MetodosCuantitativos II

Problema 16 La E.L. Griffith Company es un fabricante grande de zapatos, ubicado en la región del medio oeste en los Estados Unidos de Norteamérica. La Griffith es especialista en la fabricación de botas vaqueras y no vende en forma directa al público sino que, en cambio, vende a través de expendios al menudeo. Según las fluctuaciones en los costos de los diversos componentes, la compañía ha observado que el costo de producción varía de un mes a otro. Debido a estas variaciones en los costos (y al bajo costo de manejo y almacenamiento que es de $ 1.00 por mes por par de botas), la Griffith considera que resulta conveniente fabricar pares de botas en exceso en algunos meses para venderlas en meses posteriores. Los administradores de la Griffith han pronosticado la demanda y los costos por los siguientes siete meses como se muestra en la tabla P3-16. La compañía desea programar la producción para minimizar los costos totales de producción y manejo. Plantee un modelo de PL para el problema. (No existe restricción de capacidad sobre la producción o sobre el almacenamiento)  Tabla P3-16

Mes Demanda pronosticada Costo proyectado (por par) 1 150000 36.00 2 110000 42.00 3 180000 38.00 4 100000 40.00 5 200000 35.00 6 180000 39.00 7 110000 37.00 Definición: Determinar cómo programar la producción de los próximos 7 meses para minimizar los

costos  Alternativa a:

Variables:

Xi: cantidad (pares) producida en el mes i=1,2,3,4,5,5,7 i : cantidad (pares) de unidades al final del mes i=1,2,3,4,5,5,7

Limitantes:

- Satisfacer la demanda

-

min S.A.:

Inventario Final del último periodo No negatividad

z = 36 X1 + 42 X2+ 38 X3 + 40 X4 +35 X5 + 39 X6 + 37 X7 + 100 ( Ii ) 0 I1 I2 I3 I4 I5 I6

+ + + + + + +

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7

= = = = = = =

150000 110000 180000 100000 200000 180000 110000

I7=0 Xi0

+ + + + + + +

I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7

 Alternativa b:

Variables: Xij: Unidades fabricadas en el periodo i (1,…,7) y vendidas en el periodo j(1,…7)

X11 X12 X13 X14 X22 X23 X24 X33 X34 X44

X15 X25 X35 X45 X55

X16 X26 X36 X46 X56 X66

X17 X27 X37 X47 X57 X67 X77

Limitantes:  Demanda pronosticada en cada mes  No negatividad

Inventario 1: Inventario 2: Inventario 3: Inventario 4: Inventario 5: Inventario 6:

Min.Z= 36 X1j + 42 X2j +38 X3j + 40 X4j + 35 X5j + 39 (X66 +X67) + 37 (X77) + 1(X12+X23+X34+X45+X56+X67) + 2(X13+X24+X35+X46+X57) + 3(X14+X25+X36+X47) + 4(X15+X26+X37) + 5(X16+X27) + 6(X17) s.a.: X11 X12 + X22 Xi3 Xi4 Xi5 Xi6 Xi7

= 150000 = 110000 = 180000 = 100000 = 200000 = 180000 = 110000

Xij > 0

Problema 17 Una cooperativa agrícola del suroeste de los Estados Unidos de Norteamérica opera cuatro granjas. La producción de cada granja está limitada por la cantidad de agua disponible para irrigación y por el número de acres disponibles para cultivo. Los datos de la tabla P3-17ª describen las granjas. Normalmente, la cooperativa cultiva 3 tipos de productos, aunque cada una de las granjas no necesariamente cultiva todos ellos. Debido a la limitación en la disponibilidad de equipo para cosechar, existen Limitantes sobre el número de acres de cada producto que se cultivan en cada granja. Los datos de la tabla P3-17b reflejan el máximo de acres de cada cultivo que pueden producirse en cada granja. El agua que se requiere (expresada en millares de pies cúbicos por acre) para los respectivos cultivos son: 5, 5, y 4. Las utilidades que se proyectan por acre para cada uno de los cultivos son $500, $150 y $200, respectivamente.

Para mantener una carga de trabajo equilibrada entre las 4 granjas, la cooperativa ha adoptado la política de hacer que en cada granja se cultive un porcentaje igual de terreno disponible. Plantee un modelo de PL, que permita a la cooperativa a determinar la cantidad (acres) de cada cultivo que deben plantarse en cada granja para que se maximicen las utilidades esperadas por la cooperativa. Tabla P3-17 a Granja 1 2 3 4

Disponibilidad de agua (pies cúbicos) 480000 1320000 370000 890000

Disponibilidad de tierras (acres) 450 650 350 500

Tabla P3-17b Granja 1 200 150 200

Cultivo A B C

Granja 2 300 200 350

Granja 3 100 150 200

Granja 4 250 100 300

Definición: Determinar la cantidad de acres que deben plantarse de cada cultivo para maximizar  utilidades

Variables:

Xij: cantidad (acres) de cultivos i= A,B,C en cada granja j=1,2,3,4

Limitantes:

-

max z

=

Disponibilidad de acres Disponibilidad de agua Cantidad máxima de acres No negatividad

500XAj + 350XBj + 500XCj

S.A.: 6XA1 6XA2 6XA3 6XA4

+ + + +

5XB1 5XB2 5XB3 5XB4

Xi1 Xi2 Xi3 Xi4

   

450 650 350 500

+ + + +

4XC1 4XC2 4XC3 4XC4

   

480 1320 370 890

XA1 XA2 XA3 XA4

200 300 100 250

 X i 450

1

XB1200 XB2300 XB3100 XB4250 =

 X

i 2

650

=

 X i 350

XC1200 XC2300 XC3100 XC4250 3

=

 X i 500

4

X ij  0

Problema 18. La AJAX Fertilizer Company fabrica y vende un fertilizante de aplicación general (10-10-10). La compañía fabrica el fertilizante en tres plantas distintas y envía el producto final a cuatro almacenes diferentes, ubicados en diversos puntos de los Estados Unidos de Norteamérica. Puesto que algunas operaciones fabriles han existido durante más tiempo que otras, hay diferentes costos de producción en las distintas plantas. (Las plantas más recientes utilizan procesos más modernos y actualizados que dan como resultado menores costos de producción.) En la tabla P3-18a se presentan los costos de producción en dólares por tonelada; la capacidad en toneladas para las plantas. Tabla P3-18b Tabla P3-18a  Almacén Planta Costos Capacidad 1 2 3 4 Planta 1 $38 650 1 23 18 21 25 2 $45 600 2 21 24 23 18 3 $30 600 3 18 21 27 23

Los requerimientos en toneladas de los cuatro almacenes son: 300, 450, 500 y 600 respectivamente. Debido a que cada almacén opera en forma separada, los precios por tonelada en los respectivos almacenes difieren un poco. Los precios de venta son $62, $63, $64 y $64. El objetivo de los administradores de Ajas es maximizar las utilidades totales para la compañía. Por ello, deben considerar los costos de transporte asociados con el envío del producto de una planta determinada a un almacén específico. Los costos de transporte (expresados en dólares por tonelada) para las diferentes rutas de transporte se muestran en la tabla P3-18b. Plantee un modelo PL que le permita a la AJAX satisfacer su objetivo de maximizar las utilidades. Definición: utilidades

Determinar la distribución de transporte adecuada de cada planta para maximizar

Variables:

Xij: cantidad (unidades) a transportar desde la planta i= 1,2,3 al almacén j=1,2,3,4

Limitantes:

-

Capacidad de las plantas Satisfacer la demanda No negatividad

max

z   =

62 Xi1 - (61 X11 + 66 X21 + 48 X31) 63 Xi2 - (56 X12 + 69 X22 + 51 X32) 64 Xi3 - (59 X13 + 68 X23 + 57 X33) 64 Xi4 - (63 X14 + 63 X24 + 53 X34)

S.A:

X11 + X12 + X13 + X14 +

X21 + X22 + X23 + X24 +

X31 X32 X33 X34

≥ 300 ≥ 450 ≥ 500 ≥ 600

X11 + X12 + X13 + X14  650 X21 +X 22 +X 23 +X 24  600 X31 +X 32 +X 33 +X 34  600 X ij

0

Problema 19 La H & L Manufacturing Company se especializa en la fabricación de partes para la industria automotriz. En la actualidad, la compañía tiene problemas de capacidad y se ve obligada a comprar partes a una compañía competidora para poder satisfacer las demandas que tiene comprometidas. El problema que la empresa enfrenta es: la compañía tiene cuatro productos, y éstos se fabrican en seis máquinas. Los tiempos de producción (en horas) necesarios para fabricar los productos se muestran en la tabla P3-19. Existen 60 horas en tiempo disponible en cada una de las máquinas. La H & L ha comprometido un pedido de 250 unidades por semana para cada producto. Los costos de manufactura para los cuatro productos son $2.60, $2.25, $4.40, y $2.10. Si la compañía compra las partes con el competidor externo los precios de compra son $3.15, $2.75, $4.70 y $2.30, respectivamente. Plantee un modelo PL que pudiera utilizarse para identificar las cantidades de los cuatro productos que la H & L debe fabricar y las cantidades que debe comprar con el objeto de minimizar los costos. Tabla P3-19

Producto No. 1 1 .08 2 3 .04 4 .12

No. 2 .04 .02 .12 .08

Máquinas No. 3 No. 4 .04 .10 .30 .15 .35 -

No. 5 .06 .18 .50 -

No. 6 .12 .12 .45 .10

Definición:

Determinar las cantidades de cada uno de los productos a fabricar y comprar

Variables:

Xi: cantidad (unidades) de productos i= 1,2,3,4 fabricados en las máquinas Yi: cantidad (unidades) de producto a comprar i=1,2,3,4

Limitantes:

- Disponibilidad de horas por cada máquina - Demanda por semana - No negatividad

Min Z: 2.60 X1 + 2.25 X2 + 4.40 X3 + 2.10 X4 + 3.15Y1 + 2.75Y2 + 4.70Y3 + 2.30Y4  s.a.: 0.08X1 + 0.04X3 + 0.12X4  ≤ 60  0.04X1 + 0.02X2 + 0.12x3 + 0.08X4  ≤ 60  0.04X1 + 0.10X2 + 0.35X4  ≤ 60  0.30X2 + 0.15X3 ≤ 60  0.06X1 + 0.18X2 + 0.50X3 ≤ 60  0.12X1 + 0.12X2 + 0.45X3 + 0.10X4  ≤ 60   X 1 + Y  1 ≥ 250   X 2  + Y  2  ≥ 250   X 3 + Y  3 ≥ 250   X 4  + Y  4  ≥ 250   Xi; Yi ≥ 0 

Problema 20

El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajadores en cada uno de los trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador pueda ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas. Tabla P3-20

Número de Operador 1 2 3 4 5

Número de trabajo 1 12 6 10 2 7

2 16 8 6 4 10

3 24 20 16 2 6

4 8 14 18 24 6

5 2 6 12 20 18

Definición:

Determinar cómo asignar las tareas a los individuos para maximizar utilidades

Variables:

Xij: asignación del operador i= 1,2,3,4,5 a la tarea j=1,2,3,4,5

Limitantes:

-

Cada operador puede recibir sólo una tarea Cada tarea puede asignarse al operador 1,2,3,4, ó 5 No negatividad

Max Z = 12X11 + 16X12 + 24X13 + 8X14 + 2X15 + 6X21 + 8X22 + 20X23 + 14X24 + 6X25 + 10X31 + 6X32 + 16X33 + 18X34 + 12X35 + 2X41 + 4X42 + 2X43 + 24X44 + 20X45 + 7X51 + 10X52 + 6X53 + 6X53 + 6X54 + 18X55 s.a.:

Para los trabajadores X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1

Para las tareas X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1

Xij≥ 0

Problema 21 La Reed Service Company se desenvuelve en el negocio de reparación de máquinas lavadoras y secadoras domésticas. La compañía da servicio a clientes en toda la ciudad. Tiene cinco empleados de servicio que viven en diferentes lugares de la ciudad. Con el objeto de ahorrar tiempo de manejo y costos al inicio de cada día, el personal de servicio se dirige directamente de sus casas a los lugares donde se les requiere. La tabla P3-21 presenta las distancias asociadas con los primeros cinco trabajos que deben llevarse a cabo. A cada empleado de servicio se le paga por conducir; por ello, la Reed desea minimizar la distancia extra de traslado. Plantee el modelo apropiado de PL. Tabla P3-21

Empleado de Servicio

1 2 3 4 5

1 20 16 8 20 4

Número de trabajo 2 3 4 14 6 10 8 22 20 6 24 14 422 2 8 16 22 6

5 22 10 12 6 24

Definición: Determinar que trabajo se debe asignar a cada empleado, para minimizar la distancia extra de traslado. Variables: xij = empleado i= 1,2,3,4,5 en el trabajo j = 1,2,3,4,5 Limitantes:

-

Cada operador puede recibir sólo una tarea Cada tarea puede asignarse al operador 1,2,3,4, ó 5

-

No negatividad

Min z = 20 X11 + 14x12 + 6x13 +10 x14 + 22 x15 + 16X21 +8 x22 +22 x23 +20 x24+10 x25 +8X31 + 6x32 +24 x33 +14 x34 +12x35 +20X41 +22 x42 +2x43 +8 x44 +6x45 +4X51 +16x52 +22x53 +6x54 +24x55 s.a.:

Para los trabajadores X11 + X12 + X13 + X14 + X15 = 1 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 = 1 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 = 1 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 = 1 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 = 1

Para las tareas X11 + X21 + X31 + X41 + X51 = 1 X12 + X22 + X32 + X42 + X52 = 1 X13 + X23 + X33 + X43 + X53 = 1 X14 + X24 + X34 + X44 + X54 = 1 X15 + X25 + X35 + X45 + X55 = 1

Xij≥ 0

Problema 22 La Eat –A-Bite Fastfood Company opera un restaurante que funciona 24 horas al día. En la empresa trabajan diversas personas, y cada una de ellas lo hace 8 horas consecutivas por día. Debido a que la demanda varía durante el día, el número de empleados que se requiere varía con el tiempo. Con base en experiencias pasadas, la compañía ha proyectado el requerimiento mínimo de mano de obra para cada período de 4 horas del día. Plantee un modelo de PL que indique el número mínimo de empleados que se requerirán para atender las operaciones durante las 24 horas.  Tabla P3-22

Turno 12:00 p.m a 4.00 a.m 4:00 a.m a 8:00 a.m 8:00 a.m a 12:00 m 12:00 a.m a 4:00 p.m 4:00 p.m a 8:00 p.m 8:00 p.m a 12:00 p.m

Número mínimo de empleados requeridos 3 5 10 6 10 8

Definición: Cantidad de empleados que entran a laborar en cada turno para minimizar la planilla. Variables:

xi cantidad de empleados que entran a laborar en el turno i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. x1 x2 x3 x4 x5 x6

Limitantes:  Cantidad de empleados mínimo en cada turno.  No negatividad.

Min z = x 1 s.a 

+x 2  +x 3 +x 4  +x 5  +x 6 

x 1 + x 6  3 x 1 + x 2   5  x 2  + x 3  10  x 3 + x 4   6  x 4  + x 5   10  x 5  + x 6   8  xi  0

Problema 23. La Riccardo Manufacturing Company está considerando ampliar la capacidad de su planta para los próximos ocho trimestres. El objetivo de la compañía es hacer que su capacidad fabril sea tan amplia como sea posible al final de dos años (al final de los ocho trimestres). La compañía fabrica un solo producto. Los costos de materias primas y otros costos variables son de $l20 por unidad. Cada unidad que se fabrica requiere 1.2 unidades de capacidad de producción. Todos los costos y requerimientos de producción ocurren en un solo periodo; las ventas ocurren en el periodo inmediatamente posterior. Cada unidad se vende en $175. Por propósitos de expansión (en cualquier periodo) la compañía tiene dos políticas; pueden utilizarse una o ambas de ellas. Bajo la política 1, cada unidad de capacidad adicional requiere $24,000 al principio del periodo; la capacidad nueva está disponible al principio del siguiente periodo. Cada unidad de capacidad adicional bajo la política 2 requiere $ 18,000,al principio del periodo en el que se comienza la ampliación; pero esa capacidad no está disponible sino hasta el principio de dos periodos siguientes al periodo de ampliación. La compañía tiene $320,000 al principio del periodo 1. Ese dinero debe utilizarse para financiar la producción y la expansión de la p lanta. Después del periodo 1 no existen fondos “externos” disponibles. Tanto la producción como la expansión de la planta, después del periodo 1, deben financiarse del fondo para materiales o de fondos generados con ventas. A principios del periodo 1, resultan funcionales un total de 960 unidades de capacidad. Todas las ampliaciones deben estar en condiciones de operarse: hacia finales del periodo 8. Plantee un modelo de PL que señale el número de activos de capacidad que la Ricardo debe adicionar en cada trimestre y la política o políticas de construcción que debe emplear en la ampliación.

Definición: Determinar cuántas unidades de capacidad debe expandir a través de cada política en cada período y adicional las unidades producidas en cada período para maximizar la capacidad fabril. Variables: Xij = unidades de capacidad adicional por la alternativa i = 1, 2 en el período j = 1........8. Yi = unidad producida en el período i = 1..........8. Si = dinero no utilizado en el período i = 1..........8.

1

2

X11

X12

X21

3 X13

4 X14

5

6

X15

X16

7

8

X17

X18

X22 X23 X24 X25 X26 X27

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

Y6 Y7

Y8

Limitantes:  Disponibilidades de capital tanto para producir unidades como para la expansión.  Capacidad de producción.  No negatividad.

Max z= 960 + x 1j  + x 2j 

24000x 11 + 18000x 21 + 120y 1 + S 1 = $ 320,000  24000x 12  + 18000x 22  + 120y 2  + S 2  = S 1 +175y 1 24000x 13 + 18000x 23 + 120y 3 + S 3 = S 2  + 175y 2  24000x 14 + 18000x 24 + 120y 4  + S 4 = S 3 + 175y 1 24000x 15 + 18000x 25 + 120y 5  + S 5 = S 4  + 175y 4  24000x 16 + 18000x 26 + 120y 6  + S 6 = S 5  + 175y 5  24000x 17 + 120y 7  + S 7 = S 6  + 175y 6  120y 8  + S 8 = S 7  + 175y 7  1.2 y 1  960  1.2 y 2   960 + x 11 1.2 y 3  960 + x 11 + x 12  + x 21 1.2 y 4   960 + x 11 + x 12  + x 13 + x 21 + x 22  1.2 y 5   960 + x 11 + x 12  + x 13 + x 14  + x 21 + x 22  + x 23 1.2 y 6   960 + x 11 + x 12  + x 13 + x 14  + x 15  + x 21 + x 22  + x 23 + x 24  1.2 y 7  960 + x 11 + x 12  + x 13 + x 14  + x 15  + x 16 + x 21 + x 22  + x 23 + x 24  + x 25  1.2 y 8   960 + x 11 + x 12  + x 13 + x 14  + x 15  + x 16 + x 17  + x 21 + x 22  + x 23 + x 24  + x 25  + x 26  x ij   0 , y i   0 

Problema 24 La BL & C Paper Company fabrica papel y lo vende a su vez a vendedores comerciales. La compañía fabrica un rollo de papel “estándar” de 120 pulgadas de ancho. Sin embargo, no necesariamente todos los pedidos son para este ancho. Es frecuente que la compañía reciba pedidos para rollos más angostos. Para satisfacer esos pedidos, los rollos más angostos se cortan de los rollos estándar. Para el mes siguiente, la compañía ha comprometido pedidos para el siguiente número de rollos:

Ancho de Rollo 80 plg 70 plg 60 plg 50 plg

Pedidos 1800 500 1200 1400

A la BL & C le gustaría determinar el número mínimo de rollos estándar que se requerirán para satisfacer esta demanda. Plantee un modelo de PL apropiado para el problema.

Definición: Determinar las combinaciones de corte para cada rollo para minimizar perdidas o para minimizar rollos. Variables: xi = cantidad de rollos cortados de la forma i, donde i = 1, 2 , 3, 4 , 5. X1 = cantidad de rollo cortados 80-40 X2= cantidad de rollos cortados 70-50 X3 = cantidad de rollos cortados 60-60 X4 = cantidad de rollos cortados 60-50-10 X5 = cantidad de rollos cortados 50-50-20 Limitantes:  Satisfacer Demanda. min Min z = x 1

+x 2  +x 3 +x 4  +x 5  +x 6 

s.a

x1

 1800  500 x2 2x3 + x4  1200 x2 + x4 + 2x5  1400

xi  0

Problema 25 La D. M. Riddle Company vende al menudeo productos novedosos. La compañía está considerando añadir dos nuevos productos a la línea que ya tiene. La empresa ha decidido trabajar los productos, a prueba, durante dos años. Adquirirá ambos productos con un mayorista. El costo por unidad para cada producto para el horizonte de tiempo de dos años se muestra en la tabla P3-25. El producto 1 se venderá en $ 1.20 y el producto 2 en $ 1.05. El precio de venta será fijo para el periodo de dos años.

Costo Producto 1 2

Año 1 $0.75 $0.70

Ventas Año 2 $0.80 $0.85

Año1

Año 2

6 unidades 9 unidades

7 unidades 12 unidades

La compañía reconoce que las ventas de los nuevos productos dependerá en gran medida de la publicidad. El departamento de publicidad ha proyectado las ventas para los próximos dos años. Estas proyecciones, expresadas en unidades vendidas por dólar de publicidad se muestran también en la tabla P3-25. El departamento de publicidad ha pronosticado también que en ambos años cuando menos el 30%, pero no más del 60% del total de unidad vendidas (de ambos productos), serán del producto tipo 2. A principios del año 1, la compañía tenía $12,000 disponibles para  publicidad y compras. Los productos pueden comprarse un año y conservarse hasta el año siguiente sin incurrir en costos de mantenimiento. La publicidad en cualquier año tiene efecto sólo sobre las ventas de ese año. Los gastos de compras y publicidad en el año 2 pueden financiarse con las utilidad des del año 1. A la Riddle le gustaría desarrollar un modelo que refleje los dólares de publicidad y compras que deben invertirse en cada uno de los dos siguientes años con el objeto de maximizar las utilidades totales para los dos años.

Definición: Determinar cuanto invertir en cada producto en cada año y en publicidad en cada producto para maximizar utilidades. Variables:  x ij = $ en compra en productos i = 1,2 en el año j= 1,2.

Y ij = $ en publicidad del producto i= 1,2 en el año j= 1,2 $ invertidos en compras

$ invertidos en publicidad

x 11

x 12 

y 11

y 12 

x 21

x 22 

y 21

y 22 

unidades compradas

unidades vendidas

x 11 /0.75

x 12  /0.80

6y 11

7y 12 

x 21 /0.70

x 22  /0.85

9y 21

12y 22 

Limitantes:

   

% mínimo y máximo de ventas en cada año del producto 2. Disponibilidad para publicidad y compras en cada año. Disponibilidad para la venta. No negatividad.

Max z= 1.20 (x 11 /0.75 + x 12  /0.80 ) + 1.05 ( x 21 /0.70 + x 22  /0.85 ) -  x 11 +x 12  + x 21 + x 22  S.A. 0.3  9y21/(6y11 + 9y21)  0.6

0.3  12y22/ (7y12 + 12 y22)  0.6

(x11 + x21) + ( y11 + y21) +S1 = 12000 (x12 + x22) + (y12 + y21) +S2 = S1 + 1.20 (x11/0.75) + 1.05 (x21/0.70) 6y11  x11/0.75 9y21  x21/0.70 7y12  x12/0.80 + x11/0.75 – 6y11 12y22  x22/0.85 + x21/0.70 –9y21 xij  0 yij  0

Problema 26 La B. H. Billings Company es un contratista grande que realiza trabajos en techos. Pues que el precio de las tejas varía con las estaciones del año, la compañía trata de acumular existencias cuando los precios están bajos y almacenarlas para su uso posterior. La compañía cobra el precio corriente en el mercado por las tejas que instala, sin importar cuándo 1 haya adquirido. La tabla P3-26 refleja lo que la compañía ha proyectado como costo, precio y demanda para las tejas durante las próximas cuatro temporadas. Cuando las tejas se compran en una temporada y se almacenan para su uso posterior, se incurre en un costo manejo de $6 por millar de piezas, así como también en un costo de almacenamiento $12 por millar de piezas por cada temporada en la que se almacenan. Lo máximo que puede guardar en el almacén son 220,000 piezas; esto incluye el material que se compra para utilizarlo en el mismo periodo. La compañía ha fijado una política que señala que no conservan materiales más de cuatro temporadas. Plantee un modelo para el problema que le permita a la Billings maximizar sus utilidades para el periodo de cuatro temporadas. Precio de compra Precio de mercado Ventas (millones ($ por pieza) ($ por pieza) de piezas) Temporada Verano 21 22.00 100 Otoño 22 23.25 140 Invierno 26 28.50 200 Primavera 24 25.50 160

Definición: Determinar cuanto comprar y cuanto almacenar en cada período para max utilidades.

Variables: xij cantidad de piezas (millones) compradas en la temporada i = 1,2,3,4, vendidas en la temporada j= 1,2,3,4. x 11 x 12  x 13 x 14  x 22  x 23 x 24  x 33 x 34  x 44  Limitantes:  Capacidad de almacenamiento.  Satisfacer la demanda  No negatividad.

22.00x 11 + 23.25(x 12  +x 22  ) + 28.50 (x 13 +x 23 +x 33 ) +25.50 (x 14  +x 24  +x 34  +x 44  )  21.00(x 11 +x 12  +x 13 +x 14  ) + 20.00 (x 22  + x 23 +x 24  ) +26.00(x 33 + x 34  ) +24(x 44  ) + 0.018 (x 12  + x 23 + x 34  ) + 0.030 (x 13 + x 24  ) + 0.042x 14  . S.A.

 X 11 = 100   X 12 + x 22  = 140   X 13 + x 23 + x 33 = 200   X 14  + x 24  + x 34  + x 44  = 160  x 11 + x 12 +x 13 +x 14   220000  (x 12 + x 13 +x 14  ) + (x 22  + x 23 +x 24  )   220000  (x 13 +x 14  ) + (x 23 + x 24  ) + (x 33 + x 34  )   220000   X 14  + x 24  + x 34  + x 44   220000  x ij   0