MI1131 - Giải tích 3 Nhóm 1 - Đề cương Bài tập (02.2020) PDF

 

ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng  Hướ  ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừừ  K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

TẬP GIẢ BÀI TẬ GIẢI TÍCH III (Phương trình vi phân và chuỗi) chuỗi) Nhóm ngành 1 (Mã học phần MI1131). Áp dụng từ 02/2020. (Các Nhóm ngành 2 và Nhóm ngành 3 ch ủ yế u lượ c bỏ bài t ậ p t ừừ  các bài dướ i đây)

Chương 1: Chuỗi  1.1. Chuỗi số 

Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau: ∞

∞

1

a)  ∑

b)  ∑ sin

 

  n ( n + 1)

n =1

c) 

9

9

+

++

10   102

  n +1

n =1

9 10n

n

 

∞

+  

d)

1   ln  1 +      n n =1 

∑

Bài 2. Xét sự hội tụ của các chuỗi số dương sau: ∞

a)  ∑

2n + 3 4n + 5

∞

n =1

n =1

 n +1     n+2  n =1

1  1 ∑  n − sin n    n =1

g)

∞

∞

 1    sin  2  n =1    n 

∑ ∞

∑(

n

e −1

n =1

)

n

n =1   2

∑

i)

n

( 3 n + 1 )! 2 n

2   ln n n=2

∑ ∞

 j)

 

n) 

 

∑

1

∞ ∑

e n .n!  

 

 

1   cos ∑   n  n=2 ∞

n 8

n =1

 n +1  ∑  n + 2  n =1

m)

 

n3

 

 

2

n =  2 n ln n

2

n

e) 

l)

n2

n2

∞

10

∑

h)

∞

 

∞

∞

n

b)  ∑ 

d)

n

2

1  1  1 −   n 5n   

k)  ∑

 

n=2

∞

c)

ln n

∑

f) 

 

∞

n! ( ∑ ( 2 n ))! ∞ 3

o)

 

n =1

n=2

nn

Bài 3. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau: ∞

a)  ∑

sin n

n =1 n

∞

b) 

∑

2

e) 

 

( −1)n n

n=2 n

c)

∞

2

+1

∑

  n = 2 ln n ∞

 

f)

1

∑

2

( −1)  p −1

n =1  

∞

n

∑ n = 2 

( −1) n   n + ( −1)

∞

cos

 p

n2

π  

n +1

 

n

n

g)  ∑ ( −1) ⋅ n   n =1

n + 100

∞

 

i)

∑ 

n =1

j)

( −1)  n n

 

n

∞

( −1)n ln n

n =1

n

∑

 

n  k)  ∑ ln  1 + ( −1) n n =1   

∞

Thự c hiện giải đề  cương : Lê Đứ c Minh, Phạm Thanh Tuấn, Hồ Văn Diên  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

    

1

 

d)

   Hướ  ng d ẫ   K64 (Version 2)  Hướ ng ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừ  ừ K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính  n ∞ ∞ ∞ 1 π  n n  2 n + 100    2   sin h)   l) sin  π   n + 1    ( −1)    2 n    3n + 1  n =1 n =1 n =1

∑

∑

∑

∞

∞

n =1

n =1

∑ un  h ội tụ, liệu có thể suy ra chuỗi ∑ un2  cũng hội tụ? Vẫn câu hỏi

Bài 4. Cho chuỗi

∞

này, nếu thêm giả thiết chuỗi

∑ un  hội tụ tuyệt đối.

n =1

1.2. Chuỗi hàm số 

Bài 5. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm số sau: ∞

a)  ∑

∞

 x

(

n =1  x  2

+1

)

n

∞ sin ( n x )

b)  ∑

nx

n =1

e

∞

( −1)  n

c)  ∑

n x

n =1 

∞

1

d)  ∑

n = 1 x 

n

+1

e)

 

f)

 

∑

∞

 x n 2n

n =1  x   

+1

n =1  x

∞ n x + ( −1)  n

∑

n

n =1

∞

 

∑ 

   

n

n =1

∞

  n

k)

∑ ne− nx   n =1

∞

∞  1    h)    x n + n n  2  x  n =1

l)  ∑

∑

 

n

∞   x ( x + n )  n

 j)

 

1   g) ∑   x +    n n =1

 

n

∑

i)

 

( n + x )n

n =1

n

n+ x

 

Bài 6. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm số trên tập đã cho:  ∞

a)

∑  x

n

∞

c)  ∑

, x < q < 1.  

n =1  x  2

n =1

+∞

∞

b)

 x n

∑  xn ,

(1

 

+1

)

n

,  x ∈ .  

n

 2 x + 1    ,  x ∈ [ −1, 1].   d)  ∑ n    x + 2   n =1 2

x < 1.  

n =1

Bài 7. Tìm miền hội tụ của các chuỗi luỹ thừa sau: ∞

a)

∑ n =1

∞

( n + 2 ) xn n2 + 1

∞

 

d)

n =1

n

1   x − 1    b)  2   x + 1  n =1 n

∑

2

∑ ∞

e)  ∑

 x n

 n!

∞

n =1

 x n

n n =1 2 

g)  ∑ ( sin n )  x n  

 

+ 3n

 

∞ 3n + ( −2 )n

h)  ∑

n =1

n

n ( x + 1)  

Thự c hiện giải đề  cương : AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

 

ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng  Hướ  ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừừ  K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

∞

c)

∞

n

 n +1  n ∑  2 n + 3   x   n =1

f)

3

( n!)

∑  ( 3n )! xn  

i)

n =1

∞ 33 n ( n!)3

∑

n =1

( 3n )!

tan n  x  

Bài 8. Tính tổng của các chuỗi sau: ∞

∞

a)  ∑ n x , x ∈ ( −1, 1)  

 x n +1

c)  ∑

n

n n + 1) n =1 (

n =1

( −1)n+1 b)  ∑   n n =1  ( 2 n − 1 ) 3 ∞

∞

d)

∑

 x 4 n −3

4  n − 3 n =1

,  x  ∈ ( −1, 1)  

,   x ∈ ( −1, 1)  

Bài 9. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Maclaurin: a)   y =

2 x + 4 2

 x − 3 x + 2

 

b)   y = x sin 2 x  

1

c)   y = d)   y =

4 −  x 1 2

2

(

 x + x + 1

)

e)   y = ln 1 + x − 2 x 2  

   

f)   y = arcsin x  

Bài 10. Khai triển các hàm số sau thành chuỗi Taylor (trong lân cận điểm x0 tương ứng): a)  y =

1 2 x + 3

, x0 = 4.  

b)  y = sin

 x

π  

3

, x0 = 1.  

c)   y = x , x0 = 4.  

Bài 11. Khai triển các hàm số tuần hoàn vớ i chu k ỳ  T  =  2π    sau thành chuỗi Fourier: a)   f ( x ) = x ,  x ∈  [ −π , π  ].   b)   f ( x ) = x  , x ∈  [ −π , π  ].   Bài 12. Khai triển hàm số tuần hoàn vớ i chu k ỳ  T   = 2  xác định như sau:  f ( x ) = x  trong khoảng ( −1, 1)  thành chuỗi Fourier.  Bài 13. Khai triển các hàm số tuần sau thành chuỗi Fourier:  A, nÕu 0 < x < l  a)  f ( x ) =    nÕu l < x < 2 l   0, c)   f ( x ) = 10 − x , x ∈ ( 5, 15 ) .

 ax , b)  f ( x ) =   bx ,

nÕu

− π   < x < 0

nÕu

0 < x < π  

Thự c hiện giải đề  cương : Lê Đứ c Minh, Phạm Thanh Tuấn, Hồ Văn Diên  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

 

3

 

   Hướ  ng d ẫ   K64 (Version 2)  Hướ ng ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừ  ừ K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

Chương 2: Phương trình vi phân 2.1. Phương trình vi phân cấp một  Bài 14. Giải các phương trình vi phân cấ p một sau: 1) Các phương trình khuyết: a)  y ' =

1

(

)

y 2 − 1 ,  y ( 0 ) = 2  

2

c)  x = ( y ' ) − y '+ 2  

2 b)   y '+ y = 1  

d)  y 2 + ( y ' ) = 4  

2) Các phương trình phân ly: a)  y ' = x 2 y  

c)  y '+ e y  + x = 0  

b)  2 y x 2 + 4 dy = y 2 + 1 dx  

d) 1 +  x + xy ' y = 0  

(

2

)

(

)

3) Các phương trình thuần nhất:   y   x

a)  y ' =

 x

+

y

2

+ 1 

c)

b)  2 y x 2 + 4 dy = y 2 + 1 dx  

(

)

(

)

  y  2 y '+   = −1    x 

d) 1 +  x + xy ' y = 0  

4) Các phương trình tuyến tính: a)  y '−

4

 x

7

y = 4x  

c)  y ' = x − y  

b)  xy '+ y = x   5) Các phương trình Bernoulli:   y

a)  y '+

 x

= x2 y 4 ,

y (1) = 2  

d) ( 2 xy + 3 ) dy  − y 2 dx = 0   c)  xy '+ y = − xy 2  

2  y3  y '+  x y = 2   x

b)   6) Các phương trình vi phân toàn phần: a)   x 2 + y dx  = ( 2 y − x ) dy  

d)  ydx + x + x 2 y 2 dy = 0  

(

c) e y dx = xe y − 2 y dy  

b) ( 2 xy + 3 ) dy =  − y 2 dx  

d)  x 2 y 2 − x dy = ydx  

)

(

)

(

(

)

)

7) Các phương trình cần đổi biến và/hoặc nhận dạng: a)   y ' = ( x + y )2  

e) 3 xy 2 y ' − y 3 = x ,

b)  y ' = 1 + x + y + xy  

f) 2 xy 2 − 3 y 3 dx = 3 xy 2 − y dy  

c)  y ' =  x + y − 2  

g)  y = xy ' + y ' − y 'ln ( y ' )  

 x − y + 4

4

(

)

y ( 1) = 3  

(

)

Thự c hiện giải đề  cương : AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

 

ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng  Hướ  ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừừ  K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

(

)

d)   x 2 + 1 y '+ xy = 1  

h)  xy ' = y + x3 sin x , y (  π   ) = 0  

2.2. Phương trình vi phân cấp hai  Giải các phương trình vi phân cấ p hai sau:

Bài 15. Các phương trình khuyết: 2

a)  xy '' + 2 y ' = 12 x 2  

c) 2 yy '' = ( y ' ) + 1  

 1 −  x 2 y '' − xy ' = 2    b)   y ( 0 ) = 0, 0 , y '( 0 ) = 0

2   (1 +  x ) y '' + x. y ' = y ' d)     y ( 0 ) = 1, 1, y '( 0 ) = 2 

Bài 16. Các phương trình khuyết: a)  y '' − 3 y '+ 2 y = 0   b)  y '' − 2 y '+ y = 0  

h)  y ''+ 2 y '+ 2 y = 8 cos x − sin x   i)  y '' + y ' − 2 y = x + sin 2 x  

(

)

c)  y '' − y =

e x e x + 1

  ( )

j)  y ''+ 3 y '− 4 y = 200 sin 2 x  

 

d)  y ''− 4 y '+ 3 y = (15  x + 37 ) e −2 x  

k)  y ''− y ' − 2 y  = xe x cos x  

e)  y ''− y = 4 (  x + 1) e x  

l)  y '' + 2 y '+ 10 y =  x 2 e− x cos 3 x  

f)  y ''− 2 y '+ y = (12  x + 4 ) e x  

m)  y '' − 3 y ' + 2 y  = e x + sin x  

cos x cos 2 x   g)  y ''+ y = 2 co

n)  y '' + 4 y  = e3 x + x sin 2 x  

Bài 17. Phương pháp biến thiên hằng số: a)  y ''− 2 y '+ y =

e x  x

b)  y '' − 3 y '+ 2 y =

 

1 1 + e− x

 

Bài 18. Các phương trình tuyến tính có hệ số hàm số: a) 2 x − x2 y '' + 2 ( x − 1) y '− 2 y = −2,  biết nó có hai nghi ệm riêng  y1  =  1  và  y2 =  x.  

(

)

b)  y '' −

  2 xy ' 2

 x + 1

  y'

c)  y ''−

 x

+

2y

+ y

 x 2

2

x +1

=

2 x

 

= 0,  biết nó có một nghiệm riêng  y1 = x  

d)

 y ''  y ' 3

+

2  y '

−  x + y = e y cos y , (gợ i ý coi  x = x ( y ) )

Thự c hiện giải đề  cương : Lê Đứ c Minh, Phạm Thanh Tuấn, Hồ Văn Diên  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

5

 

  Hướ  ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừ  ừ K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

2.3. Hệ phương

trình vi phân cấp một 

Bài 19. Giải các hệ phương  phương trình vi phân sau:   d y  d x = 5 y + 4 z  a)     d  z     = 4 y + 5 z   d x

 d y  d x =  y + 5 z  b)    d  z     = − y − 3 z   d x

 y  d x =  dt x− y  c)     d  y   x    =  dt   x − y

2.4. Ứng dụng chuỗi hàm số giải phương

 d x  dt  =  y d)     d  y 1    = − x +  dt cos t 

trình vi phân 

Bài 20. Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp khai triển chuỗi: a)  y ''+ y = 0   b)  y '' − 2 xy '+ y = 0  

6

Thự c hiện giải đề  cương : AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

 

ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng  Hướ  ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừừ  K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

Chương III: Phương pháp toán tử Laplace 3.1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược  Bài 21. Sử dụng định nghĩa, tìm biến đổ i Laplace của các hàm số sau: c)   f ( t ) = sinh ( k t )   d)   f ( t ) = sin 2 t   a)  f ( t ) = t   b)   f ( t ) =  e3 t +1   Bài 22. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a)  f ( t ) = t + 3t   b)   f ( t ) = t −  2 e 3t  

d)   f ( t ) = cos2 ( 2t )   e)   f ( t ) = ( t  + 1)3  

c)   f ( t ) = 1 + cosh( 5t )  

f)   f ( t ) = 2 ssiin  t  +  



2siin3t cos5t   g)   f ( t ) = 2s h)   f ( t ) = sinh 2 3t  

   3 

π  

Bài 23. Tìm biến đổi Laplace ngượ c của các hàm số sau: a)  F ( s ) = b)  F ( s ) =

3 4

 s 1

c)  F ( s ) =

  −

 s   s

2 5 2

 

d)  F ( s ) =

3  s − 4

5 − 3s 2

e) F ( s ) =

 

 s + 9

10 s − 3 25 −  s

2

 

 

3.2. Phép biến đổi của bài toán với giá trị ban đầu Bài 24. Giải các bài toán giá tr ị ban  ban đầu: ( 3) 2 t   x − x '' − x ' + x = e   a)    x ( 0 ) = x '( 0 ) = x ''( 0 ) = 0

 x( 3 ) − 6 x '' + 11x ' − 6 x = 0 b)      x ( 0 ) = x '( 0 ) = 0, x ''( 0 ) = 2

 x( 4 ) − 16 x = 240 cos t   c)     3)   (  x (  0 ) = x '( 0 ) = x ''( 0 ) = x ( 0 ) = 0  x( 4 ) + 8 x '' + 16 x = 0  d)     3   ( )  x (  0 ) = x '( 0 ) = x ''( 0 ) = 00,, x ( 0 ) = 1

Bài 25. Giải các bài toán giá tr ị ban  ban đầu:  x ' = 2 x + y  a)   y ' = 6 x + 3 y    x 0 = 2, y 0 = 3 ( )  ( )  x  '+ 2 y ' + x = 0    b)   x ' − y '+ y = 0  x 0 = 1, y 0 = 3 ( )  ( )

 x '' + x ' + y ' + 2 x − y = 0   y '' + x ' + y ' + 4 x − 2 y = 0 c)     = = 0 0 1  x y ( )  ( )   x '( 0 ) = y '( 0 ) = 3  x  '' + 2 x − 4 y = 0   y '' − x + 2 y = 0   d)    x ( 0 ) = y ( 0 ) = 0   x '( 0 ) = 1, y '( 0 ) = − 1

Thự c hiện giải đề  cương : Lê Đứ c Minh, Phạm Thanh Tuấn, Hồ Văn Diên  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

7

 

   Hướ  ng d ẫ   K64 (Version 2)  Hướ ng ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừ  ừ K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

3.3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản  Bài 26. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: c)  f ( t ) = et  sin  t  +

b)  f ( t ) = e −2 t  sin 3t   

a)  f ( t ) = t  4 e t    π  

   4 

 

π  



Bài 27. Tìm biến đổi Laplace ngượ c của các hàm số sau: 3

1

a)  F ( s ) =  s 2 − 3 s   b)  F ( s ) = c)  F ( s ) = d)  F ( s ) =

2

 s ( s + 4)

g)  F ( s ) =

 

h)  F ( s ) =

2

 s ( s + 1) 1 2

 s ( s − 1)

i)  F ( s ) =

 

1

e)  F ( s ) =

1

 

1

2

k)  F ( s ) =  s3 − 5 s 2  

f)  F ( s ) = 2 s − 4  

1

2

1

 

2

 s + 4 s + 4 3 s + 5 2

 s − 6 s + 25 1

 s − 4

3

 s − 1

m)  F ( s ) = n)  F ( s ) =

5 − 2 s

j)  F ( s ) =

 

 

2

1

l)  F ( s ) =

 

 

1

 

4

 s − 16

 s 2 − 2 s 4

2

 s + 5 s + 4

 

 s 2 + 3

o)  F ( s ) =

 s 2 + 7 s + 10

 s ( s + 1)( s + 2 )

 

 

( s 2 + 2 s + 2 ) 2

3.4. Đạo hàm, tích phân và tích của các phép biến đổi  Bài 28. Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: a)  f ( t ) = t cos2 t  

e)  f ( t ) =

  2

f)  f (t ) =

b)  f ( t ) = t sin kt  

(

 

d)  f ( t ) = t − e

2 t 

2

) 

g)  f (t ) =

 sin t  t 

e2 t −1 t 

sinh   t  t 

  cosh t 

h)  f ( t ) =

 

i)  f ( t ) =

 

 j)  f ( t ) =

 

t 

 

1 −  cos 2t  t  et − e − t  t 

 

 

Bài 29. Tìm biến đổi Laplace ngượ c của các hàm số sau: a)  F ( s ) = arctan b)  F ( s ) = ln

1  s

 s 2 + 1 2

c)  F ( s ) = ln

 

 s + 4

d)  F ( s ) = ln

 

 s − 2  s + 2

 

 s 2 + 1

( s + 2 ) ( s − 3 )



e)  F ( s ) = ln  1 + 

  f)  F ( s ) =

e−3 s  s

1 

   s  2

 

Bài 30. Giải các bài toán giá tr ị ban  ban đầu:  t x  '' + ( t − 2 ) x ' + x = 0   a)   x ( 0 ) = 0

8

 t x  '' + ( 4t − 2 ) x ' + (13t − 4 ) x = 0 c)     x ( 0 ) = 0

Thự c hiện giải đề  cương : AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

 

ng d ẫ   K64 (Version 2)   Hướ ng  Hướ  ẫ n  giải Đề  cương Giải tích 3, MI1131, nhóm ngành 1, áp d ụng t ừừ  K64  M ột sản phẩ m của AHUST – Giải tích và Đại số tuyến tính 

 t x  '' − ( 4t + 1 ) x ' + 2( 2t + 1) x = 0 b)     x ( 0 ) = 0

 t y  ''− t y '+ y = 2 d)     y ( 0 ) = 2, y '( 0 ) = − 4

Bài 31. Giải các bài toán giá tr ị ban  ban đầu:

''

 x   + x = f ( t )  cos t , nÕu 0 ≤ t  < 2π   a)     a)   ở  đó  f  ( t ) =  ≥ 0, 2 π   nÕu t    x ( 0 ) = x ( 0 ) = 0  x '' + 4 x = f ( t ) 1,   nÕu 0 ≤ t  < π    ở  đó  f ( t ) =  b)    0, π   ≥ nÕu t    x ( 0 ) = x '( 0 ) = 0  x  '' + 4 x '+ 4 x = f ( t )  t ,   nÕu 0 ≤ t  < 2    ở  đó  f  ( t ) =  c)  0, 2 ≥ t  nÕu   x ( 0 ) = x '( 0 ) = 0 1,   nÕu 0 ≤ t  < 2  x '' + 4 x '+ 5 x = f ( t ) d)     ở  đó   f  ( t ) =    d)  0, nÕu t  ≥ 2  x ( 0 ) = x '( 0 ) = 0

'

Việện Toán ứng dụng và Tin học Vi học 

Thự c hiện giải đề  cương : Lê Đứ c Minh, Phạm Thanh Tuấn, Hồ Văn Diên  Tham gia thảo luận, tìm đề  thi  thi t ại group Facebook : AHUST – Giải tích và Đại số HUST 

9