Métodos Numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Métodos Numéricos para resolver sistemas de ecuaciones lineales. La solución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico en las matemáticas. La resolución de estos sistemas actualmente se hacer utilizando computadoras, lo cual además proporciona soluciones directas. Sin embargo, todo esto requiere conceptos básicos sobre matrices y algebra básica, etc. Los métodos utilizados en la resolución de sistemas de ecuaciones revisados en clase son: a) b) c) d) e) f) g)

Método de eliminación de Gauss. Método de Gauss-Jordan. Método de Jacobi. Método de eliminación de Gauss con pivote. Método de Gauss-Seidel. Método de Cholesky. Método de Newton para sistemas no lineales. Método de eliminación de Gauss.

En este método se eliminan las incógnitas mediante la combinación de ecuaciones. Considere un sistema general de tres ecuaciones lineales:

                    

Primero se debe remplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle

 

. Asimismo se sustituye la ecuación 3 con el resultado de sumarle la

             

primera ecuación multiplicada por 

.

Con esto tenemos un nuevo sistema de ecuaciones:

   –            

Luego, multiplicando la segunda ecuación por 

y sumando el resultado a la

tercera ecuación obtenemos el sistema:

Este proceso se conoce como triangulación, con lo cual el sistema se resuelve despejando de su última ecuación a , sustituyendo en la segunda ecuación y despejando de ella, para por ultimo obtener de la misma forma . Este proceso se conoce como sustitución regresiva.



   

Estas operaciones son aplicables a la representación de sistemas de ecuaciones como una matriz aumentada, siendo innecesario conservar  en la triangulación. Para el sistema anterior se tiene:

      

Método de Gauss-Jordan. Es una extensión del método de eliminación de Gauss de modo que las ecuaciones se reduzcan a una matriz identidad en lugar de una matriz triangular, de modo que la sustitución regresiva no sea necesaria, quedando como sigue:

      

Método de Jacobi.

    





Partiendo de un sistema de ecuaciones, se despejará del sistema a de la primera ecuación, de la segunda, de la tercera, etc. En cada despeje se tomara a y como ceros. Inmediatamente se considera la primera aproximación a la solución y se realizan iteraciones continuas para obtener nuevas aproximaciones, las cuales a su vez se

sustituyen en los términos del lado derecho de las ecuaciones y así sucesivamente hasta llegar a la aproximación deseada. Teniendo el siguiente sistema:

                          

Y aplicando método de Jacobi, se tienen los despejes:

Con lo cual, para llegar a una solución del sistema de ecuaciones se deben realizar las iteraciones correspondientes para obtener los diferentes valores de las incógnitas. Uno de los principales problemas de este método es que no tiene garantía de converger (Producir una sucesión de valores cada vez más próximos a la solución). En este método no existe una condición exacta de convergencia, teniendo que, si la matriz de coeficientes original del sistema de ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de Jacobi converge. Método de eliminación de Gauss con pivote. Se tiene el sistema de ecuaciones como sigue:

Cuya matriz aumentada es:

                  

 A partir de esto se debe aplicar el siguiente algoritmo: 





  

  

Se localiza la columna de la matriz aumentada de la columna que no consista en ceros. Se debe encontrar la entrada con el mayor valor absoluto (Entrada de primer  pivote). Se lleva a cabo un intercambio de renglones de forma que el mayor pase a ocupar el lugar del primer renglón. Este es considerado el primer pivote del sistema de ecuaciones. Se deben sumar los múltiplos adecuados del primer  renglón, además de realizar las operaciones adecuadas para obtener una matriz como sigue:

      [  ] [ ]         

Posteriormente la matriz se particiona como se verá:

Se aplica el proceso a la submatriz a partir del paso 1, tomando la segunda columna, buscando el pivote y que no conste un total de 0, para tomar este como el segundo pivote del sistema. Se hacen las operaciones correspondientes para obtener una matriz triangular y realizar la sustitución inversa:

Con esto tenemos:

               

Método de Gauss-Seidel. Mientras que en el método de Jacobi se aproximan los valores a partir del valor del as incógnitas, obtenido a partir de la sustitución x, y, z en (0, 0, 0), en el método de

Gauss-Seidel se utilizan los valores de las incógnitas recién calculados en la iteración que se está llevando a cabo, por lo cual se pueden calcular las incógnitas de la siguiente manera:

                                                                                         Método de Cholesky

Consiste en la factorización de una cuyos componentes deben ser números reales, debe ser positivamente definida, debe ser simétrica y los determinantes de las submatrices son positivos. Esta factorización da como origen las matrices triangulares superior  e inferior  , dando como producto:

Las matrices pueden ser obtenidas de la triangulación de la matriz aumentada, analizando la factorización de en las matrices de orden 3 de y dadas. El producto de ambas matrices se pueden observar como sigue:

Por lo anterior, se tiene que el producto de a) 1ª fila de

b) 2ª fila de

por las tres columnas de

:

por las tres columnas de

:

es:

c) 3ª fila de



             

por las tres columnas de

:

    

Sin embargo, al ser la matriz positiva definida, la factorización de la forma es posible y muy sencilla pues puede tomar la forma , donde es triangular  inferior y la transpuesta es triangular superior, por lo que puede expresarse de la siguiente forma:

Y el producto de

                  ()      () ()          () () ()  sería:







Por tanto, para resolver un sistema de ecuaciones a partir de este método debemos tomar  , donde son incógnitos y son los resultados de la matriz:

Por lo cual los valores de

                  ( )    (  )

pueden ser calculados como sigue:



Y por tanto, para finalizar y encontrar los valores de nuestras incógnitas, se debe realizar la matriz con respecto a la traspuesta, igualando a , con lo cual se tiene lo que sigue:

                ( )    (  )

Por lo que, para encontrar nuestras respectivas :

Con lo cual el método queda resuelto.

Método de Newton para sistemas no lineales. Este método será descrito para sistemas de ecuaciones de dos variables, sin embargo, la extensión a tres o más variables se lleva a cabo generalizando los resultados. Este método es aplicable para sistemas de ecuaciones no lineales que tienen la forma

 () 

)   ((   )   () () 

Supóngase el sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas resolviendo el sistema

donde ambas son ecuaciones continuas y derivables, de modo que puedan expandirse por serie de Taylor, por lo cual se tiene:

()   ()   () ()  ()  () ()  () () ()   ( )   ( ) ()  ( )  ( ) (( ))

donde se expandió alrededor del punto funciones alrededor de se tiene:

, por lo que al expandir las

Cambiando la notación a:

Por lo que la sustitución de la ecuación y el arreglo dan como resultado:

()     ()          (())   *+  

Expresando en forma matricial:

 

Este sistema de ecuaciones tiene una solución única, siempre y cuando el determinante de la matriz de coeficiente (Matriz jacobiana ) no sea cero:

  | |            

Para finalizar, se debe resolver la matriz y a partir de las ecuaciones

Se obtienen aproximaciones a los valores de las incógnitas.

Bibliografía   

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Libreta de apuntes de métodos numéricos. Nieves Hurtado, Antonio. (1998). “Métodos numéricos aplicados a la ingeniería”. México, D.F. Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V.