra los cuadrados de 12,7 y 15,5 respectivamente: 161,8 y 240, en A16 y B16).

Igualmente si se trabajara con una confiabilidad del 99%: Izquierdo: 100(200/15,9)1/2 = 88,9 horas. Derecho: 100(200/12,2)1/2 = 115,9 horas (Excel cuadrados de 12,2 y 15,9 respectivamente: 151,4 y 254,1muestra en A20 los y B20) Se puede afirmar con 99% de confiabilidad que la producción normal de bombillas en esta fábrica tiene una desviación típica entre 88,9 y 115,9 horas respecto al promedio. SALIERON 115 CARAS y 85 CRUCES

se observó luego de lanzar 200 veces una moneda. Se puede afirmar que la moneda esta bien hecha? X2 = (115-100)2 / 100 + (85-100)2 /100 = 2,25 + 2,25 = 4,5

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La tabla chi2 para k-1 grados de libertad (2-1=1) y 95% de significación indica 3,84 o ver (con Excel en A25). Como 4,5 es mayor que 3,84 no puede afirmarse que la moneda este mal hecha. Pero al 99% de significación la tabla indica 6,63 (con Excel ver B25), que es mayor que 4,5. Entonces, no puede afirmarse con gran seguridad que la moneda esté bien construida, ya que probablemente este mal hecha.

EL KILO DE GUISANTES DE MENDEL

fueron clasificados y en su muestra de 556 se encontró: 315 lisos amarillos; 108 lisos verdes; 101 rugosos amarillos; 32 rugosos verdes. Concluyó en la idea que ese año la cosecha posiblemente guardaría la proporción 9+3+3+1=36, algo diferente (y que para 556 representaría 104.25; 104.25; 104.25 y 34.75 respectivamente). ¿Es razonable aceptar la idea de Mendel para la cosecha? Para k-1=3 grados de libertad y al 95% de significación la tabla X 2 indica 7,81; mientras que al 99% de significación indica 11,3.

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Según los valores de la muestra se tiene: X2 (315-312.75)2 / 312.75 + (108-104.25)2 /312.75 + (101-104.25)2 /312.75 + (32-34.75)2 / 312.75 = 0,470 Como 0,470 es menor que 11,3 y 7,81 no se puede rechazar su idea (sin embargo, dado que la tabla al 5% indica 0,352, menor que 0,470, cabe aclarar que hay cierta influencia de error muestral).

BONDAD DE UN AJUSTE

Lanzando una moneda1000 series de 5 veces se registraron las siguientes presentaciones de cara en cada serie: 38:0 (38 veces de canto); 144:1 (144 veces una cara); 321:2; 287:3; 164:4 y 25:5. Un ajuste binomial estableció la siguiente ley de formación:

0.0332 0.1619 0.3162

Frecuencia esperada 33 162 376

Frecuencia observada 38 144 342

0.3087 0.1507 0.0294

309 151 29

280 164 25

Caras

p{x caras

0 1 2 43 5

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Para efectuar la bondad del ajuste se calcula X 2 : X2 = (38-33.2)2 /33.2 + (144-161.9)2/161.9 + (342-316)2/316 + (287308.7)2 /308.7 + (164-150.7)2 /150.7 + (25-29.4)2 /29.4 = 7,54 Comparando con la tabla para 4 grados de libertad (6-1-1) indica 9,49 al 95%, o sea, un ajuste muy bueno (pero indica 0,102 al 5%, un ajuste malo).

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CAPÍTULO 6 TEORÍA DE LA DEMANDA Teorías de la demanda y sistemas económicos

Las empresas estudian la demanda, básicamente la demanda de las personas. Pero para ello es necesario explicar la naturaleza de este acto; y existen tres teorías económicas que lo intentan, abarcando la filosofía del comportamiento humano individual, social, político y de la propia organización de los estados y sus gobiernos. Durante milenios hasta el presente, las naciones de todos los continentes han tenido diversos sistemas políticos; pero sus sistemas económicos presentaron numerosas constantes: Existencias de leyes, un estado encargado de mantener el orden social y administrar lo necesario para el bienestar general: efectuar actividades básicas como caminos, puentes, hospitales, escuelas, defensa territorial, seguridad de las personas y defensa del derecho de propiedad privada, asegurar el abastecimiento y normalidad en los mercados, cobrar impuestos, regular y garantizar un balance de divisas que asegurara el poder de importaciones, etc. Aristóteles en el S III a.c. escribió sobre los precios del mercado, reconociendo que dependían de las necesidades del comprador y de los costos del productor. Santo Tomás de Aquino, en el S XII (Summa Theológica y Summa para Gentiles) tradujo ese estado natural de cosas según Aristóteles en uno de los postulados del cristianismo: justicia conmutativa (justo precio para las transacciones en el mercado) y justicia retributiva (justo salario para el trabajador).

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Pero a mediados del siglo XVIII ocurre en Inglaterra la revolución industrial: el maquinismo, la revolución de los cercados, campesinos desposeídos que forman la naciente clase asalariada, etc. surgiendo la formación de excedentes exportables de productos industriales, para ubicarlos en las ciudades europeas, americanas, etc. Política, ardides, corrupción, invasiones; cortarle un dedo a los niños hindúes para que no compitieran hilando, etc. fueron diversos instrumentos utilizados para conseguir mercados. Pero interesa comentar aquí el importante aporte de contar con unas nuevas ideas para ayudar esos esfuerzos: las "teorías" (en rigor, cualquier cosa que ayude a convencer). La escuela moral escocesa pensó una nueva filosofía para explicar la conducta humana, económica y el bienestar general, oponiéndola a la idea cristiana de la justicia conmutativa y distributiva. Para A. Amith, J. Benthan, D. Ricardo y otros escoceses, todos las personas actuaríanel guiados el egoísmo. El principio hedónico -procurar siempre máximo por beneficio con el mínimo esfuerzogarantiza que una especie de mano invisible (los precios libres) mantenga los mercados competitivos y en equilibrio, conduciendo al máximo bienestar general, ya que el Estado evita la formación de monopolios y conductas no transparentes. La propiedad privada es una idea natural en los sistemas económicos de la humanidad; pero el libre comercio en los mercados era una nueva idea (una teoría, que no coincidía con el orden natural tradicional). Algunos épocanoyaevita vieron que esta idea teórica puede nopensadores ser realista de si ellaestado eficientemente esas conductas no transparentes. Sobre todo, en 1848 el austríaco C. Marx escribió El Capital, alertando que la libre competencia lleva en sí el germen del monopolio.

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Agregó además que el beneficio empresario o plusvalía, era en el fondo un salario pretérito del trabajador y correspondía entonces la propiedad estatal de los medios de producción, con planificación estatal de las actividades y mercados (otra nueva teoría, totalmente contraria al orden natural tradicional). Los economistas reconocen que competencia y monopolio son dos modelos teóricos extremos, mientras que en la realidad los mercados se desenvuelven en una gama intermedia de competencia, imperfecta. Situaciones de competencia incontrolada pueden llevar a excesos (Argentina, Rusia, en los años 1990). También un estatismo a ultranza conduciría al fracaso de la URSS (si bien cabe tener en cuentas que Gorbachov, en la Perestroika perseguía particularmente una "transparencia política", más que económica, para terminar con la ola de asesinatos políticos en aquel régimen). En resumen, tenemos tres ideas de sistema relevantes (el históricamente tradicional mundial, el liberaleconómico y el marxista). Al nivel de teorías económicas, dos relevantes: la marxista, novedosa, contraria a la historia mundial sobre la propiedad privada; y la liberal, a fin con la historia sobre la propiedad privada, pero no así en su idea del libre comercio, salvo con su cláusula teórica de un estado fuerte que controle efectivamente la formación de monopolios y conductas no transparentes que lesionen la competencia pura. Bajo la evolución del pensamiento económico en aquella época, explicar la naturaleza de los precios de mercado implicaba considerar la demanda y la oferta. Pero liberales y Marx admitían una gran influencia del costo de producción en la determinación de los precios. Estos clásicos prestaban poca importancia a la escasez, las necesidades y la demanda.

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Equilibrio de la empresa, en el largo plazo: si en el mercado Competitivo la demanda esta pagando el precio $12 venderá la cantidad X=8 del producto fabricado, percibiendo $96, iguales a sus costos, también de $ 96; en el punto óptimo E no percibe beneficios extraordinarios, en el largo plazo. Pero si la demanda subiera el precio a $15, entonces percibiría beneficios extraordinarios e incluso vendría algo mas que X=8 unidades (al menos en el corto plazo, mientras no ingresen competidores). Perdería o cerraría si la demanda solo pagara $10 por el producto X, ya que sus ingresos serían menores a sus costos. $ p Cme CMg 15

CMg

12

CMe

D

E

10 8

X

Sin embargo, esta coincidencia de pensamientos era molesta a los clásicos liberales. En 1854 el austríaco Gossen escribió un libro (del que habría algunos ejemplares en Oxford) con dos célebres leyes, que explicaban los precios de manera distinta y más favorable a la teoría liberal, ya que sobre fundamentaban la legitimidad del beneficio extraordinario para todo, la empresa.

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En el corto plazo pueden subir los precios y la diferencia con el costo es un beneficio para la empresa por correr el riesgo del mercado; si los precios bajaran podría quebrar. Gossen se habría suicidado por que no lo entendieron en su momento; pero alcanzo a escribir cartas a varios economistas con estas ideas, los cuales 20 años después publicaron trabajos y Marshall los reunió como una síntesis en su libro de Principios económicos, con esta primer teoría. PRIMERA TEORÍA DE LA DEMANDA: sicológico-utilitaria

Básicamente las dos leyes de Gossen conformaron la primer teoría de la demanda, sicológico-utilitaria. La ley 1) fue sintetizada por A. Marshall (escocés, 1890, Principios de Economía) así: conforme dispone de mas unidades el consumidor siente menor utilidad con cada una (utilidad marginal decreciente) y las va valorando menos: paga menos por cada consumida; esto explica la pendiente negativa de la nueva curva unidad de demanda. La ley 2) explica el consumo de 2 o más bienes: a) el consumido encuentra su equilibrio (y entonces demanda, compra) con igual relación placer sobre precio en todas sus compras: igualdad de las utilidades marginales ponderadas por sus precios (UMgx / Px = = UMgy / Py = etc... Simultáneamente debía cumplirse b) gastar todo el presupuesto M (o sea, Px (X) + Py (Y) = M. Se explica matemáticamente así el máximo condicionado para dos o más variables: a) U'x / U'y = Px / Py con b) Px (X) + Py (Y) =M

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(El máximo, mínimo para una variable era: U' = 0 con U'' 0; o punto de inflexión si es también =0 la segunda derivada. Es decir, ponerse en un punto de giro /cambio con la primera derivada =0 y luego ver si la nueva derivada (incremento) cae o sube, explican el máximo o mínimo, etc. Con estas ideas de Gossen, los neoliberales (K.Menger, DL 1970; S. Jevons, UK 1972; L. Walras, Fr 1874; A. Marshall, UK 1890) perfeccionaban la teoría liberal y se diferenciaban de la teoría de Marx sobre los precios. El precio no es como decían los clásicos liberales y Marx, según el costo medio, sino que depende de la utilidad marginal. Explicaron la teoría sobre el sistema económico y en particular la teoría sobre los precios y la demanda. Distinguen la utilidad total (solo tiene sentido económico mientras es creciente, hasta la saturación; es así solo positiva, en el primer cuadrante; crece (primer derivada o incremento positiva) pero antes de la saturación el crecimiento es cada vez menor (segunda derivada negativa); hay un máximo (que coincide con la utilidad marginal nula) y si no se consume no hay utilidad. La primer derivada es la utilidad marginal (cociente incremental dU / dX). Tiene sentido económico si es positiva, pero es decreciente (primer cuadrante con pendiente negativa); es nula en la saturación. Avances posteriores permitirán explicar la utilidad con necesidades no primarias.

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SEGUNDA TEORÍA DE LA DEMANDA: curvas de indiferencia del ingeniero W. Pareto, Milán 1910

En 1880 el inglés Edgeworth ideó las curvas de indiferencia para explicar el comercio entre Inglaterra y Argentina (en los programas de economía se estudia la Caja de Edgeworth). Pareto las utilizo para una nueva teoría sobre la demanda. Las canastas sobre una curva son indiferentes. Curvas mas alejadas indican canastas mayores, preferidas. Hay un presupuesto para gastar; la recta de presupuesto más alejada indica mayor gasto. Los precios relativos del mercado se indican con la pendiente de esta recta: gastando todo en uno u otro bien se grafican los extremos de la recta y su pendiente. La demanda aparece si hay equilibrio: tangencia de la recta de presupuesto con la curva de indiferencia más alta. Incluso se puede medir la utilidad será aquícardinal de tipo ordinal (mayor o menor; por oposición a latotal, ideaque de medición en Marshall). Deben cumplirse las dos condiciones matemáticas: a) TMS = Px / Py (tasa marginal de sustitución igual al cociente de precios relativos del mercado); y b) agotar el presupuesto Px (X) + Py (Y) = M Geométricamente la TMS = dY / dX es la pendiente de la c.i. Por otra parte, en la c.i. el diferencial total entre sus puntos es necesariamente nulo: U'x dX + U'y dY = 0 lo que puede expresarse como diente).U'x / U'y = dY / dX (cociente de las derivadas igual a la penAdemás, la pendiente de la recta de presupuesto también está presente en el punto de equilibrio. En toda esta recta hay el mismo pre-

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supuesto, de modo que al cambiar entre dos de sus puntos necesariamente (dY) Py debe ser igual a (dX) Px (cantidades por precios que indican igual monto de variación, por que ambas canastas valen M). Así, geométricamente, coinciden las pendientes de la función de utilidad o gustos y de los precios de mercado, explicando el equilibrio. Matemáticamente se calcula el equilibrio como a) U'x / U'y = Px / Py; con b) Px (X) + Py (Y) = M (igual que con Marshall, pero con un modelo distinto: geométrico-matemático y no sicológico/utilitario-matemático). CURVA DE INDIFERENCIA Y RECTA DE PRESUPUESTO

Siendo los gustos U = X Y, el presupuesto M= $100 y los precios en el mercado Px=$1 Py=$2. a) el cociente derivadas los precios#es Y / X = 1de/ las 2 de donde laigualado relación aldede intercambio es 2Y = X b) agotar el presupuesto: M = 1(X) + 2(Y) = 100 reemplazando # es: M = X + X = 100; o sea, X= 50; e Y = 25 según #, resultando una utilidad cardinal U=XY= 1250 unidades. Esto se calcula en la siguiente hoja Excel: la ecuación de la curva de indiferencia es Y = U/X = 1250/X; la ecuación de la recta de presupuesto es M = Px(X) +Py(Y), o sea, Y = 100/Py -Px/Py (X).

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El equilibrio del consumidor surge cuando se igualan sus gustos con los precios relativos del mercado; y gasta $100, demandando X=50 e Y=25. TERCERA TEORÍA DE LA DEMANDA: PREFERENCIA REVELADA

El análisis distinguiendo los efectos sustitución y renta cuando cambia un precio permitieron presentar una tercer explicación sobre las razones de la demanda. Se desarrolla bajo el análisis de la ecuación de Slutsky y con el del efecto ingreso y sustitución según Hiks. Slutsky, Hicks, Samuelson explicaron que además de la vieja ley de la demanda también influía el menor poder adquisitivo si un aumento en el precio de algún bien importante deteriora el valor adquisitivo real del presupuesto disponible para demandar. Agregan las consecuencias de la inflación: al viejo efecto sustitución le agregan el nuevo efecto renta. Lo de preferencia revelada surge por que cuando, por ejemplo, el Instituto de Estadísticas y Censos mide mensualmente los índices de precios al por menor y otros, esta obteniendo información objeti-

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va (no contingencias sino hechos) de las preferencias reveladas (manifestadas) por los consumidores sobre la demanda, según sus gustos, su dinero y los precios de todos los bienes. Su abundancia de datos mensuales permite efectuar con Excel correlaciones, con valores homogéneos netos de inflación, y explicar las demandas mediante sus índices de consumo y gasto (para una gran cantidad de bienes individuales anotados mes a mes, en precios y cantidades consumidas). Esta teoría se justifica con dos axiomas: débil (si una canasta le es mejor que otra, ese consumidor no puede decir racionalmente lo opuesto) y fuerte (si prefiere la canasta 1 a la 2 y también la 2 a la 3, entonces prefiere la 1 a la 3). Véase el ejemplo: a precio similar compraron más café de la marca 1 que de la 2. Igualmente comparando las marcas 2 y 3. Entonces, indirectamente prefiere la marca 1 a la 3 (salvo en la cafetería H, según muestra la celda i9 con la función lógica =Y( ; )).

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NÚMEROS ÍNDICE

El aporte de Excel no es solo por las funciones de correlación múltiple incorporadas sino además por las facilidades de la propia hoja de cálculo Excel para elaborar y trabajar con índices. Los complejos cálculos de Laspeyres o Paasche y otros se facilitan en minutos copiando celdas y relacionándolas mediante operaciones elementales (véase más en detalle al final de este capítulo). EQUILIBIO DEL CONSUMIDOR: DEMANDA DERIVADA

La teoría del consumidor (cardinal u ordinal) maximiza la utilidad por consumir bienes X e Y gastando el presupuesto M, dados ciertos gustos (función de utilidad) y precios en el mercado. Con las condiciones a) el cociente de las derivadas igualado al de los precios del mercado; junto con b) gastar todo el dinero disponible, satisfacen las dos las condiciones de máximo para de dos se variables (coinciden posibilidades y gustos delfunciones consumidor con las pretensiones del mercado) MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA UTILIDAD MARGINAL (A. MARSHALL)

U= 0,2XY + 8 con a)

Px=$1; Py=$4; M=$70

se resuelve con: U‟X / U‟y = Px / Py

0.2Y / 0.2X = 1/4

o sea, X=4Y #

b) Px(X) + Py(Y)=70 o bien reemplazando 4Y+4Y =70 Y=8,75 por lo cual X=35 (según #) La utilidad máxima es U=0.2(35)(8,75) + 8 = 69,25 unidades

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Excel también facilita la resolución de estos problemas con funciones no lineales, utilizando su macro Solver, pero cuidando no elegir en Opciones “Adoptar el modelo lineal” (tal como cuando se hace

programación lineal).

Se anotan los pocos datos tal como aparecen en la siguiente imagen y se abre Solver en Herramientas.

Solver pregunta cuál será la celda objetivo (a maximizar); cuales las celdas a cambiar para calcular en ellas las cantidades de X e Y;

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también pregunta por las restricciones (en este caso el presupuesto $70).

Al pulsar “Agregar” en la opción “Sujeta a las siguientes restricciones” se abre la pequeña ventana para anotar a la izquierda “D4”; en el centro “0 y además, se ha evitado elegir en Opciones Adoptar la solución lineal, ya que la función es de segundo grado). MAXIMIZACIÓN SEGÚN LA INDIFERENCIA DE W. PARETO (Y LAGRANGE)

El mismo caso anterior se explica con la teoría de las curvas de indiferencia de W. Pareto: gustos y presupuesto coincidentes con los requerimientos del mercado, mediante: TMS = Px / Py Según el diferencial total nulo en la curva de indiferencia y en la recta de presupuesto, en el punto de equilibrio (con igual pendiente por ser tangentes) se cumple U‟x / U‟y = Px / Py Como en el caso anterior según Marshall, pero adoptando el método de Lagrange: Función combinada L = U + λ(Px(X) +Py(Y) L = 0,2XY +8 + λ[(1(X) + 4(Y) – 70]

I)

U‟x = 0,2Y + λ U‟y = 0,2X + 4 λ U‟λ = X + 4Y - 70

=0 =0 =0

Según U‟x resulta – λ= 0,2(8,75)= 1,75: utilidad marginal de este

dinero del presupuesto. Si se gastara $1 más ($71) la utilidad total

sería: 69,25 +1,75 = 70.99 unidades de utilidad.

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II) El Hessiano con las segundas derivadas:

H=

0

0.2

1

0. 2

0

4

1

4

0

= + 1.6 (>0)

con el mismo cálculo práctico para las dos teorías (Marshall y Pareto), ya sea con ecuaciones diferenciales, con Lagrange, o con la programación Solver no lineal en este caso (no obstante que una use el modelo sicológico de la utilidad marginal y otra el modelo geométrico de las curvas de indiferencia). Y

8,75

E ci U = 69,25 u .u. 35

X

DETERMINANTES

Sin limitaciones de orden, Excel calcula estos determinantes, simplemente anotando en una celda “=mdeterm(A1:C3)” como se ve en la imagen (reemplazando antes λ = 1,75):

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EFECTO INGRESO-SUSTITUCIÓN SEGÚN HICKS A) EQUILIBRIO DEL CONSUMIDOR

Supóngase un consumidor con gustos U=Y(X+5) y presupuesto M=Px(X) +Py(Y)= $110; en el mercado los precios son Px=$2 y Py=$1. Las relaciones necesarias están indicadas en la hoja, en A1 hasta A12. EN A7 y A8 se calculan las derivadas pero anotándolas como fórmulas: en A7 irá =A2 (tal como indican las referencias de la columna B) y en A8 irá =A1+5; en A9 el cociente A7/A8; en A10 irá A5/A5; en A11 irá 2*A1+10; en A12 irá A4*A1+A5*A2. El equilibrio inicial se calcula con Herramientas > Solver > poniendo como celda objetivo maximizar la utilidad A3; celdas cambiantes A1:A2 (las cantidades de bien X e Y). Como "Sujeto a las relaciones" se anota que el cociente de las primeras derivadas sea igual al cociente de los precios del mercado (A9=A10) y que el presupuesto sea igual a 110 (A12=A6). Con y Aceptar calcula de la máxima utilidad X=25 1800 uniunidadesResolver ordinales, así comoSolver la demanda ambos bienes: dades e Y=60 unidades.

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Excel también ayuda en la gráfica necesaria: en D1 hasta F15 se repite: la variable X (abscisa) y las ordenadas, que se reescriben como funciones: de utilidad (Y=U/(X+5)) y de presupuesto (Y=M/Py Px/Py(X)). Conviene elegir el rango con incrementos en 4 para que sea un gráfico visible: D2 y3.D3Sesepinta anotalasX=1 y X=5 yy se dos funciones en laenlínea 6 celdas se copian arrastralashacia abajo la esquina inferior derecha. Pintando el rango D2:F15 se pulsa en el icono de gráficos > Dispersión > etc. Y para que el gráfico sea bien visible conviene activarlo (picarlo) de modo que recuadre el rango de datos: así se podrá arrastrar este rango achicándolo algo hasta que queden las líneas bien visibles (como en esta imagen).

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B) CAMBIO EN EL PRECIO DEL BIEN X

Suponiendo luego un aumento a Px=$5,10 y las demás condiciones constantes, se recalcula el equilibrio según a), simplemente cambiando ese precio y volviendo a ejecutar Solver.

Bajo los nuevos precios relativos la utilidad total pasa a ser U=900 y la demanda son X=8,28 e Y=67,8. Subió el precio de X, se consume

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menos de X, pero más de Y (Y sustituye a X); y hay menor utilidad total. Antes la demanda de X era 25, ahora solo 8,3. Esta reducción de 16,7 unidades se explica según Hicks por dos motivos: no solo por la vieja ley de la demanda de Marshall (efecto sustitución), sino también por el efecto renta (o deterioro del poder adquisitivo, por inflación) C) SEPARACIÓN DE EFECTO RENTA Y SUSTITUCIÓN

Para calcular cuanto es cada efecto en esa disminución de X Hicks supone un imaginario subsidio al consumidor que le permitiera volver a la curva de indiferencia inicial U=1800. La recta de presupuesto imaginaria tocaría al curva U=1800 en un punto S, distinto del equilibrio inicial E. Las coordenadas de este punto S se pueden calcular igualando pendientes de la curvaimade indiferencia inicial con la pendiente delas la recta de presupuesto ginaria. Las pendientes (cateto opuesto sobre cateto adyacente) se pueden calcular como las primeras derivadas de cada línea: curva de indiferencia inicial U=Y(X=5)=1800, o bien Y=1800/(X+5), que tiene como derivada: Y'=1800(X+5)-2. La recta de presupuesto imaginaria (todavía no calculada) es paralela a la segunda recta (bajo la situación B): M=5.1(X) + 1(Y)=110, o bien Y=110/5.1 -5.1X; su pendiente es Y'= -5,1. Igualando pendientes -5.1 = -1800/(X+5)2 y resolviendo esta cuadrática surgirán las coordenadas de S, en particular X=13.8, que permite dividir la diferencia entre la demanda inicial y posterior de X en dos partes: en A) era X=25; en B) era X=8,28. Desde 8.28 hasta

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13.8 hay 5,5 de disminución por efecto renta; desde13.8 hasta 25 hay 11,2 de disminución de demanda por efecto sustitución. FUNCIÓN COMBINADA DE LAGRANGE

Supóngase un consumidor con la siguiente función de gustos: U= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2, un presupuesto M=$12 y precios en el mercado Px=$1, Py=$6. Lagrange conforma una función combinada "L", compuesta de la suma de dos términos: uno la función U; el otro la restricción de presupuesto multiplicada por una variable auxiliar λ(Px(X)+Py(Y)-M), entonces: L= 28X +28Y - 2X2 -3XY -2Y2 + λ(1X +6Y -12) a) La primera condición será ubicarse en un punto de giro de la función, igualando a cero las primeras derivadas de L; la segunda será averiguar si es un punto de inflexión, de máximo o de mínimo,

según que el Hessiano H sea nulo, positivo o negativo. Las primeras derivadas de L son : L' x

28

L' y L

λ

0

28 - 3X - 4Y

6λ

0

X

0

4X

3Y

6Y - 12

Igualamos el término en λ de las dos primeras multiplicando la pri-

mera por 6, quedando 168 -24X -18Y = 28 -3X -4Y; o sea, Y= 10 -

3/2X. (#) Reemplazando esta relación (#) en la tercer derivada se obtiene X + 6(10 +3/2X) = 12, de donde surge X=6; y por consiguiente Y= 1 según (#).

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SIGNIFICADO Y VALOR DE λ:

Según L'x es: 28 -4(6) -3(1) = - λ; o sea, - λ = 1 (o λ = -1)

Se interpreta λ como la utilidad marginal de dinero de este presu-

puesto, ya que gastando un peso más en los bienes la utilidad total variaría en -1. Por ejemplo, si el peso se gasta en consumir una unidad más de X la utilidad total sería lo que indica la función U con X=7 (en vez de los 6 iniciales), e Y=1 y totalizaría 103 en vez de 104 inicialmente (ya que X es un bien inferior, cae la utilidad total). b) La Segunda condición es conformar el Hessiano con las derivadas segundas:

H=

Lxx

"

Lxy

"

Lx

"

4

3 1

"

Lyx

"

Lyy

"

Ly

3

4

"

"

"

L

x

L

y

L

1

6

6 0

Excel calcula este determinan con solo anotarlo y en D2 escribir "=mdeterm(A1:C3)" y pulsar Enter.

(para estas anotaciones resulta cómodo disponer de caracteres griegos, disponibles en el Microsoft Office, insertando los símbolos deseados, λ ∆ μ β δ Σ δ ε ...).

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ECUACIÓN DE SLUTSKY

El efecto sustitución y renta fueron diferenciados en dos términos: el primero mide la caída de demanda considerando la utilidad marginal del dinero constante (con - λ ); el segundo la caída ponderando por lo gastado en el bien cuyo precio cambió. EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DEL BIEN X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN X: Conviene escribirlo en el orden del lenguaje matemático, tal como si fuera una derivada o cociente incremental (¿si cambia el denominador cuánto cambiaría el numerador?): dX / dPx = - λ ∆xx / H -X ∆λx / H = = 1 (-36/112) - 6 (-14/112) = 0,4

dos términos, cuyo resultado es: efecto sustitución puro ( -0.3) y efecto renta (0.8), totalizando +0.4; por lo que el bien X es atípico, algo inelástico respecto a su precio, según su demanda ordinaria. Aunque el -0,3 de su demanda compensada del efecto renta indicaba que era típico X es tipo Giffen (como el pan; además, el término -14/112 negativo indica que X es un bien inferior): en los bienes Giffen el efecto renta supera al efecto sustitución. Cada elemento del Hessiano tiene un adjunto, o menor complementario, conformado con las demás filas y columnas. Excel calcula los adjuntos necesarios ∆11, ∆31, ∆12, ∆32, ∆21, ∆31, ∆32 como se muestra en D11, pero es necesario complementarlos con la regla de los signos para este análisis: anteponer un signo menos a los adjunto impares D12, D32 y D21.

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EFECTO DEL CAMBIO DEL PRECIO DE X SOBRE LA DEMANDA DEL BIEN Y:

dY / dPx = - λ ∆12 / H - 6 ∆32 / H = = 1 (6 / 112) - 6 (21 / 112) = 0.05 - 1.1 = -1 si sube el precio de X compraría menos X (se compra más por ser Giffen) y menos Y (-1 Solver> se anota la celda objetivo; se elige Maximizar; las celdas cambiantes B2yC2 en las que Solver calculará los requerimientos de factores. Sujeta a las siguientes restricciones > Agregar y presenta una pequeña ventana que permite anotar “D4” a la izquierda; “ ” en el centro y “=60” a la derecha (el presupuesto).

Finalmente, luego de aceptar se abre la ventana final para Utilizar la solución de Solver y Aceptar

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Al no haber entrado en Opciones para modificar se continúa trabajando en Solver sin Adoptar el modelo lineal, ya que esta función de producción no es lineal.

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C

15

E Q = 405.000 kilos 30

L

DUALIDAD MÍNIMO COSTO PARA OBTENER UNA PRODUCCIÓN DE 200.000 KILOS

Manteniendo la técnica y los costos de los factores en el mercado, se busca saberkilos cualdel sería mínimo costo para producir exactamente Q=200.000 bienelfinal: Q = 2L2C2 = 200.000 y siendo # C = 1/2L resulta 2L2(1/2)2L2 = = 200.000; de donde 1/4L4 = 200.000, o sea, L=25,15 de modo que C=12,6 según la relación # vigente. El costo de esta producción será M= $1(25,5) +$2(12,6)=$50,30. Con Excel, se escriben los datos con la misma disposición en un hoja de cálculo. Al abrir Herramientas > Solver se elige la celda objetivo, ahora D4 y seguidamente se pulsa en Minimizar; luego las mismas celdas cambiantes B2 y C2. En Sujeta a las restricciones > “se Agrega” la restricción ahora de

producción (antes de presupuesto): B5 = 200000

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Con Resolver y Utilizar la solución de Solver, se calcula el presupuesto mínimo necesario para esa producción de 200.000 kilos (así como las cantidades de las demandas derivadas de factores productivos L y C). Obsérvese que para producir la mitad que antes el presupuesto no bajó a la mitad, debido a que la función de producción no tiene rendimientos constantes sino crecientes (según la suma de exponentes de la función de producción mayor que uno), de modo que al bajar el ritmo productivo el gasto no se reduce proporcionalmente (no es programación "lineal").

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POTENCIAS Y RAÍCES

TEORÍA DE LOS COSTOS CON EXCEL En una hoja de cálculo se introducen las fórmulas de cada concepto de costo en la línea 2, como se muestra en el ejemplo. Se copian hacia abajo y surgen evidentes los puntos relevantes: mínimo costo medio E6; mínimo costo medio variable F4; costo medio igual a costo marginal con X=4,6 (costo marginal o aumento del costo total por producir una unidad más de X; la derivada del CT= CT').

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La gráfica se obtiene con: Icono de gráficos > Dispersión > etc. y si se prefiere, eligiendo en Formato de Ejes la escala logarítmica para la ordenada. MINIMIZACIÓN DE COSTOS CON SOLVER A partir de esos datos es posible pedirle a Herramientas > Solver> que minimice, eligiendo como celda objetivo alguna celda del costo medio, por ejemplo E7; celda cambiante la correspondiente de las X, A7; tildar Mínimo; en Sujeta a las siguientes restricciones A7>=0, y que el costo medio sea igual al costo marginal, E7=H7; con Resolver y Aceptar calculará el valor exacto X=4,65871 que minimiza el costo medio total (nivel óptimo de explotación en el largo plazo; o en el corto plazo punto crítico, por ser el umbral de pérdidas si los precios llegaran a bajar de ese importe).

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RESTRICCIONES ADICIONALES CON MATRICES DOS SOFAS SIMPLES MÁS UNO TRIPLE

Una fábrica de muebles vende juegos de sofás. Sus costos de producción para sofás simples son $ 70 variables más $60 fijos; para los sofás triples son $ 200 variables más $ 150 fijos; y su capital de trabajo son $10.000. Necesita minimizar el costo de producir la máxima cantidad posible de juegos. La restricción adicional es, en este caso, respetar la proporción dos simples más uno triple (-2+1= 0 es la restricción planteada según la fila 3 de la hoja Excel). La otra restricción es el capital de trabajo para insumos: 10.000 menos costos fijos = 9.730, disponibles para costos variables, según la proporción mencionada, que se muestra en la fila 2 de la hoja Excel.

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La función Excel para matriz inversa ayuda a resolver el problema: se pinta desde A5 hasta B6 y se escribe “MINVERSA(A2:B3)” pulsando luego Ctrl+Shift+Enter como muestra la imagen. Seguidamentese sepinta multiplica inversa“mmult(A5:B6;D5:D6)” por el vector de las dis-y ponibilidades: D5 y la D6matriz y se escribe Excel calcula la proporción máxima de juegos de sofás, 29 triples más 57 simples, que es posible producir con los recursos disponibles.

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PROGRAMACION ENTERA DE UNA DIETA

En una dieta alimenticia interesan los costos, los requerimientos mínimos y el nivel de calorías. Se sabe que para mantener el peso adecuado alguien de consumir 1350 kcalorías y un mínimo de 500 mgr mgr de vitamina A, 350Dada mgr de calcio, mgr de proteínas y 150 de minerales. una tabla200 de contenido de los alimentos y su costo formule el programa lineal entero que optimiza la dieta. Una vez volcada la tabla y hecho el cuadro resumen en la hoja de cálculo, al ingresar a Solver se puede elegir minimizar el costo e “Integer” (entero) como restricción ( B6:B11=Integer). Las otras restricciones hacen a cumplir con los requerimientos mínimos y con el tope de calorías. En las opciones se tildó Adoptar el modelo líneas y Adoptar no negativos para las cantidades de alimentos. Al resolver Utilizando la solución de Solver también se pueden pintar los tres informes usuales con los resultados. Al haber elegido Integer como restricción solo se consideran unidades enteras para las celdas cambiantes B6:B11 y esta optimización se cumple con el costo mínimo de $57 .

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(Utilice Ver o Vista > Zoom > 200% para leer bien la imagen)

PROBLEMA DE LA MOCHILA CON ENTEROS

El problema dela mochila es otro característico caso de programación entera. Consiste en llenarla con objetos cuyo peso se conoce y a los que se le asignó determinada valoración (ambos, peso y valoración positivos). Con una capacidad limitada en la mochila el problema consiste en escoger aquellos objetos (enteros) que maximicen la utilidad sin exceder aquella capacidad. En el siguiente ejemplo la función objetivo a maximizar incluye en C10 la valoración de cada objeto. En C11 se anotaron como fórmula las restricciones sumando los pesos de cada obMICROECONOMÍA CON EXCEL

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jeto; y se agregó la condición C11 Zoom > 200% para leer bien la imagen) PROGRAMACION BINARIA

En un problema similar al anterior puede incluirse la condición de considerar las variables como elementos binarios (0 ó; es 1) tildando en “Sujeto a las restricciones” la condición binario el caso en que las variables a incluir no son divisibles, repetibles (replicables).También se pueden plantear casos en que

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algunas variables sean conjuntas o que alguna sea mutuamente excluyentes de alguna otra. En este caso la utilidad máxima bajó a 35; se transporta una unidad de X1, otra de X2 y otra de X4, que pesan 20 kilos; la utilidad máxima bajo a 35 por que no pueden repetirse varias unidades bien. Además, fórmulas las celdasdel conmismo las posibilidades que combinando incluye “Sujeto a las reen stricciones” se pueden introducir diversas restricciones binarias (opción 0 ó 1) para alguna o varias de las variables.

OPTIMIZACION DE LA PRODUCCION / MINIMIZACION DEL COSTO La solución tradicional de problemas con solo hasta tres variables implicaba recurrir al análisis deferencia (análisis marginal, ilustrativo). Aun con esta reducida cantidad de variables el proceso resultaba largo y engorroso. Excel y su macro Solver permiten estandarizar este tipo de problemas (hasta 16 variables; lógicamente dando por conocido este análisis marginal).

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Una empresa produce tres bienes (A, B, C) con insumos que adquiere mensualmente a otro productor, según coeficientes técnicos que se indican. Los insumos totalizan 20.000 kilos por mes a $/k 2,50. Los costos fijos son $80.000 mensuales. Los costos variables de conversión ascienden a $240 por hora máquina y se trabaja 25 días al mes enempresa dos turnos de por 8 horas. Optimizar la producción considerando la tiene 5 años dos contratos impostergables por las que cantidades que se indican.

(use Ver o Vista > Zoom 200% para ver los detalles) Se volcaron los datos en la hoja de calculo, construyendo las formula correspondientes para la cuantificación de los costos y de los ingresos según En como la celda objetivo B30 se B23:D23 maximizan losque beneficios y el se cuadro. seleccionó celdas cambiantes para Solver calcule ahí las cantidades que optimizan la producción y repercuta en las fórmulas de costos e ingresos.

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Como la empresa tiene contratos ineludibles las cantidades a optimizar son menores que la demanda total disponible; no obstante en el calculo final de beneficios se consideran tanto las producciones para contratos como las de los tres mercados remantes. Las restricciones del modelo implican no superar los insumos disponibles ni modelo la demanda en Opciones se tildaron Adoptar linealremanente; y tambiénalNoingresar negativos.

Como en todos los demás casos, el archivo Excel con este ejemplo muestra mejor a los interesados la interrelación en cada celda (según las fórmulas del cuadro) con las cantidades seleccionadas por Solver. PROGRAMACION DE TURNOS DE TRABAJO

Supóngase una empresa que preste servicios continuados las 24 horas durante todo el año. Su personal trabaja 8 horas diarias, ingresando en 6 mínimas turnos cada 4 horasson y no trabajanrestricciones. horas extra. Las dotaciones requeridas las se siguientes Los jornales varían según los turnos del cuadro. Para minimizar el costo salarial sujeto a las restricciones se plantearon dos hojas con diferente distribución de los cálculos. En la primera se tiene en cuen-

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ta que la jornada de 8 horas permite que en cada turno pueda haber “presente” personal del turno anterior, por ej. i16 = i14+n14.

Al abrir Solver se marcó como celdas cambiantes a los turnos i8:n13. Las restricciones i16:n16 >= i18:n18 y que las celdas cambiantes sean positivas y también que sean enteros (integer). La función objetivo es la suma-producto de los jornales por los presentes, con $1208 de mínimo costo.

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En esta segunda presentación se adoptó la sugerencia del archivo de las muestraslaExcel incluido en el Office de Microsoft. dispuso matricialmente condición de personal presente del turnoSe anterior.

Las celdas cambiantes de la solución permiten cumplir con las restricciones i4:i9 >= que la dotación requerida. También permiten la

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suma producto por los jornales que figura en la función objetivo, con un mínimo costo de $1208.

Al abrir Solver se establecieron como celdas cambiantes c10:h10 y se agregaron como restricciones que esas celdas cambiantes fueran enteras (int) y no negativas. Igualmente que el personal no fuera menor que el requerido. En ambas presentaciones se tildó adoptar la solución lineal (y no negativo). Finalmente esta siguiente es la presentación de Microsoft Excel para el ejemplo de Muestras.xls sobre la programación del personal de un parque. Su presentación matricial atiende a mostrar como cada empleado trabaja cinco días semanales y tiene dos feriados;siendo lo demás parecido.

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(use Ver o Vista > Zoom > 200% para leer los detalles) EQUILIBRIO EMPÍRICO CON HOJA DE CÁLCULO EXCEL

La teoría económica explica el punto de equilibrio de la empresa maximizando el beneficio. Se procede conceptualmente y desde funciones y se suelen aceptar las explicaciones, no obstante que en la empresa no existen funciones sino solo series históricas de venta y compra de insumos. Se aceptan las explicaciones teóricas y el criterio de óptimo (ingreso marginal igual a costo marginal y simultáneamente crecimientos de éste mayor que el del ingreso marginal; es decir máximo B si B‟= 0 y B‟‟ : se elige la celda objetivo, las cambiantes y las restricciones como se indica en la imagen y al resolver, Solver emite los resultado en la fila 8 de la hoja.

MONOPOLIO QUE ACTÚA COMPETITIVAMENTE

Si decidiera actual como en competencia, tendría que igualar su precio al costo marginal. En competencia las empresas operan con rendimientos decrecientes y su ingreso marginal es igual al precio de mercado, común para todas: optimizan entonces igualando precio con costo marginal (y desde ahí que su IMg crezca menos que su CMg). Aquí: P = CT' sería: -1/20X +20 = 5 +1/25X con X = 166,6 y P= 1/20(166,6) +20 = $11.67 Su beneficio B =11,67(166,6) -[5(166,6) +(166,6)2 /50] =$556, inferior que si optimiza como monopolio puro.

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Puede observarse en la imagen que Solver calculó esta situación en la fija 8 simplemente cambiando en la restricción la columna G por la anterior que era B (igualar precio en vez de ingreso marginal).

MONOPOLIO DISCRIMINADOR

Sea el caso de un monopolio que puede dividir su demanda en dos grupos y cobrar diferente el mismo producto en ambos. La teoría explica que si fuera posible esta actitud la empresa maximizaría beneficios vendiendo más caro en la demanda con menor elasticidad precio (más rígida) y más barato en la demanda más elástica. La condición es vender en ambos mercados con similar ingreso marginal, a su vez igual al costo marginal único; y que desde ahí el costo marginal crezca más rápido que el ingreso marginal conjunto. Supóngase un caso con costo marginal no constante, decreciente, como es el caso general en monopolio: Su costo total CT= -0,2X2 +30X + 40; costo marginal es CM'= -0,4X + 30 y ambas demandas

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P1= - 2X1 +100 y los ingresos totales son: IT1= -2X12 +100X1 y los ingresos marginales: IT'1 = -4X1 + 100

P2 = -3X22 + 150; e IT2 = -3X22 + 150X2 y IT'2 = -6X2 +150

Para la suma horizontal de ambos ingresos marginales se trasponen a la forma implícita: X1 = 1/4 IT'1 + 25 X2 = 1/6 IT'2 + 25 Sumando: X = 10/24 IT'+50 o sea, IT'= -2,4X +120 Para maximizar el beneficio B debe cumplirse B' =0 y B'' y anotar como celda objetivo alguna de la columna beneficio (por ejemplo G4). Como celda cambiante la primer columna de esa fila. Las restricciones serán igualar los beneficios marginales de ambas en esa fila y también que la cantidad de la primera columna sea 0.

Con Resolver y Aceptar, Solver encuentra la solución que ya conocemos. En esta imagen se eligió la fila 4 al azar.

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EMPRESA LÍDER Y SEGUIDORAS

En la competencia imperfecta una empresa puede ser relativamente más eficiente (o con más poder) que la o las pocas otras, que adoptan la actitud de seguidoras. Sus costos mayores le impiden operar con el precio más bajo de la líder. Esta toma la decisión de optimizar sus intereses: en su función de beneficios (aquí la misma que la primer empresa del ejemplo anterior) reemplaza X2 por la función de reacción de la seguidora, y simplificando queda como: B1 = 47/4X1 - 7/8 X12 - 20 Maximiza beneficios con B' = 0 y B''0; asimismo CMV'=0 y CM''>0): Asimismo, igualando ambos costos medios con el costo marginal también se obtendrían las dos cantidades correspondientes a funcionar cubriendo ambos costos medios mínimos (implicaría resolver funciones cúbicas con alguno de los métodos usuales, como el repasado antes en este capítulo según Ruffini);. Reemplazando esas cantidades en estas funciones se obtienen los importes de estos costos medios (totales y variables) que interesa sean menores a los precios de mercado. EJEMPLO BAJO INCERTIDUMBRE:

a) Empresario afecto al riesgo: El precio futuro puede ser $ 6 a $8, entonces un empresario con cierta aficción por el riesgo adoptará la actitud de ponderar riesgos

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promediando los resultados probables (la utilidad esperada con $6 y con $8 con probabilidad P=0,5 cada una). Siendo el Beneficio = ingresos menos costos, y la probabilidad P=0,5 de ocurrir ambos precios, la Esperanza de la utilidad o Beneficio esperado sería: E(BE) = PB6 + PB8 = =0,5 {[6(X)] -[9+10X-5X2 +x3]} + 0,5 {[8(X)] -[9+10X -5X2 +X3]} = -3X -9 +5X2 -X3; el máximo beneficio se obtiene igualando la primer derivada a cero y con la segunda negativa, surgiendo X=3, cantidad correspondiente al punto crítico, con precios de $7, por lo cual efectuará la inversión, ya que con $7 se calculó inicialmente el punto óptimo a cubrir. b) empresario adverso al riesgo: Efectúa el mismo cálculo anterior pero, al actuar prudentemente, en vez de ponderar probabilidades deque 0,5 el iguales valora más la posibilidad del con término con precio $6 término con aquí $8, obteniendo así al maximizar precios esperados menores que $7, tal como era el máximo en a). Entiende que el nivel de producción será menor que el óptimo X=3 y el precio y el beneficio inferiores que en a). Es decir que comparando con los $7 calculados inicialmente para el punto óptimo ve una Utilidad Esperada negativa y decide no invertir en este mercado. Pero también se puede realizar este cálculo con Excel, simplemente anotando cada función en la línea 2 y copiándola a la línea 3. Pintando ambas líneas y arrastrando el ángulo inferior derecho hasta la línea 15 se puede observar cuando ambos costos medios son mínimos: con X=3 es mínimo el costo medio (ahí igual al costo mar-

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ginal); con X=2,5 es mínimo el costo medio variable (ahí igual al costo marginal). Eligiendo, antes de arrastrar, un intervalo para X menor al aquí adoptado aumentaría el grado de aproximación (interpolación).

Es decir, en el corto plazo el punto crítico aparece cuando el precio baja a $7 (CM=$7, con X=3) y éste es también su óptimo de explotación de largo plazo; mientras que en el cortísimo plazo el mínimo de explotación surge produciendo X=2,5, con precio y CMV =$4. La interpretación del corto y largo plazo depende de considerar o no los costos fijos; por lo que el óptimo de explotación a largo plazo (sin costos fijos) como igual el punto crítico es una aproximación conceptual. Admitiendo incertidumbre, el empresario podría promediar los resultados con precios de $6 y $8: la esperanza de los beneficios esperados suma cada probabilidad por el resultado

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E(BE) = p6 Benef6 + p8 Benef8 = 0,5[ 6(X) - 9 -10X+5X2 - X3] + 0,5[ 8(X) - 9 -10X+5X2 - X3] = = -3X -9 +5X2 -X3 Optimiza maximizando la esperanza de estos resultados probables Max E(BE) con E'BE= 0 y E''BE Solver, en Función objetivo, en celdas cambiantes y en las opciones para ingresar las restricciones. Ejecutando, se obtiene la optimización y tres

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informes usuales orientadores (Excel incluye 6 ejemplos típicos en muestras.xls) Excel agiliza la programación lineal con su macro Solver eligiendo en la opción minimizar o maximizar, para hasta 16 variables y no solo dos como en el método grafico que utilizaba la escuela tradicional inglesa. Fuentes: 14) Teoría de la demanda según la utilidad: Maximización de la utilidad. En el precio del mercado influye especialmente la utilidad (decreciente) del consumidor. Definiendo la utilidad total y la marginal, se explica el concepto matemático de máximo relativo (según derivadas) a la demanda de un bien conforme a la utilidad marginal. Con dos bienes, la doble condición de la leyplacer dos desobre Gossen (y Marshal), sobre la proporcionalidad del cociente precio en ambas compras y sobre agotar el gasto del presupuesto. El consumidor que terminó de estudiar el mercado, pasa así a ser demandante, comprador, en ese equilibrio. Este modelo sicológico-matemático neoclásico explicaba solo las necesidades primarias (con saturación). Posteriores desarrollos matemáticos (Friedman y otros) permitieron ampliar esta teoría a otras necesidades (con utilidad marginal constante y creciente, además de decreciente) Fuentes: 15) Teoría de la demanda según la utilidad: Minimización del gasto.

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En el precio del mercado influye especialmente la utilidad (decreciente) del consumidor Calculada la relación de intercambio según los gustos y los precios del mercado, el problema de minimizar el gasto para esa u otro utilidad dada, es reemplazar esa relación en la función de utilidad dada, para calcular las nuevaspara demandas; y luego estas en la función de presupuesto determinar ese reemplazar monto de gasto. Este modelo sicológico-matemático explicaba solo las necesitades primarias (con saturación), también para minimizar el gasto de una utilidad dada. Posteriores desarrollos matemáticos (Friedman y otros) permitieron ampliar esta teoría a otras necesidades (con utilidad marginal constante y creciente, además de decreciente) Fuentes: 16) Dualidad de todo acto Toda maximización deeconómico: utilidad implica un mínimo costo para alcanzarla. Utilizando los conceptos matemáticos de máximo y mínimo para dos variables y la doble condición de Gossen o Marshall, el modelo sicológico-matemático neoclásico explicaba la demanda según la utilidad marginal y necesidades (inicialmente solo primarias, con saturación). Pero al ser un único acto económico, lo veían tanto para el problema primal de maximizar la utilidad y demandas como para su dual de minimizar el gasto de satisfacer esa utilidad dada u otra. Fuentes: 17) Función combinada de Lagrange para máximos:

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La elección entre 2 bienes sujeta a una restricción de presupuesto se resuelve como un sistemas con 3 variables (dos bienes reales y una variable adicional matemática landa). Friedman y la teoria de W.Pareto permitieron explicar la demanda con curvas de indiferencia infinitas para casos con utilidad marginal decreciente, constante y creciente (de las necesidades primarias, sociales y culturales). Usando el modelo geométrico, se igualaban las pendientes (TMS) de los gustos con la del presupuesto o precios relativos del mercado. La función combinada de Lagrange requería dos pasos: igualar a cero las primeras derivadas parciales y luego ver que el Hessiano (segundas derivadas) fuera positivo, para garantizar un máximo de utilidad con esas demandas de bienes. Las condiciones de primer orden y segundo orden. Este modelo matemático alternativo al anterior de Marshall-Gossen, permitía(igual calcular marginal del auxiliar dinero en ese presupuesto a la además derivadaladeutilidad una tercer variable inventada, landa). La utilidad marginal del dinero, representada aquí por este valor de landa, se demuestra por que coindice con el aumento de utilidad total al gastar un peso más en alguno de los dos bienes (frente a la utilidad total srcinal). Fuentes: 18) Función combinada de Lagrange para mínimos: Dados los precios del mercado, sujetos a una restricción de una utilidad dada por consumir una determinada cantidad de bienes, es otro sistema de 3 variables. La teoría de W.Pareto explico con curvas de indiferencia infinitas la demanda con utilidad marginal también constante, creciente y decre-

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ciente (de las necesidades sociales, culturales y primarias), usando el modelo geométrico, igualando las pendientes (TMS) de los gustos con las del presupuesto o precios relativos del mercado. Para el problema dual de minimizar el gasto de una utilidad dada partía de combinar la función de presupuesto con una restricción de un consumo dado. La condición(odeproducción) primer orden (FOC-first order condition) es igualar a cero las primeras derivadas; la segunda (o SOC -second order condition) es que las segundas derivadas o Hessiano sea aqui positivo para garantizar que ese costo o gasto es mínimo. Este modelo matemático alternativo al anterior de Marshall, permitía calcular además la utilidad marginal del dinero en ese presupuesto (pero no aquí sino solo en el primal del máximo). Fuentes: 19) Deducción la demanda M. Friedmandedemostró queteórica: la demanda hiperbólica explica la demanda también con utilidad marginal constante y creciente. Partiendo de una función de utilidad, los precios y el presupuesto (nominales, sin especificarlos) se calcula el equilibrio, resultando siempre en una función de demanda implícita de tipo hiperbólico (solo la rama positiva interesa). La suma de los exponentes de la función de utilidad menor, igual o mayor que uno, indica si la utilidad marginal es decreciente, constante o creciente. Friedman usó la hiperbólica para superar la limitación de la utilidad de Marsall solo aplicable a necesidades primarias con utilidad marginal decreciente (y así precios decrecientes), debido a la saturación de aquellas; pero no aplicable en las necesidades sociales o culturales. Fuentes: 20)

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Efecto renta y sustitución según Hicks: Hicks (1938, V. y Capital) demostró gráficamente (como Pareto) los efectos de la difícil ecuación de Slutzky. Al cambiar un precio la nueva recta de presupuesto mostraba el segundo equilibrio y las demandas. Con un supuesto subsidio surgiría una tercer “S” la RPl equilibrio tangente a ”laE”curva de Sus indiferencia inicial, en un punto distinto de inicial. coordenadas permiten seccionar caída total de demanda de X en el efecto Renta (subsidio) y el resto o efecto sustitución (o ley de la demanda); también calcular la demanda compensada (subsidiada) y la ordinaria (o total o final). Los gustos hacen que el nuevo equilibrio implique más, igual o menos del otro bien Y; y se los pueda calificar (a X y a Y) de sustitutos, independientes o complementarios. Fuentes:

20b) Ecuación de Slutzky: En 1915 Slutzky prestó atención al efecto de la inflación sobre la demanda. Este matemático descompuso el efecto del cambio de un precio (denominador) sobre la cantidad estudiada (numerador), en dos términos, considerando en uno la utilidad marginal del dinero (el landa de Lagrange) y en el otro la cantidad gastada en el bien que cambió de precio. Así calculo la demanda compensada (subsidiada) con una y la total u ordinaria con ambos. Calculando los cuatro efectos por variación de ambos precios sobre ambos productos, la ecuación ilustra (al menos teóricamente) sobre las elasticidades (precio, renta y cruzada) para clasificar a los bienes. Sin embargo se desconoce como implementar esta ecuación en las empresas, en las cuales (por el contrario) Excel permite calcular en instantes las elasticidades media o promedio y posibilita clasificar a los bienes efectivametne. (la ecuación de Slutsky solo permite hacer-

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lo hipotéticamente, bajo el ambiente de los supuestos teoricos que usa) Fuentes: 21) Elasticidad o promedio: La mediciónmedia puntual de las elasticidades es teórica y solo útil conceptualmente. La elasticidad media o promedio de unos 40 meses uniformes, es el producto de la pendiente (de esa recta de correlación precio-cantidad demandada) por el cociente suma de precios sobre suma de cantidades. Excel calcula esto en un instante graficando ambas series (y tildando en las opciones incluir la ecuación en el gráfico). Fuentes: 22) Índices dedelprecios de cantidades: Además efectoyrenta y sustitución (Hicks o Slutsky) y la ecuación de Slutsky, la teoría de la demanda según la preferencia revelada utiliza los índices del INDEC para observar las reacciones de los consumidores ante cambios en los precios o cantidades. Los índices de gasto comparan la cantidad y los precios de la canasta base con la actual. Laspayres observa los precios actuales de la canasta base. Paasche compara la canasta actual con los precios base. Los 12 índices usuales de precios y de gastos estan en los archivos de Microeconomía con Excel (siguiendo a F. Toranzos). Mejora el nivel de vida cuando el índice de gasto es mayor que el de Laspayres y también es mayor que el de Paasche. Es indefinido si el índice de gasto esta entre ambos. Fuentes: 23)

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Producción con un solo factor variable: Nuevamente usamos el modelo matemático-geométrico para teorizar sobre la empresa. Se define y grafica el producto total, medio y marginal (siguiendo el “X” total, medio y marginal de W. Baumol). Cuandodel el total es máximo el marginal es nulo. En el punto de inflexión máximo esta el máximo marginal. La máxima tangente al producto máximo indica el máximo producto medio (y para el resto de los valores monetarios tendrá dos niveles de producción, según sendas ramas de la campana de Gauss ) La grafica del X total, medio y marginal utiliza el concepto de pendiente /tangente trigonométrica del modelo geométrico junto con el matemático de máximos y mínimos de una función univariante, para determinar los puntos relevantes: etapas de rendimientos crecientes, decrecientes y negativos. Rendimientos crecientes hasta el máximo producto medio; decrecientes desde ahí hasta el producto marginal nulo; negativos desde ahí. Fuentes: 24) Producción con dos factores variables: Las curvas de Pareto tambien se utilizan para la producción con dos insumos variables. La tangencia de (aquí) isocuantas e isocostos indica la optimización maximizando la producción de un bien con dos factores. Dada la técnica, los rendimientos de cada factor indicarán la remuneración posible en una empresa para ambos factores al momento de distribuir los ingresos producidos. La contratación efectiva también dependerá de los precios del mercado, según la oferta y demanda de ambos factores. Fuentes:

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24b) Numerosos conceptos teóricos y extensiones del programa no tienen aquí TP individualizados pero son necesarios. Elecciones intertemporales; concepto del costo de búsqueda, etc.son otros punto teóricos suficientemente identificados en los sitios web y en la bibliografía. 25) Función de producción Cobb-Douglas La función lineal y homogénea (por ser de “un solo término” con dos variables y exponentes fraccionarios que suman uno), de Euler, indica rendimientos constantes. Los profesores Cobb y Douglas verificaron que servía para representar la distribución del ingreso entre trabajo y capital, tanto en EEUU en 1890-1920 como en Sudafrica, Australia y otros. Si los rendimientos vienen dados por la suma de exponentes, estas funciones también sirven para representar la distribución de ingresos en las empresas. Fuentes: 26) Teoría de los costos: Se utiliza para costos el modelo matemático y geométrico del “ X” total, medio y marginal de W. Baumol. Los costos totales aumentan a partir del fijo inicial; los variables dependen de la producción; el costo medio conforma la típica U del CMV; el marginal se ve como la pendiente de la línea del costo total, de modo que el costo marginal intersecta al CMV en su mínimo (ahí mínimo de explotación a corto plazo) , delimitándo los costos decrecientes y crecientes (o sus conceptos inversos, rendimientos crecientes y decrecientes)

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Si el CMV es mayor al precio indica los rendimientos negativos, completando las tres etapas de los costos o rendimientos. En el largo plazo se supone no existen costos fijos, de modo que el CMV coincide con el CM. El mínimo de este (el punto crítico del corto plazo) es el óptimo de explotación en el largo plazo. Fuentes: 27) Equilibrio de la empresa competitiva y cantidad de competidores en el mercado: Si el mercado competitivo tiene agentes atomizados, al identificar el precio y la cantidad de uno puede deducirse el tamaño del mercado y número de firmas en esa industria. Solo perduran las empresas eficientes, operando en su mínimo CMV. Calculando el mínimo de esa función surge la cantidad óptima y el valor de su CMV. Reemplazando este último en la total demanda del mercado -como uniformese obtiene la cantidad operada. Dividiéndola porprecio la cantidad del productor inicial se obtiene el número de firmas de esa industria. Si en competencia el precio es único (no hay discriminación) se obtienen los valores de la industria a partir de agente individual conocido. Fuentes: 28) Empresa sobredimensionada: Las funciones de costo total lineales tienen costos medios hiperbólicos. El costo medio hiperbólico representa el caso en que nunca se llega al nivel del costo medio mínimo. Tal es el caso de las industrias básicas que requieren grandes instalaciones, que superan la demanda domés-

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tica de los países en desarrollo; y necesitan operar competitivamente exportan excedentes, según precios acortes a los menores costos medios de esos grandes volúmenes. Ese modelo se utilizó exitosamente en Argentina por SOMISA para demostrar competitividad y no discriminación monopólica, ante denuncias antidumping gobiernos EEUU porese las país exportaciones dos barcos mensuales,decon chapa dedeacero hacia en los añosde 1980-1993. Fuentes: 29) Inventario optimo: La condición matemática de mínimo permite racionalizar el costo de mantener inventarios. Esos costos dependen del tamaño de los pedidos, del flete y del costo financiero de mantener existencias paralizadas. Se define la necesidad anual, el número pedidos, del tamaño de cada despacho o pedido y el stock mediode o promedio de un período. Es posible armar así una función de costos lineal en la variable despacho, cuyo mínimo matemático determinará el lote a adquirir con cada pedido (y la cantidad de estos). Esta tarea con la ecuación diferencial comentada racionaliza el análisis frente a las aproximaciones sucesivas tradicionales de alguien no técnico. Sin embargo, la programacion Simplex y especialmente Solver de Excel facilitan todavía más esta determinación racional. Fuentes: 30) Evaluación de proyectos. VAN y TIR: Es usual calcular el valor actual para evaluar proyectos.

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El valor actual pondera el capital por el interés, tanto en ingresos como en gastos. Al considerar ingresos y gastos surge el VAN o VNA (valor actual neto). Los valores viejos se actualizan multiplicando por (1+i) a la t ( i de interés y t períodos); a los valores futuros se los divide por (1+i) a la t.Otros análisis complementan ese criterio de evaluación (como considerar los diferentes costos de los préstamos según sean los tamaños de las empresas; la existencia o no de liquidez inicial; los posibles costos de explotación consecutivos; las reglamentaciones fiscales; el valor residual; alternativas de compra o alquiler, por que pueden considerarse ya sea como inversión o ya como gasto; los riesgos de cada inversión; etc). Asimismo, en la evaluación de proyectos también se usan otros indicadores, además del VAN: la TRF (tasa rentabilidad financiera); PR (el periodo de repago); los árboles de decisión; varias medidas de rentabilidad; el criterio (fortalezas, debilidades, amenazas); la cruz FODA de Porter (ver si es oportunidades, el único proveedor /ver si es el único cliente; ver si hay muchos proveedores / muchos clientes); etc. La TIR (tasa interna de retorno o discounted cash-flow) se calcula por tanteos, igualando el VA de los Ingresos al VA de los Egresos La tasa que permita igualar ambos conceptos es la TIR; si es aceptable para un inversor aportará sus recursos en vez de por ejemplo depositarlos en un banco a tasas menores. Excel calcula el VNA y la TIR con solo pintar el área de ingresos y egresos e indicar la función. Fuentes: 31) Evaluación de proyectos inciertos:

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Los empresarios pueden ser adversos o afectos al riesgo y asignar diferentes probabilidades de ocurrencia a los escenarios posibles de siniestro y no siniestro. Dada una función de utilidad se puede calcular el monto de un seguro o bien correr el eventual riesgo de un siniestro. Además, al comparar los ingresos bajo contexto cierto (sin seguro) e incierto seguro) también se puede estimar por diferencia el valor posible(con por el seguro. El análisis de seguros implica así estimaciones valorando la aversión al riesgo de los clientes Fuentes: 31b) El financiamiento de la empresa: Las empresas pueden tener financiamiento o conseguirlo de los proveedores y otras fuentes. Bajo el peligroso enfoque monetarista y la actualinteresa globalización generalizada (que sobredimensionan que) especialmente el financiamiento provenienteeste de enfolos bonos y el proveniente de las acciones (ya sean comunes, preferentes y convertibles, con sus características propias). Pero esta visión sobre el papel proveedor de recursos de las bolsas de valores conduce a desórdenes regulatorios y a crisis recurrentes, que perjudican a todos y muy especialmente a los ahorristas menores. Fuentes: 32) Equilibrio de la empresa empíricamente: La modelización matemática permite optimizar precisando los ingresos y los costos Se pueden estimar funciones de demanda, de ingresos totales y de marginales. Igualmente funciones de costos lineales o parabólicas (según el tipo de empresa sea sobredimensionada o normal).

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Igualando ingresos y costos marginales es posible llegar al punto de equilibrio o de Cournot. Dado que las funciones surgen de listados de 40 ó más meses uniformes, el Análisis de Excel y Solver facilitan determinar el nivel óptimo sobre bases empíricas. Esto no es así un concepto solo teórico, calculable únicamente con funciones conceptuales sin aplicación concreta. Fuentes: 33) Monopolio: El modelo teórico de un solo proveedor y demanda competitva es estudiado bajo diversas actitudes. La optimización monopólica implica el criterio de Cournot (maximizando la función de beneficio (con la primer derivada nula y la segunda negativa, surge la cantidad, el precio y monto de cada variable) Al graficar con enfoque total y por unidad, se observa que el monopolio restringe la cantidad y sube el precio frente al equilibrio en un mercado de competencia. Fuentes: 34) Monopolio con impuestos: El gobierno puede controlar a los monopolios con impuestos o favoreciendo las importaciones para que le sean competitivas. El impuesto represente una suba de costos que limitara sus beneficios y puede afectar o no (según el tipo de impuesto) a la cantidad y precios de ese mercado. Los impuestos fijos o sobre a beneficios no alteran las condiciones del mercado (como aquellos que se aplican sobre ventas) y solo limitan los beneficios. Fuentes:

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35) Monopolio discriminador: Si discrimina precios diferenciando mercados aumentará más sus beneficios. Cuando le es permitido fraccionar la demanda puede cobrar precios diferentes la elasticidad cada tramo de mercado caro en el tramosegún rígido), vendiendo de la misma cantidad total que(más sin discriminar, pero con mayores beneficios que en su optimización pura sin diferenciar mercados. Su condición es igualr el ingreso marginal conjunto con el costo marginal y a ese nivel de pesos determinar la cantidad para cada mercado (y reemplazandola, su precio en cada uno) Existen diversos grados de discriminación y estos casos lesionan la competencia, según las normas domésticas y las de la OMC. Fuentes: 36) Carga impositiva en los exportadores: Los exportadores no incluyen los impuestos en este precio, ya que también existen estos al ingreso en el país receptor. Localmente, la carga impositiva total incluye la imposición directa más la indirecta en cascada incorporada en los insumos y costos (sin incluir el IVA a los consumidores, ni lo no incorporado físicamente al producto en salarios y gastos financieros, según requiere la OMC). Se calcula la carga en los insumos nacionales, importados, impuestos directos, etc. (sin los gastos financieros ni la carga salarial que no admite la OMC) La carga impositiva suele ser del orden del 40% medida macroeconómicamente (participación del estado) y es natural pensar que toda empresa tiene una carga similar. Pero dbe ser detallada para los casos de denuncias antidumping (o countervailing duty por subsidios) de otros países, y hay que justificar los escasos reintegros (reembol-

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sos) a los exportadores, por que son usualmente vistos como subsidios en el exterior (con carga mucho mayor que reintegros). Fuentes: 37) Duopolio según Cournot: Solo dos oferentes, sin colusión, frente a una demanda competitiva en la cual la cantidad X es la suma de X1 + X2 para ambas firmas. Calculan cada uno así sus ingresos totales y sus beneficios. Al optimizar separadamente, surge que cada uno actúa considerando su oferta como dependiente de la cantidad ofrecida por el otro (funciones de reacción X1= f(X2) y viceversa X2= g(X1) que incluyen la cantidad del otro). Ninguno supone que el otro mantiene la cantidad fija sino que ambos reaccionan ofreciendo según lo que produzca la otra empresa. Fuentes: 38) Empresa lider y seguidoras Una firma lider con varias seguidoras ante una demanda competitiva. Cada uno estudia eligiendo actuar como lider o como seguidor y coloca la producción del oponente en su propia función de de beneficio y por tanto de oferta. El resultado de estos escenarios se compara con otros posibles, sin y con colusion, para determinar cual conducta le conviene más a la empresa(s). Fuentes: 39) Antidumping: La ley comercial, doméstica e internacional, se basa en el modelo de la competencia.

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Pero la competencia es difícil de practicar; y a menudo hay que defenderla ante las autoridades locales y/o de la OMC, con denuncias por precio predatorio o por subsidios. Una denuncia documentada puede llegar a tener resultado positivo y obtenerse en un derecho antidumping o similar, si además se demostró que los montos srcinaron daños considerable (o amenazan con ello). Fuentes: 40) Cartel Si es posible la colusión los oligopolios optimizan conformando un cuasimonopolio. Pueden fijarse políticas comunes de precios, de cuotas y /o de reparto de beneficios, si fueran permitidas (controladas) por el gobierno. Bajo colusion se obtendrían beneficios mayores a toda otra alternativa de optimización de competencia ya que conformarían un monopolio. Se demuestra que losimperfecta, mayores beneficio surgen bajo monopolio (y aún mayores cuando puede discriminar precios o mercados) Fuentes: 41) Teoría de los juegos: En el constexto hostil del duopolio y en el de la incertidumbre y seguros se aplica la nueva lógica de Neumann-Morguenstern, que amplia el rigor del criterio matemático de verdad o falso al agregar la posibilidad de desconocido. En los juegos sin y con acuerdo se estudian las probabilidades de ocurrencia y ganancia, llegándose a un segundo mejor, realista o seguro, que es lo preferible a toda otra alternativa inalcanzable según el oponente.

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Cada duopolista calcula sus posibilidades, asegurándose el mejor resultado posible entre aquellos que no interesan a su oponente. Para los casos en que no coinciden las estrategias J. Nash agregó al análisis de las estrategias mixtas, con y sin colusión; o en juegos reiterados según la dominancia. Fuentes: 42) Análisis de dominancia: Sin colusión, puede convenir una estrategia mixta con sucesivos juegos al azar. En los juegos repetitivos se calcula la dominancia igualando las alternativas de que el oponente actúe o no con la misma estrategia, para jugar al azar pero guardando esas proporciones como promedio. Se logra un óptimo segundo, o lo mejor posible, luego de igualar las probabilidades de cada acción para ambos duopolistas. Fuentes: 43) Contratación de factores en competencia: La asignación óptima sigue el criterio paretiano para determinar la remuneración según el valor de su producto marginal (salario = valor del producto marginal del trabajo) Al igualar la TMS y el cociente de los precios de factores Pareto calcula la producción óptima, de modo que la remuneración de los factores no puede superar al producto marginal de cada factor. De este modo la distribución de ingresos agota el producto generado. Fuentes: 44) Contratación de factores en monopsonio: Una única empresa demanda factores, que actúan competitivamente. Igualando el valor del producto marginal a la oferta del factor surge una remuneración posible y otra de explotación monopsónica. La diferencia entre ambos valores es la explotación monopsónica.

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Fuentes: 45) Teoría de la incertidumbre – seguros: La lógica N-M también es aplicable cuando no se puede calcular la probabilidad de ocurrencia dealunriesgo suceso. Según su aversión o afección el agente pondera las contingencias, de ocurrir o no un suceso, para obtener la utilidad esperada de esa contingencia. El patrimonio efectivo o neto considera e incluye el costo del seguro contratado por la persona racional. Fuentes: 46) Evaluación de proyectos bajo contexto incierto Los empresarios pueden ser adversos o afectos al riesgo y asignar diferentesy probabilidades siniestro no siniestro. de ocurrencia a los escenarios posibles de Dada una función de utilidad se puede calcular el monto de un seguro o bien correr el eventual riesgo de un siniestro. Además, al comparar los ingresos bajo contexto cierto (sin seguro) e incierto (con seguro) también se puede estimar por diferencia el valor posible por el seguro. El análisis de seguros implica estimaciones valorando la aversión al riesgo de los clientes. Fuentes: 47) Ley de Walrá y Ley de Say Las empresas dependen del nivel de actividad general, que no siempre esta en equilibrio.

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En 1803 J.B. Say creía en una igualdad entre la demanda y la oferta, siempre con pleno empleo (excedente de demanda nulo). La teoría cuantitativa de la moneda de J.S. Mill en 1840, consideraba que si se emitía ello solo resultaría en inflación sin afectar al equilibrio de los mercados reales. J. M. Keynes explicó la gran crisis mundial de 1929, cuando de las laexpectativas/ desconfianza de los empresarios sobre la burbuja bolsa de Wall Stret los llevó a retirar sus inversiones, catapultando una quiebra general mundial con desempleo. Recetó cavar y tapar zanjas para dinamizar la actividad con los salarios de la obra publica. En vez de la identidad de Say , desde 1934 se prefiere utilizar la igualdad de Walras (Paris 1874), ya que solo para un determinado valor de precios la suma de ofertas se convierte en igual a la suma de demandas, pero con pleno empleo. Fuentes: 48) Caja de Edgewourth: Utilizó en 1885 curvas de indiferencia para demostrar las ventajas del intercambio entre dos países. W. Pareto completó analíticamente su criterio geométrico de óptimo. La intersección de dos curvas de los países era una combinación ineficiente, ya que era posible trasladarse por una u otra curva hacia una combinación eficiente (con punto de tangencia, no intersección), que representaba una mejora para uno o para el otro de los países. Como no explicaba cual de ambos debía mejorar surgieron otros criterios de bienestar, como los de Kaldor, Tibor de Sctowky y Bergson. Fuentes: 49) Matriz Insumo-Producto para miles de variables

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El álgebra de matrices incluye solo media docena de reglas y permitía resolver manualmente sistemas con más de tres variables pero pocas más (no había así publicados sistemas de 5 variables) La matriz inversa por el vector de demandas finales da como resultado el valor de las transacciones directas e indirectas de una economía o grupo empresario microeconómico. El algebra de matrices se aplicó exitosamente a la macroeconomía de los países, basándose en datos de los censos económicos. En Argentina se escondieron o no se publicaron estos datos, apareciendo recién en 2003 una matriz I-P suficientemente desagregada, no obstante los censos que se efectúan cada 10 años. Excel permite calcular en instantes miles de variables con la matriz inversa (=minversa( ) ) y las multiplicaciones (con =mmult( ) ); basta pintar el cuadro de los datos, seleccionar estas funciones y aplicarlas con Cntrl+Shift+Enter a todo otro rango similar pintado. Fuentes: 50) Teorema de Coase: El Estado puede dictar leyes pasivas y leyes activas (las que obligan a no hacer y a hacer) Repartiendo unos derechos iniciales a contaminar por un determinado nivel (limitado), puede surgir un mercado de esos derechos, para equilibrar las empresas deficitarias en polución con las sobrantes y lograr simultáneamente combatir la polución o carbono. Este aspecto del comportamiento bajo el criterio de las “ESR” no fue logrado; el acuerdo de Kyoto no fue cumplido por EEUU, demorándose hasta hoy la implementación del proyecto antipolución. Fuentes: 51) Criterio de distribución en competencia

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Igualando las TMS en el equilibrio paretiano de la empresa, o bien en la Caja de Edgeworth, se determinan las combinaciones eficientes. Pero pueden hacer falta otros criterios de bienestar para determinar quien mejora o quien empeora, como los que estudia la economía del bienestar. Fuentes:

PD: 5 TP OBLIGATORIOS EN EXCEL El curso requiere la práctica obligatoria de al menos cinco temas en Excel: elasticidad media o promedio; estimación de funciones por correlación múltile; programación “Simplex” con Solver; VAN y

TIR; resolución de sistemas o matriz insumo-producto. Asimismo, otros ecuaciones temas teóricos en el programa quizás no implican utilizar parafiguran modelizarlos, pero sonyigualmente necesarios. Por ejemplo teoría del bienestar; empresa socialmente responsable (ESR), etc.

Por otra parte, los métodos que son practicados en el curso conviene sean presentados por el alumno con otro enunciado similar, llegando en ellos a similares resultados (un caso de 2x2 como el expuesto aqui en el punto programación con seis métodos equivalentes (pag.211).

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LISTADO DE TP RESUELTOS Y ARCHIVOS

En los sitios de la FCE–UBA y en otras paginas web, como www.microconexcel.com.ar , www.microeconomíaconexcel.com , etc.figuran numerosos archivos, con practica analítica y otros enfoques. Son ejercicios de alumnos resueltos numéricamente, pero sin concluir con el correspondiente informe profesional y una revisión metódica preventiva. Hay allí además muchos otros TP, con resolución de sistemas con miles de variables en Excel, simulaciones dinámicas, etc (en todos los casos comienzan título con laclave). Unidad seguido del número de TP yeluna palabra 1 33 Resumenes De 33 Clases 1 50 Informes sobre los 50 Tp 1 50 TP resueltos Cronograma 1 Bibliografía 1 Codigo Hammurabi Sistema Economico real hace 4000 años 1 Conceptos Introductorios Relevantes Guia Inicial Inicial 1 Orientacion 1 Orientacion Y Cronograma Distancia 1 Tp 1 (circuito Económico) 1 Tp 1 (sistema Económico) 354

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1 Tutor 1 Tutoria 1 Utopía de T. Moro -Sistemas Económicos 1 Vision 1 Y 2 Tutorias Distancia 2 Agregacion Bienes Privados Y Publicos 2 Agregacion Demandas Y Ofertas 2 Demofe 2 Elasticidades Puntual Y Media 2 Graficos Total Medio Marginal 2 Ingreso 2 Ingresos 2 Oferta Y Demanda 2 Prácticos Analíticos 22 Tp Tp 22 Agregacion Bienes Privados 2 Tp 2 Bienes Privados Y Públicos 2 Tp 2 Suma Horizontal 2 Tp 3 Elasticidad 2 Tp 3 Elasticidad 2 Tp 3 Elasticidad Cigarrilos 2 Tp 3 Y 21 Elasticidad Media o Promedio 2 Tp 4 (teoría De Los Ingresos-gastos) Ingreso Marginal 2 Tp 4 Ingresos 2 Tp 4 Teoria De Los Ingresos 2 Tp 8 Teoria Ingresos O Gasto 2 Tp Suma Horizontal Bienes Privados MICROECONOMÍA CON EXCEL

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3 El Mercad Competitivo U.3 3 Estabil 3 Micro Con Excel 3 Tp 12 Simplex Dieta 3 Tp 5 (estabilidad Estática) 3 Tp 5 Estabilidad Del Mercado 3 Tp 5 Estabilidad Mercado 3 Tp 5 Estabilidad Walras Y Marshall 3 Tp 6 Efecto De Impuestos 3 Tp 6 Impuestos 3 Tp 7 Modelo Telarana 3 Tp 7 Modelos Telaraña Con Ajustes 3 Tp 7 Modelos Telaraña Con Ajustes2 3 Tp 8 Demanda Caso Industrias 1999 33 Tp Tp 88 Detalle Detalle Datos Datos Mercado Mercado A B 3 Tp 8 Detalle Datos Mercado C 3 Tp 8 Detalle Datos Mercado D 3 Tp 8 Estimacion Demanda Helados Con Anova 3 Tp 8 Estimacion Demanda Helados Correlac Multiple 3 Tp 8 Estimacion Demanda Y Analisis De Coyuntura 3 Tp 8 Estimacion Funcion Demanda Discos Freno 3 Tp 8 Estimacion Funciones Demanda Cocinas Producto 11 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto1 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto10 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto2 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto3 356

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3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto4 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto5 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto6 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto7 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto8 3 Tp 8 Import Argentina Por Firma Y Producto9 3 Tp 8 Nomenclador Internacional De Productos 3 anova 4 Archivos Paginas Micro Con Excel 4 Modela 4 Solver 4 Tabla0 Simplex 4 Tp 10 Minimizacin Lineal Metodo Grafico 4 Tp 10 Minimizacion Y Simplex 44 Tp Tp 11 11 Inversiones (simplex) Con Solver 4 Tp 11 Maximizacion Simples Caso Zonda 4 Tp 11 Muestras De Excel Para Transportes y otros Simplex 4 Tp 11 Simplex 4 Tp 11 Simplex Con Solver De Excel 4 Tp 11 Simplex Con Solver De Productora 4 Tp 11 Simplex Con Solver Dulces 4 Tp 11 Simplex Con Solver Lenceria 4 TP 11 Simplex con Solver paso a paso 4 Tp 11 Simplex Con Solver Peras 4 Tp 11 Simplex Fabrica Remeras 4 Tp 11 Simplex Gualeguaychu MICROECONOMÍA CON EXCEL

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4 Tp 11 Simplex Solver Duraznos 4 Tp 11 Simplex Solver Motos 4 Tp 11 Simplex Textil 4 Tp 11 Simplex Trigo Centeno 4 Tp 11 Simplex Y Solver Lagrange Y Matrices 4 Tp 11 Tablas Simplex Programac Lineal 4 Tp 11 Tablas Simplex Programacion Lineal 4 Tp 12 Simplex Camperas 4 Tp 12 Simplex Con Solver Dietas 4 Tp 12 Simplex Con Solver Imprenta 4 Tp 13 Minimizar Costo Dieta 4 Tp 13 Programacion Con Solver-remeras 4 Tp 13 Simplex Solver Sensibilidad 4 Tp 9 Metodo Grafico Programacion Lineal 44 Tp MetodoLineal-método Grafico Tp 99 Prog Y 10 Lineal Programación Grafico 4 Tutoria Simplex Programacion Lineal Solver 5 Graficos Total Medio Marginal 5 Hicks Efecto Renta 5 Slutzky E Inclusión Del Tiempo 5 Tp 14 (maximización De La Utilidad) 5 Tp 14 (minimización Del Gasto T.utilidad) 5 Tp 14 Tres Teorías De La Demanda Y El Sistema Economico 5 Tp 14 Utilidad Cardinal 5 Tp 15 Curvas Indiferencia Pareto 5 Tp 16 Y 18 Lagrange Dual Y Teorias 5 Tp 17 Lagrange 358

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

5 Tp 17 Lagrange Max Y Tp18 Minimiza 5 Tp 19 Demanda Teorica 5 Tp 20 Ecuac Slutzky 5 Tp 20 Ecuacion Slutzky 5 Tp 20 Efecto Renta Y Sustitucion De Hicks 5 Tp 22 12indices De Toranzos 50 Informes De 50 Tp 50 Tp Micro1 Octub 2007 6 Dumping 6 Juegos 6 Produc 6 Producion 6 Teoria Juegos Estrategias Mixtas 6 Tp 23 Y 24 Produccion 66 Tp Teoria Produccion Y Costos De Lagrange Tp 23 24 Y Maximizacion Con Operadores 6 Tp 25 Euler Y Cobb Douglaseulercob 6 Tp 26 Costos 6 Tp 26 Costos A Corto Plazo 6 Tp 26 Costos Con Excel 6 Tp 26 Costos Unitarios 6 Tp 26 Punto Muerto 6 Tp 27 (cantidad De Competidores) 6 Tp 27 Cantidad De Emrpesas 6 Tp 27 Cantidad De Firmas En Competencia 6 Tp 28 Sobredimensionada 6 Tp 29 (inventario Optimo) 6 Tp 29 Inventario Optimo Stocks MICROECONOMÍA CON EXCEL

359

Análisis microeconómico con Excel

6 Tp 30 Evaluacion Estados Financieros 6 Tp 30 Tir Segun Excel 6 tp 30 TIR y VAN Teresa Eiras 6 Tp 30 Van Y Tir Etileno 6 Tp 32 Equilibrio Empirico 6 Tp 33 ( Monopolio ) 6 Tp 33 Monopolio 6 Tutoria 6 Y 8 Tp 31 Y 46 Evaluacion Proyecto Incierto 6 Tp Sistemas NxN 6 TP sistemas NxN ABRA 6 Métodos equivalentes 6 Metodos equivalentes 7 Carga Impositiva 7 Compett 7 Medio Ambiente 7 Monopolio 7 Monopolios 7 Oligopo 7 Teorema De Coase 7 Tp 28 Empresa Sobredimensionada Y Antidumping 7 Tp 28 Y 39 Competencia Y Antidumping 7 Tp 32 Equilibrio Empresa Con Series Empiricas (monopolio ConImpuestos Impuestos) 7 Tp 34 Efecto De Los 7 Tp 34 Impuestos En Monopolio 7 Tp 35 Discriminación 7 Tp 35 Discriminacion De Precios O Mercados 360

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

7 Tp 35 Discriminacion Mercados 7 Tp 36 Carga Impositiva 7 Tp 36 Cargaimpositiva 7 Tp 37 (duopolio Segun Cournot) 7 Tp 37 A 40 Oligopolio 7 Tp 37 duopolio de Cournot 7 Tp 37 Listas De Extras Sin Discriminacion En Antidumping 7 Tp 37 Y 38 Duopolio De Cournot Etc 7 Tp 38 Estacion Vivitos 7 Tp 38 Lider Y Seguidora De Stackelgerg 7 Tp 38 Vivitos Rapidito Lentito 7 Tp 39 (antidumping) 7 Tp 39 Dumping Y Gatt 77 Tp Tp 39 40 Proceso Cartel De Dumping 7 Tp 40 Stackelberg Y Otros 7 Tp 41 Dilema Del Prisionero 7 Tp 41 Juegos Duoplio Supermercados 7 Tp 41 Juegos Duopolio 7 Tp 41 Juegos Radio Tv 7 Tp 41 Teoria De Los Juegos E Incertidumbre 7 Tp 41 Y 42 Teoria De Los Juegos Y Dominancia 7 Tp 41,45 Y46 Juegos-incertidumbre 7 Tp 42 (juegos Dominancia) 7 Tp 42 Dominancia En Juegos 7 Tp32 Equilibrio Con Funciones Empiricas 7 Vivitos, Rapidito Y Lentito MICROECONOMÍA CON EXCEL

361

Análisis microeconómico con Excel

8 A 10 Tp 43 Y 44 Teoria Distribucion 8 A 10 Tp 47 A 51 Caja De Edgewourt 8 Distribucion 8 Equilibrio General 8 o 10 Tp 47 Equilibrio General 8 o 10 Tp 51 Excedente Consumidor 8 o 9 Tp 45 Seguros E Incertidumbre 8 o 9 Tp 45 Seguros Incertidumbre 8 o 10 Criterios De Bienestar Y Valoración 8 Tp 47 Equilibrio General 8 Tp 49 Matriz Inversa 8 Tp 49 Matriz I-p Acero Autos 8 Tp 49 Sistemas Ecuaciones Y Matrices 8 Tp 50 Teorema Coase 88 Tp Perdida Social Tp 51 51 Bergson Excedentes Y Bienestar 9 Incertumbre 10 Bienestar Zip con versiones anteriores: Zip1 Programa y TP Micro1 Zip2 Prácticos Analíticos Zip3 Micro Con Excel 2004 $695

No

>$395

No

Propietario GUI Propietario GUI

No

Propietario GUI

No

Propietario CLI

No No

Propietario GUI Propietario GUI Propietario GUI

No

Propietario CLI/GUI

No

Propietario Excel

$195

No

Propietario GUI

Libre

No

Propietario GUI

$395[2]

No

Propietario Excel

SOCR UCLA Stata Statgraphics STATISTICA StatIt

StatPlus SPlus SPSS StatsDirect Statistix

SYSTAT

StatSoft StatIt 7 de enero,

[1][2] AnalystSoft 2007 $150 Insightful Inc. 2005 $1599[2 SPSS Inc. 2007 ] StatsDirect $179 Statistix $695

Systat Software Inc.

UNISTAT

Unistat Ltd VisualStat

21 de febrero, 2007 $1299 $895, 15 de mar- $495, zo, 2005 $300

No

GUI,

El computar de VisualStat

Winpepi

J. H. Abramson

XLStat

El computar de Ko-

368

GUI

Sep de 2007

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

vach XploRe

Producto

MD*Tech

2006

Producto

La fecha más última de la versión

Propietario GUI

No

Coste (USD)

Abra la Licencia del fuente software

Ayuda del sistema operativo Producto

OS del Mac

Windows

Linux

DEB

Unix

ADaMSoft

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

MacAnova

Dataplot

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

SalStat

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Cartilla

Sí

No

No

No

No

AcaStat

Sí

No

No

No

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Analizar-él

Sí

No

No

No

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BioStat

Sí

No

No

No

No

BrightStat

Sí

Sí

Sí

No

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EasyReg

Sí

No

No

No

No

Epi Info

Sí

No

No

No

No

Sí

Terminado (1.1) No

No

No

GAUSS

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Hélice de oro

Sí

Sí

Sí

No

Sí

EViews

MICROECONOMÍA CON EXCEL

369

Interfaz

Análisis microeconómico con Excel

gretl JMP

Sí

Sí

Sí

No

No

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

MedCalc

Sí

No

No

No

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modelQED

Sí

No

No

No

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Minitab

Sí

Terminado No

No

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NCSS

Sí

No

No

No

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Origen

Sí

No

No

No

No

OpenEpi

Sí

Sí

Sí

Sí

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Partek

Sí

No

Sí

No

No

PSPP R Comandante de R RATAS RKWard SAS

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí[5]

Sí[5]

Sí[5]

Sí[5] No

Sí Sí

No

No

Sí

No

Sí

Sí

Terminado Sí

No

Sí

AcaStat

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

SOCR Stata Statgraphics STATISTICA

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

No

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No

No

StatIt

Sí

No

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StatPlus SPlus SPSS

Sí Sí

Sí No

No Sí

No No

No Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

StatsDirect

Sí

No

No

No

No

Mathematica

370

Sí

Sí

Sí

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

Statistix

Sí

No

No

No

No

SYSTAT

Sí

No

No

No

No

UNISTAT

Sí

No

No

No

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VisualStat

Sí

No

No

No

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Winpepi

Sí

No

No

No

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XLStat

Sí

Sí

No

No

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XploRe

Sí

No

Sí

No

Sí

Producto

OS del Mac

Windows

Linux

DEB

Unix

ANOVA - Ayuda para vario ANOVA métodos Producto

Unidireccional

De dos vías

MANOVA

GLM

pruebas Postehoc

Análisis de los cuadrados latinos

AcaStat

No

No

No

No

No

No

ADaMSoft

No

No

No

No

No

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Analizar-él

Sí

Sí

No

No

Sí

No

BioStat

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

BrightStat

Sí

Sí

No

No

Sí

No

EasyReg

No

No

No

No

No

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Epi Info EViews

Sí

Sí

No

No

No

No

No Sí

No

No

No

No

Sí

GAUSS Hélice de oro

Sí

gretl

MICROECONOMÍA CON EXCEL

371

Análisis microeconómico con Excel

Mathematica

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

MedCalc Minitab

Sí

Sí

No

No

Sí

No

Sí

Sí

Sí

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Sí

NCSS

Sí

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Sí

Sí

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OpenEpi

Sí

No

No

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No

No

Origen

Sí

Sí

No

No

No

No

Partek

Sí

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Sí

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Sí

R Comandante de R SAS SOCR Stata

Sí

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Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

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Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

Statgraphics STATISTICA

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

Sí Sí

StatIt

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

StatPlus SPlus SPSS

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

StatsDirect

Sí

Sí

No

No

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Sí

Statistix

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

SYSTAT

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

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UNISTAT

Sí

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No

Sí

Sí

Sí

VisualStat

Winpepi

Sí No

Sí No

Sí No

No No

Sí No

No No

XLStat

Sí

Sí

Sí

No

Sí

No

372

Sí

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

Producto

Unidireccional

De dos vías

MAGLM NOVA

pruebas Postehoc

Análisis de los cuadrados latinos

REGRESION - Ayuda para varios métodos de regresión: AcaStat ADaMSoft

Sí

Analizar-él

Sí

No

No

Sí

Sí

No

No

No

BioStat BrightStat

Sí

EasyReg

Sí

Epi Info

Sí

No

No

No

Sí

No

No

No

EViews GAUSS

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí Sí

Hélice de oro

gretl

Sí Sí

Sí

Sí

Sí

MedCalc Minitab

Sí

No

No

Sí

Sí

No

NCSS

Sí

Mathematica

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Sí

Sí

No

No

Sí

No

Sí

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

Origen R

Sí Sí

Comandante [4] de R

Sí

Partek

No Sí

No Sí

No Sí

No Sí

Sí Sí

No Sí

Sí Sí

Sí

MICROECONOMÍA CON EXCEL

373

Análisis microeconómico con Excel

RATAS

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Sí

Sagata

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

Sí

SAS SOCR Stata Statgraphics STATISTICA

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

Sí

No

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

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Sí

Sí

No

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

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Sí

Sí

StatPlus SPlus SPSS

Sí

No

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No

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Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

StatsDirect

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

Sí

Sí

StatIt

Sí Sí

Sí No

Sí

Sí Sí

Statistix

SYSTAT UNISTAT VisualStat

Winpepi

Sí

XLStat

Sí

Producto

Sí Sí

Sí

Logí OLS WLS 2SLS NLLS stico

GLM

CHAVAL

Por etapas

SERIES DE TIEMPO -Ayuda para vario análisis de serie de tiempo.

Producto

374

ARIMA

Prueba de la Prueba de GARCH raíz de Cointegration la unidad

MICROECONOMÍA CON EXCEL

VAR

GARCH Multivaria

Análisis microeconómico con Excel

AcaStat

Analizar-él BioStat EasyReg

Sí

Sí

Sí

Sí

EViews GAUSS gretl

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Mathematica

Sí

Sí

MedCalc Minitab

No

No

No

No

No

Sí

No

No

No

No

NCSS

Sí

Origen R

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

No

No

No

No

Sí

No

No

No

No

StatPlus

Sí

No

No

No

No

SPlus SPSS

Sí

Sí

[4] Comandante de R

RATAS SAS SOCR Stata Statgraphics STATISTICA

Sí

Sí

StatIt

Sí

Sí

StatsDirect Statistix

MICROECONOMÍA CON EXCEL

375

Análisis microeconómico con Excel

SYSTAT

Sí

UNITAT

Sí

No

No

No

No

VisualStat

Winpepi XLStat

Producto

ARIMA

Prueba de la Prueba de GARCH raíz de Cointegration la unidad

VAR

GARCH Multivaria

COMPARACON I NTEGRAL DE PAQUETES ESTADISTICOS DISPONIBLE EN: http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Comparison_of_statistic al_packages

376

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Se han buscado y no fueron encontrados (en Microsoft, ni en editoriales internacionales, en inglés o en castellano) textos o CD (tienen interactividad) con casos ejemplificados mediante Excel sobre este tipo de elcontenido. Consecuentemente, aplicó en el presente la solución de trabajo utilitario Excel, para clarificar se y abreviar ejercicios conceptuales publicados en diversos trabajos. Algunos pocos ejercicios forman parte del paquete Excel del Office de Microsoft; pero la mayor parte de los ejercicios conceptuales ha sido obtenida de los textos utilizados en los programas de Microeconomía I, o de Estadística, de la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad de Buenos Aires. Varios de ellos se listan a continuación (otros trabajos pueden no estar listados aquí y se pide disculpa): -Allen, R. G. D., Análisis Matemático para Economistas, Aguilar Ediciones, 1964.

Madrid:

-Baumol, W. J., Teoría Económica y Análisis de Operaciones, Madrid: Editorial Dossai, 1980.` -Beker, V. A., Microeconómia Aplicada, Buenos Aires: Editorial de Belgrano, 1992. -Bronson, R., Investigación de Operaciones- Teoría y 310 Problemas Resueltos. Editorial McGaw Hill: serie Schaum publicado en español. ISBN 968-451-385-2 -Cecil Mills, F., Métodos Estadísticos Aplicados a la Economía y a los Negocios, Madrid, Aguilar Ediciones, 1965.

MICROECONOMÍA CON EXCEL

377

Análisis microeconómico con Excel

-Chiang A., Métodos fundamentales de economía matemática, Buenos Aires: Amorrortu Editores, 1977. -Cortada, N.-Carro, J. M., Estadística Aplicada, Buenos Aires, EUDEBA, 1968. -Davies, O. L., Métodos Estadísticos Aplicados a la Investigación a la Producción, Madrid: Aguilar Ediciones, 1965. -Diéguez, H.-Porto, A., Problemas de Microeconomía, Buenos Aires: Editorial Amorrortu, 1972. -Eiras Roel, S., Microeconomía: ejercicios de los cursos FCE-UBA, Buenos Aires, accesibles en: www.microconexcel.com.ar www.microeconomiaconexcel.com http://distancia.econ.uba.ar www.econ.uba.ar Dep..Economía (Microeconomia I-catedra I -adjuntowww.aplinfo.com.ar Eiras Roel); (clave: microeconomia) -Ferguson, C. E.-Gould, J., Teoría Microeconómica, Buenos Aires: Editorial Fondo de Cultura Económica, 1983. -Fernández Pol, J. Demanda de los Consumidores, Ediciones Rancagua. -González García, J. A., Técnica operativas para la toma de decisiones, Madrid: Editorial Index, 1976. -Henderson, J.M.-Quandt, R.E., Teoría Microeconómica, Barcelona, Editorial 1985. -Kmenta,Ariel, J., Elementos de Econometría, Barcelona: Editorial Vicens Universidad, 1980.

378

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

-Lago. A. V., Microeconomía, Buenos Aires: Ediciones Macchi, 1976. -Moroney, M. J., Hechos y Estadísticas, Buenos Aires: EUDEBA, 1970. -Rébora, T. I., Ejercicios de los cursos de microeconomía I, en www.rebora.homestead.com -Solana, R. F., Planeamiento y control de la producción, Buenos Aires: Editorial El Coloquio, 1974. -Spiegel, M. R., Estadística, Bogotá: Editorial McGraw Hill, 1969. -Toranzos, F. I., Estadística, Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 1962. Tambíén Formación Matemática del Economista, Buenos Aires, Fondo de Cultura Económica, 1964. -Tow, F.,Económicas-UBA, Programa de Microeconomía I, Buenos Aires: Facultad Ciencias 1997. -Tow, F., Guía de trabajos prácticos Microeconomía, Ed. CECE. -Trejo, C. A., Matemática General, Buenos Aires, Editorial Kapelusz, 1962. -Varian y Bergstrom (Bergstrom-Varian), Ejercicios de Microeconomía Intermedia, Barcelona: Editorial Bosch, 1987. -Varian, H. R., Análisis Microeconómico, Barcelona: Editorial Bosch, 1998. -Varian, H. R., Microeconomía Intermedia, Barcelona: A. Bosch Editor, 1998.

MICROECONOMÍA CON EXCEL

379

Análisis microeconómico con Excel

-Watson, D. S., Teoría de los precios en acción, México: Editorial Trillas, 1981. -Yamane, T., Matemáticas para Economistas, Barcelona, Editorial Ariel, 1965.

380

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

NOTA: Es usual encontrar PC con teclados desconfigurados y tener dificultades para ubicar algunos signos, símbolos, caracteres. Pueden obtenerse pulsando simultáneamente Alt + (pad numérico):

Alt 40 Alt 41 Alt 42 Alt 43 Alt 45 Alt 46 Alt 47 Alt 60 Alt 61 Alt 62 Alt 92 Alt 94 Alt 97 Alt Alt 208 230 Alt 255

( ) * + . / < = > \ ^ a ðµ β

AYUDA DE MICROSOFT ON LINE Existe ayuda automática de Microsoft en (http://support.microsoft.com/gp/mtdetails ) con traducciones automáticas o de un traductor humano. Microsoft artículos traducidos por un traductor humanoleyofrece artículos traducidos automáticamente para que tenga acceso en su propio idioma a todos los artículos de nuestra base de conocimientos (Knowledge Base). Sin embargo, los artículos traducidos automáti

MICROECONOMÍA CON EXCEL

381

Análisis microeconómico con Excel

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382

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

PROGRAMA (“linkeado”):

UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECONOMIA El problema económico. Descripción sintética de un sistema económico global y su funcionamiento desde la perspectiva microeconomica. Consumidores. tores.y Propietarios de los factores de producción. Mercado deProduc productos de factores. Sectores económicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciones. Flujo circular. Sistema de precios. Diferenciación de la macroecomía. Aspectos metodológicos: economía positiva y normativa, teoría y realidad. Variables. Funciones e identidades. M odelos determinísticos y estocásticos. DETALLE UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECONOMIA El problema económico. (Lipsey cap.4) Descripción sintética de un sistema económico global y su funcionamiento desde la perspectiva microecon.. (Parkin 1) Consumidores. Productores. Propietarios de los factores de producción. Mercado de productos y de factores. Sectores económicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciónes. Flujo circular. Sistema de precios. (Lipsey 5; Friedman 1) Diferenciación de la macroecomía. Aspectos m etodológicos: economía positiva y normativa; teoría y realidad. (Lipsey 1) Variables. Funciones e identidades. (Lipsey 2) Modelos determinísticos y estocásticos. (Lipsey 3) Lipsey, Richard: Introducción ala economía positiva. Cap. 1 - 5 Objeto y método. Visión general del sistema de precios. Parkin, M. Microeconmía. Cap. 1 Qué es la economía? Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 1 - Introducción.

MICROECONOMÍA CON EXCEL

383

Análisis microeconómico con Excel

UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. Conceptos exante y ex-post. Unidad de tiempo y de medida. Variables dependientes e independientes. Elasticidades. Definición de los bienes. Gasto e ingreso total. Composición de las curvas mediante suma horizontal. Desplazamientos de las curvas. Relación entre los conceptos. DETALLE UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. (Lipsey 7,8,10; Parkin 4; Friedman 2 hasta49). Conceptos exante y expost Unidad de tiempo y de m edida. Variables dependientes e independientes. Elasticidades. (Baumol c.8 hasta 175 ed.1964; cap9 hasta 190 ed.1980; Mochón 5; Parkin 5; Varian 15) Defición de los bienes. Gasto e ingreso total. (Varian 15; conviene tambien el cap 3 de Baumol) Composición de las curvas mediante suma horizontal. (Dieguez-Porto ej.35) Desplazamientos de las curvas. Relación entre los conceptos. Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 7 La teoría elemental de la demanda. La teoría elemental de la oferta. Cap. 10 La elasticidad de la oferta y la demanda. Mochón F. y Becker V. Economía,Principios y aplicaciones. Cap. 5 Oferta y demanda: conceptos básicos y apliaciones. Parkin, M. Microeconomía. Cap.4 Demanda y oferta. Cap.5 Elasticiad. Friedman, M. Teoría delos precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (hasta la pag. 49) Baumol W. Toería económica y análisis de operaciones. Cap. 8 Teoría del demanda (hasta la pag. 175). Fernández Pol, J. Conceptos matemáticos útiles en microeconmía. Parte I. Cap. 5 Funciones homogéneas. Teorema de Euler. Varian, Harl R. M icroeconomía intermedia. Cap. 15 La demanda del mercado.

384

MICROECONOMÍA CON EXCEL

Análisis microeconómico con Excel

UNIDAD 3: EL MERCADO COM PETITIVO. Caracterización. Equilibrio. Condiciones de estabilidad (estáticas). Hipótesis del exceso de demanda (Walras). Hipótesis del exceso de demanda precio (M arsall). Modificación del equilibrio. Estática comparada. Subsidios e impuestos. Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en condiciones de coeficientes fijos. Mercados relacionados. Modelo de la telaraña y otros modelos dinámicos. Condiciones de estabilidad dinámica. Predicciones e interpretación a través del modelo de la o ferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos. Introducción a la estimación de las funciones. Problemas de identificación. Estudio de casos de la realidad. Extensiones: introducción a la econometría. DETALLE: UNIDAD 3: EL MERCADO COM PETITIVO. Caracterización. Equilibrio. Condiciones de estabilidad (estática). Hipótesis del exceso de demanda -Walras). Hipótesis del exceso de demanda precio Marsall. (Henderson-Quandt 6-7 y 6-8) Modificación del equilibrio. Estática comparada. Subsidios e impuestos (Lipsey 9 y 11; Parkin 6) Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en condiciones de coeficientes fijos. Mercados r elacionados. (Friedman 7) Modelo de la telaraña y otros modelos dinámicos. Condiciones de estabilidad dinánica. (Lipsey 12; Henderson-Quandt 6-8 y 69) - Predicciones e interpretación a través del modelo de la oferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos: Introducción a l a estimación de las funciones. Problemas de identificación. cap.10 ed.1980 es más específico pero excede el nivel de la (Baumol asignatura) Estudio de casos de la realidad. (Eiras: chapa frío; discos embrague; helados; departamentos, etc. resueltos en páginas Web ) Extensiones: introducción a la econometría. (Baumol, etc. ...)

MICROECONOMÍA CON EXCEL

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Análisis microeconómico con Excel

Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 9 La teoría elemental del precio de mercado. Cap. 11 Algunas predicciones de la teoría del precio (centra su enfoque en los impuestos, precios maximos y precios mínimos). Cap. 12 La teoría elemental del precio. Análisis dinámico (incluye el modelo de la telaraña) Varian H. R. M icroeconomía intermedia. Cap. 16 El equilibrio. Parkin, M. Microecomía. Cap. 6 Los mercados en la práctica. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 7 La demanda derivada. Henderson J. y Quandt, R.: Teoría microeconómica. Cap. 6 El equilibrio del mercado; punto 6-7 La existencia y unicidad del equilibrio; 68 La estabilidad del equilibrio; 6-9 El equilibrio dinámico con ajuste retrasado (modelo de la t elaraña) Bibliografía complementaria. De Pablo, J y Tow, F.: Lecturas de microecomía por economistas argentinos. Canavese, Alfredo J, Una exposición sobre problemas habituales en la estimación de funciones de damanda. Stigler, G. y Boulding, K., Ensayos sobre la toería de los precios. Cap. 4 Working, E. J,: Qué demuestran las funciones estadísticas de demanda ? Ejercicios resueltos: Dieguez, H. y Porto, A,: Problemas de microeconomía. Problema 35 Agregación de demandas. UNIDAD 4: PROGRAMACION LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuaciones de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de holgura. Minimización y maximización. problemas. Problema primal y dual. Variables artificiales. ElPlanteo métodode Simplex. Su interpretació n económica. Precios sombra. Planteo y aplicación de teoremas. Análisis de sensibilidad. Extensiones: programación entera y no lineal. DETALLE:

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Análisis microeconómico con Excel

UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuaciones de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de holgura. Minimización y maximización. Planteo de problemas. (Baulol 5 Henderson-Quandt 5-6 y 5-7; Tow ficha ed.Macchi) Problema primal y dual. Variables artificiales. (Baumol 6) El método Simplex. Su interpretación económica. Precios sombra. Planteo y apliación de t eoremas. Análisis de sensibilidad. (3 paginas Eiras en Web; Ej. en Excel-Solver)Extensiones: programación entera y no lineal. (Baumol 7; Ej.en paginas Web Eiras con Solver de Excel) Baumol, W. Teoría económica y análisis de operacioens. Cap. 5 Programación lineal Henderson, J. y Quandt, R: Teoría microeconómica. Cap. 5 punto 5-6 Funciones de producción lineales y 5-7 Programación lineal. Tow, Fernando V. Progrmación lineal como instrumento de modelación microeconómica. Todas las secciones. Bibliografía complementaria: Dorfman, R., Samuelson, P., Solow, R, Programción lineal y análisis económico. Cap. 5 El problema del transporte; punto 5-1 Un caso sencillo y 5-4 Los valores implicitos: el dual. Ejercicios resueltos: Dieguez H. y Porto, Problemas de microeconomía. Problema 13 Max imización del producto. Problema 14 Minimización del costo. Problema 16 Plan de producción. Problema 17 Plan de producción (II). Problema 18 Plan de producción (III)

UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR. Preferencias y elecciones racionales. Utilidad cardinal y ord inal. La restricción presupuestaria. Maximización de la utilidad. Equilibrio del consumidor. Deducción de la curva de demanda individual.

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Propiedades. Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. Clasificación económica de los bienes. La preferencia revelada. Los índices de ingresos. Elecciones intertemporales. Extensiones: inclusión del tiempo en la tecnología del consumo y como restricción. Costos de búsqueda. DETALLE UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR Preferencias y elecciones racionales. Utitidad cardinal (Parkin 7) ...y ordinal (Parking 8; Baumol 8-5 hasta 8-10 ed.1964 ó 95 hasta 9-10 ed.1980). La restricción presupustaria. Maximización de la utilidad. Equilibrio d el consumidor. (Friedman 2 pag. 49-73)(Varian 3,4,5)(Baumol 2 y3) Deducción de la curva de demanda individual. Propiedades. (Dieguez-Porto ej 32 y 34 ) Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. (Baumol 8-11 y 812 ed.1964 ó 9-11 hasta 9 -17 ed.1980; Henderson-Quandt cap2 y 3-5) Clasificación económica de los bienes. (Varian 8) La preferencia revelada. (Baumol 8-12 o 9-13 ed.1980, etc.) (Henderson-Quandt 3-5)(Varian 7) (Di eguez-Porto ej.36) Los índices de ingresos. Elecciones intertemporales. (Dieguez-Porto ej.40) Extensiones: inclusión del tiempo en la tecnología del consumo y como restricción. (Varian 10) (Lago: Microec. c.XII) Costos de búsqueda. Fernández Pol, J : conceptos matemáticos útiles en microeconmía. Parte II Cap. 3 Tercer caso: funciones de dos variales y una restricción. Parkin, M. Microeconomía. Cap. 7 Utilidad y demanda. Cap. 8 Posibilidades, y elecciones. Baumol,preferencias W.: Teoría economíca y análisis de operaciones. Cap. 8 T eoría de la demanda (pag. 175 en adelante) Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (pag. 49 en adelante)

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Henderson, H. y Quandt, R Toería microeconómica. Cap. 2 La teoría de la conducta del consumidor. Cap. 3 T emas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-5 La teoría de la preferencia revelada. Bibliografía complementaria. Varian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 3 Las preferencias. Cap. 4 La utilidad. Cap. 5 La elección. Cap. 6 La demanda. Cap. 8 La ecuación de Slutsky. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 32 Utilidades independientes e interdependientes. Probmema 34 Autarquía de un productor-consumidor. Problema 36 Preferencia revelada. UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIOS. Función de producción. Isocuantas e isocostos. R endimientos de los factores variables y rendimientos a escala. M inimización de costos. Eficiencia técnica y económica. Deducción de las funciones de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo.Asignación de los factores de la producción. La naturaleza de la empresa. Modelos de inventarios óptimos. El problema de los incentivos. El financiamiento. La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos. DETALLE UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIO. Función de producción. ) Isocuantas e i socostos.

(Mochón 7; Paarkin 10; Baumol 9

Rendimientos decostos los factores variables a escala. Minimización de (Baumol 2yyrendimientos 3; Dieguez-Porto ej.1 y 6; Henderson-Quandt 5-1, 5-2; Varian 17 a 21) Eficiencia técnica y económica. (Parkin 9; Mochon 7) Deducción de las funciones de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo. (Mochon 8)

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Asignación de los factores de la producción. La naturleza de la empresa. (Coase) Modelos de inventarios óptimos. (Baumol 1); El problema de los incentivos. El financiamiento.La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. (Parkin 9) Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos . Mochón, F. y Becker, V. Economía, principios y apliaciones. Cap. 7 La teoría de la producción y de los costos. Parkin, M., Microeconmía. Cap. 10 Producción y costos. Baumol W., Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 1 Optimización y un ejemplo de análsis de existencias. Cap. 9 Producción y costos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 4 La teoría de la empresa. Cap. 5 Temas sore la teoría de la empresa: puntos 5-1 Funciones de producción homogéneas y 5-2 Las funciones de producción CES (elasticidad de sustitución constante) Bibliografía complementaria Varian, H. Microeconmía intermedia. Cao. 17 La tecnología. Cap. 20 Las curvas de costes. Friedaman, M. Teoría de los precios. Cap. 5 Las relaciones entre curvas de oferta y curvas de costes. Coase, Ronald. La naturaleza de la empresa, en Stigler, G. y Boulding, K.,: Ensayos sobre la toería de los precios. Ejercicios resueltos. Dieguez, H. y Porto, A. Problemas de microeconomía. Problema 1 Minimización del costo de poducir una cantidad dada de un bien. Pr oblema 6 Rendimientos a escala.

UNIDAD 7: EL OBJETIVO DE LA EMPRESA Y FORMAS DE MERCADO DE PRODUCTOS. Competencia perfecta, maximización de beneficios y l a curva de oferta individual y de la industria. Corto y largo plazo, Economías y

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deseconomías externas. Monopolio maximizador de beneficios. Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios. Monopolio discrimidor de precios. Empresa líder con competidores perfectos. Competencia imperfecta. Duopolio: soluciones de Cournot, de von Stackelberg, de Bertrand y de colusión.Teoría de los juegos. Publicidad. Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el mercado. Modelos de competencia espacial. Extensiones: evaluación empírica de algunos modelos de conducta empresaria. DETALLE UNIDAD 7: EL OBJETIVO DELA EMPRESA Y FORMAS DEL MERCADO DE PRODUCTOS Competencia perfecta, maximización de beneficios y la curva de oferta individual y de la industria. Corto y largo plazo, Economías y deseconomías externas (Mochon 9) (Parkin 11) (Henderson-Quandt 6-1 hasta 6-5) (Varian 21, 22) Monopolio maximizador de beneficios. (Monchon 10; Baumol 11; Henderson-Quandt 7; Varian 19) Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios. Monopolio discrimidor de precios. (Dieguez-Porto ej. 25 caso general ! )(Parkin 12) (Varian 23, 24) (Baumol 16-13 caso sencillo !) Empresa líder con competidores perfectos. Competencia imperfecta. (Mochon 11)(Parking 13) (Henderson-Quandt 8-1 8-2 8-3)) Duopolio: soluciones: de Cournot de von Stackelberg, de Bertrand y de colusión. (Dieguez-Porto ej.19, 20, 23,24,25,28,30,31) Teoría de los juegos. (Parkin 13) (Henderson-Quandt 8-5) Publicidad. (Baumol 10) Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el mercado. (Stigler) Modelos de competenci espacial. de (Lago: Microec. c.XI)de conducta Extensiones: evaluaciónaemprírica algunos modelos empresaria. (Baumol 10 o 15 ed.1980 ) ( DiTella; De Pablo; Tow)

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Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 8 El mercado de competencia perfecta. Cap. 9 El monopolio. Cap. 10 El oligopilio y la compencia monopolista. Parkin, M. Microecomía. Cap. 11 Competencia. Cap. 12 Monopolio. Cap. 13 Competencia monopolista y oligopolio. Boumal W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 10 La empesa y sus objetivos. Cap-. 11 Estrutura del mercado, determinación de precios y producción. Henderson J y Quandt R Teoría microeconómica. Cap. 6 El equlibrio del mercado: punto 6-1 Los supuestos de la compencia perfecta; 6-2 Funciones de demanda; 6-3 Funciones de oferta; 6-4 Equilibiro del mercado de un bien; 6-5 Una aplicacion a los impuestos. Cap. 7 Monopolio, monopsonio y competencia monopolistica.Cap. 8 Duopoio, oligopolio ymonopolio bilateral: puntos 8 -1 Duopolio y oligopolio: producto homogéneo; 8-2 Duopolio y oligopolio: produtos diferenciados; 8-3 Duopsonio y oligopsonio; 8-5 M onopolio bilateral. Vaarian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 18 La maximización del beneficio. Cap. 19 La minimización de los costes. Cap. 21 La oferta de la empresa. Cap. 22 La oferta de la industria. Cap. 23 El monopolio. Cap. 24. La conducta del monoplio. Cap. 2 El oligopolio. Bibliografía complementaria. De Pablo J. y Tow F. Lecturas de microeconmía por economistas argentinos. Di Tella, Guido y Baccino, Osvaldo: Análisis teórico de los efectos de la intermediación comercial. El caso de la industria del automóvil en Argentina. De Pablo, J.; Monoplio y tarifas de importacion. De Pablo, J.: Comparación del equjilibrio competitivo y monopólico. Tow, F. Un caso de equilibrio mútiple en el monopolio simple. Stigler, G. y Boulding, K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Stigler G. La demanda quebrada y precios rígidos. Ejercicios resueltos. Diequez H y Porto A. Problemas de microeconmía. Problema 19 Impuesto a las ventas a un Problema Problema 23 Monopolista conmonopolis ventas enta. dos mercado20(I).Publicidad. Problema 24 Monoplista con ventas en dos mercados (II). Problema 25 Monopolista con ventas en dos mercados y discriminación de precios en uno de ellos. Problema 28 Duoplio. Problema 30 Mercado de un bien: sol u-

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ciones de competencia y monoplio. Problema 31 Empresa de energía: tarifas y capacidad de planta. Las Unidades 8 y 9 estan consideradas como extensiones de la Un idad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Distancia

UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES. La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. Oferta de factores en condiciones de competencia, de mo nopsonio y oligopsonio. Monopolio bilateral. Sindicatos. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta de trabajo a corto plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta laboral a largo plazo. Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. DETALLE UNIDAD 8: FORM AS DE MERCADO DE FACTORES. La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. (Lipsey 28)(Mochón 13)(Parkin 14 y 15)(Friedamn 7 y 9)(Varian 25)(HendersonQuandt 4-3 y 6-6) Oferta de factores en condiciones de compentencia, de monopsonio y oligopsonio. (Tow) Monopolio bilateral. (Hendersn-Quandt 8-5) Sindicatos. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta laboral de trabajo a corplazo. to plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta a largo Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. (Parkin 18)(Mochon 14)

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Lipsey R. Introducción a la economía positiva. Cap. 28 Salarios y contratación colectiva. Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 13 Distribución y sistema de precios. Parkin, M. Microeconomía. Cap. 14 La fijación de precios y la signación de los factores de la producción. Cap. 15 Mercados de trabajo. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 25. Los mercados de fact ores. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconomica. Cap. 4 La toería de la empresa: punto 4-3 Demanda de inputs. Cap. 6 El equlibrio del mercado: punto 6-6 El equilibrio en el mercado de factores. Friedamn M. Teoría de los precios. Cap. 7 Demanda derivada (La demanda de trabajo y la oferta de trabajo, el control sobre los salarios). Cap. 9 La teoría de la productividad marginal y la demanda de los factores de producción. Cap. 11 La oferta de factores de producción. Bbibliografía complementaria. De Pablo, J. y Tow F., Lecturas de microeconomía por economista argentinos. Tow F. Análisis crítico de un caso de oligop sonio. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 22 Salario máximo. Problema 33 Elección entre consumo y ocio.

UNIDAD 9: INCETIDUMBRE Y RIESGO Y CONCEPTOS DELA TEORIA DE LOS JUEGOS. Distinción. Axiomas de von Neumann y M orgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas y convexas de en utilidad. El dseguro y el juego. La maximización de la utilidad esperada la teoría el consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estratégica. Conce ptos de solución. Extensiones: aplicaciones macroeconómicas.

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DETALLE UNIDAD 9: RIESGO E INCERTIDUMBRE Y CONCEPTOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS. Distinción. (Parkin 13 y 17)(Friedman 4) Axiomas de von Neumann y Morgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas y convexas de utilidad. El seguro y el juego. (Varian 12 y 27; Henderson-Quandt 3-8, 3-9, 5-5, 6-10, 8-4; Baumol 17, 18, 19; Dieguez-Porto ej.42 y 43) La maximización de la utilidad esperada en la teoría del consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estratégica. Conceptos de solucion. Extensiones: apliaciones microeconomicas. Parkin, M. Microeconmía Cap. 13 Competencia monopolística y oligopolio. Cap. 17 Incertidumbre e información. Varian H. Microecoonomía intermedia. Cap. 12 La incertidumbre. Cap. 27 La teoría de los juegos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 3 Temas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-8 EL problema de la eleccion en situacion con riesgo. Los axiomas. Utilidad esperada. Cap. 5 Temas sobre la teoría de la empresa: punto 5-5 Producción en un contexto de incertidumbre. Cap. 6 El equilibrio del m ercado: punto 6-10 Los mercados de futuros. Cap. 8 Duoplio, oligopolio y monopolio bilateral: punto 8-4 Teoría de los juegos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 4 El análisis de la incertidumbre basado en la utilidad. Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 17 Utilidad cardinal de Neumann-Morgenstern. Cap. 18 teoría del juego. Cap. 19 Teoría de los acuerdos. Gibbons, R. Un primer curso de teoría delos juegos. Cap. 1 y 2 Bibliografía complementaria. Stigler G. y Boulding K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Cap. 3. Friedman, Milton y Savage, L. Estudio de las elecciones que implican un riesgo, a la luz de la teoría de la utilidad.

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Dorfman R, Samuelson P y Solow R. Programación lineal y análisis económico. Cap. 15 Elementos de la teoría de los juegos. Ejercicios resueltos. Dieguez H. yPorto A. Problemas de microeconomía. Problema 42 Elecciones en situación de riesgo (I) Problema 43 Elección en situaciones de riesgo (II). Las Unidades 8 y 9 estan consideradas como extensiones de la Un idad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Di stancia UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO. El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con economía cerrada. Ley de Walras y de Say. Caja de Edgeworth. Curva de posibilidades de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. Distribución del ingreso bajo competencia perfecta. Efecto del monopolio y de impuestos. Apertura de la economía de un modelo de país pequeño. Equilibrio parcial versus general. Extensiones: costos privados y sociales. Introducción a la teoría del bienestar. DETALLE UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con economía cerrada. Ley de Walras y de Say. (Baumol 12, 13 ed. 1964 o Cap 20, 21,22 en ed.1980) (Henderson-Quandt 9-2) (Varian 28) Caja de Edgeworth. (Mochon 12)(Henderson-Quandt 9-2; Varian 29 + apendice; Dieguez-Porto 45ª) Curva de posibilidades de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. (DieguezPorto ej. 4, 48, ej. Paginas Web Eiras) perfecta. Distribución del50; ingreso bajo competencia (Parkin 20, 21, 22) Efecto del monoplio y de impuestos. (Friedman 3) Apertura de la economía de un modelo de país pequeño. Tow )

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(

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Equilibrio p arcial versus general. Extensiones: costos privados y sociales. 12)(Varian 34) Introducción a la teoría del bienestar.

(Mochon (Varian 30, 31)

Parkin , M. M icroeconomía. Cap. 19 I mperfección del mercado. Cap. 20 Elección pública. Cap. 21 Regulación y legislación antimonopolio Varian H. Microeconmía intermedia. Cap. 33 Los bienes publicos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 3 Los efectos de los impuestos sobre el bienestar. Bibliografía complementaria. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 29 La producción. Ejercicios resueltos. Dieguez H y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 4 Función de transformación. Problema 48 Modelo de economía con dos sectores productivos y relaciones de insumo- producto. Problema 50 Caso de un factor no reasignable. Alternativamente, ejercicios páginas Web Eiras indicados en cada caso, en ésta y las demás unidades.

Enfoque práctico: Este curso tiene una modalidad analítica similar a los dictados en la Escuela de Economía de Londres., en el MIT y en alguna universidad española. Sin embargo, como Microeconomía a nivel intermedio, de aplicación directa y plena en los diversos departamentos de toda empresa, se le ha asignado un tratamiento tipo “Microeconomía en Acción”: el alumno debe captar la aplicación de cada principio / modelo su cálculo y con también para la posible-incluso confrontación de sumatemático empresa con las PCcompetidoras locales y externas; y en las negociaciones ante las Secretarías de Comercio, de Industria o Comisión Nacional de Defensa de la Competencia locales, así como ante la OMC, Mercosur, CECA, Internatio-

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nal Trade Commission y U.S. Department of Commerce, etc., guiándose sobre la base de los casos reales gestionados por el profesor en su actividad empresaria.

PROGRAMA (“linkeado”):

UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECONOMIA El problema económico. Descripción sintética de un sistema económico global y su funcionamiento desde la perspectiva microeconomica. Consumidores. Productores. Propietarios de los factores de producción. Mercado de productos y de factores. Sectores económicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciones. Flujo circular. Sistema de precios. Diferenciación de la macroecomía. Aspectos metodológicos: economía positiva y normativa, teoría y realidad. Variables. Funciones e identidades. M odelos determinísticos y estocásticos. DETALLE UNIDAD 1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS A LA MICROECONOMIA El problema económico. (Lipsey cap.4) Descripción sintética de un sistema económico global y su funcionamiento desde la perspectiva microecon.. (Parkin 1) Consumidores. Productores. Propietarios de los factores de producción. Mercado de productos y de factores. Sectores económicos. Sector gobierno y sector externo. Gustos y tecnología. Interrelaciónes. Flujo circular. Sistema de precios. (Lipsey 5; Friedman 1) Diferenciación de la macroecomía. Aspectos m etodológico s: economía positiva y normativa; teoría y realidad. (Lipsey 1) Variables. Funciones e identidades. (Lipsey 2) Modelos determinísticos y estocásticos. (Lipsey 3)

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Lipsey, Richard: Introducción ala economía positiva. Cap. 1 - 5 Objeto y método. Visión general del sistema de precios. Parkin, M. Microeconmía. Cap. 1 Qué es la economía? Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 1 - Introducción.

UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. Conceptos exante y ex-post. Unidad de tiempo y de medida. Variables dependientes e independientes. Elasticidades. Definición de los bienes. Gasto e ingreso total. Composición de las curvas mediante suma horizontal. Desplazamientos de las curvas. Relación entre los conceptos. DETALLE UNIDAD 2: LA DEMANDA Y LA OFERTA. La función de demanda y de oferta de mercado. (Lipsey 7,8,10; Parkin 4; Friedman 2 hasta49). Conceptos exante y expost Unidad de tiempo y de m edida. Variables dependientes e independientes. Elasticidades. (Baumol c.8 hasta 175 ed.1964; cap9 hasta 190 ed.1980; Mochón 5; Parkin 5; Varian 15) Defición de los bienes. Gasto e ingreso total. (Varian 15; conviene tambien el cap 3 de Baumol) Composición de las curvas mediante suma horizontal. (Dieguez-Porto ej.35) Desplazamientos de las curvas. Relación entre los conceptos. Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 7 La teoría elemental de la demanda. La teoría elemental de la oferta. Cap. 10 La elasticidad la oferta y la demanda. cipios y aplicaciones. Cap. 5 Mochón F. ydeBecker V. Economía,Prin Oferta y demanda: conceptos básicos y apliaciones. Parkin, M. Microeconomía. Cap.4 Demanda y oferta. Cap.5 Elasticiad. Friedman, M. Teoría delos precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (hasta la pag. 49)

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Baumol W. Toería económica y análisis de operaciones. C ap. 8 Teoría del demanda (hasta la pag. 175). Fernández Pol, J. Conceptos matemáticos útiles en microeconmía. Parte I. Cap. 5 Funciones homogéneas. Teorema de Euler. Varian, Harl R. M icroeconomía intermedia. Cap. 15 La demanda del mercado. UNIDAD 3: EL MERCADO COM PETITIVO. Caracterización. Equilibrio. Condiciones de estabilidad (estáticas). Hipótesis del exceso de demanda (Walras). Hipótesis del exceso de demanda precio (M arsall). Modificación del equilibrio. Estática comparada. Subsidios e impuestos. Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en condiciones de coeficientes fijos. Mercados relacionados. Modelo de la telaraña y otros modelos dinámicos. Condiciones de estabilidad dinámica. Predicciones e interpretación a través del modelo de la oferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos. Introducción a la estimación de las funciones. Problemas de identificación. Estudio de casos de la realidad. Extensiones: introducción a la econometría. DETALLE: UNIDAD 3: EL MERCADO COM PETITIVO. Caracterización. Equilibrio. Condiciones de estabilidad (estática). Hipótesis del exceso de demanda -Walras). Hipótesis del exceso de demanda precio Marsall. (Henderson-Quandt 6-7 y 6-8) Modificación del equilibrio. Estática comparada. Subsidios e impuestos (Lipsey 9 y 11; Parkin 6) Oferta conjunta, demanda compuesta y demanda derivada en condiciones de coeficientes fijos. Mercados relacionados. (Friedman 7) Modelo dedladinánica. telaraña y otros modelos dinámicos . Condiciones estabilida (Lipsey 12; Henderson-Quandt 6-8dey 69) - Predicciones e interpretación a través del modelo de la oferta y demanda. Comparación de esquemas analíticos:

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Introducción a l a estimación de las funciones. Problemas de identificación. (Baumol cap.10 ed.1980 es más específico pero excede el nivel de la asignatura) Estudio de casos de la realidad. (Eiras: chapa frío; discos embrague; helados; departamentos, etc. resueltos en páginas Web ) Extensiones: introducción a la econometría. (Baumol, etc. ...) Lipsey, R. Introducción a la economía positiva. Cap. 9 La teoría elemental del precio de mercado. Cap. 11 Algunas predicciones de la teoría del precio (centra su enfoque en los impuestos, precios maximos y precios mínimos). Cap. 12 La teoría elemental del precio. Análisis dinámico (incluye el modelo de la telaraña) Varian H. R. M icroeconomía intermedia. Cap. 16 El equilibrio. Parkin, M. Microecomía. Cap. 6 Los mercados en la práctica. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 7 La demanda derivada. Henderson J. y Quandt, R.: Teoría microeconómica. Cap. 6 El equilibrio del mercado; punto 6-7 La existencia y unicidad del equilibrio; 68 La estabilidad del equilibrio; 6-9 El equilibrio dinámico con ajuste retrasado (modelo de la t elaraña) Bibliografía complementaria. De Pablo, J y Tow, F.: Lecturas de microecomía por economistas argentinos. Canavese, Alfredo J, Una exposición sobre problemas habituales en la estimación de funciones de damanda. Stigler, G. y Boulding, K., Ensayos sobre la toería de los precios. Cap. 4 Working, E. J,: Qué demuestran las funciones estadísticas de demanda ? Ejercicios resueltos: Dieguez, H. y Porto, A,: Problemas de microeconomía. Problema 35 Agregación de demandas. UNIDAD 4: PROGRAMACION LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no n egatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuaciones

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de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de holgura. Minimización y maximización. Planteo de problemas. Problema primal y dual. Variables artificiales. El método Simplex. Su interpretación económica. Precios sombra. Planteo y aplicación de teoremas. Análisis de sensibilidad. Extensiones: programación entera y no lineal. DETALLE: UNIDAD 4: PROGRAMACIÓN LINEAL COMO INSTRUMENTO DE MODELACION MICROECONOMICA. Los supuestos: aditividad, proporcionalidad, no negatividad y función objetivo lineal. Actividades, item, flujos externos, ecuaciones de balance, coeficientes de insumo producto. Variables de holgura. Minimización y maximización. Planteo de problemas. (Baulol 5 Henderson-Quandt 5-6 y 5-7; Tow ficha ed.Macchi) Problema primal y dual. Variables artificiales. (Baumol 6) El método Simplex. Su interpretación económica. Precios sombra. Planteo y apliación de teoremas. Análisis de sensibilidad. (3 paginas Eiras en Web; Ej. en Excel-Solver)Extensiones: programación entera y no lineal. (Baumol 7; Ej.en paginas Web Eiras con Solver de Excel) Baumol, W. Teoría económica y análisis de operacioens. Cap. 5 Programación lineal Henderson, J. y Quandt, R: Teoría microeconómica. Cap. 5 punto 5-6 Funciones de producción lineales y 5-7 Programación lineal. Tow, Fernando V. Progrmación lineal como instrumento de modelación microeconómica. Todas las secciones. Bibliografía complementaria: Dorfman, R., Samuelson, P., Solow, R, Programción lineal y análisis económico. Cap. 5 El problema del transporte; punto 5-1 Un caso sencillo y 5-4 Los valores implicitos: el dual. Ejercicios : Dieguez H.resueltos y Porto, Problemas de microeconomía. Problema 13 Max imización del producto. Problema 14 Minimización del costo. Problema 16 Plan de producción. Problema 17 Plan de producción (II). Problema 18 Plan de producción (III)

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UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR. Preferencias y elecciones racionales. Utilidad cardinal y ord inal. La restricción presupuestaria. Maximización de la utilidad. Equilibrio del consumidor. Deducción de la curva de demanda individual. Propiedades. Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. Clasificación económica de los bienes. La preferencia revelada. Los índices de ingresos. Elecciones intertemporales. Extensiones: inclusión del tiempo en la tecnología del consumo y como restricción. Costos de búsqueda. DETALLE UNIDAD 5: EL CONSUMIDOR Preferencias y elecciones racionales. Utitidad cardinal (Parkin 7) ...y ordinal (Parking 8; Baumol 8-5 hasta 8-10 ed.1964 ó 95 hasta 9-10 ed.1980). La restricción presupustaria. Maximización de la utilidad. Equilibrio d el consumidor. (Friedman 2 pag. 49-73)(Varian 3,4,5)(Baumol 2 y3) Deducción de la curva de demanda individual. Propiedades. (Dieguez-Porto ej 32 y 34 ) Ecuación de Slutzky. Efectos precio y renta. (Baumol 8-11 y 812 ed.1964 ó 9-11 hasta 9 -17 ed.1980; Henderson-Quandt cap2 y 3-5) Clasificación económica de los bienes. (Varian 8) La preferencia revelada. (Baumol 8-12 o 9-13 ed.1980, etc.) (Henderson-Quandt 3-5)(Varian 7) (Di eguez-Porto ej.36) Los índices de ingresos. Elecciones intertemporales. (Dieguez-Porto ej.40) Extensiones: inclusión del tiempo en la tecnología del consumo y como Costosrestricción. de búsqueda.

(Varian 10) (Lago: Microec. c.XII)

Fernández Pol, J : conceptos matemáticos útiles en microeconmía. Parte II Cap. 3 Tercer caso: funciones de dos variales y una restri cción.

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Parkin, M. Microeconomía. Cap. 7 Utilidad y demanda. Cap. 8 Posibilidades, preferencias y elecciones. Baumol, W.: Teoría economíca y análisis de operaciones. Cap. 8 T eoría de la demanda (pag. 175 en adelante) Friedman, M. Teoría de los precios. Cap. 2 La teoría de la demanda (pag. 49 en adelante) Henderson, H. y Quandt, R Toería microeconómica. Cap. 2 La teoría de la conducta del consumidor. Cap. 3 T emas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-5 La teoría de la preferencia revelada. Bibliografía complementaria. Varian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 3 Las preferencias. Cap. 4 La utilidad. Cap. 5 La elección. Cap. 6 La demanda. Cap. 8 La ecuación de Slutsky. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 32 Utilidades independientes e interdependientes. Probmema 34 Autarquía de un productor-consumidor. Problema 36 Preferencia revelada. UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIOS. Función de producción. Isocuantas e isocostos. R endimientos de los factores variables y rendimientos a escala. Minimización de costos. Eficiencia técnica y económica. Deducción de las funciones de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo.Asignación de los factores de la producción. La naturaleza de la empresa. Modelos de inventarios óptimos. El problema de los incentivos. El financiamiento. La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos. DETALLE UNIDAD 6: LA EMPRESA Y LA UNIDAD DE NEGOCIO. Función de producción. ) Isocuantas e i socostos.

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(Mochón 7; Paarkin 10; Baumol 9

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Rendimientos de los factores variables y rendimientos a escala. Minimización de costos (Baumol 2 y 3; Dieguez-Porto ej.1 y 6; Henderson-Quandt 5-1, 5-2; Varian 17 a 21) Eficiencia técnica y económica. (Parkin 9; Mochon 7) Deducción de las funciones de costos y sus relaciones. Costos de corto y largo plazo. (Mochon 8) Asignación de los factores de la producción. La naturleza de la empresa. (Coase) Modelos de inventarios óptimos. (Baumol 1); El problema de los incentivos. El financiamiento.La inversión y los flujos financieros. Análisis costo beneficio. (Parkin 9) Extensiones: evaluación económica y financiera de proyectos . Mochón, F. y Becker, V. Economía, principios y apliaciones. Cap. 7 La teoría de la producción y de los costos. Parkin, M., Microeconmía. Cap. 10 Producción y costos. Baumol W., Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 1 Optimización y un ejemplo de análsis de existencias. Cap. 9 Producción y costos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 4 La teoría de la empresa. Cap. 5 Temas sore la teoría de la empresa: puntos 5-1 Funciones de producción homogéneas y 5-2 Las funciones de producción CES (elasticidad de sustitución constante) Bibliografía complementaria Varian, H. Microeconmía intermedia. Cao. 17 La tecnología. Cap. 20 Las curvas de costes. Friedaman, M. Teoría de los precios. Cap. 5 Las relaciones entre curvas de oferta y curvas de costes. Coase, Ronald. La naturaleza de la empresa, en Stigler, G. y Boulding, K.,: Ensayos sobre la toería de los precios. Ejercicios Dieguez, H.resueltos. y Porto, A. Problemas de microeconomía. Problema 1 Minimización del costo de poducir una cantidad dada de un bien. Pr oblema 6 Rendimientos a escala.

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UNIDAD 7: EL OBJETIVO DE LA EMPRESA Y FORM AS DE MERCADO DE PRODUCTOS. Competencia perfecta, maximización de beneficios y l a curva de oferta individual y de la industria. Corto y largo plazo, Economías y deseconomías externas. Monopolio maximizador de beneficios. Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios. Monopolio discrimidor de precios. Empresa líder con competidores perfectos. Competencia imperfecta. Duopolio: soluciones de Cournot, de von Stackelberg, de Bertrand y de colusión.Teoría de los juegos. Publicidad. Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el mercado. Modelos de competencia espacial. Extensiones: evaluación empírica de algunos modelos de conducta empresaria. DETALLE UNIDAD 7: EL OBJETIVO DELA EMPRESA Y FORMAS DEL MERCADO DE PRODUCTOS Competencia perfecta, maximización de beneficios y la curva de oferta individual y de la industria. Corto y largo plazo, Economías y deseconomías externas (Mochon 9) (Parkin 11) (Henderson-Quandt 6-1 hasta 6-5) (Varian 21, 22) Monopolio maximizador de beneficios. (Monchon 10; Baumol 11; Henderson-Quandt 7; Varian 19) Monopolio maximizador de ventas con restricción de beneficios. Monopolio discrimidor de precios. (Dieguez-Porto ej. 25 caso general ! )(Parkin 12) (Varian 23, 24) (Baumol 16-13 caso sencillo !) Empresa líder con competidores perfectos. Competencia imperfecta. (Mochon 11)(Parking 13) (Henderson-Quandt 8-1 8-2 8-3)) Duopolio: soluciones: de Cournot de von Stackelberg, de de Bertrand colusión.y (Dieguez-Porto ej.19, 20, 23,24,25,28,30,31) Teoría de los juegos. (Parkin 13) (Henderson-Quandt 8-5) Publicidad. (Baumol 10) Oligopolios: la demanda quebrada, la participación fija en el mercado. (Stigler)

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Modelos de competencia espacial. (Lago: Microec. c.XI) Extensiones: evaluación emprírica de algunos modelos de conducta empresaria. (Baumol 10 o 15 ed.1980 ) ( DiTella; De Pablo; Tow) Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 8 El mercado de competencia perfecta. Cap. 9 El monopolio. Cap. 10 El oligopilio y la compencia monopolista. Parkin, M. Microecomía. Cap. 11 Competencia. Cap. 12 Monopolio. Cap. 13 Competencia monopolista y oligopolio. Boumal W. Teoría económica y análisis de operaciones. Cap. 10 La empesa y sus objetivos. Cap-. 11 Estrutura del mercado, determinación de precios y producción. Henderson J y Quandt R Teoría microeconómica. Cap. 6 El equlibrio del mercado: punto 6-1 Los supuestos de la compencia perfecta; 6-2 Funciones de demanda; 6-3 Funciones de oferta; 6-4 Equilibiro del mercado de un bien; 6-5 Una aplicacion a los impuestos. Cap. 7 Monopolio, monopsonio y competencia monopolistica.Cap. 8 Duopoio, oligopolio ymonopolio bilateral: puntos 8 -1 Duopolio y oligopolio: producto homogéneo; 8-2 Duopolio y oligopolio: produtos diferenciados; 8-3 Duopsonio y oligopsonio; 8-5 M onopolio bilateral. Vaarian, H. Microeconomía intermedia. Cap. 18 La maximización del beneficio. Cap. 19 La minimización de los costes. Cap. 21 La oferta de la empresa. Cap. 22 La oferta de la industria. Cap. 23 El monopolio. Cap. 24. La conducta del monoplio. Cap. 2 El oligopolio. Bibliografía complementaria. De Pablo J. y Tow F. Lecturas de microeconmía por economistas argentinos. Di Tella, Guido y Baccino, Osvaldo: Análisis teórico de los efectos de la intermediación comercial. El caso de l a industria del automóvil en Argentina. De Pablo, J.; Monoplio y tarifas de importacion. De Pablo, J.: Comparación del equjilibrio competitivo y monopólico. Tow, F. Un caso de equilibrio mútiple en el monopolio simple. Stigler, Boulding,quebrada K. Ensayyosprecios sobre la teoría de los precios. Stigler G. G. Laydemanda rígidos. Ejercicios resueltos. Diequez H y Porto A. Problemas de microeconmía. Problema 19 Impuesto a las ventas a uKn monopolista. Problema 20 Publicidad. Pro-

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blema 23 Monopolista con ventas en dos mercado (I). Problema 24 Monoplista con ventas en dos mercados (II). Problema 25 Monopolista con ventas en dos mercados y discriminación de precios en uno de ellos. Problema 28 Duoplio. Problema 30 Mercado de un bien: soluciones de competencia y monoplio. Problema 31 Empresa de energía: tarifas y capacidad de planta. Las Unidades 8 y 9 estan consideradas como extensiones de la Un idad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Di stancia

UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES. La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. Oferta de factores en condiciones de competencia, de monopsonio y oligopsonio. Monopolio bilateral. Sindicatos. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta de trabajo a corto plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta laboral a largo plazo. Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. DETALLE UNIDAD 8: FORMAS DE MERCADO DE FACTORES. La demanda de los factores de producción bajo condiciones de competencia y monopolio en el mercado de productos. (Lipsey 28)(Mochón 13)(Parkin 14 y 15)(Friedamn 7 y 9)(Varian 25)(HendersonQuandt 4-3 y 6-6) Oferta de factores en condiciones de compentencia, de monopsonio y oligopsonio. (Tow) Monopolio (Hendersn-Quandt 8-5) Sindicatos.bilateral. Negociación. Intermediarios monopólicos y monopsónicos. Rentas y cuasirentas. La oferta de trabajo a corto plazo: elección entre ocio e ingreso. La oferta laboral a largo plazo.

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Diferenciales de ingreso. Extensiones: capital humano y no humano. 18)(Mochon 14)

(Parkin

Lipsey R. Introducción a la economía positiva. Cap. 28 Salarios y contratación colectiva. Mochón F. y Becker V. Economía, principios y aplicaciones. Cap. 13 Distribución y sistema de precios. Parkin, M. Microeconomía. Cap. 14 La fijación de precios y la signación de los factores de la producción. Cap. 15 Mercados de trabajo. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 25. Los mercados de factores. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconomica. Cap. 4 La toería de la empresa: punto 4-3 Demanda de inputs. Cap. 6 El equlibrio del mercado: punto 6-6 El equilibrio en el mercado de factores. Friedamn M. Teoría de los precios. Cap. 7 Demanda derivada (La demanda de trabajo y la oferta de trabajo, el control sobre los salarios). Cap. 9 La teoría de la productividad marginal y la demanda de los factores de producción. Cap. 11 La oferta de factores de producción. Bbibliografía complementaria. De Pablo, J. y Tow F., Lecturas de microeconomía por economista argentinos. Tow F. Análisis crítico de un caso de oligopsonio. Ejercicios resueltos. Dieguez H. y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 22 Salario máximo. Problema 33 Elección entre consumo y ocio.

UNIDAD 9: INCETIDUMBRE Y RIESGO Y CONCEPTOS DELA TEORIA DE LOS JUEGOS. Distinción. Axiomas de von Neumann y M orgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas y convexas de utilidad. El seguro y el juego. La maximización de la utilidad esperada en la teoría d el

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consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estratégica. Conceptos de solución. Extensiones: aplicaciones macroeconómicas. DETALLE UNIDAD 9: RIESGO E INCERTIDUMBRE Y CONCEPTOS DE LA TEORÍA DE LOS JUEGOS. Distinción. (Parkin 13 y 17)(Friedman 4) Axiomas de von Neumann y Morgenstern. La utilidad esperada. Funciones cóncavas y convexas de utilidad. El seguro y el juego. (Varian 12 y 27; Henderson-Quandt 3-8, 3-9, 5-5, 6-10, 8-4; Baumol 17, 18, 19; Dieguez-Porto ej.42 y 43) La maximización de la utilidad esperada en la teoría del consumidor y de la empresa. Comparación con modelos de certeza. Juegos cooperativos y no cooperativos en forma estratégica. Conceptos de solucion. Extensiones: apliaciones microeconomicas. Parkin, M. Microeconmía Cap. 13 Competencia monopolística y oligopolio. Cap. 17 Incertidumbre e información. Varian H. Microecoonomía intermedia. Cap. 12 La incertidumbre. Cap. 27 La teoría de los juegos. Henderson J. y Quandt R. Teoría microeconómica. Cap. 3 Temas sobre la teoría de la conducta del consumidor: puntos 3-8 EL problema de la eleccion en situacion con riesgo. Los axiomas. Utilidad esperada. Cap. 5 Temas sobre la teoría de la empresa: punto 5-5 Producción en un contexto de incertidumbre. Cap. 6 El e quilibrio del mercado: punto 6-10 Los mercados de futuros. Cap. 8 Duoplio, oligopolio y monopolio bilateral: punto 8-4 Teoría de los juegos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 4 El análisis de la incertidumbre basado en la utilidad. Baumol W. Teoría económica y análisis de operaciones . Cap. 17 Utilidad cardinal de Neumann-Morgenstern. Cap. 18 teoría del juego. Cap. 19 Teoría de los acuerdos. Gibbons, R. Un primer curso de teoría delos juegos. Cap. 1 y 2 Bibliografía complementaria.

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Stigler G. y Boulding K. Ensayos sobre la teoría de los precios. Cap. 3. Friedman, Milton y Savage, L. Estudio de las elecciones que implican un riesgo, a la luz de la teoría de la utilidad. Dorfman R, Samuelson P y Solow R. Programación lineal y análisis económico. Cap. 15 Elementos de la teoría de los juegos. Ejercicios resueltos. Dieguez H. yPorto A. Problemas de microeconomía. Problema 42 Elecciones en situación de riesgo (I) Problema 43 Elección en situaciones de riesgo (II). Las Unidades 8 y 9 estan consideradas como extensiones de la Unidad 7 Distancia y la Unidad 10 es la Unidad 8 Di stancia UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO. El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con economía cerrada. Ley de Walras y de Say. Caja de Edgeworth. Curva de posibilidades de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. Distribución del ingreso bajo competencia perfecta. Efecto del monopolio y de impuestos. Apertura de la economía de un modelo de país pequeño. Equilibrio parcial versus general. Extensiones: costos privados y sociales. Introducción a la teoría del bienestar. DETALLE UNIDAD 10: EQUILIBRIO GENERAL Y DISTRIBUCION DEL INGRESO El modelo de dos factores (fijos) y dos productos con economía cerrada. Ley de Walras y de Say. (Baumol 12, 13 ed. 1964 o Cap 20, 21,22 en ed.1980) (Henderson-Quandt 9-2) (Varian 28) Caja de Edgeworth. (Mochon 12)(Henderson-Quandt 9-2; Varian 29 posibilidades + apendice; Dieguez-Porto 45ª) Curva de de producción. Modelo con coeficientes fijos de producción. Porto ej. 4, 48, 50; ej. Paginas Web Eiras) Distribución del ingreso bajo competencia perfecta. (Parkin 20, 21, 22)

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(Dieguez-

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Efecto del monoplio y de impuestos. (Friedman 3) Apertura de la economía de un modelo de país pequeño. ( Tow ) Equilibrio parcial versus general. Extensiones: costos privados y sociales. (Mochon 12)(Varian 34) Introducción a la teoría del bienestar. (Varian 30, 31) Parkin , M. M icroeconomía. Cap. 19 I mperfección del mercado. Cap. 20 Elección pública. Cap. 21 Regulación y legislación antimonopolio Varian H. Microeconmía intermedia. Cap. 33 Los bienes publicos. Friedman M. Teoría de los precios. Cap. 3 Los efectos de los impuestos sobre el bienestar. Bibliografía complementaria. Varian H. Microeconomía intermedia. Cap. 29 La producción. Ejercicios resueltos. Dieguez H y Porto A. Problemas de microeconomía. Problema 4 Función de transformación. Problema 48 Modelo de economía con dos sectores productivos y relaciones de insumo- producto. Problema 50 Caso de un factor no reasignable. Alternativamente, ejercicios páginas Web Eiras indicados en cada caso, en ésta y las demás unidades.

Enfoque práctico: Este curso tiene una modalidad analítica similar a los dictados en la Escuela de Economía de Londres., en el MIT y en alguna universidad española. Sin embargo, como Microeconomía a nivel intermedio, de aplicación directa y plena en los diversos departamentos de toda empresa, se le ha asignado un tratamiento tipo “Microeco-

: el alumno debe captar la aplicación de cada principio / modelo -incluso su cálculo matemático y con PC (el ejemplo resuelto con 6 métodos es ilustrativo, pág 211, que es “efectinomía en Acción”

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vamente”generalizable a miles de variables); también para

la posible confrontación de su empresa con las competidoras locales y externas; y en las negociaciones ante las Secretarías de Comercio, de Industria o Comisión Nacional de Defensa de la Competencia locales, así como ante la OMC, Mercosur, CECA, International Trade Commission y U.S.reales Department of Commerce, etc., guiándose sobre empresaria. la base de los casos gestionados por el profesor en su actividad

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