metodos numericos

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´ NICA ´ ESCUELA ESCUELA POLIT POLITECNI EC CA DEL DEL EJERCITO

Polo Torres Juan Pablo Departamento de Ciencias Exactas

DEBER N #5

Aula G-204

NRC: 1055 Profesor: Ing. Patricio Pugarin Diaz Fecha de entrega 25 de octubre de 2013 1

LATEX

M´etodos Num´ericos

´ Indice 1. EJERCICIO 1

3

2. EJERCICIO 2

3

3. EJERCICIO 3

6

4. EJERCICIO 4

7

5. EJERCICIO 5

8

6. EJERCICIO 6

8

2

Juan Pablo Polo T.

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1.

M´etodos Num´ericos

EJERCICIO 1

Calcular el n´umero de operaciones b´asicas (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) en funci´on de la dimenci´on n, necesarias para realizar un remonte para resolver un sistema A u = B : donde A es una matriz triangular superior. 

 Suma  n − 1  3 ANALIZANDO =  2  1





Multiplicacion n−1

3 2 1 0

0

Division

1 1 1 1 1

Total 2n − 1

7 5 3 1

Ahora: Suma: 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 =

(

1)

n n−

2

Multiplicaci´ on: 0 + 1 + 2 + 3 + ... + n − 1 =

(

1)

n n−

2

Divisi´on: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...  + 1 =  n

Total:

(

1)

n n−

2

+

(

1)

n n−

2

+ n

2n2 − 2n + n 2n2 − n n(2n − 1)

2.

EJERCICIO 2

En el sistema siguiente, pruebe que Ax = B   es equivalente al sistema triangular superior Ux  =  y  que se da y halle su soluci´on. 3

Juan Pablo Polo T.

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M´etodos Num´ericos

  

4x1 +8x2 + 4x3 +0x4 = 8 x1 +5x2 + 4x3 -3x4 = -4 x1 +4x2 + 7x3 +2x4 = 10 x1 +3x2 + 0x3 -2x4 = -4

  

4x1 +8x2 + 4x3 +0x4 = 8 3x2 + 3x3 -3x4 = -6 4x3 +4x4 = 12 x4 = 2

4

Juan Pablo Polo T.

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Segundo Sistema

5

Juan Pablo Polo T.

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3.

M´etodos Num´ericos

EJERCICIO 3

Resolver con calculadora (a mano) el siguiente sistema de ecuaciones, aplicando la eliminaci´on gaussiana:

 

x1 +8x2 - 5x3 = 3 3x1 - 2x2 +3x3 = 1 2x1 +3x2 -x3 = 4

6

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4.

M´etodos Num´ericos

EJERCICIO 4 Halle la soluci´on del siguiente sistema lineal, con calculadora y a mano

  

x1 +x2 = 5 2x1 - x2 +5x3 = -9 3x2 -4x3 +2x4 = 4 2x3 +6x4 = 2

7

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5.

M´etodos Num´ericos

EJERCICIO 5

Demuestre que la inversa de una matriz triangular superior es una matriz triangular superior.

6.

EJERCICIO 6

Dada la siguiente matriz, realizar a mano la factorizaci´o n PA = LU y comprobar con un programa de computaci´on.

1 4 A  =  5

2 1 −2 5 6 −7 25 −15 −3 6 −12 −6 22 8

   Juan Pablo Polo T.

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Resolucion a Mano

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M´etodos Num´ericos

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Codigo P rograma MAT LAB

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% ESCUELA POLITECNICA DEL EJERCITO % DEPARATAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS % METODOS NUMERICOS % PROFESOR: ING. PATRICIO PUGARIN %REALIZADO POR: JUAN PABLO POLO %NRC:1055 %Problema # 6 % descomposicio LUP de una matriz A % Ingresa la matriz A function [L U P]=fac_LUP(A) [n n1]=size(A); if n~=n1 error(’No se puede descomponer’); end L=eye(n); P=eye(n); for k=1:n-1 [m1,m2]=max(abs(A(k:n,k))); if m1==0 disp(’la matriz ingresada es singular’); end p=k+m2-1; A=intercambiofilas(A,k,p); U=A; P=intercambiofilas(P,k,p); for k=1:n-1 for j=k+1:n factor1=(U(j,k)/U(k,k)); U(j,k:n)=U(j,k:n)-(U(j,k)/U(k,k))*U(k,k:n); L(j,k)=factor1; end end end end P antalla de Comandos >> [L U P]=factorizacion_LUP(A)

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M´etodos Num´ericos

L = 1.0000 0.8333 0.6667 0.1667

0 1.0000 0.3714 0.1143

0 0 1.0000 0.2000

0 0 0 1.0000

6.0000 0 0 0

-12.0000 35.0000 0 0

-6.0000 -10.0000 0.7143 0

22.0000 -21.3333 -0.7429 -0.0800

U =

P = 0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

>>

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