Métodos Numéricos

República Bolivariana de Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior Universidad Rafael Urdaneta

Realizado por: Jonathan Chourio. 19138554

Maracaibo, Julio del 2008

Esquema

A.- Derivadas: 1.- Teorema De Taylor. 2.- Diferenciación Numérica. 2.1.- Aproximación a la primera derivada con diferencia hacia atrás. 2.2.- Aproximación a la primera derivada con diferencias centradas. 2.3.- Aproximación de derivadas por diferencias finitas divididas. 2.4.- Aproximación por diferencias finitas para derivadas de orden superior. B.- Integrales: 1.- Formulas de Newton – Cotes. 2.- La regla del trapecio. 3.- La regla del trapecio de aplicación múltiple. 4.- Regla de Simpson. 5.- Regla de Simpson de aplicación múltiple. 6.- Regla de Simpson 3/8.

Desarrollo A.- Derivadas: 1.- Serie de Taylor: Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a: E (a, d) mediante un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si ≥ 0 es un entero y una función que es derivable veces en el intervalo cerrado [ , ] y n+1 en el intervalo abierto ( , ), entonces se cumple que:

O en forma compacta

(1b) Donde, denota el factorial , y es el resto, término que depende y es pequeño si está próximo al punto . Existen dos expresiones para que se mencionen a continuación:

Donde y , pertenecen a los números reales, un número real entre y .

a los enteros y es

Si es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral. Para algunas funciones , se puede probar que el resto, , se aproxima a cero cuando se acerca al ∞; dichas funciones pueden ser expresadas como series de Taylor en un entorno reducido alrededor de un punto y son denominadas funciones analíticas. El teorema de Taylor con expresado de la segunda forma es también válido si la función tiene números complejos o valores vectoriales. Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables.

2.- Diferenciación Numérica El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas. Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

Dond

e esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta

formula por f'(x) y usamos la definición de

Esta formula nos dice que proporcional a "h", i.e…

tenemos que:

aproxima a f'(x) con un error

2.1.- Aproximación A La Primera Derivada Con Diferencias Hacia Atrás: La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dado por:

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:

Donde los errores son 0 y el diferencial indica la primera diferencia dividida hacia atrás.

2.2.- Aproximaciones A La Primer Derivada Con Diferencias Centrales: Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

Para obtener:

Que se puede resolver para

O

La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información practica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada.

Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

2.3.- Aproximaciones A Derivadas De Orden Más Alto Usando Diferencias Finitas: Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:

10

La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación para obtener:

Que se puede resolver para

A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse

(véase en fórmulas mas adelante). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

Ejemplo: Úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de y centradas, para estimular la primera derivada de:

En x=0.5 usando un tamaño de paso h=0.5. Repetir los cálculos usando h=0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:

Y se puede usar para calcular el valor exacto de f (0.5)= -0.9125. Solución: Para h=0.5, se puede usar la función para determinar:

Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante

La diferencia dividida hacia atrás

Y la diferencia dividida central

Para h=0.25, los datos son:

Que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelante:

A diferencia dividida hacia atrás:

Y la diferencia dividida central:>/P>

2.4.- Formulas De Exactitud Para Diferencias De Orden Superior: Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos.

Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante se puede resolver para:

En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:

Agrupando términos

Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud. Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.

B.- Integrales: 1.- Newton Cotes: Estas fórmulas se basan en la idea de integrar una función polinomial en vez de

:

Donde

es un polinomio de interpolación

de grado para apropiadamente.

ciertos

datos

de

que

se

escogen

Es importante observar que estas fórmulas se pueden aplicar inclusive a una tabla de datos, ya que lo que se usa es un polinomio de interpolación, el cual puede ser calculado con la tabla. Dentro de las fórmulas de Newton-Cotes, existen las formas cerradas y abiertas. En las formas cerradas se conocen los valores de y

; en caso contrario, se llaman formas abiertas.

Nosotros nos remitiremos a estudiar únicamente las formas cerradas, y por lo tanto, siempre suponemos que conocemos los valores y

.

2.- Regla Del Trapecio: La regla del trapecio consiste en representar de forma aproximada a una función f(x) mediante un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera que el proceso de integración aproximada de f(x), viene dado por: b

b

a

a

I   f ( x)dx   f1 ( x) dx El polinomio de grado uno corresponde por supuesto a una recta, tal que los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) generan un trapecio:

En consecuencia, el área del trapecio es una aproximación a la integral de f(x). Empleando triángulos semejantes, se tiene que:

f1 ( x)  f (a ) 

f (b)  f ( a ) ( x  a) ba

Entonces, para hallar el área, se integra b



 

f (a ) 

a

f (b)  f (a )  ( x  a )  dx ba 

Antes de la integración, la ecuación puede expresarse como:

f1 ( x ) 

f (b)  f (a ) af (b)  af ( a ) x  f (a )  ba ba

Agrupando los últimos dos términos:

f1 ( x) 

f (b)  f (a ) bf (b)  af (a )  af (b)  af (a ) x ba ba

O bien:

f1 ( x ) 

f (b)  f ( a ) bf (b)  af (b) x ba ba

Ahora, integrando para x = a y x = b

f (b)  f ( a) x 2 bf (a )  af (b) I  x ba 2 ba

b a

f (b)  f (a ) (b 2  a 2 ) bf (a )  af (b) I  (b  a ) ba 2 ba Dado que b2 – a2 = (b – a )(b + a)

I  [ f (b)  f (a )]

ba  bf ( a )  af (b) 2

Obteniendo finalmente la fórmula del trapecio:

I  (b  a )

f (a )  f (b) 2

Puesto que se utiliza el área de un trapecio para aproximar el valor de una integral definida, es claro que el proceso estará asociado a un error que, dependiendo el tipo de función con la que se trabaja, puede ser de una magnitud notable, con las respectivas consecuencias técnicas que esto conlleva para el actuario, el matemático o el ingeniero. La siguiente sección propone una alternativa para sortear esta dificultad.

3.- Regla Del Trapecio De Aplicación Múltiple: Una alternativa al problema de ajuste de un trapecio a una curva, consiste en dividir en n segmentos de longitud h, al intervalo de integración [a,b], y ajustar a cada segmento un polinomio de grado uno f1(x), de tal manera, que se conforman ahora n trapecios:

Lo que significa ahora que se deben calcular las áreas parciales, es decir, el área de cada sub-trapecio: x1

x2

I   f ( x)dx   f ( x)dx  .....  x0

x3

xn



f ( x)dx

xn1

Esto quiere decir que se aplica a cada uno de los sub-trapecios, la expresión (15), para, las que sumadas en su totalidad, proporcionan una mejor aproximación a la integral de f(x). Esta estrategia se denomina regla del trapecio de aplicación múltiple:

I h ...(17)

f ( x0 )  f ( x1 ) f ( xn 1 )  f ( xn ) f ( x1 )  f ( x2 ) h  ......  h 2 2 2

Donde:

h

ba n

La ecuación (17) puede expresarse en forma compacta por I

n 1 h  f ( x )  2 f ( xi )  f ( xn )   0  2 i 1 

O por su forma equivalente: n −1

I = (b − a )

f ( x0 ) + 2∑ f ( xi ) + f ( xn ) i =1

2n

Ejemplo: Utilizando la regla del trapecio de aplicación múltiple, calcule: π 2 0



sen(x)dx

Utilizando 10 segmentos y realizando los cálculos en radianes. Considere que el verdadero resultado es igual a 1. Solución: π 0 h 2  0.157079632 10 En consecuencia: x0 = 0

x1 = x0+h = 0 + 0.157079632 = 0.157079632 x2 = x1+h = 0.157079632 + 0.157079632 = .314159265 ... La siguiente tabla muestra el conjunto de valores x, f(x): i xi 0 0 1 0 .1570796 3 2 0 .3141592 6 3 0 .4712389 4 0 .6283185 3 5 0 .7853981 6 6 0 .9424777 9 7 1 .0995574 2 8 1 .2566370 6 9 1 .4137166 9 1 1 0 .5707963 2

f(xi )=senxi 0 0 .1564344 6 0 .3090169 9 0 .4539905 0 .5877852 5 0 .7071067 8 0 .8090169 9 0 .8910065 2 0 .9510565 1 0 .9876883 4 1

Sustituyendo valores en (20), se tiene que:

I  (1.57079696377  0)

0  2(5.85310235)  1  0.997943387 2(10) , que se acerca al

verdadero resultado: 1.

4.- Regla De Simpson 1/3: La regla del trapecio ajusta un polinomio de grado uno f1(x) a una función f(x). Como se analizó en la sección anterior, este proceso genera un trapecio, para el que se calcula su área como una aproximación a la integral de f(x). Es posible realizar un mejor ajuste a f(x) a través de una función que presente un cierto grado de curvatura. Entonces, ahora la estrategia consiste en utilizar un polinomio de segundo grado f2(x) como una mejor aproximación a f(x). Lo que implica que el cálculo numérico de la integral de esta función, viene dado por: b

b

a

a

I = ∫ f ( x )dx ≈ ∫ f 2 ( x )dx Lo que permite obtener la fórmula general I = (b − a )

f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 ) 6

Donde:

a = x0 b = x2 x1 = (b + a) / 2 Que se conoce con el nombre de formula de Simpson 1/3.

5.- Regla De Simpson 1/3 De Aplicación Múltiple: Al igual que en el caso de la regla del trapecio, puede dividirse en n segmentos de longitud h, al intervalo de integración [a,b], y ajustar a cada segmento un polinomio de grado dos f2(x). Ahora, a cada segmento, se le puede aplicar la regla de Simpson 1/3, con lo que la suma de estas áreas parciales arroja la aproximación al valor de la

integral de f(x). A esta estrategia se le conoce como regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple.

f ( x0 ) + 4 I ≈ (b − a )

n −1

∑

i =1,3,5...

f ( xi ) + 2

n−2

∑

j = 2,4,6...

f ( x j ) + f ( xn )

3n

6.- Regla De Simpson 3/8: Este caso corresponde a

Donde siguientes datos:

Y donde

, es decir,

es un polinomio de interpolación para los

,

y

en tres partes iguales al intervalo

,

son los puntos que dividen .

Igual que en el caso anterior, se usa el polinomio de interpolación de Lagrange, y usando el método de integración por partes se llega a la siguiente fórmula:

Donde . Debido al factor es que se le dió el nombre de Regla de Simpson de 3/8. En la práctica, se sustituye el valor de h para obtener:

Ejemplo:

1. Aproximar la siguiente integral, usando la regla de Simpson de

:

Solución: En este caso, tenemos los siguientes datos:

Los cuales sustituímos en la fórmula, para obtener:

Al igual que en los dos casos anteriores, la regla de Simpson de 3/8, se puede extender si subdividimos el intervalo intervalos de la misma longitud Sea

en

.

la partición determinada de esta forma. Cada

subintervalo lo dividimos en tres partes iguales, y sean los puntos determinados así:

y

Aplicando la regla de

en cada uno de los intervalos tenemos:

Esta última, es la regla de Simpson de 3/8 para n sub intervalos todos de la misma longitud. Métodos Tabulares Y Algoritmos Para La Solución De Derivadas e Integrales

Aproximación por diferencias finitas para derivadas de orden superior: Ejemplo: Calcular la tercera derivada de la función y= sen6x. Solución: