Mfluida Hidrolika 2

 

 

MODUL PERKULIAHAN

MEK NIK FLUID D N HIDROLIK

Analisis Dimensi

Fakultas

Program Studi

TEKNIK

Teknik Sipil

Tatap Muka

2

Kode MK

Disusun Oleh Jantiara Eka Nandiasa, ST,MT

Abstract

Kompetensi

Materi ini berisikan konsep Mekanika Fluida dan aplikasi nya di Teknik Sipil. 

Mahasiswa memiliki pengetahuan mengenai konsep analisis dimensi. 

 

 Analisis Dimensi I.  PENDAHULUAN Materi dalam modul modul ini menguraikan tentang analisa analisa  dimensi dimensi yang  yang mencakup pengertian analisa dimensi, dimensi, dasar teori (azas keserupaan dimensi, persamaan-persam persamaan-persamaan aan dasar tak berdimensi, teorema Pi), manfaat dan kegunaan serta aplikasinya dalam cakupan penelitian atau aplikasi model untuk membantu penyelesaian masalah-masalah dalam bidang teknik maupun bidang kajian yang menggunakan pendekatan analisa dimensi. II.  Cakupan Bahasan Modul 2.1 

Pengertian Analisa Dimensi  Analisis dimensi adalah dimensi  adalah alat konseptual yang sering diterapkan dalam fisika fisika,, 

kimia, fisis   yang kimia,  dan teknik   untuk memahami keadaan fisis yang melibatkan besaran fisis berbeda-beda. berbeda-bed a. Analisis dimensi rutin digunakan dalam fisika dan teknik untuk memeriksa ketepatan penurunan persamaan. persamaan.  Hanya besaran-besaran ber berdimensi  dimensi  sama yang dapat saling  ditambahkan saling ditambahkan,, dikurangkan dikurangkan,, atau   atau disamakan. disamakan. Jika besaran-besaran berbeda dimensi terdapat di dalam persamaan dan satu sama lain dibatasi tanda "+" atau "−" atau "=", persamaan tersebut tidaklah mungkin; persamaan tersebut harus dikoreksi terlebih dahulu sebelum digunakan. Jika besaran-besaran berdimensi sama maupun berbeda dikalikan  dikalikan  dibagi,, dimensi besaran-besaran tersebut juga terkalikan atau terbagi. Jika besaran atau   dibagi atau berdimensi

dipangkatkan ,  dipangkatkan,

dimensi

besaran

tersebut

juga

dipangkatkan.

www.Wikipedia.org))  (www.Wikipedia.org  Analisis dimensi dimensi menawarkan suatu suatu metode untuk mengurangi masalah masalah fisik yang kompleks menjadi lebih sederhana sebelum mendapat jawaban kuantitatif. Bridgman (1969) menjelaskan bahwa: "Penggunaan utama analisis dimensi untuk menyimpulkan dari studi dimensi variabel dalam keterbatasan sistem fisik tertentu pada bentuk hubungan yang mungkin antara variabel”. variabel”. Pada dasarnya analisis dimensi ialah suatu metode untuk mengurangii jumlah kerumitan variabel eksperimental yang mengurang yang mempengaruhi mempengaruhi gejala fisika tertentu, dengan menggunakan menggunakan semacam teknik peringkasan. Inti dari analisis dimensi adalah konsep kesamaan. Dalam konsep fisika, kesamaan mengacu pada beberapa kesetaraan antara dua hal atau fenomena yang benar-benar berbeda.

 

  2.2 

Dasar Teori

 Ada 2 system satuan yang digunakan yakni physik system(absolut) system(absolut) dengan satuan M = massa, L = panjang, T = waktu (M L T) dan engineering system dengan satuan F = gaya, L = panjang, T = waktu (F L T ). Pada sistim absolut/ fisik termasuk primary quantities. Dalam permodelan dilakukan pengecilan dari variable tersebut dengan skala n. skala dari berbagai variable/parameter dapat ditentukan berdasarkan hubungan antara parameter yang diekspresikan dalam bilangan tak berdimensi, misalnya Reynold, Froude, Euler, Mach, Cauchy, Strouhal, Weber dan Drag Coefficient.

 

Tabel 1. Sistem Dimensi

   Asas Keserupaan Keserupaan atau atau Homogenity



Persamaan dikatakan berdimensi homogen jika dimensi setiap suku dari suatu persamaan adalah identik/sama. Setiap persamaan secara fisik diawali dari penomena penomena analisa keserupaan, seperti persamaan dari suatu sistim satuan. Prinsip keserupaan ini bisa dilihat dari : - 

Keserupaan Geometrik (panjang, lebar dan tinggi) t inggi)

- 

Keserupaan Kinematik (kecepatan, debit)

- 

Keserupaan Dinamik (berhubungan dengan gaya)

Hubungan antara model dan prototype diturunkan dengan skala, untuk masing-masing masing-masing parameter mempunyai skala tersendiri dan besarnya tidak sama. Skala merupakan rasio

 

antara nilai parameter yang ada di prototype dengan nilai parameter tersebut pada model. Untuk mendapatkan jumlah variabel dari suatu persamaan dapat ditentukan dengan metode; 1.  Buckingham (Phi-Theorema) 2.  Basic Echelon Matrix 3.  Rayleigh 4.  Stepwise 5.  Langhaar   Metode Buckingham (Phi-Teorema)



Pada tahun tahun 1915

E. Buckingham Buckingham memberikan prosedur alternatif yang yang

sekarang disebut teorem pi Buckingham. Istilah pi diambil dari notasi matematika π, yang berarti darab  darab variable-variabel. Kelompok-kelompok Kelompok-kelompok bilangan tak berdimensi yang didapatkan dari teorem itu berupa darab pangkat yang dinyatakan dengan π1, π2 , π3  , dan sebagainya. sebagainya. Metode ini memungkinkan memungkinkan kita untuk memperoleh "pi"  —  —   "pi" itu secara berurutan, tanpa harus memakai pangkat-pan pangkat-pangkat gkat yang bebas. Pada suatu proses fisika memenuhi AKD

dan mengandung

n

variable

berdimensi , proses itu dapat dapat direduksi menjadi hubungan hubungan antara k variabel bilangan tak berdimensi saja, atau k buah π. Rcduksinya

i = n-k sama dengan jumlah

maksimum variable yang tidak membentuk suatu "pi" di antara variable-variabel itu sendiri, dan senantiasa senantiasa kuran kurang g dari, atau sama sama dengan, jumlah jumlah dimensi dimensi yang melukiskan variable-variabel tersebut. Untuk lebih jelasnya berikut ini disajikan langkah prosedur penyelesaian analisa dimensi dengan metode Buckingham Buckingham : 1.  Daftar dan hitunglah n variabel yang ada dalam soal. Kalau ada variabel yang penting kelewatan, analisis dimensi akan gagal. 2.  Daftar dimensi setiap variabelnya menurut MLTΘ atau FLTΘ. Daftar ini bisa dilihat dalam Tabel 1. 3.  Mula-mula tebak saja / sama dengan jumlah dimensi berbeda yang ada, dan carilah variabel

yang tidak membentuk suatu darab "pi". Kalau tak berhasil,

kurangi dengan satu, lalu cari lagi.' Dengan latihan anda akan dapat menemukan dengan cepat. 4.  Pilihlah variabel yang tidak membentuk membentuk suatu suatu darab* "pi". "pi". Yakinkan diri anda bahwa anda senang dengan pilihan itu, dan bahwa yang anda pilih itu bersifat

 

umum kalau mungkin, sebab pilihan tersebut akan muncul dalam setiap kelompok "pi". Pilihlah rapat, atau kecepatan, atau panjang. 5.  Tambahkan satu variabel pada / variabel anda dan bentuklah sebuah darab pangkat. Secara aljabar carilah pangkat-i pangkat yang memuat darab itu menjadi bilangan tak berdimensi. Usahakan

variabel-variabel

keluaran anda (kakas,

penurunan tekanan, momen gaya, daya) muncul sebagai pembilang agar grafiknya tampak lebih bagus. Kerjakan ini berturut-turut dengan menambahkan satu variabel baru setiap setiap kali, dan anda anda akan akan memperoleh memperoleh semua n dimensi dimensi / = k darab "pi" yang dicari. 6.  Tulislah fungsi fungsi bilangan bilangan tak berdimensi berdimensi

yang diperoleh diperoleh dan dan periksalah periksalah hasil hasil itu,

apakah semua kolompok "pi" dimensinya bilangan tak berdimensi. Tabel 2. Contoh jumlah konstanta yang tidak berdimensi

Contoh soal :  Asumsikan bahwa gaya viskositas dari sebuah benda bulat yang masuk kedalam fluida berdiameter D, bergantung pada viskositas(μ), kerapatan massa fluida(ρ), dan kecepatan  jatuh bola (v), buktikanlah. buktikanlah. F tergantung tergantung pada D,v, ρ, μ  μ  Penyelesaian : F = φ (D,v, ρ, μ) ; Variabelnya ada (F, D,v, ρ, μ) = 5 buah Satuan dasarnya L M T = 3 buah Jadi jumlah konstanta tak berdimensi = 5 - 3 = 2 Pilihan variabel berulang adalah D, v, dan ρ  ρ 

 

 

  Metode Rayleigh



Jika suatu debit mempunyai saling perhubungan satu dengan lainnya dari Q1, Q2, Q3, Q4 dan seterusnya, maka hubungan diekspresikan manjadi Q1= K.Q 2aQ3bQ4d  K disebut sebagai parameter tak berdimensi. Contoh Soal : suatu pendulum mempunyai perioda t dan panjang nya adalah l dan percepatan gravaitasi g, maka persamaannya adalah

Tabel 3. Kelompok-kelompok Kelompok-kelompok bilangan tidak berdimensi dalam Mekanika Fluida

 

 

2.3 

Manfaat dan Kegunaan  Analisa dimensi memeiliki beberapa beberapa manfaat dan kegunaan dalam menyeles menyelesaikan aikan

persamaan fisis yang melibatkan dimensi besaran. Beberapa kegunaannya dapat diuraikan berikut ini : - 

penghematan waktu dan biaya yang amat banyak;

 

Misalkan kita mengetahui bahwa gaya F pada benda tertentu yang terbenam di dalam aliran fluida hanya akan tergantung tergantung pada panjang L benda benda itu, itu, kecepatan aliran U, rapat fluida ρ dan kekentalan µ  µ 

Pada umumnya umumnya diperlukan sekitar sekitar 10 titik eksperimental eksperimental untuk menentukan menentukan sebuah kurva. Untuk menentukan pengaruh panjang benda L kita harus melakukan percobaan itu dengan 10 macam panjang. Untuk masing-masing panjang itu kita akan memerlukan 10 nilai untuk V, 10 nilai untuk ρ dan 10 nilai untuk µ, µ , sehingga total 10.000 percobaan. Kalau biaya Rp.5000 per percobaan maka akan menghabiskan biaya yang sangat besar. Tetapi dengan analisis

dimensi

kita dapat segera

menyederhanakan menyederhana kan persamaan diatas menjadi bentuk yang setara menjadi :

atau

 Artinya, koefisien gaya tak berdimensi F/ ρ  v2L2 hanya merupakan fungsi bilangan Reynolds tak berdimensi ρ VL/µ. -   Analisa dimensi membantu mengarahkan pemikiran dan perencanaan kita, baik mengenai percobaan maupun secara teoritis. Cara ini menunjukkan menunjukkan jalan tak berdimensi berdimensi untuk menuliskan menuliskan persamaannya. persamaannya. Analisis Analisis dimensi

menunjukkan variable-variabel mana yang disingkirkan. Kadang-kadang Kadang-kadang

analisis dimensi akan langsung langsung menolak variabel-variabel variabel-variabel itu tidak penting. Akh Akhirnya irnya analisis dimensi dimensi sering memberikan memberikan pandangan pandangan mengenai mengenai bentuk hubungan hubungan fisika yang sedang kita pelajari. - 

analisis dimensi memberikan hukum penyekalaan yang dapat mengalihkan data dari model kecil yang murah ke informasi rancang bangun untuk membuat prototype yang besar dan mahal. Misalnya membangun pesawat udara seharga satu milyard rupiah untuk melihat apakah pesawat itu memiliki gaya bubung yang cukup. Kita mengukur gaya bubung itu pada model yang kecil dengan menggunakan hukum keserupaan untuk meramalkan gaya bubung pada pada pesawat udara udara prototype dengan ukuran sebenarnya.  Ada kaidah-kaidah yang akan kita terangkan untuk mencari hukum keserupaan. Bila hukum keserupaan itu berlaku, kita katakan ada keserupaan antar model dan prototipe. Dalam kasus kasus persamaan persamaan berikut, berikut, keserupaan keserupaan tercapai tercapai kalau

bilangan

 

Reynolds untuk model dan prototipe itu , sebab fungsi g akan membuat koefisien gayanya sama pula.

Disini indeks m dan p berturut berarti model dan prototipe. Dari defenisi koefisien gaya, ini berarti bahwa

Bentuk data yang diambil, dengan ρp Vp Lp/µp Lp/µp = ρmVmLm/µm. Persamaan adalah hukum keserupaan. Jika gaya model diukur pada bilangan Reynolds model, maka ada bilangan Reynolds yang sama gaya prorotipe besarnya sama dengan gaya model dari nisbah rapat kali kuadrat nisbah kecepatan kali kuadrat panjang.

2.4 

 Aplikasi Analisa Dimensi Dimensi dalam me membangun mbangun model model  Analisa dimensi banyak diaplikasikan dalam membangun membangun sebuah sebuah model di bidang bidang

mekanika fluida. Model analisa ini akan membuat para disain/ para experiment mendapatkan informasi yang mendekati kebenaran sebelum memulai melaksanakan pekerjaan

yang

sesungguhnya,

dan

untuk

mendapatkan

pengaruh

yang

akan

ditimbulkannya. Model desain ini sering digunakan pada umumnya untuk kegiatan-kegiatan sebagai berikut ; - Perencaaan Bendungan - Perencaaan Sungai dan pelabuhan pelabuhan - Perencaaan mesin hidolik - Perencaan struktur - Perencaan kapal - Perencaan rembesan air air dalam tanah tanah Skala yang biasa digunakan untuk membangun sebuah model dengan analisa dimensi : -  - 

1 : 30 sampai dengan 1 : 400 untuk bangunan Bendungan dan Bendung

1 : 5 sampai dengan 1 : 25 pekerjaan tekanan, perpipaan, valves, pintu air dan saluran terbuka

- 

1 : 100 sampai dengan 1 : 1000 untuk pekerjaan sungai, pelabuhan dan muara.

Uji coba keserupaan ditentukan oleh analisa dimensi variable bebas yang mempengaruhi permasalahan. Jika semua dimensi varaibel bebas mempunyai nilai yang sama untuk model dan prototipe maka keduanya dikatakan absolut mirip.

 

Pada gelombang air ada pengaruh tegangan permukaan air sebesar 25 mm, akan tetapi pada prototipe karena dimodelkan dengan skala yang kecil maka tegangan permukaan diabaikan, pengaruh ini disebut sebagai effek scala. Tabel 4. Faktor Skala berdasarkan Hukum Froude

Contoh : Skala 1 : 20 sebuah model kapal yang tercelup diatas air dengan luas permukaan tercelup 5m2 dan panjang adalah 8 m mempunyai mempunyai total drag adalah 2 kg jika gerakan kapal mempunyai kecepatan 1,5 m/det. Hitung total drag pada prototipe saat bergerak dengan kecepatan spontan. Gunakan hubungan Rf= 0,5 Cf. (ρ. A. v 2)untuk menentukan gesekan permukaan kapal. Harga Cf= (0,0735)/ (Re)1/5. Kinematik viskositas air untuk laut 0,01 stokes dan berat spesifik air laut adalah 1000 kg/m3  Penyelesaian : Skala linier adalah sebesar n = 20

 

   Analisa untuk Model Model

Gesekan permukaan kapal adalah 2

Gelombang yang ditimbulkan oleh gesekan ;

 Analisa untuk prototype prototype

Kondisi kemiripan dinamik

Bilanan Reynold (Re) = (vp .lp)/ νp ; Re = ((6,71.100).(20.8. ((6,71.100).(20.8. 100))/0,01  100))/0,01  Re = 1,074 E09

Gesekan permukaan kapal ;

Gesekan yang menimbulkan gelombang (Rw) dengan kondisi keserupaan dinamik adalah

 

 

Total Gesekan adalah

III. Kesimpulan Berdasarkan uraian di atas maka dapat disimpulkan bahwa : -   Analisa dimensi merupakan suatu alat analisis yang bisa digunakan untuk penyederhanaan suatu model fisis dengan melihat keserupaan dimensi yang dimilikinya. -   Analisa dimensi dimensi memiliki beberapa beberapa keuntungan yaitu : a.  penghematan waktu dan biaya yang amat banyak. b.   Analisa dimensi dimensi membantu membantu mengarahkan mengarahkan pemikiran pemikiran dan perencanaan kita, baik mengenai percobaan maupun secara teoritis. c.  analisis dimensi

memberikan hukum penyekalaan yang dapat mengalihkan

data dari model kecil yang murah ke informasi rancang bangun untuk membuat prototype yang besar dan mahal. - 

Untuk menentukan analisis dimensi yang perlu diperhatikan adalah prinsip homogenitas dimensi yang digunakan dalam membentuk bilangan yang tidak berdimensi.

- 

Beberapa metode yang dapat digunakan dalam analisa dimensi, namun metode Buckingham yang paling banyak digunakan karena memiliki kestabilan dalam pembangunan model.

 

 Analisis Dimensi, Kesetaraan, dan Model Hidrolika Pendahuluan

Bangunan hidrolik dapat didesain dengan menggunakan:   teori murni,



  metoda empiris,



  metoda semi-empiris, semi-empiris, yaitu yaitu pemanfaatan formulasi matematis berdasarkan konsep



teori dan didukung dengan eksperimen,   model fisik,





  model matematis

Pendekatan teori murni dalam teknik hidrolik hanya terbatas t erbatas pada kasus-kasus aliran aliran laminer, seperti misalnya pada persamaan Hagen-Poisseille untuk gradien hidrolik pada aliran laminer untuk fluida tak termampatkan (incompressible flow) dalam pipa melingkar. Metoda empiris mendasarkan korelasi antar variabel yang diamati pada suatu sistem tertentu. Korelasi tersebut hanya dapat dipakai untuk kondisi-kondisi yang setara dengan kondisi data dikumpulkan. Karena ketidakmampuan ketidakmam puan untuk unt uk mengekspresikan meng ekspresikan interaksi interaks i fisik fis ik semua param paramete eterr yan yang g telibat telibat dalam suatu sistem sistem kedalam bentuk matematis, matematis, maka metoda m etoda empiris masih dipakai. Salah satu contoh yang sangat dikenal adalah korelasi antara tinggi, kecepatan angin, fet  fetch ch,, dan durasi dalam pera peramal malan an gelombang laut.

Contoh korelasi korelasi semi-empiris -empiris adalah persamaan persamaan Colebro Colebrook-White ok-White untuk untuk faktor fakt or gesekan gese kan pada aliran alir an turbulen dalam pipa. Persamaan ini dikembangkan dan konsep teori dan eksperimen yang didesain berdasarkan analisis dimensi. Persamaan ini berlaku untuk semua Newtonian-Fluids. Untuk setiap masalah, yang secara fisik dapat dimengerti tapi sulit untuk diekspresikan dalam bentuk persamaan yang menjelaskan masalah tersebut, analisis dimensi menjadi alat yang berguna untuk pemecahan masalah tersebut (Rajaratnam, 1989). Sesudah variabelvariabel yang menjelaskan masalah tersebut, analisis dimensi merupakan alat bantu untuk perancangan variabel-variabel tersebut menjadi parameter-parameter tak berdimensi yang lebih kecil dan relatip lebih sederhana. Dengan beberapa ekperimen (fisik) dapat diketahui hubungan antar parameter-parameter tak berdimensi sehingga solusi masalah tersebut dapat ditentukan Analisis dimensi merupakan dasar dalam perencanaan dan operasi model

 

skala yang dipakai untuk memprediksi kelakuan sistem dengan ukuran yang sebenarnya, sebenarnya, yang biasanya disebut prototipe jenis model ini, yang biasanya setara secara geometris terhadap prototipnya banyak dipakai tidak hanya dalam perencaaan bangunan-bangunan air, seperti pompa, turbin, pelabuhan, pemecah gelombang, pekerjaan sungai dan pantai, spillway, dan lain-lain, tapi juga dalam bidang aeronautika, otomotif dan lain-lain. Walaupun pada akhir-akhir ini model matematis berkembang dengan cepat sejalan dengan perkembangan perangkat keras dan lunak komputer yang begitu cepat dengan kapasitas besar dan kecepatan tinggi, sehingga memungkinkan persamaan gerak maupun persamaan semi empiris, seperti pada sistem jaringan perpipaan, aliran tidak tunak yang kompleks dapat diselesaikan. Namun demikian, masih banyak kasus, khususnya di mana pola aliran lokal tidak dapat dimodelkan secara matematis, model fisik tetap diperlukan.  Analisi  Ana lisis s dime dimensi nsi memega memegang ng perana peranan n pent penting ing dalam dalam pere perenca ncanaa naan n dan dan peng pengope operas rasian ian suatu suatu eksperime ekspe rimen, n, khususny khususnya a dalam dalam bidang bidang mekanika mekanika fluida dan hidrolika hidrol ika.. Tanpa T anpa teknik tek nik analisi anal isis s dimensi kemajuan eksperimen maupun perhitungan pada mekanika fluida akan terhambat. Analisis Dimensi 

Konsep dasar analisis dimensi adalah menyederhanakan jumlah variabel terpisah yang tercakup dalam suatu sistem fisik f isik tertentu menjadi grup variabel tak berdimensi berdimensi dengan dengan jumlah jumlah yang lebih lebih kecil. Susunan Susunan grup variabel variabel dipilih dipilih sedemikian rupa sehingga masing-masing grup menggambarkan karakteristik fisik yang signifikan. Semua parameter fisik dalam teknik hidrolik dapat dinyatakan dalam tiga dimensi dasar, yaitu massa [M] atau gaya gaya [F], panja panjang ng [L], dan waktu waktu [T]. Di bab 1 sudah s udah dijelaskan satuan dan dimensi, dimen si, serta jenis variabel variab el geometrik geometrik dengan dengan dimensi dimensi L, kinematik kinematik dengan dengan dimensi dimensi (L,T), (L,T), dinamik dinamik dengan dimensi (M,L,T) dan variabel tak berdimensi.

Sebagai pengingat berikut adalah tabel dimensi dari besaran – besaran  – besaran  besaran fisika

 

Tabel 1 Besaran fisika dan dimensi

Teori analisis dimensi adalah mumi matematika m atematika dimensi dan kuantitas, yang terdiri dari metoda pembentukan variabel-variabel variabel-variabel yang signifikan kedalam group yang tak berdimensi. Ada dua macam metoda yang banyak dipakai, yaitu:

1. Metoda Rayleigh 2. Metoda Buckingham

 

Metoda Rayleigh Metoda ini dikembangkan oleh Lord Reyleigh (1899), yang biasa dikenal juga dengan nama metoda Indical. Prins Prinsip ip dasar dasar dari dari metoda metoda ini ini adalah adalah mencari hubungan h ubungan variabel-var variabe l-var iabel melalui proses aljabar dalam bentuk persamaan-persamaan. Persamaan ditulis dengan memasukkan dimensinya dimensi nya dan persamaan eksponennya ke dalam tiga satuan dasar [M], [L], dan [T] sedemikian rupa sehingga dimensinya homogen. Untuk menjelaskan menjelaskan metode ini, ini, berikut ini diberikan diberikan contoh sederhana penyelesaian analisis dimensi oleh Rajaratnam (1989). Suatu lubang imgkaran kecil dengan diameter d terletak ter letak pada bagian bawah suatu penampungan air seperti gambar gambar berikut berikut ini.

G amba ambarr 1. Or O r i fi ce pa pada da suatu pe penampungan nampungan air Untuk Unt uk kondis kondisii Gamb Gambar ar 1 walau walaupun pun ada ada air yang yang kelua keluarr dari dari lubang lubang,, na mu n ke ti ng gia n H dia ng ga p konstan (H besar sekali) dan d