Metrologie_incertitude de Mesure

Incertitude sur une mesure x de la grandeur X. Données pour l’étudiant en BTS u(X) : Incertitude type. U(x) : Incertitude élargie. UR:Incertitude relative •

•

UR =

U(X) x

Incertitude de type A

Rappel : s = σ n-1 = •

∑ (xi-x

m

:

uA ( X ) =

s N

)2

(n − 1)

Incertitude .de type B :

u B (X) =

∆c 3

L’incertitude élargie est alors U(X)) =

k * u 2A (X) + u 2B (X)

où k, le facteur d'élargissement, dépend du niveau de confiance choisi, pour 68 % k=1 ; pour 95%

k = 2 ; pour 99% k =3;

• Propagation des incertitudes Pour des séries de mesures X et Y indépendantes d'éléments.

qui ont le même nombre

u incertitude type Somme

S = X + Y

u(X + Y) =

(u 2 (X) + u 2 (Y)

Différence

D = X - Y

u(X − Y) =

(u 2 (X) + u 2 (Y)

UR incertitude relative Produit

P = X*Y

Quotient

Q = X / Y

Puissance

P = Xn

P = X n .Y m

U R (X * Y) =

U R (G) =

U(G) g

(U 2R (X) + U 2R (Y)

X U R ( ) = (U 2R (X) + U 2R (Y) Y U R (X n ) = n.U R (X) U R (X n * Y m ) =

n 2 .U 2R (X) + m 2 U 2R (Y)

Xn UR ( n ) = Y

Xn Q= m Y

u T est

n 2 .U 2R (X) + m 2 U 2R (Y) incertitude type 2

 δf   δf  u(T) =   u 2 (X) +   u 2 (Y)  δx   δy  2

fonction de

T = f(X,Y)

2 variables

• Méthode statistique de Student : L’incertitude

élargie

U(X ) =

est alors

t*s N

Tableau de Student. nombre de

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

30

infini

1,83

1,76

1,70

1,68

mesures: N Valeurs de t seuil de

6,31

2,92 2,35 2,13

2,02 1,94

12,7

4,30 3,18

64

9,92 5,84 4,60 4,03 3,71

1,89

1,86

confiance de 90 % seuil de

2,77 2,57 2,45 2,36 2,31

2,26 2,14

2,04 1,96

confiance de 95 % seuil de confiance de 99 %

3,50 3,35 3,25 2,98 2,75 2.58

ELEMENTS SUR LA MESURE. CARACTERISTIQUES METROLOGIQUES I Erreur de mesure . 1. Erreur de mesure : C’est l’écart entre la valeur mesurée et la valeur vraie. 2. Erreur de mesure systématique C’est le décalage constant entre la valeur mesurée et la valeur vraie. 3. Erreur accidentelle

II Caractéristiques d’une mesure. 1. Valeur moyenne d’une mesure: Soit une série n de mesures x1, x2,… xn d’une même grandeur X. La moyenne des mesures est xm : x m =

∑ xi n

2. Ecart type de la valeur:σ L’écart type σn : c’est la dispersion des n valeurs Xi autour de cette valeur moyenne Xm ; ou moyenne des écarts à la valeur moyenne. σn=

∑ (x

i

− xm ) 2 n

calculé par rapport au nombre de mesures n.

on définit également s = σ n-1 =

∑ (xi-x

m

(n − 1)

)2

calculé par rapport au nombre d’écarts n-1.

3. Probabilité d’obtention d’une valeur m : La probabilité d’apparition des différents résultats de la mesure peut satisfaire

la LOI de GAUSS :

− ( m− m ) 1 2 Pm = e 2σ σ 2π

2

On appelle la probabilité d’obtenir une valeur m comprise entre m1 et m2, : Pm Alors la probabilité de trouver une valeur ou mesure comprise entre m-σ et m+σ est Pm=68 % notée : De même:

P(m-

2σ

; m+

2 σ)

P(m-σ ; m+σ) = 68 %

= 84 %

P(m -2σ ; m+ 2σ) = 95 % P(m -2,6 σ ; m+2,6 σ) = 99 %

P(m -3σ ; m+3σ) = 99.7 %

III Capteurs. 1. Fidélité: Un appareil de mesure est d’autant plus fidèle que les résultats des mesures sont regroupés autour d’une valeur moyenne.

2. Justesse Un appareil de mesure est d’autant plus juste que la valeur moyenne obtenue est proche de la valeur vraie. 3. Précision: Un appareil de mesure est d’autant plus précis que chacune des mesures obtenue est proche de la valeur vraie.(appareil fidèle et juste)

Valeur vraie

Valeur moyenne

Justesse

Fidélité

IV Incertitude sur une mesure x de la grandeur X. Evaluer l’incertitude sur une mesure fait l’objet de la métrologie. La norme NF ENV 13005 d’août 1999, est un guide pour l’expression des incertitudes de mesure.

x : Mesure de la grandeur G.

X : Mesurande, grandeur à mesurer. u(X) : Incertitude type.

UR =

U(X) x

U(x) : Incertitude élargie.

UR:Incertitude relative.

U et u viennent de « Uncertainly », incertitude en anglais 1)

Règle de présentation des résultats.

L'incertitude est toujours exprimée avec deux chiffres significatifs. Le résultat conserve les chiffres significatifs de même rang que l'incertitude.

2)

Les sources d’incertitudes. Cas d’une mesure directe.

3.1) Incertitudes dues à la pièce et à l’opérateur.

Incertitude de type A notée : uA(X). est

L’incertitude de type A

Rappel : s = σ n-1 =

∑ (xi-x

m

s N

uA ( X ) =

)2

(n − 1)

3.2) Incertitudes dues à la qualité de l’instrument.

Incertitude de type B. notée : uB(X). Le constructeur indique en général une incertitude de mesure liée à son instrument. Les incertitudes-type de type B ne sont pas reliées aux statistiques de mesure mais elles prennent en compte les caractéristiques des instruments de mesure. La norme AFNOR indique : D’une manière générale, si le constructeur fournit l’incertitude type, on l’utilise directement. Si l’incertitude est du type : ∆C = ± …, l’incertitude est :

u B (X) =

∆c 3

Si on dispose de peu d’indications ou d’une incertitude simple, la norme prévoit

u B (X) =

∆c 12

3.3) Incertitude composée u(X) , incertitude élargie U(X) .

incertitude composée u(X). Si uA(X) et uB(X) ont été déterminés, l’incertitude dépend de uA(X) et de uB(X) : incertitude composée

u C (X) =

u 2A (X) + u 2B (X) = u(X)

L’incertitude élargie est alors U(X) = k*uC(X) où k, le facteur d'élargissement, dépend du niveau de confiance choisi, pour 68 % k=1 ; pour 95%

k = 2 ; pour 99% k =3;

soit U(X) =

k * u 2A (X) + u 2B (X)

3)

Propagation des incertitudes: Cas d’une mesure indirecte.

Lorsque la mesure n’est pas directe mais dépend d’un ensemble de mesures de X et de Y. La mesure est alors indirecte. Pour des séries de mesures X et Y indépendantes d'éléments.

qui ont le même nombre

u incertitude type Somme

S = X + Y

u(X + Y) =

(u 2 (X) + u 2 (Y)

Différence

u(X − Y) =

D = X - Y

(u 2 (X) + u 2 (Y) U R (G) =

UR incertitude relative

U R (X * Y) =

Produit

P = X*Y

Quotient

Q = X / Y

Puissance

P = Xn

P = X n .Y m

U R (X n * Y m ) =

Xn Q= m Y

Xn UR ( n ) = Y

T est

n 2 .U 2R (X) + m 2 U 2R (Y)

n 2 .U 2R (X) + m 2 U 2R (Y) incertitude type 2

 δf   δf  u(T) =   u 2 (X) +   u 2 (Y)  δx   δy  2

T = f(X,Y)

2 variables 4)

(U 2R (X) + U 2R (Y)

X U R ( ) = (U 2R (X) + U 2R (Y) Y U R (X n ) = n.U R (X)

u fonction de

U(G) g

EVALUATION DE L’INCERTITUDE PAR UNE METHODE STATISTIQUE.

Lorsque seule la méthode statistique est employée pour évaluer les incertitudes, on peut employer la Méthode

L’incertitude

de Student :

élargie

U(X ) =

est alors

t*s N

Tableau de Student. nombre de

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

30

infini

1,83

1,76

1,70

1,68

mesures: N Valeurs de t seuil de

6,31

2,92 2,35 2,13

2,02 1,94

12,7

4,30 3,18

64

9,92 5,84 4,60 4,03 3,71

1,89

1,86

confiance de 90 % seuil de

2,77 2,57 2,45 2,36 2,31

2,26 2,14

2,04 1,96

confiance de 95 % seuil de confiance de 99 %

3,50 3,35 3,25 2,98 2,75 2.58