Métodos Numéricos

Métodos numéricos Los métodos numéricos son metodologías que utilizan técnicas algebr aicas y aritméticas para resolver de forma aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejos, que analíticamente resultan muy difíciles e incluso imposibles de resolver. para el caso de aplicaciones de ingeniería sirven exactamente para lo mismo: resolver modelos analíticamente complejos mediante la aplicación de técnicas matemáticas básicas (estas técnicas numéricas, son las bases para la solución y simulación de problemas complejos utilizando computadoras), por ejemplo, en ingeniería mecánica, se utilizan para resolver de forma aproximada casos o aplicaciones especiales de las ecuaciones de navierStokes, aplicando técnicas numéricas y posteriormente resolviéndolas en una computadora ( a estas técnicas se les conoce como CFD o Computational Fluid Dynamics)

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelos matemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del fenómeno, así como de su evolución futura. La matemática aplicada es la rama de las matemáticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas más adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar métodos analíticos clásicos por diferentes razones:    

No se adecúan al modelo concreto. Su aplicación resulta excesivamente compleja. La solución formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretación posterior. Simplemente no existen métodos analíticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son útiles las técnicas numéricas, que mediante una labor de cálculo más o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numérica. El importante esfuerzo de cálculo que implica la mayoría de estos métodos hace que su uso esté íntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informática resultaría difícilmente imaginable el nivel actual de utilización de las técnicas numéricas en ámbitos cada día más diversos.

1. Error y Aritmética de Computador

Error del modelo o error del problema En los fenómenos de la naturaleza muchas veces efectuamos ciertas (hipótesis, es decir aceptamos determinadas condiciones que nos dará una situación aproximada del fenómeno estudiado, de esta manera podemos plantear el comportamiento de dicho fenómeno por medio de un modelo matemático" Error del método cuando un problema planteado en forma precisa no puede resolverse en forma exacta o es muy difícil de hallar la solución, se fórmula una aproximación del modelo, que of rezca prácticamente los mismos resultados (método); Error residual son los originados por las series infinitas, al considerar solo una parte finita.

Error inicial son los originados por los parámetros cuyos valores son conocidos aproximadamente: ejemplo la constante de planck 6.63 x 10 -34 J·s,

errores de redondeo originados por la representación finita de los números, es el caso de las computadoras notación de punto flotante. ejemplo: se redondea en un número finito de dígitos 1/7 = 0,142857142857143 = 0.172857 error de operación se pueden distinguir dos casos operación (exacta) con números aproximados

operación (aproximada) con números exactos

Errores sistemáticos son aquellos, que sin variar las condiciones del ensayo entran de igual modo en cada resultado de las mediciones, pueden ser originados por:     

Defectos del instrumento Las condiciones del ambiente La metodología de la medición Precisión limitada del instrumento Las particularidades del experimentador

Error Casual o accidental (fortuito) son los que están vinculados con los factores que sufren pequeñas variaciones (aleatorias) durante el experimento:

Estabilidad del problema significa que pequeños cambios en los datos producen pequeños cambios en la solución exacta del problema inicial. De los problemas que no verifican esta propiedad, se dicen que están mal condicionados.

los métodos numéricos producen aproximaciones a la solución de los problemas, por esto siempre hay que medir el error del resultado, para tener una idea de que tan aproximado está a la solución. Precisión: es la cantidad de cifras que se utilizan para representar un número. Por ejemplo: 3.141592 3.141592654 3.1415

Tiene una precisión de 7 dígitos (6 Tiene una precisión de 10 dígitos (9 Tiene una precisión de 5 dígitos (4 dígitos decimales)

dígitos dígitos

decimales) decimales)

También se habla de la precisión de un aparato para indicar el número máximo de cifras que puede manejar, por ejemplo, existen calculadoras con una precisión de 9 dígitos, otras de 10 dígitos, etc. Exactitud: Es una medida de que tanto se acerca un resultado a la solución, por ejemplo, si una d e las raíces de una ecuación es 2.55, el resultado 2.5 o 2.6 cual será más exacto. Este término es cualitativo. Si la medición es más próxima al valor verdadero significa que es exacta. Conceptos básicos: Algoritmos y Aproximaciones.

 Algoritmos: Son un conjunto de operaciones que se utilizan para resolver problemas específicos. En estas instrucciones se indica la secuencia de operaciones que se deben realizar para que partiendo de los datos de entada se pueda obtener el resultado buscado. El algoritmo es utilizado en el mundo de la ciencia para la resolución metódica de problemas. Los algoritmos no siempre están escritos de una forma que conduce al programa más efectivo en términos de requisitos de tiempo o almacenamiento. Las características que deben cumplir son: Ser definido: Cada paso del algoritmo debe indicar la acción a realizar sin criterios de interpretación. Ser finito: Un número específico y numerable de pasos debe componer al algoritmo, el cual deberá finalizar al completarlos. Tener cero o más entradas: Datos son proporciona dos a un algoritmo como insumo para llevar a cabo las operaciones que comprende. Tener una o más salidas: Debe siempre devolver un resultado; de nada sirve un algoritmo que hace algo y nunca sabemos que fue. El devolver un resultado no debe ser considerado como únicamente verlos en forma impresa o en pantalla, como ocurre con las computadoras. Por salida de resultados debe entenderse todo medio o canal por el cual es posible apreciar los efectos de las acciones del algoritmo. Efectividad: El tiempo y esfuerzo por cada paso realizado debe ser preciso, no usando nada más ni nada menos que aquello que se requiera para y en su ejecución.  Aproximaciones:  Aproximar un numero ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al número dado. En la aproximación por defecto se busca el numero con un determinado número de cifras que es menor que el dado. La aproximación por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fijadas es inmediatamente mayor al número dado. Por ejemplo, dado el número 1.3456 vamos a aproximarlo con dos cifras decimales: a) por defecto es 1.34 b) por exceso es 1.35  Al dar la aproximación en lugar del número se comete un error, en el ejemplo anterior los errores que se cometen son: a) | 1.3456 - 1.34 | = 0.0056 b) | 1.3456 - 1.35 | = 0.0044 Redondeo: Redondear un numero consiste en dar la mejor de las aproximaciones, es aquella con la que se comete un error menor, en el caso anterior si se redondea 1.3456 a dos cifras decimales, el redondeo será 1.35. En algunos conceptos básicos de los métodos numéricos se puede encontrar las siguientes cifras: cifras significativas, precisión, exactitud, incertidumbre y sesgo. Ya que forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas más adecuadas.

 Al estudiar la teoría de aproximación se comprenden dos tipos de problemas. el primero se presenta cuando una función se presenta de manera explícita, pero se quiere encontrar un tipo más simple de ella, El otro se refiere a la adaptación de funciones a ciertos datos y a la búsqueda de la función optima en una clase donde se puedan emplear los datos Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento. Tipos de Errores Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dado por: E = A - a Error = exacto - aproximado

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos: Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o infer ior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida. Sin embargo, para facilitar el manejo y el análisis se emplea el error absoluto definido como: Consideremos A el valor exacto de una magnitud o medida, y a el valor aproximado o calculado

EA

= | A - a|

Error absoluto = [exacto - calculado]

Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades. Y el error relativo como ER = | A - a| / A , si A ≠ 0 Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como: ERA = ER x 100

Ejemplo: Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores son 10000 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución: a) El error de medición del puente es: Error absoluto. EA = 10 000 - 9 999 = 1cm y para el remache es de EA = 10 - 9 = 1cm b) El error relativo porcentual para el puente es de: ERP = 1/ 10 000 x 100% = 0.01% y para el remache es de ERP = 1/10 x 100% = 10% por lo tanto ambas medidas tiene un erro de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Dígitos significativos

Sea x un número real que, en general, tiene una representación decimal infinita. Podemos decir que x ha sido adecuadamente redondeado a un número con d decimales, al que denominaremos x(d), si el error de redondeo, es tal que.

Ejemplo 1: Exprese el número x=35.47846 correctamente redondeado a cuatro (x (4)) y tres (x(3)) decimales. Calcular el error cometido. Solución: en el primer caso obtenemos:

En el segundo caso, la aproximación correcta es:

y no la siguiente:

no es correcto redondear por exceso cuando el dígito anterior es 5 y proviene de un acarreo previo.

Otra forma de obtener el número de cifras significativas es mediante truncamiento , en donde simplemente se eliminan los dígitos de orden inferior. El error cometido en este caso es:

Este produce a peores resultados que el método anterior. Ejemplo 2: Exprese el número  x =35.47846 truncado a cuatro ( x (4)) y tres ( x (3)) decimales. Calcular el error cometido. Solución: truncado a cuatro ( x (4))

Solución: truncado a cuatro ( x (3))