METODOS-NUMERICOS

TRANSFORMADA DE LAPLACE “Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES INTERPOLACION

CÁTEDRA:

ANALISIS MATEMATICO IV

CATEDRÁTICO: MSc. Ing. INDIGOYEN RAMIREZ, DAVID

ALUMNOS:

ATAPOMA PARIAN, MEDALY CARBAJAL NUÑEZ, BLITYILZA GARAY VELIZ, MAYUMI MANYARI MALLMA, KENYU MENDEZ MONTEZ, LUZMILA VILCAHUAMAN VALVERDE, DENIS

SEMESTRE:

IV

DEDICATORIA A Dios nuestro señor por regalarnos la dicha de vivir y la fuerza para enfrentar diversos desafíos de la vida. A nuestras familias y amigos quienes constantemente nos alientan a

INTRODUCCION

E

n la actualidad el estudio de. La mayoría de los fenómenos físicos y químicos utilizados en el campo de la Ingeniería en Industrias Alimentarias y otras especialidades y hasta en nuestra vida cotidiana estos fenómenos tienden a matematizar; como resultado de ello, se obtienen modelos que describen el comportamiento de estos modelos.

El sistema de ecuaciones no lineales es frecuentemente utilizado en nuestra carrera, para poder resolverlos aplicamos diversos métodos explicados en este trabajo con el propósito de familiarizarnos con el tema y su solución. Las interpolaciones son muy utilizadas para poder aproximar valores dadas en Tablas de Propiedades Termodinámicas, mediante un trabajo de cálculos que conducen a soluciones aproximados. Ya que el ingeniero en industrias alimentarias hace uso frecuente de tablas y propiedades es necesario el conocimiento pleno de este tema.Este trabajo quiere ayudar a mejorar y ampliar nuestros conocimientos a través de los siguientes objetivos:  Resolver Sistema de Ecuaciones no Lineales buscando el Método Adecuado que se ajuste a nuestro requerimiento.  Diferenciar los diferentes Métodos de Interpolación teniendo en cuenta las características de los datos que nos presentan.

CAPITULO I 1.1.

Definición de la Sistema de Ecuaciones no Lineales

Un sistema no lineal es aquel que no satisface el principio de superposición, o uno cuya producción no es directamente proporcional a su entrada, un sistema lineal cumple estas condiciones. En otras palabras, un sistema no lineal es cualquier problema en el que la ecuación que hay que resolver no puede ser escrita como una combinación lineal de las variables desconocidas o funciones que aparecen en ella. No importa si las funciones no lineales conocidos aparecen en las ecuaciones, en particular, una ecuación diferencial es lineal si es lineal en la función desconocida y sus derivados, incluso si las funciones no lineales conocidos aparecen como coeficientes.

Problemas no lineales son de interés para los ingenieros, físicos y matemáticos, porque la mayoría de sistemas físicos son intrínsecamente no lineal en la naturaleza. Las ecuaciones no lineales son difíciles de resolver y dar lugar a fenómenos tan interesantes como el caos. Algunos aspectos del tiempo se observa que son caótico, donde los cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todo. Un sistema no lineal no es al azar.

1.2.

Método Punto Fijo Multivariable

El sistema f i ( x )=0, i=1,2,3, … , n es transformado en el conjunto de ecuaciones. x 1=g1 (x) x 2=g2 (x) x 3=g3 (x) ⋮

x n=gn (x ) Mediante la aplicación de operaciones algebraicas válidas. A cada una de estas ecuaciones se les aplica el método iterativo de punto fijo: ) x(k+1 =g1 ( x(k) ) 1

(k+1 )

x2

(k)

=g2 ( x )

) x(k+1 =g3 ( x(k) ) 3

⋮ ) x(k+1 =gn ( x (k )) n

x

Se comienza con una estimación inicial g1 , g2 , g 3 ,… , gn

0

, lo cual es sustituido en las ecuaciones

resultado una nueva aproximación

x 1 . Estas funciones son evaluadas en

x1

x2 .

para generar

Este procedimiento es repetido para calcular las aproximaciones

x 3 , x 4 , x5 , … . En el procedimiento

en que se cumpla alguno de los criterios de convergencia usuales, termina el proceso iterativo. 1.2.1

Ejemplo

Encuentre una solución aproximada del sistema. 2 2 f 1 ( x 1 , x 2 )=x 1−10 x 1+ x 2 +8=0 f 2 ( x 1 , x 2 )=x 1 x 22 + x 1−10 x 2+8=0 Con el método de punto fijo. Inicie con

|x k+1−x k|< 1 x 10−3

x 0=[ 0,0 ]

.

Una posible manera de aislar las variables x 1=

(8+ x 21 + x 22) 10

x 2=

(8+ x 1 x 22 + x 1) 10

y considere el criterio de convergencia

x1 y

x 2 seria:

Aplicando la iteración de punto fijo a estos despejes: 2 2 (8+ [ x k1 ] + [ x k2 ] ) k+1 x1 = 10 2

x

k+1 2

Con

(8+ x k1 [ x k2 ] +x k1 ) = 10 x 0=[ 0,0 ]

T

0 2 1

y las ecuaciones anteriores, entonces 0 2 2

(8+ [ x ] +[ x ] ) = 8+ 0+0 x= 1 1

10

2

(

10

x 1 es:

)=0.8

(8+ x 01 [ x 02 ] + x 01 ) 8+0+ 0 x= = =0.8 10 10 1 2

(

)

|x 1−x 0|2=√( 0.8−0)2 +( 0.8−0)2=1.13137 Como la distancia entre

x

1

menos de una iteración más:

y

x

0

es mayor o igual que

−3

1 x 10

, se requiere por lo

1 2 1

1 2 2

(8+ [ x ] +[ x ] ) = (8+0.8 −0.8 )=0.928 x= 2 1

2

10

2

10

2

(8+ x 11 [ x12 ] + x 11) (8+(0.8)(0.8)2 ) x= = =0.9312 10 10 2 2

|x 2−x 1|2=√(0.928−0.8)2+(0.9312−0.8)2=0.1833 k

k

|x k −x k−1|2

iteracionk

x1

x2

0

0

0

1

0.8

0.8

1.13137

2

0.928

0.9312

0.18330

3

0.97283

0.97327

0.06148

4

0.98937

0.98944

0.02312

5

0.99578

0.99579

0.00903

6

0.99832

0.99832

0.00358

7

0.99933

0.99933

0.00143

8

0.99973

0.99973

0.00057

El método de punto fijo Multivariable converge, cuando lo hace, casi siempre de una forma lenta. Para tratar de acelerar convergencia, frecuencia se intenta aplicar una estrategia de desplazamiento sucesivo, similar a la aplicada en el método de Gauss Seidel. (García, 2009) Para observar la convergencia del proceso iterativo, se pudo usar el criterio del autor anterior, como distancia entre dos vectores consecutivos, o bien las distancias componentes de dos vectores consecutivos. También existe un criterio de convergencia que puede aplicarse antes de iniciar el proceso iterativo mencionado, y que dice: Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que:

| || |

| || |

∂ g 1 ∂g 2 ∂ ∂ + ≤ M