metodos numericos

Métodos Numéricos Nombre: Paul Totoy M. Código: 1528 1. Determine las raíces reales de f(x) = 0.5x2 + 2.5x + 4.5: a) Gráficamente

b) Empleando la fórmula cuadrática

√ √

1

c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplee como valores iniciales a = 5 y b = 10 i

a

b

aprox

1

5

10

7,5

2

5

7,5

6,25

3

6,25

7,5

6,875

La raíz es 6.875 2.

La ecuación tiene por raíz a r=61906129. Empezando con el intervalo [0,1], realizar seis intervalos por el Método de Bisección para encontrar la raíz aproximada. ¿Cuántos decimales significativos tiene dicha aproximación?.¿Cuántas iteraciones son necesarias para que la raíz obtenida tenga un error menor a ?

i

a

b

aprox

1

0

1

0,5

2

0,5

1

0,75

3

0,5

0,75

0,625

4

0,5

0,625

0,5625

5

0,5625

0,625

0,59375

6

0,59375

0,625

0,609375

La raíz aproximada es 0.609375, posee 6 decimales significativos Se necesita 9 iteraciones, para obtener una raiz aproximada con una tolerancia de 3.

Utilizar el Método de Bisección para encontrar una solución aproximada con un error menor que en el intervalo [4.4; 5] para la ecuación. . Después de

4.

iteraciones no se obtuvo raíces en ese intervalo

La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por

Donde g

= 9,8 m. ? Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de c = 15 kg , calcule la 2

masa m de modo que la velocidad sea v = 35 m en t = 9 s. Utilice el método de la falsa posición para determinar a un nivel de (tolerancia) " = 0,001. Métodos De La Posición Falsa Ingrese la función = (((9.8/15)*x)*(1-2.718^((-15/x)*9)))-35 ingrese el límite inferior a =0 Ingrese el límite superior b = 100 ingrese la torerancia tol =0.001

1 2 3 4 5 6 7 8

a 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

b aprox 100.0000000000 72.3231167758 72.3231167758 63.3737609613 63.3737609613 60.7963098480 60.7963098480 60.0965031433 60.0965031433 59.9102551328 59.9102551328 59.8609679530 59.8609679530 59.8479449878 59.8479449878 59.8445053808

error 4.9425416570 1.4838201396 0.4075650559 0.1088074212 0.0288176312 0.0076160306 0.0020116507 0.0005312651

la raíz es 59.8445053808 5. Sabiendo que existe una raíz de la ecuación x3 + x = 6 entre 1,55 y 1,75, ¿cuántas iteraciones son necesarias hasta obtener mediante el método de bisección, un intervalo de amplitud menor o igual que contenga a la raíz? Calcular todas las iteraciones necesarias. i

a

b

aprox

1

1,55

1,75

1,65

2

1,55

1,65

1,6

3

1

1,65

1,625

4

1,625

1,65

1,6375

5

1,625

1,6375

1,63125

6

1,63125

1,6375

1,634375

La raíz es 1,634375 6. Aplicar el Método de Bisección a de 17 con un error menor que 0,125.

a fin de determinar la raíz cúbica

3

i

a

b

aprox

1

2,5

2,6

2,55

2

2,55

2,6

2,575

La raíz es 2,575 7. Aplicando el Método de Newton, encontrar una raíz próxima a Xo = 0 para la ecuación F(X)=3x + sin x - = 0. Redondear los cálculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla. i

f(x)

f'(x)

Xi+1

Tolerancia

0

-1

3

1/3

1/3

1

-0,0684

2,549

0,36022

0.0269

2

0,0006

2,502

0,36042

0.002

3

-5,625E-08

2,502

0,36042

0

La raíz es 0,36042 8.

La función

tiene una raíz en

. Utilizar el método de Newton con

las siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produce un proceso convergente o no a la raíz. a) i 1 2 3 4 5

X(i+1) Error 1.840000 0.150000 1.782400 0.031304 1.754199 0.015822 1.750071 0.002354 1.750000 0.000040

Raíz = 1.7501 Esta respuesta converge a la raíz en 5 iteraciones b) i 1

X(i+1) 2.000000

Error 0.333333 4

2 NaN NaN Esta respuesta diverge de la solución, se produce una división para 0 al momento de calcular el X(i+1) c) i X(i+1) Error 1 8.000000 1.666667 2 158.000000 18.750000 3 97658.000000 617.088608 Basta con tres iteraciones para darse cuenta que el valor diverge de la raíz dada.

9. Compárese la velocidad de convergencia del algoritmo de bisección en el intervalo [0,1] y el de Newton-Raphson con valor inicial 0.9 para la función f(x) = 0.9 Método Newton-Raphson i X(i+1) Error 1 1.013358 0.125954 2 0.987324 0.025691 3 0.985077 0.002277 4 0.985061 0.000016 Raíz = 0.9851 Método de Bisección i a b 1 0.0000000000 1.0000000000 2 0.5000000000 1.0000000000 3 0.7500000000 1.0000000000 4 0.8750000000 1.0000000000 5 0.9375000000 1.0000000000 6 0.9687500000 1.0000000000 7 0.9843750000 1.0000000000 8 0.9843750000 0.9921875000 9 0.9843750000 0.9882812500 10 0.9843750000 0.9863281250 11 0.9843750000 0.9853515625 12 0.9848632813 0.9853515625 13 0.9848632813 0.9851074219 14 0.9849853516 0.9851074219 La raíz es 0.9850463867

aprox 0.5000000000 0.7500000000 0.8750000000 0.9375000000 0.9687500000 0.9843750000 0.9921875000 0.9882812500 0.9863281250 0.9853515625 0.9848632813 0.9851074219 0.9849853516 0.9850463867

error 0.8921875000 0.7665161133 0.5073040962 0.2634992279 0.0992775435 0.0043794946 0.0465776788 0.0207969902 0.0081339672 0.0018586336 0.0012650697 0.0002956207 0.0004850146 0.0000947695

Conclusión: El método de Newton-Raphson converge con la respuesta con mayor celeridad que el de la Bisección 5

10.

Hacer dos iteraciones del algoritmo de la secante para la función con valores iniciales 0 y 0.1

Programa evaluar x el método de la secante ingrese la función g(x) = tan(x)+0.5 ingrese punto inicial xo = 0 ingrese punto final x = 0.1 ingrese la tolerancia tol = 0.001 ingrese el número de iteraciones n = 2 La raíz es -0.4573534313

11.

Calcular mediante los métodos de bisección y regula falsis la raíz de la ecuación con una precisión de . Tomar [0; 1] como intervalo de partida.

Métodos De Bisección Ingrese la función = (2.718^(-x))-x ingrece el limite inferior a =0 Ingrese el limite superior b = 1 ingrese la torerancia tol =0.000001 i a b 1 0.0000000000 1.0000000000 2 0.5000000000 1.0000000000 3 0.5000000000 0.7500000000 4 0.5000000000 0.6250000000 5 0.5625000000 0.6250000000 6 0.5625000000 0.5937500000 7 0.5625000000 0.5781250000 8 0.5625000000 0.5703125000 9 0.5664062500 0.5703125000 10 0.5664062500 0.5683593750 11 0.5664062500 0.5673828125 12 0.5668945313 0.5673828125 13 0.5671386719 0.5673828125 14 0.5671386719 0.5672607422 15 0.5671386719 0.5671997070 16 0.5671386719 0.5671691895 17 0.5671539307 0.5671691895 18 0.5671615601 0.5671691895 19 0.5671615601 0.5671653748 20 0.5671634674 0.5671653748

aprox 0.5000000000 0.7500000000 0.6250000000 0.5625000000 0.5937500000 0.5781250000 0.5703125000 0.5664062500 0.5683593750 0.5673828125 0.5668945313 0.5671386719 0.5672607422 0.5671997070 0.5671691895 0.5671539307 0.5671615601 0.5671653748 0.5671634674 0.5671644211

la raíz es 0.5671644211 6

error 0.1065621044 0.2775967131 0.0897038840 0.0073160568 0.0414635507 0.0171422135 0.0049303290 0.0011885344 0.0018719775 0.0003419919 0.0004232036 0.0000405890 0.0001507057 0.0000550594 0.0000072355 0.0000166767 0.0000047206 0.0000012575 0.0000017316 0.0000002371

Métodos De Posición Falsa Ingrese la función = (2.718^(-x))-x ingrese el límite inferior a =0 Ingrese el límite superior b = 1 ingrese la tolerancia tol =0.000001 i 1 2 3 4 5 6 7

a 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000 0.0000000000

b 1.0000000000 0.6127141569 0.5722013824 0.5677242898 0.5672268049 0.5671714921 0.5671653418

aprox 0.6127141569 0.5722013824 0.5677242898 0.5672268049 0.5671714921 0.5671653418 0.5671646579

error 0.0708016018 0.0078860334 0.0008770476 0.0000975238 0.0000108440 0.0000012058 0.0000001341

la raíz es 0.5671646579 12. Comparar las primeras 5 iteraciones del método de la régula falsi y de la secante para la ecuación del ejercicio anterior. En este caso el metodo de la regula falsi converge mucho mas rapido y x el metodo de la secante no nos lleva a la raiz que estamos buscando. Programa evaluar x el método de la secante ingrese la función g(x) = 2.718^(-x) ingrese punto inicial xo = 0 ingrese punto final x = 1 ingrese la tolerancia tol = 0.000001 ingrese el número de iteraciones n = 5 La raíz es 4.3860594166 15. Resolver mediante el método de Newton la ecuación

partiendo de

Xo=1 e iterando hasta que el error sea menor de . Comparar con la solución exacta i 1 2 3 4

X(i+1) Error 1.500000 0.500000 1.403509 0.064327 1.395657 0.005594 1.395612 0.000032

Raiz = 1.3957 7

Solución Exacta

Se puede apreciar que la solución exacta de la aproximada difiere en 0.0001, por lo que se le consideraría un error muy pequeño. 16. Utilice la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de | Haga una elección inicial de e itere hasta que | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

0.50000 1.79927 3.74687 5.61520 7.01027 7.95840 8.58854 9.00736 9.28717 9.47511 9.60187 9.68765 9.74583 9.78535 9.81223 9.83052 9.84297 9.85145 9.85723 9.86117 9.86386 9.86569 9.86693

1.79927 3.74687 5.61520 7.01027 7.95840 8.58854 9.00736 9.28717 9.47511 9.60187 9.68765 9.74583 9.78535 9.81223 9.83052 9.84297 9.85145 9.85723 9.86117 9.86386 9.86569 9.86693 9.86778

√ .

3.1164213823 3.9169656354 3.8268857622 3.2451431947 2.6020952480 2.0562014728 1.6246745303 1.2891066035 1.0280643198 0.8239093079 0.6632094186 0.5359141848 0.4344966817 0.3532807024 0.2879485916 0.2351871254 0.1924324529 0.1576850711 0.1293743863 0.1062586338 0.0873502341 0.0718596139 0.0591525526

La raíz es 9.867784 17. Localice la primera raíz positiva de Donde x está en radianes. Para localizar la raíz, use cuatro iteraciones del método de la secante con valores iniciales de g(x)=asin(1-cos(1+x^2)) a) xi-1 = 1,0 y xi = 3,0 8

i 1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000 14.000000 15.000000 16.000000 17.000000 18.000000

Xo 1.000000 3.000000 -4.268550 3.063134 3.357183 3.319511 3.356446 3.371600 3.383077 3.389811 3.394077 3.396693 3.398315 3.399316 3.399935 3.400318 3.400554 3.400700

X 3.000000 -4.268550 3.063134 3.357183 3.319511 3.356446 3.371600 3.383077 3.389811 3.394077 3.396693 3.398315 3.399316 3.399935 3.400318 3.400554 3.400700 3.400791

Aprox -4.268550 3.063134 3.357183 3.319511 3.356446 3.371600 3.383077 3.389811 3.394077 3.396693 3.398315 3.399316 3.399935 3.400318 3.400554 3.400700 3.400791 3.400846

La raíz es 3.40085 b) y ingrese el numero de iteraciones n = 100 i Xo X Aprox 1.000000 1.500000 2.500000 2.668025 2.000000 2.500000 2.668025 2.422683 3.000000 2.668025 2.422683 2.382676 4.000000 2.422683 2.382676 2.349116 5.000000 2.382676 2.349116 2.330356 6.000000 2.349116 2.330356 2.318169 7.000000 2.330356 2.318169 2.310716 8.000000 2.318169 2.310716 2.306063 9.000000 2.310716 2.306063 2.303187 10.000000 2.306063 2.303187 2.301405 11.000000 2.303187 2.301405 2.300303 12.000000 2.301405 2.300303 2.299622 13.000000 2.300303 2.299622 2.299200 14.000000 2.299622 2.299200 2.298940 15.000000 2.299200 2.298940 2.298779 16.000000 2.298940 2.298779 2.298679 17.000000 2.298779 2.298679 2.298618 La raíz es 2.29862 9

c)

y

i 1.000000 2.000000 3.000000 4.000000 5.000000 6.000000 7.000000 8.000000 9.000000 10.000000 11.000000 12.000000 13.000000

Xo 1.500000 2.250000 2.256833 2.276289 2.284120 2.289817 2.293108 2.295187 2.296459 2.297246 2.297732 2.298032 2.298218

X 2.250000 2.256833 2.276289 2.284120 2.289817 2.293108 2.295187 2.296459 2.297246 2.297732 2.298032 2.298218 2.298333

Aprox 2.256833 2.276289 2.284120 2.289817 2.293108 2.295187 2.296459 2.297246 2.297732 2.298032 2.298218 2.298333 2.298403

La raíz es 2.29840

18. Probar que la ecuación tiene una única solución real. Obtenerla mediante el método de Newton-Raphson (3 iteraciones). Utilizar 5 cifras decimales en los cálculos. Xo=0 i X(i+1) Error 1 0.333333 Inf 2 0.346573 0.039718 3 0.346574 0.000002 Raíz =

0.3466

19. Aproximar mediante el método de la regula falsi la raíz de la ecuación en el intervalo [1, 4], realizando 5 iteraciones y utilizando cinco cifras decimales. i a b aprox error 1 1.00000 4.00000 1.54545 6.08565 2 1.54545 4.00000 1.99693 5.01222 3 1.99693 4.00000 2.31056 3.34203 4 2.31056 4.00000 2.49664 1.90432 5 2.49664 4.00000 2.59569 0.98649 La raíz es 2.59569

10

21. Determinar una solución aproximada de la ecuación utilizando 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson Xo=3 i X(i+1) 1 3.147918 2 3.146193 3 3.146193 Raíz =

-x+2=0 en el intervalo [3,4],

Error 0.049306 0.000548 0.000000

3.1462

22. La concentración de una bacteria contaminante en un lago decrece según la expresión: c(t) = 80 + Siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el número de bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Método de Newton). El tiempo necesario es de 4.13938 horas 23. Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura) para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen de líquido que puede contener se calcula con

)

Donde V = volumen [ ], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio del tanque [m]. Si R = 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga 30 ? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración.

MÉTODOS DE la posición falsa Ingrese la función = ((pi*x^2)*((9-x)/3))-30 ingrese el límite inferior a =0 Ingrese el límite superior b = 3 ingrese la tolerancia tol =0.001 11

a b aprox 1 0.0000000000 3.0000000000 1.5915494309 2 1.5915494309 3.0000000000 1.9865750054 3 1.9865750054 3.0000000000 2.0239040642 la raíz es 2.0239040642

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error 10.3484745213 1.0153067369 0.0759130909