Métodos numericos unidad 1

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones. En este tema se presentan una serie de conceptos y definiciones propios del estudio de los Algoritmos, su análisis y diseño, como también el concepto de las aproximaciones y predicciones, para llegar al resultado exacto. Podremos encontrar los conceptos de algoritmo y algunos de sus componentes, análisis y diseño. También veremos los diferentes tipos de formas y tamaños o medidas en que se pueden almacenar y representar los datos y estructuras en un algoritmo o programa. Es importante el estudio y conocimiento de lo que hoy conocemos como Algoritmos Computacionales, que desde su aparición hasta nuestros días es, y seguirá siendo; vital para el desarrollo de aplicaciones para computadoras y el manejo y dominio de la lógica de programación para resolver problemas.

Algoritmo. Un algoritmo es la secuencia de pasos lógicos necesarios para llevas a cabo una tarea específica, como la resolución de un problema. Para realizar este objetivo, un buen algoritmo debe contar con los siguientes atributos: 1. Cada paso debe ser determinado, es decir, no puede ser obra de la casualidad. Los resultados finales no pueden depender de quien sigue el algoritmo. En este sentido, un algoritmo es como una receta de cocina. Dos cocineros que trabajan por su lado con una buena receta deberían preparar platillos esencialmente idénticos. 2. El proceso debe ser siempre terminar después de un número finito de pasos. Un algoritmo no puede tener un final abierto. 3. El algoritmo debe ser lo suficientemente generalizado como para ocuparse de cualquier contingencia. La resolución de un problema exige el diseño de un algoritmo que resuelva el problema propuesto. Los pasos para la resolución de un problema son: a) Diseño de algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos que conducen a la solución de un problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del algoritmo). b) Expresar el algoritmo como un programa de lenguaje de programación adecuado. (Fase decodificación.)

c) Ejecución y validación del programa por la computadora. Para llegar a la realización de un programa es necesario el diseño previo de algoritmo, de modo que sin algoritmo no puede existir un programa. Los algoritmos son independientes tanto del lenguaje de programación en que se expresan como de la computadora que lo ejecuta. La definición de un algoritmo debe definir tres partes: Entrada, Proceso y Salida.

Un diagrama de flujo es la representación gráfica de un algoritmo. Los diagramas de flujo emplean una serie de bloques y flechas, cada uno de los cuales representa una operación en especial o paso del algoritmo. Las flechas representan la secuencia en que se llevan a cabo las operaciones. El esquema anterior muestra el diagrama de flujo para un problema de la suma de dos números.

Símbolos utilizados en diagramas de flujo para la elaboración de algoritmos.

El objetivo de los diagramas de flujo es, obviamente, mejorar la calidad del programa de computación, lo cual consiste en una serie detallada de instrucciones llamada código. Una alternativa para expresar un algoritmo que sea un puente de unión entre los diagramas de flujo y el código de computadora es llamado seudocódigo el cual utiliza instrucciones parecidas a las de un código en lugar de los símbolos del diagrama de flujo. La siguiente figura muestra las representaciones del seudocódigo para las estructuras de control fundamentales.

Aproximaciones. La mayor parte de las técnicas tiene la característica de poseer errores. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil, si no imposible, alcanzarla. Sin embargo, sus distribuciones aleatorias se agrupan muy próximas alrededor de la predicción. En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes: Cifra Significativa, Precisión, Exactitud, Incertidumbre Y Sesgo. Que forman parte a las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas. Cifras significativas: Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Por lo que podemos tener unos Algoritmos De Aproximación. Dado un problema completo, es probable que no sepamos resolverlo de manera precisa y completa utilizando un algoritmo polimico en tiempo. Para este tipo de problemas, los algoritmos que no conducen a una solución óptima se llaman algoritmos de aproximación. Sin embargo, resulta parcialmente interesante que estos garanticen una cota en el margen de imprecisión. Exactitud y Precisión: La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Incertidumbre: Situación bajo la cual se desconocen las probabilidades de ocurrencia asociados a los diferentes resultado de un determinado evento.

Sesgo: existe sesgo cuando la ocurrencia de un error no aparece como un hecho aleatorio (al azar) advirtiéndose que este ocurre en forma sistemática.

Podemos concluir que un algoritmo nos permite resolver un problema y obtener soluciones rápidas aunque el resultado muchas veces no sea tan exacto o preciso como nosotros esperamos debido a que existen cifras significativas que lo hacen ser siempre una aproximación. Lo cual es muy importante saber y tomar en cuenta ya que en métodos numéricos siempre obtendremos resultados aproximados para lo cual será necesario tomar un criterio para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería, pero también lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería.

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, porcentual, errores de redondeo y truncamiento.

error

Los métodos numéricos han sido desarrollados con el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales. Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente determinar. Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Esto incluye errores de truncamiento que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de presentar aproximadamente números exactos. Para los tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dado por: a) Valor verdadero= aproximación + error Reordenando la ecuación “a” se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es: b)

valor verdadero – aproximación

Donde se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v para denotar que se trata del error “verdadero”. Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación aproximada del error.

Un defecto de esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un remache de un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se está evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en: Error relativo fraccional= error verdadero/ valor verdadero Donde, como se dijo en la ecuación “b”, error= valor verdadero – valor aproximado. El error relativo también puede multiplicarse por el 100% para expresarlo como: c)

=

Donde

100% denota el error relativo porcentual verdadero.

Cálculo de errores. Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcúlese a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero de cada caso.

Solución: a) El error en la medición del puente es (ecuación “b”).

Y para el remache es de

b) El error relativo porcentual para el puente es (ecuación “c”).

Y para el remache es de

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medición del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

.100% Donde el subíndice “a” significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual está dado por:

[

]100%

A menudo, cuando se realizan cálculos, puede no importar mucho el signo del error, si no más bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada . Por lo tanto, con frecuencia es útil emplear un valor absoluto de las ecuaciones “b” a la “e”. En estos casos, los cálculos se repiten hasta que:

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido esta dentro del nivel aceptable, es decir, aun error previamente fijado es:

(

Errores de redondeo.

Los errores de redondeo se deben a que las computadoras solo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales como π, e, o √ no pueden ser expresadas con un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representadas exactamente por la computadora; además porque las computadoras usan una representación en base dos, y no pueden representar ciertamente números exactos en base diez. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas es llamada error de redondeo.

Método común para redondeo: Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo:

Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo:

12.612 Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12.612= 12.61

Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplos: 12.618

Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12.618= 12.62. 12.615 Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12.615= 12.62

Esto genera errores de redondeo. En ambos casos tenemos que: Valor verdadero = Valor aproximado + error Definimos el error absoluto como: Ea= Valor verdadero - Valor aproximado

Error por truncamiento. Truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del punto decimal, descartando los menos significativos.

Por ejemplo dados los números reales: 3.14159265358979… 32.438191288 6.3444444444444 Para truncar estos números a dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

1.3 Convergencia. Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un “buen número” de iteraciones, las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; esto es, se alejan cada vez más del resultado deseado. En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, se dice que tiene una mayor estabilidad. Es común encontrar métodos que convergen rápidamente, pero que son muy inestables y, en contraparte, modelos muy estables, pero de lenta convergencia. 



El uso de los métodos numéricos en ingeniería no es trivial, pues se requiere elegir entre: –

Varios métodos numéricos alternativos para cada tipo de problema

–

Varias herramientas tecnológicas

Existen diferentes maneras de abordar los problemas entre una persona y otra, que depende de: –

El nivel de participación en el modelado matemático del problema.

–

Ingenio y creatividad para enfrentarlo y resolverlo.

–

La habilidad para elegir, conforme a criterio y experiencia.

Bibliografía.

Steven C. Chapra, Métodos Numéricos para Ingenieros, 6ª ed., Mc Graw Hill.

Antonio Nieves Hurtado, Federico C. Domínguez Sánchez, Métodos Numéricos, 3ª ed., CESA.

http://www.slideshare.net/morenito9001/13-tipos-de-errores

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r75068.PDF http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=convergencia+numerica&source=web&cd=1&ved= 0CCAQFjAA&url=http%3A%2F%2Fdcb.fic.unam.mx%2Fusers%2Fgustavorb%2FMN%2FPresentaciones%2F1.2%2520Aproximacion%2520n umerica.pps&ei=g06UMyrFIjE2gW_soH4Bw&usg=AFQjCNF18xIiVt1us5qIJ1OqbfB7WdIMNw&cad=rja