Metodos Numericos Para Ingenieros Quimicos Con Matlab

Francisco Muñoz Paba M.Sc. E-mail: f31paba @ yahoo.com. Departamento de Ingeniería Química, Grupo de Simulación y Control de Procesos. Universidad del Atlántico, Barranquilla, Colombia INTRODUCCION Muchos planteamientos matemáticos sobre situaciones problémicas, en procesos químicos , son de difícil solución analítica y hacen que el ingeniero químico tenga que recurrir a los métodos numéricos para encontrar una respuesta a sus casos de estudio. Una necesidad muy frecuente es la de representar un conjunto de datos experimentales tomados en forma discreta ajustados a una expresión analítica que permita de forma mas fácil la estimación de, por ejemplo, valores intermedios, sumatorias o integrales y variaciones o razones de cambio entre ellos. El desarrollo de los métodos numéricos , la certidumbre de sus resultados y la posibilidad de ejecutarlos con la ayuda de códigos por  computador hacen de ellos un recurso que ofrece ventajas con respecto a los métodos analíticos. En ésta revisión se presentan algunos métodos de ajuste de datos a ecuaciones con ejemplos a la ingeniería química que se resuelven con los pro cedimientos explicados y con la ayuda de un computador mediante la construcción de instrucciones cortas codificadas con MATLAB. AJUSTE DE CURV CURVAS AS PARA PARA FUNCIONES POLINOMICAS. Muchas Muchas funci funcione ones s mate matemá mátic ticas as incluy incluyen en términos como logarítmicos, exponenciales

-1-

o trig trigon onom omét étri rico cos s que las las hace hacen n de un mane manejo jo comp comple lejo jo.. Una Una alte altern rnat ativ iva a para para afrontar tal dificultad la ofrecen los métodos numéricos permitiendo que una función se pued pueda a expr expres esar ar por por otra otra equi equiva vale lent nte e en cuanto nto a la corr orrespo spondenc encia entr ntre la var variab iable ind indepen ependi dien ente te y el valo valorr de la función pero mas sencilla sencilla y, y, por lo tanto, de mas fácil manipulación. Lo anterior es lo que se conoce como ajuste de curvas, interp interpola olació ción n o cálcu cálculo lo de la ecuac ecuación ión de una una curv curva. a. A conti continua nuació ción n se mues muestra tra el método de ajuste de curvas a un polinomio como como una una Serie Serie de Poten Potencia cias s o media mediante nte procedimiento de interpolación como el de Newton y Lagrange. . SERIE DE POTENCIAS.

Prácticamente todas las funciones matemáticas se pueden expresar como un polin polinom omio io de grado grado n, es decir, decir, media mediante nte una expresión en serie de potencias. Es más fácil encontrar el valor numérico de una función expandiéndola en una serie de potencia polinomial como la ecuación (1):   f  ( xi ) =

n

∑ a  x n

n

= a0 + a1 xi + a2 xi2 + ...an xin

(1)

i =0

y evaluando los coeficientes

a0 ..

..an

.

Las funcion funciones es logarít logarítmica micas, s, hiperbó hiperbólicas licas y elípticas son casos puntuales.

Las series de potencias pueden usarse para ajust ajustar ar un conju conjunto nto de datos datos toma tomand ndo o un número número suficie suficiente nte de términos términos.. El número número de térm términ inos os está está dado dado por por el sigu siguie ient nte e teorema: Sí las enésimas diferencias divididas de una función tabulada son constantes cuando los valo valore res s de la varia variabl ble e inde indepe pend ndie ient nte e son tomadas en progresión aritmética, la función es un polinomio de grado n.

Ejemplo 1   f  ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4

(2)

Tabla 1. Datos de la función Punto 0 1 2 3 4 5 x 1 .0 1 .1 1 .2 1 .3 1.4 1 .5 fx 5.000 5.785 6.763 7.971 9.451 11.25

Elabore Elabore una tabla tabla de diferenc diferencias ias dividida divididas s deter determi mine ne los coefic coeficien iente tes s del del polin polinom omio io dado por la ecuación (2). Las primeras diferencias divididas mediante los puntos (0), (1) y (1), (2), respectivamente, son:

− 5.0000 = 7.8520 1.1 −1.0 6.7632 − 5.7852 = 9.7800   f  [ x1 , x2 ] = 1.2 −1.1   f  [ x0 , x1 ]

=

Tabla 2. 2. Diferencias divididas x

f(x)

1 5.0000 1.1 5.7852 1.2 6.7632 1.3 7.9712 1.4 9.4512 1.5 11.250

∆ f i

[ 1]

∆ f i

[ 2]

7.852 9.640 9.780 11.50 12.08 13.60 14.80 15.94 17.98

∆ f i

[3]

∆ f i

[4 ]

6.200 2.000 7.000 2.000 7.800

Debe Debe nota notars rse e que que toda todas s las las dife difere renc ncia ias s divididas de cuarto orden tienen el mismo valor, independientemente de los argumen argumentos tos que se usen usen para para su cálculo cálculo,, por por lo tant tanto o , la ecua ecuaci ción ón(2 (2)) se puede uede escrib escribir ir en form forma a de series series de poten potencia cias s como un polinomio de cuarto orden. Para Para reali realizar zar los los cálcu cálculos los de difer diferenc encias ias divi divid didas idas pued puede e usar usarse se el sigu siguie ient nte e procedimiento codificado con MATLAB: Procedimiento 1 x=[1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]; fx=[ fx =[5. 5.00 000 0 5. 5.78 7852 52 6. 6.76 7632 32 7. 7.97 9712 12 9. 9.45 4512 12 11.25]; M=6; N= M-1;

5.7852

for i=1:N T(i,1)= (fx(i+1)- fx(i))/(x(i+1)-x(i)); End

La segunda diferencia dividida mediante los puntos (0), (1) y (2) es:   f  [ x0 , x1 , x2 ]

=

− 7.8520 = 9.6400 1.2 −1.0

9.7800

La Tabla 2 muestra los resultados correspondientes hasta la cuarta diferencia dividida.

-2-

for j=2 :N for i=j : N T(i,j)= (T(i,j-1)- T(i-1,j-1))/(x(i+1)-x(i-j+1)); end end T

Para

encontrar

los coeficientes a0 , a1 , a2 , a3  y a4 del polinom polinomio io en series series de poten otenci cia a de la ec(2 ec(2), ), se escr escrib ibe e el sigu siguie ient nte e proc proced edim imie ient nto o codi codifi fica cado do con con MATLAB:

Procedimiento 2

x=[1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]; fx =[5. =[5.00 00 5.78 5.7852 52 6.7 6.7632 632 7.9 7.9712 712 11.25];

9.4512 9.45 12

plot(x,fx,’o’) a = polyfit (x, fx, 4); Y= polyval (a, x);

Figura 1 Gráfica del polinomio ajustado .

fprintf ( ‘ a0=%8.5f\n a1=%9.6f\n a2=%9.6f\n … a3=%9.6f\n a4=%9.6f\n’,a(5),a(4),a(3),a(2),a(1))

plot(x,fx,’o’,x,Y,’-‘) Donde se obtiene que:

= 3.000 a1 = −2.000 a2 = 5.000 a3 = −3.000 a4 = 2.000 a0

En la figur igura a 1 se muestra tran los datos tos suministrado junto con el polinomio ajustado

FORMULA DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS HACIA ADELANTE.

La fórmula necesita una tabla de valores y0, y1, y2, ...... .......yn .yn para valore valores s equidista equidistantes ntes x0, x1, x2, ..xn ..xn de la variable variable independiente independiente x. Para usar la fórmula de Newton en dife difere renc ncia ias s fini finita tas s es de much mucha a ayud ayuda a construir una tabla de diferencias finitas. La tabla 3 es una tabla de diferencias finitas, para  y =  x 3 Los valores valores numéric numéricos os están están arriba y la nomenclatura está debajo.

Tabla 3 Diferencias finitas hacia adelante  _______________________________________  [ 1] [ 2] [ 3] [ 4]  f i  f i f i X  y =  x 3  f i 1.1 1.331 1.331 0.397 0.397 0.072 0.072 0.006 0.006 0 1.2 1.728 1.728 0.469 0.469 0.078 0.078 0.006 0.006 1.3 1.3 2.197 2.197 0.547 0.547 0.081 0.081 0 1.4 1.4 1.744 1.744 0.631 0.631 0 0

-3-

1.5 1.5 3.37 3.375 5 0 0 0  _______________________________________  [ 1] [ 2] [ 3]  f i  f i f i x  y  x0   f  ( x0 )   f  [ x0 , x1 ]

  f  [ x0 , x1 , x2 ]

  f  [ x0 , x1 , x3 ,

 x1   f  ( x1 )   f  [ x1 , x2 ]

  f  [ x1 , x2 , x3 ]

  f  [ x1 , x2 , x3

 x2   f  ( x2 )   f  [ x2 , x3 ]   f  [ x2 , x3 , x4 ]

  f  [ x2 , x3 , x4 ,

 x3   f  ( x3 )   f  [ x3 , x4 ]

 __________   __________   __________   ______ 

La función tabulada debe ajustarse con un polin polinom omio io f(x) f(x) de n-ésimo n-ésimo grad grado, o, que se expresa por    f  ( x ) = a0 + a1 ( x −  x0 ) + a2 ( x −  x0 )( x −  x1 ) + a3 ( x −  x0 )( x −  x1 )( x −  x2 ) + P an ( x −  x0 )( x −  x1 ). . . ( x −  xn −1 )  Haciendo h =  x1 −  x0 =  x2 −  x1  s = ( x −  x0 ) / h or derivación: =

  f  ( x )

 s ( s

1)( s

−

+

 s ( s

=

  f  ( x0 ) + sf    sf  i [1] −

2)

3! 1) ...( s

−

n!

−

  f  i [ 3 ]

n +1)

1)Enco 1)Encontr ntrar ar la ecuac ecuació ión n de la curv curva a que que mejor se ajuste a los datos dados.

  f  [ x3 , x4 , x4 ]

 x4   f  ( x4 )   f  [ x4 , x5 ]

 y

carbonato carbonato de calcio se muestran muestran en la figura 2. La graficación de la curva se deja como ejercicio para el lector  Se requiere:

 s ( s

+

  f  i [ n ]

 s ( s

+

1)

−

2! 1)( s

−

−

4!

  f  i [ 2 ]

+

2)( s

−

3)

2)Calcul 2)Calcular ar la velocida velocidad d de sedimen sedimentac tación ión para para una una conc concen entr trac ació ión n volu volumé métr tric ica a de 2.5%. .

  f  i [ 4 (

  f  i [1] ,  f  [ 2 ] , f  i [ 3 ] , son la primera, Siendo segunda y tercera diferencias finitas.

La fórmula es útil solo para valores puntuales, no para la ecuación de la curva total

Figura. 2 Datos de sedimentación. sedimentación.

Solución por Serie Potencias

Ejemplo 2

La velo veloci cida dad d de sedi sedime ment ntac ació ión n de una una suspensión, se relaciona con la concentración volumétrica del sedimento. Los datos y la curva para la sedimentación de una una suspe suspens nsió ión n de prec precip ipit itad ado o de

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Para Para enco encont ntra rarr el poli polino nomi mio o en seri serie e de pote potenc ncia ias, s, supo supone nemo mos s un poli polino nomi mio o de séptimo grado que se encuentra mediante el sigu siguie ient nte e proc proced edim imie ient nto o codi codifi fica cado do con con MATLAB Procedimiento 3

x= [ 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0]; y= [0 3.2 4.8 4.25 3.23 2.87 2.7 2.75 5 2.7 2.70 0 2.65]; plot(x,y,’o’)

Pol= [Pol= [-0.0 0.000 004 4 0. 0.01 0121 21 3.8871 0.0004]; fx = polyval (Pol,2.5)

-0.15 -0. 1579 79 1. 1.02 023 3 –

Obtenemos que: f(2.5) = 4.6783  g  / cm 2 h Coef = polyfit(x,y,7); Solución por la fórmula de Newton X=1:0.1:8; Y= polyval (Coef,X); plot(x,y,’o’,X,Y) fprintf (‘ a0=%9.6f\n a1=%9.6f\n a2=%9.6f\n … a3=%9 a3 =%9.6f .6f\n \n a4 a4=%9 =%9.6 .6f\n f\n a5 a5=%9 =%9.6f .6f\n \n a6= %9.6f\n a7= %9.6f\n’,a(8),a(7),a(6),a(5),a(4),a(3),a(2),a(1 )) Donde Donde los coefic coeficien ientes tes del del polin polinom omio io de séptimo grado son: a 0 = 0.0004

02 3 a 4 = 1.023

a1 = 1.7060

a5 = −0.1579

a 2 = 3.8871

a 6 = 0.0121

a 3 = −3.27

a 7 = −0.00040

La

ecuación de la curva es: 2 3 4 5   f  ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 x + a6

+ a7 x 7 (4 La velocidad velocidad másica de de concentración concentración para para una concentración volumétrica de 2.5%, se halla sustituyendo los coeficientes encontra encontrados dos con con el procedimi procedimiento ento 3 en la ecuación (4) para un valor de x =2.5.

Este problema se puede resolver utilizando la fórmula de Newton en diferencias finitas. Este Este métod étodo o es váli válido do sola solam mente ente para para calcular valores valores puntuales de la función y no para calcular la ecuación de la curva, por  consiguiente, se calcula solamente el valor  de la función para un valor de x = 2.5. Se calcula calculan n las diferen diferencias cias resumen en la Tabla Tabla 4.

finitas finitas que que se

Tabla 4. 4. Diferencias finitas  f i[ 1]

 x

 y

2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0

4.8 4.25 3.23 2.87 2.75 2.70 2.65

 f i[ 2]

-0.55 –1.02 –0.36 –0.12 –0.050 -0.05 0

 f i[ 3]

 f i[ 4]

f i[ 5]

-0.47 1.13 0.66 -0.42 0.24 -0.17 0.07 -0.07 0 0

-1.55 1.80 0.25 -0.150 0.10

h =1.0  s

=

2.5 − 2.0 1.0

= 0.5

Aplicando la ecuación (3)   f  (2.5)

=

4.8 + (0.5)( −0.50 ) + +

Emple Empleand ando o los los sigu siguien ientes tes coma comand ndos os de MATLAB:

+

=

0.5(0.5 −1)

0.5(0.5 −1)( 0.5 − 2) (3)( 2)

2 (1.13 )

0.5(0.5 −1)( 0.5 − 2)( 0.5 −3) ( 4)( 3)( 2)

( −0.47 )

( −1.55 )

4.7149  g  / cm 2 h

Aunq Aunque ue la cuar cuarta ta dife difere renc ncia ia fini finita ta no es

-5-

constante, el resultado obtenido es satis satisfa facto ctorio rio.. Es evide evident nte e a parti partirr de éste éste ejemplo que tanto el polinomio en serie de potencias potencias como la fórmula de Newton son bastante aproximadas al valor medido que es de 4.700. Los cálculos anteriores se pueden realizar  con el siguien siguiente te procedim procedimient iento o codifica codificado do con MATLAB.

Lagrange no tiene ésta limitación, pero solo util utiliz iza a dato datos s que que sean sean nece necesa sari rios os para para aproximarse al valor correcto. Los datos donde los valores de x no son equidistantes, a menudo son resultados de observaciones experimentales o de análisis de datos históricos. Supóngase que se tiene una tabla de datos con cuatro pares de valores x y f(x) i

Procedimiento 4

 x

x= [2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0]; y= [4.8 4.25 3.23 2.87 2.75 2.70 2.65];  N=7;

0

1

 x0

 x1  x2

 x3

  f  ( x )   f  0

  f  1   f  2

  f  3

3

..  xn   f  n

n

Esto Estos s cuat cuatro ro pare pares s de dato datos s es posi posibl ble e ajustarlos a una función cúbica. La fórmula de Lagrange para un polinomio de n-ésimo grado es

for i =1: N-1 f(i,1) = y(i+1) –y(i); end

  f  ( x ) =

( x − x1 )( x − x2 )( x − xn ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 )( x0 − xn )

for j=2: N-1 for i=j: N-1 f(i,j) = f(i,j-1) – f(i-1,j-1); end end

+

f 

+ +

+

h= 1.0 ; xi = 2.5; s = (xi – x(1))/h ; yi = y(1) + s*f(1,1) + s*(s-1)/2*f(2,2) + s*(s-1)*(s-2)/( s*(s-1)*(s-2)/(3*2)*f(3,3) 3*2)*f(3,3) + s*(s-1)*(s-2)*(s-3)/(4*3*2)*f(4,4) ;

(  f  0 )

( x − x0 )( x − x2 )( x − xn ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )( x1 − xn )

(  f  1 )

( x − x0 )( x − x1 )( x − x3 )( x − xn ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x2 − xn ) ( x − x0 )( x − x1 )( x − xn −1 ) ( xn − x0 )( xn − x1 )( xn − xn −1 )

(  f  2 )

(  f  n ) (5)

La fórmula de Lagrange principalmente para : (1) (1)

fprintf(‘\n\n fprintf(‘ \n\n Resul Resultado: tado: 4º grado grado f(%4.2f) f(%4.2f) =... =... %6.2f \ n’, xi,yi ) FORM FORMULA ULA LAGRANGE

2

DE INTER INTERPO POLA LACIO CION N DE DE

Much Muchas as fórm fórmul ulas as de inte interp rpol olac ació ión n son son aplic aplicab ables les solo solo cuand cuando o los los valor valores es de la vari variab able le inde indep pendi endien ente te son son dado dados s en inte interv rval alos os equi equidi dist stan ante tes. s. La fórm fórmul ula a de

-6-

(2) (2)

se

usa

Calc Calcul ular ar el el valor valor de de la vari variab able le independiente correspondiente a un valor dado de la función . Calc Calcul ular ar cual cualqu quie ierr valo valorr de una una func funció ión, n, cuan cuando do los los valo valore res s dados de la variable independiente no son equidistantes.

Además de que la fórmula de Lagrange es tedi tedios osa, a, tien tiene e una una limi limita taci ción ón muy muy seri seria, a,

cuan cuando do los valore valores s no son tan tan cerca cercanos nos unos a otros, los resultados tienden a ser  indesea indeseables bles.. Sin embarg embargo o puede puede utilizar utilizarse se cuando sea imposible utilizar otro método. Los siguientes ejemplos aplican la fórmula de Lagrange.

En la Tabla 6 se muestran las densidades en kg  / m3 , de solu soluci cion ones es acuo acuosa sas s de ácid ácido o sulfurico de diferentes concentraciones en % para un conjunto de temperaturas en ºC. Se desea calcular la densidad de una solución de ácido sulfúrico a una concentración del 40% y a una temperatura de 15 ºC.

Ejemplo 3 Se dese desea a estim estimar ar la dens densid idad ad de una una sustancia a una temperatura de 251º C a partir de los siguientes datos experimentales que se dan en la Tabla 5.

0

T i , º C   ρ i ,

kg  m3

1

2

94

205

371

929

902

860

Como se dispone de tres datos, el orden de la fórmula de Lagrange es 2 y el cálculo de la densidad a 251 es dado por   ρ ( 251 º C )

− 205 )( 251 − 371 ) (929 ) (94 − 205 )( 94 − 371 ) ( 251 − 94 )( 251 − 371 ) (902 ) + 205 − 94 ( 205 − 371 ) ( 251 − 94 )( 251 − 205 ) (860 ) + (371 − 94 )( 371 − 205 ) = 890 .5 kg  / m3 =

( 251

 ρ 

=   f  (T , C )

10

30

1.0344 1.1453 1.3103 1.6923

1.0281 1.1335 1.2953 1.6014

C (%)

0.9888 1.0885 1.2446 1.5417

El siguient siguiente e procedim procedimient iento o codifica codificado do con MATLAB realiza los cálculos anteriores. Procedimiento 6

x= [10 30]; y= [1.3103 1.2953]; xi = 15;

-7-

1.0140 1.1153 1.2732 1.5753

100

= (15 − 30 ) (1.3103 + (15 −10 ) (12953 (10 − 30 ) (30 −10 ) 3 = 1.3066 kg  / m

Procedimiento 5 X = [94 205 371]; Y = [929 902 860]; Xi= 251; Densidad =interp1(X,Y,Xi,’cubic’) =interp1(X,Y,Xi,’cubic’)

60

Para una función polinómica de dos variables como éste caso, se puede aplicar  la fórmula de Lagrange , tomando los datos de las densidades a una concentración del 40% 40% y la temp temper erat atur ura a como como la vari variab able le independiente. El orden orden de la fórmula fórmula es de de 1 y el cálculo cálculo de la dens densid idad ad medi median ante te la fórm fórmul ula a de Lagrange es:  ρ (15 º C )

El siguient siguiente e procedi procedimien miento to codifca codifcado do con MATLAB realiza los cálculos anteriores.

Tabu Tabula laci ción ón de una una func funció ión n de dos

T (º C )

5 20 40 70

Tabla 5 Datos de Temperatura-Densidad Temperatura-Densidad i

Tabl Tablaa 6 variables

)

d = interp1(x,y,xi,’linear’) FORMULA DE INTERPOLACION HACIA DELANTE DE DERIVADAS DE NEWTON

Donde k representa el coeficiente de h en los valores de x, por ejemplo –3, -2 , -1, 0, 1, 2, 3. Ejemplo 5

La fórm fórmula ula de difer diferenc enciac iación ión de Newto Newton n para una estimación de f’(x) se obtiene   f  ′ ( x ) =

1  [1] 1 [ 2 ] 1 [ 3] 1 [ 4] 1 [ 5]   f  i −   f  i +   f  i −   f  i + f  1 − 2 3 4 5 h 

(6) Derivaciones sucesivas se obtienen

Una pasta de material cristalino se seca con aire, que se hace fluir por encima de ella . Para Para diseñ iseñar ar el sist sistem ema a de seca secado do,, se obtuvieron los datos experimentales que se muestran en la figura 3. A partir de esto, calcule la velocidad de secado en 0.9h ,es decir, dy / dt  = 0.9 , donde t  es el tiempo en horas.

11 [ 4] 5 [ 5]   f i [ 2 ] −  f i [ 3] +  f i −  f i +    12 6 h   1  3 7   f ′′′( x ) = 3  f i [ 3] −  f i[ 4] +  f i [ 5] −  h  2 4 

 f ′′( x) =

 f  IV  ( x) =

1  2

1

h

4

[ f  [ ] − 2 f  [ ] + ] 4

i

5

i

METODO DE DOUGLAS-AVAKIAN Este Este métod método o usa un polin polinom omio io de cuart cuarto o orden que se ajusta a siete puntos equid equidist istan ante tes s por el métod método o de mínim mínimos os cuadrados. El polinomio es  y

= a + bx + cx 2 + dx 3 + ex 4

Estos puntos son espaciados en intervalos iguales con las coordenadas escogidas, tal que, en x = 0 se encuentra encuentra el punto punto central central de los siete. Los siete valores de x pueden escribirse como –3h, -2h, -h, 0, 2h y 3h.

Solución por la Fórmula de la derivada de Newton Se divide parte de la curva en cinco subdivisiones subdivisiones comenzando comenzando en t=0.9 hora, como muestra la figura 3 y se elabora la Tabla de diferencias finitas ( Tabla 7)

Por derivación,

 dy   = 397 ∑ ky − 7 ∑ k 3 y    216 h  dx  0 1512 h

Figura 3 Curva de velocidad de secado .

(10)

-8-

Se elabora una tabla de diferencias finitas. [ 1] [ 2] [ 3] [ 4] [ 5]  f i  f i  f i f i x y  f i

0.9 1.1 1.3 1.5

0.9 0.18335 -0.01995 0.0025 0.0003 0.00007 -.00021 1.0 0.1634 -0.01745 0.00280 0.00037 –0.00014 1.1 0.14595 –0.1465 0.00317 0.00023 1.2 0.1313 -0.001148 0.00340 0.11982 –0.0808 0.11174

6(0.00007 ) 24 =

−

6( −0.00021 )

− 0.2111

lb H 2O / lb sólido sec o

Primero se se preparó la la Tabla 8, a partir partir del poli polino nomi mio o de cuar cuarto to orde orden n ajus ajusta tado do los los datos datos experim experimenta entales. les. Ecuació Ecuación n (11) (11) con ayuda de Matlab Para hallar el polinomio ajustado de cuarto orden orden se utilizó utilizó MATLA MATLAB, B, obtenién obteniéndos dose e el siguiente polinomio: 0.0146  x 4

=−

0.119  x 3

−

0.1958  x

+

+ −

0 0.1459 0.9584 2.8971

La velocidad de secado se calcula con la ecuación (10), de la siguiente manera

Soluci Solu ción ón por por el méto método do de Doug Dougla lassAvakian.

  fx

0 0.1459 0.2396 0.3219

∑= −7.4112

]=

120

0 1 2 3

∑= −1.0752

 dy   = 1 − 0.01995 − 0.0025 + 2(0.000    2 6  dx  t =0.9 0.1  −

0.1833 0.1459 0.1198 0.1071

0.1453  x 2

0.40

(12)

 dy   = (397 )( −1.0752 ) − 7( −7.4112 )    (1512 )( 0.2) ( 216 )( 0.2)  dx  t =0.9 = −0.2106 lbH  lbH  2O / lb sólido sec o Comparando Comparando los resultados encontramos encontramos un valor de –0.2111 por el método de Newton y  –0.2106 por el método de Douglas-Avakian. El valor medido es de –0.21. El método de Douglas-Avakian se basa en el método de míni mínimo mos s cuad cuadra rado dos, s, por por lo tant tanto, o, es un método inseguro. El siguient siguiente e procedim procedimient iento o codifica codificado do con MATL MATLAB AB real realiz iza a los los cálc cálcul ulos os ante anteri rior ores es dond donde e se apli aplica ca ell ell méto método do de Doug Dougla lassAvakian. Procedimiento 7 function y = Douglas(y,k) x = [0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4] ; fx =[0.18335 0.1634 0.14595 0.1313 0.11982 0.11174] ;  pol = polyfit (x, fx, 4); xi = [0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 1.5] ;

Tabla 8 Datos de y = f(x) x f(x) k ky 0.3 0.3313 -3 -0.9939 0.5 0.2798 -2 -0.5596 0.7 0.2291 -1 -0.2291

yi = polyval(pol,xi) ; k = [-3 -2 -1 0 1 2 3] ; y = yi ; k 3 y

for i = 1 : 7 for j = 1 : 7 K(i,1) = k(i)*y(i); K(i,2) = k(i)^3*y(i);

-8.9451 -2.2384 -0.2291

-9-

end end K  s= sum (K) Derivada= 397*s(1)/(1512*0.2) . . . - 7*s(2)/(216*0.2) OTROS OTRO S METO METODO DOS S PARA PARA AJUS AJUSTE TE DE CURVAS

Méto Método do de míni mínimo mos s cuad cuadra rado dos. s. Este méto método do se basa basa en la supo suposic sició ión, n, que que la mejor curva representativa es aquella para la cual cual la suma suma de los los cuad cuadra rado dos s de los los resi residu duos os (err (error ores es)) es un mínim ínimo. o. Los Los resid residuos uos son son eleva elevados dos al cuad cuadra rado do para para elimin imina ar lo que concie nciern rne e a su signo igno.. Consu Consulta ltarr el libro libro de Nieves Nieves-Do -Domí míngu nguez ez 1 página 362 . Este Este métod método o es much mucho o más más comp complic licad ado o para polinomios de mayor grado y se usa para para poli polino nomi mios os no mayo mayorr de segu segund ndo o grado. grado. Es menos menos seguro seguro que que la Fórmu Fórmula la interpolación de Newton y debe emplearse para para correl correlaci acion onar ar o enco encontr ntrar ar el “mejo “mejor  r  ajuste” de un conjunto de datos experimentales. Fórmula de diferencia central de Stirling. Dos Dos form formas as de la fórm fórmul ula a de Newt Newton on se usan usan para para la inte interp rpol olac ació ión n cerc cerca ana al comienzo y cercana al final de un conjunto de datos tabulados. La fórmula de Stirling es parti particu cular larme mente nte dispon disponibl ible e para para valore valores s inte interp rpol olad ados os cerc cercan anos os a la mita mitad d de un conjunto de datos tabulados. Este método está explicado en el libro de ConstantinidesConstantinides2 Mostoufi, página 176 Series de Taylor. Un método de expandir  funcio ncione nes s en ser series ies de potenc encias es utili utilizan zando do las series series de Taylor aylor.. El últim último o

- 10 -

término en la serie es el residuo o tamaño de error error desp despué ués s de n término términos s y por por lo tanto, la serie de Taylor tiene una ventaja sobre otr otros métod todos, os, por por que pue puede prog progra rama mars rse e en un comp comput utad ador or,, de tal tal manera que los términos se pueden agregar  automát omátic icam ame ente hasta sta que el últ último imo térmi término no (térm (término ino error error)) sea menor menor que que el limite especificado. Una nota de precaución en el uso de todos los métodos de ajuste de curvas debe expresarse expresarse.. La exactitud exactitud de de la correlación entre los puntos de datos (xi,yi) se debe chequear.

BIBLIOGRAFIA

1. Nieves Nieves A y Domí Domíngue nguez z F. F. Métodos Métodos numéricos aplicados a la ingen ingenier iería ía . 2ª Edi Edició ción n CECSA CECSA 2002. 2. Con Consta stantin ntiniides des A y Mostou toufi N Numerica Numericall methods methods for chemica chemicall engineers with MATLAB applicat applications ions 1ª Edición Edición Prentic PrenticeeHall 1999. 3. Gerald C.F y Wheatley P.O Analisis numérico con aplicac aplicacione iones. s. 7ª Edición Edición Pearson Pearson Educación 2000. 4. Nakam Nakamur ura a S. Análi Análisi sis s numéri numérico co y visualización visualización gráfica con MATLAB MATLAB 1ª Edic Edició ión n Pear Pearso son n Educ Educac ació ión n 1997.

CALC CALCUL ULO O DE INTE INTEGR GRAL ALES ES INTEGRACION NUMERICA

POR PO R

El proc proces eso o de calc calcul ular ar el valo valorr de una una integral definida a partir de un conjunto de valores numéricos del integrando recibe el nombre de integración numérica. El integrando integrando se representa representa por una fórmula de interpolación y la fórmula se integra entre los limites deseados. Método Método de Simpso Simpson. n. Este Este méto método do se puede resumir diciendo que se basa en la conexión de los puntos (xi,yi) por una series de parábolas. Las funciones de éste tipo son polinomios de segundo grado   f  ( x )

= a + bx + cx 2

Hay un error error inherente, inherente, por supuesto, supuesto, si el polinomio es mayor de segundo grado. La fórmula final de la ecuación para la Regla 1/3 de Simpson es (13) La regla de Simpson sola es exacta para polinomios de primero y segundo grado. El b

h

∫  y dx = 3[ y + 4( y +  y + a

0

1

3



+  yn −1) +

2( y2 +  y4 +  yn− 2) +  yn 

- 11 -

]

grad grado o de la func funció ión n es desc descon onoc ocid ida a en muchas aplicaciones, por consiguiente , se debe calcular el error. El error se calcula por  la siguiente ecuación: Error =

−

h

90 8( y2

[ y−1 +  yn +1 − 4( y0 +  yn ) + 7( y1 + yn −1 )

+  y4 + +  yn −2 ) + 8( y3 +  y5 + yn −3 ) ]

(14) Donde h = ∆ xi  y n ≥ 6 Método trapezoidal compuesto. Consiste en dividir el intervalo[a , b] en n subintervalos y aproximar cada uno por un polinomio de primer grado, luego se aplica la fórmula trapezoidal a cada subintervalo y se obtiene el área de cada trapezoide, de tal modo modo que que la suma suma de toda todas s ella ellas s da la aprox aproxim imaci ación ón al área área bajo bajo la curva curva de la función. La forma final de la ecuación para el método trapezoidal compuesto es: b

h

a

2

∫ 

 ydx =

0.025 ( x0 )

0.014328 0.014328

0.010672 0.010672

93.7

0.035 ( x1 ) 0.02250 0.012500 0.012500 ( y1 ) 0.045 . 0.031264 0.013736 0.055 . 0.040141 0.014859 0.065 . 0.049202 0.015798 0.075 0.058444 0.016556 0.085 . 0.067833 0.017167 0.095 ( x7 ) 0.077425 0.077425 0.017575

80.0

( y0 )

( y7 )

0.105 ( xn )

0.087127 0.087127

0.017873

55.95

0.115 ( xn +1 ) 0.096819 0.096819 0.018181 0.018181

55.0

( y n )

( y n +1 )

y* = Composición en equilibrio. Primer Primero o resolv resolvemo emoss el proble problema ma aplica aplicando ndo el méto método do 1/3 1/3 de Simp Simpso son. n. Supo Suponi nien endo do que la  película gaseosa es la controlante, tenemos:

[ y0 + 2( y1 +  y2 +  y3 +  +  yn −1 ) + yn ]

(15) Los Los sigui siguien ente te dos dos ejem ejempl plo o ilus ilustr tran an esto estoss dos métodos. Una torre empacada absorbe un gas A de un gas de comb combus usti tión ón.. El gas gas de entr entrad adaa a la torr torree contiene 10.5% molar de A y el gas de salida contiene 2.5% molar de A. Calcule el número de unidades de transferencia necesarias,  N OG . Los datos se muestran en la tabla 6. Tabla abla 6 Datos Datos para para el prob problem lemaa de unidade unidadess de transferencia. Datos Calculados de los datos y y* y – y*

1

72.8 . 67.3 . 63.3 60.4 58.25 . 56.9

 N OG

dy

 y ( 2 )

= ∫   y (1)

 y −  y

*

=

0.01 3

[93 .7 + 4(80

+ 67 .3

+ 60.4 +56.9) + 2 (72.8 + 63.3 + 58.25) + 55.95] = 5.3225 unidades de transf. Error =

−

0.01

[115 .5 + 55 − 4(93 .7 + 55 .95 ) + 7(80 + 90 + 56 .7 ) −8(72 .8 + 63 .3 + 58 .25 ) + 8(67 .3 +

+ 60 .4) ] = 0.000333

unidades

de transf   .

El error es relativamente pequeño. Por el método trapezoidal compuesto aplicamos la ecuación (15)  N OG

 y ( 2 )

= ∫  =  y (1)

0.01 2

[93 .7 + 2(80

+ 72 .8

+ 67.3 + 63.3 + 60.4 + 58.25 + 56.9) + 55.95 ] = 5.3377 unidades de transf.

 y −  y * 0.015 ( x 1 ) ( y−1 ) −

0.006342

0.008658

115.5 115.5

- 12 -

Consideremos ahora una columna de destilación discontinua que contiene una mezcla de 50% molar de A en B, se destila hasta que la fracción molar de A en el calderin sea menor que 0.20.

Calcule la razón

W 

W 0

Los datos se muestran

 A =

∫ 

en la tabla 7. y se grafican en la figura 4. Tabla 7 Datos para el problema de la columna columna de destilación discontinúa  x D

 xW 

1

 x D −  xW 

 x D −  xW 

0.129 ( x0 ) 0.420 0.191 ( x1 ) 0.500 0.253 ( x2 ) 0.540 0.314 . 0.492 0.376 . 0.526 0.438 ( x5 ) 0.490 0.50 ( xn ) 0.450

0.549 0.691 0.793 0.806 0.902 0.928 0.950

2.38 ( y0 ) 2.00 ( y1 ) 1.85 ( y2 ) 1.83 . 1.90 . 2.04 ( y5 ) 2.22 ( y n )

Aplicando el método 1/3 de Simpson, tenemos  x f   dxw  A = =  x 0  x −  x  D w

∫ 

0.0618 3

[ 2.38

W  W 0

dxw

=

0.0618

[2.38 + 2 ( 2.0 +  x D − xw 2 + 1.85 + 1.83 + 1.90 + 2.04) + 2.22 ]

 x 0

= 0.7366 ln

W  W 0

= −0.7366

;

W  W 0

= 0.4787

Se observa que los dos resultados son casi iguales debido a que el polinomio es de orden 3. El siguiente guión de MATLAB MATLAB hace los cálculos de los dos problemas dados anteriormente. x = input(‘Introduzca los valores de x = ’); y = input(‘Introduzca los valores de y =’); Area_1= trapz(x,y); Area_2= Simpson(x,y); fprintf (‘\ n Area_1(Método trapezoidal)= %9.4f’,Area_1) fprintf(‘\ n Area_2(Método 1/3 de Simpson)= %9.4f’,Area_2)

+ 4 (2.0 +1.83 + 2.04 )

+ 2 (1.85 + 2.04 ) + 2.22 ] = 0.739 ln

 x w

= − 0.739

 y

W  W 0

= 0.4776

Fig 4 Gráfica de Xw vs 1/(XD- Xw) Por el método trapezoidal compuesto, tenemos que

- 13 -

function A=Simpson ( x, y)  puntos = length(x); if length(y) ~= puntos error(‘x y y no son de la misma longitud ‘) break  end dx = diff(x); if max(dx)-min(dx) > min(abs(x))/1000 error ( ‘ x no son equidistantes’) break  end h= dx(1); if mod (puntos,2) == 0  precaución (‘Agregue numeros de intervalos’) n= puntos – 1; else n= puntos; end y1 = y(2 : 2 : n – 1); y2 = y(3 : 2 : n –2 ); A= (h/3)*(y(1) + 4*sum(y1) + 2* sum(y2) + y(n)) ;

if n ~= puntos A = A + (y(puntos) + y(n))* h/2; end.

engineers with MATLAB MATLAB applications app lications 1ª Edición Prentice-Hall 1999. 7. Geral Gerald d C.F y Wheatl Wheatley ey P.O P.O Anal Analis isis is numérico con aplicaciones. 7ª Edición Pearson Educación 2000. 8. Naka Nakam mura ura S. Anál Análiisis sis numé numérrico y visualización gráfica con MATLAB MATLAB 1ª Edición Pearson Educación 1997.

− −

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